二次函数综合复习课教案

二次函数综合复习课
一、教学目标：（1）使学生进一步理解二次函数解析式的求法，通过例题讲解，使学生了解二次函数与已
学过有关知识之间的联系
（2）全面回顾平行四边形，相似形的判定，一元二次方程的解法。

二、重点、难点：几何图形在二次函数中综合运用。

三、教学过程：
1、复习
（1）、二次函数解析式的三种求法；
（2）、平行四边形的判定、矩形的判定；
（3）、一元二次方程的解法。

2、例题分析与讲解：
如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（，），对称轴为直线x=﹣，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得CD=EF．这样四边形CDEF两
组对边分别对应相等，所以四边形CDEF是平行四边形；
（3）根据已知条件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以证明矩形PMON是正方形．这样点P 就是抛物线y=x2+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点，联立解析式解方程组，分别求出点P的坐标．符合题意的点P有四个，在四个坐标象限内各一个．
解答：（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+）2+k，
∵点A（0，﹣3），B（，）在抛物线上，
∴，
解得：a=1，k=．
∴抛物线的解析式为：y=（x+）2=x2+x﹣3．
（2）证明：如右图，连接CD、DE、EF、FC．
∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴四边形PMON为矩形，
∴PM=ON，PN=OM．
∵PC=MP，OE=ON，
∴PC=OE；
∵MD=OM，NF=NP，
∴MD=NF，
∴PF=OD．
在△PCF与△OED中，
∴△PCF≌△OED（SAS），
∴CF=DE．
同理可证：△CDM≌△FEN，
∴CD=EF．
∵CF=DE，CD=EF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
（3）解：假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形．
设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=m，MC=m，MD=n，PF=n．
若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，
∴，即，化简得：m2=n2，
∴m=n，即矩形PMON为正方形．
∴点P为抛物线y=x2+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点．
联立，
解得，，
∴P1（，），P2（﹣，﹣）；
联立，
解得，，
∴P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）．
∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐
标分别为：P1（，），P2（﹣，﹣），P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）．
点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、相似三角形、解方程、矩形、正方形等知识点，所涉及的考点较多，但难度均匀，是一道好题．第（2）问的要
点是全等三角形的证明，第（3）问的要点是判定四边形PMON必须是正方形，然后列方程组求解．：
练习：课后作业：
如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
二次函数综合题．
如解答图所示：
（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；
（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；
（3）首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可．
解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．
∵在△AOB与△CDA中，
∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（3，1）．
∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，
∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．
（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．
∴S△ABC=AB2=．
设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴，
解得k=﹣，b=2，
∴y=﹣x+2．
同理求得直线AC的解析式为：y=x﹣．
如答图1所示，
设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．
由题意得：S△CEF=S△ABC，
即：EF•h=S△ABC，
∴（﹣x）•（3﹣x）=×，
整理得：（3﹣x）2=3，
解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），
∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．
（3）存在．
如答图2所示，
过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．
过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．
过点P作PH⊥x轴于点H，则易证△PAH≌△BCG，
∴PH=BG=1，AH=CG=3，
∴OH=AH﹣OA=2，
∴P（﹣2，1）．
抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．
∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．
点评：是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．。