高一下期数学同步测试一
全国高一高中数学同步测试带答案解析
全国高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列命题正确的是（ ）A ．∁U （∁U P ）={P}B ．若M={1，∅，{2}}，则{2}⊆MC ．∁R Q=QD ．若N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，则N ∈S2.集合A={1，2，3，4}，B ⊊A ，且1∈A∩B ，4∉A∩B ，则满足上述条件的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．83.已知M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}，则M∩N=（ ）A ．{0，1}B ．{（0，1）}C ．{1}D ．以上均不对4.设A={x|2x 2﹣px+q=0}，B={x|6x 2+（p+2）x+5+q=0}，若A∩B={}，则A ∪B 等于（ ）A ．{ ，，﹣4}B ．{，﹣4}C ．{，}D ．{ }5.若A={1，3，x}，B={x 2，1}，A ∪B={1，3，x}，则这样的x 的不同值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1.集合P={（x ，y ）|x+y=0}，Q={（x ，y ）|x ﹣y=2}，则P∩Q=2.若{3，4，m 2﹣3m ﹣1}∩{2m ，﹣3}={﹣3}，则m= ．3.某班级50人，开设英语和日语两门外语课，规定每人至少选学一门，估计报英语的人数占全班80%到90%之间，报日语的人数占全班干32%到40%之间，设M 是两门都学的人数的最大值，m 是两门都学的人数的最小值，则M ﹣m= ．三、解答题1.某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座．求听讲座的人数．2.集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A={a ，b ，c}的不同分拆种数为多少？全国高一高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.下列命题正确的是（ ）A ．∁U （∁U P ）={P}B ．若M={1，∅，{2}}，则{2}⊆MC ．∁R Q=QD ．若N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，则N ∈S【答案】D【解析】根据集合的定义和补集运算法则，集集合子集的性质，对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断； 解：A 、∁U （∁U P ）=p ，∵{P}，∴p ∈{P}，故A 错误；B 、集合M 中的元素，有1和，∅，{2}，知1是数，∅，{2}是集合，∴1和，∅，{2}，不能构成集合B ，故B 错误；C 、∵∁R Q 为无理数集，而Q 为有理数集，故C 错误；D 、∵N={1，2，3}，S={x|x ⊆N}，∴N 的所有子集构成集合S ，∴N ∈S ，故D 正确；故选D ．点评：此题主要考查集合的定义及其元素与集合的关系，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．2.集合A={1，2，3，4}，B ⊊A ，且1∈A∩B ，4∉A∩B ，则满足上述条件的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】利用已知条件确定B 中的元素，以及确定B 中可能的元素，即可推出集合B 的个数．解：集合A={1，2，3，4}，B ⊊A 且1∈A∩B ，4∉A∩B ，所以B={1}；B={1，2}；B={1，3}；B={1，2，3}．则满足上述条件的集合B 的个数是4．故选C ．点评：本题考查元素与集合关系的判断，考查计算能力．3.已知M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}，则M∩N=（ ）A ．{0，1}B ．{（0，1）}C ．{1}D ．以上均不对【答案】C【解析】根据函数值域求得集合M=[1，+∞），N}=（﹣∞，1]，根据集合交集的求法求得M∩N ．解；集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}=[1，+∞），N={y|y=﹣x 2+1，x ∈R}=（﹣∞，1]， ∴M∩N={1}故选C ．点评：此题是个基础题．考查交集及其运算，以及函数的定义域和圆的有界性，同时考查学生的计算能力．4.设A={x|2x 2﹣px+q=0}，B={x|6x 2+（p+2）x+5+q=0}，若A∩B={}，则A ∪B 等于（ ）A ．{ ，，﹣4}B ．{，﹣4}C ．{，}D ．{ }【答案】A【解析】根据A∩B="{" }，得到 ∈A ，B ；即 是方程2x 2﹣ppx+q=0，6x 2+（p+2）x+5+q=0的根，代入即可求得p ，q 的值，从而求得集合A ，集合B ，进而求得A ∪B ．解：∵A∩B="{" }∴∈A ，∴2（ ）2﹣p （ ）+q=0…①又 ∈B∴6（ ）2+（p+2）+5+q=0…②解①②得p=﹣7，q=﹣4；∴A="{" ，﹣4}；B="{" ，}∴A ∪B={﹣4，，}．故选A ．点评：此题是中档题．考查集合的交集的定义和一元二次方程的解法，体现了方程的思想和转化的思想，同时考查了运算能力．5.若A={1，3，x}，B={x2，1}，A∪B={1，3，x}，则这样的x的不同值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据题意得到x2可能等于3或x，所以求出x解的个数即为所求的x个数．解：因为A∪B={1，3，x}，所以x2=3或x∴x=±，0，1（舍去）共3个，所以x有3个．故选C点评：本小题主要考查并集及其运算、方程的解法等基础知识，解答时必须注意集合中元素的互异性．属于基础题．二、填空题1.集合P={（x，y）|x+y=0}，Q={（x，y）|x﹣y=2}，则P∩Q=【答案】{（1，﹣1）}．【解析】根据题意，P∩Q即由集合P={（x，y）|x+y=0}与Q={（x，y）|x﹣y=2}表示的直线的交点，可得，解之即可得出答案．解：由集合P={（x，y）|x+y=0}，Q={（x，y）|x﹣y=2}，∴，解得，∴P∩Q={（1，﹣1）}，故答案为：{（1，﹣1）}．点评：本题考查了交集及其运算，属于基础题，关键是掌握交集的定义．2.若{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3}，则m= ．【答案】1【解析】由题意可得 m2﹣3m﹣1=﹣3，解得 m=1，或 m=2，经检验 m=1满足条件．解：∵{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3}，∴m2﹣3m﹣1=﹣3，解得 m=1，或 m=2．当m="2" 时，2m=4，{3，4，m2﹣3m﹣1}∩{2m，﹣3}={﹣3，4}，故不满足条件，舍去．当 m=1，{3，4，m2﹣3m﹣1}={3，4，﹣3}，{2m，﹣3}={2，﹣3}，满足条件．故答案为 1．点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，注意检验 m的值是否满足条件，这是解题的易错点，属于中档题．3.某班级50人，开设英语和日语两门外语课，规定每人至少选学一门，估计报英语的人数占全班80%到90%之间，报日语的人数占全班干32%到40%之间，设M是两门都学的人数的最大值，m是两门都学的人数的最小值，则M ﹣m= ．【答案】9【解析】根据两门都学的人数的最大值就是有尽可能多的人学习，两门都学的人数的最小值则是尽可能少，求得M和m，从而得出答案即可．解：两门都学的人数的最大值就是有尽可能多的人学习，两门都学的人数的最小值则是尽可能少：故最大：M=（90%+40%﹣100%）×50=15人最小：（80%+32%﹣100%）×50=6人则M﹣m=15﹣6=9．故答案为：9．点评：本小题主要考查交、并、补集的混合运算等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想．属于基础题．三、解答题1.某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座．求听讲座的人数．【答案】172【解析】由于有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，则这三个组共有75+68+61人，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，根据容斥原理可知，听讲座的共有68+75+61﹣（17+12+9）+6人．解：68+75+61﹣（17+12+9）+6=204﹣38+6，=172（人）．答：听讲座的人数172人．故答案为：172点评：A 类和B 类和C 类元素个数总和=A 类元素个数+B 类元素个数+C 类元素个数﹣既是A 类又是B 类的元素个数﹣既是A 类又是C 类的元素个数﹣既是B 类又是C 类的元素个数+既是A 类又是B 类而且是C 类的元素个数．2.集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A={a ，b ，c}的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】考虑集合A 1为空集，有一个元素，2个元素，和集合A 相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，即可求出值．当A 1为A 时，A 2可取A 的任何子集，此时A 2有8种情况，故拆法为8种；总之，共27种拆法．解：当A 1=φ时，A 2=A ，此时只有1种分拆；当A 1为单元素集时，A 2=∁A A 1或A ，此时A 1有三种情况，故拆法为6种；当A 1为双元素集时，如A 1={a ，b}，A 2={c}、{a ，c}、{b ，c}、{a ，b ，c}，此时A 1有三种情况，故拆法为12种； 当A 1为A 时，A 2可取A 的任何子集，此时A 2有8种情况，故拆法为8种；综上，共27种拆法．点评：本题属于创新型的概念理解题，准确地理解拆分的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在．。
高一数学下学期同步测试(1)
高一数学下学期同步测试（1）— 1.1 空间几何体本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分 .共 150 分 .第Ⅰ卷（选择题，共50 分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分）．1．直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成A ．平面B ．曲面C．直线D．锥面（）2．一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成A ．棱锥B ．棱柱C．平面D．长方体（）3．有关平面的说法错误的是（）A．平面一般用希腊字母α、β、γ 来命名，如平面αB．平面是处处平直的面C．平面是有边界的面D．平面是无限延展的4．下面的图形可以构成正方体的是（）A B C D5．圆锥的侧面展开图是直径为 a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）A ．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为 30°的等腰三角形D．其他等腰三角形6．A 、 B 为球面上相异两点，则通过 A 、B 两点可作球的大圆有（）A ．一个B ．无穷多个C．零个D．一个或无穷多个7．四棱锥的四个侧面中，直角三角最多可能有（）A ． 1B ． 2C． 3D． 48．下列命题中正确的是（）A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B．棱锥的高线可能在几何体之外D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥9．长方体三条棱长分别是AA ′ =1， AB=2 ，AD=4 ，则从 A 点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是（）A ． 5B ． 7C．29D．3710．已知集合A= { 正方体平行六面体 } ，则}，B={长方体 }，C={正四棱柱} ，D= { 直四棱柱}，E={棱柱}，F={直（）A．ABCDFE B．ACBFDEC．CABDFE D．它们之间不都存在包含关系第Ⅱ卷（非选择题，共100 分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分） .11．线段 AB 长为 5cm，在水平面上向右平移4cm 后记为 CD ，将 CD 沿铅垂线方向向下移动 3cm 后记为 C′ D′ ,再将 C′ D′沿水平方向向左移4cm 记为 A ′ B′，依次连结构成长方体ABCD — A ′ B ′C′ D′ .①该长方体的高为；②平面 A ′B ′C′ D′与面 CD D ′C′间的距离为；③A 到面 BC C′B′的距离为.12．已知， ABCD 为等腰梯形，两底边为AB,CD 且 AB>CD ，绕 AB 所在的直线旋转一周所得的几何体中是由、、的几何体构成的组合体.13．下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：①如果 A 在多面体的底面，那么哪一面会在上面；②如果面 F 在前面，从左边看是面B，那么哪一个面会在上面；③如果从左面看是面C，面 D 在后面，那么哪一个面会在上面.14．长方体ABCD — A 1B1C1D1中， AB=2 ，BC=3 ，AA 1=5，则一只小虫从 A 点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分)15．（ 12 分）根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起．16．（ 12 分）若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台，此命题是否正确，说明理由．17．（ 12 分）正四棱台上，下底面边长为a，b，侧棱长为 c，求它的高和斜高．18．