博弈论 第一章

1 完全信息静态博弈1.0 对策论研究的内容与基本形式对策论研究的内容对策论研究多个行为主体的决策问题。

对策论研究的形式博弈(game)，由多个行为主体构成的系统。

例Stackelberg modelCournot model博弈的类型参与者行动的时间与顺序同时行动——静态博弈；先后行动——动态博弈。

参与者的信息多少信息相同——完全信息；信息不同——不完全信息。

1.1 基本理论: 博弈的标准式和纳什均衡例1 儿童游戏：“石头、剪刀、布”。

博弈的标准式表示(normal-form representation)(1) 参与人( player).n 个参与人：1, 2, …, i, …, n.(2) 战略(strategy).一个参与人的战略是他采取的一个行动。

参与人i 的战略：s i.参与人i 的战略空间: S i.战略的一个组合: s ={s1，s2, …, s n}.简化表示：s-i ={ s1，…, s i -1，s i+1, …, s n }.(3) 收益(payoff).参与人i 的收益：u i= u i(s1，s2, …, s n)n个参与人博弈的标准形式表示:G = {S1, S2, …, S n；u1, u2, … , u n}完全信息(complete information)：每个参与人知道其他人的战略空间和收益。

静态博弈(static game)：所有的参与人同时行动。

每个人行动时，不知道其他人的行动。

例1（续）：博弈{石头、剪刀、布} 的描述：参与人：1，2。

战略空间：S1 = S2 = {石头、剪刀、布}收益：两人出手的函数u1 (石头，石头) = 0，u1 (石头，剪刀) = 1，u1 (石头，布) = -1 …u2 (石头，石头) = 0，u2 (石头，剪刀) = -1，u2 (石头，布) = 1 ……收益表：两个参与人，有限个战略的博弈的表示方法。

P2石头剪刀布石头0 ，0 1 ，-1 -1 ，1P1剪刀-1 ，1 0 ，0 1 ，-1布 1 ，-1 -1 ，1 0 ，0博弈的问题：能否知道每个参与人选择的战略？例2: 囚徒困境(The Prisoner’s Dilemma)囚徒 2沉默招认沉默-1 ，-1 -9 ，0囚徒 1招认0 ，-9 -6 ，-6囚徒1的考虑：无论对方选沉默还是招认，自己选“招认”好于“沉默”。

囚徒2的考虑：无论对方选什么，“招认”好于“沉默”。

两人的选择: (招认，招认)。

定义：s i'是s i''的严格劣势战略（strictly dominated），如果:u i(s i'，s-i) <u i(s i''，s-i)“沉默”是“招认”的严格劣战略例3:参与人2左中右上 1 ，01，3 3 ，0参与人1 中0, 2 0 ，1 6 ，0下0, 2 2, 4 5, 3参与人1: 没有严格劣战略。

参与人2: “右”严格劣于“中”考虑：重复剔除严格劣战略(iterated elimination of strictly dominated strategies)可预见的两人选择: (下, 中)。

例4: 图 1.1.4参与人2左中右上0 ，4 4，0 5 ，3参与人1 中4, 0 0 ，4 5 ，3下3, 5 3, 5 6, 6两人都没有严格劣战略。

两人会如何选择各自的战略？定义：s * = (s 1*，…，s n *)是一个纳什均衡(Nash equilibrium), 如果u i (s i *，s -i *) ≥ u i (s i ，s -i *)纳什均衡为最大化问题的解ii S s ∈max u i = u i (s 1*, …, s i , …, s n *)各例中的纳什均衡: 囚徒困境: （招认，招认） 例3: （下，中）例4（ 图1. 1. 4）: (下, 右).纳什均衡与重复剔除严格劣势战略的关系: 没有被剔除的唯一的战略组合是纳什均衡.如果战略是一个纳什均衡，它们在重复剔除严格劣势战略后留下.多个纳什均衡例5 性别战 (the battle of the Sexes)帕特 歌剧 拳击歌剧 2 ，1 0 ，0克里斯拳击 0 ，0 1 ，2纳什均衡: (歌剧,歌剧)，(拳击,拳击)1.2 应用例 古诺双头垄断模型（Cournot Model of Duopoly ）二个企业，生产产量: q 1, q 2市场需求: P = a – Q , Q = q 1 + q 2 企业成本: C i (q i ) = cq i , i = 1, 2.企业利润：πi (q 1, q 2) = Pq i – C i (q i ) = (a – (q 1 + q 2))q i – cq i ， 博弈的描述：参与人：企业1，企业2 战略：产量 q i 收益：πi (q 1, q 2) 企业 i 选择产量求ii S s ∈max πi (s i , , s j *):一阶条件11dq d π = a – c – 2q 1 – q 2* = 0 和22dq d π = a – c –q 1* –2q 2 = 0 厂商选择自己利润最大的产量q 1 =22q c a -- q 2 =21q c a -- 解纳什均衡得q 1* = q 2* =3ca -利润π1 = π2 = ( a – c – (3c a -+3c a -))3ca - = 9)(2c a -当 u i 是可微分的时候 , 纳什均衡为下列方程组的的解：in i s s s s u ∂∂),...,,(21= 0, i = 1,…, n思考：用重复剔除严格劣势战略求纳什均衡 比较：如果两个厂商生产q 1 = q 2 =4ca - 利润π1 =π2 = ( a – c – (4c a -+4c a -))4ca - = 8)(2c a -例 贝特兰德双头垄断模型（Bertrand Model of Duopoly ） 两个企业生产有差别的商品。

