量子力学习题答案.
量子力学习题和答案
量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。
（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令K＝i （∧F∧G-∧G∧F），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。
（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。
（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋 /2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S Hˆˆω=H＝ω∧zS +ν∧xS （ω，ν>0，ω»ν）（a ）求能级的精确值。
（b ）视ν∧xS 项为微扰，用微扰论公式求能级。
4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x<a ）中运动，处于基态。
写出能级和波函数，并计算平均值x ，x p ，x xp5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。
已知单粒子“轨道”态只有3种：aψ(→r )，bψ(→r )，cψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
（i ）无自旋全同粒子。
（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。
量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。
力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。
（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ∆＝1±，m ∆＝0,1±，s m ∆＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。
（b ）∧Fψ＝λψ，ψ∧F＝λψK ＝ψ∧Kψ＝iψ∧F ∧G-∧G ∧F ψ＝i λ｛ψ∧Gψ-ψGψ｝＝0（c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0∴<∧F 2+∧G2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧H ＝ω∧zS +ν∧xS ＝2ω［1001-］+2ν［0110］＝2［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a］＝0，︱λωννλω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0λ＝±22νω+，E 1＝-222νω+，E 2＝222νω+当ω»ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22E 1≈-2［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧zS +ν∧xS ＝∧H 0+∧H ’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧xS ∧H本征值为ω21±，取E 1（0）＝-ω21，E 2（0）＝ω21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01]则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H＝ν21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω21+0-ων 2241＝-ω21-ων241E 2＝E 2（0）+'22H+)0(1)0(22'12E E H -＝ω21+ων2414、E 1＝2222maπ，)(1x ψ＝⎪⎩⎪⎨⎧0sin 2ax aπ a x x ax ≥≤<<,00x ＝dxx a⎰021ψ＝2sin22a dx a xx aa=⎰πxp ＝-i ⎰=adx dxd 011ψψ-i⎰=aaxd a2)sin21(2πxxp ＝-i⎰⎰-=aaa xd axx ai dx dxd x11)(sinsin2ππψψ＝⎰-aaxxd ai 02)(sin1π＝sin[12aa x x ai π --⎰adx ax2]sinπ＝0+⎰=ai dx ih2122ψ 四项各5分 5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。
量子力学基础试题及答案
