1.2一元二次方程的解法(1)直接开平方
课题：一元二次方程的解法（1） 班级 姓名： 课型：新授课 主备： 审核： 备课时间： 上课时间： 学习目标：会用直接开平方法解形如()002≥=-k k x 和)0,0()(2≥≠=-ab a b k x a 的方程 学习重点：合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程。
自学探究
问题1：解一元二次方程22
=x
说说你的解题依据，并分析这个一元二次方程根的特点；
问题2：用问题1的方法直接写出下列方程的根 32=x 52=x 82=x
问题3：思考一下，你能说出方程122
-=x 的解吗为什么
\
探究：讨论一下，上述方程是否具有共同的特征怎样求出它们的解；
知识点一：直接开平方法
小组讨论：
1、什么是直接开平方法
2、利用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是什么
！
3、解哪些类型的一元二次方程适合利用直接开平方法
〖基本题型一〗形如k x =2（k 为常数，k ≥0）的一元二次方程
例1 解下列方程：
（1）042=-x （2）0142
=-x
变式练习：
解下列方程：
（1）162=x （2）081.02
=-x
%
（2）（3）01442
=-y （4）492=x
〖基本题型二〗形如()k h x =+2
（k 是常数，k ≥0）的一元二次方程 例2 解方程()212
=+x
变式练习：
解下列方程：
（1）()412=-x （2）()322
=+x
`
（3）025)4(2
=--x
〖基本题型三〗形如()k b ax =+2（k 是常数，k ≥0，a ≠0）的一元二次方程
例3 解下列方程()07232
=--x
变式练习：
解下列方程：
（1）()05322=-+x （2）4)3(212=+x
、
〖典型例题一〗
1、解关于x 的方程：()()222332+=+x x
变式练习：
()()()2239251+=-x x
()()()221395242-=-x x $
2、用直接开平方法解关于x 的方程
()()()1223231=-+x x
()()n m x =-22
变式练习：
…
()()
634212
=-x
()()c b x 41222+=-
〖典型例题二〗
1、若36)1(222=-+y x ，求22y x +的值。
2、已知21+=a 。
（1）写一个一元二次方程，使得a x =是该方程的一个解；
（2）试证明a x =是方程0122=--x x 的一个解；
.
（3）求113423++-a a a 的值。
反馈练习
1、 方程0362=-x 的解为__________；方程02)4(2=-+x 的解为__________。
2、 用直接开平方法解方程4)2(2-=+m x ，方程必须满足的条件是____________。
3、 当=x ________时，分式3
32--x x 的值为0. 4、 若最简二次根式282+m 与472+m 是同类二次根式，则=m ________。
5、 关于x 的方程02322=-+a ax x 有一根是2，则关于y 的方程72=+a y 的解为
________。
6、 若01222=-y x ，则x ∶y =________。
7、 某小店今年七月份营业额为500元，九月份上升到7200元，平均每月增长的百分率为
_____。
8、 解下列方程：
;
（1）03132=-
x （2） 03)12(2=-+x
（3）015)13(4
12=-+x （4）22)2(25)3(4-=+x x
9、已知0>>x y ，22=-+xy y x ，求y x -的值。
课后作业 补充习题
课后反思。
二次方程四种解法
一元二次方程解法一、直接开平方法解一元二次方程 ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解.②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解两根例1.用直接开平方法解方程(1) ； (2) ； （3）3－（3x －1）2＝0； （4）（2x-5）2-2=0；例2.用配方法解方程配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成(1) ； (2) ； (3) ； (4) ；例4.用因式分解法解方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（1）022=-x x （2） 092=-x (3)x （2x-3）=（3x+2）（2x-3） （4） 9)3(22=+-x x（5）01282=+-x x （6）3312+=-x x (7)361232=-x x （8） 03072=--x x23270x -=22 1.505x -=12242x x +=27304x x --=2483xx -=-2441018x x x++=-例4.用公式法解方程3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并不是最简单的，一定要注意方法的选用. ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： . ③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.(1) ； (2) ； (3) ； (4) ；例5.用适当方法求解（1）x (x －5)＋6＝0； （2）9x2－12x ＋4＝0； （3）(x －1)2－4（x ＋3）2＝0.（4）2（t-1）2+t=1 （5）014442=-x2230x x --=23290x x --=22y -=212016x x -+=112842+=++x x x 练习1.用直接开平方法解方程(1)8142=x (2) 169)5(2=+x （3）01492=-x(2) (4)2130)3-(2-2=+x （2）()162812=-x （3）()025122=-+x2.用公式法解方程（1）01032=-+x x（2）04122=--x x（3） （4）092432=+-x3.用配方法解方程（1）04322=--x x （2）016102=++x x （3）05632=++x x （4）01142=--x x(5)9642=-x x (6)x 2+4x -12=0 (7)x x 4232=- (8)01522=+-x x4.用因式分解法解方程（1）)1(4)1(3-=-x x x （2）016102=++x x （3）()()1314-=-x x x（4）0)23()32(2=-+-x x （5）()()03342=-+-x x x (6)x 2+4x -12=0（7） 0542=--x x （8） 03072=--x x (9) 0822=--x x4、任选方法解下列方程（1）01072=+-x x （2） x x 22= （3）0432=-y y。