消费者对企业 i 的需求q i (p i , p j ) = a – p i + bp j ， 成本: C i (q i ) = cq i , i = 1, 2. 战略 s i : p i ≥ 0收益: πi (p i , p j ) = (a – p i + bp j )( p i – c )纳什均衡 (p 1*, p 2*) 满足max πi (p i , p j *) = max (a – p i + bp j *)( p i – c )解得 p 1* = p 2* = bca -+2例 最后要价仲裁 (Final-offer Arbitration)一个企业和一个工会，通过一个仲裁人决定工资。

企业和工会同时提出工资: w f, w u仲裁人有一个标准：x，选择双方提议中比较靠近x的提议：如果x < ( w f + w u )/2，则w f如果x > ( w f + w u )/2，则w uw f(w f + w u )/2x w u企业和工会不知道x，但知道x的分布函数F(x)和密度函数f(x)。

分析w f 被选择的概率：Prob {x <2ufww+} = F⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2ufwww u被选择的概率：Prob{ x >2ufww+} = 1 –F⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2ufww期望工资Ew = w f F⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2ufww+ w u 1 –F⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2ufwww f* 满足fwm in w f F⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2*ufww+ w u* 1 –F⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2*ufwww u* 满足uwmax w f*F⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2*ufww+ w u 1 –F⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2*ufww由一阶条件F⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2ufww+21wf f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2ufww-21wu f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2ufww= 021wf f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2ufww+ 1 - F⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2ufww-21wu f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2ufww= 0 由此解出工资的均衡提议。

两式相减F⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2ufww=21两式相加w u*f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2ufww–w f*f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2ufww= 1如果x为正态分布: x ~ N(m, σ2)2**ufww+= mw u* –w f*=)(1mf= 22πσ,纳什均衡w u* = m +2/2πσ, w f* = m–2/2πσ例公共财产问题一个村庄,有n个村民，在公共草地上放羊。

村民i放牧的羊数：g i全村的羊总数：G = g1+ ... + g n养一只羊的(私人)成本为c，一只羊的价值为v(G)当G < G max, v(G) > 0, v'(G) < 0, v''(G) < 0当G > G max , v (G ) = 0每个村民选择养羊数量使自己收益最大g i v (G ) – cg i 一阶条件v (G ) + g i v ' (G ) – c = 0, i = 1,..., n 将n 个等式相加得到nv (G ) + G v ' (G ) – nc = 0 即纳什均衡G 1满足v (G 1) +nG 1v ' (G 1) – c = 0 全村在总收益最大的放牧数G 2满足max G 2 v (G 2) – cG 2 一阶条件v (G 2) + G 2 v ' (G 2) – c = 0 G 1与 G 2哪一个大？ G1大vv (G ) O G max GG v ' (G )/nv' (G)G v' (G)决策问题：在条件变差时, 收益上升还是下降？在通常的(一人)决策中，如果有几个选择，决策者选择收益最大的一个。

如果外界条件改变，使他的一个或几个收益下降，则它无论怎样选择，都不会使收益比原来更大。

例在一块田里选择种植的(纯)收入：棉花3000元花生3700元玉米3500元如果成本上升，收入变为棉花3000元花生3200元玉米3400元人决策收益通常下降例在多人决策时的收益下降与增加（1）初始时参与人 2T1T2S15，48，3参与人1S2 4 ，3 6 ，5均衡为（S1，T1），参与人1的收益为5。

（2）外界条件使参与人1在选择S1时的收益下降参与人2T1T2S13，45，2参与人1S24, 3 6，5均衡变为（S2，T2）参与人1的收益为6。

多人决策时，收益可能上升。

1.3 混合战略和均衡的存在例1 儿童游戏：“石头、剪刀、布”不存在纳什均衡。

如何选择战略？例6 猜硬币(Matching Pennies)参与人2正面反面正面-1，1 1，-1参与人1反面1，-1 -1，1也不存在纳什均衡。