初二函数知识点及经典例题.
初二函数知识点及经典例题
第十八章 函数一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。
*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
（二）一次函数1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
初二关于函数的10题典型例题
初二关于函数的10题典型例题初二数学中关于函数的典型例题有很多，下面列举了其中的10题，并进行了解答。
1. 已知函数 f(x) = 2x + 1，求 f(3) 的值。
解答：将 x 替换为 3，计算得 f(3) = 2 * 3 + 1 = 7。
2. 已知函数 g(x) = x^2 + 3x，求 g(-2) 的值。
解答：将 x 替换为 -2，计算得 g(-2) = (-2)^2 + 3 * (-2) = 4 - 6 = -2。
3. 已知函数 h(x) = 4x^3 + 2x^2 + x，求 h(0) 的值。
解答：将 x 替换为 0，计算得 h(0) = 4 * 0^3 + 2 * 0^2 + 0 = 0。
4. 已知函数 f(x) = 3x - 2，求 f(1/2) 的值。
解答：将 x 替换为 1/2，计算得 f(1/2) = 3 * (1/2) - 2 = 1/2 - 2 = -3/2。
5. 已知函数 g(x) = 2x + 3，求使得 g(x) = 7 的 x 的值。
解答：将 g(x) = 7，解方程得 2x + 3 = 7，即 2x = 4，x = 2。
6. 已知函数 h(x) = 5x^2 + 4x + 1，求使得 h(x) = 0 的 x 的值。
解答：将 h(x) = 0，解方程得 5x^2 + 4x + 1 = 0，该方程可以因式分解为 (5x + 1)(x + 1) = 0，得到 x = -1 或 x = -1/5。
7. 已知函数 f(x) = 2x^2 + 5x + 3，求 f(-1) 的值。
解答：将 x 替换为 -1，计算得 f(-1) = 2 * (-1)^2 + 5 * (-1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0。
8. 已知函数 g(x) = 3x^2 + 2x + 1，求 g(2) 的值。
解答：将 x 替换为 2，计算得 g(2) = 3 * 2^2 + 2 * 2 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17。
八年级第十七章《函数及其图象》知识点
.精品文档.八年级第十七章《函数及其图象》知识点八年级第十七《函数及其图象》知识点（2）一、一次函数（一）一次函数的概念：形如y=kx+b （其中k工0）,两个特征：①k工0，②x的次数为1正比例函数的概念：当b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称y与x成正比例【注意】两个变量成正比例，即y=kx.例题1、若函数y=（-1）x|| 是一次函数，则=.2、若y-1与x+3成正比例，且当x=1时，y=2，求y与x 的函数关系式.（二）一次函数的图象及其性质：y=kx+b （" 0）1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点.特殊直线：直线y=x或直线y= -x上的点到两坐标轴距离相等.2、一次函数的性质（与系数k、b相关）① k决定着函数的增减性当k > 0时，y随x的增大而增大（增函数），必过第一三象限当k v 0时，y随x的增大而减小（减函数），必过第二四象限② b决定着直线与y轴交点的位置：在原点的基础上“上加下减”当b=0时，必过原点；当b>0时，沿y轴向上平移；当b v 0时，沿y轴向下平移.补充口诀：上加下减改变b, y=kx+b —y=kx+b+左加右减改变x, y=kx+b —y=k（x+）+b③斜率k的性质：平移k不变；|k|越大，直线的倾斜程度越大；k=【可用于待定系数法求解析式中的k 1④截距b的性质：与y轴交点（0, b）,与x轴交点（, 0）⑤四种特殊位置关系的直线：两直线平行k相等；两直线相互垂直--> k1 • k2= -1 ；两直线关于x轴对称--> k与b均互为相反数；两直线关于y轴对称k互为相反数，b相等.⑥点（x0, y0）到直线ax+by+=0的距离d公式：d=（三）一次函数的应用1、解题关键：点的坐标，尤其是交点的坐标三种交点：①与x轴交点，y坐标为0,即（x, 0）②与y轴交点，x坐标为0,即（0, y）③两个图象的交点：联立解析式，方程组的解即为交点的x坐标和y坐标2、解题思路：①与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】②求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中k、b注意利用性质求得.【待定系数法思路：几个未知系数，就用几个条件构造方程】③比较大小的三种方法：【含两种方案的比较问题】代入计算法（对函数解析式已知的题目适用）增减性分析法（对k的符号已知的适用）图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析）④最值问题（如最大利润）：先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）；再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成y=kx+b 的形式），最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值.⑤行程问题（常以两车同向或相向为背景）图象交点的意义：两车相遇(或追上)两车的距离即为：s=y1-y2例题1、已知直线y=(k+2)x+k2-4 的图象经过原点，贝U k=.2、若一次函数y=(k+2)x-2k+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是.3、已知直线平行于直线y=2x，且与y轴交点到原点的距离为2,则该直线的解析式是.4、把直线y=-x+3向上平移个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则的取值范围是.5、函数y=ax-2与y=bx+3的图象交于x轴上的一点，则=.6、一次函数y=(3a-7)x+a-2 的图象与y轴交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，求a的取值范围.7、正比例函数y=-kx的图象经过第一三象限，在函数y=(k-2)x 的图象上有三个点(x1 , y1 )、(x2, y2)、(x3, y3), 且x1 >x2 > x3时，贝» y1、y2、y3的大小关系为.&若直线y=kx+b交坐标轴于(-2,0) 、(0,3)两点，则不等式kx+b > 0的解集是.9、函数y= -x+3，当图象在第一象限时，x的取值范围是；当-1 < x < 3时，函数的最小值是.10、直线AB过点A (0,6 )、B (-3,0 ),直线D与直线AB相互垂直，且过点（0,1 ）.（1）求两直线的解析式；（2）求直线D与x轴的交点D 的坐标；（3）求直线AB上到y轴距离等于4的点的坐标；（4）求两直线的交点P的坐标；（5）求厶PAD的面积；（6）在y 轴上的是否存在点，使得S A PA=S^ PAD.11、点A为直线y=-2x+2上的点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为.12、把Rt △ AB放在平面直角坐标系中，点A （1,0 ）、点B（ 4,0 ）, / AB=90°, B=5.将厶AB沿x轴向右平移，当点落在直线y=2x-6上时，求线段B扫过的面积.13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x （单位：台）102030y （单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的50取值范围；(2)市场调查发现，这种机器每月销售量z (台)与售价a (万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润. (注：利润=售价-成本)14、现从A, B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A, B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨.(1) 设从A地往甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB(2) 设总运费为元，请写出与x的函数关系式；(3) 共有多少种运送方案？哪种方案运费最少？15、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1 (k),出租车离甲地的距离为y2 ( k),客车行驶时间为x ( h), y1 , y2 与x 的函数关系图象如图所示：(1)根据图象，求出y1 , y2关于x的函数关系式。