量子力学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，物质的波粒二象性是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 德布罗意D. 海森堡答案：C2. 量子力学的基本原理之一是不确定性原理，该原理是由哪位科学家提出的？A. 玻尔B. 薛定谔C. 海森堡D. 狄拉克答案：C3. 量子力学中，描述粒子状态的数学对象是：A. 波函数B. 概率密度C. 动量D. 能量答案：A4. 量子力学中，哪个方程是描述粒子的波动性质的基本方程？A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 牛顿第二定律D. 相对论方程答案：A5. 量子力学中，哪个原理说明了粒子的波函数在测量后会坍缩到一个特定的状态？A. 叠加原理B. 波函数坍缩原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 在量子力学中，粒子的动量和位置不能同时被精确测量，这一现象被称为______。
答案：不确定性原理2. 量子力学中的波函数必须满足______条件，以确保物理量的概率解释是合理的。
答案：归一化3. 量子力学中的粒子状态可以用______来描述，它是一个复数函数。
答案：波函数4. 量子力学中的______方程是描述非相对论性粒子的波函数随时间演化的基本方程。
答案：薛定谔5. 量子力学中的______原理表明，不可能同时精确地知道粒子的位置和动量。
答案：不确定性三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。
答案：量子力学与经典力学的主要区别在于，量子力学描述的是微观粒子的行为，它引入了波粒二象性、不确定性原理和量子叠加等概念，而经典力学主要描述宏观物体的运动，遵循牛顿力学的确定性规律。
2. 描述量子力学中的波函数坍缩现象。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当对一个量子系统进行测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变到一个特定的本征态，这个过程是不可逆的，并且与测量过程有关。
量子力学复习题附答案
量子力学复习题附答案1. 量子力学的基本假设是什么？答案：量子力学的基本假设包括波函数假设、态叠加原理、测量假设、不确定性原理、薛定谔方程和泡利不相容原理。
2. 描述态叠加原理的内容。
答案：态叠加原理指出，一个量子系统可以处于多个可能状态的线性组合，即叠加态。
系统的态函数可以表示为这些可能状态的叠加。
3. 测量假设在量子力学中扮演什么角色？答案：测量假设指出，当对量子系统进行测量时，系统会从叠加态“坍缩”到一个特定的本征态，其概率由波函数的模方给出。
4. 不确定性原理如何表述？答案：不确定性原理表述为，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，它们的不确定性的乘积总是大于或等于某个常数，即 $\Delta x\Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$。
5. 薛定谔方程的形式是什么？答案：薛定谔方程的形式为 $i\hbar\frac{\partial}{\partialt}\Psi(r,t) = \hat{H}\Psi(r,t)$，其中 $\Psi(r,t)$ 是波函数，$\hat{H}$ 是哈密顿算符，$\hbar$ 是约化普朗克常数。
6. 泡利不相容原理的内容是什么？答案：泡利不相容原理指出，一个原子中不能有两个或更多的电子处于相同的量子态，即具有相同的一组量子数。
7. 什么是波函数的归一化？答案：波函数的归一化是指波函数的模方在整个空间的积分等于1，即$\int |\psi|^2 d\tau = 1$，其中 $d\tau$ 是体积元素。
8. 描述量子力学中的隧道效应。
答案：隧道效应是指粒子通过一个势垒的概率不为零，即使其动能小于势垒的高度。
这是量子力学中粒子波性质的体现。
9. 什么是自旋？答案：自旋是量子力学中粒子的一种内禀角动量，它与粒子的质量和电荷有关，但与粒子的轨道角动量不同。
10. 什么是能级和能级跃迁？答案：能级是指量子系统中粒子可能的能量状态，能级跃迁是指粒子从一个能级跃迁到另一个能级的过程，通常伴随着能量的吸收或发射。
《量子力学》基本概念考查题目以及答案
《量子力学》基本概念考查题目以及答案1. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C2. 海森堡不确定性原理表明了什么？A. 粒子的位置和动量可以同时准确知道B. 粒子的位置和动量不能同时准确知道C. 粒子的速度和动量可以同时准确知道D. 粒子的位置和能量可以同时准确知道答案：B3. 量子纠缠是指什么？A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子的量子态不能独立于彼此描述D. 两个粒子的量子态可以独立于彼此描述答案：C4. 在量子力学中，一个粒子通过一个势垒的隧穿概率是由什么决定的？A. 粒子的能量B. 势垒的宽度C. 势垒的高度D. 所有以上因素答案：D5. 量子力学的基本方程是什么？A. 牛顿第二定律B. 麦克斯韦方程组C. 薛定谔方程D. 热力学第二定律答案：C6. 在量子力学中，一个系统的波函数坍缩通常发生在什么情况下？A. 当系统处于叠加态时B. 当系统被测量时C. 当系统与环境相互作用时D. B 和 C答案：D7. 量子力学中的泡利不相容原理指出，一个原子中的两个电子不能具有完全相同的一组量子数，这主要影响什么？A. 电子的质量B. 电子的自旋C. 电子的能级D. 电子的电荷答案：C8. 量子退相干是什么？A. 量子态的相干性增强的过程B. 