贵州省贵阳市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 含答案
贵州省贵阳市普通中学2019-2020学年高一下学期期末考试
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若3,2,3π=
==C b a ，则边c 的值为( ) A ．7 B ．13 C ．4 D ．19
2．若直线l 过点（2，3）且倾角为45°，若直线l 与y 轴交于点P ，则点P 的坐标为( )
A ．（1,0）
B ．（-1,0）
C ．（0,1）
D ．（0，-1）
3．在数列{a n }中，2,211=−−=+n n a a a ，则=5a ( )
A ．-6
B ．6
C ．10
D ．-10
4．已知P 是圆422=+y x 上的动点，点A 的坐标为（0,5），则||PA 的最小值为( )
A ．9
B ．7
C ．5
D ．3
5．已知d c b a >>>0,，则下列命题中，正确的是 ( )
A ．d b c a +>+
B ．bd ac >
C ．22b a >
D ．b
c a c < 6．两直线013:1=++y ax l ，01)1(2:2=+++y a x l ，若21//l l ，则a 的值为( )
A ．﹣3
B ．2
C ．3或﹣2
D ．﹣3或2
7．下列四个命题：
○
1垂直于同一条直线的两条直线平行 ○
2若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行 ○
3一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线和这个平面垂直 ○4若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8．若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为( )
A ．π332
B ．23π
C ．π2
D ．2
π
9．我国南北朝时期的数学家、天文学家祖恒提出了著名的祖恒原理：“幂势既同，
则积不容异”。
“幂”是面积，“势”即为高，意思是：夹在两平行平面之间的两个
几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相
同，那么这两个几何体的体积相等。
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线
画出的是某几何体的三视图。
若某不规则几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
A ．348π−
B ．π−8
C ．328π−
D ．24π−
10．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线012=−+cy ax 平分圆06422=−−+y x y x 的周长，则∆ABC 的面积的最大值为 ( ) A ．33 B ．233 C ．23 D ．3
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请把答案填在题中横线上
11．已知变量y x ,满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+≥−020y y x y x ，则函数y x z +=2的最大值为 ．
12．已知关于x 的不等式02322<+−a ax x 的解集为{}21|<<x x ，则实数a 的值为 ．
13．在等比数列{}n a 中，若21=a ，且12+a 是31,a a 的等差中项，则数列{}n a 的前5项和=5S
14．根据以往数据统计发现，某大型商场中秋节前30天内，前t 天的月饼销售总量)(t f 大致满足
)300(12100
)(2
≤<++=t t t t f （单位：百斤），则该商场前t 天内平均每天售出的月饼量最少约为 百斤。
15．我们称“n
a a a n +++ 21”为n 个正数n a a a ,,,21 的“均倒数”，若某个正项数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为1
21+n ，则数列{}n a 的通项公式为
三、解答题：本大题共4小题，每小题8分，共32分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16．已知∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若3,3=+=b a c 且有 （从○
1○2○3三个条件中选择一个条件，并将条件编号写在横线上）○1C B A cos 3)sin(=+；○2ab c b a =−+222；○3C A A
a >=,2sin （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求∆ABC 的面积
17．在等差数列{}n a 中，11,97261=+=+a a a a ．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）已知数列{}n n b a +是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 和n S ．
18．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，AB AD ⊥，AB=BC=1，PA=AD=2，E 是PD 中点．
（Ⅰ）求证：CE//平面PAB ；
（Ⅱ）求异面直线BD 与CE 所成角的余弦值。
19．已知半径为2的圆C 与直线01034:1=++y x l 相切，且圆心在x 轴非负半轴上．
（1）求圆C 的方程；
（2）直线3
6233:2+=x y l 与圆C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作直线2l 的垂线与x 轴分别交于M ，N 两点，求||MN ．
四、阅读与探究（本题1个小题，共8分。
解答应写出文字说明，条理清晰）
20．如图一，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A （11,y x ），B （22,y x ），请根据以下信息，处理问题（1）和（2）．
信息一：O 为坐标原点，),(22y x OB =，若将OB 顺时针旋转90°得到向量B O '，则),(22x y B O −='，且||||B O OB '=; 信息二：),(22y x OB =与),(11y x OA =的夹角记为θ，),(22x y B O −='与),(11y x OA =的夹角记为α，则|cos |sin αθ=; 信息三：θsin ||||21⋅⋅=
∆OB OA S OAB 信息四：12212211
y x y x y x y x −=，叫二阶行列式
（Ⅰ）求证：221121y x y x S OAB =∆，（外层“”表示取绝对值）；
（Ⅱ）如图二，已知三点M （2,1），N （3,4），Q （1,6），试用（1）中的结论求MNQ ∆的面积．（说明：若用其他方法求解可酌情给分）。
贵州省贵阳市普通中学2022-2023学年高一上学期期末监测考试数学试题(1)
贵阳市普通中学2021-2022学年度第一学期期末监测考试试题高一数学一､选择题（本大题共8小题,每小题4分,共32分.每小题有四个选项,其中只有一个选项正确,请将你认为正确地选项填写在答题卷地相应位置上.）1 已知集合{}3782A x x x =-<-,{}2340B x x x =--<,则A B = （ ）A. {}4x x < B. {}34x x << C. {}13x x -<< D. {}43x x -<<【结果】C 【思路】【思路】求出集合A ,B ,再由交集定义求出A B ．【详解】∵集合{}{}37823A x x x x x =-<-=<,{}{}234014B x x x x x =--<=-<<,∴{}13A B x x ⋂=-<<．故选：C ．2. 已知命题2:,10p n N n n ∀∈++>,则p 地否定为（ ）A. 2,10n N n n ∀∈++< B. 2,10n N n n ∀∈++≤C. 2,10n N n n ∃∈++< D. 2,10n N n n ∃∈++≤【结果】D 【思路】【思路】全称命题地否定为存在命题,利用相关定义进行判断即可【详解】全称命题地否定为存在命题,命题2:,10p n N n n ∀∈++>,则p ⌝为2,10n N n n ∃∈++≤.故选：D3. 函数12xy =地定义域为（ ）A. R B. (,0)(0,)-∞+∞ C. (,0)-∞ D. (0,)+∞【结果】B.【思路】【思路】要使函数12xy =有意义,则需要满足0x ≠即可.【详解】要使函数12x y =有意义,则需要满足0x ≠所以12x y =地定义域为(0)(0)∞∞-⋃+，，,故选：B4. 在平面直角坐标系xoy 中,角α与角β项点都在坐标原点,始边都与x 轴地非负半轴重合,它们地终边有关y 轴对称,若1cos 2α=-,则cos β=（ ）A.12B. 12-C.D. 【结果】A 【思路】【思路】利用终边相同地角和诱导公式求解.【详解】因为 角α与角β地终边有关y 轴对称,所以2,k k Z βπαπ=-+∈,所以 ()1cos cos 2cos 2k βπαπα=-+=-=,故选：A5. 借助信息技术画出函数ln y x =和||y x x a =-（a 为实数）地图象,当 1.5a =时图象如图所示,则函数| 1.5|ln y x x x =--地零点个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【结果】B 【思路】的【思路】由| 1.5|ln 0y x x x =--=转化为 1.5y x x =-与ln y x =地图象交点个数来确定正确选项.【详解】令| 1.5|ln 0y x x x =--=, 1.5ln x x x -=,所以函数| 1.5|ln y x x x =--地零点个数即 1.5y x x =-与ln y x =地图象交点个数,结合图象可知 1.5y x x =-与ln y x =地图象有2个交点,所以函数| 1.5|ln y x x x =--有2个零点.故选：B6. 设 1.53cos2,0.3,log 2a b c -===,则a ,b ,c 地大小关系是（ ）A. a b c <<B. c a b<< C. a c b<< D. b c a<<【结果】C 【思路】【思路】比较a ，b ，c 与0和1地大小即可判断它们之间地大小.【详解】cos20a =<,1.500.30.31b -=>=,()333log 1log 2log 3,0,1c c <=<∈,故a c b <<故选：C.7. 已知1(0,),sin cos 5απαα∈+=-,则下面结论正确地是（ ）A. 4cos 5α= B. 7sin cos 5αα-=C.sin cos 4tan 15ααα+=-D.sin cos 73sin 2cos αααα-=-+【结果】B 【思路】【思路】先求出34sin cos 55αα==-,再对四个选项一一验证即可.【详解】因为1(0,),sin cos 5απαα∈+=-,又22sin cos 1αα+=,.解得：34sin cos 55αα==-.故A 错误。
贵州省贵阳市2018-2019学年高一数学上学期期末检测试题
贵州省贵阳市2018-2019学年高一数学上学期期末检测试题一、选择题1．已知2211()f x x x x -=+，则(1)f x +的解析式为（ ） A.221(1)(1)(1)f x x x +=+++B.2211(1)()1()f x x x x x+=-+- C.2(1)(1)2f x x +=++D.2(1)(1)1f x x +=++2．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则为12V V =（ ） A.164B.127C.19D.183．若实数，满足，则的最小值是（ ） A ．0B ．C ．-6D ．-34．如图，当输入的x 值为5时，则输出的结果 （ ）A.5B.4C.3D.25．与圆221:4470O x y x y ++-+=和圆222:410130O x y x y +--+=都相切的直线条数是（ ）A.3B.1C.2D.46．下列命题中不正确的是（ ）A.空间中和两条相交直线都平行的两个平面平行B.空间中和两条异面直线都平行的两个平面平行C.空间中和两条平行直线都垂直的两个平面平行D.空间中和两条平行直线都平行的两个平面平行 7．复数满足，则（ ）A. B. C. D.8．已知0a b >>，0c >，下列不等式中不．成立的是 A ．a c b c +>+B ．a c b c ->-C ．ac bc >D ．c ca b> 9．设()ln f x x x =，若()'3o f x =，则o x =（ ） A ．eB ．2eC ．ln 22D ．ln 210．设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()'',f x g x 分别是()(),f x g x 的导数，当0x <时，()()()()''+0fx g x f x g x >且()60g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．()()6,06,-⋃+∞B ．()(),60,6-∞-⋃C ．()()6,00,6-⋃D ．()(),66,-∞-⋃+∞11．设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}{}2,3,4,3,4,5A B ==则U A C B =（）A ．{}2B ．{}0,1C ．{}0,1,2,3,4D ．{}0,1,3,4,512．一个射手进行一次射击，则事件“命中环数小于6环”的对立事件是（） A.命中环数为7、8、9、10环 B.命中环数为1、2、3、4、5、6环 C.命中环数至少为6环 D.命中环数至多为6环 二、填空题13．抛物线28y x =的焦点为F ，点(5,4)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为________．14．已知实数x ，y 满足2x y 0x y 4y 1-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则y x 2+的取值范围为______．15．已知P 是△ABC 所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是_____． 16．设2018220180122018(1)ax x a x a a x a -=++++，若12320182320182018a a a a a +++⋯+=()0a ≠，则实数a =________.三、解答题 17．已知函数,函数(1)若,求不等式的解集; (2)若对任意,均存在,使得成立,求实数的取值范围.18．椭圆E ：的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x 轴上的射影恰好为．（1）求椭圆E 的标准方程； （2）设直线与椭圆E 交于A ，C 两点，与x 轴交于点H ，设AC 的中点为Q ，试问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．19．某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度对亩产量(吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表： 海水浓度 亩产量（吨）残差绘制散点图发现,可以用线性回归模型拟合亩产量(吨)与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.（1）求的值；（2）统计学中常用相关指数来刻画回归效果，越大，回归效果越好，如假设，就说明预报变量的差异有是解释变量引起的.请计算相关指数(精确到),并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？（附：残差，相关指数，其中）20．经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分满分100分，得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况； （Ⅱ）如图2按照打分区间、、、、绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下不含70分的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C:2260x y x +-=，直线1l ：30x -=，直线2l 30x y -=以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线C 的参数方程以及直线1l ，2l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于O 、A 两点，直线2l 与曲线C 交于O 、B 两点，求△AOB 的面积. 22．已知集合2{|430},{|33}P x x x Q x a x a =-+<=-<<+，若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C D A D A D B B C C 二、填空题13．1214．