初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法-章节测试习题(68)
章节测试题1.【题文】解方程：（1）3（x＋1）2＝12；（2）（漳州中考）x2-4x＋1＝0；（3）2（t-1）2＋t＝1；（4）（3x-1）2-4（2x＋3）2＝0．【答案】（1）x1＝1，x2＝-3；（2）x1＝2＋，x2＝2-；（3）；（4）x1＝-，x2＝-7．【分析】（1）直接开平方法．（2）公式法．（3）因式分解法．（4）因式分解法．【解答】（1）（x＋1）2＝4，x＋1＝±2，∴x1＝1，x2＝-3．（2）∵Δ＝（-4）2-4×1×1＝12，∴x＝，即x＝2±．∴x1＝2＋，x2＝2-．（3）2（t-1）2＋（t-1）＝0，（t-1）（2t-1）＝0，∴t-1＝0或2t-1＝0，∴t1＝1，t2＝．（4）（3x-1）2-[2（2x＋3）]2＝0，（3x-1＋4x＋6）（3x-1-4x-6）＝0，（7x＋5）（-x-7）＝0，∴x1＝-，x2＝-7．2.【题文】嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是______．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．【答案】见解答【分析】（1）观察嘉淇的解法找出出错的步骤，写出求根公式即可；（2）利用配方法求出方程的解即可．【解答】解：（1）嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是x=；故答案为：四；x=；（2）x2﹣2x=24，配方得：x2﹣2x+1=24+1，即（x﹣1）2=25，开方得：x﹣1=±5，解得：x1=6，x2=﹣4．3.【题文】已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m-1=0有两个相等的实数根．（1）求m的值；（2）解原方程．【答案】（1）2，（2）x1=x2=-1．【分析】（1）根据题意得到：△=0，由此列出关于m的方程并解答；（2）利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4×m×（m﹣1）=0，且m≠0，解得m=2；（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x2+2x+1=0，即（x+1）2=0，解得x1=x2=﹣1．4.【题文】（已知关于x的方程x2-（2m＋1）x＋m（m＋1）＝0．求证：方程总有两个不相等的实数根．【答案】证明见解答．【分析】要证明方程总有两个不相等的实数根，即要证明Δ＞0恒成立，将Δ用含m的式子表示出来，然后配方即可证明．【解答】△＝（2m＋1）2-4m（m＋1）=4m2+4m+1-4m2-4m=1＞0，∴方程有两个不相等实数根．①b2-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；②b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根；③b2-4ac＜0，方程没有实数根．（2要证明多项式恒大于0或者恒小于0可用配方法证明．5.【题文】解方程（1）x2＝49（2）3x2-7x＝0（3）（直接开平方法）（4）（用配方法）（5）（因式分解法）（6）（7）（x-2）（x-5）=-2【答案】（1）（2）0，（3）2，-1（4）-4，1（5）-4，1（6）1（7）3，4【分析】要根据方程形式的不同灵活运用不同的方法来解方程：（1）（3）直接开平方法；（2）（5）用因式分解法；（4）用配方法；（6）（7）去括号，移项化为一般形式，进而求解．【解答】解：（1）x＝±，∴x＝±7，∴x1=7，x2=﹣7；（2）x（3x-7）＝0，∴x1=0，x2=；（3）2x﹣1=±3，∴x1=2，x2=﹣1；（4），∴x+=±，∴x1=1，x2=﹣4；（5）（x+4）2﹣5（x+4）=0，∴（x+4）（x+4﹣5）=0，∴x1=﹣4，x2=1；（6）x2+2x+1﹣4x=0，∴x2﹣2x+1=0（x﹣1）2=0，∴x1=x2=1；（7）x2﹣7x+12=0，∴（x﹣3）（x﹣4）=0，∴x1=3，x2=4．6.【题文】已知关于的方程mx2+（2m-1）x+m-1=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数的值．【答案】（1）证明见解答（2）m=1或m=-1【分析】（1）由于m≠0，则计算判别式的值得到，从而可判断方程总有两个不相等的实数根；（2）先利用求根公式得到然后利用有理数的整除性确定整数的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，∴方程为一元二次方程，∴此方程总有两个不相等的实数根；（2）∵∵方程的两个实数根都是整数，且m是整数，∴m=1或m=−1．7.【题文】按要求解方程．（1）（3x+2）2=24（直接开方法）（2）3x2﹣1=4x（公式法）（3）（2x+1）2=3（2x+1）（因式分解法）（4）x2﹣2x﹣399=0（配方法）【答案】（1）x1=，x2=（2）x1=，x2=（3）x1=﹣，x2=1（4）x1=21，x2=﹣19【分析】按照题目要求的方法解方程即可．【解答】（1）（2）（3）或（4）8.【题文】如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况．【答案】当m=5时，方程有一个实数根，当m≠5时，方程有两个不相等的实数根【分析】先根据关于的方程没有实数根可得：，在的情况下对关于的方程进行分类讨论．【解答】关于的方程没有实数根，当m=0时，方程为方程有一个实数根，不符合题意，当m≠0时，∵方程没有实数根，∴，，即解得：，，，，，，，．9.【题文】解下列方程：（1）x2＋4x-5＝0；（2）x（x-4）＝2-8x；（3）x-3＝4（x-3）2．【答案】（1）x1＝1，x2＝-5；（2）x1＝-2＋，x2＝-2-；（3）x1＝3，x2＝．【分析】（1）直接利用因式分解法解方程即可；（2）把方程化为一般形式后利用公式法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【解答】（1）（x-1）（x+5）=0，x-1=0或x+5=0，∴x1＝1，x2＝-5；（2）x（x-4）＝2-8xa=1，b=4，c=-2，△=16+8=24∴（3）x-3＝4（x-3）24（x-3）2-（x-3）＝0（x-3）[4（x-3）-1]=0（x-3）（4x-13）=0x-3=0或4x-13=0∴x1＝3，x2＝．10.【题文】解方程：x2＋2x-1=0．【答案】x1=-1＋，x2=-1-．【分析】利用公式法即可求解．【解答】解：∵a=1，b=2，c=-1，∴b2-4ac=22-4×1×（-1）=8，∴x=，即x1=-1＋，x2=-1-．11.【题文】用适当的方法解下列方程：（1）（6x-1）2＝25；（2）x2-2x＝2x-1；（3）x2-x＝2；（4）x（x-7）＝8（7-x）．