量子态的相干性丧失的过程C. 量子态的叠加态减少的过程D. 量子态的不确定性减少的过程答案：B9. 在量子力学中，哪个原理说明了全同粒子不能被区分？A. 泡利不相容原理B. 量子叠加原理C. 量子不确定性原理D. 量子对称性原理答案：D10. 量子力学中的“观测者效应”指的是什么？A. 观测者的存在改变了被观测系统的状态B. 观测者的存在增强了被观测系统的能量C. 观测者的存在减小了被观测系统的不确定性D. 观测者的存在导致了被观测系统的量子坍缩答案：A11. 在量子力学中，一个粒子的波函数通常是复数还是实数？A. 实数B. 复数C. 整数D. 可以是复数也可以是实数答案：B12. 量子力学中的“粒子-波动二象性”指的是什么？A. 粒子有时表现为波动，有时表现为粒子B. 粒子和波动是两种完全不同的实体C. 粒子和波动是同一种实体的不同表现形式D. 粒子的存在需要波动作为媒介答案：C13. 在量子力学中，一个粒子的动量和位置可以同时被准确测量吗？A. 是的，可以同时准确测量B. 不可以，这受到海森堡不确定性原理的限制C. 只有在特定条件下可以D. 只有使用特殊仪器才可以答案：B14. 量子力学中的“超定性”是指什么？A. 系统的状态由多个波函数描述B. 系统的多个性质可以独立测量C. 系统的波函数可以有多个解D. 系统的多个状态可以共存答案：A15. 在量子力学中，一个粒子的自旋是什么？A. 粒子旋转的速度B. 粒子的量子态的一个内在属性C. 粒子的角动量D. 粒子的动能答案：B16. 量子力学中的“测量问题”指的是什么？A. 如何测量量子系统的尺寸B. 如何测量量子系统的动量C. 测量过程如何影响量子系统的状态D. 测量结果的统计性质答案：C17. 量子力学中的“波函数坍缩”是指什么？A. 波函数在空间中的扩散B. 波函数在时间中的演化C. 波函数从叠加态突然转变为某个特定的状态D. 波函数的数学表达式变得复杂答案：C18. 在量子力学中，一个系统的能量通常是量子化的，这意味着什么？A. 系统的能量可以连续变化B. 系统的能量可以是任何值C. 系统的能量只能取特定的离散值D. 系统的能量只能增加或减少特定的量答案：C19. 量子力学中的“非局域性”指的是什么？A. 量子系统的状态不能在空间中定位B. 量子系统的状态不能在时间中定位C. 量子系统的状态不受空间距离的限制D. 量子系统的状态不受时间距离的限制答案：C20. 在量子力学中，一个粒子的波函数的绝对值平方代表什么？A. 粒子的总能量B. 粒子的总动量C. 粒子在某个位置被发现的概率密度D. 粒子的电荷密度答案：C这套选择题覆盖了量子力学的多个基本概念，适合用于检验学生对量子力学基础知识的掌握情况。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的基本原理之一是：A. 牛顿运动定律B. 薛定谔方程C. 麦克斯韦方程组D. 热力学第二定律2. 波函数的绝对值平方代表：A. 粒子的动量B. 粒子的能量C. 粒子在某一位置的概率密度D. 粒子的波长3. 以下哪个不是量子力学中的守恒定律？A. 能量守恒B. 动量守恒C. 角动量守恒D. 电荷守恒4. 量子力学中的不确定性原理是由哪位物理学家提出的？A. 爱因斯坦B. 波尔C. 海森堡D. 薛定谔5. 在量子力学中，一个粒子的波函数可以表示为：B. 一个复数C. 一个向量D. 一个矩阵二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述海森堡不确定性原理，并解释其在量子力学中的意义。
2. 解释什么是量子纠缠，并给出一个量子纠缠的例子。
3. 描述量子隧道效应，并解释它在实际应用中的重要性。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 假设一个粒子在一维无限深势阱中，其波函数为ψ(x) = A *sin(kx)，其中A是归一化常数。
求该粒子的能量E。
2. 考虑一个二维电子在x-y平面上的波函数ψ(x, y) = A * e^(-αx) * cos(βy)，其中A是归一化常数。
求该电子的动量分布。
答案一、选择题1. B. 薛定谔方程2. C. 粒子在某一位置的概率密度3. D. 电荷守恒4. C. 海森堡二、简答题1. 海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，其不确定性关系为Δx * Δp ≥ ħ/2，其中ħ是约化普朗克常数。
这一原理揭示了量子世界的基本特性，即粒子的行为具有概率性而非确定性。
2. 量子纠缠是指两个或多个量子系统的状态不能独立于彼此存在，即使它们相隔很远。
例如，两个纠缠的电子，无论它们相隔多远，测量其中一个电子的自旋状态会即刻影响到另一个电子的自旋状态。
3. 量子隧道效应是指粒子在经典物理中无法穿越的势垒，在量子物理中却有一定概率能够穿越。
基本习题及答案_量子力学