（ 12 分）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶ 4，母线长10cm.求：圆锥的母长．19．（ 14 分）已知正三棱锥S-ABC 的高 SO=h,斜高 SM=n,求经过 SO 的中点且平行于底面的截面△ A 1B1C1的面积．20．（ 14 分）有在正方形ABCD 中， E、F 分别为 AB 、BC 的中点，现在沿DE、DF及 EF把△ ADE 、△ CDF 和△ BEF 折起，使A、B、 C 三点重合，重合后的点记为P.问：①依据题意制作这个几何体；②这个几何体有几个面构成，每个面的三角形为什么三角形；③若正方形边长为a，则每个面的三角形面积为多少．参考答案（一）一、 DBCCA DDBAB二、 11．① 3CM② 4CM③ 5CM；12．圆锥、圆台、圆锥；13．① F②C③A；14． 5 2 ．三、 15．解： J 与 N，A、M与 D， H与 E，G与 F，B 与 C.16．解：未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，所以看一个几何体是否棱台，不仅要看是否有两个面平行，其余各面是否梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点 . 小结：棱台的定义，除了用它作判定之外，至少还有三项用途：①为保证侧棱延长后交于一点，可以先画棱锥再画棱台；②如果解棱台问题遇到困难，可以将它还原为棱锥去看，因为它是由棱锥截来的；③可以利用两底是相似多边形进行有关推算.17．分析：棱台的有关计算都包含在三个直角梯形OO B B ，OO E E 和BEE B 及两个直角三角形OBE和 O B E 中，而直角梯形常需割成一个矩形和一个直角三角形对其进行求解， 所以要熟悉两底面的外接圆半径（ OB,O B ）内切圆半径（OE, O E ）的差，特别是正三、正四、正六棱台 .略解： h OO B F ， hEEB GBF2(b a) BG1(b a)22hc21(b a) 22 2c 2 (b a) 222hc21b a ) 2 1c 2 ( b a )2(44218．解：设圆锥的母线长为l ，圆台上、下底半径为 r ， R .l 10 r l R l 10 1l4l40( cm)340答：圆锥的母线长为cm.319．解：设底面正三角形的边长为a ，在 RT △SOM 中 SO=h ，SM=n ，所以 OM= n2l 2 ，又 MO= 3 a ，即6a =6n2l 2，sABC3 a 2 3 3(n 2l 2) ，截面面积为33(n 2l 2 ) ．34420．解：①略．②这个几何体由四个面构成，即面 DEF 、面 DFP 、面 DEP 、面 EFP. 由平几知识可知 DE=DF ，∠ DPE=∠ EPF =∠ DPF =90°，所以△ DEF 为等腰三角形，△ DFP 、△ EFP 、△ DEP 为直角三角形 . ③由②可知， DE=DF =5 a,EF= 2 a, 所以， S △DEF=3 a2。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高一下册第一次质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高一下册第一次质量检测数学试题一、单选题1．下列结论中，正确的是（）A ．零向量只有大小没有方向B ．||||AB BA = C ．对任一向量a，||0a > 总是成立的D ．||AB与线段BA 的长度不相等【正确答案】B【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A 错误；由于AB与BA 方向相反，长度相等，故B 正确；因为零向量的模为0，故C 错误；||AB与线段BA 的长度相等，故D 错误．故选：B ．2．如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA共线的向量共有（）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【正确答案】D【分析】根据共线向量的定义与正六边形的性质直接得出.【详解】图中与OA共线的向量有：,,,,,,,,AO BC CB OD DO EF FE AD DA，共9个，故选：D.3．已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =- 与12b e e λ=+共线，则λ=（）A ．2B ．2-C ．12-D ．12【正确答案】C【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.【详解】因为122a e e =- 与12b e e λ=+ 共线，所以k a b =，0k ≠，所以12121212()22=k k e e e e e e e e k λλ-+⇒-=+，因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ=⎧⎨-=⎩，解得12λ=-，故选：C ．4．若复数z 满足(1i)i z -=，则下列说法正确的是（）A ．z 的虚部为1i2B ．z 的共轭复数为11i22z =-+C ．z 对应的点在第二象限D ．1z =【正确答案】C【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几何意义及复数的摸公式即可求解.【详解】由(1i)i z -=，得()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z ⨯+-+====-+--⨯+，对于A ，复数z 的虚部为12，故A 不正确；对于B ，复数z 的共轭复数为11i 22z =--，故B 不正确；对于C ，复数z 对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以复数z 对应的点在第二象限，故C 正确；对于D ，z ==D 不正确.故选：C.5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】B【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.6．已知向量a ，b是两个单位向量，则“,a b ”为锐角是“a b -<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分不必要条件的概念，平面向量数量积的定义与性质即可判断．【详解】 向量a ，b是两个单位向量，∴由,a b 为锐角可得cos ,0a b >，∴-=a b反过来，由a b - 2222a a b b -⋅+<，22cos ,2a b ∴-< ，cos ,0a b ∴>，∴π,0,2⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ a b ，,∴a b 不一定为锐角，故“,a b为锐角”是“a b -<的充分不必要条件，故选：A ．7．已知D ，E 分别是ABC 边AB ，AC 上的点，且满足32AB AD = ，4AC AE = ，BE CD O = ，连接AO 并延长交BC 于F 点．若AO AF λ=，则实数λ的值为（）A ．23B ．25C ．57D ．710【正确答案】D【分析】根据,,D O C 三点共线，可得2233AO k AB k AC ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据,,B O E 三点共线，可求出()114AO AB AC μμ=-+ ，由平面向量基本定理可得2213314k k μμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以可求出AO ，所以知17BF BC = ，再由6177AO AB AC λ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可求出λ的值.【详解】由题意可得，23AO AD DO AB DO =+=+，因为,,D O C 三点共线，则()1233DO k DC k BC BD k AC AB BA k AC AB ⎛⎫⎛⎫==-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22223333AO AB k AC AB k AB k AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理，,,B O E 三点共线，131131444444BO BE BC BA AC AB AB AC AB μμμμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()11144AO AB BO AB AC AB AB AC μμμ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭，所以2213314k k μμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以25110k μ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以31510AO AB AC =+，所以17BF BC = ，所以()1116177777AO AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，6375λ=，所以710λ=故选：D.8．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A ．2-B ．32-C ．3-D ．6-【正确答案】D【分析】建系将向量用坐标表示，转化为关于,x y 式子，以,x y 为独立变量求此式子的最值.【详解】建立直角坐标系如图：则A （0，，B （﹣2，0），C （2，0），设P （x ，y ），则PA=（﹣x ，y ），PB=（﹣2﹣x ，﹣y ），PC =（2﹣x ，﹣y ），所以PA •（PB +PC）=﹣x •（﹣2x ）+（y ）•（﹣2y ）=2x 2﹣+2y 2=2[x 2+（y 2﹣3]；所以当x =0，yPA •（PB +PC）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6．故选：D ．与向量有关的最值或取值范围，常考虑两种方法：（1）若能建系用坐标表示，可转化为关于,x y 式子，用函数或解析几何来求；（2）利用向量几何意义转化为长度和夹角来求，此题就可以用()=2||||cos 6PA PB PC PA PD PA P APD D =∠≥-⋅+⋅⋅求得.二、多选题9．下列关于复数12,z z 的命题中，正确的是（）A ．若120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【正确答案】ABC【分析】根据复数的模、共轭复数的定义及复数代数形式的乘法运算法则判断即可.【详解】解：对于A ：因为120z z -=，则120z z -=，则12z z =，所以12z z =，故A 正确；对于B ：若12z z =，则12z z =，故B 正确；对于C ：令1i z a b =+，2i z c d =+，,,,R a b c d ∈，由12=z z ，所以2222+=+a b c d ，所以1i z a b =-，则()()2121i i z a b z a b a b ⋅=+=+⋅-，同理可得2222z z c d ⋅+=，所以1122z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对于D ：令1i z =，21z =，则121z z ==，但是211z =-、221z =，所以2212z z ≠，故D 错误；故选：ABC10．已知向量(1,2)a = ，(2,6)b = ，ka b + 与2a b +平行，则（）A ．12k =B ．2k =C ．||b =D ．13(2,3)2a b -=【正确答案】ACD【分析】先表示出ka b + ，2a b +，然后根据向量平行的条件列方程求出k ，从而判断AB ；根据向量的模长公式可判断C ，根据向量的减法运算可以判断出D.【详解】依题意可知(2,26)ka b k k +=++ ，2(5,14)a b += ．因为ka b + 与2a b +平行，所以()1425(26)k k +=+，解得12k =，故A 正确，B 错误；b = ()()()133,61,32,32a b -=-=，故CD 正确.故选：ACD11．已知向量,a b在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（）A ．6a b ⋅= B ．向量b 在向量a方向上的投影向量为23aC ．()()a b a b +⊥- D ．若()1,2c =-，则()//c a b- 【正确答案】ABD【分析】利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项【详解】由图可得()()3,0,2,2a b ==，对于A ，326a b ⋅=⨯=，故A 正确；对于B ，向量b 在向量a方向上的投影向量()22,03a b a a aa ⋅⋅==，故B 正确；对于C ，()()5,2,1,2a b a b +=-=-，所以()()()512210a b a b +⋅-=⨯+⨯-=≠，故C 不正确；对于D ，因为()1,2c =- ，()1,2a b -=-，所以()b c a =-- ，故()//c a b - ，故D 正确.故选：ABD12．在边长为4的正方形ABCD 中，P 在正方形（含边）内，满足AP xAB y AD =+，则下列结论正确的是（）A ．若点P 在BD 上时，则1x y +=B ．x y +的取值范围为[]1,4C ．若点P 在BD 上时，22AP AC xAB y AD+=+D ．当P 在线段BD 上时，223x y +的最小值为16【正确答案】AD【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用向量的线性坐标运算逐个分析判断即可.