14, 55⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．16．2三、解答题17．（1），（2）【解析】分析：（1）根据绝对值的定义分类去掉绝对值符号后解相应不等式；（2）求出的最小值，的最小值，然后再解不等式，注意分类讨论．详解：（1）依题意得当时，，或，；当时，，无解所以原不等式的解集为（2）因为所以当时，当时，所以当时，在上单调增，在上单调增，在上单调减当时，，则在上单调增，在上单调减，在上单调增当时，的上单调增，又因为所以①当时，在上单调增，②当时，又因为，结合时，的单调性，故，综上，，又因为，所以①当时，；②当时，综上得：当时，由得，故当时，由得，故当时，由得，故综上所述：的取值范围是点睛：不等式恒成立问题的等价转化：①对任意，，恒成立；②对任意，存在，使成立；③存在，对任意，使成立．18．（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为，令，则，可得，求出的值即可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）由可得，设，根据弦长公式可得的值，根据两点间距离公式可得的值，则.试题解析：（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为，令，则由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程.（Ⅱ）由可得，设则有，，又，为的中点，直线与轴的交点为，所以，，所以为定值.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.19．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出，再代入方程即得的值；再求，最后利用残差定义求m,n.(2)直接利用相关指数公式求相关指数，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的.详解：（1）因为,,所以，即,所以线性回归方程为,所以,.（2）,所以相关指数,故亩产量的变化有是由海水浓度引起的.点睛：（1）本题主要考查回归方程的性质和残差，考查相关指数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心.20．（1）女生：78，男生：69；（2）0.045；（3） .【解析】试题分析：（1）利用茎叶图能求出女生打分的平均分和男生打分的平均分，从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（2）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为0.45，由此能求出最高矩形的高．（3）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出有女生被抽中的概率．试题解析：解：（1）女生打分的平均分为：，男生打分的平均分为：，从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散． （2）20名学生中，打分区间中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人， 打分区间的人数最多，有9人，所点频率为：，∴最高矩形的高．（3）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，从中抽取3人，基本事件总数，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生， ∴有女生被抽中的概率．21．（1）1l ：()6R πθρ=∈，2l ：()3θρπ=∈R .（293【解析】分析：（1）直接根据圆的参数方程求出曲线C 的参数方程，利用极坐标公式求出直线1l ，2l 的极坐标方程.(2)先求出OA,OB,再利用三角形面积公式求AOB ∆的面积.详解：（1）依题意，曲线C ：()2239x y -+=，故曲线C 的参数方程是333x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），因为直线1l ：30x y =，直线2l 30x y -=，故1l ，2l 的极坐标方程为1l ：()6R πθρ=∈，2l ：()3R πθρ=∈.（2）易知曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=， 把6πθ=代入6cos ρθ=，得133ρ=33,6A π⎛⎫⎪⎝⎭. 把3πθ=代入6cos ρθ=，得23ρ=，所以3,3B π⎛⎫⎪⎝⎭. 所以121sin 2AOB S AOB ρρ∆=∠ 193333sin 3364ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭. 点睛：（1）本题主要考查直角坐标方程、参数方程和极坐标的互化，考查极坐标的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)第2问，化成直角坐标也可以解答，但是利用极坐标解答效率更高. 22．[]0,4 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出P 的等价条件，结合充分条件和必要条件定义转化为P Q ⊆，根据包含关系列不等式进行求解即可． 【详解】由2430x x -+<得()()130x x --< 解得13x <<，即()1,3P =，若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分条件， 则P Q ⊆，即33{31?a a +≥-≤，得0{4?a a ≥≤，即04a ≤≤， 即实数a 的取值范围是[]0,4． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及集合子集的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将充分条件与必要条件问题转化为集合问题是解题的关键.。
【期末冲刺】2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷——第十一章 立体几何初步(解析版)
2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷第十章 立体几何初步 期末单元测试卷（范围：新教材人教B 版 必修四 考试时间：90分钟 满分：150分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.以下命题（其中a 、b 表示直线，α表示平面）中，正确的命题是( )A. 若//a b ，b α⊂，则//a αB. 若//a α，//b α，则//a bC. 若//a b ，b α⊥，则a α⊥D. 若//a α，b α⊂，则//a b答案及解析：1.C【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，直线a 可能含于平面α，所以A 选项错误.对于B 选项，,a b 可能异面，所以B 选项错误.对于C 选项，由于//a b ，b α⊥，所以a α⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，,a b 可能异面，所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.2.下列命题正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。
C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。
D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。
答案及解析：2.B【分析】根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于A 选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B ，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C ，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D ，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.3.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，动点E 在棱BB 1上，动点F 在线段A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O-AEF 的体积( )A. 与x ，y 都有关B. 与x ，y 都无关C. 与x 有关，与y 无关D. 与y 有关，与x 无关答案及解析：3.B【分析】 根据等体积法以及锥体体积公式判断选择.【详解】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以，点E 到平面AOE 的距离为定值，又AO ∥A 1C 1，所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，即△AOF 的面积是定值，所以，四面体O-AEF 的体积与x ，y 都无关，选B 。
贵州省贵阳市高一上学期数学期末考试试卷
贵州省贵阳市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·长春期末) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一上·慈溪期中) 函数y=loga（x2﹣2x）（0＜a＜1）的单调递增区间是（）A . （1，+∞）B . （2，+∞）C . （﹣∞，1）D . （﹣∞，0）3. （2分） (2016高三上·会宁期中) 已知函数y=f（x）的定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x）（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a= f（），b=（lg3）f（lg3），c=（log2 ）f（log2 ），则（）A . c＞a＞bB . c＞b＞aC . a＞b＞cD . a＞c＞b4. （2分）函数的实数解落在的区间是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一下·牡丹江期末) 已知直线：，：，则与的关系（）A . 平行B . 重合C . 相交D . 以上答案都不对6. （2分）下列命题正确的是（）A . 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．B . 若一个平面内的三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．C . 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行．D . 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面垂直．7. （2分） (2017高二上·平顶山期末) 等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC．BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·孝义模拟) 《九章算术》中记载了一种标准量器﹣﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），则该几何体的容积为（）立方寸．（π≈3.14）A . 12.656B . 13.667C . 11.414D . 14.3549. （2分） (2017高一上·福州期末) 已知圆C1：x2+y2=4与圆C2：（x﹣1）2+（y﹣3）2=4，过动点P（a，b）分别作圆C1、圆C2的切线PM，PN，（M，N分别为切点），若|PM|=|PN|，则a2+b2﹣6a﹣4b+13的最小值是（）A . 5B .C .D .10. （2分）幂函数y=f（x）的图象经过点（2，8），则满足f（x）=27的x为（）A . 3B .C . 27D .11. （2分）若集A＝{x｜－1≤2x＋1≤3}，B＝{x｜≤0}，则A∪B＝（）A . {x｜－1≤x＜2}B . {x｜－1≤x≤2}C . {x｜0≤x≤2}D . {x｜0≤x≤1}12. （2分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A . -B . -C . -D . -二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·水富期中) 设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则的最大值是________。
贵州省贵阳市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学 含答案
贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U ={0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N = {3,4,5},U,M, N，找合＇ 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）u`C.{3}A.{l,2,3,4,5}B.{4,5}D.02命题“3xE R, x2 + x+1 � 0”的否定是（）2A.3x e R, x2 + x +l之0B.3x E R, x2 + x+l< 0D.Vx茫R,x·+x+l< 0C.VxER,x2 +x+ l < 0 23对任意角a和fJ."sina = sin/J“是“a=fJ”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件24已知函数f(x)= �+log。
,(2-x)，则f(x)的定义域为（）4x-3A （扣） B.（扣］C.(-oo,2) D （三）u(扣）5设函数f(x)=2·'+x的零点为X o'则X o所在的区间是（）A.(-1,0) C.(1,2)B.(-2,-1) D.(0,1)6设a=(½/,b= 2(c = log2¾，则a,b,c的大小关系为（A. c<a<bB. c < b < aC. a<b<cD.a<c<bII冗7下列选项中，与sin(－飞－）的值不相等的是（）A.2sin l5°sin 75°B.cosl8° cos42° -sinl8° sin42°C.2cos2l5°-lD.tan22.5° l-tan2 22.5°8.某池塘野生水葫芦的援盖面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，其中说法错误的是（y/m2l 6t--－-－-－－－－－－-－-－ ,,，81--－－－－－-－－t'一气， ，， ，， ，A此指数函数的底数为2B在第5个月时，野生水葫芦的稷盖面积会超过30m2C野生水葫芦从4m2荽延到12m2只需1.5个月D设野生水葫芦蔓延至2m2,3m2,6m2所需的时间分别为x1,x2,x3,则有X1+x2 = X3二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．）9已知a,b,c eR,则下列命题正确的是（）I IA若－＞一，则a<ba bB若ac2> bc2,则（1>bC.若a<b,c <d,则a-c<b-dD若a>b > O,c > 0,则a a+c一＞b b+cIO下列说法中，正确的是()IA函数y=－在定义域上是减函数e x -1B.函数y=——一是奇函数e x +lC函数y= f(x+a)-b为奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形D函数f(x)为定义在(-x,,O)U(O冲心）上的奇函数，且f(3) = I.对千任意x,,x2E (0，长't:)),x1:;cx2,汀(x,)－x2f(x2) 3都有1>0成立，则.f(x)三一的解集为（－OCJ,-3] u(0,3]X1 -x2''X三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上．）11若幕函数f(x)＝(11i2-2m-2)义”在(0,+～)上单调递增，则实数m=12函数y= sinx+ cosx的最大值是s13 已知圆和四边形（四个角均为直角）的周长相等，而积分别为S I'鸟，则_]_的最小值为s214已知函数f(x) = 2sin(cv x+(p)(co> O,I例<:)的部分图像如图所示，则f行）＝X-2.一一一一-壹15已知函数f(X) = 2kx2 -kx -i (0 ::; X ::;; 2, k E R)，若k=I，则该函数的零占为若对沁XE[0,2],不等式f(x) < -2k恒成立，则实数K的取值范围为四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16已知角0的终边过点(-3,4)，求角0的三个三角函数值．17.