量子力学习题(一) 单项选择题1.能量为100ev的自由电子的De Broglie 波长是A. 1.2. B. 1.5. C. 2.1. D. 2.5.2. 能量为0.1ev的自由中子的De Broglie 波长是A.1.3. B. 0.9. C. 0.5. D. 1.8.3. 能量为0.1ev，质量为1g的质点的De Broglie 波长是A.1.4. B.1.9.C.1.17. D. 2.0.4.温度T=1k时，具有动能(为Boltzeman常数)的氦原子的De Broglie 波长是A.8. B. 5.6. C. 10. D. 12.6.5.用Bohr-Sommerfeld的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（）A.. B..C.. D..6.在0k附近，钠的价电子的能量为3ev，其De Broglie波长是A.5.2. B. 7.1. C. 8.4. D. 9.4.7.钾的脱出功是2ev，当波长为3500的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为A. 0.25J. B. 1.25J.C. 0.25J. D. 1.25J.8.当氢原子放出一个具有频率的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为A.. B.. C.. D..pton 效应证实了A.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性.10.Davisson 和Germer 的实验证实了A. 电子具有波动性.B. 光具有波动性.C. 光具有粒子性.D. 电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱中运动，设粒子的状态由描写，其归一化常数C为A.. B.. C.. D..12. 设，在范围内找到粒子的几率为A.. B.. C.. D..13. 设粒子的波函数为，在范围内找到粒子的几率为A.. B..C.. D..14.设和分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态的几率分布为A..B.+.C.+.D.+.15.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限.16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D. A, B, C.17.已知波函数,,,.其中定态波函数是A.. B.和. C.. D.和.18.若波函数归一化，则A.和都是归一化的波函数.B.是归一化的波函数，而不是归一化的波函数.C.不是归一化的波函数，而是归一化的波函数.D.和都不是归一化的波函数.(其中为任意实数)19.波函数、(为任意常数)，A.与描写粒子的状态不同.B.与所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1:.C.与所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是.D.与描写粒子的状态相同.20.波函数的傅里叶变换式是A..B..C..D..21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件:(1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是A. (1)、(3)和(6).B. (2)、(3)、(4)和(5).C. (1)、(3)、(4)和(5).D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6).22.两个粒子的薛定谔方程是A.B.C.D.23.几率流密度矢量的表达式为A..B..C..D..24.质量流密度矢量的表达式为A...C..D..25. 电流密度矢量的表达式为A..B..C..D..26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.27.在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子的能级为A.,B., D..28. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子的能级为A., B., C., D..29. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子的能级为A.,B., C., D..30. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A., B., C., D..31. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子处于第一激发态，其位置几率分布最大处是 A., B., C., D..32.在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的A.能量是量子化的，而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的.33.线性谐振子的能级为A..B..C..D..34.线性谐振子的第一激发态的波函数为,其位置几率分布最大处为A.. B.. C.. D..35.线性谐振子的A.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的.36.线性谐振子的能量本征方程是A..B..C..D..37.氢原子的能级为A..B..C.. D..38.在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为A.. B..C.. D..39. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为A.. B..C.. D..40.波函数和是平方可积函数,则力学量算符为厄密算符的定义是A..B..C..D..41.和是厄密算符,则A.必为厄密算符. B.必为厄密算符.C.必为厄密算符.D.必为厄密算符.42.已知算符和,则A.和都是厄密算符. B.必是厄密算符.C.必是厄密算符.D.必是厄密算符.43.自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为A.1.B. 2.C. 3.D. 4.44.二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到函数)A.. B..C.. D.45.角动量Z分量的归一化本征函数为A.. B..C.. D..46.波函数A. 是的本征函数,不是的本征函数.B. 不是的本征函数,是的本征函数.C. 是、的共同本征函数.D. 即不是的本征函数,也不是的本征函数.47.若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为A. 3.B. 6.C. 9.D. 12.48.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.49一粒子在中心力场中运动,其能级的简并度为,这种性质是A. 库仑场特有的.B.中心力场特有的.C.奏力场特有的.D.普遍具有的.50.对于氢原子体系,其径向几率分布函数为,则其几率分布最大处对应于Bohr原子模型中的圆轨道半径是 A.. B.. C.. D..51.设体系处于状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A.. B..C.. D..52.接51题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为A.. B.. C.. D..53. 接51题,该体系的角动量Z分量的取值及相应几率分别为A.. B..C.. D..54. 接51题,该体系的角动量Z分量的平均值为A.. B.. C.. D..55. 接51题,该体系的能量的平均值为A..B..C.. D..56.体系处于状态,则体系的动量取值为A.. B.. C.. D..57.接上题,体系的动量取值几率分别为A. 1,0.B. 1/2,1/2.C. 1/4,3/4/ .D. 1/3,2/3.58.接56题, 体系的动量平均值为A.. B.. C.. D..59.一振子处于态中,则该振子能量取值分别为A.. B..C.. D..60.接上题,该振子的能量取值的几率分别为A.. B.,.C.,. D..61.接59题,该振子的能量平均值为A. .B..C.. D..62.对易关系等于(为的任意函数) A..B..C.. D..63. 对易关系等于A.. B..C.. D..64.对易关系等于A.. B.. C.. D..65. 对易关系等于A.. B.. C.. D..66. 对易关系等于A.. B.. C.. D..67. 对易关系等于A.. B.. C.. D..68. 对易关系等于A.. B.. C.. D..69. 对易关系等于A.. B.. C.. D..70. 对易关系等于A.. B.. C.. D..71. 对易关系等于A.. B.. C.. D..72. 对易关系等于A.. B.. C.. D..73. 对易关系等于A.. B.. C.. D..74. 对易关系等于A.. B.. C.. D..75. 对易关系等于A.. B.. C.. D..76. 对易关系等于A.. B.. C.. D..77.对易式等于A.. B.. C.. D..78. 对易式等于(m,n为任意正整数) A.. B.. C.. D..79.对易式等于A.. B.. C.. D..80. .对易式等于(c为任意常数) A.. B.. C.. D..81.算符和的对易关系为,则、的测不准关系是A.. B..C.. D..82.已知,则和的测不准关系是 A.. B..C.. D..83. 算符和的对易关系为,则、的测不准关系是A..B..C..D..84.电子在库仑场中运动的能量本征方程是A..B..C..D..85.类氢原子体系的能量是量子化的,其能量表达式为A.. B..C.. D..86. 在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子,其状态为,则在此态中体系能量的可测值为A., B.,C., D..87.接上题,能量可测值、出现的几率分别为A.1/4,3/4.B. 3/4,1/4.C.1/2, 1/2.D. 0,1.88.接86题,能量的平均值为A., B., C., D..89.若一算符的逆算符存在,则等于A. 1.B. 0.C. -1.D. 2.90.如果力学量算符和满足对易关系, 则A.和一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.B.和一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C.和不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D.