二次函数全部知识点及典型例题(全)
二次函数一．复习1.函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值. 要点诠释：对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.2.函数的三种表示方法表示函数的方法，常见的有以下三种：（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.对照表如下：二．二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．例1.下列函数一定是二次函数的是__________.①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x 2 例2.若是221(3)2a a y a x --=--二次函数，则a=__________例 3.中的二次项系数=__________,一次项系数=__________,常数项=__________.例4.边长为12 cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长x cm 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm 2)与x(cm)之间的函数关系式为_______________．例 6.某地绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在当地收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）c bx ax y ++=2xy 3-=1342+-=x x y c bx x m y ++-=2)1(2y =(2x -1)-6a b c练习：1.下列函数中是二次函数的有（ ）个.（1）1y x x=+；（2)y=3(x-1)2＋2；（3)y=(x+3)2-2x 2；（4) 21y x x =+ A.4 B.3 C.2 D.1 2．当m= 时，函数y=（m ﹣1）x |m|+1是二次函数．3.若267(1)m m y m x-+=-是二次函数，则m 的值是( )．A.5B.1C.1或5D.以上都不对.4.将化成二次函数的一般式是：________________.5.一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S 与底面半径r 之间的函数关系式___________________.6.（2014秋·温岭市校级月考） 已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每周可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件.假设涨价x 元，求每周的利润y （元）与涨价x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.(23)(1)3y x x =+--三．二次函数的图像及性质：二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象：二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来. 要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值. （2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质x y要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：a 2(0)y ax c a =+≠例1．二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1的图象交于点P（1，m）（1）求a，m的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．例2．已知y=(m+1)x 2m m +是二次函数且其图象开口向上,求m 的值和函数解析式例3．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线．例4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题．2132y x =-+2y x =-21y x =-+(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________． 练习：1.下列函数中，当x ＜0时，y 值随x 值的增大而增大的是（ ） A. B. C. D.2.在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（ ）．A ．关于y 轴对称，抛物线的开口向上B ．关于y 轴对称，抛物线的开口向下21y x =-+2y x =-21y x =-+21y x =-+25y x =212y x =-2y x =213y x =22y x =22y x =-212y x =C ．关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点D ．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点3.抛物线y=2x 2+1的对称轴是（ ） A ．直线x=B.直线x=﹣ C ．y 轴 D ． x轴4.已知抛物线的解析式为y ＝-3x 2，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________，当x ＞0时，y 随x 的增大而________．5.函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．6.抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．7.已知直线与x 轴交于点A ，抛物线的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；2y x =212y x =23y x=2y ax c =+23y x =1y x =+22y x =-(2)若点B(，)，C(，)在抛物线C 上，且，试比较，的大小．8．（2014春·牙克石市校级月考）函数y=ax 2 (a ≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)． (1)求a 和b 的值；(2)求抛物线y=ax 2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3)x 取何值时，y 随x 的增大而增大?(4)求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质 1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质1x 1y 2x 2y 1212x x -<<1y 2y2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：2()+(0y a x h k a =-≠）⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或例1．将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k，h k c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(222(1)3y x =-+(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向； (3)以x 轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．