参数方程知识讲解及典型例题

l2 : 2x
4y
5 相交于点 B ，又点 A(1,2) ，则
AB _______________。
1
x2 t
4．直线
2 (t为参数 ) 被圆 x2 y2 4 截得的弦长为 ______________。
1
y1t
2
三、解答题
2
2
1．已知点 P( x, y) 是圆 x y 2 y 上的动点，
（ 1）求 2 x y 的取值范围；
C． (2, 3)
D． (1, 3)
x 2 sin 2
3．将参数方程 y sin2
( 为参数 ) 化为普通方程为（
）
A． y x 2 B． y x 2 C． y x 2(2 x 3) D． y x 2(0 y 1)
4．化极坐标方程 2 cos
0 为直角坐标方程为（
）
A． x2 y 2 0或 y 1 B． x 1 C． x2 y 2 0或 x 1 D． y 1
，求其倾斜角 .
极坐标与参数方程练习题
[ 基础训练 A 组]
一、选择题
x 1 2t
1．若直线的参数方程为
(t为参数 ) ，则直线的斜率为（
）
y 2 3t
2
A．
3
2．下列在曲线
2
B．
3
3
C．
2
3
D．
2
x sin 2
( 为参数 ) 上的点是（
）
y cos sin
A． (1 , 2) 2
B． ( 3 , 1) 42
参数方程
一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、 y 都是某个参数
t 的函数，即
x f (t ) y f (t ) ，其中， t 为参数，并且对于 t 每一个允许值，由方程
组所确定的点 M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方
程，联系 x、y 之间关系的变数 t 叫做参变数，简称参数．
）
y 1t
A． 98
二、填空题
1 B． 40
4
C ． 82
D． 93 4 3
1．曲线的参数方程是
x11 t (t为参数 ,t
y 1 t2
0) ，则它的普通方程为 __________________ 。
x 3 at
2．直线
(t为参数 ) 过定点 _____________ 。
y 1 4t
3．点 P(x,y) 是椭圆 2 x2 3 y2 12 上的一个动点，则 x 2 y 的最大值为 ___________。
同心圆， M点的轨迹是椭圆，中心在（ x0，y0）椭圆的参数方程： x x0 a cos y y0 b sin
x2
Eg：求椭圆
36
y2
=1 上的点到 M（2,0 ）的最小值。
20
3、双曲线的参数方程：
x a sec 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线：
y btan
（ 为参数，代表离心角） ，
中心在（ x0，y0），焦点在 x 轴上的双曲线： x x0 a sec y y0 b tan
5．点 M 的直角坐标是 ( 1, 3) ，则点 M 的极坐标为（
）
A． (2, ) 3
B． (2, ) 3
2 C． (2, )
3
D． (2,2 k
6．极坐标方程 cos 2sin 2 表示的曲线为（
）
),( k Z ) 3
A．一条射线和一个圆 二、填空题
B．两条直线 C．一条直线和一个圆
D ．一个圆
D ．两条射线
1 x1 t
2
3．直线
y 33
(t为参数 ) 和圆 x2 y2 16 交于 A, B 两点， 3
t 2
则 AB 的中点坐标为（
）
A． (3, 3)
B． ( 3,3) C ． ( 3, 3) D ． (3, 3)
4．圆 5cos 5 3 sin 的圆心坐标是（
）
A． ( 5, 4 ) B． ( 5, ) C． (5, ) D． ( 5, 5 )
3
3
3
3
xt
5．与参数方程为
(t为参数 ) 等价的普通方程为（
）
y 21 t
A． x2 y2 1 4
B． x2 y 2 1(0 x 1) 4
C． x2 y2 1(0 y 2) 4
D ． x2 y2 1(0 x 1,0 y 2) 4
x
6．直线
2
t (t为参数 ) 被圆 ( x
3) 2
( y 1)2
25 所截得的弦长为（
16 9
2．已知直线 l 经过点 P(1,1), 倾斜角 （ 1）写出直线 l 的参数方程。
，
6