(I)已知芦＋a令＝3,求a＋矿的值：(2)已知log2[ l og3 (log4X)] =0'求X的值18 已知函数f(x)=x-�IX(I)判断函数f(x)的奇偶性：1(2)根据定义证明函数f(x)=x-－在区间(0,＋幻）上单调递增X冗19将函数f(x) =c o s(x+ �)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的上，纵坐标不变，得到函数g(x的（） 图象(I)求函数g(x)的单调递增区间和对称中心：(2)若关于X的方程2sin2x-m c o s x-4= 0在XE（吟）上有实数解，求实数m的取值范围五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分解答应写出文字说明，条理清晰．）20. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的瓜要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的篮要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（I)整体观察：（2)整体设元；（3)整体代入：（4)整体求和等l l例如，ab=I,求证：一＋－＝l.I+a I+b证明：原式ab I b I+—=—+—=I. ab+a I+b b+I l+b阅读材料二：解决多元变掀问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究a+b例如，正实数a,b满足ab=L求(l+a)b解：由ab=I,得b＝一，的最小值1 a+b a+--;; _ a 2+1_ (a+l }2-2(a+l)+2＝ ＝ ＝ ..(I+a)b I a+la+I (l+a )� a 2 2 =(a+l)＋二－2�2✓(a+l)二－2=2✓2-2,当且仅当a+I =✓2，即a=✓2-1,b = ✓2 +1时，等号成立a+b.. (l+a)b的最小值为2J5-2波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个腮菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征结合阅读材料解答下列问题：(I)已知ab=I,求＋——了的值；l+a 2. l +bI I(2)若正实数a,b 满足ab=I,求M =--=--+ 的最小值I+a I+3b贵阳市普通中学2023—2024学年度第一学期期末监测考试试卷高一数学注意事项：1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟．2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分．3.考试过程中不得使用计算器．一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．）1.全织U = {0,1,2,3,4,5,6, 7} il s4M = {O, 1,2,3}, N={3,4,5},U,M, N，找合＇ 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（u`A.{l,2,3,4,5}【答案】B【解析】B.{4,5}【分析】求出M n N,得到阴影部分表示的渠合C.{3}［详解】图中阴影部分表示的渠合为N中元素去掉M n N的元素后的梊合，MnN = {0,1,2,3们{3,4,5}=｛习，故图中阴影部分表示的集合为{4,5}故选：B2.命题“3xER,x2+x+l2:0”的否定是（）A.3x ie R, x2 + x+l ;;:: 0B.3x E R, x2 + x+I <0C.VxER,x2+x+l<0 2D.Vx茫R,X4+x+l< 0【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定即可求解D.0【详解】命题“:3x E R, x 2+ x + 1 2:: 0”的否定是“"ix E R,x 2+x+ 1< 0",故选：C3对任意角a 和/3,"sin a = s in/3“是“a=/3”的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D 既不充分也不必要条件【答案）B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，结合必要不充分的定义即可求解【详解】由sina=s in/3可得a=/J+2朊或者a+/3＝冗＋2幻，kEZ,故sina=s in/3不能得到a=/3，但a=/3，则sina= s in/3，故“sina=sin/3“是“a=/3”的必要不充分条件，故选：B2 4已知函数f(x) =�+log 。
贵州省安顺市2024年数学(高考)统编版真题(评估卷)模拟试卷
贵州省安顺市2024年数学（高考）统编版真题(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题中国古代数学家用圆内接正边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率的值.若据此证明，则正整数至少等于（）A．B．C．D．第(2)题函数是定义在R上奇函数，且，，则（）A．0B．C．2D．1第(3)题技术的数学原理之一是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.假设目前信噪比为若不改变带宽，而将最大信息传播速度提升那么信噪比要扩大到原来的约（）A．倍B．倍C．倍D．倍第(4)题在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，A＝，则该三角形面积的最大值是A ．2B．3C．4D．4第(5)题欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，.得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(6)题如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（）A．B．C．D．第(7)题设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题若（为虚数单位），则（）A．5B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，则关于的说法正确的是（）A．最小正周期为B．奇函数C．在上单调递增D．关于中心对称第(2)题已知复数，，则下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则或C．若且，则D．若，则第(3)题双曲线：，左、右顶点分别为，，为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左、右两支分别交于，两点,与其两条渐近线分别交于，两点,则下列命题正确的是（）A．存在直线，使得B．在运动的过程中，始终有C．若直线的方程为，存在，使得取到最大值D．若直线的方程为，，则双曲线的离心率为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
2019-2020学年人教A版贵州省贵阳市高二第一学期(上)期末数学试卷试题及答案(理科) 含解析
2019-2020学年高二第一学期（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．若命题p：∀x∈R，2x﹣x＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x﹣x＜0 B．∀x∈R，2x﹣x≤0C．D．2．贵阳市某中学高二年级共有学生1800人，为进行体质监测，现按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为36的样本，已知样本中共有女生17人，则高二年级的男生人数约为（）A．850 B．950 C．1050 D．11003．把十进制数19转化为三进制数时，其末位数字是（）A．3 B．2 C．1 D．04．抛物线y＝3x2的准线方程为（）A．B．C．D．5．平面α的一个法向量是＝（4，1，﹣），平面β的一个法向量是＝（，﹣1，3），则平面α与平面β的位置关系是（）A．垂直B．平行C．既不平行也不垂直D．不确定6．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A．B．C．D．7．在某校举行的校园十佳歌手大赛中，五位评委给一位歌手给出的评分分别为x1＝9.5，x2＝9.6，x3＝9.7，x4＝9.8，x5＝9.9，运行程序框图，其中是这五个数据的平均值，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝0.02，即5个数据的标准差为0.02B．S＝0.02，即5个数据的方差为0.02C．S＝9.7，即5个数据的标准差为9.7D．S＝9.7，即5个数据的方差为9.78．已知关于变量x，y的线性回归方程为，且x，y的一些相关数据如表所示，则表格中m的值为（）x 1 2 3 4y0.8 m 1.4 1.5A．1 B．1.05 C．1.2 D．29．有下列三个命题：①设命题p：若m是质数，则m一定是奇数．那么￢p真命题；②在△ABC中，“sin A＝sin B”是“cos A＝cos B”的充要条件；③“若x＞1，则|x|＞1”的否命题是“若x＞1，则|x|≤1”．其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．010．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c．若直线与椭圆的一个交点M满足∠MF2F1＝2∠MF1F2，则该椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．二．填空题（每题4分，共20分）11．84和126的最大公约数为．12．已知F1（﹣3，0），F2（3，0）是双曲线C的两个焦点，且直线是该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的标准方程为．13．如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件），若这两组数据的中位数和平均数都相等，则x+y的值为．14．如图，在三棱锥S﹣ABC中，已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA＝AC＝AB，点E、F分别在SC和BC上，且，，则直线EF与直线AC所成角的余弦值为．15．设P为方程表示的曲线上的点，M、N分别为圆（x+4）2+y2＝4和圆（x﹣4）2+y2＝1上的点，则|PM|+|PN|的最小值为．三．解答题（每题8分，共32分）16．设命题p：方程表示双曲线；命题q：“方程表示焦点在x轴上的椭圆”．（1）若p和q均为真命题，求m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．17．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表：组号分组频率第1组[160，165）0.05第2组[165，170）0.35第3组[170，175）①第4组[175，180）0.20第5组[180，185] 0.10（1）求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；（2）根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数（结果都保留两位小数）．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面△ADP为等腰直角三角形，PA＝PD，AB＝PB＝2，点E为棱AD的中点．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19．在区间[1，6]上任取一个数记为a，在区间[1，5]上任取一个数记为b．（1）若a，b∈N*，求直线ax﹣by＝1的斜率为的概率；（2）若a，b∈R，求直线ax﹣by＝1的斜率为的概率．四．阅读与探究（本题8分）20．阅读以下材料，然后回答（1）、（2）两个问题：例3如图1，设点A，B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM的斜率之积是，求点M的轨迹方程．分析：设点M的坐标为（x，y），那么直线AM，BM的斜率就可以用含x，y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是，因此可以建立x，y之间的关系式，得出点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（﹣5，0），所以，直线AMD的斜率同理，直线BM的斜率由已知有：化简，得点M的轨迹方程为：．（1）如图2，点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状；（2）结合阅读材料及（1）的结果，你有什么发现？请写出你的结论（不需证明）．以下第（3）问是附加题，考生可选做，做对的2分，不做不扣分．（3）仿照材料中例3和问题（1），请你提出一个变式问题，不需解答．参考答案一、选择题（每题4分，共40分）1．若命题p：∀x∈R，2x﹣x＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x﹣x＜0 B．∀x∈R，2x﹣x≤0C．D．解：命题为全称命题，则命题p：∀x∈R，2x﹣x＞0，则￢p是．故选：D．2．贵阳市某中学高二年级共有学生1800人，为进行体质监测，现按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为36的样本，已知样本中共有女生17人，则高二年级的男生人数约为（）A．850 B．950 C．1050 D．1100解：贵阳市某中学高二年级共有学生1800人，按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为36的样本，样本中共有女生17人，则高二年级的男生人数约为：1800×＝950．故选：B．3．把十进制数19转化为三进制数时，其末位数字是（）A．3 B．2 C．1 D．0解：19÷3＝6 (1)6÷3＝2 02÷3＝0 (2)故19（10）＝201（3），可得把十进制数19转化为三进制数时，其末位数字是1，故选：C．4．抛物线y＝3x2的准线方程为（）A．B．C．D．解：抛物线y＝3x2的标准方程为：x2＝y，所以抛物线的标准方程为：y＝﹣．故选：D．5．平面α的一个法向量是＝（4，1，﹣），平面β的一个法向量是＝（，﹣1，3），则平面α与平面β的位置关系是（）A．垂直B．平行C．既不平行也不垂直D．不确定解：∵平面α的一个法向量是＝（4，1，﹣），平面β的一个法向量是＝（，﹣1，3），＝4×+1×（﹣1）+（﹣）×3＝0，∴平面α与平面β的位置关系是垂直．故选：A．6．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A．B．C．D．解：如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，圆内接正六边形的边长为R，面积为6××R2×sin＝；则所求的概率为P＝＝．故选：B．7．在某校举行的校园十佳歌手大赛中，五位评委给一位歌手给出的评分分别为x1＝9.5，x2＝9.6，x3＝9.7，x4＝9.8，x5＝9.9，运行程序框图，其中是这五个数据的平均值，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝0.02，即5个数据的标准差为0.02B．S＝0.02，即5个数据的方差为0.02C．S＝9.7，即5个数据的标准差为9.7D．S＝9.7，即5个数据的方差为9.7解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝，由x1＝9.5，x2＝9.6，x3＝9.7，x4＝9.8，x5＝9.9的平均数为9.7，故S表示5个数据的方差，代入计算可得：S＝0.02，故选：B．8．已知关于变量x，y的线性回归方程为，且x，y的一些相关数据如表所示，则表格中m的值为（）x 1 2 3 4y0.8 m 1.4 1.5A．1 B．1.05 C．1.2 D．2解：，，样本点的中心为（2.5，），代入线性回归方程为，得，解得：m＝1．故选：A．9．有下列三个命题：①设命题p：若m是质数，则m一定是奇数．那么￢p真命题；②在△ABC中，“sin A＝sin B”是“cos A＝cos B”的充要条件；③“若x＞1，则|x|＞1”的否命题是“若x＞1，则|x|≤1”．其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0解：①设命题p：若m是质数，则m一定是奇数．例如2是质数，但是偶数，所以命题是假命题，那么￢p真命题；所以①正确；②在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B，故有cos A＝cos B，反之成立，故在△ABC中，“sin A＝sin B”是“cos A＝cos B”的充要条件；②正确；③“若x＞1，则|x|＞1”的否命题是“若x≤1，则|x|≤1”．所以③不正确；故选：B．10．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c．