和不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.91.一维自由粒子的能量本征值A. 可取一切实数值.B.只能取不为负的一切实数.C.可取一切实数,但不能等于零.D.只能取不为正的实数.92.对易关系式等于A.. B..C.. D..93.定义算符, 则等于A.. B.. C.. D..94.接上题, 则等于A.. B.. C.. D..95. 接93题, 则等于A.. B.. C.. D..96.氢原子的能量本征函数A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z分量算符的共同本征函数.97.体系处于态中,则A.是体系角动量平方算符、角动量Z分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z分量算符的本征函数.D.即不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z分量算符的本征函数.98.对易关系式等于A.. B.C.. D..99.动量为的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是,它在动量表象中的表示是A.. B.. C.. D..100.力学量算符对应于本征值为的本征函数在坐标表象中的表示是A.. B.. C.. D..101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为,其中、是其能量本征函数,则在能量表象中的表示是A..B..C..D..102.线性谐振子的能量本征函数在能量表象中的表示是A.. B.. C.. D..103. 线性谐振子的能量本征函数在能量表象中的表示是A.. B..C.. D..104.在()的共同表象中,波函数,在该态中的平均值为A.. B.. C.. D. 0.105.算符只有分立的本征值,对应的本征函数是,则算符在表象中的矩阵元的表示是A..B..C..D..106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是A. 以本征值为对角元素的对角方阵.B. 一个上三角方阵.C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符在动量表象中的微分形式是A.. B.. C.. D..108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是 A.. B..C.. D..109.在表象中,其本征值是A.. B. 0. C.. D..110.接上题,的归一化本征态分别为 A.. B..C.. D..111.幺正矩阵的定义式为 A.. B.. C.. D..112.幺正变换A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢. 113.算符,则对易关系式等于A.. B..C.. D..114.非简并定态微扰理论中第个能级的表达式是(考虑二级近似)A..B..C..D..115. 非简并定态微扰理论中第个能级的一级修正项为A.. B.. C.. D..116. 非简并定态微扰理论中第个能级的二级修正项为A.. B..C.. D..117. 非简并定态微扰理论中第个波函数一级修正项为A..B..C..D..118.沿方向加一均匀外电场,带电为且质量为的线性谐振子的哈密顿为A..B..C..D..119.非简并定态微扰理论的适用条件是 A.. B..C.. D..120.转动惯量为I，电偶极矩为的空间转子处于均匀电场中,则该体系的哈密顿为A.. B..C.. D..121.非简并定态微扰理论中,波函数的一级近似公式为A..B..C..D..122.氢原子的一级斯塔克效应中,对于的能级由原来的一个能级分裂为A. 五个子能级.B. 四个子能级.C. 三个子能级.D. 两个子能级.123.一体系在微扰作用下,由初态跃迁到终态的几率为A..B..C..D..124.用变分法求量子体系的基态能量的关键是A. 写出体系的哈密顿.B. 选取合理的尝试波函数.C. 计算体系的哈密顿的平均值.D. 体系哈密顿的平均值对变分参数求变分. 125.Stern-Gerlach实验证实了A. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋. 126.为自旋角动量算符,则等于A.. B.. C..D..127.为Pauli算符,则等于A.. B.. C.. D..128.单电子的自旋角动量平方算符的本征值为A.. B.. C.. D..129.单电子的Pauli算符平方的本征值为 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.130.Pauli算符的三个分量之积等于A. 0.B. 1.C.. D..131.电子自旋角动量的分量算符在表象中矩阵表示为A.. B..C.. D..132. 电子自旋角动量的y分量算符在表象中矩阵表示为A.. B..C.. D..133. 电子自旋角动量的z分量算符在表象中矩阵表示为A.. B..C.. D..134.是角动量算符,,则等于A.. B.. C. 1 . D. 0 .135.接上题,等于A.. B.. C.. D. 0.136.接134题,等于A.. B.. C.. D. 0.137.