【详解】如图建立平面直角坐标系，则(0,0),(4,0),(4,4),(0,4)A B C D ，设(,)(,[0,4])P m n m n ∈，因为AP xAB y AD =+ ，所以(,)(4,0)(0,4)m n x y =+，所以44m xn y =⎧⎨=⎩，对于A ，由题意可得线段BD 的方程为4x y ''+=，[0,4]x '∈，因为点P 在BD 上，所以4m n +=，因为44m xn y =⎧⎨=⎩，所以4()4m n x y +=+=，所以1x y +=，所以A 正确，对于B ，因为44m x n y =⎧⎨=⎩，所以4()m n x y +=+，所以4m n x y ++=，因为,[0,4]m n ∈，所以[0,8]m n +∈，所以[0,2]x y +∈，所以B 错误，对于C ，因为(,),(4,4)AP m n AC == ，所以(4,4)AP AC m n +=++，因为222(4,0)2(0,4)(8,8)x AB y AD x y x y +=+= ，44m xn y =⎧⎨=⎩，所以22(2,2)x AB y AD m n +=，若22AP AC xAB y AD +=+ ，则4242m m n n +=⎧⎨+=⎩，得44m n =⎧⎨=⎩，因为4m n +=，所以44m n =⎧⎨=⎩不满足，所以22AP AC xAB y AD +=+不成立，所以C 错误，对于D ，222()212333x y x y xy xy++--==2121236x y +⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭≥=，当且仅当12x y ==时取等号，所以当P 在线段BD 上时，223x y +的最小值为16，所以D 正确，故选：AD三、填空题13．已知向量()3,24AB m =- ，()2,4BC =，若A ，B ，C 三点共线，则m =____________．【正确答案】5【分析】由向量共线的坐标表示求解.【详解】由A ，B ，C 三点共线知//AB BC，则()34242m ⨯=-⨯，解得5m =．故5．14．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角45,MAN C ∠=︒点的仰角30CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒，已知山高50m BC =，则山高MN =________m .【正确答案】【分析】通过直角ABC 可先求出AC 的值，在AMC 由正弦定理可求AM 的值，在Rt MNA △中，由AM ，45MAN ∠=︒，从而可求得MN 的值．【详解】在Rt ABC △中，30CAB ∠=︒，50m BC =，所以100m AC =．在AMC 中，75MAC ∠=︒，60MCA ∠=︒，从而45AMC ∠=︒，由正弦定理得，sin 45sin 60AC AM=︒︒，因此506m AM =．在Rt MNA △中，506m AM =，45MAN ∠=︒，得503m MN =．故503．15．已知ABC 内一点P 满足14AP AB AC λ=+，若PCB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，则λ的值为______．【正确答案】512【分析】过点P 作//PM AC ，//PN AB ，根据向量运算和平面向量基本定理可得AM AB λ=，14AN AC =．作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ．根据三角形面积公式结合三角形相似判断可得PAC ABC S S λ=△△，14PAB ABC S S =△△，列方程求λ的值.【详解】如图，过点P 作//PM AC ，//PN AB ，则AP AM AN =+，又14AP AB AC λ=+ ，由平面向量基本定理可得AM AB λ=，14AN AC =．作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H ．又因为PNG BAH ∽△△，所以PG PNBH ABλ==，因为PAC ABC S S λ=△△，同理14PAB ABC S S =△△．因为PCB 的面积与ABC 的面积之比为1:3，所以11143λ++=，解得512λ=．故答案为.51216．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22sin sin sin sin B C A C -=，则12tan +2tan B C的最小值为________．【正确答案】【分析】利用正弦定理及余弦定理可得2cos c a c B =-，再利用正弦定理及三角变换可得()sin sin C B C =-，2B C =，然后利用基本不等式即得.【详解】∵22sin sin sin sin B C A C -=，∴22b c ac -=，22b c ac =+，又2222cos b a c ac B =+-，∴2222cos c ac a c ac B +=+-，即2cos c a c B =-，∴()sin sin 2sin cos sin 2sin cos C A C B B C C B=-=+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-，∴C B C =-或C B C π+-=(舍去)，∴2B C =，∴tan tan02B C =>，∴12tan +22tan B C ≥当且仅当12tan2tan B C=时取等号，故答案为.四、解答题17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A （1，1），B （2，－3）．(1)若()OA OA AB λ⊥+ ，求实数λ的值；(2)设C （－6，k ），若AB ，BC 的夹角为钝角，求实数k 的取值范围．【正确答案】(1)23λ=(2)(5,29)(29,)-⋃+∞【分析】（1）由()OA OA AB λ⊥+ ，得()0OA OA AB λ⋅+= ，则1140λλ++-=，从而可求出实数λ的值，（2）由题意可得0BC AB ⋅< ，则84(3)<0k --+，求出k 的范围，再考虑AB ，BC 共线反向的情况，从而可求出实数k 的取值范围【详解】（1）因为(1,1),(1,4),OA AB ==- ，所以(1,14).OA AB λλλ+=+- 因为()OA OA AB λ⊥+ ，所以()0OA OA AB λ⋅+= ，即1140λλ++-=，解得23λ=．（2）因为(1,4),(8,3)AB BC k =-=-+ ，所以0BC AB ⋅< ，即84(3)<0k --+，解得>5k -．若//AB BC ，则8314k -+=-解得k ＝29．故实数k 的取值范围是(5,29)(29,)-⋃+∞．-18．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,,a b c 22ππsin sin cos cos 66B A A A ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求sin B 的值；(2)若2a =，2b ac =，求ABC 的面积．【正确答案】(1)sin 2B =【分析】（1）根据两角和与差的余弦公式展开，以及同角平方和关系即可求解；（2）根据（1）的结果可分两种情况讨论1cos 2B =或1cos 2B =-，结合余弦定理即可判断ABC 为等边三角形，根据面积公式即可求解.【详解】（1）由22ππsin sin cos cos 66B A A A ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222ππππ31sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin =cos sin 666644B A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则222333sin cos sin 444B A A =+=，且()0,πB ∈，sin B ∴（2）方法一：由（1）得sin B =，()0,πB ∈可得，1cos 2B =或1cos 2B =-由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，当1cos 2B =时，222b a c ac =+-；由2b ac =可得，2220+-=a c ac ，即a c =，此时ABC 为等边三角形，故1sin 2ABC S ac B == 当1cos 2B =-时，222b a c ac =++，由2b ac =可得，220a c +=即0a c ==，不符合要求，所以，ABC方法二：2b ac= 由余弦定理可得，2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a c =时，等号成立即1cos 2B ≥，()0πB ∈，∴π03B ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，由（1）sin B =π3B =且2a c ==，即1sin 2ABC S ac B == 方法三：2b ac= 由正弦定理可得，2sin sin sin B A C =，由（1）可得，3sin sin 4A C =，则3sin sin()4A A B +=，()3sin sin cos cos sin 4A A B A B +=，当1cos 2B =，即π3B =时，13sin sin 24A A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，即213sin cos 224A A A =，进一步得1cos23sin 2444A A -+=，πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππ7π2666A -<-<，即ππ2=62A -，故π3A =于是ABC 为等边三角形，1sin 2ABC S ac B ∆==当1cos 2B =-，即2π3B =时，13sin sin 24A A A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即213sin cos 224A A A -+=，cos21344A A -=，即sin 226A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，推出矛盾；∴综上所述，ABC19．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若222a c acb ++=（1）求角B 的大小；（2）设BC 的中点为D，且AD =，求2a c +的取值范围．【正确答案】（1）23π；（2）.【分析】（1）根据余弦定理的推论即可求出；（2）设BAD θ∠=，在ABD △中利用正弦定理用θ的三角函数值表示出,a c ，再利用三角函数值域的求法即可求出2a c +的取值范围．【详解】（1）因为2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，而0B π<<，所以23B π=（2）如图所示：设BAD θ∠=，则ABD △中，由23B π=可知0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,由正弦定理及AD =22sin sin sin 33BD AB AD ===⎛⎫- ⎪⎝⎭ππθθ，所以4sin a θ=，2sin 3c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ∴124sin 4sin 4sin cos 32a c πθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin 3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知，2,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin ,13πθ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦24]a c ∴+∈.思路点睛：本题第一问直接根据余弦定理的推论即可求出，第二问有两种思路，第一种转化为求2a c +即AB BD +，在ABD △中利用余弦定理以及两边之和大于第三边即可求出；第二种引入角参数θ，由正弦定理用θ的三角函数值表示出,a c ，再利用三角函数值域的求法即可求出2a c +的取值范围，第二种方案可以求解任意形如ma nc +的取值范围，解法更一般．。
2023-2024学年河南省部分学校高一下学期联合教学质量检测数学试卷
2023-2024学年河南省部分学校高一下学期联合教学质量检测数学试卷1.已知向量，，若与垂直，则实数（）A．B．C．D．2.设△的内角A，B，C所对边分别为，b，c，若，，，则（）A．B．C．或D．或3.已知函数，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（）A．B．C．D．4.设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（）A．B．C．D．5.抛掷两枚质地均匀的骰子1次，记“出现点数之和为偶数”，“出现点数之积为偶数”，则（）A．B．C．D．6.样本数据14，16，18，20，21，22，24，28的第三四分位数为（）A．16B．17C．23D．247.中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．8.如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是，，的中点，点P在线段上，平面，则以下错误的是（）A ．与所成角为B ．点P 为线段的中点C ．三棱锥的体积为D ．平面截正方体所得截面的面积为9.已知函数，若函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，为函数图象的一条对称轴，则（）A ．B ．C ．点是函数图象的对称中心D ．将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称10.在中，内角所对的边分别为，则下列结论不正确的是（）A ．若，则B ．若，则是锐角三角形C ．若，则一定为等腰三角形D ．若，则三角形只有1解11.如图，在正方体中，，，，分别是棱，，的中点，是线段上一动点，则下列结论正确的是（）A ．平面平面B ．平面将正方体分成的两个部分的体积比为C ．是异面直线与所成的角D．三棱锥的体积为定值12.已知复数，（为虚数单位），若为纯虚数，则实数_________．13.已知单位向量满足，则__________.14.已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为_______.15.已知角，满足，，且，.(1)求的值；(2)求的大小.16.克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.