高二上学期期中考试数学试题01(有答案)
高二上学期期中考试数学试题01(有答案)期中考试数学试卷本试试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试用时120分钟。
一．选择题（每题5分，共60分）1． 数列}{n a 满足111,21n n a a a +==+（N n +∈）, 那么4a 的值为( ) A. 4 B. 8 C. 15 D. 31 2. 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3.已知,,a b c R ∈,则下列推证中正确的是 ( )A.22a b am bm >⇒>B.a ba b c c>⇒> C.3311,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b>>⇒<4．在等差数列{}n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 5. 若0a b <<且1a b +=，则四个是数中最大的 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b +Ｃ．2ab Ｄ．a6. 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A 、B 、C ，则 ( ) A ．A+B=C B ．B 2=AC C ．(A+B)-C=B 2 D ．A 2+B 2=A(B+C)7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -88.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 （ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.等差n a n 的前}{项和m S a a a m S m m m m n 则且若,38,0,1,12211==-+>-+-等于（ ） A ．38 B ．20 C ．10D ．910. 若x , y 是正数，且141x y += ，则xy 有 （ ）Ａ．最小值16 Ｂ．最小值116Ｃ．最大值16 Ｄ．最大值11611.已知△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C ＝3：2：1，那么对应的三边之长a ：b ：c 等于( )A ．3：2：1 B. ：2：1 C. ：2：1D ．2：：112.设,x y 满足约束条件360x y --≤，20x y -+≥，0,0x y ≥≥，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12则23a b+的最小值为（） A.256 B.256C.6D. 5二．填空题（每题5分，共20分）13.已知数列｛a n ｝的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式a n =________14.在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝_____.15. 已知(1,1),(2,2)A B -，若直线l 过点(0,1)P -，且对线段AB 相交，则直线l 的斜率取值范围是_____________。
16.给出命题：①x ∈R ，使x 3<1； ②∃x ∈Q ，使x 2=2； ③∀x ∈N ，有x 3>x 2； ④∀x ∈R ，有x 2+1>0．其中的真命题是：___________。
三．解答题（共60分） 17.（10分）已知p ：|1－31-x |≤2，q ：x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.18．（12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos B C ba c=-+2. （1）求角B 的大小；（2）若b a c =+=134，，求ABC ∆的面积19. （12分）已知A ，B 是海面上位于东西方向（B 在A东）相距5(3海里的两个观察点，现位于A 点北偏东450，B 点北偏西600的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西600且与B点相距C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里∕小时，该救援船到达D 的点需要多长时间？20.（12分） ).(,1,13)(11n n a f a a x xx f ==+=+且满足：已知 (1)求证:是等差数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1 (2){}12S n n n -=项和的前n b , 若n 2211nT ,T求nn a b a b a b ++=21. （12分）已知p :方程x 2＋mx ＋1=0有两个不等的负根；q :方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求m 的取值范围．22.（12分） 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和，已知7S =7，15S =75，n T 为数列{||nS n}的前n 项的和，求n T .数学答案1.C2.A3.C4.B5.B6.D7.C8.B9. C 10.A 11.D 12B13. 2n 14. 725 15.322K ≤-≥或K 16①④ 17解：由题意知，命题若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件p ：|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10q ：:x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 * ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞)18．解：(1) 由cos cos sin cos 2cos 2sin sin B b B BC a c C A C=-⇒=-++ 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒+=- 2sin cos sin cos cos sin A B B C B C ⇒=--2sin cos sin()2sin cos sin A B B C A B A ∴=-+⇒=-12cos ,0,23B B B ππ⇒=-<<∴=又 (2)S=43319.解：由题意知5(3AB =海里，906030,904545,DBA DAB ∠=︒-︒=︒∠=︒-︒=︒ ∴180(4530)105ADB ∠=︒-︒+︒=︒……………2分在DAB ∆中,由正弦定理得sin sin DB ABDAB ADB=∠∠，∴sin5(33)sin 455(33)sin 45sin ABDAB DB ADB ∠+︒+︒===∠ =（海里） ……………8分 ………11分答：救援船到达D 点需要1小时. ………12分 注：如果认定DBC ∆为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD,同样给分.20.