【答案】（1）x1＝1，x2＝-；（2）x1＝2＋，x2＝2-；（3）x1＝，x2＝；（4）x1＝7，x2＝-8．【分析】（1）、两边直接开平方得出方程的解；（2）、首先将方程的左边转化为含有x的项，右边保留常数项，然后利用配方法求出方程的解；（3）、首先将方程转化为一般式，然后利用公式法得出方程的解；（4）、首先将方程进行移项，然后利用提取公因式将方程进行因式分解，从而得出方程的解．【解答】解：（1）两边开平方，得6x-1＝±5，即6x-1＝5或6x-1＝-5，∴x1＝1，x2＝-；（2）移项，得x2-4x＝-1，配方，得x2-4x＋4＝-1＋4，即（x-2）2＝3，两边开平方，得x-2＝±，即x-2＝或x-2＝-，∴x1＝2＋，x2＝2-；（3）将原方程化为一般形式，得x2-x-2＝0.∴b2-4ac＝（-）2-4×1×（-2）＝10，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（4）移项，得x（x-7）＋8（x-7）＝0，变形，得（x-7）（x＋8）＝0，∴x-7＝0或x＋8＝0，∴x1＝7，x2＝-8．12.【答题】下列说法：若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是若，则是一元二次方程的一个根若，则一元二次方程有不相等的两个实数根当m取整数或1时，关于x的一元二次方程与的解都是整数．其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解、根的判别式．【解答】①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则a2+b×（-a）+a=0整理得出：a（a-b+1）=0，则代数式a-b=-1，故此选项正确；②若a+b+c=0，则x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项错误；③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，当a≠0，c=-a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0，∴△＞0，故此选项正确；④∵关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，则m≠0，∴△≥0mx2-4x+4=0，∴△=16-16m≥0，即m≤1；x2-4mx+4m2-4m-5=0，△=16m2-16m2+16m+20≥0，∴4m+5≥0，m≥-；∴-≤m≤1，而m是整数，∴m=1，m=0（舍去），m=-1（一个为x2-4x+4=0，另一个为x2+4x+3=0，冲突，故舍去），当m=1时，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；当m=0时，mx2-4x+4=0时，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去．故m=1，故此选项错误；故正确的有2个，选B．13.【答题】若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．【解答】根据题意得，△=≥0，解得k≥-8，但k是二次根式的被开方数，∴k≥0，则k≥0，选D.14.【答题】一元二次方程的两个实数根中较大的根是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的解法-公式法．【解答】用公式法解方程得，，∴较大的实数根是，选B.15.【答题】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（）A. B.C. 且D. 且【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．【解答】根据题意得，△=＞0，解得m＜2，选B.16.【答题】在下列方程中，有实数根的是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．【解答】A. ，△==5＞0，有实数根；B.∵≥0，∴没有实数根；C.，△==-8＜0，没有实数根；D.，x=1是增根，没有实数根，选A．17.【答题】已知两个关于x的一元二次方程M：；N：，其中，有下列三个结论：①若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根；②若6是方程M的一个根，则是方程N的一个根；③若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解、根的判别式．【解答】（1）∵在方程M中，△=，在方程N中，△=，∴方程N和方程M的“根的判别式相等”，又∵方程M有两个相等的实数根，∴方程N也有两个相等的实数根，故①正确；（2）∵6是方程M的一个根，∴，∴，即，∴方程N有一个根是，故②错误；（3）∵方程M与方程N有一个根相同，∴，∴，又∵，∴，∴或，即这个相同的根是1或-1，故③错误；综上所述，正确的结论只有①．选B．18.【答题】下列说法中，正确的是（）A. 方程5x2=x有两个不相等的实数根B. 方程x2﹣8=0有两个相等的实数根C. 方程2x2﹣3x+2=0有两个整数根D. 当k＞时，方程（k﹣1）x2+2x﹣3=0有两个不相等的实数根【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．【解答】A.方程5x2=x可变形为5x2−x=0，∴△=（−1）2−4×5×0=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，A正确；B. 在方程x2−8=0中，△=02−4×1×（−8）=32＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，B错误；C. 在方程2x2−3x+2=0中，△=（−3）2−4×2×2=−7＜0，∴该方程没有实数根，C错误；D. 如要方程（k−1）x2+2x−3=0有两个不相等的实数根，则△＞0且k−1≠0，∴△=22−4×（k−1）×（−3）=12k−8＞0，k−1≠0，解得：k＞23且k≠1，D错误．选A．19.【答题】下列方程中，无实数根的是（）A. x2=4B. x2=2C. 4x2+25=0D. 4x2-25=0 【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．【解答】解：A．x2=4，x=±2，∴方程有两个不相等的实数根；B. x2=2，x=，∴方程有两个不相等的实数根；C. 4x2+25=0，△=02-4×25=-100＜0，∴方程没有实数根；D. 4x2-25=0，△=02-4×（-25）=100＞0，∴方程有两个不相等的实数根．选C．20.【答题】用公式法解方程x2-2=-3x时，a，b，c的值依次是（）A. 0，-2，-3B. 1，3，-2C. 1，-3，-2D. 1，-2，-3 【答案】B【分析】本题考查了公式法．【解答】解：x2+3x-2=0，∴a=1，b=3，c=-2．选B．。