例2.二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．例3．将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，抛物线解析式为______________.例4．已知抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线； （1）求出a ，h ，k 的值；（2）在同一直角坐标系中，画出与的图象； （3）观察的图象，当________时，y 随x 的增大而增大；当________时，函数y 有最________值，最________值是________；（4）观察的图象，你能说出对于一切的值，函数y 的取值范围吗？21(3)42y x =-+212y x=212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+x x y =2()y a x h k =-+x例5．二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点．（1）确定二次函数与直线AB 的解析式．（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．练习：1.抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(2，-3)B ．(-2，3)C ．(2，3)D ．(-2，-3) 2.函数y=x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（ ）A.y=(x －1)2+2 B.y=(x －1)2+ C.y=(x －1)2－3 D.y=(x+2)2－1 3．抛物线y=x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )2(2)3y x =-+-21212121212121A.y=(x+3)2－2 B.y=(x －3)2+2 C.y=(x －3)2－2 D.y=(x+3)2+2 4．把二次函数配方成顶点式为（ ）A ．B ．C ．D ．5．由二次函数，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线C ．其最小值为1D ．当时，y 随x 的增大而增大6．（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（ ）.A. B. C. D.7. 把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．（1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．21212121122--=x x y 2)1(-=x y 2)1(2--=x y 1)1(2++=x y 2)1(2-+=x y 22(3)1y x =-+3x =-3x <2()y a x h k =-+21(1)12y x =-+-2()y a x h k =-+二次函数与之间的相互关系：1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式．对照，可知，．∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 要点诠释：1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是2(0)y ax bx c a =++≠=-+≠2()(0)y a x h k a 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2()y a x h k =-+2b h a=-244ac b k a -=2y ax bx c =++2bx a=-24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2bx a=-，可以当作公式加以记忆和运用． 2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．二次函数的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠2y ax bx c =++二次函数的图象与性质2(0)=++≠y ax bx c aa<a>02.二次函数图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系20()y ax bx c a =++≠要点四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，；当x ＝x 1时，，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，时y 值的情况．例1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．例2.把一般式化为顶点式．2(0)y ax bx c a =++≠2b x a =-244ac b y a-=最值2ba-2bx a=-244ac b y a-=最值222y ax bx c =++最大值211y ax bx c =++最小值2bx a=-2142y x x =-+-2286y x x =-+-（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标.例3．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b ；③抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）；④abc ＞0．其中正确的结论是 （填写序号）．例4．求二次函数的最小值.例5.已知二次函数的图象过点P(2，1)．（1）求证：； （2）求bc 的最大值．例6. 抛物线与y 轴交于(0，3)点：211322y x x =++21y x bx c =+++24c b =--2(1)y x m x m =-+-+(1)求出m 的值并画出这条抛物线； (2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？ (4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小练习：1. 将二次函数化为的形式，结果为（ ）．A ．B ．C ．D ． 2．已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 3．若二次函数配方后为，则b 、k 的值分别为（ ）．A ．0，5B ．0，1C ．-4，5D ．-4，14．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b 、c 的值为（ ）． A .b=2，c=2 B . b=2，c=0 C . b= -2，c= -1 D . b= -3，c=25.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+223y x x =-+2()y x h k =-+2(1)4y x =++2(1)4y x =-+2(1)2y x =++2(1)2y x =-+2y ax bx c =++0a >0c <240b ac -<0a b c ++>25y x bx =++2(2)y x k =-+2y x bx c =++223y x x =--的值( )A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q 两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A. B. C. D.7.如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴.第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是__________第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是_________8．