一电子处于自旋态中,则的可测值分别为A.. B..C.. D..138.接上题,测得为的几率分别是A.. B.. C..D..139.接137题,的平均值为A. 0.B..C.. D..140.在表象中,,则在该态中的可测值分别为A.. B.. C.. D..141.接上题,测量。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是量子力学的基本假设？A. 薛定谔方程描述了微观粒子的运动B. 波粒二象性存在C. 粒子的能量只能取离散值D. 电子具有自旋答案：A2. 量子力学中，波函数ψ的物理意义是什么？A. 粒子的位置分布概率幅B. 粒子的动量C. 粒子的自旋D. 粒子的能量答案：A3. 下列哪个是测量厄米算符A的本征值所对应的本征态？A. |A⟩= A|ψ⟩B. A|ψ⟩= λ|ψ⟩C. A|ψ⟩= |ψ⟩D. A|ψ⟩ = 0答案：B4. 对于厄米算符A和B，若它们对易（即[A, B] = 0），则可以同时拥有共同的一组本征态。
A. 正确B. 错误答案：A5. 量子力学中，双缝干涉实验的实验结果说明了下列哪个基本原理？A. 波粒二象性B. 运动不确定性原理C. 量子纠缠D. 全同粒子统计答案：A二、填空题1. 薛定谔方程的一般形式为___________。
答案：iℏ∂ψ/∂t = Hψ2. 微观粒子的自旋可取的两个可能取值是_________。
答案：±1/23. 薛定谔方程描述的是粒子的_________。
答案：波函数4. 在量子力学中，观测算符A的平均值表示为_________。
答案：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩5. 测量量子系统时，波函数会坍缩到观测算符A的_________上。
答案：本征态三、简答题1. 请简要解释波粒二象性的概念及其在量子力学中的意义。
答：波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
在量子力学中，波函数描述了粒子的波动性质，可以通过波函数的模的平方得到粒子在不同位置出现的概率分布。
波粒二象性的意义在于解释了微观世界中一些奇特的现象，例如双缝干涉实验和量子隧穿现象。
2. 请简要说明量子力学中的不确定性原理。
答：量子力学中的不确定性原理由海森堡提出，它表明在同时测量一粒子的位置和动量时，粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，其精度存在一定的限制。
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2.1 如图所示左右0 x设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中其解分别为（1）粒子从左向右运动右边只有透射波无反射波，所以为零由波函数的连续性得得解得由概率流密度公式入射反射系数透射系数（2）粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以为零同理可得两个方程解反射系数透射系数（二）的情形令,不变此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其解分别为由在右边波函数的有界性得为零（1）粒子从左向右运动得得解得入射反射系数透射系数(2)粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以为零同理可得方程由于全部透射过去，所以反射系数透射系数2.2如图所示在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为总透射系数2.3以势阱底为零势能参考点，如图所示（1）∞∞左中右0 a x显然时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为其解是由波函数连续性条件得∴∴相应的因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得所以波函数（2）∞∞左中右0 x显然时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为其解是由波函数连续性条件得当，为任意整数，则当，为任意整数，则综合得∴当时，，波函数归一化后当时，，波函数归一化后2.4如图所示∞左0 a显然在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中其解为由在右边波函数的有界性得为零∴再由连续性条件，即由得则得得除以得再由公式 ,注意到令,其中 ， 不同n 对应不同曲线,图中只画出了在的取值范围之内的部分6 5只能取限定的离散的几个值，则E 也取限定的离散的几个值，对每个E ，确定归一化条件得2.5则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为令则上式可化成令则只有当有解2.6由和已知条件可得第三章3.1能量本征值方程为即分离变量法，令则有令则同理令则式中能级简并度为3.2角动量算符在极坐标系下则由能量本征值方程令其解为由周期性得归一化条件则3.4由能量本征值方程令当令 此时 满足的方程为时时只考虑时令其解分别为由波函数有界性得由波函数连续性得再由公式,注意到令,其中 ， 不同n 