若直线与椭圆的一个交点M满足∠MF2F1＝2∠MF1F2，则该椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．解：因为直线过椭圆左焦点，且斜率为，所以∠MF1F2＝30°，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF2F1＝20°，∠F1MF2＝90°，故|MF1|＝c，|MF2|＝c，由点M在椭圆上知，c+c＝2a．故离心率e＝＝＝．故选：D．二．填空题（每题4分，共20分）11．84和126的最大公约数为42 ．解：126＝84+42，84＝42×2．∴84和126的最大公约数为42．故答案为：42．12．已知F1（﹣3，0），F2（3，0）是双曲线C的两个焦点，且直线是该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的标准方程为．解：由题意，c＝3，双曲线的焦点坐标在x轴上，直线是该双曲线的一条渐近线，所以＝，a2+b2＝9，∴b＝，a＝2，∴双曲线C的标准方程为：；故答案为：；13．如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件），若这两组数据的中位数和平均数都相等，则x+y的值为12 ．解：由已知中甲组数据：43，51，56，64，60+x；的中位数为56，故乙组数据：45，53，50+y，59，67；的中位数也为65，即y＝6，将y＝6，代入乙组可得乙组数据的平均数为：56，这两组数据的平均值也相等，故x＝6，所以：x+y＝6+6＝12；故答案为：12．14．如图，在三棱锥S﹣ABC中，已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA＝AC＝AB，点E、F分别在SC和BC上，且，，则直线EF与直线AC所成角的余弦值为．解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥AC，∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，设SA＝AC＝AB＝3，∵点E、F分别在SC和BC上，且，，∴E（0，2，1），F（2，1，0），A（0，0，0），C（0，3，0），＝（2，﹣1，﹣1），＝（0，3，0），设直线EF与直线AC所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴直线EF与直线AC所成角的余弦值为．故答案为：．15．设P为方程表示的曲线上的点，M、N分别为圆（x+4）2+y2＝4和圆（x﹣4）2+y2＝1上的点，则|PM|+|PN|的最小值为9 ．解：∵P为方程表示的曲线上的点，∴P是椭圆方程为上任意一点，∴其焦点坐标为F1（﹣4，0），F2（4，0），∴两圆：（x+4）2+y2＝4和（x﹣4）2+y2＝1的圆心分别为F1（﹣4，0），F2（4，0），又点P为椭圆为上任意一点，∴|PF1|+|PF2|＝12，由图可知，|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|﹣3＝9；故答案为：9．三．解答题（每题8分，共32分）16．设命题p：方程表示双曲线；命题q：“方程表示焦点在x轴上的椭圆”．（1）若p和q均为真命题，求m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．解：（1）若p为真命题，则（1﹣m）（m+2）＜0，得m＞1，或m＜﹣2，若q为真命题，则m2＞2m＞0，得m＞2，故p和q均为真命题时，取交集得，m的取值范围为：m＞2．（2）因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假，当p真q假时，，解得m＜﹣2，或1＜m≤2，当p假q真时，，无解综上，实数m的取值范围为m＜﹣2或1＜m≤2．17．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表：组号分组频率第1组[160，165）0.05第2组[165，170）0.35第3组[170，175）①第4组[175，180）0.20第5组[180，185] 0.10（1）求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；（2）根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数（结果都保留两位小数）．解：（1）由频率分布表的性质得：①处应填写的数据为：1﹣（0.05+0.35+0.20+0.10）＝0.30．完成频率分布直方图如下：（2）平均数为：0.05×162.5+0.35×167.5+0.3×172.5+0.2×177.5+0.1×182.5＝172.25．∵0.05+0.35+x＝0.5，解得x＝0.1，∴中位数为：170+0.1＝170.10．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面△ADP为等腰直角三角形，PA＝PD，AB＝PB＝2，点E为棱AD的中点．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面△ADP为等腰直角三角形，PA＝PD，AB＝PB＝2，点E为棱AD的中点．∴PE⊥AD，PE＝1，BE⊥AD，BE＝＝，∴PE2+BE2＝PB2，∴PE⊥BE，∵AD∩BE＝E，∴PE⊥平面ABCD．（2）解：以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1），C（﹣2，，0），＝（1，﹣，0），＝（0，，﹣1），＝（﹣2，，﹣1），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，），设直线AB与平面PBC所成角为θ，∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．19．在区间[1，6]上任取一个数记为a，在区间[1，5]上任取一个数记为b．（1）若a，b∈N*，求直线ax﹣by＝1的斜率为的概率；（2）若a，b∈R，求直线ax﹣by＝1的斜率为的概率．解：（1）∵在区间[1，6]上任取一个数记为a，在区间[1，5]上任取一个数记为b，a，b∈N*，∴a＝1，2，3，4，5，6，n＝1，2，3，4，5．∴基本事件总数N＝6×5＝30，直线ax﹣by＝1的斜率为，即，也就是2a≤b，满足条件的基本事件（a，b）有6个，分别是：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），∴直线ax﹣by＝1的斜率为的概率P＝；（2））∵在区间[1，6]上任取一个数记为a，在区间[1，5]上任取一个数记为b，a，b ∈R，∴有序实数对（a，b）满足，而满足直线ax﹣by＝1的斜率为，即，如图：S ABCD＝5×4＝20，．∴直线ax﹣by＝1的斜率为的概率P＝．四．阅读与探究（本题8分）20．阅读以下材料，然后回答（1）、（2）两个问题：例3如图1，设点A，B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM的斜率之积是，求点M的轨迹方程．分析：设点M的坐标为（x，y），那么直线AM，BM的斜率就可以用含x，y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是，因此可以建立x，y之间的关系式，得出点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（﹣5，0），所以，直线AMD的斜率同理，直线BM的斜率由已知有：化简，得点M的轨迹方程为：．（1）如图2，点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状；（2）结合阅读材料及（1）的结果，你有什么发现？请写出你的结论（不需证明）．以下第（3）问是附加题，考生可选做，做对的2分，不做不扣分．（3）仿照材料中例3和问题（1），请你提出一个变式问题，不需解答．解：（1）设M（x，y），则AM斜率k1＝，BM斜率k2＝．∴k1k2＝•＝（y≠0），整理得，4x2﹣9y2＝100（y≠0），即（y≠0）；（2）点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是k时，①当k＜0（k≠﹣1）时，M的轨迹为焦点在x轴或y轴的椭圆（不含与x轴的交点或y ≠0）；②当k＞0时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点）；（3）设点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（5，0），直线AM、BM相交于M，且它们的斜率之积为﹣1时．求点M的轨迹方程．。
20162017学年贵州省贵阳市高一(上)期末数学试卷
2016-2017学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3}B．{0，1，2，3}C．{2}D．{0，1，3}2．（4分）化简÷（b）（a＞0，b＞0）结果为（）A．a B．b C．D．3．（4分）正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）A．x=0 B．C．D．x=π4．（4分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx5．（4分）设y1=log0.70.8，y2=log1.10.9，y3=1.10.9，则有（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y26．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，则•=（）A．1 B．C．D．27．（4分）如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A．B．C．D．8．（4分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位9．（4分）函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）10．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，该班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班共有名同学参赛．12．（4分）溶液酸碱度是通过pH值刻画的，pH值的计算公式为pH=﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10﹣7摩尔/升，则纯净水的pH=．13．（4分）已知，那么=．14．（4分）计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25=．15．（4分）设A，B是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合中B都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，设f：x→是从集合A到集合B的一个映射．①若A={0，1，2}，则A∩B=；②若B={1，2}，则A ∩B=．三、解答题（共4小题，满分32分）16．（8分）已知向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．（Ⅰ）λ为何值时，+λ与垂直？（Ⅱ）若（m+n）∥，求的值．17．（8分）已知函数f（x）=x﹣．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．18．（8分）已知函数f（x）=sin2+sin cos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，π]，求f（x）的最大值与最小值．19．（8分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根，求实数m的取值范围．四、阅读与探究（共1小题，满分8分）20．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；（4）由函数y=可知f（﹣x）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．2016-2017学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3}B．{0，1，2，3}C．{2}D．{0，1，3}【解答】解：∵集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B={0，1，2，3}，故选：B．2．（4分）化简÷（b）（a＞0，b＞0）结果为（）A．a B．b C．D．【解答】解：原式==a，故选：A3．（4分）正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）A．x=0 B．C．D．x=π【解答】解：f（x）=sinx图象的一条对称轴为+kπ，k∈Z，∴当k=0时，函数的对称轴为，故选：C．4．（4分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx【解答】解：对于A，是奇函数；对于B，是偶函数，不存在零点；对于C，非奇非偶函数；对于D，既是偶函数又存在零点．故选：D．5．（4分）设y1=log0.70.8，y2=log1.10.9，y3=1.10.9，则有（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2【解答】解：y1=，1）；y2=；y3=，可得y3＞y1＞y2．故选：A．6．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，则•=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：．故选A．7．（4分）如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：，根据诱导公式可得cosA=，所以=cosA=，故选B．8．（4分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选：B9．（4分）函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）【解答】解：由图象知A=1，∵=，∴T=π，∴ω=2，∴函数的解析式是y=sin（2x+φ）∵函数的图象过（）∴0=sin（2×+φ）∴φ=kπ﹣，∴φ=﹣∴函数的解析式是y=sin（2x﹣）故选B．10．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f （x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的周期性函数，又x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．根据函数的周期性画出图形，如图，由图可得y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点故选：B．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，该班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班共有17名同学参赛．【解答】解：设A={x|x是参加田径运动会比赛的学生}，B={x|x是参加球类运动会比赛的学生}，A∩B={x|x是两次运动会都参加比赛的学生}，A∪B={x|x是参加所有比赛的学生}．因此card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）=8+12﹣3=17．故两次运动会中，这个班共有17名同学参赛．故答案为：17．12．（4分）溶液酸碱度是通过pH值刻画的，pH值的计算公式为pH=﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10﹣7摩尔/升，则纯净水的pH=7．【解答】解：由题意可得：该溶液的PH值为﹣lg10﹣7=7故答案为：713．（4分）已知，那么=．【解答】解：因为，所以||=．故答案为．14．（4分）计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25=2．【解答】解：原式=2 lg5+lg2•（1+lg5）+（lg2）2=2 lg5+lg2（1+lg5+lg2）=2 lg5+2 lg2=2；故答案为2．15．（4分）设A，B是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合中B都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，设f：x→是从集合A到集合B的一个映射．①若A={0，1，2}，则A∩B={0，1} ；②若B={1，2}，则A∩B={1}或∅．【解答】解：①根据题意，A={0，1，2}，通过对应关系f：x→，B={0，1，}，所以A∩B={0，1}；②根据题意，B={1，2}时，过对应关系f：x→，得A={1}或{4}或{1，4}；所以A∩B={1}或∅．