如图，半圆的直径为2cm，为直径延长线上的点，2cm，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形.(1)当时，求四边形的周长；(2)当在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；(3)若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求的值.17.据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功（如图（1）），标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高.球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底､以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如图（2），设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为.(1)类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式；(2)在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值；(3)已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围.18.为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；(3)已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差.19.如图，平面平面是等腰直角三角形，，四边形ABDE是直角梯形，分别为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线BO和平面所成角的正弦值；(3)能否在EM上找一点，使得平面ABDE?若能，请指出点的位置，并加以证明;若不能，请说明理由．。
2023-2024学年陕西省西安市高一下学期第一次考练数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年陕西省西安市高一下册第一次考练数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（）①有向线段三要素是始点、方向、长度；②向量两要素是大小和方向；③同向且等长的有向线段表示同一向量；④在平行四边形ABCD 中，AB DC =．A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④【正确答案】D【分析】根据有向线段的定义、向量的定义，同一向量的定义逐一判断即可.【详解】由有向线段、向量、同一向量的定义可以判断①②③正确，由平行四边形的性质可知,//AB DC AB DC =，显然④正确，故选：D2．在平行四边形ABCD 中，A (1，2)，B (3，5)，AD ＝(－1，2)，则AC ＋BD＝（）A ．(－2，4)B ．(4，6)C ．(－6，－2)D ．(－1，9)【正确答案】A【分析】利用平行四边形法则，结合向量坐标的加减运算，计算结果.【详解】在平行四边形ABCD 中，因为A (1，2)，B (3，5)，所以()2,3AB = .又()1,2AD =-，所以()1,5AC AB AD =+= ，()3,1BD AD AB =-=--，所以()2,4AC BD +=- .故选:A.3．已知1e ，2e 是平面内的一组基底，1232OA e e =+ ，124OB e ke =+，1254OC e e -= ，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【正确答案】A【分析】A ，B ，C 三点共线可转化为AB AC λ=，结合向量的运算与向量相等即可求解【详解】因为1232OA e e =+ ，124OB e ke =+，1254OC e e -= ，所以()()()1212124322AB OB OA e ke e e e k e =-=-+++=- ，()()121212543622AC OC OA e e e e e e -=-=-+=- ，又因为A ，B ，C 三点共线，所以AB AC λ=，即()()1212262e k e e e λ-=+- ，所以2162k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得11,2k λ=-=，故选：A4．已知向量a ，b夹角的余弦值为14-，且4a = ，1= b ，则()()2a b b a -⋅-= （）A ．－36B ．－12C ．6D ．36【正确答案】A【分析】展开后直接利用向量数量积公式计算可得答案.【详解】()()222222232-⋅-=⋅--+⋅=⋅-- a b b a a b a b a b a b b a 134********⎛⎫=⨯⨯⨯---⨯⎪⎝=- ⎭．故选：A ．5．在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，M 为AC 上一点，且满足3MC AM = ，则GM =（）A ．11312AB AC+B ．11312AB AC--C ．17312AB AC+D ．17312AB AC -- 【正确答案】B首先根据G 为ABC ∆的重心得到()13AG AB AC =+ ，结合3MC AM =以及向量的线性运算，求得GM的表达式.【详解】因为G 为ABC ∆的重心，所以()()211323AG AB AC AB AC =⨯+=+ .又3MC AM = ，所以14AM AC = ，所以11111334312GM GA AM AB AC AC AB AC ⎛⎫=+=-++=-- ⎪⎝⎭，故选：B.本小题主要考查平面向量的线性运算，考查三角形重心的向量表示，属于基础题.6．已知点P 是ABC 所在平面内一点，若3255AP AB AC =+，则ABP 与ACP △的面积之比是（）A ．3:1B ．2:3C ．1:3D ．1:2【正确答案】B【分析】先依据共线向量几何意义判断出点P 的位置，再去求ABP 与ACP △的面积之比【详解】由()()323232555555AP AB AC AP PB AP PC AP PB PC=+=+++=++可得32PC BP = ，即点P 在线段BC 上，且32PC BP=则ABP 与ACP △的面积之比等于:BP PC =2:3故选：B7．三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为35，面积为14，此三角形是（）．A ．钝角三角形；B ．锐角三角形；C ．直角三角形；D ．不能确定．【正确答案】B【分析】由题意，利用余弦定理求得三边，再求得三角的余弦值判断.【详解】解：设三角形两边a ，b 之差为2，且这两边的夹角的余弦值为35，则2a b -=，3cos 5C =，4sin 5C =，由1sin 142ab C =，得35ab =，解得7,5a b ==，由余弦定理得2222cos 32c a b ab C =+-=，则c =所以222222cos 0,cos 022210c a b b c a B A ac bc +-+-==>==>，所以三角形是锐角三角形，故选：B8．如图，在ABC 中，2AD DB =，3AE EC =，CD 与BE 交于F ，AF xAB y AC =+，则(),x y 为（）A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由题意，利用,,B F E 三点共线和,,C F D 三点共线分别表示AF，根据平面向量基本定理求解即可【详解】∵2AD DB =，3AE EC =，∴34AF AB BF AB BE AB AC AB λλ⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭()314AB AC λλ=-+ ，同理，向量AF还可以表示为23AF AC CF AC CD AC AB AC μμ⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭()213AB AC μμ=+- ，所以21,331,4λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得23λ=，所以1132AF AB AC =+ ，所以13x =，12y =，所以(),x y 为11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：A ．二、多选题9．设向量a ，b满足||||1a b ==，且|2|b a -= ，则以下结论正确的是（）A ．a b⊥ B ．||2a b += C．||a b -=D ．向量a ，b夹角为60︒【正确答案】AC【分析】先由题给条件求得0a b ⋅=，从而得到选项A 判断正确，选项D 判断错误；求得||a b + 的值判断选项B ；求得||a b -的值判断选项C.【详解】由|2|b a -=，可得22445b a a b +-⋅= ，又||||1a b == ，则1445a b +-⋅=，即0a b ⋅= ，则a b ⊥.则选项A 判断正确；选项D判断错误；||a b += B判断错误；||a b -=，则选项C 判断正确.故选：AC10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,4B b =︒=，则下列判断中正确的是（）A ．若π4A =，则3a =B ．若92a =，则该三角形有两解C ．ABC 周长有最大值12D ．ABC面积有最小值【正确答案】ABC【分析】对于ABC ，根据正，余弦定理，基本不等式，即可解决；对于D，由正弦定理得164sin sin sin 243ABC S ac B A C == ，根据三角恒等变换解决即可.【详解】对于A ，60,4B b =︒=，π4A =，由正弦定理得sin sin b aB A =所以4sin sin b Aa B===，故A 正确；对于B ，由正弦定理得sin sin b a B A=得，所以9sin 22sin 14a B A b ====<，因为,a b A B A >⇒>有两个解，所以该三角形有两解，故B 正确；对于C ，由2222cos b a c ac B =+-，得2222223116()3()()()44a c ac a c ac a c a c a c =+-=+-≥+-+=+，所以8a c +≤，当且仅当a c =时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C 对；对于Dsin sin sin b a cB AC ===得,sin a A c C =,故164sin sin sin 23ABC S ac B A C ==sin(120)A A ︒=-1sin )2A A A =+12(1cos 2)4A A ⎤=+-⎥⎣⎦11cos(260)22A ︒⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1cos(2120)32A ︒⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦由于1(0,120),2120(120,120),cos(2120),12A A A ︒︒︒︒︒︒⎛⎤∈---∈- ⎝∈⎥⎦，无最小值，所以ABC面积无最小值，有最大值为D 错误.故选：ABC11．如图，在平行四边形ABCD 中，已知F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，则下列结论正确的是（）A ．12EF AB= B ．34AF AB AD=-+C ．34BE AB AD=+ D ．()()22916BE AF AD AB ⋅=-【正确答案】AD【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算与数量积运算，对选项逐一判断即可.【详解】对选项A ：1122EF DC AB ==，正确；对选项B ：3344AF AD DF AD DC AB AD =+=+=+ ，错误；对选项C ：3344BE BC CE AD CD AB AD =+=+=-+，错误；对选项D ：()()223394416BE AF AB AD AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确.故选：AD12．已知向量()cos ,sin m αα= ，()cos ,sin n ββ= ，且()1,1m n +=，则下列说法正确的是（）A ．221m n += B ．()cos 0αβ-=C ．()sin 1αβ+=-D ．m n -【正确答案】BD【分析】根据向量的模长的计算公式可判断A ，根据单位圆以及向量的加法平行四边形法则即可判断BC ，由模长公式以及垂直关系即可判断D.【详解】21m = ，21n = ，即有222m n += ，故选项A 错误；不妨设αβ<，如图，设点A 、B 、C 的坐标为()cos ,sin αα，()cos ,sin ββ，()1,1，即可得点A ，B 在单位圆221x y +=上.根据向量加法的平行四边形法则，四边形OACB 为正方形，据此不妨设0α=，π2β=，从而可得：()cos 0αβ-=，()sin 1αβ+=，即可得选项B 成立，选项C 错误.由()1,1m n += 可得：()2222m nm n +=+⋅= ，可得：20m n ⋅=，22222m n m n m n -=+-⋅= ，则可得：m n -=D 成立.故选：BD三、填空题13．若向量2(3,34)a x x x =+--与AB 相等，其中(1,2),(3,2)A B ，则x =_________.【正确答案】-1【详解】试题分析：由(1,2),(3,2)A B 可得()2,0AB =uu u r ，又a AB = ，所以234--x x =0且3x +=2，解得=1x -.考点:向量的端点坐标与向量坐标间的关系，相等向量坐标间关系.14．已知向量,a b 满足||3,||2a b ==且()()25a b a b -⋅+= ，则a 在b 方向上的投影向量为__________.【正确答案】b-【分析】先根据数量积的运算律求a b ⋅ ，进而求a 在b方向上的投影向量.