八级上册数学全等三角形知识点与练习

第二单元全等三角形
本单元的学习目标
①重点：全等三角形的性质；三角形全等的判定；角平分线的性质及应用
②难点：三角形全等的判断方法及应用；角平分线的性质及应用
在中考中的重要性：
①中考热点，初中数学中的重点内容
②考察内容多样化，有的独立考三角形全等，有的考全等三角形结合其他知识
点综合，有的探究三角形全等条件或结论的开放性题目
③题型以选择题、填空题、解答题为主
【知识归纳】
1.全等三角形的基本概念:
（1）全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

（2）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点。

重合的边叫做对应边。

重合的角叫做对应角。

（3）全等三角形的表示方法：△ABC≌△A’B’C’（如图1）
2.全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等
（2）全等三角形的对应角相等
3.全等三角形的判定方法
（1）三边相等（SSS）；
（2）两边和它们的夹角相等（SAS）；
（3）两角和其中一角的对应边相等（AAS）；
（4）两角和它们的夹边相等（ASA）；
（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）．（该判定只适合直角三角形）
注意：没有“AAA”和“SSA”的判定方法，这是因为“三角对应相等的两个三角形”和“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”未必全等。

如图2，△ABC和△ADE中，∠A=∠A，∠1=∠3，∠2=∠4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；如图3，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等。

4.角平分线
的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等。

5.角平分线推论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

判定三角形全等常用思路
三角形形状题目中已给出的已知或
隐藏条件可选择的判定
方法
需在题目中寻找未给出的
条件
两边对应全等(SS) SS S或S A S 可证第三边对应相等或图2 图3
A′
(3) 角边角（ASA）
Θ∠B=∠B′ ____=_____ ∠C=∠C′
∴△ABC≌△A′B′C′
B ′ C′
(4) 角角边（AAS）
Θ∠A=∠A′∠C=∠C′ _______=_____
∴△ABC≌△A′B′C′
2、直角三角形全等的判定： A A′
斜边直角边定理（HL）
ΘAB=AB _____=_____
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
B C B′ C′
二、全等三角形的性质
1、全等三角形的对应角＿＿＿＿＿
2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线＿＿＿＿＿＿＿
注意：
1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。

2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。

判断下列各组里的两个图形是否全等：
1、三角形一边上的中线把这个三角形分成的两个三角形（）
①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN，其中正确结论的个数是（）
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 0个
6、如上图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,
则点D到AB的距离为( )
A. 5cm
B. 3cm
C. 2cm
D. 不能确定
7、如上图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，
AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E ，若AC = 10cm ， 则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm
8、如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 Ａ．1处??Ｂ．2处??Ｃ．3处??Ｄ．4处
二、填空题
1、在△ABC 和A B C '''△中，AB A B ''=，A A '=∠∠，要使ABC A B C '''△≌△，则需增加的条件为______．（写一个即可）
2、已知ABC DEF △≌△，5cm BC EF ==，△ABC 的面积是2
20cm ，那么△DEF 中EF 边上的高是______cm ．
3、如图1,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB 于E,且AB=5cm,则△DEB 的周长为 ________
图1 图2 4、如图2，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，
则点D 到直线AB 的距离是__________厘米。

5、已知：如图3，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________度. 三、解答题
1、如图，已知△ABD ≌△ACE ，AB=AC ，写出这对全等三角形的对应边和对应角。

2.如图，已知AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE
3.已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC OB OD ==，。

求证：（1）△OAB ≌△OCD ；（2）AB CD =。

4、如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°． （1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．
全等三角形的判定综合练习
1、已知：如图，AB ∥CD ，DF 交AC 于E ，交AB 于F ，DE=EF.求证：
AE=EC.
2、如图5，AC=AE ，∠C=∠E ，∠1=∠2，求证△ABC ≌△ADE ．
3、如图，AC ⊥CB,DB ⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠ACD.
4、如图，C 是AB 的中点，AD=CE,CD=BE,求证△ACD ≌△CBE.
第六题图
E
D
C
B
A
第七题图
O
A B C D E
图3
④ ①② ③
第八题
A
5、已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：①△BEC≌△DAE ② DF⊥BC
C E。