故答案为：{0，1}，{1}或∅．三、解答题（共4小题，满分32分）16．（8分）已知向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．（Ⅰ）λ为何值时，+λ与垂直？（Ⅱ）若（m+n）∥，求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．∴=（1+λ，λ），∵+λ与垂直，∴（）•=1+λ+0=0，解得λ=﹣1，∴λ=1时，+λ与垂直．（Ⅱ）∵=（m，0）+（n，n）=（m+n，n），又（m+n）∥，∴（m+n）×1﹣（﹣1×n）=0，∴=﹣2．∴若（m+n）∥，则=﹣2．17．（8分）已知函数f（x）=x﹣．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x﹣的定义域是D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），任取x∈D，则﹣x∈D，且f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x﹣）=﹣f（x），∴f（x）是定义域上的奇函数；（Ⅱ）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣）﹣（x2﹣）=（x1﹣x2）+（﹣）=；∵0＜x1＜x2，∴x1x2＞0，x1﹣x2＜0，x1x2+1＞0，∴＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．18．（8分）已知函数f（x）=sin2+sin cos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，π]，求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2+sin cos=+sinx=sinx﹣cosx+=sin（x﹣）+，由T==2π，知f（x）的最小正周期是2π；（Ⅱ）由f（x）=sin（x﹣）+，且x∈[，π]，∴≤x﹣≤，∴≤sin（x﹣）≤1，∴1≤sin（x﹣）+≤，∴当x=时，f（x）取得最大值，x=π时，f（x）取得最小值1．19．（8分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即1﹣=0，∴a=2；（Ⅱ）设h（x）=|f（x）•（2x+1）|，g（x）=m，如图所示，m=0或m≥1，两函数图象有一个交点，∴关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根时，实数m的取值范围是m=0或m≥1．四、阅读与探究（共1小题，满分8分）20．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；百度文库- 让每个人平等地提升自我！（4）由函数y=可知f（﹣x ）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．【解答】解：（1）在y=x2﹣中，x≠0，可以推测出：对应的图象不经过y轴，即与y轴不相交，（2）令y=0，即x2﹣=0，解得x=±1，可以推测出，对应的图象与x相交，交点坐标为（1，0）和（﹣1，0），（3）在y=x2﹣中，当0＜x＜1时，＞1＞x2，则y＜0，当x＞1时，＜1＜x2，则y＞0，可以推测出：对应的图象在区间（0，1）上图象在x轴的下方，在区间（1，+∞）上图象在x 轴的上方，（4）在y=x2﹣中，若x∈（0，+∞），则当x逐渐增大时逐渐减小，x2﹣，逐渐增大，即y逐渐增大，所以原函数在（0，+∞）是增函数，可以推测出：对应的图象越向右逐渐升高，是单调递增的趋势，（5）由函数y=x2﹣可知f（﹣x）=f（x），即函数为偶函数，可以推测出：对应的图象关于y轴对称11。
2022-2023学年贵州省贵阳市高一下学期期末监测数学试题【含答案】
2022-2023学年贵州省贵阳市高一下学期期末监测数学试题一、单选题1．设i 为虚数单位，则3i =（）A ．1B ．iC ．－1D ．i-【答案】D【分析】利用复数的乘法运算即可求得结果.【详解】32i i i 1i i =⋅=-⋅=-，故选：D.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，属基础题.2．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()1,0B -，()0,1C ，则AB AC +=（）A ．()1,1-B ．()3,1--C ．()3,1-D ．()0,2【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示，以及坐标运算的法则，即可求解.【详解】由()1,1A ，()1,0B -，()0,1C ，可得,((2,11)),0AB AC ---==，所以(3,1)AB AC +=--.故选：B.3．已知事件A ，B 互斥，若()15P A =，()815P A B = .则()P B =（）A ．13B ．23C ．715D ．815【答案】A【分析】由互斥事件并事件概率的加法公式求解.【详解】由于事件A ，B 互斥，则()()()()18515P A B P A P B P B =+=+= ，所以()13P B =，选项A 正确.故选：A4．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若m n ⊥，n ∥α，则m α⊥B ．若m ∥n ，n α⊥，则m α⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n ∥αD ．若m α⊥，αβ⊥，则m β⊥【答案】B【分析】对于ACD ，举例判断，对于B ，根据线面垂直的判定定理分析判断.【详解】对于A ，如下图，m n ⊥，n ∥α，而m ∥α，所以A 错误，对于B ，设,k l α⊂，且k l O = ，因为n α⊥，所以,n k n l ⊥⊥，因为m ∥n ，所以,m k m l ⊥⊥，因为,k l α⊂，且k l O = ，所以m α⊥，所以B 正确，对于C ，如下图，m α⊥，m n ⊥，此时n ⊂α，所以C 错误，对于D ，如下图，m α⊥，αβ⊥，此时m ∥β，所以D 错误，故选：B5．已知直角三角形三边长分别为3，4，5，以其中一条边所在直线为轴旋转一周后得到一个几何体，则该几何体的最大体积为（）A ．48π5B ．12πC ．16πD ．32π【答案】C【分析】分别计算以直角边和斜边为轴旋转得到的几何体体积，然后比较大小；【详解】当以斜边为轴旋转时，所得的几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，如图所示，在直角三角形ABC 中，43,5,AB BC AC ===，所以11,22ABC S AB BC AC BO =⋅=⋅ 解得：12,5BO =故圆锥底面面积为：()2144ππ,25S BO ==所以几何体的体积为()11144π48π5,33255V V V S AO OC =+=⋅+=⨯⨯=下上以4AB =为轴旋转时，21π3412π,3V =⨯⨯⨯=当以3BC =为轴旋转时，21π4316π,3V =⨯⨯⨯=综上所述，当以3BC =为轴旋转时，体积最大，故选： C.6．从正五边形的5个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是锐角三角形的概率为（）A ．15B ．13C ．12D ．25【答案】C【分析】首先根据组合求解基本事件总数，然后分析所得三角形是锐角三角形的情形，即可得到答案；【详解】从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，基本事件总数为;35C 10,n ==因为正五边形的顶角为钝角，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三角形（如图所示）的个数为5，所以51102P ==.故选：C.7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a =，3b =，2B A =，则c =（）A ．32B ．3C ．3D ．23【答案】D【分析】先利用正弦定理结合已知条件可求出A ，则可求出角,B C ，从而可求出c 【详解】在ABC 中，3a =，3b =，2B A =，由正弦定理得sin sin a b A B =，33sin sin 2A A=，得23sin cos 3sin A A A =，因为sin 0A ≠，所以23cos 3A =，得3cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =，所以π3B =，则π2C =，所以223c a ==，故选：D8．利用向量方法研究函数()sin cos f x a x b x =+（x ∈R ，a ，b 不同时为0），过程如下：设(),m b a =，(),cos sin x n x = ，则()22cos ,cos ,f x m n m n m n a b m n =⋅==+ .所以当m 与n 方向相同时，()f x 取到最大值22a b +，当m与n方向相反时，()f x 取到最小值22a b -+；根据以上研究，下列关于函数()3sin 4cos g x x x =+的结论正确的是（）A ．最大值为5，取到最大值时3tan 4x =B ．最大值为5，取到最大值时4tan 3x =C ．最大值为5，取到最大值时3tan 4x =D ．最大值为5，取到最大值时4tan 3x =【答案】A【分析】根据所给定义及向量模的坐标表示计算可得.【详解】因为()3sin 4cos g x x x =+，设()4,3m = ，(),cos sin x n x = ，则22435m =+= ，22cos sin 1n x x =+= ，则()cos ,5cos ,g x m n m n m n m n =⋅==，所以()max 5g x =，当m与n方向相同，即4sin 3cos x x =，即3tan 4x =时取最大值.故选：A二、多选题9．已知复数z 的共轭复数为z ，则下列说法正确的是（）A ．z z +一定是实数B ．z z ⋅一定是实数C ．z z -一定是纯虚数D ．22z z=【答案】AB【分析】设i,(,R)z a b a b =+∈，得到i z a b =-，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】设i,(,R)z a b a b =+∈，则i z a b =-，对于A 中，由2R z z a +=∈，所以A 正确；对于B 中，由()()22i i R z z a b a b a b ⋅=+-=+∈，所以B 正确；对于C 中，由2i z z b -=，只有当0b ≠时，z z -是纯虚数，所以C 不正确；对于D 中，由2222222i,z a b ab z a b =-+=+，所以22z z ≠，所以D 不正确.故选：AB.10．底面为平行四边形的四棱柱称为平行六面体，连接平行六面体不在同一面上两个顶点的线段称为平行六面体的体对角线.以下关于平行六面体的命题，正确的是（）A ．平行六面体的4条体对角线交于一点且互相平分B ．平行六面体的8个顶点在同一球面上C ．平行六面体的4条体对角线长的平方和等于所有棱长的平方和D ．各棱长均为1的平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则体对角线1AC 的长为6【答案】ACD【分析】由平行四边形对角线互相平分可证选项A;由圆内接四边形对角互补，可判断选项B 错误；由平行四边形11ABC D 对角线的平方和等于四条边的平方和性质，可得选项C 正确；由三棱锥1A ABD -为棱长为1正三棱锥，可求出1cos A AS Ð，从而在1ACC △中利用余弦定理求解，可判断选项D 正确.【详解】如图，连结111,,AC BD AC 依题意，111//,//,,AB CD CD C D AB CD CD C D ==，所以111//,AB C D AB C D =，即11ABC D 为平行四边形，则11,AC BD 相交且互相平分，同理11,BD AC 相交且互相平分，则1111,,,AC BD AC B D 相交于中点O ，所以平行六面体的4条体对角线交于一点且互相平分，选项A 正确；若平行六面体的8个顶点在同一球面上，则平行四边形ABCD 四个定点在一个圆周上，而圆的内接四边形对角互补，而平行四边形ABCD 对角不一定互补，选项B 错误；11AC AB BB BC =++ ，11BD BB BC BA =++ ，2222211111()222AC AB BB BC AB BB BC AB BB AB BC BB BC =++=+++⋅+⋅+⋅ ，2222211111()222BD BB BC BA BB BC BA BB BC BB AB BC AB =++=+++⋅-⋅-⋅，则2222211112224AC BD BB BC BA BB BC +=+++⋅，2222211111()222AC AB BC B B AB BC B B AB B B AB BC B B BC =++=+++⋅+⋅+⋅ ，2222211111()222DB CB AB BB CB AB BB BC AB CB BB AB B B =++=++-⋅+⋅-⋅ ，则2222211112224AC DB AB CB B B BC B B +=+++⋅ 所以222222211111444AC BD AC DB AB CB B B +++=++ ，即平行六面体的4条体对角线长的平方和等于所有棱长的平方和，选项C 正确；根据题意，三棱锥1A ABD -为棱长为1正三棱锥，所以1A 在平面ABD 上的投影为正ABD △的中心，则323233AS =´=，113cos 3AS A AS AA Ð==，所以13cos 3ACC Ð=-，由余弦定理2222111132cos 312363AC AC CC AC CC ACC =+-⋅∠=++⨯⨯=，所以1AC 的长为6，选项D 正确.故选：ACD三、填空题11．已知平面向量a ，b 满足2a = ，3b = ，a 与b的夹角为60°，则a b ⋅=.【答案】3【分析】根据平面向量数量积定义求解即可.【详解】1cos 602332a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=.故答案为：312．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12,23，若两人同时参加测试，则有且只有一人能通过的概率是.【答案】12/0.5【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率加法，结合题意，即可求解.【详解】设事件A 表示“甲同学通过测试”，事件B 表示“乙同学通过测试”，可得12(),()23P A P B ==，则有且只有一人能通过的概率为12121()()()()(1)(1)23232P P A P B P A P B =+=⨯-+-⨯=.故答案为：12.13．一个圆台的上、下底面圆周在同一球面上，已知圆台上、下底面的半径分别为3cm 和4cm ，球100πcm，则该圆台的高为cm.的表面积为2【答案】7或1/1或7、，球心为O，分圆台的上、下底面不在同一半球上【分析】设圆台的上、下底面的圆心分别为E F和圆台的上、下底面在同一半球上两种情况，再利用勾股定理可得答案.、，球心为O，【详解】设圆台的上、下底面的圆心分别为E F如图，当圆台的上、下底面不在同一半球上时，222594cmEO AO AE，=-=-=+=；2225163cmFO CO CF，所以则该圆台的高为437cm=-=-=如图，当圆台的上、下底面在同一半球上时，222594cmEO AO AE，=-=-=-=；2225163cmFO CO CF，所以则该圆台的高为431cm=-=-=综上，该圆台的高为7cm或1cm.故答案为：7或1.四、双空题14．某校采用比例分配分层随机抽样采集了高一年级学生的身高情况，部分统计数据如下：性别样本量样本平均数样本方差男10017022女10016038则估计该校高一年级的全体学生的身高平均数为，方差为.（注：由人教版高中数学必修第二册习题9.2拓广探索可知以下结论：已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m ，x ，21s ；n ，y ，22s .记总的样本平均数为ω，样本方差为2s ，则()(){}22222121s m s n x m n y s ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+）【答案】16555【分析】根据题意，由公式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，该校高一年级的全体学生的身高平均数为()1100170100160165200⨯+⨯=由结论可得，方差为()(){}22222121s m s n x m n y s ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+()(){}22221100221701651003816016555100100⎡⎤⎡⎤=⨯+-++-=⎣⎦⎣⎦+.故答案为：165；5515．魏晋时期的刘徽在其所撰《海岛算经》中，运用二次测望法解决实际测量问题，是世界测量学上取得的伟大成就.某数学学习小组受《海岛算经》中“望山松”一题的启发，进行了如下测量实践活动：如图，为测量山顶松树的高AB ，在山底C 所在水平面内，选择D 、E 两点，使C 、D 、E 三点在同一直线上，在D 点测得A 点和B 点的仰角分别为60°、45°，在E 点测得A 点的仰角为30°，测得基线DE 的长为100米.