一元二次方程知识点总结与易错题精编版
一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。
4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-ab ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-ab ，x 1 x 2=ac。
一元二次方程知识点总结及相关练习题
一元二次方程知识点总结及相关练习题一、一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
它的一般形式为ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
二、一元二次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法是利用平方根的定义直接开平方求解一元二次方程的方法。
它适用于解形如(x+a)=b的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b≥0时，x=-a±b；当b<0时，方程没有实数根。
2.配方法配方法的理论根据是完全平方公式a±2ab+b=(a±b)^2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x±2bx+b=(x±b)^2.配方法的步骤是：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式。
3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。
公式法的步骤是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c。
4.因式分解法因式分解法是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法。
这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤是：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式、公式法或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。
5.XXX定理利用韦达定理可以求出一元二次方程中的各系数。
韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
在题目中，XXX定理是很常用的。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式指的是一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ=b^2-4ac。
中考数学专题复习(一)一元二次方程
专题一：一元二次方程知识要点扫描归纳一 基本概念二、一元二次方程的解法 1．直接开方法（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解. 2．配方法（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方法.（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：222)(2b a b ab a ±=+±（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解. 3．公式法（1）用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法.（2）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 求根公式是：aac b b x 242-±-=（3）在解一元二次方程时，先把方程化为一般开式，确定c b a ,,的值，在042≥-ac b 的情况下：代入求根公式即可求解. 4.因式分解法1． 对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。
2． 理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。
例如：如果0)5)(1(=+-x x ，那么x －1=0或x ＋5=0。
因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。
3． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1）将方程的右边化为零；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积； （3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
4．形如()002≠=+a bx ax 的方程，可用提公因式法求方程的根：()0021≠-==a abx x ，。
5．形如()()022=+-+n bx m ax )(22b a ≠的方程，可用平方差公式把左边分解。
一元二次方程及其解法
1 / 8第2课时 一元二次方程及其解法一·基本概念理解1 一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
2、一元二次方程的解法（1）、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式（3）、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c2 / 8（4）、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式（5）、韦达定理若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则a b x x -=+21，ac x x =21。
一元二次方程的解法(知识梳理)
一元二次方程的解法
1、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
2、方法
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±
.
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+
x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：
x2+
x+(
)2=-
+(
)2方程左边成为一个完全平方式：(x+
)2=
当b2-4ac≥0时，x+
=±
∴x=
(这就是求根公式)
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=
(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法(解析版)
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法考点一．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．考点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．2222()a ab b a b ±+=±【解析】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t æö-=ç÷èøD ．23420x x --=化为221039x æö-=ç÷èø【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__．【答案】 配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=，2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）A ．2224()24b ac b x a a -+=B ．2224()22b b ac x a a -+=C ．2224()24b b ac x a a -+=D ．2222()22b b ac x a a ++=6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（ ）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238(29x -=-，原方程无实数解D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．8．ABC D 的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC D 是______三角形【答案】等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．【解析】解：∵8+=b c ∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -³，()240c -³，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b =-=，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N 【答案】A【解析】∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -³，∴M-N ³0，∴M ³N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定【答案】A【分析】把x =a 代入3个方程得出a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，3个方程相加即可得出（a +b +c ）（a 2+a +1）=0，即可求出答案．【解析】把x =a 代入ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0得：a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0，13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【解析】配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴90c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．【答案】正【解析】x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（ ）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【解析】解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x 2＋8x ＋4＋3y 2−12y ＋3＝4（x 2＋2x ＋1）＋3（y 2−4y ＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y 2−4y ＋4−4＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y −2）2−9，∵（x ＋1）2≥0，（y −2）2≥0，∴4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7≥−9．即不论x 、y 为什么实数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值总不小于−9．故选：C ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y z x +--==，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）A ．3B ．5914C ．92D ．618．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y=x，y均为实数），则y的最大值是______．21．已知152a b c +--=-，则a b c ++=____________22．已知212y x x c =+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.【答案】c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．【解析】原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1，∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，∴−c−1＞0，解得：c ＜−1．故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a b a b+-的值．（2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++¹中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+-或2242((4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1A．甲B．乙C．丙D．丁故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．7．代数式243x x -+的最小值为（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -³，∴()2211x --³-即代数式2|431x x -+³-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．8．已知625N m =-，22M m m =-(m 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M N<B ．M N >C ．M N =D ．不能确定【答案】B 【分析】求出M N -的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知()22226258169490M N m m m m m m -=--+=-++=-+>，所以M N >．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．9．若22242021p a b a b =++++，则p 的最小值是（ ）A ．2021B ．2015C ．2016D ．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：22242021p a b a b =++++2221442016a ab b =++++++()()2221442016a ab b =++++++()()22120162a b ++=++，∵()210a +³，()220b +³，∴p 的最小值为2016，故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．10．新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x m k -+=与22()0a x m k -+=称为“同族二次方程”．如22021(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程22(1)10x -+=与()()22480a x b x ++-+=是“同族二次方程”，那么代数式22021ax bx ++能取的最小值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=Q 与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x \++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a \++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+ìí=+î，解得：510a b =ìí=-î．∴()22220215102021512016ax bx x x x ++=-+=-+\当1x =时，22021ax bx ++取最小值为2016．故选：D ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．将一元二次方程2410x x -+=变形为()2x h k +=的形式为______三、解答题。
1.2.1一元二次方程的解法(因式分解法,直接开平方法 1)
2
上述解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
利用因式分解的方法解方程，这种方法 叫做因式分解法。
动脑筋
方程①还有其他解法吗？ (35-2x) -900 = 0．
2
①
把方程①写成(35-2x)2=900， 这表明35-2x是900的平方根， 因此 3 5 2 x 9 0 0 或 35 2 x 900 ， 即35-2x=30 或 35-2x=-30． 解得 x=2.5 或 x=32.5．
（4）解这两个一元一次方程， 它们的解就是原方程的解。
因式分解法的依据是什么？
若ab＝0,则a＝0或b＝0。
布置作业
P19
(A) T1
结
束
可以用平方差公式， 把方程①的左边因式 分解．
先把方程①写成 (35-2x) -30 =0. 把此方程的左边因式分解 (35-2x+30)(35-2x-30)=0， 即 (65-2x)(5-2x)=0. ② 因此，从方程②得 其次，我们知道:“如果p q = 0， 65-2x=0或 5-2x=0． ③
（1） 9x -49=0 ， 原方程可以写成 解 2 2 (3x) -7 = 0， 把方程左边因式分解，得 (3x+7)(3x-7)=0. 由此得出 3x+7=0 或 3x-7=0. 解得 x1 7 ，x 2 7 . （2） 36-x =0 ， 原方程可以写成 解 62-x2 = 0， 把方程左边因式分解，得 (6+x)(6-x)=0. 由此得出 6+x=0 或 6-x=0. 解得 x1 6 ，x 2 6 .
解:(解法一) 原方程可以写成
我们可以用因式分解法 解这个方程。
把方程左边因式分解，得
1.2.1 一元二次方程的解法(1)-直接开平方法
1.2 一元二次方程的 解法（第1课时）
直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法。
想一想：
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方 体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒 子的棱长吗？
今天你有哪些收获？
1. 直接开平方法的理论根据是：平方根的定义 基本思想是将一元二次方程降幂为一元一次方程.
2. 用直接开平方法可解形如x2=p(p≥0)或 （mx－n）2=p（p≥0)的一元二次方程.
3. 解方程时要注意书写的格式.
小结中的两类方程为什么要加条件：p≥0呢？
1、一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 （a 0)
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
(2) 2x2 4
√
(3)32 x 5x 1 0 ×
解： x2 =25 根据平方根的定义可知:x是25的 (平方根).
∴ x = 25 即: x =±5 这时,我们常用x1、x2来表示未知数为x的 一元二次方程的两个根。
∴ 原方程的两个根为 x1 =5，x2 =－5.
注：因为棱长为正数，所以 x =5
例1、利用直接开平方法解方程: x2 －900=0
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
7
1
x1= 4 ;x2= 4
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4