【详解】∵()()2222a b a b a a b b -⋅+=-⋅-r r r r r r r r ，且||3,||2a b ==，则223225a b -⋅-⨯=r r，解得4a b ⋅=- ，故a 在b方向上的投影向量为()24cos ,4b a b b a b a a ba b b b b a b b b ⎛⎫⎛⎫⋅⋅- ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭r r r rr r r r r rr r r r r r r r .故答案为.b-15．在ABC ∆中，点O 是BC 的三等分点，2OC OB = ，过点O 的直线分别交,AB AC 或其延长线于不同的两点,E F ，且,AB mAE AC nAF == ，若1t m n+的最小值为83，则正数t 的值为________.【正确答案】2【分析】利用平面向量的线性运算法则求得233m n AO AE AF =+ ，可得2133m n+=，则12133t m n t m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开后利用基本不等式可得1t m n +的最小值为233t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，结合1t m n+的最小值为83列方程求解即可.【详解】因为点O 是BC 的三等分点，||2||OC OB =则1112123333333m n AO AB BO AB BC AB AC AB AB AC AE AF =+=+=+-=+=+，又由点,,E O F 三点共线，则2133m n+=，12122333333t m n t t mt nm n m n n m⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭223333t t ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当222tm n =时，等号成立，即1t m n +的最小值为233t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,则有28333t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,解可得2t =或18-(舍），故2t =，故答案为2.本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.16．如图所示，要在两山顶M N ､间建一索道，需测量两山顶M N ､间的距离.现选择与山脚B C ､在同一平面的点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAC N ∠= 点的仰角30NAB ∠= 以及45MAN ∠= ，若100AC =米，AB =米，则MN 等于__________米.【正确答案】【分析】在Rt ACM △中根据cos 60AC AM ︒=求出AM ，在R t ABN △中根据cos30ABAN ︒=求出AN ，在AMN 中由余弦定理得：2222cos 45MN AM AN AN AM ︒=+-⋅求解.【详解】在Rt ACM △中，60,MAC ∠= 100AC =，所以1002001cos 602AC AM ︒===，在R t ABN △中，30NAB ∠=，AB =，所以cos30AB AN ︒==，在AMN 中，45MAN ∠= ，200AM =，AN =由余弦定理得：222222cos 4520010022200MN AM AN AN AM ︒=+-⋅=+⨯-⨯⨯22221004100210041002=⨯+⨯-⨯=⨯所以MN =米).故答案为.四、解答题17．计算：(1)()()()2310353a b b a a +--+- ；(2)()()()()2353,,R a b a b λμλμλμ+--+--∈.【正确答案】(1)1411515a b+(2)()(578)14a bλμλμ+++【分析】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.（2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.【详解】（1）原式=2233110335533a b b a a+-++- 231231()(0)353353a a a b b =+-+-+ 1411515a b =+ .（2）原式=()()()()2353a b a bλμλμ+--+--()()()()235335a b a bλμλμλμλμ=+-+++++()()2235915a b λμλμλμλμ=+++++--57(81)()4a b λμλμ+++=.18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+.(1)求角A 的大小；(2)若a =ABCABC 的周长.【正确答案】(1)π3(2)【分析】（1）由()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+，根据正弦定理化简得22()3b c a bc +=+，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）由ABC4bc =，结合余弦定理，求得b c +=.【详解】（1）由题意及正弦定理知22()3b c a bc +=+，222a b c bc ∴=+-，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0πA << ，π3A ∴=.（2）a = ，226b c bc ∴+-=①又1=sin 2S bc A = ，4bc ∴=②由①，②可得b c +=所以ABC 的周长为.19．已知1a =，12a b ⋅= ，1()()2a b a b =-⋅+ .(1)求a 与b的夹角θ；(2)求a b-与a b + 的夹角α的余弦值．【正确答案】(1)4π；【分析】（1）先由已知1()()2a b a b =-⋅+ 求出b ，再代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；（2）先求出a b -与a b + ，同样代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；【详解】（1）由已知1()()2a b a b =-⋅+ ，得2212a b -= ，因为1a =，所以b =r .又12a b ⋅= ，所以cosθ1222a b a b ⋅== ，因为[]0θπ∈，，所以4πθ=.（2）因为()222122a b a a b b -=-⋅+=，所以a b -= 因为()222522a b a a b b +=+⋅+=，所以a b = +所以()()12cos 22a b a b a b a b α⋅+==+ --20．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A 、B 两点间的距离，先在珊瑚群岛上取两点C 、D ，测得40CD =米，135ADB ∠= ，15BDC DCA ∠=∠=，120ACB ∠= .（1）求B ，D 两点的距离；（2）求A 、B 两点的距离.【正确答案】（1）（2）.【分析】（1）根据已知条件可求出DCB ∠、DBC ∠，在BCD △中由正弦定理即可求BD ；（2）根据已知条件求出ADC ∠、DAC ∠，在ABD △中由余弦定理即可求解.【详解】（1）由题意可知15BDC DCA ∠=∠= ，120ACB ∠= ，40CD =.所以135DCB ∠= ，30DBC ∠= ，在BCD △中，由正弦定理，得sin sin CD BD DBC DCB=∠∠.所以sin 40sin 135sin sin 30CD DCB BD DBC ∠∠===∠∠所以B ，D 两点的距离为米.（2）在ACD 中，135ADB ∠= ，15BDC DCA ∠=∠= ，所以150ADC ∠= ，15DAC ∠= ，所以40AD DC ==米.在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB=+-⋅⋅∠(22402402⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭8000=，所以AB =所以A 、B 两点的距离为.21．如图，已知(1,1),(5,4),(2,5)A B C ，设向量a 是与向量AB 垂直的单位向量.（1）求单位向量a的坐标；（2）求向量AC 在向量a 上的投影向量的模；（3）求ABC 的面积ABC S .【正确答案】（1）34,55a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或34,55a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ；（2）135；（3）132【分析】（1）设出向量坐标，根据模长为1，以及与向量AB垂直，列方程组求解即可；（2）计算出AC 向量的坐标，再根据（1）中所求，利用投影计算公式即可求得；（3）由（2）可知三角形的高，再利用AB 向量的坐标求得底边长，即可求面积.【详解】（1）设(),a x y = ，根据题意可得()4,3,5,1AB AB a === 又因为AB 与a 垂直，即可得0AB a ⋅=故可得：224301x y x y +=⎧⎨+=⎩解得3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭或a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）设向量AC 与单位向量a 的夹角为θ，AC 在a 上的投影向量为h ，则AC a h AC cos AC a aθ⋅===⋅ ；又因为()1,4AC = ，故当a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，341314555h ⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭；当a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，h 341314555⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.所以向量AC 在向量a 上的投影向量的模为135.（3）由（1）可知：5AB = ，由（2）可知135h = ，故12ABC S AB h =⨯ 113135252=⨯⨯=.本题综合考查向量的坐标运算，涉及模长的求解，投影的求解，属综合性基础题.22．记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.【正确答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有ac BD b=，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a 与c 的关系，然后利用余弦定理即可求得cos ABC ∠的值.【详解】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得sin sin ,22b c R ABC C R==∠，因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b c BD a R R⋅=⋅，即BD b ac ⋅=．又因为2b ac =，所以BD b =．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2AD DC =，如图，在ABC 中，222cos 2a b c C ab+-=，①在BCD △中，222()3cos 23b a b b a C +-=⋅．②由①②得2222223()3b a bc a b ⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦，整理得22211203a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，解得3c a =或32c a =，当22,33c c a b ac ===时，3c a b c +=<（舍去）．当2233,22c c a b ac ===时，22233()722cos 31222c c ABC c c c +⋅-==⋅∠．所以7cos 12ABC ∠=．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知2AD DC =，则23ABD ABC S S =△△，即21221sin sin 2332b ac AD A B BC ⨯=⨯⨯∠∠，而2b ac =，即sin sin ADB ABC ∠=∠，故有ADB ABC ∠=∠，从而ABD C ∠=∠．由2b ac =，即b c a b =，即CA BA CB BD=，即ACB ABD ∽，故AD AB AB AC =，即23b c c b=，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos 212c a b ABC ac +-==∠．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BD b AC ==，再由2AD DC =得21,33AD b CD b ==．在ADB 中，由正弦定理得sin sin AD BD ABD A=∠．又ABD C ∠=∠，所以s 3sin n 2i C b Ab =，化简得2sin sin 3C A =．在ABC 中，由正弦定理知23c a =，又由2b ac =，所以2223b a =．在ABC 中，由余弦定理，得222222242793cos 221223a a a a cb ABC ac a +--⨯∠+==．故7cos 12ABC ∠=．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE AB ∥，交BC 于点E ，则DEC ABC △∽△．由2AD DC =，得2,,333c a a DE EC BE ===．在BED 中，2222()()33cos 2323BED a c b a c -=⋅∠+⋅．在ABC 中222cos 2a a BC c A b c+-=∠．因为cos cos ABC BED ∠=-∠，所以2222222()()3322233a c b a c b a c ac +-+-=-⋅⋅，整理得22261130a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，即3c a =或32a c =．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为2AD DC =，所以2AD DC =uuu r uuu r ．以向量,BA BC 为基底，有2133BD BC BA =+ ．所以222441999BD BC BA BC BA =+⋅+ ，即222441cos 999b ac c ABC a ∠=++，又因为2b ac =，所以22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++．③由余弦定理得2222cos b a c ac ABC =+-∠，所以222cos ac a c ac ABC =+-∠④联立③④，得2261130a ac c -+=．所以32a c =或13a c =．下同解法1．[方法六]：建系求解以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0D A C -．由（1）知，3BD b AC ===，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动．设()(),33B x y x -<<，则229x y +=．⑤由2b ac =知，2BA BC AC ⋅=，2222(2)(1)9x y x y ++⋅-+=．⑥联立⑤⑥解得74x =-或732x =≥（舍去），29516y =，代入⑥式得36||||6,32a BC c BAb ===，由余弦定理得2227cos 212ac b ABC ac +-∠==．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.。