由以上测量数据可得出：①松树的高AB =米（精确到0.1）；②ADB ∠和AEB ∠分别是人在D 点和E 点观测松树的视角，其大小关系为：ADB ∠AEB∠（填“>”，“<”或“=”）.（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）【答案】36.6>【分析】由题意可得30DEA DAE ∠==︒，则可得100AD DE ==，然后求出,AC BC 可求得AB 的值，由图可知ABE 的外接圆大于ABD △，然后分别在两个三角形中利用正弦定理比较即可【详解】由题意得45,60,30,100BDC ADC AEC DE ∠=︒∠=︒∠=︒=，所以120ADE ∠=︒，所以30DEA DAE ∠==︒，所以100AD DE ==，在Rt ADC 中，3sin 1005032AC AD ADC =∠=⨯=，1cos 100502CD AD ADC =∠=⨯=，在Rt BDC 中，tan 50BC CD BDC CD =∠==，所以5035050 1.7325036.6AB AC BC =-=-≈⨯-≈，设ABE 的外接圆半径为1r ，ABD △的外接半径为2r ，由图可知12r r >，由正弦定理得122,2sin sin AB ABr r AEB ADB==∠∠，所以sin sin AB AB AEB ADB>∠∠，所以sin sin ADB AEB ∠>∠，因为,ADB AEB ∠∠都为锐角，所以ADB AEB >∠∠，故答案为：36.6，>五、解答题16．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F ，G 满足2AB AE = ，2AD AF = ，2BC BG = ，设AB a=，AD b =.(1)用a ，b 表示EF ，EG ；(2)若EF EG ⊥，求a b.【答案】(1)1122EF a b =-+ ，1122EG a b=+(2)1【分析】（1）根据题意，由平面向量基本定理即可得到结果；（2）根据题意，由EF EG ⊥可得22a b = ，即可得到结果.【详解】（1）1122EF EA AF a b =+=-+ ，1122EG EB BG a b =+=+ ；（2）若EF EG ⊥ ，则0EF EG ⋅= 所以221111*********a b a b b a ⎛⎫⎛⎫-+⋅+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以22a b = ，所以1a b= .17．某企业生产口罩、防护服、消毒水等物品，在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.(1)求出直方图中m 的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数（精确到0.01）；(3)规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标不小于70的口罩为一等品.采用样本量比例分配的分层随机抽样，从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个？【答案】(1)0.030m =(2)73.33(3)一等品有3个和二等品有2个【分析】（1）根据频率之和为1，列出方程，即可得到结果；（2）根据中位数的计算公式，代入计算，即可得到结果；（3）根据分层抽样的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由()100.0100.0150.0150.0250.0051m ⨯+++++=，得0.030m =.（2）因为0.10.150.150.40.5++=<，0.10.150.150.30.70.5+++=>所以中位数在第4组，设中位数为n ，则()0.10.150.150.03700.5n +++-=，解得22073.333n =≈.所以可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为73.33.（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品有60个，二等品有40个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有6053100⨯=个，二等品有532-=个，所以抽取的5个口罩中一等品有3个和二等品有2个.18．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()cos 2cos b A c a B =-.(1)求B 的大小；(2)若ABC 为钝角三角形，且4a =，3b =，求ABC 的面积.【答案】(1)π4(2)42-【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角形的性质化简得到sin 2sin cos C C B =，进而得到cos B 的值，即可求解.（2）由正弦定理求得22sin 3A =，结合题设条件，得到1cos 3A =-，求得sin C ，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：因为()cos 2cos b A c a B =-，所以cos cos 2cos b A a B c B +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos B A A B C B +=，即()sin 2sin cos A B C B +=，因为πA B C ++=，可得()sin sin A B C +=，所以sin 2sin cos C C B =，又因为(0,π)C ∈，可得sin 0C ≠，所以2cos 2B =，因为(0,π)B ∈，π4B =.（2）解：由正弦定理有43sin 22A =，可得22sin 3A =，则1cos 3A =或13-若1cos 3A =，则()21222cos cos 02323C A B ⎛⎫=-+=-⨯-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭，此时ABC 为锐角三角形，不满足条件.若1cos 3A =-，此时ABC 为钝角三角形.则()2122242sin sin 23236C AB ⎛⎫-⎛⎫=+=⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 422ABC S ab C ==-△.19．如图，四面体A BCD -中，AD CD ⊥，AD CD =，ADB BDC ∠=∠，点F 在BD 上，E 为AC 的中点.(1)证明：平面FAC ⊥平面BDE ；(2)若DE BE ⊥，1DE =，四面体A BCD -的体积为33，若AFC ∠恰为二面角A BD C --的平面角，求AFC △的面积.【答案】(1)证明见解析(2)32【分析】（1）依题意，可证ABD CBD ≌△△，由等腰三角形性质得AC BE ⊥，AC DE⊥从而AC ⊥平面BDE ，由面面垂直的判定定理得证；（2）连接EF ，由AFC ∠是二面角A DB C --的平面角，可得BD ⊥平面AFC ，从而BD EF ⊥，求得2AC =，再由四面体A BCD -的体积为33，解得3BE =，由等面积法得32EF =，最后12AFC S AC EF =⋅△，解决问题.【详解】（1）证明：因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥，在ABD △和CBD △中AD CD =，ADB CDB ∠=∠，DB DB =，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥，又DE ，BE ⊂平面BDE ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BDE .又AC ⊂平面FAC ，所以平面FAC ⊥平面BDE（2）如图，连接EF ，因为AFC ∠是二面角A DB C --的平面角，所以AF BD ⊥，CF BD ⊥，又AF ，CF ⊂平面AFC ，AF CF F ⋂=，所以BD ⊥平面AFC .因为EF ⊂平面AFC ，所以BD EF ⊥.因为AD CD ⊥，AD CD =，1DE =，所以2AC =，又由（1），AC ⊥平面BDE所以四面体A BCD -的体积13A BCD DBE V S AC -=⨯⨯△，即31112332BE ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得3BE =.因为1122BDE S DE BE BD EF =⋅=⋅△，即DE BE BD EF ⋅=⋅，()221313EF ⨯=+，则32EF =.又AC ⊥平面BED ，所以AC EF ⊥，所以113322222AFC S AC EF =⋅=⨯⨯=△.20．阅读材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a ，中斜为b ，大斜为c ，则三角形的面积为222222142c a b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.这个公式称之为秦九韶公式；材料二：古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》；中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为,,a b c ，则它的面积为()()()S p p a p b p c =---，其中()12p a b c =++，这个公式称之为海伦公式；材料三：秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边直接求三角形面积的问题.海伦公式形式优美，容易记忆，体现了数学的对称美，秦九韶公式虽然与海伦公式形式不一样，但与海伦公式完全等价，且由秦九韶在不借助余弦定理的情况下独立推出，充分说明了我国古代学者具有很高的数学水平；材料四：印度数学家婆罗摩笈多将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即设凸四边形的四条边长分别为a b c d ,,,，()12p a b c d =+++，凸四边形的一对对角和的半为θ，则凸四边形的面积为()()()()2cos S p a p b p c p d abcd θ=-----.这个公式称之为婆罗摩笈多公式.请你结合阅读材料解答下面的问题：(1)在下面两个问题中选择一个作答：（如果多做，按所做的第一个问题给分）①证明秦九韶公式与海伦公式的等价性；②已知圆内接四边形MNPQ 中，2MN =，4NP =，5PQ =，3QM =，求MNPQ 的面积；(2)ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为6，其内切圆半径为1，4,a b c =<，求b ，c .【答案】(1)答案见解析(2)3,5b c ==【分析】（1）若选择①：由秦九韶公式证明海伦公式化简得到()()()ABC S p p a p b p c =--- ，即可求解；若选择②：根据题意得到7p =，得到四边形的面积为2120cos S abcd θ=-，结合四边形MNPQ 是圆内接四边形对角和为180︒，代入即可求解；（2）设内切圆半径为r ，根据()12ABC S a b c r =++⋅△，求得8+=b c ，再由海伦公式化简得到15bc =，联立方程组，即可求解.【详解】（1）解：若选择①：由秦九韶公式证明海伦公式：2222222222221142422ABC c a b c a b c a b S a c ac ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-=-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()222214222222a c b b a c a b c a c b b a c b c a ⎡⎤⎡⎤+---+++-+-+-==⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设()12p a b c =++，所以2222ABC a b c a b c a b c a b c S b c a ++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△()()()p p a p b p c =---上述每一步均为等价变形，所以秦九韶公式与海伦公式是等价的.若选择②：因为()12p a b c d =+++，且2MN =，4NP =，5PQ =，3QM =，代入可得()1245327p =⨯++=+，所以()()()()22cos 120cos S p a p b p c p d abcd abcd θθ=-----=-，因为四边形MNPQ 是圆内接四边形，对角和为180︒，所以90θ=︒，可得21202453cos 90230S =-⨯⨯⨯︒=.（2）解：设内切圆半径为r ，因为()12ABC S a b c r =++⋅△，代入6ABC S = ，4a =，1r =，可得8+=b c ，①又由()162ABC S p a b c r=++==△，由海伦公式()()()ABC S p p a p b p c =--- ，可得()()()666466b c =---，化简得()()663b c --=，即()6363bc b c -++=，代入①，可得15bc =，②联立方程组815b c bc +=⎧⎨=⎩，且b c <，解得3,5b c ==.。
贵州省贵阳市2023-2024学年高一下学期教学质量监测卷(三)数学含答案
贵阳2023级高一年级教学质量监测卷（三）数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若i12i1i a +=-++（R a ∈，i 为虚数单位），则a 的值为（）A.1B.3- C.5D.22.设2log 3a =，0.3log 2b =，0.30.3c =，则三者的大小关系为（）A.b<c<aB.c<a<bC.a b c<< D.b a c<<3.若a ∈R ，则“2a =”是复数“24(2)i z a a =-++”为纯虚数的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不重合的平面，给出下面三个结论：①若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ；②若,,,m n m n αββ⊂∥∥，则αβ∥；③若m n ，是两条异面直线，且,,,m m n n αβαβ∥∥∥∥，则αβ∥.其中正确结论的序号为A.①②B.①③C.②③D.③5.对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围为（）A.[)1,+∞ B.()1,1- C.(],1-∞ D.(),1-∞6.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若)cos cos c A a C -=，则cos A =（）A.12B.2C.33D.7.《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（）A.60.08斛B.171.24斛C.61.73斛D.185.19斛8.已知AB AC ⊥ ，||AB t = ，1||AC t= ．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且2||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ⋅的最大值为（）A.13B.5- C.5- D.10+二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.函数()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，则以下结论中正确的是（）A.图象C 关于直线12x π=对称 B.图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数 D.6y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数10.已知函数()241f x x x =-+，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =在(],2-∞-上是单调递增B.函数()y f x =在[]2,0-上是单调递增C.当0x =时，函数()y f x =有最大值D.当2x =-或2x =时，函数()y f x =有最小值11.在给出的下列命题中，正确的是（）A.设,,,O A B C 是同一平面上的四个点，若()()1OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈R，则点,,A B C 必共线B.若向量a ，b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(),c a b λμμλ∈=+R ，且表示方法是唯一的C.若45A =︒，2a =，b =，则ABC 只有一解D.已知平面向量OA ，OB ，OC 满足OA OB OA OC ⋅=⋅ ，AB AC AO AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，则ABC 为等边三角形12.