对应不同曲线,图中只画出了在的取值范围之内的部分6 5只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值，对每个E，确定归一化条件得 1 可求得3.5同理方差算符则由测不准关系代入，验证该式是成立的第四章4.1在动量表象中，则代入得令得则归一化后的4.5本征方程的矩阵形式上式存在非零解的条件是即解得当再由得当，同样第六章6.3解：在zSˆ表象，nSˆ的矩阵元为γβαcos112cos2cos112ˆ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=iiSn⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=γβαβαγcoscoscoscoscoscos2iiSn其相应的久期方程为cos2)cos(cos2)cos(cos2cos2=--+--λγβαβαλγii即0)cos(cos4cos4222222=+--βαγλ422=-λ)1coscoscos(222=++γβα利用⇒2±=λ所以nSˆ的本征值为2±。
设对应于2=nS的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=baSn)(21χ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-babaii2coscoscoscoscoscos2γβαβαγbbia=-+⇒γβαcos)cos(cosγβαcos1coscos++=ib由归一化条件，得22**),(12121bababa+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==+χχ1cos1coscos222=+++aiaγβα1cos122=+aγ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=)cos1(2coscos1cos1)(21γβαγχiSn2121)cos 1(2cos cos 2cos 110)cos 1(2cos cos 012cos 1)(21-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=χγβαχγγβαγχi i S n同理可求得 对应于2-=n S 的本征函数为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=-)cos 1(2cos cos 2cos 1)(21γβαγχi S n6.1设在的表象下的本征函数为，本征值为 ，在的表象下的本征函数为 ，本征值为由在的表象下的矩阵得方程有非零解的条件为det=0，即 ，的本征值、本征函数有两个当时，代入得由波函数归一化条件得有同理由在的表象下的矩阵得方程有非零解的条件为det =0，即 ，的本征值、本征函数有两个当时，代入得由波函数归一化条件得有同理6.3节的证明题在中心场问题中（即氢原子中电子的状态）（1）当无自旋动量距与轨道动量矩的耦合（即存在算符与算符的相乘项） 电子的哈密顿量为求其本征值时转化为球坐标系下的方程则方程左边可分解为三维表象下的三个方程，三个表象下各自的波函数相乘即是的本征函数。
表象下是阶连带拉盖尔多项式，记作算符的本征值表象下的方程显示的对的作用关系即是算符是球谐函数，是与的共同本征函数表象下是其本征函数为主量子数角量子数轨道量子数自旋量子数（2）当存在自旋动量距与轨道动量矩的耦合电子的哈密顿量为同样求其本征值时转化为球坐标系下的方程表象下也是阶连带拉盖尔多项式表象下的方程显示的对的作用关系即是总动量矩算符，是属于不同自由度的，分别为其分量类似于在轨道角动量矩的性质，具有共同本征函数下面先求的本征函数○1的本征函数为球谐函数的本征函数为则的本征函数为，显然的简并度为属于本征值的本征函数可表示为通过，确定可得表象下的本征函数○2在表象下由求得（以下只要记住就行）时时至此该情况下的本征函数为主量子数角量子数磁量子数内量子数量子力学全书重点1.量子力学三大作用：奠基作用、渗透作用、设计作用2.量子力学中粒子的特点单一粒子具有波粒二象性多粒子体系具有全同性3.量子力学的三大原理：态叠加原理：若波函数，是描述粒子的一些可能态，则这些波函数线性叠加得到的也是描述粒子的可能态测不准原理：对于任意两个不可对易的力学量算符，设其满足，则有对于时间与能量全同性原理：全同系的状态不因交换两个粒子而改变，其运动状态只能用对称或反对称的波函数来描述4.量子力学的三大概率分布概率跃迁概率散射概率5.量子力学的三大景象薛定谔景象随时间变化，不变海森伯景象取时刻，含时互作用景象（狄拉克景象）6.量子力学的三大方程薛定谔方程：含时形式：定态形式：海森伯方程泡利方程7.波函数物理含义：描述微观物体的运动状态，是描述的粒子在体积元内出现的概率性质：连续性，有界性，单值性，归一性厄米算符线性条件：厄米条件：本征函数:正交归一性、完备性具有完备的共同本征函数：两算符必须对易力学量的完备集合1.力学量的数目至少等于系统的自由度2.这一组力学量必须两两对易3.这一组力学量必须相互独立8.常见力学量算符9.力学量的表象与矩阵力学P12210.自旋电子自旋的两个假设1.每个电子都有自旋动量距，在空间任意方向上只能取两个值2.自旋磁距泡利矩阵自旋波函数P176 6.30式11.双粒子系下波函数的形式P205，P20612.散射截面13.。