高一数学下学期同步测试 试题
高一数学下学期同步测试一．选择题1．以下命题中的真命题是〔 〕A ．三角形的内角是第一象限角或者第二象限角B ．第二象限的角比第一象限的角大C ．第一象限的角是锐角D 角α是第四象限角的充要条件是2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z) 2．弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，那么这个圆心角所对的弧长是 〔 〕A ．2B ．1sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin3．设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin ,5(cos ππ，那么α等于 〔 〕A ．5π B ．5cotπC ．)(1032Z k k ∈+ππ D ．)(592Z k k ∈-ππ4．假设θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．αααααtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值是〔 〕A ．－2B ．2C ．1623D ．－16236．假设α是第一象限角，那么ααααα2cos ,2tan ,2cos ,2sin ,2sin 中能确定为正值的有〔 〕A ．0个B ．1个C ．2个D ．2个以上7．假设f (cos x )=cos2x ，那么f (sin15°)的值等于〔 〕A ．21B ．－21 C ．－23 D ．23 8．函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 那么)5(-f 的值是 〔 〕A ．5B ．－5C ．6D ．－69．)2cos()2sin(21++-ππ等于 〔 〕A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±〔sin2－cos2〕D ．sin2+cos210．在△ABC 中，cos A ＝53且cos B ＝135，那么cos C 等于 〔 〕A.－6533 B. 6533 C.－6563D.656311．在△ABC 中，tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个根，那么tan C 等于〔 〕A ．2B ．－2C ．4D ．－412．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，那么p 、q 之间的关系是〔 〕A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=013．等腰三角形顶角的正弦为2524，那么底角的余弦为 〔 〕A ．54B ．53C ．54或者53 D ．以上答案都不对 14．函数)32sin(2π+=x y 的图象〔 〕A ．关于原点对称B ．关于点〔－6π，0〕对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x =6π对称15．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是〔 〕A ．]3,0[πB ．]127,12[ππC ．]65,3[ππD ．],65[ππ16．假设函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象〔局部〕如下图，那么ϕω和的取值是〔 〕 A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==17．函数1)2sin()(--=ππx x f ，那么以下命题正确的选项是〔 〕A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数1 0yx 3π- 32π18．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C =3∶2∶4，那么cos C 的值是 〔 〕A ．－1/4B ．1/4C ．－ 2/3D ．2/319．△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的△ABC〔 〕A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定20．某人朝正向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰 好3km ，那么x 的值是 〔 〕A ．3B ．23C ．23或者3D ．321．向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，那么αtan =〔 〕 A ．3/4B ．－3／4C ．4／3D ．－4／322．.两点P １〔－１，－6〕、Ｐ２〔3，０〕，点P 〔－37，ｙ〕分有向线段21P P 所成的比为λ，那么λ、ｙ的值是〔 〕A ．－41，8 B ．41，－8 C ．－41，－8 D ．4，8123．|AB |=10,| AC |=7，那么|BC |的取值范围是 〔 〕A ．［3，17］B ．〔3，17〕C ．［3，１０］D ．〔3，１０〕24．在△ABC 中,三边长AB =7，BC =5，AC =6，那么AB ·等于 〔 〕A ．19B ．－14C ．－18D ．－1925．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，那么坡底要伸长〔 〕A ．1公里B ．sin10°公里C ．cos10°公里D ．cos20°公里 26．四个不相等的正数a ,b,c,d 成等差数列，那么〔 〕A ．bc da >+2B ．bc da <+2C ．bc da =+2D ．bc da ≤+227．以下函数中最小值是2的是 〔 〕 A ．x x y 1+= B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+=2,0,csc sin πθθθy C ．xx y 2+=D ．1222++=x x y ⋅28．甲、乙两人同时从A 地出发B 地，甲在前一半路程用速度1v ，在后一半路程用速度212()v v v ≠，乙在前一半时间是用速度1v ，在后一半时间是用速度2v ，那么两人中谁先到达〔 〕A ．甲B ．乙C ．两人同时D ．无法确定二. 填空题 29．,24,81cos sin παπαα<<=⋅且那么=-ααsin cos . 30．假设,223tan 1tan 1+=+-θθ那么=⋅--+θθθθθcos sin cot 1)cos (sin 2 . 31．方程0sin 4cos 2=-+a x x 有解，那么a 的取值范围是 . 32．△ABC 的顶点A (2，3)，B (－4，－2)和重心G (2，－1)，那么C 点坐标为 .33．假设0,0>>b a ，那么函数)10(,1)(22<<-+=x xb x a x f 的最小值是 ________. 34．_______,41,4=-+-=>x xx y x 当函数时，函数有最_______值是 .35．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . 〔Ⅰ〕求A CB 2cos 2sin 2++的值；〔Ⅱ〕假设3=a ，求bc 的最大值.36．21)4tan(=+απ．〔1〕求αtan 的值；〔2〕求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值．37．函数)(325cos 35cos sin 5)(2R x x x x x f ∈+-⋅= 〔1〕求)(x f 的最小正周期;〔2〕求)(x f 的单调区间;〔3〕求)(x f 图象的对称轴，对称中心.38．函数f 〔x 〕=2a sin 〔2x －3π〕+b 的定义域为［0，2π］，值域为［－5,1］，求a 和b 的值．39．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 、b 、c 成等差数列 (1)求证B ≤600(2)假设A －C=3π，求sinB 的值.40．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，间隔 A 为(3-1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向间隔 A 为2海里的C 处有我方一艘辑私艇奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问辑私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？需要多长时间是？41．a ，b ，+∈R c ，且a +b+c=1，求证：23131313≤+++++c b a ．42．某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件.假假设定价上涨成x ，成即（注：10xx )100≤<x ，每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z 倍．〔1〕假设的值；时来表示当售货金额最大的常数，用是满足，其中x a a a ax y 131<≤= 〔2〕假设x y 32= ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围．43．: x > y >0 , 且x y=1, 假设)(22y x a y x -≥+恒成立,务实数a 的取值范围.[参考答案]一．选择题1．以下命题中的真命题是〔 D 〕A ．三角形的内角是第一象限角或者第二象限角B ．第二象限的角比第一象限的角大C ．第一象限的角是锐角D 角α是第四象限角的充要条件是2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z ) 2．弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，那么这个圆心角所对的弧长是 〔 B 〕A ．2B ．1sin 2 C ．1sin 2D ．2sin 3．设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin ,5(cos ππ，那么α等于 〔 D 〕A ．5π B ．5cotπC ．)(1032Z k k ∈+ππ D ．)(592Z k k ∈-ππ4．假设θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 〔 D 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．αααααtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值是〔 D 〕A ．－2B ．2C ．1623D ．－16236．假设α是第一象限角，那么ααααα2cos ,2tan ,2cos ,2sin ,2sin 中能确定为正值的有〔 C 〕A ．0个B ．1个C ．2个D ．2个以上7．假设f (cos x )=cos2x ，那么f (sin15°)的值等于〔 C 〕A ．21B ．－21 C ．－23 D ．23 8．函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 那么)5(-f 的值是 〔 B 〕A ．5B ．－5C ．6D ．－6 9．)2cos()2sin(21++-ππ等于 〔 A 〕A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±〔sin2－cos2〕D ．sin2+cos210．在△ABC 中，cos A ＝53且cos B ＝135，那么cos C 等于 〔 B 〕A.－6533 B. 6533 C.－6563D.656311．在△ABC 中，tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个根，那么tan C 等于〔 A 〕A ．2B ．－2C ．4D ．－412．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，那么p 、q 之间的关系是〔 B 〕 A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=013．等腰三角形顶角的正弦为2524，那么底角的余弦为 〔 C 〕A ．54B ．53C ．54或者53 D ．以上答案都不对 14．函数)32sin(2π+=x y 的图象〔 B 〕A ．关于原点对称B ．关于点〔－6π，0〕对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x =6π对称15．