()y f x =定义域为R ，()2y f x =+为偶函数，()21f =且()()()242f x g x g x =--，则下列说法正确的是（）A.()y f x =的图象关于（1，0）对称B.()y f x =的图象关于2x =对称C.4为()y f x =的周期D.()221k f k ==∑第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数()7log f x a x =+在区间()1,7上有零点，则实数a 的取值范围______．14.已知πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()tan 3αβ+=-，则πtan 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.15.已知ABC 的顶点都是球O 的球面上的点，2AB =，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，若三棱锥O ABC -的体积为63，则球O 的表面积为___________.16.已知函数()()π2sin 0,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示，且()f x 在[]0,π上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是______.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量(2,1)a = ，(1,2)b = ，(3,)c λ=．（1）若c a ∥，求||c 的值；（2）若()ka b a +⊥，求k 的值．18.在△ABC 中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若cos cos 2sin b C c B b A +=，且sin sin A B ≥．（1）求角B 的值；（2）若cos sin 0C B +=，且ABC 的面积为3BC 边上的中线AM 的长．19.党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的LED 灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种LED 灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x 万件该产品，需另投入变动成本()W x 万元，在年产量不足6万件时，()212W x x x =+，在年产量不小于6万件时，()81737W x x x=+-．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式．（注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本）（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？20.已知函数()2sin cos 32f x x x x =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f A =且3a =，求b c +的取值范围.21.如图所示正四棱锥S -ABCD ，4SA SB SC SD ====，AB =，P 为侧棱SD 上的点，且3SP PD =，求：（1）正四棱锥S -ABCD 的表面积；（2）侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC .若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.22.对于在区间[],m n 上有意义的函数()f x ，若满足对任意的1x ，[]2,x m n ∈，有()()121f x f x -≤恒成立，则称()f x 在[],m n 上是“友好”的，否则就称()f x 在[],m n 上是“不友好”的.现有函数()31log axf x x+=.（1）当1a =时，判断函数()f x 在[]1,2上是否“友好”；（2）若函数()f x 在区间[](),112m m m +≤≤上是“友好”的，求实数a 的取值范围.贵阳2023级高一年级教学质量监测卷（三）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若i12i1i a +=-++（R a ∈，i 为虚数单位），则a 的值为（）A.1B.3- C.5D.2【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简即可.【详解】因为i12i 1ia +=-++，所以()()212i 1i i 1i 2i 2i i 3a =-++-=--++-=-.故选：B2.设2log 3a =，0.3log 2b =，0.30.3c =，则三者的大小关系为（）A.b<c<aB.c<a<bC.a b c<< D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】本题可借助于指数函数和对数函数的单调性以及中间量比较大小.【详解】22log 3log 21a == ＞，0.30.3log log 10b ==2＜，0.300.30.31c ==0＜＜，∴a c b ＞＞.故选：A.3.若a ∈R ，则“2a =”是复数“24(2)i z a a =-++”为纯虚数的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可.【详解】若2a =，则4i z =为纯虚数；若24(2)i z a a =-++为纯虚数，a ∈R ，则有24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =.所以，当a ∈R 时，“2a =”是复数“24(2)i z a a =-++”为纯虚数的充要条件.故选：C4.已知m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不重合的平面，给出下面三个结论：①若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ；②若,,,m n m n αββ⊂∥∥，则αβ∥；③若m n ，是两条异面直线，且,,,m m n n αβαβ∥∥∥∥，则αβ∥.其中正确结论的序号为A.①② B.①③C.②③D.③【答案】D 【解析】【分析】利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解．【详解】由题意，若αβ∥，m n αβ⊂⊂，，则m 与n 平行或异面，故①错误；若m n m n αββ⊂，，∥，∥，则α与β可能平行也可能相交，故②错误；若m ，n 是两条异面直线，且m m n n αβαβ∥，∥，∥，∥，则αβ∥，故③正确.故正确的结论只有③，故选D.【点睛】主要考查了空间中平行关系的判定与证明，其中解答中熟记线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5.对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围为（）A.[)1,+∞ B.()1,1- C.(],1-∞ D.(),1-∞【答案】D 【解析】【分析】参变分离可得12m x x<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，利用基本不等式求出1x x +的最小值，即可求出参数的取值范围.【详解】因为对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，所以对任意的()0,x ∈+∞，2112x m x x x+<=+恒成立，又12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以22m <，解得1m <，即m 的取值范围为(),1-∞.故选：D6.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若)cos cos c A a C -=，则cos A =（）A.12B.2C.3D.【答案】C 【解析】【分析】根据正弦定理得到()cos sin sin B A A C B =+=，结合两角和的正弦公式即可得到答案.【详解】)cos cos c A a C -=，则)sin cos sin cos B C A A C -=，()cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=，因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以cos 3A =，故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（）A.60.08斛B.171.24斛C.61.73斛D.185.19斛【答案】C 【解析】【分析】根据圆锥的底面周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数．【详解】设圆锥形稻谷堆的底面半径为r 尺，则底面周长为2π30l r ==尺，解得15πr =尺，又高为4h =尺，所以圆锥的体积为221115900ππ410033π3πV r h ⎛⎫==⨯⨯⨯=≈ ⎪⎝⎭（立方尺）；又10061.731.62≈（斛），所以估算堆放的稻谷约有61.73（斛）．故选：C ．8.已知AB AC ⊥ ，||AB t = ，1||AC t= ．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且2||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ⋅ 的最大值为（）A.13B.5-C.5-D.10+【答案】B 【解析】【分析】以A 为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解.【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P （x ，y ）则1(,0),(0,0)B t C t t >，可得(1,0)AB AB = ，2(0,2)||AC AC =，所以(1,2)AP = ，即(1,2)P ，故(1,2)PB t =--，11,2PC t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以221455PB PC t t t t ⎛⎫⋅=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭2t t =即t =时等号成立．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则以下结论中正确的是（）A.图象C 关于直线12x π=对称 B.图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数 D.6y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数【答案】BC 【解析】【分析】利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为33sin 31262f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故图象C 不关于直线12x π=对称，A 错；对于B 选项，因为23sin 03f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，故图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 对；对于C 选项，当5,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2232x πππ-<-<，所以，函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数，C 对；对于D 选项，3sin 23sin 2663f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，D 错.故选：BC.10.已知函数()241f x x x =-+，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =在(],2-∞-上是单调递增B.函数()y f x =在[]2,0-上是单调递增C.当0x =时，函数()y f x =有最大值D.当2x =-或2x =时，函数()y f x =有最小值【答案】BD 【解析】【分析】作出函数的图象，结合图象逐项判断即可．【详解】()22241,04141,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨++<⎩，作出函数()f x的图象如下：由图象可知函数()y f x =在(],2-∞-上是单调递减，在[]2,0-上是单调递增，故A 错误，B 正确；由图象可知()f x 在2x =-或2x =时，函数()y f x =有最小值，没有最大值，故C 错误，D 正确；故选：BD ．11.在给出的下列命题中，正确的是（）A.设,,,O A B C 是同一平面上的四个点，若()()1OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈R，则点,,A B C 必共线B.若向量a ，b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(),c a b λμμλ∈=+R ，且表示方法是唯一的C.若45A =︒，2a =，b =，则ABC 只有一解D.已知平面向量OA ，OB ，OC 满足OA OB OA OC ⋅=⋅ ，AB AC AO AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，则ABC 为等边三角形【答案】AC【解析】【分析】对A ，化简得出CA mCB =，根据向量共线定理可判断；对B ，根据平面向量基本定理可判断；对C ，利用正弦定理求出B 即可判断，对D ，首先可得OA CB ⊥，根据AB AC AO AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭可得OA 为BAC ∠的角平分线即可判断.【详解】对于A ，若(1)OA m OB m OC =⋅+-⋅，则()OA OC m OB OC -=- ，即CA mCB = ，则//CA CB，且有公共点C ，故,,A B C 共线，故A 正确；对于B ，根据平面向量基本定理可得若,a b共线，则不满足题意，故B 错误；对于C ，由正弦定理sin sin a bA B=sin 2B =，则sin 1B =，又0135B ︒︒<<，所以90B ︒=，则45C ︒=，故ABC 只有一解，故C 正确；对于D ，OA OB OA OC ⋅=⋅ ，()0OA OB OC ∴⋅-= ，即0OA CB ⋅= ，所以OA CB ⊥，因为AB AB 表示与AB 同向的单位向量，AC AC表示与AC同向的单位向量，则AB AC AB AC λ⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭ 为BAC ∠的角平分线上的向量，又AB AC AO AB ACλ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，所以OA 为BAC ∠的角平分线，所以ABC 为等腰三角形，故D 错误.故选：AC12.()y f x =定义域为R ，()2y f x =+为偶函数，()21f =且()()()242f x g x g x =--，则下列说法正确的是（）A.()y f x =的图象关于（1，0）对称B.()y f x =的图象关于2x =对称C.4为()y f x =的周期D.()221k f k ==∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项.【详解】因为()2y f x =+为偶函数，则()()22f x f x +=-+，可知函数()y f x =关于2x =对称，()()()242f x g x g x =--，把x 换成2x -可得()()()2422f x g x g x -=--，两式相加可得()()20f x f x +-=，()y f x =关于()1,0对称，又()f x 关于2x =轴对称，则可得()()()22f x f x f x =--=-+，()()()24f x f x f x =-+=+，可知4为()f x 的周期，所以ABC 都正确．令1x =，()()()1220f g g =-=，()()310f f ==，()()021f f =-=-，()()()()()()22151234121i f f f f f f =⎡⎤=+++++=⎣⎦∑，D 选项错误.故选:ABC ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数()7log f x a x =+在区间()1,7上有零点，则实数a 的取值范围______．【答案】()1,0-【解析】【分析】依据函数零点存在定理列不等式组解之即可求得实数a 的取值范围.