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ． （1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)； (3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．例1. 已知抛物线c bx ax y 2++=经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.例2. 形状与抛物线y=2x 2﹣3x +1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为 ． 例3. 已知抛物线c bx ax y 2++=的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.例4.已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1）求二次函数的解析式；（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．练习：1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.2．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．3．（2016•丹阳市校级模拟）抛物线的图象如图，则它的函数表达式是．当x时，y＞0．4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．(1)求二次函数解析式；(2)求△ABC的面积．5．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．。
初二数学函数基本概念笔记及习题
Si
固定不变的量不
常量
可以取不同的值 r
变量
1 函数定义
g 在一个变化过程中 有两个变量ㄨ和 若对于每一个x 的值 y有唯一的确定的值与之对应 y是x的函数 x是自变量
判断出数
y是不是力的函数
y有唯一确定的值与力值对应
eg ly1 5 X 和 X都不是函数
解析 对我 的个值 g都有不止一个数与之对应
3种表示出数的方法
①解析法
y2 1
②图表法 ③ 图象法
j i iii
g
I
i
o
x
1 概念
一次出数
z 图象
形状 位置
与坐标上的点
蝲 懼䨻瞓 䲜
4点的特征
- 一次函数
1.一般地 函数ykxtblk to是常数 且12刊 叫做一次出数
ykxlk 2 函数
是常数 且 知 叫做正比例出数 12叫比例系数 b 0
③ 代入 kb的值
y eg
已知 和 奶 成正比例
之间的 函数关系式是
并且ㄨ 1.58 y 以16
那么y与 X
解析
没y冰心引 当心 g 8代入
i 8 412 i kz
则 y 2 X 13
i y2 6
eg 已知gytg 并且ㄨ 1时 y
y 与力成正比例
4 X 2时 55
yz与加成正比例
求当仁 4时g 的值
一次函数
正比例函数
正比例函数是一次函数的特例
但一次函数不一定是正比例出数
概念椮
剳 喤 eg
2
1m D x
正比例出数 则m的值为
解析
2-昨 1
m 1 to
i mt
初二函数知识点及经典例题汇编
第十八章 函数一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。
*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
（二）一次函数 1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
八年级(人教版)函数知识点总结
八年级(人教版)函数知识点总结1. 函数的概念1.1 函数的定义- 函数是一种具有特定输入和输出的关系。
1.2 函数的表示方法- 显式函数表达式- 隐式函数表达式- 函数图像2. 函数的性质2.1 奇偶性- 如果对于任何$x$，都满足$f(-x) = f(x)$，则称函数为偶函数。
- 如果对于任何$x$，都满足$f(-x) = -f(x)$，则称函数为奇函数。
2.2 周期性- 如果对于任何$x$，都满足$f(x+T) = f(x)$，则称函数为周期函数。
2.3 单调性- 如果对于$x_1 < x_2$，都满足$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数为单调递增。
- 如果对于$x_1 < x_2$，都满足$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数为单调递减。
3. 函数的基本图像与简单变形3.1 常函数$f(x) = C$3.2 一次函数$f(x) = kx + b$3.3 二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a\neq 0$ 3.4 绝对值函数$f(x) = |x|$3.5 倒数函数$f(x) = \frac{1}{x}$3.6 反比例函数$f(x) = \frac{k}{x}$，其中$k\neq 0$ 4. 函数的运算4.1 函数的和、差、积、商- 设$f(x)$和$g(x)$是定义域为$D$的函数，则：- 和函数：$(f+g)(x) = f(x)+g(x)$，$D_{f+g} = D_f \cap D_g$ - 差函数：$(f-g)(x) = f(x)-g(x)$，$D_{f-g} = D_f \cap D_g$- 积函数：$(f\times g)(x) = f(x)\times g(x)$，$D_{f\times g} = D_f \cap D_g$- 商函数：$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$，$D_{\frac{f}{g}} = \{x\in D_f \cap D_g|g(x)\neq 0\}$4.2 复合函数- 设$f(x)$和$g(x)$是定义域为$D$的函数，则：- $(f\circ g)(x) = f(g(x))$，$D_{f\circ g} = \{x\in D_g|g(x)\in D_f\}$5. 函数的应用5.1 解方程- 通过函数图像的交点来求解方程。
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题本节知识点详解：1.函数的奇偶性奇偶性定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个偶函数x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数。
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个奇函数x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。
2.函数的周期性1) 周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。
2) 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
重要结论：1.函数奇偶性的四个重要结论1) 如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2) 如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)。
3) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性。
4) 奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。
5) 运算性质：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“XXX”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇。
2.函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；2) 若f(x＋a)＝f(x)，则T＝2a；3) 若f(x＋a)＝－1/f(x)，则T＝2a.(a>0)3.函数对称性的三个常用结论1) 若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；2) 若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；3) 若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称。