（2）由(1)知的等差数列，公差为是首项是311⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a S n =12-n12-=∴n n b 12)23(231231-⋅-=∴-=∴-=∴n nn n n n a b n a n a T n =)1(2)23(2724112-⋅-++⋅+⋅+n n)2(2)23(2)53(242212n n n n n T ⋅-+⋅-+⋅+=-（1）-（2）得：（ -nn nn n n T n T 2)53(52)23(232323112⋅-+=∴⋅--⋅++⋅+⋅+=--21.解：若方程x 2＋mx ＋1=0有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m 解得m ＞2即p ：m ＞若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0 解得：1＜m ＜3.即q ：1＜m ＜3.因“p 或q ”为真，所以p 、q 至少有一为真，又“p 且q ”为假，所以p 、q 至少有一为假， 因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或 解得：m ≥3或1＜m22．设数列{}n a 的公差为d ，则1172171510575a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得：121a d =-⎧⎨=⎩，所以(5)2n n n S -=；设52n n S n b n -==，则{}n b 是等差数列，设49'221n n b b b S n n -=+++= 。
令502n n b -=≥，解得：5n ≥，所以1234,,,b b b b 小于0，50b =，6n ≥时，0n b >；所以当5n ≤时，49||||||221n n b b b T n n -=+++= ；当6n ≥时，||||||||||6521n n b b b b b T ++++++=4409)''(')(2556521+-=-+-=++++++-=n n S S S b b b b b n n所以2295494064n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩。
2023-2024学年北京丰台区十二中高二(上)期中数学试题及答案
北京十二中2023-2024学年第一学期高二年级期中考试2023.11本试卷共4页，满分150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分选择题（共60分）一、选择题。
本题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.直线21y x =-+的一个方向向量是A.(1,2)- B.(2,1)- C.(1,2)D.(2,1)2.已知圆心为(1,2)，且过原点的圆的方程为A.5)2()1(22=-+-y xB.5)2()1(22=-+-y x C.5)2()1(22=+++y x D.22(1)(2)5x y +++=3.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为正方形1111A B C D 的中心，1AE AA xAB y AD =++，则x ，y 的值是A.1x =，1y = B.12x =，1y = C.1x =，12y =D.12x =，12y =4.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，设11AD AA ==，2AB =，则1BD AD ⋅等于A.1B.2C.3D.365.“1a =”是“直线(1)10ax a y +--=与直线(1)10a x ay -++=垂直”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.下面结论正确的个数是①已知,,a b c是不共面的三个向量，则c ，a c + ，a c - 能构成空间的一个基底；②任意向量,,a b c （0a ≠）满足a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ；③已知向量(1,1,)a x = ，(3,,9)b x =- ，若a 与b共线，则3x =-．A.3B.2C.1D.07.已知圆C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，过直线l ：3450x y +-=上任意一点作圆C 的切线，则切线长的最小值为A.4B.C.D.58.已知(2,3)A -，(3,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与射线AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是A.4k - 或15k -B.344k -C.145k -<-D.4k - 或51->k10.已知空间直角坐标系O xyz -中，(1,2,3)OA = ，(2,1,2)OB = ，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为A.131(,,)243B.11(,,1)22 C.44833(3,, D.333(,,)44212.在空间直角坐标系O xyz -中，若有且只有一个平面α，使点(2,2,2)A 到α的距离为1，且点(,0,0)B m 到α的距离为4，则m 的值为A.2B.1或3C.0或4D.2-2第二部分非选择题（共90分）二、填空题。
2024-2025学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高二上学期10月期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x +3y +1=0的倾斜角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.已知α,β是两个平面，l,m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A. 若m ⊥α,l ⊥m ，则l ⊥α B. 若m//β,n//β，则m//n C. 若m//α,l ⊥α，则l ⊥mD. 若α//β,m//α，则m//β3.已知两直线l 1:3x +4y−14=0,l 2:(a−2)x +4y +a =0，若l 1//l 2，则l 1与l 2间的距离为( )A. 95B. 125C. 175D. 1954.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为( )A. 712B. 12C. 512D. 135.在平行四边形ABCD 中，点E,F,G 分别满足DE =EC ,BC =2BG ,AF =2FE ，则FG =( )A. 23AB−16ADB. 23AB +16ADC. 16AB−23ADD. 16AB +23AD6.已知圆M 经过P (1,1),Q (2,−2)两点，且圆心M 在直线l:x−y +1=0，则圆M 的标准方程是( )A. (x−2)2+(y−3)2=5 B. (x−3)2+(y−4)2=13C. (x +3)2+(y +2)2=25D. (x +3)2+(y−2)2=257.如图，在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ⊥BC,AB =BC =AA 1=2,P 为线段A 1B 1的中点，Q 为线段C 1P 上一点，则▵BCQ 面积的取值范围为( )A. [2,6] B. [2,5] C. [ 3,5] D. [ 2,5]8.已知点A,B是圆C:(x−2)2+y2=1上的两个动点，点P是直线l:x+y=0上动点，且PA⋅CA=0,PB⋅CB =0，下列说法正确的是( )A. 圆C上恰有一个点到直线l的距离为12B. PA长的最小值为2−1C. 四边形ACBP面积的最小值为2D. 直线AB恒过定点(32,−12)二、多选题：本题共3小题，共18分。