【详解】函数()f x 在区间()1,7上为增函数，若函数()f x 在区间()1,7上有零点，则()10f <，()70f >，即77log 10log 70a a +<⎧⎨+>⎩，解之得10a -<<故答案为：()1,0-14.已知πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()tan 3αβ+=-，则πtan 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】1【解析】【分析】根据()ππtan tan 66βαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用两角差的正切公式计算可得.【详解】因为πtan 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()tan 3αβ+=-，所以()()()πtan tan ππ6tan tan π661tan tan 6αβαβαβααβα⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--=⎪ ⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭()321132--==+-⨯.故答案为：115.已知ABC 的顶点都是球O 的球面上的点，2AB =，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，若三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 的表面积为___________.【答案】36π【解析】【分析】取AB 的中点M ，则M 为ABC 外接圆的圆心，得到OM ⊥平面ABC ，结合三棱锥的体积求得OM =O 的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】因为90ACB ∠=︒，取AB 的中点M ，则M 为ABC 外接圆的圆心，所以OM ⊥平面ABC ，因为2AB =，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，所以1,BC AC ==，所以1122ABCS =⨯=，又由三棱锥O ABC -的体积为3，所以1323OM ⨯=，解得OM =，所以球O的半径为3==，故球O 的表面积24336S ππ=⨯=.故答案为：36π.16.已知函数()()π2sin 0,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示，且()f x 在[]0,π上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是______.【答案】47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由(0)1f =，推出π6ϕ=，从而知()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由[]0,πx ∈，求得π6x ω+的取值范围，并结合正弦函数的图象与性质，即可得解．【详解】由图知(0)1f =，所以1sin 2ϕ=，因为2π0,ϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π6ϕ=，即()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[]0,πx ∈，知,πππ66π6x ωω⎡⎤⎢⎥+∈+⎣⎦，因为()f x 在[]0,π上恰有一个最大值和一个最小值，所以π3π5ππ,622ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得47,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．故答案为：47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭．四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量(2,1)a = ，(1,2)b = ，(3,)c λ=．（1）若c a ∥，求||c 的值；（2）若()ka b a +⊥，求k 的值．【答案】（1）35||2c =（2）45k =-【解析】【分析】（1）由向量平行得出λ，进而由模长公式的得出||c 的值；（2）根据向量垂直的坐标表示得出k 的值．【小问1详解】由c a ∥ 得23λ=，∴32λ=，∴35||2c == 【小问2详解】由已知(2,1)(1,2)(21,2)ka b k k k +=+=++，又()ka b a +⊥，∴(21)21(2)0k k +⨯+⨯+=，解得45k =-18.在△ABC 中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若cos cos 2sin b C c B b A +=，且sin sin A B ≥．（1）求角B 的值；（2）若cos sin 0C B +=，且ABC 的面积为BC 边上的中线AM 的长．【答案】（1）π6（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理，边化角，求得1sin 2B =，判断角的范围，确定答案;（2）由条件可推得b a =，继而求得边长，再根据余弦定理即可求得答案.【小问1详解】因为cos cos 2sin b C c B b A+=由正弦定理得()sin cos sin cos 2sin sin sin sin B C C B B A B C A +==+=所以1sin 2B =，π6B =或5π6又因为sin sin A B ≥，则π5π,66A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π6B =故答案为：π6B =【小问2详解】由（1）知π6B =，又cos sin 0C B +=，所以12πcos ,23C C =-=，则ππ3A B C =--=，所以b a =.又2112πsin sin 223ABC S ba C a ===△，所以4a =，在ACM 中，122CM a ==，由余弦定理得2222π2cos 1648283AM AC CM AC CM =+-⋅=++=，所以AM =故答案为：19.党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的LED 灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种LED 灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x 万件该产品，需另投入变动成本()W x 万元，在年产量不足6万件时，()212W x x x =+，在年产量不小于6万件时，()81737W x x x=+-．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式．（注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本）（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）()2153,0628134,6x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩（2）年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．【解析】【分析】（1）根据已知条件及年利润=年销售收入-固定成本-变动成本即可求解；（2）根据分段函数分段处理的原则，利用二次函数的性质及基本不等式，再比较两者的大小即可求解．【小问1详解】由题可知，()()63L x x W x =--，所以()221163,0653,0622818134,663737,6x x x x x x x L x x x x x x x x ⎧⎛⎫⎧--+<<-+-<< ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪==⎨⎨⎛⎫⎪⎪--+≥--+-≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩；【小问2详解】当06x <<时，()()221119535222L x x x x =-+-=--+，由二次函数的性质知，对称轴为5x =，开口向下，所以当5x =时，()L x 取得最大值为()21191955222--+=；当6x ≥时，()81343416L x x x =--+≤-=，当且仅当81x x =，即9x =时，等号成立，因为19162>，所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．20.已知函数()2sin cos 2f x x x x =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f A =且3a =，求b c +的取值范围.【答案】（Ⅰ）最小正周期为π，5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（Ⅱ）(⎤⎦.【解析】【分析】（Ⅰ）化简函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（Ⅱ）由（1）及()0f A =，求得3A π=，根据正弦定理得到b B =，c C =，得到sin )6sin 6b c B C B π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，结合62B ππ<<，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，函数()2sin cos 2sin 222sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，令222,232kx x k k Z ππππ-≤++∈≤，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数的单调递增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.（Ⅱ）由（1）可得()2sin 203f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3A π=，由正弦定理可知sin sin sin 32a b c A B C ====，所以b B =，c C =，由3A π=及ABC 为锐角三角形022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，则]sin )sin sin()b c B C B A B +=+=++13sin sin 6sin2266B B B B B ππ⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.因为62B ππ<<，可得2363B πππ<+<，所以sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(6sin 6b c B π⎛⎫⎤+=+∈ ⎪⎦⎝⎭.21.如图所示正四棱锥S -ABCD ，4SA SB SC SD ====，AB =，P 为侧棱SD 上的点，且3SP PD =，求：（1）正四棱锥S -ABCD 的表面积；（2）侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC .若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.【答案】（1）8+；（2）存在，2SEEC=.【解析】【分析】（1）应用棱锥表面积的求法求正四棱锥S -ABCD 的表面积；（2）取SD 中点为Q ，过Q 作PC 的平行线交SC 于E ，连接BQ ，BE ，由线面平行的判定可得//BQ 平面PAC ，根据等比例性质有//QE PC ，再根据线面平行的判定得//QE 平面PAC ，最后由面面平行的判定及性质即可确定存在性.【小问1详解】正四棱锥S -ABCD 中4SA SB SC SD ====，AB =，则侧面的高h =，所以正四棱锥S -ABCD 的表面积1482S =⨯=+.【小问2详解】在侧棱SC 上存在一点E ，使//BE 平面PAC ，满足2SEEC=，理由如下：取SD 中点为Q ，因为3SP PD =，则PQ PD =，过Q 作PC 的平行线交SC 于E ，连接BQ ，BE .在BDQ △中有//BQ PO ，PO ⊂平面PAC ，⊄BQ 平面PAC ，所以//BQ 平面PAC ，由2SE SQ EC QP==，则//QE PC ，PC ⊂平面PAC ，QE ⊄平面PAC ，所以//QE 平面PAC ，而BQ QE Q = ，故面//BEQ 面PAC ，又BE ⊂面BEQ ，则//BE 平面PAC ，此时2SE EC=.22.对于在区间[],m n 上有意义的函数()f x ，若满足对任意的1x ，[]2,x m n ∈，有()()121f x f x -≤恒成立，则称()f x 在[],m n 上是“友好”的，否则就称()f x 在[],m n 上是“不友好”的.现有函数()31log ax f x x+=.（1）当1a =时，判断函数()f x 在[]1,2上是否“友好”；（2）若函数()f x 在区间[](),112m m m +≤≤上是“友好”的，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在[]1,2上“友好”（2）1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）判断函数的单调性，利用单调性求出最值，即可判断；（2）根据单调性求出函数的最值，即可得到3311log log 31a a m m ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，参变分离得到212(1)m a m m -≥-+，换元，利用函数的单调性求出212(1)m m m --+的最大值，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】当1a =时，31()log 1f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为11y x=+在[1,2]上单调递减，3log y x =在[1,2]上单调递增，所以()f x 在[1,2]上单调递减，所以()()3max 1log 2f x f ==，()()3min 32log 2f x f ==，所以max min 33334()()log 2log log 123f x f x -=-=<，即[]12,1,2x x ∀∈，有()()121f x f x -≤，所以当1a =时，函数()f x 在[1,2]上是“友好”的.【小问2详解】依题意可得()3311log log ax f x a x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭在[,1]m m +上单调递减，则max 31()()log f x f m a m ⎛⎫==+⎪⎝⎭，min 31()(1)log 1f x f m a m ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭，则有max min 3311()()log log 11f x f x a a m m ⎛⎫⎛⎫-=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，即3311log log 31a a m m ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，即11031a a m m ⎛⎫<+≤+ ⎪+⎝⎭，可得1321a m m ≥-+，即212(1)m a m m -≥-+，令21t m =-，因为12m ≤≤，则13t ≤≤且12t m +=，则22141133(1)4312244m t t t t t m m t t t -===+++++⋅++，令13144y t t =++，()13t ≤≤，令()344t m t t=+()13t ≤≤，令任意的(12,t t ∈且12t t <，则()()()()121212121212333044444t t t t t t m t m t t t t t ---=+--=>，即()()12m t m t >，所以函数()344t m t t =+在(上单调递减，同理可得()344t m t t =+在)上单调递增，又()11m =，()31m =，当1t =或3t =时，344t t +取最大值1，此时min 12y =，于是当1t =或3t =时，212(1)m m m --+取最大值14-，依题意14a ≥-，又对于任意的[,1]x m m ∈+，10a x +>恒成立，即1a x >-恒成立，因为12m ≤≤，所以111213m -≤-≤-+，即max111a x m ⎛⎫ ⎪⎭=-⎝>-+，所以13a >-，此时10a m +>，综上可得a 的取值范围是1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.。