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第十八章 函数一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。
*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
（二）一次函数 1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；图象Ox y yx OOx yyx OOx yyxO性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b ），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限 经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限 经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质 正比例函数一次函数概 念一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量 范 围 X 为全体实数 图 象 一条直线必过点 （0，0）、（1，k ）（0，b ）和（-kb，0） 走 向k>0时，直线经过一、三象限； k<0时，直线经过二、四象限k ＞0，b ＞0,直线经过第一、二、三象限 k ＞0，b ＜0直线经过第一、三、四象限 k ＜0，b ＞0直线经过第一、二、四象限 k ＜0，b ＜0直线经过第二、三、四象限增减性 k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升） k<0，y 随x 的增大而减小。
（从左向右下降） 倾斜度 |k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 图像的 平 移b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位； b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.6、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x ky =还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。
⑷函数y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序）③ 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
45. 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。
7. 反比例函数的应用二、例题【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xky =，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0<k 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<=-=0211k k k 或1-=∴k1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为xy 1-=【例2】在反比例函数x y 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >> 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。
解法一：由题意得111x y -=，221x y -=，331x y -= 3210x x x >>> ，213y y y >>∴所以选A解法二：用图像法，在直角坐标系中作出xy 1-=的图像描出三个点，满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A 解法三：用特殊值法213321321321,1,1,211,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数xmn y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 【解析】⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=12132212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线 ⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=∴221111121,122211y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为()11--∴，另一个点为【例4】 如图，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与双曲线xmy =在第一象限的交点，且2=∆AOB S ，则m 的值是_____.图解:因为直线m x y +=与双曲线xmy =过点A ,设A 点的坐标为()A A y x ,. 则有AA A A x my m x y =+=,.所以A A y x m =. 又点A 在第一象限,所以A A A A y y AB x x OB ====,.所以m y x AB OB S A A AOB 212121==•=∆.而已知2=∆AOB S . 所以4=m . 三、练习题1.反比例函数xy 2-=的图像位于（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限oy xy xoy xoy xoA B C D2.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）A 、正比例函数B 、反比例函数C 、一次函数D 、不能确定 3.如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为（ ）4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）A 、不小于54m 3B 、小于54m 3C 、不小于45m 3D 、小于45m 35．如图 ，A 、C 是函数xy 1=的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记RtΔAOB 的面积为S 1，Rt ΔCOD 的面积为S 2则 （ ） A ． S 1 ＞S 2 B ． S 1 <S 2C ． S 1=S 2D ． S 1与S 2的大小关系不能确定6．关于x 的一次函数y=-2x+m 和反比例函数y=1n x+的图象都经过点A （-2，1）.求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B 的坐标；（3）△AOB 的面积．OyxABCD7. 如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝kx的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（12，m）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．8．某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？（3）写出t与Q的关系式．（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.（1）请写出y关于x的函数关系式；（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？10．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数my x=的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。