复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

注 2：条件可减弱为：f(z)连续到边界 C，且沿 C 有 f(z)≠0 4.（辅角原理）：
5.（定理 鲁歇（Rouche）定理）：设 C 是一条周线，函数 f(z)及 (z)满足条 件：
（1）它们在 C 的内部均解析，且连续到 C；
（2）在 C 上，|f(z)|>| (z)|
则函数 f(z)与 f(z)+ (z)在 C 内部有同样多（几阶算几个）的零点，即
§2.用留数定理计算实积分
一. 注：注意偶函数
→ 引入
二.
型积分
1.（引理 大弧引理）： 上
则
2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有
注：
可记为
三.
型积分
3.（引理 若尔当引理）：设函数 g(z)沿半圆周 上连续，且
在 上一致成立。则
2
4.（定理）：设 （1）Q 的次数比 P 高； （2）Q 无实数解； （3）m>0 则有
，其中 P(z)及 Q(z)为互质多项式，且符合条件：
特别的，上式可拆分成： 及
四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理 小弧引理）：
于 上一致成立，则有
五.杂例 六.应用多值函数的积分
§3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数：
2.（引理）：（1）设 a 为 f(z)的 n 阶零点，则 a 必为函数 的一阶极点，并且
N(
,C)=N(f,C)
6.(定理：若函数 f(z)在区域 D 内但也解析，则在 D 内 f’(z)≠0.
4
（2）设 b 为 f(z)的 m 阶极点，则 b 必为函数 的一阶极点，并且
3
3.（定理 对数留数定理）：设 C 是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在 C 的内部是亚纯的； （2）f(z)在 C 上解析且不为零。 则有
注 1：当条件更改为：（1）f 在 Int(C)+C 上解析；（2）C 上有 f≠0，有 ，即
即，
等于 f(z)在点 的洛朗展式中 这一项系数的反号
7.（定理）如果函数 f(z)在扩充 z 平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在
内），设为
,则 f(z)在各点的留数总和为零。
注：虽然 f(z)在有限可去奇点 a 处，必有
，但是，如果点 为
f(z)的可去奇点（或解析点），则
可以不为零。
8.计算留数的另一公式：
第六章 留数理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及其应用
§1.留数 1.（定理 柯西留数定理）：
2.（定理）：设 a 为 f(z)的 m 阶极点，
其中 在点 a 解析，
，则
3.（推论）：设 a 为 f(z)的一阶极点， 则 4.（推论）：设 a 为 f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数：