人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)
人教版高二上学期期中考试数学试题（一） （本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。
A 、||||b b a a ：：= B 、212121z z y y x x == C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使b k a =2．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为32，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )。
A 、1222=-y xB 、1222=-y xC 、1222=-x y D 、1222=-x y3．若直线m my x +=+2与圆012222=+--+y x y x 相交，则实数m 的取值范围为( )。
A 、)(∞+-∞， B 、)0(，-∞ C 、)0(∞+， D 、)0()0(∞+-∞，， 4．点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。
A 、1)1()2(22=++-y x B 、4)1()2(22=++-y x C 、1)1()2(22=-++y x D 、4)2()4(22=-++y x5．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。
A 、59 B 、1029 C 、518 D 、5296．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。
A 、21 B 、22 C 、43 D 、237．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题(含解析)
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c+-r r ra b c-+r r r C ．D ．a b c -++ a b c-+- 2．已知点，，若直线的斜率为，则（ ）()1,0A (),B n m AB 21n m -=A ．B ．C ．D ．22-1212-3．已知，则（ ）()()1,5,1,3,2,5a b =-=-a b -= A ．B ．C ．D ．()4,3,6--()4,3,6--()4,3,6-()4,3,64．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）x 2213x y m +=mA ．B ．C ．12D ．3421412-5．已知正方体的棱长为1，则（ ）1111ABCD A B C D -A ．B ．C ．D ．11ACB D ⊥1AC BC⊥1B D BC⊥1B D AC^6．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ 22:(2)(4)25E x y -+-=22:(2)(2)1F x y -+-=）A ．内含B ．相切C ．相交D ．外离7．设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）l a αb0a b ⋅= A ．B ．C ．D ．或//l αl α⊂l α⊥l α⊂//l α8．与平行，则（ ）1:10l ax y -+=2:2410l x y +-==aA ．B ．C ．D ．21212-2-9．经过点，斜率为的直线方程为（ ）(3,1)12A ．B ．210x y --=250x y +-=C ．D ．250x y --=270x y +-=10．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）221:202C x y x y ++-+=A ．，B ．，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2-C ．，D ．，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2-二、多选题（本大题共2小题）11．下列结论错误的是（ ）A ．过点，的直线的倾斜角为()1,3A ()3,1B -30︒B ．若直线与直线平行，则2360x y -+=20ax y ++=23a =-C ．直线与直线之间的距离是240x y +-=2410x y ++=D ．已知，，点在轴上，则的最小值是5()2,3A ()1,1B -P x PA PB+12．以A （1，1），B (3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（）A ．圆心的坐标为（2，2）B ．圆心的坐标为（2，-2）C ．圆心的坐标为（-2，2）D ．圆的方程是()222)210x y ++-=（E ．圆的方程是22(2)(2)10x y -++=三、填空题（本大题共4小题）13．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的α()2,3,1-β()4,,2λ-//αβλ值是.14．直线与圆的位置关系是.34120x y ++=()()22119-++=x y 15．三条直线与相交于一点，则的值为.280,4310ax y x y +-=+=210x y -=a16．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向l ()1,0,3m =-α量为，则直线与平面所成的角为.()2n =l α四、解答题（本大题共3小题）17．求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：(1)已知，，，求的边上的中线所在的直线方程.(1,2)A (1,4)B -(5,2)C ABC V AB (2)直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程.l (2,1)B --12y x=l 18．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G 在棱CD 上，且,E F 1,DD DB ，H 是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：13CG CD=1C G(1)求证：；1EF B C ⊥(2)求异面直线EF 与所成角的余弦值.1C G 19．已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ：34110x y +-=与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长的值．AB答案1．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．2．【正确答案】C【详解】若直线的斜率为，则，AB 221mn =-所以，211n m -=故选：C.3．【正确答案】C【详解】向量，则.()()1,5,1,3,2,5a b =-=- (4,3,6)a b -=- 故选：C4．【正确答案】C【详解】由题意知，，3,3m a b c >==又，所以，222a b c =+3912m =+=即实数的值为12.m 故选：C5．【正确答案】D 【详解】以为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系，D {}1,,DA DC DD 则，，，，，，()0,0,0D A (1,0,0)1(1,0,1)A ()1,1,0B ()11,1,1B ()0,1,0C 所以，，，．()11,1,1A C =-- ()11,1,1B D =--- ()1,0,0BC =- ()1,1,0AC =-因为，所以．111111,1,1,0AC B D AC BC BC B D AC B D ⋅=⋅==⋅=⋅ 1B D AC ^故选：D.6．【正确答案】A【详解】圆的圆心为，半径；22:(2)(4)25E x y -+-=E (2,4)15r =圆的圆心为，半径，22:(2)(2)1F x y -+-=F (2,2)11r =，故，所以两圆内含；2=12EF r r <-故选：A7．【正确答案】D【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为且，即，l a αb0a b ⋅= a b ⊥ ∴或.l α⊂//l α故选：D8．【正确答案】B【详解】由与平行，得，所以.1:10l ax y -+=2:2410l x y +-=11241a -=≠-12a =-故选：B9．【正确答案】A【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.(3,1)1211(3)2y x -=-210x y --=故选：A.10．【正确答案】A【详解】的标准方程为，故所求分别为221:202C x y x y ++-+= ()2213124x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A.11．【正确答案】AC 【详解】对于A ，，即，故A 错误；131tan 312AB k α-===--30α≠︒对于B ，直线与直线平行，所以，解得，故B 2360x y -+=20ax y ++=123a =-23a =-正确；对于C ，直线与直线（即）之间的距离为240x y +-=2410x y ++=1202x y ++=C 错误；d 对于D ，已知，，点在轴上，如图()2,3A ()1,1B -P x取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时()1,1B -x ()1,1B '--AB 'x P，5=所以的最小值是5，故D 正确；PA PB+故选：AC.12．【正确答案】BE 【详解】AB 的中点坐标为，则圆心的坐标为()2,2-()2,2-=r =所以圆的方程是22(2)(2)10x y -++=故选：BE13．【正确答案】6【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.//αβαβ∴，∴.23142λ-==-6λ=故6.14．【正确答案】相交【详解】圆的圆心为，半径为，()()22119x y -++=()1,1-3因为圆心到直线，()1,1-34120x y ++=1135<所以直线与圆相交.34120x y ++=()()22119x y -++=故相交15．【正确答案】3【详解】由，即三条直线交于，431042102x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩(4,2)-代入，有.280ax y +-=44803a a --=⇒=故316．【正确答案】π6【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.【详解】设直线与平面所成的角为，l απ20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则，所以.1sin cos ,2m n m n m n θ⋅====π6θ=故π617．【正确答案】(1)x +5y ﹣15＝0(2)4x ﹣3y +5＝0【详解】（1）因为，则的中点，(1,2),(1,4)A B -AB (0,3)D 因为的边上的中线过点，ABC V AB (5,2),(0,3)C D 所以的方程为，即，CD 233050y x --=--（）5150x y +-=故的边上的中线所在的直线方程为；ABC V AB 5150x y +-=（2）设直线的倾斜角为， 则，则所求直线的倾斜角为，12y x=απ0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2α因为，所以，1tan 2α=22tan 4tan 21tan 3ααα==-又直线经过点，故所求直线方程为，即4x ﹣3y+5＝0；(2,1)B --4123y x +=+（）18．【正确答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、分别为x 轴、y 轴、1DD z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，D xyz -则，，，，，()0,0,0D E (0,0,1)()1,1,0F ()0,2,0C ()10,2,2C ，，()12,2,2B 40,,03G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()1,1,1EF =- ()12,0,2B C =--所以，()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=所以，故．1EF B C ⊥1EF B C ⊥（2）因为，所以120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1C G =因为，EF =()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+=⎪⎝⎭所以．1114cos ,3EF C G EF C G EF C G ⋅=====19．【正确答案】(1)()2224x y -+=(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为()2224x y -+=；(2)由（1）可知：圆C 半径为2r =，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则61115d -==，由垂径定理得：AB ==。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。
2024-2025学年河南省南阳市六校高二上学期10月期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年河南省南阳市六校高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l 的斜率为− 3，则直线l 的一个方向向量的坐标为( )A. (−1,− 3)B. ( 3,−1)C. (− 3,−1)D. ( 3,−3)2.抛物线C ：y = 2x 2的焦点坐标为( )A. ( 22,0)B. ( 24,0)C. (0, 28)D. (0, 24)3.已知▵ABC 三个顶点的坐标分别为A (3,−1)，B (−5,2)，C (7,4)，则BC 边上的中线所在直线的方程为( )A. x +2y−1=0B. 2x +y−5=0C. 2x−y−7=0D. x−2y−5=04.已知双曲线C 以两个坐标轴为对称轴，且经过点(2, 3)和(− 5,−2)，则C 的渐近线方程为( )A. y =± 22xB. y =±xC. y =± 2xD. y =±2x5.“a =−3”是“直线ax +2ay−3=0与(a−1)x−(a +1)y +13=0垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知直线l 经过点P (2,1)，且与圆C ：(x +1)2+(y−2)2=9相交于A ，B 两点，若|AB |=4 2，则直线l 的方程为( )A. y =1或3x +4y−10=0B. y =1或4x +3y−11=0C. 4x +3y−11=0或3x +4y−10=0D. 4x−3y−5=0或3x−4y−2=07.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于l 位置时，拱顶离水面的高度为2.5m ，水面宽度为8m ，当水面上涨0.9m 后，水面的宽度为( )A. 6.4mB. 6mC. 3.2mD. 3m 8.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，若P 与F 1恰好关于C 的一条渐近线y =2x 对称，且|PF 2|=2，则▵PF 1F 2的面积为( )A. 2B. 22C. 23D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。
山东省烟台市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024∼2025学年度第一学期期中学业水平诊断高二数学注意事项：1、本试题满分150分，考试时间为120分钟，2、答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上，3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线和直线平行，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．C ．1D ．或13．在三棱锥中，点M 在线段上，且，N 为中点，设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．5．正四棱柱中，，E ，F ，G 分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD6．过点的直线与曲线）A ．B ．C ．D ．7．在平行六面体中，底面是正方形，，，，M 是棱的中点，与平面交于点H ，则线段的长度为（ ）O xyz -()2,3,1P -xOy ()2,3,1--()2,3,1--()2,3,1---()2,3,1--210x my m ++-=10mx y ++=1-1-A BCD -AB 2AM MB = CD AB a = AC b =AD c = MN =111322a b c-- 111322a b c -++ 211322a b c--211322a b c-++()3,2-()2,12310x y ++=2370x y +-=3280x y +-=3240x y ++=1111ABCD A B C D -12AA AB =1CC BD 11A B 1C G EF ()1,2--y =22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)22,00,3⎛⎤- ⎥⎝⎦422,0,33⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦322,0,43⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ABCD A B C D '-'''ABCD 60A AB A AD ''∠=∠=︒2AB =4AA '=A B ''A C 'AMD 'A H 'ABCD8．过直线上一点P 作圆的切线，，切点为A ，B ，当最小时，直线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
广东省江门市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024～2025学年度第一学期期中考试高二级数学试题班别： 学号： 姓名： 成绩：一、单选题：本大题共8小题，共40分.1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ）A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B ．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C ．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D ．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定2．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中不合格产品约有（ ）A ．1万件B ．18万件C ．19万件D ．20万件3的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．5．给定组数，则错误的是（ ）A ．中位数为3BC ．众数为2和3D ．第85百分位数为46．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）A ．B ．C ．D．10y ++=αy b 5π6α=1b =2π3α=1b =-2π3α=1b =5π6α=1b =-1111ABCD A B C D -M 11AC 11B D AB a =AD b = 1AA c =BM11+22a b c-+ 1122a b c++1122a b c--+ 1122a b c-+ 5,4,3,5,3,2,2,3,1,2(),a x y =()1,2b =- 1,2,3,4,5,6x y 0a b ⋅>1123415167．设，若点在线段上，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在空间直角坐标系Oxyz 中，，，，点H 在平面ABC 内，则当点O 与H 间的距离取最小值时，点H 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本大题共3小题，共18分.9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）A ．图（1）的平均数=中位数=众数B ．图（2）的众数<中位数<平均数C ．图（2）的众数<平均数<中位数D ．图（3）的平均数<中位数<众数10．下列事件中，是相互独立事件的是（ ）A ．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（ ）A ．当时，B ．直线与所成的角不可能是C ．若，则二面角D ．当时，点到平面的距离为三、填空题：本大题共3小题，共15分.()()2,3,1,2A B -(),P x y AB 1y x+[]2,3-()2,3-][(),23,∞∞--⋃+()(),23,-∞-⋃+∞(1,1,1)A (0,1,0)B (0,0,1)C 211,,333⎛⎫⎪⎝⎭211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭,A B A =B =A =B =A =B =A =B =1111ABCD A B C D -P 1BC 12B P PC =AP =1AP BD π61113B P BC = 11B A P B --12B P PC =1D 1A BP 2312．经过两点的直线的方向向量为,则 .13．如图，在平行六面体中，，，则 ．14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为 ．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15．（本小题13分）已知的顶点分别为，，.(1)求边的中线所在直线的方程；(2)求边的垂直平分线的方程.16．（本小题15分）为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.(1)求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.17．（本小题15分）(0,2),(1,0)A B -(1,)k k =1111ABCD A B C D -12,3,4AD AB AA ===90BAD ∠=︒1160A AB A AD ∠=∠= 1AC =A A a aA A b 13a b >ABC V (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE m如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．18．（本小题17分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．(1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；(2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；(3)若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，）19．（本小题17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：（ii ）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.P ABCD -ABCD PD ⊥,,ABCD PD DC E =PC EF PB ⊥PB F //PA EDB PB ⊥EFD CPB PBD 12161999100lg 20.3010≈lg30.4771≈O xyz -(),,u a b c =()0000,,P x y z l u0P l ()0000x x y y z z abc a b c---==≠αu0P α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=l 1111x z -+==1α50y z +-+=l 1α2α2310x y z ++-=()1,2,1P P 2α{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S S {(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N T T高二级数学答案一、单选题：本大题共8小题，共40分.1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ）A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些B ．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等C ．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些D ．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定2．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中不合格产品约有（ ）A ．1万件B ．18万件C ．19万件D ．20万件3的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．5．给定组数，则错误的是（ ）A ．中位数为3BC ．众数为2和3D ．第85百分位数为46．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ）A ．B ．C ．D．10y ++=αy b 5π6α=1b =2π3α=1b =-2π3α=1b =5π6α=1b =-1111ABCD A B C D -M 11AC 11B D AB a =AD b = 1AA c =BM11+22a b c-+ 1122a b c++1122a b c--+ 1122a b c-+ 5,4,3,5,3,2,2,3,1,2(),a x y =()1,2b =- 1,2,3,4,5,6x y 0a b ⋅>1123415167．设，若点在线段上，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在空间直角坐标系Oxyz 中，，，，点H 在平面ABC 内，则当点O 与H 间的距离取最小值时，点H 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本大题共3小题，共18分.9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）()()2,3,1,2A B -(),P x y AB 1y x+[]2,3-()2,3-][(),23,∞∞--⋃+()(),23,-∞-⋃+∞(1,1,1)A (0,1,0)B (0,0,1)C 211,,333⎛⎫⎪⎝⎭211,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭A ．图（1）的平均数=中位数=众数B ．图（2）的众数<中位数<平均数C ．图（2）的众数<平均数<中位数D ．图（3）的平均数<中位数<众数10．下列事件中，是相互独立事件的是（ ）A ．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4”D ．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（ ）,A B A =B =A =B =A =B =A =B =1111ABCD A B C D -P 1BCA ．当时，B ．直线与所成的角不可能是C ．若，则二面角D ．当时，点到平面的距离为三、填空题：本大题共3小题，共15分.12．经过两点的直线的方向向量为,则 2 .13．如图，在平行六面体中， ，，则 7 ．14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为 ．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15．（本小题13分）已知的顶点分别为，，.(1)求边的中线所在直线的方程；(2)求边的垂直平分线的方程.12B P PC=AP =1AP BD π61113B P BC =11B A P B --12B P PC =1D 1A BP 23(0,2),(1,0)A B -(1,)k k =1111ABCD A B C D -12,3,4AD AB AA === 90BAD ∠=︒1160A AB A AD ∠=∠= 1AC =A A a aA A b 13a b >16672000ABC V (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE16．（本小题15分）为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.(1)求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀.解：（1）由题意得，，解得.........4分因为，............8分所以可以估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数约为38.25小时. (9)分（2）由题意得，因为，那么第70百分位数位于之间.m ()0.020.030.040.0651m ++++⨯=0.05m =()0.0227.50.0432.50.0637.50.0542.50.0347.5538.25⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=()0.0350.15,0.030.0550.4⨯=+⨯=40~45设第70百分位数为，则，解得.………………14分故至少参加42小时的社会实践活动，方可被评为优秀. ……………15分17．（本小题15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．证明：（1）在四棱锥中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，…………1分，设平面的法向量为，则，令，得，…………3分则，而平面，所以平面.…………5分（2）由（1）知，，由，得，又，且平面，所以平面.…………9分（3）解：由（1）知，，且，设平面的法向量为，则，取，得，…………11分x ()450.050.15x -⨯=42x =P ABCD -ABCD PD ⊥,,ABCD PD DC E =PC EF PB ⊥PB F //PA EDB PB ⊥EFD CPB PBD P ABCD -D ,,DA DC DP ,,x y z 2DC =()()()()2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,1,1A B P E ()()()2,0,2,2,2,0,0,1,1PA DB DE =-==EDB ()111,,m x y z =11112200DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11y =-()1,1,1m =- 220PA m ⋅=-=PA ⊄EDB //PA EDB ()2,2,2PB =-0220PB DE ⋅=+-=PB ED ⊥EF PB ⊥,,EF DE E EF ED =⊂ EFD PB ⊥EFD ()0,2,0C ()()2,0,0,0,2,2CB PC ==-CPB ()222,,n x y z = 22220220CB n x PC n y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩21y =()0,1,1n =18．（本小题17分）甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响．(1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率；(2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；(3)若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？（参考数据：，）12161999100lg 20.3010≈lg30.4771≈19．（本小题17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；(3)（i ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：（ii ）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.O xyz -(),,u a b c =()0000,,P x y z l u 0P l ()0000x x y y z z abc a b c---==≠αu 0P α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=l 1111x z -+==1α50y z +-+=l 1α2α2310x y z ++-=()1,2,1P P 2α{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤M S S {(,,)|||||2,||||2,||||2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤N T T的正方形，高为2的长方体，的图象是一个完全对称的图象，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，|||2}z x +≤。