（ 2）设 l 与圆 x2 y 2 4 相交与两点 A, B ，求点 P 到 A, B 两点的距离之积。
极坐标与参数方程练习题答案
[ 基础训练 A 组]
一、选择题 1． D 2． B 二、填空题
3．C
4． C 5． C
（2） x=sin y=cos
（ 3） x=t+ 1 t
y=t
2+ 1
t2
总结：参数方程化为普通方程步骤： （1）消参（ 2）求定义域
2、椭圆的参数方程：
中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆：
x a cos y b sin
（ 为参数， 的几何意义是离心角，如图角 AON是离心角）
注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个
4．曲线的极坐标方程为
1
tan
，则曲线的直角坐标方程为 ________________ 。
cos
5．设 y tx (t为参数 ) 则圆 x2 y2 4 y 0 的参数方程为 __________________________ 。
三、解答题
x2 y2
1．点 P 在椭圆
1 上，求点 P 到直线 3x 4y 24 的最大距离和最小距离。
x 3 4t
1．直线
(t为参数 ) 的斜率为 ______________________ 。
y 4 5t
2．参数方程
x et e t y 2(et e t ) (t为参数 ) 的普通方程为 __________________ 。
x 1 3t
3．已知直线 l1 : y
2
(t为参数 ) 与直线 4t
2
2． (3, 1) 3． 22 4． x y
4t
x
2
1t
5．
4t 2
y 1 t2
x2
(tx )2
4tx
0 ，当 x
0 时， y
0 ；当 x
0 时， x
4t 1 t2
；
三、解答题
1．当 cos(
4t
而y
tx ，即 y
4t 2 1 t2
，得
x
1 t2 4t 2
y 1 t2
12
12
) 1 时， dmax
（ 为参数， 的几何意义为圆心角） ，
Eg1：已知点 P（ x ， y ）是圆 x 2+y2-6x-4y+12=0 上的动点，求：
（ 1） x2+y2 的最值；（ 2） x+y 的最值；（ 3）点 P 到直线 x+y-1=0 的距离 d 的最值。
Eg2：将下列参数方程化为普通方程
（ 1） x=2+3cos y=3sin
（ 2）若 x y a 0 恒成立，求实数 a 的取值范围。
x 1t
2．求直线 l1 :
(t为参数 ) 和直线 l 2 : x y 2 3 0 的交点 P 的坐标， 及点 P
y 5 3t
与 Q (1, 5) 的距离。Fra bibliotekx2 y2
3．在椭圆
1 上找一点，使这一点到直线
16 12
x 2 y 12 0 的距离的最小值。
4、抛物线的参数方程：
顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：
x 2pt 2
y 2pt
（t 为参数， p＞ 0， t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）
直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程
过定点 P0（x0，y 0），倾角为 的直线， P 是直线上任意一点，设 P0P=t，P0P 叫
(2 2) ；当 cos(
) 1时， dmin
(2
4
5
4
5
x 1 3t
2．解：（ 1）
2
1
y1 t
2
（2） 2
2) 。
6．C
5
x2 y2
1．
2．
1,( x 2)
4
4 16
5
3．
2
4． 14
三、解答题
1．解：（ 1）
5 1 2x y 5 1 ；（ 2） a
21
2． 4 3
45
3．
5
[ 综合训练 B 组]
一、选择题 1． C 2． D 二、填空题
3．D 4． A
5． D
6． C
x( x 2)
1． y
2 (x 1)
(x 1)
[ 综合训练 B 组]
一、选择题
x at
1．直线 l 的参数方程为
y
b
(t为参数 ) ，l 上的点 t
P1 对应的参数是
t1，则点 P1 与 P(a,b )
之间的距离是（
）
A． t1
B． 2 t1
C． 2 t1
2
D．
t1
2
1
xt