2020年高邮市九年级(上)期中数学试题(含答案)
高邮市2011—2012学年度九年级数学期中考试试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1、在实数2-
、、0
中，最小的是（ ） A 、2-
B
、
C 、0
D
2、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，已
知0
60,16AOB AC ∠==，则图中长度为8的线段条数有（ ） A 、2
B 、4
C 、5
D 、6
3、一元二次方程(2)0x x -=根的情况是（ ） A 、有两个不相等的实数根 B 、有两个相等的实数根 C 、只有一个实数根
D 、没有实数根
4、2011年我国西南地区发生了严重的干旱，高邮市政府号召居民节约用水，为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了10户家族的用水量，结果如下表：
则关于这10户家族的用水量，下列说法错误的是（ ） A 、众数
B 、极差是2 C
、平均数是6 D 、方差是4
5、与方程3
916x -=的根最接近的是（ ） A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
6、矩形ABCD 中，AB=8， BC=，点P 在边AB 上，且BP=3AP ，如果P e 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ） A 、点B 、C 均在P e 外
B 、点B 在P e 外、点
C 在P e 内 C 、点B 在P e 内、点C 在P e 外
D 、点
B 、
C 均在P e 内
7、如图1，平行四边形纸片ABCD 的面积为120，AD=20，AB=18,沿两条对角线将四边形ABCD 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片，将甲、丙拼成如图2所示的轴对称图形戊，则图形戊的两条对角线长度之和为（ ）
B ）
（C
B
图1 图2 A 、26
B 、29
C 、224
3
D 、1253
8、如图，梯形ABCD 中，AB CD P ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点，已知两底差是6，两腰和是12，则EFG ∆的周长是（ ） A 、 8 B 、9 C 、10
D 、12
二、填空题（每题3分，共30分）
9a 的取值范围是
10、如果关于x 的方程2
20x x m -+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m=。
11、已知3y =
，则2xy 的值为 。
12、根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三个点A （3，0）、B （0，－4）、C （2，－3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）。
13、某城市居民最低生活保障在2009年是200元，经过连续两年的增加，到2011年提高到338元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 。
14、如图，已知点B 、C 、D 、E 在同一直线上，ABC ∆是等边三角形，且,CG CD DF DE ==，则E ∠= 。
第14题
第15题
15、如图，正方形ABCD 的边长为4，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，
两条直角边分别交CD 于点F ，交CB 延长线于点E ，则四边形AECF 的面积是 。
16、已知a b 、为有理数，m 、n 分别表示且2
1amn bn +=，
则2a b + 。
17、关于x 的方程2
(2)0a x m b +++=2
()0a x m b ++=的解是122,1x x =-=（a m b 、、 均为常数，0a ≠）则方程的解是 。
18、将
19
27
化成小数，则小数点后第2011位数字为 。
三、解答题（本题共有10小题，共96分） 19、计算（8分）
（1）
（2）2
20、用两种方法解方程（8分）
(2)20x x x -+-=
21、王大伯几年前承包了甲、乙两座荒山，各栽了100棵杨梅树，现已挂果，经沙头角效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如拆线统计图所示。
（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲乙两山杨梅的产量总和； （2）试通过计算说明，哪座山上的杨梅产量较稳定？
22、（本题满分8分） 已知：
2121=-+，3232=-+，2323
=-+L L （1）请你用含n （n 是正整数）的式子表示上面等式； （2）计算12232009201020102011
++++++++L L
23、（本题满分10分）
某楼盘准备以每平方米6000元的价格销售，由于国务院有关房地产的新政出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的价格销售。
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备购买一套100平方米的住房，开发商对一次付款有以下两种优惠方案以供选择：①打9.5折销售；② 不打折， 一次性送装修费每平方米240元，试问哪种方案更优惠？
24、（本题满分10分）
如图，把两块含有300的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C 、B 、E 在同一直线上，连接CD 。
(1)求DCB ∠的度数
（2）若AC=6cm ，求BCD ∆的面积。
25、课堂上对关于x的方程：的解进行合作探究时，甲同学发现，当m=0时，方程的两根
都为1，当m>0时，方程有两个不相等的实数根；乙同学发现，无论m取什么正实数时方程的两根都不可能相等；丙同学发现无论m取什么正实数时方程的两根这和均为定值。
（1）请找一个m的值代入方程使方程的两个根为互不相等的整数，并求这两个根；
（2）请选择乙或丙同学的发现加以判断，并说明理由。
26、如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA 的延长线于点F。
（1）找出图中与全等的三角形，并说明理由；
（2）猜想三条线段PC、PE、PF之间的比例关系，并说明理由。
F
27、如图，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形。
（1）画出4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形；
（2）求出4种不同拼法的图形的等腰三角形的周长。
28、如图1，正方形ABCD中，点H在BC上，连接DH交正方形对角线AC于点E，过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G。
∠=∠
（1）求证：12
（2）判断DH、FG的数量关系，并说明理由；
（3）在图1中，延长FG与BC交于点P，连接DF、DP（如图2），试探究DF与DP 的关系，并说明理由。
F
F
P
参考答案
一、选择题 1、A
2、D
3、A
4、D
5、B
6、C
7、A
8、B
二、填空题：9、1≤ 10、1
11、12 12、能
13、30%
14、150 15、16
16、
52
17、124,1x x =-=-
18、7
三、解答题
19、（1）原式
= （2）原式
=14+20、122,1x x ==-
21、（1）=40x 甲千克，=40x 乙千克 ；总产量为40401002=8000⨯⨯千克 （2）2
22222
1S =[(5040)(3640)(4040)(3440)]38()4
-+-+-+-=甲千克
222222
S =[(3640)(4040)(4840)(3640)]24()-+-+-+-=乙千克
22
S S ∴>甲乙。
答：乙山上的杨梅产量较稳定。
22、（1
= （2
1
23、解：设平均每次下调百分率为x ，则
2126000(1)4860
0.1, 1.9()
10%
2148601001-0.95=243002100240=240001x x x +===∴⨯⨯⨯∴解得：舍去平均每次下调的百分率为（） 方案（）可优惠：（）元方案（）可优惠：元方案（）更优惠。
24、（1）、 150
（2）、 27
25、（1）解：答案开放，只要13
m 是完全平方数即可 （2）Q 无论m 取什么正实数时方程的两根都可表示为：
1211x x =+
=-122x x ∴+=
26、（1）与APD ∆全等的三角形是CPD ∆
理由略
（2）三条线段PC 、PE 、PF 之间的比例关系是PC PF
PE PC
=
证明略
27、
4
周长分别为 20+32；2
263
； 36。
28、（1）证明略
（2）提示：过点F 作FP 垂直于DC ，垂足为P ，在正方形中易证PF=DC 再证FPG DCH ∆≅∆ 可证 DH=FG
(3) 提示：连接BE
证明 EFB EBF ∠=∠
可证 DF 与DP 的关系是相等且垂直。
2020年江苏省扬州市高邮市中考数学一模试卷_解析版_
），已知 200 度
近视眼镜的镜片焦距为 0.5m，则 y 与 x 之间的函数关系式是
．
12．如图，由 10 个完全相同的小正方体堆成的几何体中，若每个小正方体的边长为 2，则
主视图的面积为
．
13．在实数范围内分解因式：m4﹣2m2＝
．
14．已知 a5＝6，a2＝2，则 a3＝
．
15．李兵的观点：不等式 a＞2a 不可能成立、理由：若在这个不等式两边同时除以 a，则会
∴AB＝
＝5，
∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BC∥AD，BC＝AB＝5， ∴C（9，4）， ∴经过 2020 次变换后点 C 的坐标为（﹣9，﹣4）． 故选：C． 二．填空题（共 10 小题） 9．一般冠状病毒衣原体的直径约为 0.000 000 11 米，把 0.000 000 11 用科学记数法可以表示 为 1.1×10﹣7 ． 【分析】绝对值小于 1 的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的 数字前面的 0 的个数所决定． 【解答】解：0.000 000 11＝1.1×10﹣7，
反比例函数的图象在二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限．
故选：B．
8．如图，已知菱形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（1，0），顶点 B 的坐标为（4，4），若将菱形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋转 45°称为 1 次变换，则经过 2020 次变换后点 C 的坐标为 （）
A．（9，4）
故选：B． 4．如图，已知 AB∥CD，AF 交 CD 于点 E，且 BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A 的度数是
（）
A．40°
江苏省扬州市高邮市2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷 含解析
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分共24分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（）A．2x+y＝2 B．x+y2＝0 C．2x﹣x2＝1 D．x+＝72．在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有3个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为0.3，那么n的值是（）A．10 B．9 C．8 D．73．下列命题中假命题的是（）A．圆既是轴对称图形，也是中心对称图形B．三角形的外心到三角形三边距离相等C．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等D．垂直于弦的直径平分这条弦4．某种植基地2016年蔬菜产量为95吨，预计2018年蔬菜产量达到128吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．95（1+x）2＝128 B．95（1﹣x）2＝128C．95（1+2x）＝128 D．95（1+x2）＝1285．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（）A．40°B．50°C．35°D．55°6．若一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥4 B．m≤4 C．m＞4 D．m＜47．如图，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE：S△BDE＝1：2，S△ADE＝3，则S△ABC为（）A．9 B．12 C．24 D．278．如图，已知MN是⊙O的直径，点Q在⊙O上，将劣弧沿弦MQ翻折交MN于点P，连接PQ，若∠PMQ＝16°，则∠PQM的度数为（）A．32°B．48°C．58°D．74°二、填空题（每题3分共30分）9．已知＝，则＝10．若关于x的一元二次方程x2+mx+3n＝0有一个根是3，则m+n＝11．若一组数据3、4、5、x、6的平均数是5，则这组数据的方差为12．已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为cm2．13．三角形两边长分别为3和5，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个解，则这个三角形的面积是．14．如图，利用旗杆BE测量建筑物的高度．已知旗杆BE高13m，测得AB＝17m，BC＝119m 若旗杆和建筑物均与地面垂直，则建筑物CD的高为m．15．如图，在△ABC中，AB＝8，CA＝6，BC＝CD＝4，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，则CE的长为．16．如图，在锐角△ABC中，∠A＝45°，BC＝2cm，能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm17．如图，矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD 则阴影部分的面积为（结果保留π）18．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，2为半径作⊙O，点P在直线y＝x+6上运动，过点P作⊙O的一条切线，切点为B，则PB的最小值为三、解答题（本大题共有1小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．解下列方程：（1）x2﹣5x﹣6＝0（2）（1﹣2x）2＝x+220．2018年7月以来，我市多处居民居住点投放了使用手机支付就可随取随用的共享“街兔”电动车，为了解清华园小区居民使用“街兔”电动车的情况，某数学研究小组随机调查该小区的10位居民，得到这10位居民两周内使用“街兔”电动车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．（1）这组数据的中位数是，众数是；（2）计算这10位居民两周内使用“街兔”电动车的平均次数；（3）若该小区有2000名居民，试估计该小区居民两周内使用“街兔”电动车的总次数．21．为推进扬州市“五个一百工程”活动，小明、小亮、小丽3人分别从A、B两种不同的名著中任意选择一种阅读（1）小明选择A种名著阅读的概率是；（2）求小明、小亮、小丽3人选择同一种名著阅读的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）22．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣1）、B（﹣3，﹣2）C（0，﹣3）（1）以点C为旋转中心将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，则A1的坐标为；（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2；（3）若网格单位长度为1，求（1）中AB扫过的面积．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若AB＝13，AD＝12，求线段AE的长．24．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E＝∠C；（2）若∠E＝58°，求∠BDF的度数．25．“鲜乐”水果店购进一优质水果，进价为10元/千克，售价不低于10元/千克，且不超过16元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系（1）某天这种水果的售价为14元/千克，求当天该水果的销售量；（2）如果某天销售这种水果获利100元，那么该天水果的售价为多少元？26．在平面直角坐标系xOy中的点Q，我们记点Q到横轴的距离为d1，到纵轴的距离为d2，规定：若d1≥d2，则称d1为点Q的“系长距”；若d1＜d2，则称d2为点Q的“系长距”例如：点Q（3，﹣4）到横轴的距离d1＝4，到纵轴的距离d2＝3，因为4＞3，所以点Q 的系长距”为4（1）①点A（﹣6，2）的“系长距”为；②若点B（a，2）的“系长距”为4，则a的值为．（2）已知A（3，0），B（0，4），点P为线段AB上的一点，且PB：PA＝2：3，点P的“系长距”．（3）若点C在双曲线y＝上，且点C的“系长距”为6，求点C的坐标．27．如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC 于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG（1）判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：2OB2＝BC•BF；（3）如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5时，求DE的长．28．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P在BA边上从B向A运动，过作PE⊥PC，交AD 于点E．（1）如图1，当EP＝PC时，求线段AE的长度；（2）如图2，当P为AB中点时，求证：CP平分∠ECB；（3）若⊙O直径为CE，则在点P的运动过程中，是否存在⊙O与AB相切，若存在，求出⊙O的半径：若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（）A．2x+y＝2 B．x+y2＝0 C．2x﹣x2＝1 D．x+＝7【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；B、不是一元二次方程，故此选项错误；C、是一元二次方程，故此选项正确；D、不是一元二次方程，故此选项错误；故选：C．2．在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有3个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为0.3，那么n的值是（）A．10 B．9 C．8 D．7【分析】根据概率公式列出关于n的方程，解之可得．【解答】解：根据题意得＝0.3，解得n＝10，经检验：n＝10是分式方程的解，所以口袋中小球共有10个．故选：A．3．下列命题中假命题的是（）A．圆既是轴对称图形，也是中心对称图形B．三角形的外心到三角形三边距离相等C．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等D．垂直于弦的直径平分这条弦【分析】直接利用三角形的外心以及垂径定理、圆周角定理分别分析得出答案．【解答】解：A、圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，是真命题，不合题意；B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原命题是假命题，符合题意；C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，是真命题，不合题意；D、垂直于弦的直径平分这条弦，是真命题，不合题意；故选：B．4．某种植基地2016年蔬菜产量为95吨，预计2018年蔬菜产量达到128吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．95（1+x）2＝128 B．95（1﹣x）2＝128C．95（1+2x）＝128 D．95（1+x2）＝128【分析】利用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为95吨，则2017年蔬菜产量为95（1+x）吨，2018年蔬菜产量为95（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到128吨，即：95（1+x）2＝128．故选：A．5．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（）A．40°B．50°C．35°D．55°【分析】连接AC，由圆周角定理可求得∠ACB＝90°，∠ACD＝∠ABD，则可求得答案．【解答】解：如图，连接AC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABD＝50°，∴∠ACD＝∠ABD＝50°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣50°＝40°，故选：A．6．若一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥4 B．m≤4 C．m＞4 D．m＜4【分析】计算根的判别式△，由题意得不等式，求解即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相同的实数根，∴△＝16﹣4m＞0解得m＜4．故选：D．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE：S△BDE＝1：2，S△ADE＝3，则S△ABC为（）A．9 B．12 C．24 D．27【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：∵S△ADE：S△BDE＝1：2，∴AD：BD＝1：2，∴AD：AB＝1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∵S△ADE＝3，∴S△ABC＝27，故选：D．8．如图，已知MN是⊙O的直径，点Q在⊙O上，将劣弧沿弦MQ翻折交MN于点P，连接PQ，若∠PMQ＝16°，则∠PQM的度数为（）A．32°B．48°C．58°D．74°【分析】首先连接NQ，由MN是直径，可求得∠MQN＝90°，则可求得∠MNQ的度数，然后由翻折的性质可得，所对的圆周角为∠MNQ，所对的圆周角为∠MPQ，继而求得答案．【解答】解：连接NQ，∵MN是直径，∴∠MQN＝90°，∵∠PMQ＝16°，∴∠MNQ＝90°﹣∠PMQ＝90°﹣16°＝74°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠MNQ，所对的圆周角为∠MPQ，∴∠MPQ+∠MNQ＝180°，∴∠MNQ＝∠QPN＝74°，∴∠PQM＝∠MNQ﹣∠PMQ＝74°﹣16°＝58°．故选：C．二．填空题（共10小题）9．已知＝，则＝【分析】根据比例的性质解答即可．【解答】解：因为＝，所以＝，故答案为：10．若关于x的一元二次方程x2+mx+3n＝0有一个根是3，则m+n＝﹣3 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x＝3代入方程得关于k的一次方程9+3m+3n ＝0，然后求解即可．【解答】解：把x＝3代入方程得：9+3m+3n＝0，解得：m+n＝﹣3，故答案为：﹣3．11．若一组数据3、4、5、x、6的平均数是5，则这组数据的方差为 2 【分析】首先根据其平均数为5求得x的值，然后再根据方差的计算方法计算即可．【解答】解：根据题意得（3+4+5+x+6）＝5×5，解得：x＝7，则这组数据为3，4，5，7，6的平均数为5，所以这组数据的为s2＝[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（6﹣5）2]＝2．故答案为：2．12．已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为30πcm2．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×10÷2＝30π．故答案为：30π．13．三角形两边长分别为3和5，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个解，则这个三角形的面积是 6 ．【分析】先解方程求出方程的解，得出两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，再求出即可．【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x1＝4，x2＝2，①当三角形的三边为3，4，5时，符合三角形三边关系定理，∵32+42＝52，∴此时三角形为直角三角形，∴这个三角形的面积为＝6；②当三角形的三边为3，2，5时，不符合三角形三边关系定理，此时三角形不存在；故答案为：6．14．如图，利用旗杆BE测量建筑物的高度．已知旗杆BE高13m，测得AB＝17m，BC＝119m 若旗杆和建筑物均与地面垂直，则建筑物CD的高为104 m．【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝104（米）．故答案为：104．15．如图，在△ABC中，AB＝8，CA＝6，BC＝CD＝4，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，则CE的长为 2 ．【分析】证明CD∥AB，可得出△ABE∽△CDE，利用相似三角形的性质结合AB，CD的长度可得出AE＝2CE，再结合AE+CE＝6即可求出CE的长度．【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC．∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BDC，∴CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴．∵AB＝8，CD＝BC＝4，∴，∴AE＝2CE，又∵AE+CE＝AC＝6，∴CE＝2．故答案为：2．16．如图，在锐角△ABC中，∠A＝45°，BC＝2cm，能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是2cm【分析】作圆的直径CH，连接BH，根据圆周角定理得到∠H＝∠A＝45°，∠HBC＝90°，根据勾股定理计算即可．【解答】解：作圆的直径CH，连接BH，由圆周角定理得，∠H＝∠A＝45°，∠HBC＝90°，∴CH＝BC＝2（cm），故答案为：2．17．如图，矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD则阴影部分的面积为π（结果保留π）【分析】如图，连接OE，利用切线的性质得OD＝3，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．【解答】解：连接OE，如图，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OD＝CD＝3，OE⊥BC，∴四边形OECD为正方形，∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积＝S正方形OECD﹣S扇形EOD＝32﹣＝9﹣π，∴阴影部分的面积＝×3×6﹣（9﹣π）＝π，故答案为：π．18．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，2为半径作⊙O，点P在直线y＝x+6上运动，过点P作⊙O的一条切线，切点为B，则PB的最小值为【分析】由切线的性质知∠OBP＝90°，据此知PB＝，由OB＝2知OP取得最小值时PB最小，据此作OP⊥AC，此时OP取得最小值，再进一步计算可得．【解答】解：作OP⊥AC于点P，∵PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP＝90°，∴PB＝，∵OB＝2，∴当OP取得最小值时，PB最小，在y＝x+6中当y＝0时，x＝﹣6；当x＝0时，y＝6，∴OA＝OC＝6，∠OAC＝∠OCA＝45°，则OP＝OA＝3，∴PB＝＝，故答案为：．三．解答题（共10小题）19．解下列方程：（1）x2﹣5x﹣6＝0（2）（1﹣2x）2＝x+2【分析】（1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0，（x﹣6）（x+1）＝0，x﹣6＝0，x+1＝0，x1＝6，x2＝﹣1；（2）（1﹣2x）2＝x+2，整理得：4x2﹣5x﹣3＝0，b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×4×（﹣3）＝73，x＝，x1＝，x2═．20．2018年7月以来，我市多处居民居住点投放了使用手机支付就可随取随用的共享“街兔”电动车，为了解清华园小区居民使用“街兔”电动车的情况，某数学研究小组随机调查该小区的10位居民，得到这10位居民两周内使用“街兔”电动车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．（1）这组数据的中位数是16 ，众数是17 ；（2）计算这10位居民两周内使用“街兔”电动车的平均次数；（3）若该小区有2000名居民，试估计该小区居民两周内使用“街兔”电动车的总次数．【分析】（1）将数据按照大小顺序重新排列，计算出中间两个数的平均数即是中位数，出现次数最多的即为众数；（2）根据平均数的概念，将所有数的和除以10即可；（3）用样本平均数估算总体的平均数．【解答】解：（1）按照大小顺序重新排列后，第5、第6个数分别是15和17，所以中位数是（15+17）÷2＝16，17出现3次最多，所以众数是17，故答案是16，17；（2）（0+7+9+12+15+17×3+20+26）＝14答：这10位居民一周内使用“街兔”的平均次数是14次；（3）200×14＝2800答：该小区居民一周内使用“街兔”的总次数为2800次．21．为推进扬州市“五个一百工程”活动，小明、小亮、小丽3人分别从A、B两种不同的名著中任意选择一种阅读（1）小明选择A种名著阅读的概率是；（2）求小明、小亮、小丽3人选择同一种名著阅读的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）先画树状图列出所有等可能结果，再结合树状图得出小明、小亮、小丽3人选择同一种名著阅读的结果数，继而根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）小明选择A种名著阅读的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：由树状图知，共有8种等结果，其中小明、小亮、小丽3人选择同一种名著阅读的有2种结果，所以小明、小亮、小丽3人选择同一种名著阅读的概率为＝．22．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣1）、B（﹣3，﹣2）C（0，﹣3）（1）以点C为旋转中心将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，则A1的坐标为（2，﹣2）；（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2；（3）若网格单位长度为1，求（1）中AB扫过的面积．【分析】（1）根据旋转变换的定义和性质作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（2）根据位似变换的定义和性质作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（3）用扇形BB1C的面积减去扇形AA1C的面积即可得．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．A1的坐标为（2，﹣2），故答案为：（2，﹣2）．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．（3）∵CB＝＝，CA＝＝，∠BCB1＝∠ACA1＝90°，∴AB扫过的面积为﹣＝﹣＝．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若AB＝13，AD＝12，求线段AE的长．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；（2）利用相似三角形的性质即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADC＝∠DEB＝90°，∴△BDE∽△CAD；（2）解：∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB，∴△DAE∽△BAD，∴＝，∴AD2＝AE•AB，∵AB＝13，AD＝12，∴AE＝＝．24．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E＝∠C；（2）若∠E＝58°，求∠BDF的度数．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB ＝AC，即可得出∠E＝∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD＝180°﹣∠E，进而得出∠BDF＝∠C+∠CFD，即可得出答案；【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°﹣∠E，又∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝58°，又∵∠E＝∠C＝58°，∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝116°．25．“鲜乐”水果店购进一优质水果，进价为10元/千克，售价不低于10元/千克，且不超过16元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系（1）某天这种水果的售价为14元/千克，求当天该水果的销售量；（2）如果某天销售这种水果获利100元，那么该天水果的售价为多少元？【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出当x＝14时y的值；（2）根据总利润＝（售价﹣成本）×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合10≤x≤16即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（11，28），（12，26）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+50．当x＝14时，y＝﹣2×14+50＝22，∴当天该水果的销售量为22千克．（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+50）＝100，整理得：x2﹣35x+300＝0，解得：x1＝15，x2＝20．又∵10≤x≤16，∴x＝15．答：该天水果的售价为15元/千克．26．在平面直角坐标系xOy中的点Q，我们记点Q到横轴的距离为d1，到纵轴的距离为d2，规定：若d1≥d2，则称d1为点Q的“系长距”；若d1＜d2，则称d2为点Q的“系长距”例如：点Q（3，﹣4）到横轴的距离d1＝4，到纵轴的距离d2＝3，因为4＞3，所以点Q 的系长距”为4（1）①点A（﹣6，2）的“系长距”为 6 ；②若点B（a，2）的“系长距”为4，则a的值为±4 ．（2）已知A（3，0），B（0，4），点P为线段AB上的一点，且PB：PA＝2：3，点P的“系长距”．（3）若点C在双曲线y＝上，且点C的“系长距”为6，求点C的坐标．【分析】（1）根据“系长距”的定义即可得到结论；（2）根据勾股定理得到AB＝5，过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据相似三角形的性质得到P（，），根据“系长距”的定义即可得到结论；（3）设点C的坐标（x，y），由点C的“系长距”为6，得到x＝±6或y＝±6，分别代入反比例函数的解析式即可得到结论．【解答】解：（1）①∵点A（﹣6，2）到横轴的距离d1＝2，到纵轴的距离d2＝6，因为6＞2，所以点A的“系长距“为：6；故答案为：6；②∵点B（a，2）的“系长距”为4，∴a的值为±4，故答案为：±4；（2）如图，∵A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，过P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PF∥OA，PE∥OB，∴△PBF∽△BAO，△APE∽△ABO，∴，，∵PB：PA＝2：3，∴PB：AB＝2：5，PA：AB＝3：5，∴PE＝，PF＝，∴P（，），∴点P的“系长距”为：；（3）设点C的坐标（x，y），∵点C的“系长距”为6，∴x＝±6或y＝±6，当x＝6时，y＝＝，此时点C的坐标为（6，），当x＝﹣6时，y＝＝﹣，此时点C的坐标为（﹣6，﹣），当y＝6时，6＝，x＝，此时点C的坐标为（，6），当y＝﹣6时，﹣6＝，x＝﹣，此时点C的坐标为（﹣，﹣6），综上所述，点C的坐标为（6，）或（﹣6，﹣）或（，6）或（﹣，﹣6）．27．如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC 于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG（1）判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：2OB2＝BC•BF；（3）如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5时，求DE的长．【分析】（1）连接CE，由AB是直径知△ECF是直角三角形，结合G为EF中点知∠AEO ＝∠GEC＝∠GCE，再由OA＝OC知∠OCA＝∠OAC，根据OF⊥AB可得∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，据此即可得证；（2）证△ABC∽△FBO得＝，结合AB＝2BO即可得；（3）证ECD∽△EGC得＝，根据CE＝3，DG＝2.5知＝，解之可得．【解答】解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：如图1，连接CE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACF＝90°，∵点G是EF的中点，∴GF＝GE＝GC，∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OF⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，∴CG与⊙O相切；（2）∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，∴∠OAE＝∠F，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△FBO，∴＝，即BO•AB＝BC•BF，∵AB＝2BO，∴2OB2＝BC•BF；（3）由（1）知GC＝GE＝GF，∴∠F＝∠GCF，∴∠EGC＝2∠F，又∵∠DCE＝2∠F，∴∠EGC＝∠DCE，∵∠DEC＝∠CEG，∴△ECD∽△EGC，∴＝，∵CE＝3，DG＝2.5，∴＝，整理，得：DE2+2.5DE﹣9＝0，解得：DE＝2或DE＝﹣4.5（舍），故DE＝2．28．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P在BA边上从B向A运动，过作PE⊥PC，交AD 于点E．（1）如图1，当EP＝PC时，求线段AE的长度；（2）如图2，当P为AB中点时，求证：CP平分∠ECB；（3）若⊙O直径为CE，则在点P的运动过程中，是否存在⊙O与AB相切，若存在，求出⊙O的半径：若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1，先证明∠PEA＝∠CPB，则根据“AAS”可判断△APE≌△BCP，从而得到AP＝BC＝3，AE＝PB，然后计算出PB得到AE的长；（2）如图2，先计算出PC＝，再证明△APE∽△BCP，利用相似比计算出PE＝，利用三角函数的定义得到tan∠ECP＝＝tan∠BCP，从而可判断∠ECP＝∠BCP；（3）连接OP，如图3，根据切线的判定法，当OP⊥AB时，AB与⊙O相切，再证明AP＝PB＝2，则可利用由（2）的结论得到CP＝，EP＝，然后利用勾股定理计算出CE即可得到⊙O的半径．【解答】（1）解：如图1，∵PE⊥PC，∴∠EPC＝90°，∴∠APE+∠CPB＝90°，而∠APE+∠PEA＝90°，∴∠PEA＝∠CPB，在△APE和△BCP，∴△APE≌△BCP（AAS），∴AP＝BC＝3，AE＝PB，而PB＝AB﹣AP＝4﹣3＝1，∴AE＝1；（2）证明：如图2，∵P为AB中点，∴AP＝BP＝2，∴PC＝＝，∵∠PEA＝∠BPC，∠A＝∠B＝90°，∴△APE∽△BCP，∴＝，即＝，解得PE＝，在Rt△PCE中，tan∠ECP＝＝＝，在Rt△PCB中，tan∠BCP＝＝，∴∠ECP＝∠BCP，∴CP平分∠ECB；（3）解：存在．连接OP，如图3，当OP⊥AB时，AB与⊙O相切，∵OE＝OC，∴AP＝PB＝2，由（2）得CP＝，EP＝，在Rt△PCE中，CE＝＝，∴⊙O的半径为．。
高邮初三期中数学试卷
一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 0.1010010001...C. 2/3D. -12. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1=2，a3=8，则d=（）A. 3B. 4C. 5D. 63. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则△ABC 是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 已知函数f(x)=2x+1，则f(-1)=（）A. -1B. 0C. 1D. 35. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于y轴的对称点坐标是（）A. (2,-3)B. (-2,3)C. (-2,-3)D. (2,3)二、填空题（每题5分，共20分）6. 若x^2-5x+6=0，则x的值为______。
7. 在等边三角形ABC中，若AB=AC=BC，则∠BAC=______。
8. 已知函数f(x)=x^2-4x+4，则f(2)=______。
9. 在平面直角坐标系中，点M(1,2)到原点O的距离是______。
10. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an=______。
三、解答题（共50分）11. （10分）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=3，a5=13，求d及数列的前10项和。
12. （15分）在△ABC中，∠A=60°，AB=4，AC=6，求BC的长度。
13. （15分）已知函数f(x)=2x^2-3x+1，求函数的最小值。
14. （10分）在平面直角坐标系中，点P(m,n)在第二象限，且m^2+n^2=25，求点P的坐标。
15. （10分）已知数列{an}的通项公式为an=3n-2，求前n项和S_n。
四、附加题（共5分）16. （5分）已知函数f(x)=x^3-3x+2，求函数的极值。
答案：一、选择题1. B2. B3. A4. C5. B二、填空题6. 3，5，67. 60°8. 19. √510. 3n-2三、解答题11. d=2，前10项和为S10=190。
人教版2020---2021学年度九年级数学(上)期中考试卷及答案(含四套题)
密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020—2021学年度上学期九年级数学（上）期中测试卷及答案（满分：120分 时间： 100分钟）一、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）1．关于x 的方程（m ﹣）﹣x+3=0是一元二次方程，则m= ．2．设x 1、x 2是方程3x 2+4x ﹣5=0的两根，则= ，x 12+x 22= ．3．若抛物线y=x 2﹣6x+c 的顶点在x 轴，则c= ． 4．点P （2，3）绕着原点逆时针方向旋转90°与点P ′重合，则P ′的坐标为 ．5．抛物线y 1=x 2﹣2x+1与直线y 2=﹣x+1在同一坐标系中相交，当y 1＞y 2时自变量x 的取值范围是 ．6．如图，小亮从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米．7．如图，EF 过平行四边形的对角线的交点O ，若四边形ABFE 绕O 点旋转一定的角度后能与四边形 CDEF 重合，AB=3，BC=4，OE=1.5，则四边形EFCD 的周长是 ．8．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），若2a+b=0，且当x=﹣1时，y=3，那么当x=3时，y= ．二、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．如图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．10．方程（x+1）（x ﹣3）=5的解是（ ）A ．x 1=1，x 2=﹣3B ．x 1=4，x 2=﹣2C ．x 1=﹣1，x 2=3D ．x 1=﹣4，x 2=211．已知a 、b 满足a+b=5且ab=6，以a 、b 为根的一元二次方程为（ ）题号一 二 三 总分 得分密封线A．x2+5x+6=0 B．x2﹣5x+6=0 C．x2﹣5x﹣6=0 D．x2+5x﹣6=012．若A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y313．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°14．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，y＜0时自变量x的取值范围是（）A.﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞515．已知函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限，那么y=ax2+bx+1的图象大致为（）A． B． C． D．16．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90∠B=30°，AC=1，则BB′的长为（）A．4 B．C．D．17．若1人患流感，经过两轮传染后共有121照这样的传染速度，则经过第三轮传染后共有（感．A．1210 B．1000 C．1100 D．133118．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a：b﹣1：2：3．其中正确的是（）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④三、解答题 （本大题共7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分8分,每小题4分）解方程（1）（x ﹣2）2=（2x+5）2（2）=．20．（本小题满分7分）已知关于x 的方程x 2﹣2（1﹣m ）x+m 2=0的两实数根为x 1，x 2．是否存在这样的实数m 使方程的两实根的平方和为14？21．（本小题满分8分）在下图中，把△ABC 向右平移5个方格，再绕点B 的对应点顺时针方向旋转90度．（1）画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母； （2）能否把两次变换合成一种变换，如果能，说出变换过程（可适当在图形中标记）；如果不能，说明理由．22．（本小题满分9分）如图所示，某小区规划在一个长40m ，宽26m 的矩形场地ABCD 上修建三条相同宽度的甬路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余6块部分种草，使每块草坪面积都是144m 2，求甬路宽度．23．（本小题满分9分）如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P ′AB ．（1）求点P 与点P ′之间的距离； （2）求∠APB 的度数．24．（本小题满分12分）为了落实中央的惠农政策，积极推进农业机械化，某市某县政府制定了农户投资购买农机设备的补贴办法，其中购买A 型、B 型农机设备所投资的金额x （万元）与政府补贴的金额y 1（万元）、y 2（万元）的函数关系如图所示（图中OA 段是抛物线，A 是抛物线的顶点）．（1）分别写出y 1、y 2与x 的函数关系式；封线内不得答题（2）现有一农户计划同时对A型、B型两种农机设备共投资10万元，设其共获得的政府补贴金额为y万元，求y与其购买B型设备投资金额x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，请你帮该农户设计一个能获得最大补贴金额的投资方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．25．（本小题满分13分）如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（﹣6，0）和点B（0，4）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求▱OEAF的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当▱OEAF的面积为24时，请判断▱OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使▱OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、填空题（24分）1．解：∵方程（m﹣）﹣x+3=0是一元二次方程，∴m2﹣1=1或m﹣=0．解得m=或m=．故答案为：或．2．解：根据题意得x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，所以===，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣）2﹣2×（﹣）=．故答案为，．3．解：根据题意，顶点在x轴上，顶点纵坐标为0，即，解得c=9．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题4．解：∵P （2，3），∴P ′的坐标为（﹣3，2）．5．解：由题意得：x 2﹣2x+1﹣（﹣x+1）＞0， 即x 2﹣x=x （x ﹣）＞0， 解得：x ＜0或x ＞． 故答案为：x ＜0或x ＞． 6．解：∵360÷30=12，∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了12×10=120米． 故答案为：120．7．解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB=CD=3，AD=BC=4，OA=OC ，OB=OD ，∵四边形ABFE 绕O 点旋转180度后能与四边形 CDEF 重合， ∴AE=CF ，OE=OF=1.5，∴四边形EFCD 的周长=DE+CF+OE+OF+CD=BC+2OE+CD =4+3+3 =10． 故答案为10．8．解：∵2a+b=0， ∴b=﹣2a ；又当x=﹣1时，y=3，∴3=a ﹣b+c=3a+c ，即3a+c=3； ∴当x=3时， y=9a+3b+c =9a ﹣6a+c =3a+c =3；故答案为：3． 二、选择题（30分）9．解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； C 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误． 故选B ．得 答 题10．解：（x+1）（x ﹣3）=5， x 2﹣2x ﹣3﹣5=0， x 2﹣2x ﹣8=0，化为（x ﹣4）（x+2）=0， ∴x 1=4，x 2=﹣2． 故选：B ．11．解：∵a+b=5，ab=6，∴以a ，b 为根的一元二次方程可以为x 2﹣5x+6=0． 故选B ．12．解：∵二次函数y=﹣x 2﹣4x+5中a=﹣1＜0 ∴抛物线开口向下，对称轴为x=﹣=﹣=﹣2∵B （﹣1，y 2），C （，y 3）中横坐标均大于﹣2 ∴它们在对称轴的右侧y 3＜y 2，A （﹣，y 1）中横坐标小于﹣2，∵它在对称轴的左侧，它关于x=﹣2的对称点为2×（﹣2）﹣（﹣）=﹣，＞﹣＞﹣1∵a ＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小∴y 3＜y 1＜y 2． 故选C ．13．解：∵△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B B ′位置，A 点落在A ′位置 ∴∠BCB ′=∠ACA ′=20° ∵AC ⊥A ′B ′，∴∠BAC=∠A ′=90°﹣20°=70°． 故选C ．14．解：由图象可知，抛物线与x 轴的交点坐标分别为（﹣0）和（5，0），∴y ＜0时，x 的取值范围为x ＜﹣1或x ＞5． 故选C ．15．解：∵函数y=ax+b 的图象经过二、三、四象限， ∴a ＜0，b ＜0， ∴x=﹣＜0，即二次函数y=ax 2+bx+1的图象开口向下，对称轴位于y 故选：C ．16．解：∵在Rt △ABC 中，∠B=30°，AC=1，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴AB=2AC=2，∴BB ′=2AB=4． 故选A ．17．解：设平均一人传染了x 人，根据题意，得：x+1+（x+1）x=121 解得：x 1=10，x 2=﹣12（不符合题意舍去）∴经过三轮传染后患上流感的人数为：121+10×121=1331（人）． 故选：D ．18．解：由二次函数图象与x 轴有两个交点， ∴b 2﹣4ac ＞0，选项①正确； 又对称轴为直线x=1，即﹣=1，可得2a+b=0（i ），选项②错误； ∵﹣2对应的函数值为负数，∴当x=﹣2时，y=4a ﹣2b+c ＜0，选项③错误； ∵﹣1对应的函数值为0，∴当x=﹣1时，y=a ﹣b+c=0（ii ）， 联立（i ）（ii ）可得：b=﹣2a ，c=﹣3a ，∴a ：b ：c=a ：（﹣2a ）：（﹣3a ）=﹣1：2：3，选项④正确， 则正确的选项有：①④． 故选D三、解答题（共66分）19．解：（1）（x ﹣2）2=（2x+5）2， 直接开平方得，x ﹣2=±（2x+5）， x ﹣2=2x+5，或x ﹣2=﹣（2x+5）， 所以x 1=﹣7，x 2=﹣1； （2）=，方程整理得：x 2+x+6=0， 这里a=1，b=1，c=6， ∵△=1﹣24=﹣23＜0， ∴原方程无解．20．解：存在．理由如下：根据题意得△=4（1﹣m ）2﹣4m 2≥0，解得m ≤， 由根与系数的关系得到x 1+x 2=2（1﹣m ），x 1x 2=m 2， ∵x 12+x 22=14，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=14， ∴4（1﹣m ）2﹣2m 2=14，整理得m 2﹣4m ﹣5=0，解得m 1=5，m 2=﹣1， 而m ≤， ∴m=﹣1．21．解：（1）平移和旋转后的图形如图所示：内 不得 答（2）能，将△ABC 绕CB 、C ″B ″延长线的交点顺时针旋转90度．22．解：设甬路宽度为x 米，依题意可列方程（40﹣2x ）（26﹣x ）=144×6， 整理得x 2﹣46x+88=0， 解得x 1=2，x 2=44（舍去） 答：甬路宽度为2米．23．解：（1）连接PP ′，由题意可知BP ′=PC=10，AP ′=AP ， ∠PAC=∠P ′AB ，而∠PAC+∠BAP=60°， 所以∠PAP ′=60度．故△APP ′为等边三角形， 所以PP ′=AP=AP ′=6；（2）利用勾股定理的逆定理可知：PP ′2+BP 2=BP ′2，所以△BPP ′为直角三角形，且∠BPP ′=90°可求∠APB=90°+60°=150°．24．解：：（1）当0≤x ≤4时设y 1=kx ，将（4，1.61.6=4k ，解得：k=0.4，当k ＞4时，设y 1=kx+b ，将点（4，1.6）（8.2.4）代入得：解得：k=0.2，b=0.8 故y 1=∵顶点A 的坐标为（4，3.2）， ∴设y 2=a （x ﹣4）2+3.2， ∵经过点（0，0） ∴0=a （0﹣4）2+3.2 解得a=﹣0.2，∴y 2=﹣0.2（x ﹣4）2+3.2=﹣0.2x 2+1.6x （0≤x ≤4） 当x ＞4时，y 2=3.2；密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）假设投资购买B 型用x 万元、A 型为（10﹣x ）万元，当0≤x ≤4时：y=y 1+y 2=0.2（10﹣x ）+0.8﹣0.2x 2+1.6x ； =﹣0.2x 2+1.4x+2.8=﹣0.2（x ﹣3.5）2+3.4125，当4＜x ＜6时：y=y 1+y 2=0.2（10﹣x ）+0.8+3.2=﹣0.2x+6；当x ≥6时：y=y 1+y 2=0.4（10﹣x ）+3.2=﹣0.4x+7.2；（3）当0≤x ＜4时：y=﹣0.2x 2+1.4x+2.8=﹣0.2（x ﹣3.5）2+5.25，当4≤x ＜6时：y=y 1+y 2=0.2（10﹣x ）+0.8+3.2=﹣0.2x+6； ∵k ＜0，∴当x 取得最小值时有最大值， ∴当x=4时有最大值5.25万元；当x ≥6时：y=y 1+y 2=0.4（10﹣x ）+3.2=﹣0.4x+7.2； ∵k ＜0，∴当x 取得最小值时有最大值， ∴当x=6时有最大值4.8万元；∴当投资B 型机械4万元，A 型机械6万元能获得最大补贴，最大补贴金额为5.25万元．25．解：（1）设抛物线的解析式为y=a （x+）2+k （k ≠0）， 则依题意得：a+k=0，a+k=4，解之得：a=， k=﹣即：y=（x+）2﹣，顶点坐标为（﹣，﹣）；（2）∵点E （x ，y ）在抛物线上，且位于第三象限． ∴S=2S △OAE =2××0A ×（﹣y ） =﹣6y=﹣4（x+）2+25 （﹣6＜x ＜﹣1）； ①当S=24时，即﹣4（x+）2+25=24， 解之得：x 1=﹣3，x 2=﹣4∴点E 为（﹣3，﹣4）或（﹣4，﹣4）当点E 为（﹣3，﹣4）时，满足OE=AE ，故▱OEAF 是菱形； 当点E 为（﹣4，﹣4）时，不满足OE=AE ，故▱OEAF 不是菱形． ②不存在．当0E ⊥AE 且OE=AE 时，▱OEAF 是正方形，此时点E 的坐标为（﹣3，﹣3），而点E 不在抛物线上，故不存在点E ，使▱OEAF 为正方形．密 封线 人教版2020—2021学年度上学期九年级数学（上）期中测试卷及答案（满分：120分 时间： 100分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程3x 2﹣4x ﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和4 B ．3和﹣4 C ．3和﹣1 D ．3和1 2．二次函数y=x 2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3） 3．将△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则直线AB 与直线A 1B 1的夹角（锐角）为（ ） A ．130° B ．50° C ．40° D ．60°4．用配方法解方程x 2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x+3）2=﹣4 B ．（x ﹣3）2=4 C ．（x+3）2=5 D ．（x+3）2=± 5．下列方程中没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1=0 B ．x 2+3x+2=0 C ．2015x 2+11x ﹣20=0 D ．x 2+x+2=06．平面直角坐标系内一点P （﹣2，3标是（ ）A ．（3，﹣2）B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣7．如图，⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD 为M ，OM ：OC=3：5，则AB 的长为（ ）A ．cm B ．8cm C ．6cm D ．4cm8．已知抛物线C 的解析式为y=ax 2+bx+c 的是（ ）A ．a 确定抛物线的形状与开口方向B ．若将抛物线C 沿y 轴平移，则a ，b 的值不变 C ．若将抛物线C 沿x 轴平移，则a 的值不变D ．若将抛物线C 沿直线l ：y=x+2平移，则a 、b 、c 9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC+BD=16四边形ABCD 的面积最大值是（ ）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题A ．64B ．16C ．24D ．3210．已知二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a ≠0），且a 2+ab+ac ＜0，下列说法： ①b 2﹣4ac ＜0；②ab+ac ＜0；③方程ax 2+bx+c=0有两个不同根x 1、x 2，且（x 1﹣1）（1﹣x 2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点， 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．抛物线y=﹣x 2﹣x ﹣1的对称轴是_________． 12．已知x=（b 2﹣4c ＞0），则x 2+bx+c 的值为_________．13．⊙O 的半径为13cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ．则AB 和CD 之间的距离_________．14．如图，线段AB 的长为1，C 在AB 上，D 在AC 上，且AC 2=BC •AB ，AD 2=CD •AC ，AE 2=DE •AD ，则AE 的长为_________．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是_________．16．如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A 重合，三角板30°角的两边与BC 交于D 、E 两点，则DE 长度的取值范围是_________．三、解答题（共8小题，共72分） 17．(6分)解方程：x 2+x ﹣2=0．18．(8分)已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），与y 轴的交点是（0，﹣4），求这个二次函数的解析式． 19．(8分)已知x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根 （1）求x 1+x 2，x 1x 2的值；密封线内不得（2）求2x12+6x2﹣2015的值．20．(10分)如图所示，△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转180°后的图形；（3）若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为_________．21．(11分)如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，垂足为E，点D在CA的延长线上，若∠DAB+∠AOB=60°（1）求∠AOB的度数；（2）若AE=1，求BC的长．22．(11分)飞机着陆后滑行的距离S（单位：m间t（单位：s）的函数解析式是：S=60t﹣1.5t2（1）直接指出飞机着陆时的速度；（2）直接指出t的取值范围；（3）画出函数S的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停下来？23．(14分)如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点DB点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动，时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）如图1，若a=b=1，点E 从C 出发沿C →B 方向运动，连AE 、CD ，AE 、CD 交于F ，连BF ．当0＜t ＜6时： ①求∠AFC 的度数；②求的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E 从B 点出发沿B →C 方向运动，E 点到达C 点后再沿C →B 方向运动．当t ≥3时，连DE ，以DE为边作等边△DEM ，使M 、B 在DE 两侧，求M 点所经历的路径长．24．(14分)定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．（1）已知抛物线的焦点F （0，），准线l ：，求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的解析式为：y=x 2﹣n 2，点A （0，）（n ≠0），B （1，2﹣n 2），P 为抛物线上一点，求PA+PB 的最小值及此时P 点坐标；（3）若（2）中抛物线的顶点为C ，抛物线与x 轴的两个交点分别是D 、E ，过C 、D 、E 三点作⊙M ，⊙M 上是否存在定点N ？若存在，求出N 点坐标并指出这样的定点N 有几个；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．解：∵3x 2﹣4x ﹣1=0，∴方程3x 2﹣4x ﹣1=0的二次项系数是3，一次项系数是﹣4； 故选B ．2．解：y=x 2﹣2x+2的顶点横坐标是﹣=1，纵坐标是=1，y=x 2﹣2x+2的顶点坐标是（1，1）． 故选：A ．3．解：如图，△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则∠A 1OA=50°，OA=OA 1，OB=OB 1，AB=A 1B 1． 设直线AB 与直线A 1B 1交于点M ． 由SSS 易得△OAB ≌△OA 1B 1， ∴∠OAB=∠OA 1B 1， ∴∠OAM=∠OA 1M ， 设A 1M 与OA 交于点D ， 在△OA 1D 与△MAD 中，题∵∠DAM=∠DA 1O ，∠ODA 1=∠MDA ， ∴∠M=∠A 1OD=50°． 故选B ．4．解：∵x 2+6x+4=0， ∴x 2+6x=﹣4，∴x 2+6x+9=5，即（x+3）2=5． 故选：C ．5．解：A 、x 2﹣x ﹣1=0，△=（﹣1）2﹣4×（﹣1）=9＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；B 、x 2+3x+2=0，△=32﹣4×2=1＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；C 、2015x 2+11x ﹣20=0，△=112﹣4×2015×（﹣20）＞0，方程有两个不相等的根，此选项错误；D 、x 2+x+2=0，△=12﹣4×2=﹣7＜0正确； 故选D ．6．解：点P （﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3故选：D ．7．解：如图所示，连接OA ．⊙O 的直径CD=10cm ， 则⊙O 的半径为5cm ， 即OA=OC=5，又∵OM ：OC=3：5， 所以OM=3，∵AB ⊥CD ，垂足为M ， ∴AM=BM ， 在Rt △AOM 中，AM==4，∴AB=2AM=2×4=8． 故选B ．8密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴抛物线C 的解析式为y=ax 2+bx+c ，a 确定抛物线的形状与开口方向；若将抛物线C 沿y 轴平移，顶点发生了变化，对称轴没有变化，a 的值不变，则﹣不变，所以b 的值不变；若将抛物线C 沿直线l ：y=x+2平移，则a 的值不变， 故选D ．9．解：设AC=x ，四边形ABCD 面积为S ，则BD=16﹣x ， 则：S=AC •BD=x （16﹣x ）=﹣（x ﹣8）2+32， 当x=8时，S 最大=32；所以AC=BD=8时，四边形ABCD 的面积最大， 故选D ．10．解：当a ＞0时， ∵a 2+ab+ac ＜0， ∴a+b+c ＜0， ∴b+c ＜0， 如图1，∴b 2﹣4ac ＞0，故①错误； a （b+c ）＜0，故②正确；∴方程ax 2+bx+c=0有两个不同根x 1、x 2，且x 1＜1，x 2＞1， ∴（x 1﹣1）（x 2﹣1）＜0，即（x 1﹣1）（1﹣x 2）＞0，故③正确；∴二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，故④正确； 故选C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．解：对称轴为直线x=﹣=﹣=﹣，即直线x=﹣故答案为：直线x=﹣． 12．解：∵x=（b 2﹣4c ＞0），∴x 2+bx+c =（）2+b+c=++c == =0．故答案为：0．13．解：作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，连结OA 、OC ，如图，题∵AB ∥CD ， ∴OF ⊥CD ，∴AE=BE=AB=12，CF=DF=CD=5， 在Rt △OAE 中，∵OA=13，AE=12， ∴OE==5，在Rt △OCF 中，∵OC=13，CF=5， ∴OF==12，当圆心O 在AB 与CD 之间时，EF=OF+OE=12+5=17； 当圆心O 不在AB 与CD 之间时，EF=OF ﹣OE=12﹣5=7； 即AB 和CD 之间的距离为7cn 或17cm ． 故答案为7cn 或17cm ．14．解：设AC=x ，则BC=AB ﹣AC=1﹣x ， ∵AC 2=BC •AB ， ∴x 2=1﹣x ， 解得：x 1=，x 2=（不合题意，舍去），∴AC=，∵AD 2=CD •AC ，∴AD=×=，∵AE 2=DE •AD ， ∴AE=×=﹣2；故答案为：﹣2．15．解：根据函数图象可知：抛物线的对称轴为x=1与x 轴一个交点的坐标为（﹣1，0），由抛物线的对称性可知：抛物线与x 轴的另一个交点坐标为0）． ∵y ＜0，∴x ＞3或x ＜﹣1．故答案为：x ＞3或x ＜﹣1．16．解：当B 、D 重合或C 、E 重合时DE 长度最大，如图1∵∠BAE=30°，∠AEB=90°， ∴DE=AB=a ，当∠BAD=∠CAE=15°时，DE 长度最小，如图2， 作AF ⊥BC ，且AF=AB ，连接DF 、CF ， ∵AF ⊥BC ，∴∠BAF=∠CAF=30°， ∵∠BAD=∠CAE=15°， ∴∠DAH=∠EAH=15°，密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴∠BAD=∠DAH ，在△ADB 和△ADF 中，，∴△ABD ≌△ADF ， ∴∠B=∠AFD ，BD=DF ， ∵∠AHB=∠DHF=90°，∴△ABH ∽△DFH ， AB ：AH=DF ：DH ， ∴=， ∴=，∴DH=，其中BD+DH=a 、AH=a ，∴DH==a∴DE=（2﹣3）a ，故DE 长度的取值范围是（2﹣3）a ≤DE ≤a ．三、解答题（共8小题，共72分） 17．解：分解因式得：（x ﹣1）（x+2）=0， 可得x ﹣1=0或x+2=0， 解得：x 1=1，x 2=﹣2．18．解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1， 把（0，﹣4）代入得：﹣4=9a ﹣1，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x ﹣3）2﹣1．19．解：（1）∵∴x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣5，；（2）∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 12﹣3x 1﹣5=0， ∴x 12=3x 1+5，∴2x 12+6x 2﹣2015=2（3x 1+5）+6x 2﹣2015=6（x 1+x 2）﹣2015=﹣1987．20．解：（1）如图，△A ′B ′C ′为所作；密（2）如图，△A ″B ″C ″为所求；（3）如图，点M 为△ABC 的外接圆的圆心，此时⊙M 是能盖住△ABC 的最小的圆，⊙M 的半径为=．故答案为．21．解：（1）连接OC ， ∵OA ⊥BC ，OC=OB ，∴∠AOC=∠AOB ，∠ACO=∠ABO ，∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB ，∠ACO=∠OAB ， ∴∠DAB=∠AOC ，∴∠DAB=∠AOB ，又∠DAB+∠AOB=60°， ∴∠AOB=30°； （2）∵∠AOB=30°， ∴BE=OB ，设⊙O 的半径为r ，则BE=r ，OE=r ﹣1， 由勾股定理得，r 2=（r ）2+（r ﹣1）2，解得r=4，∵OB=OC ，∠BOC=2∠AOB=60°， ∴BC=r=4．22．解：（1）飞机着陆时的速度V=60； （2）当S 取得最大值时，飞机停下来，则S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600， 此时t=20因此t 的取值范围是0≤t ≤20； （3）如图，S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600． 飞机着陆后滑行600米才能停下来．密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题23．解：（1）如图1，由题可得BD=CE=t ． ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ，∠B=∠ECA=60°． 在△BDC 和△CEA 中，，∴△BDC ≌△CEA ， ∴∠BCD=∠CAE ，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，∴∠AFC=120°；②延长FD 到G ，使得FG=FA ，连接GA 、GB ，过点B 作BH ⊥FG 于H ，如图2，∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA ， ∴△FAG 是等边三角形，∴AG=AF=FG ，∠AGF=∠GAF=60°． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=60°，∴∠GAF=∠BAC ， ∴∠GAB=∠FAC ． 在△AGB 和△AFC 中，，∴△AGB ≌△AFC ，∴GB=FC ，∠AGB=∠AFC=120°， ∴∠BGF=60°． 设AF=x ，FC=y ，内不答题则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中，BH=BG•sin∠BGH=BG•sin60°=y，GH=BG•cos∠BGH=BG•cos60°=y，∴FH=FG﹣GH=x﹣y．在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2=（y）2+（x﹣y）2=x2﹣xy+y2．∴==1；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6．∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=BE•cosB=BE=6﹣t，∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6，∴DN=EC．∵△DEM是等边三角形，∴DE=EM，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°∴∠NDE=∠MEC．在△DNE和△ECM中，，∴△DNE≌△ECM，∴∠DNE=∠ECM=90°，∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．当t=3时，E在点B，D在AB的中点，此时CM=EN=CD=BC•sinB=6×=3；当t=6时，E在点C，D在点A，此时点M在点C．∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为3．24．解：（1）设抛物线上有一点（x，y），由定义知：x2+（y﹣）2=|y+|2，解得y=ax2；（2）如图1，由（1）得抛物线y=x2的焦点为（0，），准线为y=﹣，∴y=x2﹣n2由y=x2向下平移n2个单位所得，∴其焦点为A（0，﹣n2），准线为y=﹣﹣n2，密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题由定义知P 为抛物线上的点，则PA=PH ，∴PA+PH 最短为P 、B 、A 共线，此时P 在P ′处， ∵x=1，∴y=1﹣n 2＜2﹣n 2，∴点B 在抛物线内，∴BI=y B ﹣y I =2﹣n 2﹣（﹣﹣n 2）=，∴PA+PB 的最小值为，此时P 点坐标为（1，1﹣n 2）； （3）由（2）知E （|n|，0），C （0，n 2）， 设OQ=m （m ＞0），则CQ=QE=n 2﹣m ，在Rt △OQE 中，由勾股定理得|n|2+m 2=（n 2﹣m ）2， 解得m=﹣， 则QC=+=QN ，∴ON=QN ﹣m=1， 即点N （0，1）， 故AM 过定点N （0，1）．密 封 不 人教版2020—2021学年度上学期九年级数学（上）期中测试卷及答案（满分：120分 时间： 100分钟）一、选择题（共15题，每题3分，共45分）1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．方程x 2=3x 的解是（ ）A ．x=﹣3B ．x=3C ．x 1=0，x 2=3D ．x 1=0，x 2=﹣3 3．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x 2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ） A ．11 B ．13 C ．11或13 D ．11和134．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ） A ．﹣4 B ．﹣1 C ．1 D ．45．若a 为方程x 2+x ﹣5=0的解，则a 2+a+1的值为（ ） A ．12 B ．6 C ．9 D ．166．关于x 的一元二次方程9x 2﹣6x+k=0则k 的范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ≤1D ．k ≥17．如图所示，在等腰直角△ABC 中，∠B=90°，将△ABC A 逆时针旋转60°后得到的△AB ′C ′，则∠BAC ′等于（A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°8．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ A ．y=1+x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2 9．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向上平移3到的抛物线，其解析式是（ ） A ．y=2（x+1）2+3 B ．y=2（x ﹣1）2﹣3 C ．y=2（x+1）2﹣3 D ．y=2（x ﹣1）2+310．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（﹣2，1） C ．（2，﹣1） D ．（﹣2，﹣1）11．函数y=﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣1） B ．（﹣2，1） C ．（﹣2，﹣1） D ．2，1）12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的x 、y密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题x ﹣1 0 1 2 3 y51﹣1﹣11则该二次函数图象的对称轴为（ ）A ．y 轴B ．直线x=C ．直线x=2D ．直线x=13．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 、b 、c 满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014．已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 15．已知0≤x ≤，那么函数y=﹣2x 2+8x ﹣6的最大值是（ ） A ．﹣10.5 B ．2 C ．﹣2.5 D ．﹣6 二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．(4分)解方程：x 2﹣4x+2=0．17．(5分)已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．18．(6分)如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ．（1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由．19．(6分)一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店日净收入．（ 日净收入=每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出 ）（1）当5＜x ≤10时，y= ；当x ＞10时，y= ； （2）若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？20．(9分)如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）以A 点为旋转中心，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得△AB 1C 1，画出△AB 1C 1．（2）作出△ABC 关于坐标原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2． （3）作出点C 关于x 轴的对称点P ．若点P 向右平移x （x 取整数）个单位长度后落在△A 2B 2C 2的内部，请直接写出x 的值．21．(10分)已知关于x 的一元二次方程． （1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．22．(11分)某房地产开放商欲开发某一楼盘，于2018年初以每亩100万的价格买下面积为15亩的空地，由于后续资金迟迟没有到位，一直闲置，因此每年需上交的管理费为购买土地费用的10%，2020年初，该开发商个人融资1500万，向银行贷款3500万后开始动工（已知银行贷款的年利率为5%，且开发商预计在2022年初完工并还清银行贷款），售，开发总面积为5购买土地费用的5%，工程完工后不再上交土地管理费．若房价定位每平方米3000米上涨100元，则会少卖1000平方米，且卖房时间会延长个月．该房地产开发商预计售房净利润为8660万． （1）问：该房地产开发商总的投资成本是多少万？（2）若售房时间定为2年（2商不再出售，准备作为商业用房对外出租）平方米多少元？23．(12分)正方形ABCD 点A 重合，一条直角边与边BC 交于点E （点E 不与点B 重合），另一条直角边与边CD 的延长线交于点F ． （1）如图①，求证：AE=AF ；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边与边CD 交于G ，且点G 是斜边MN 的中点，连接EG EG=BE+DG ；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G 是否一定是边CD 的中点？请说明你的理由．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题24．(12分)如图，已知点A （0，1），C （4，3），E （，），P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部（不在各边上）的一动点，点D 在y 轴上，抛物线y=ax 2+bx+1以P 为顶点． （1）说明点A ，C ，E 在一条直线上；（2）能否判断抛物线y=ax 2+bx+1的开口方向？请说明理由； （3）设抛物线y=ax 2+bx+1与x 轴有交点F 、G （F 在G 的左侧），△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，这时能确定a 、b 的值吗？若能，请求出a ，b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．解：∵选项A 中的图形旋转180°后不能与原图形重合， ∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，∴选项A 不正确；∵选项B 中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，它也是轴对称图形， ∴选项B 正确；∵选项C 中的图形旋转180°后不能与原图形重合， ∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形， ∴选项C 不正确；∵选项D 中的图形旋转180°后能与原图形重合， ∴此图形是中心对称图形，但它不是轴对称图形， ∴选项D 不正确．故选：B ．2．解：x 2﹣3x=0， x （x ﹣3）=0， x=0或x ﹣3=0， 所以x 1=0，x 2=3．故选C ． 3．解：方程x 2﹣6x+8=0， 分解因式得：（x ﹣2）（x ