力学3-动量与角动量概论
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第三章动量与角动量01概论
解：
P
I mg
I T
P mv mv
I总
o
l
2
1
mv mv
2
1
P 0
Pm
P 0
I mg
t1t2mgdt
t 2
t 1
2
o
l
I mg(t t )
mg
2
1
P m
2
I mg
mg
I总
I mg
I T
由动量定理
2
I mg
T
I总 P 0
例2. 一质量为m 质点开始处于静止状态， 试计算在力 F 3t 2iˆ 2tˆj(N )作用下，
判断题：
1. 冲量的方向就是合外力的方向。 （×） 2. 冲量的方向就是动量的方向。 （×）
3. 冲量的方向就是动量增量的方向。（√ ）
例1. 一长为l 的细绳一端系一质量为m 的小球， 另一端固定在o 点，现小球以角速度ω 在水 平面内作圆周运动，绳与竖直方向夹角为θ 。
计算：从 P点开始转一周的
定义: 由有相互作用的若干质点组成的系统
内力: 系统内质点之间的相互作用力
外力: 系统以外的其它物体对系统内任一 质点的作用力
内力记作 f
ij
由于内力总是成对出现的，
并且互为作用力和反作 用力，由牛顿第三定律有
f ij
0
i j
外力记作 F i
表示第i 个质点所受外力的合力
F 称作质点系所受合外力 i
t2 t1 t
尤其当： Δt 非常短时，对应于有限大的冲量，
会得到非常大的力 ——冲力
二. 动量定理
It2 t1F来自(t)dtP 2
第3章_动量与角动量
m a/2
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
三第3讲 动量与角动量1-2010
v v
dm
v F
m
x
11
以m和dm 为研究系统 t 时刻水平总动量为 mv +dm⋅ 0 t+dt 时刻 增量
= mv
mv + dm⋅ v = (m+ dm)v
dp = (m + dm)v − mv = dm⋅ v
Fdt = dp = dm⋅ v
根据动量定理， 根据动量定理，
dm ∴F = v = 500×3 =1.5×103 N dt
16
静止的原子核衰变时辐射出一个电子和一个中微子后成为 例1 静止的原子核衰变时辐射出一个电子和一个中微子后成为 一个新的原子核，已知电子的动量为1.2×10-23kg.m/s,中微子的 一个新的原子核，已知电子的动量为 中微子的 动量为6.4×10-23kg.m/s，且它们的运动方向相互垂直 动量为 ，且它们的运动方向相互垂直. 求:新原子核的动量的值和方向. 新原子核的动量的值和方向. 解：原子衰变前后系统动量守恒
t
t +dt
火箭体质量为M 火箭体质量为
r 速度 V
M + dM
喷出的气体 dm
r r 速度 u +V
r r V +dV
v pe
v v v pe + pν + pN = 0
v v 2 2 pe 与 pν 垂直： pN = pe + pν 垂直： 因为
v pN
θ
(
)
α
1/ 2
v pν
pe 1.2×10−23 所以： 所以： α＝ = = 61.9o arctg 6.4×10−23 pν
θ＝ o－ o =118.1o 180 61.9
第3章动量角动量
(3)动量守恒定律只适用于惯性系, 使用时所有速度必须相 对于同一惯性系。
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
力学3动量角动量
0t Mdt Lt L0
（（注21意））或:是ML普遍rr规FP律0,宏恒观矢Fr、量//微F—0，观—均r角适动0用量。守力恒F心定r律F r
（3）有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。
质点对力心的角动量守恒。 r / / F
（4）质点对某点的角动量守恒, 对另一点不一定守恒.
（5）角动量守恒, 不见得动量守恒. 如:匀速圆周运动.
今用手提起链的一端使之以匀速v 铅直上升。
求: 从一端离地到全链离地，手的拉力的冲量？
F
v
y
பைடு நூலகம்
解: t时刻铁链的动量为：
P0 yv
t+dt时刻铁链的动量为：
P y dyv
l
动量的变化为：
gy
dP P P0 vdy
dt时间内合外力的冲量为：
根据动量定理：
dI F gydt
dI dP F gydt vdy
u
u
v
dv
m
dm u
dt时间内系统动量增量 dP (m dm)(v dv) mv mdv dmv
(
dm)v
'
mv
dmdv dmv
'
地面
mv
m dv vdm v'dm
由动量定理 F合外dt dP F合外
F合 外
d(mv )
dt
v'
dm dt
dP dt
m
dv
dm
P mv dv ?
v gL
P m + dmv dv
dt时间内动量的变化:
dP P P0
m + dmv dv mv
mdv + vdm dmv
03动量和角动量
r
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
3-动量与角动量.ppt
y
h
o
l
x
dm dS (l x )h d S y d x (l x ) ta n d x dx l M S lh / 2
y
y
h
xc
M l2 hl2 h 2 1 2 3 xc l l l M 3 3
xdm
0
l
v2
v1
60o
因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动 量改变，基本上由打击力的冲量决定。 重力、阻
力的冲量可以忽略。
mv2
60o
mg t
mv1
打击力冲量 F t
F t m v m v 2 1
F t m v m v
2 1
F t
30o 60o m=140g
o
rc
【思考】写出上式的分量形式
x y z
c
N
m m
N
i 1
i
x
i
c
m m
N
i 1
i
y
利用分量形式很容 易求得一些几何形 状对称和结构均匀 物体的质心位矢，
i
m m
c
i 1
i
z
i
例如：均匀直棒、 均匀圆盘、均匀球 体等 其质心就在几何对 称中心上
fi
m
i
由N个质点构成的系统
i ,j 1 , 2 , , N
ri
1、内力和外力
fji 内力： fij 外力：fi , fj
惯性系 o
rj
fij f ji m j
3-1 动量与角动量
冲量是由作用力和力的作用时间两个因素共同决定的， 冲量是由作用力和力的作用时间两个因素共同决定的 ， 如果要使质点的运动状态发生一定的变化，若作用力小， 如果要使质点的运动状态发生一定的变化 ， 若作用力小 ， 则作用时间必定长，若作用力大，则作用时间必定短。 则作用时间必定长，若作用力大，则作用时间必定短。 为什么人从高处跳下，落地时要曲膝？ 为什么人从高处跳下，落地时要曲膝？
T = T′
张力作用的时间为∆ ， 张力作用的时间为∆t，则
T∆t = − mv − ( − mu)
m 2 ghBiblioteka mu v= = M +m M + m 18
T∆t = Mv − 0
由以上两式可以解得
例题7 柔软且质量均匀分布的绳子长度为L， 例题 柔软且质量均匀分布的绳子长度为 ，质量 为M。开始时手拿其上端竖直悬提着，并使其下端 。开始时手拿其上端竖直悬提着， 刚刚与桌面相接触，如图所示。 刚刚与桌面相接触，如图所示。现将绳子由静止释 试求当绳子下落到所剩长度为l时 放，试求当绳子下落到所剩长度为 时，绳子作用 于桌面上的力。 于桌面上的力。 解： 建立如图坐标系 绳子在下落过程中对桌面的 作用力表示为
§3-2 质点系动量定理和质心运动定理
一、质点系动量定理 一个由n个质点组成的 一个由 个质点组成的 质点系， 质点系，对于每个质点有
v F1 + v F2 + v Fn +
∑ ∑
n n i≠ 2
n
i ≠1
v d v f1i = m 1 v1 dt v d v f 2i = m 2v2 dt
LL
将n 个方程两边分别相加得
3
由牛顿第二定律得
u r v v dv d v v dp F = ma = m = (mv ) = dt dt dt
T = T′
张力作用的时间为∆ ， 张力作用的时间为∆t，则
T∆t = − mv − ( − mu)
m 2 ghBiblioteka mu v= = M +m M + m 18
T∆t = Mv − 0
由以上两式可以解得
例题7 柔软且质量均匀分布的绳子长度为L， 例题 柔软且质量均匀分布的绳子长度为 ，质量 为M。开始时手拿其上端竖直悬提着，并使其下端 。开始时手拿其上端竖直悬提着， 刚刚与桌面相接触，如图所示。 刚刚与桌面相接触，如图所示。现将绳子由静止释 试求当绳子下落到所剩长度为l时 放，试求当绳子下落到所剩长度为 时，绳子作用 于桌面上的力。 于桌面上的力。 解： 建立如图坐标系 绳子在下落过程中对桌面的 作用力表示为
§3-2 质点系动量定理和质心运动定理
一、质点系动量定理 一个由n个质点组成的 一个由 个质点组成的 质点系， 质点系，对于每个质点有
v F1 + v F2 + v Fn +
∑ ∑
n n i≠ 2
n
i ≠1
v d v f1i = m 1 v1 dt v d v f 2i = m 2v2 dt
LL
将n 个方程两边分别相加得
3
由牛顿第二定律得
u r v v dv d v v dp F = ma = m = (mv ) = dt dt dt
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常矢量
i
1、只适用于惯性系。
2、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量 守恒。
3、外力<<内力时，动量近似守恒。例如碰撞 和爆炸。
12
4、对那些不能用力的概念描述的过程，例如 光子与电子的碰撞、衰变、核反应等过程，
实验表明：只要系统不受外界影响,这 些过程的动量守恒。 5、物理学家对动量守恒定律具有充分信心。 每当出现违反动量守恒的反常现象时，总 是提出新的假设来补救，结果也总是以有 所新发现而胜利告终。
mi ri
i 1
m
mi
i 1
质点系
mi
ri c质心
rc
o
【思考】写出上式的分量形式
17
对连续分布的物质，分成N 个小质元计算
N
rc rimi m rdm m
2、质心的速度
i 1
vC
drc dt
N mivi
i 1
m
3、质心的动量
Pc
mvc
N
mi
vi
N
pi
P
i 1
i 1
在任何参考系中，质心的动量都等于质点系
的总动量。
4、质心的加速度
ac
dvc dt
N miai
i 1
m
18
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定理
书P125
F
dP dt
mac
（惯性系）
f2外
p2
m2
m1
p
f1外
p
1
3
m3
f3外
和内力为零！
P
F
m 质心
m m1 m 2 m 3
1、提高气体喷射速度u； 2、增大Mi /Mf （受限制），采用多级火箭， 终速度为
v u1 ln N1 u2 ln N2 u3 ln N3 16
§ 3.5 质心（center of mass）
质点系的质心，是一个以质量为权重取平均
的特殊点。
1、质心的位置
N N
rc
mi ri
i 1 N
ac
0
vc
常矢量
若某个方向合外力为零，则该方向动量守恒
【例】已知1/4 圆 M，m
由静止下滑，求t1→t2 过 程 M 移动的距离 S .
解：选（M+m）为体系 水平方向合外力=0，水平方向质心静止。
Pc p1 p2 p3 F f1外 f2外 f3外 19
系统内力不会影响质心的运动，例如：
▲ 在光滑水平面上滑动 的扳手，其质心做匀 速直线运动
▲ 做跳马落地动作的运 动员尽管在翻转，但 其质心仍做抛物线运动
▲ 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，
但其质心仍在做抛物线运动
20
质点系动量守恒
若合外力为零，则
设火箭在自由空间飞行，系统动量守恒：
Mv dm(v u) (M dM)(v dv)
dM(v u) (M dM )(v dv) 15
vf
Mf
dv
u
dM M
,
dv vi
u
Mi
dM M
vf
vi
u ln
Mi Mf
设火箭质量比 N Mi Mf ，火箭增加的速度为
vf vi u ln N 提高速度的途径：
8
§ 3.2 质点系的动量定理 一、质点系 由N个质点构成的系统
i, j 1,2,, N
1、内力和外力 内力：fij f ji 外力：fi , fj
fi
ri
mi f ij
f ji
o 惯性系rj
mj fj
2、过程中包括的质点不变
9
二、质点系的动量定理
质点系总动量的时间F变＝化dd率Pt 等于所受合外力
mv2
mg t
60o
mv1
打击力冲量 F t
Ft mv2 mv1
7
Ft
mv2
mv 1
mv2
F t
v2 v1 v
F 2mv cos 30 t
30o mv1
60o m=140g
20.1440cos 30 1.210 3
8.1103(N)
平均打击力约为垒球自重的5900倍！在碰撞过
程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。
3 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum
目录
§3.1 冲量 动量定理 §3.2 质点系的动量定理 §3.3 动量守恒定律 §3.4 火箭飞行原理 §3.5 质心 §3.6 质心运动定理 质心参考系 §3.7 质点的角动量 §3.8 角动量守恒定律 §3.9 质点系的角动量定理 §3.10质心参考系中的角动量定理
fi
pi
ri
mi f ij
f ji
mj
pj
o 惯性系rj
fj
fij
i, j( i)
i
fi
d dt
i
pi
,
i,
fij
j(i)
0（合内力为零）
i
fi
d dt
i
pi
,
即 F＝ddPt（惯性系）
11
§3.3 动量守恒定律
如果合外力为零，则质点系的总动量不随时
间改变
P
pi
2
能量、动量和角动量是最基本的物理量。 它们的守恒定律是自然界中的基本规律，适 用范围远远超出了牛顿力学。
动量描述平动，角动量描述转动。 力的时间积累（冲量）引起动量的变化； 力矩的时间积累引起角动量的变化。 从牛顿力学出发给出动量和角动量的定义， 推导这两个守恒定律，并讨论它们在牛顿力 学中的应用。下一步讨论能量。
【例】在 衰变中，中微子的发现
A Z
XZ A1Y
e-
1930年 泡利 中微子假说 1956年 实验观测到中微子
13
§3.4 火箭飞行原理 “神州”号飞船升空
14
书
v
P49
(u) v dv
M t 时刻
dm M dM
(t dt) 时刻
dm dM
u ：dm相对火箭体喷射速度，定值。
质点系选：(M+dM , dm)
3
§ 3.1 冲量与动量定理
力的时间积累称为 冲量（impulse）：
dI Fdt
t
I F(t)dt t0
牛顿第二定律质点的动量定理：
dI Fdt dp
t
I
F(t)dt
t0
p
p0
动量定理常用于碰撞过程。 4
碰撞过程的平均冲击力：
F
y
Fm
F
v0
v
I
0 t0
tt
F
I t t0
F＝
fi
：合外力
i
P＝ pi
：总动量
i
内力可改变各质点的动量，
但合内力为零，对总动量无影
fi
pi
mi
ri
fij
f ji
mj
pj
响。应用质点系动量定理不必 o 惯性系rj
考虑内力。
fj
10
证明：对第
fij
j i
iБайду номын сангаас
fi
个质点
d dt
pi
对质点求和
i
j i
fij
fi
d dt
i
pi
t t
Fdt
0
t t0
p p0 t t0
5
【例】质量m=140g的垒球以速率 v = 40m/s沿 水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿 仰角 60o飞出。求棒对垒球的平均打击力。设 棒和球的接触时间为 t =1.2 ms。
v2
60o
v1
6
因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动 量改变，基本上由打击力的冲量决定。重力、阻 力的冲量可以忽略。