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题本试卷共4页。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过两点的直线的倾斜角为，则等于（）A.-3B.-1C.0D.22.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（）A. B. C. D.4.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于A，B两点，若，则的斜率为（）5.如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形若该椭圆恰好平分的另两边，则椭圆的离心率为（）(3,1)(2,1)A y B+-、3π4y22221(0,0)x ya ba b-=>>542y x=±12y x=±43y x=±34y x=±22:(1)(2)1M x y+++=22(3)(4)1N x y-++=：l l 250x y++=250x y--=250x y++=250x y--=2:4C y x=F F l C16||3AB=l22221(0)x ya ba b+=>>12,F F12F F12AF F 12AF FV12,AF AF6.已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为E ，O 为坐标原点，若的面积为1，则的焦距的最小值为（ ）A.1B.2C.4D.7.如图，已知直线与抛物线交于A ，B 两点，且交AB 于点，点的坐标为，则方程为（ ）A. B. C. D.8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（ ）A.的虚轴长为6B.的离心率为C.的渐近线方程为D.点到的一条渐近线的距离为410.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列描述正确的有（ ）1-F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F C OEF V C l 22y x =,OA OB OD AB ⊥⊥D D (1,1)l 20x y +-=20x y ++=20x y -+=20x y --=12,F F P 12PF PF >1PF 2F 1e 2e 2114e e +(5,)+∞(6,)+∞(7,)+∞(6,7)F 22:1169x y Γ-=ΓΓ54Γ430x y ±=F ΓP :60l x y +-=Q 22:(1)(1)4C x y -+-=P CA.直线与圆相交B.|PQ |的最小值为C.四边形PACB 面积的最小值为4D.存在点，使得11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值，则（ ）A.曲线关于直线对称B.曲线经过点，其方程为C.曲线围成的图形面积小于D.存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的焦距是2，则的值是_____________.13.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为____________.14.双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，已知函数.则其在一象限内的焦点横坐标是__________.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知圆与轴交于A ，B 两点，动点与点A 的距离是它与点距离倍.（1）求点的轨迹方程;l C 2-P 120APB ︒∠=C C (0)a a >C y x =C (1,1)--()322||x yxy +=C 2π8a (2,6)a ∈C 221(4)4x y m m +=>m 24y x =A x B C ABC V 1y x=y x =y x =-(1,1),(1,1)--(y x =+e 22O :4x y +=x P B P（2）过点作倾斜角为直线交点的轨迹于M ，N 两点，求弦长|MN |.16.（本小题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点.（1）求双曲线的方程;（2）直线与双曲线相交于两点，若线段AB 的中点坐标为，求直线的方程.17.（本小题15分）已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点.（1）求椭圆的方程;（2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点，记AP 的斜率为的斜率为.求证:为定值.18.（本小题17分）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.（1）求抛物线的方程;（2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段AB 的中点.（i ）求证:点N 在定直线上;（ii ）若的面积为6，求点A 的坐标.19.（本小题17分）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，（1）已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，B 45︒l P 2222:100x y C a b a b-=>>（，）0x -=P C l C ,A B (3,2)l 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,F A B C C (1,0)D l l C M 1,k BQ 2k 12k k 2:2(0)C y px p =>F (,2)M t C ||2MF =C ()()1122,,,A x y B x y 12x x <C M AMB ∠x N MAB ∆(,)AB x y =AB A θ(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+B A θP (A B -B A π3P P 221x y xy +-=22221(0)x y a b a b+=>>O π4C（i ）求斜椭圆的离心率;（ii ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点M 、N ，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点G 、H是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.C Q 1l C O 2l 1l 2l C 21||OH +福建省厦门2026届高二上期中考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。