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是〔 C 〕A ．]3,0[πB ．]127,12[ππC ．]65,3[ππD ．],65[ππ16．假设函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象〔局部〕如下图，那么ϕω和的取值是〔 C 〕 A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==17．函数1)2sin()(--=ππx x f ，那么以下命题正确的选项是〔 B 〕A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数18．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C =3∶2∶4，那么cos C 的值是 〔 A 〕1 0yx 3π- 32πA ．－41B ．41 C ．－32 D ．32 19．△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的△ABC A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解D ．不能确定〔 C 〕20．某人朝正向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰 好3km ，那么x 的值是〔 C 〕A ．3B ．23C ．23或者3D ．321．向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，那么αtan =〔 A 〕 A ．43B ．43-C ．34D ．34-22．.两点P １〔－１，－6〕、Ｐ２〔3，０〕，点P 〔－37，ｙ〕分有向线段21P P 所成的比为λ，那么λ、ｙ的值是〔 C 〕A ．－41，8 B ．41，－8 C ．－41，－8 D ．4，8123．|AB |=10,| AC |=7，那么|BC |的取值范围是 〔 C 〕A ．［3，17］B ．〔3，17〕C ．［3，１０］D ．〔3，１０〕24．在△ABC 中,三边长AB =7，BC =5，AC =6，那么·等于 〔 D 〕A ．19B ．－14C ．－18D ．－1925．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，那么坡底要伸长〔 A 〕A ．1公里B ．sin10°公里C ．cos10°公里D ．cos20°公里 26．四个不相等的正数a ,b,c,d 成等差数列，那么 〔 A 〕 A ．bc da >+2B ．bc da <+2C ．bc da =+2D ．bc da ≤+227．以下函数中最小值是2的是 〔 D 〕 A ．x x y 1+= B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+=2,0,csc sin πθθθy C ．xx y 2+=D ．1222++=x x y ⋅28．甲、乙两人同时从A 地出发B 地，甲在前一半路程用速度1v ，在后一半路程用速度212()v v v ≠，乙在前一半时间是用速度1v ，在后一半时间是用速度2v ，那么两人中谁先到达〔 B 〕A ．甲B ．乙C ．两人同时D ．无法确定二. 填空题29．,24,81cos sin παπαα<<=⋅且那么=-ααsin cos 23- . 30．假设,223tan 1tan 1+=+-θθ那么=⋅--+θθθθθcos sin cot 1)cos (sin 2 1 . 31．方程0sin 4cos 2=-+a x x 有解，那么a 的取值范围是 [4,4]- .32．△ABC 的顶点A (2，3)，B (－4，－2)和重心G (2，－1)，那么C 点坐标为 (8,-4) .33．假设0,0>>b a ，那么函数)10(,1)(22<<-+=x xb x a x f 的最小值是 __2)(b a +______.34．_______,41,4=-+-=>x xx y x 当函数5时，函数有最___大____值是 － 6 .35．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . 〔Ⅰ〕求A CB 2cos 2sin 2++的值；〔Ⅱ〕假设3=a ，求bc 的最大值. 解析: (Ⅰ)A CB 2cos 2sin 2++=)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B =)1cos 2()cos 1(212-++A A =)192()311(21-++ = 91- (Ⅱ) ∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a c b bc -≥-+=, 又∵3=a ∴.49≤bc 当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是49. 36．21)4tan(=+απ．〔1〕求αtan 的值；〔2〕求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值． 〔1〕解析：αααπαπαπtan 1tan 1tan 4tan 1tan 4tan )4tan(-+=-+=+ 由21)4tan(=+απ，有21tan 1tan 1=-+αα， 解得31tan -=α 〔2〕解法一：1cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα 65213121tan cos 2cos sin 2-=--=-=-=αααα 解法二：由〔1〕，31tan -=α，得ααcos 31sin -= ∴αα22cos 91sin = αα22cos 91cos 1=- ∴109cos 2=α 于是541cos 22cos 2=-=αα，53cos 32cos sin 22sin 2-=-==αααα 代入得65541109532cos 1cos 2sin 2-=+--=+-ααα 37．函数)(325cos 35cos sin 5)(2R x x x x x f ∈+-⋅= 〔1〕求)(x f 的最小正周期;〔2〕求)(x f 的单调区间;〔3〕求)(x f 图象的对称轴，对称中心.解析： 〔1〕)32sin(5)(π-=x x f ∴T=π； 〔2〕)(]125,12[x f k k 为ππππ+-的单增区间， )(]1211,125[x f k k 为ππππ++的单减区间；〔3〕对称轴为Z k k x ∈+=1252ππ对称中心为Z k k ∈+)0,62(ππ 38．函数f 〔x 〕=2a sin 〔2x －3π〕+b 的定义域为［0，2π］，值域为［－5,1］，求a 和b的值． 解析： ∵0≤x ≤2π,∴－3π≤2x －3π≤π－3π=32π. ∴－23≤sin 〔2x －3π〕≤1. 当a >0时，那么⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+.5312b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=.312233612b a 当a <0时，那么⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+,1352b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=.312193612b a 39．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 、b 、c 成等差数列(1)求证B ≤600 (2)假设A －C=3π，求sinB 的值. 解：〔1〕∵a 、b 、c 成等差数列，∴222222222()44()2cos 228a c a c a c b a c a c B ac ac ac++-+-+-+=== 22332621882a c ac ac ac ac ac +--=≥=∴B≤600(2)∵a 、b 、c 成等差数列∴B R C R A R sin 22sin 2sin 2⨯=+， 和差化积得:∴2cos 2sin 22cos 2cos B B C A B ⋅⋅=-⋅，故432sin =B ， ∴839sin =B ． 40．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，间隔 A 为(3-1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向间隔 A 为2海里的C 处有我方一艘辑私艇奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问辑私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？需要多长时间是？解析：如图，设需要t 小时追上走私船.∵BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB cos CAB=22+(3-1)2-2×2×(3-1)cos120°=6,∴BC =6, 在△C BD 中，∠C BD =120°cos CBD =tt t BD BC DC BD BC 10623001006222222⨯-+=⋅⋅-+ 整理,得100t 2-56t -3=0 ，解得t =106或者t =-206 (舍去) 又∵DCB BD CBD DC sin sin = ，即：DCB t t sin 10120sin 310=︒ 解得∠DCB =30° 答：沿北偏东60°追击，需106小时 41．a ，b ，+∈R c ，且a +b+c=1，求证：23131313≤+++++c b a ．[证法1]：∵a ，b ，+∈R c ∴23322132)13(+=++≤⋅+a a a 。
高一下学期数学同步测试(1).doc
高中学生学科素质训练高一数学同步测试（1）—角的概念·弧度制一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C 2．下列各组角中，终边相同的角是（ ）A ．π2k与)(2Z k k ∈+ππB ．)(3k3Z k k ∈±πππ与C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A ．2B ．1sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 4．设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin ,5(cos ππ，则α等于 （ ）A ．5πB ．5cotπC ．)(1032Z k k ∈+ππ D ．)(592Z k k ∈-ππ5．将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是（ ）A ．3π B ．－3π C ．6π D ．－6π 6．设角α和β的终边关于y 轴对称，则有（ ）A ．)(2Z k ∈-=βπαB ．)()212(Z k k ∈-+=βπαC ．)(2Z k ∈-=βπαD ．)()12(Z k k ∈-+=βπα7．集合A={},322|{},2|Z n n Z n n ∈±=⋃∈=ππααπαα，≠B={},21|{},32|Z n n Z n n ∈+=⋃∈=ππββπββ，则A 、B 之间关系为（ ）A ．AB ⊂B ．B A ⊂C ．B ⊂AD ．A ⊂B8．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）A ．2°B ．2C ．4°D ．4 9．下列说法正确的是（ ）A ．1弧度角的大小与圆的半径无关B ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D ．用弧度表示的角都是正角10．中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆半径为 （ ）A ．2B ．3C ．1D ．23 11．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为 （ ）A ．2)1cos 1sin 2(21R ⋅- B ．1cos 1sin 212⋅RC ．221RD ．221cos 1sin R R ⋅⋅-12．若α角的终边落在第三或第四象限，则2α的终边落在 （ ）A ．第一或第三象限B ．第二或第四象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上） 13．αααsin 12sin2cos-=-，且α是第二象限角，则2α是第 象限角. 14．已知βαπβαππβαπ-2,3,34则-<-<-<+<的取值范围是 . 15．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 .16．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为.三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）≠≠（1） （2） （3）18．一个视力正常的人，欲看清一定距离的文字，其视角不得小于5′. 试问：（1）离人10米处能阅读的方形文字的大小如何？（2）欲看清长、宽约0.4米的方形文字，人离开字牌的最大距离为多少？19．一扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？20．绳子绕在半径为50cm 的轮圈上，绳子的下端B 处悬挂着物体W ，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W 的位置向上提升100cm?21．已知集合A={}810,150|{},135|≤≤-︒⋅==∈︒⋅=k k B Z k k ββαα求与A ∩B 中角终边相同角的集合S.22．单位圆上两个动点M 、N ，同时从P （1，0）点出发，沿圆周运动，M 点按逆时针方向旋转6π弧度/秒，N 点按顺时针转3π弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.高一数学参考答案（一）一、1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9．A 10．A 11．D 12． B二、13．三 14． )6,(ππ- 15．]2,2(),23(πππ⋃-- 16．162C三、17．（1）}1359013545|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅+︒αα； （2）}904590|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅αα；； （3）}360150360120|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅+︒-αα．18．（1）设文字长、宽为l 米，则)(01454.0001454.01010m l =⨯==α； （2）设人离开字牌x 米，则)(275001454.04.02m l x ===．19．221021,220r r r S r-=⋅⋅=-=αα，当2,5==αr 时，)(252max cm S =． 20．设需x 秒上升100cm .则ππ15,100502460=∴=⨯⨯⨯x x （秒）． 21．}360k 1350360|{Z k k S ∈︒⋅=︒-︒-==ααα或．22．设从P （1，0）出发，t 秒后M 、N 第三次相遇，则πππ636=+t t ，故t =12（秒）． 故M 走了ππ2126=⨯（弧度），N 走了ππ4123=⨯（弧度）．审稿人：安振平。
福建省部分学校2024年高一下学期联合测评数学试卷+答案
2023-2024学年高一联合测评数学试卷解析版全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是（ ）A ．若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面；B ．与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线；C ．空间三点确定一个平面；D ．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直． 【答案】B【详解】对A ，若空间两直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故A 错误；对B ，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，则两直线为异面直线，若交于三个点，则两直线为相交直线，故B 正确；对C ，由平面的基本性质可知，空间不共线的三点可以确定一个平面，故C 错误；对D ，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故D 错误；故选：B.2．已知向量()()2,,2,1a x b ==−− ，若a b ⊥ ，则x =（ ）A ．1B ．1−C ．2−D ．4− 【答案】D 【详解】由a b ⊥ ，得()2240x x ×−−=−−=，所以4x =−． 故选：D ．3．如图，圆柱形容器内部盛有高度为2cm 的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π4．温州市的“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”四个项目已入选联合国教科文组织非遗名录．某学校计划周末两天分别从四个非遗项目中随机选择两个不同项目开展研学活动，则周六欣赏“永嘉昆曲”，周日体验“瑞安东源木活字印刷术”的概率为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1125．建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台12O O ，已知该圆台的上､下底面积分别为216πcm 和29πcm ，高超过1cm ，该圆台上､下底面圆周上的各个点均在球O 的表面上，且球O 的表面积为2100πcm ，则该圆台的体积为（ ）A ．380πcmB ．3259πcm 3C ．3260πcm 3D ．387πcm6．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足3cos 5α=，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）A ．20cmB ．C ．cmD ．30cm由3cos 5α=且0πα<<可得7．已知向量a ，b 满足3a = ，(2,0)b −，且3⋅= a b ，则下列说法错误的是（ ）A ．32a =−B ．a +C ．向量a ，b 的夹角是π3D ．a −8．折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形OCD ，其中120AOB ∠=°，4OD =，1OB =，动点P 在弧CD 上（含端点），连接OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OP xOC yOD =+ ，则下列说法错误的是（ ）A ．若yx =，则2x y += B ．5AB PQ ⋅>−C ．232PA PB ⋅≥ D ．若3y x =，则0OA OP ⋅=对于B ：3AB PQ AB OQ ⋅=−⋅二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知样本数据123,,x x x 的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（ ）A ．数据131x −，231x −，331x −的平均数为6B ．数据131x −，231x −，331x −的方差为9C ．数据123,,,2x x x 的方差为1D ．数据223123,,x x x 的平均数为510．已知复数i z a b =+，下列说法正确的是（ ）A ．若z 为纯虚数，则0a b +=B ．若z 是1i 13i +−的共轭复数，则25a b +=− C ．若()()1i 13i z =+−，则2a b +=D ．若i 1z −=，则z 取最大值时，2a b +=11．已知等腰直角ABC 的斜边4,AB D =是斜边AB 上的一点，且满足2CD =，若将ACD 沿着CD 翻折到A CD ′△位置，得到三棱锥A BCD −′，则（ ）A ．CD AB ′⊥B ．当A D BD ′⊥时，三棱锥B A CD ′−的体积为43C ．当A B ′=时，二面角A CD B ′−−的大小为π3D ．当2π3A DB ∠=′时，三棱锥A BCD −′的外接球的表面积为20π故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知平面凸四边形ABCD外接圆半径为1，sin:sin:sin3:5:7ABD ADB BAD∠∠∠=．则（1）BD=；（2）2ACBC CD⋅的最小值为．13．已知海岛B在海岛A的北偏东75°的方向上，且两岛的直线距离为30n mile. 一艘海盗船以30 n mile/h的速度沿着北偏东15°方向从海岛B 出发，同时海警船以的速度从海岛A 进行追赶，经过t 小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 .14．在三棱锥−P ABC 中，已知ABC 是边长为2的正三角形，且PA PB =.若PAB 和ABC 的面积之积P AB C 的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题13分）已知()1,1a = ，1b = ，a 与b 的夹角为45°.(1)求23a b − ；(2)若向量()2a b λ− 与()3a b λ−的夹角为钝角，求实数λ的取值范围.16.（本小题15分） 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 26b A a c +−=．(1)求B ；(2)若ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，3a =，求ABC 的面积．12π36sin 23=×××= 17.（本小题15分） 袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏．(1)若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是2125．求袋中红球的个数；(2)已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率；(3)若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值．18.（本小题17分）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题：①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；②若将平均日利润超过430元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．19.（本小题17分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD −中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2PDCD ==，点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；(2)设H 点是AD 的中点，若面EDB 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求四棱锥E HBD −的外接球的表面积. 【答案】(1)证明见解析，是鳖臑，四个面的直角分别是BCD ∠，BCE ∠，DEC ∠，DEB ∠ (2)7π【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD所以PD BC ⊥，因为ABCD 为长方形，所以BC CD ⊥，因为PD CD D ∩=，,PD CD ⊂平面PCD 所以BC ⊥平面PCD ，因为DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥，因为PC BC C ∩=，,PC BC ⊂平面PBC ， 所以DE ⊥平面PBC ，由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD ∠，BCE ∠，DEC ∠，DEB ∠；。
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高一下期数学同步测试一
2
高一数学同步测试（1）
一、选择题
1．下列命题中的真命题是（ ）
A ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
B ．第一象限的角是锐角
C ．第二象限的角比第一象限的角大
D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－2
π＜α＜2k π(k ∈Z) 2．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2
B ．1
sin 2
C ．1sin 2
D ．2sin
3．已知sin 0.908θ=-，900
θ-<<，则点(cos(45),tan1444)
P θ-一定在 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 4．若x x f tan )(=，则)600(︒f 的值为（ ）
A ．3
-
B ．
3
C ．3
3
-
D ．
3
3
5．将分针拔快15分钟，则分针转过的弧度数
3
是（ ） A ．4
π B ．－4π C ．6
π
D ．－6
π 6．角α的终边上有一点P （a ，|a |），a ∈R 且a ≠0，则sinα值为 （ ）
A ．22-
B ．22
C ．1
D ．22或2
2-
7．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ） A ．2
)1cos 1sin 2(2
1R ⋅- B ．1
cos 1sin 2
12
⋅R
C ．2
2
1R D ．2
2
1cos 1sin R R ⋅⋅-
8．下列命题中，唯一正确的命题是 （ ）
A 若角α在第二象限，且sin α=m ，cos α=n ，则tan α=n
m - B 无论α为何角，都有sin 2α+cos 2α=1 C ．总存在一个角α，使得sin α+cos α=1 D ．总存在一个角α，使得sin α=cos α=2
1
4
9．设α是第三象限角，且|2cos α|=2cos α-，则2
α
所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象
限 C ．第三象限 D ．第四象
限 10．函数x
x
x x x x
y 222tan tan sin cos 1sin 1cos -
-+-=的值域是（ ）
A ．{－3，1}
B ．{1，3}
C ．{－3，－1，1}
D ．{－1，1，3}
二、填空题
11．与－1050°终边相同的最小正角是 . 12．tan2010°的值为 .
13．设)cos()sin()(2
1
απαπ+++=x n x m x f ，其中m 、n 、1α、2
α
都是非零实数，若
(2005)1,
f = 则(2006)f = ．
14．已知β∈［0，2π)，且β
β2
2
sin 1cos 1-+-=sin
β－cos β，则β的取值范围是
三、计算题
15．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）
（1）（2）（3）
5
16．已知一扇形的周长为c(c＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值．
6
7
17．已知sin （3π＋θ）＝
12
，求
cos(3)cos(4)
cos [cos()1]cos(2)cos(3)cos()
πθθπθπθθππθθ+-+
+-+++-的值．
8
9
18.且1
1
1a b ==，3
521
a
b +=，5
313
a
b +=.
（Ⅰ）求{}n
a 、{}n
b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n
a b
的前n 项和n
S 。
19.设a 为实数，记函数2
()111f x x x x =-+-的最大值为()g a
⑴设11t x x =+-，求t 的取值范围，并把()f x 表示成t 的函数()m t ； ⑵求()g a。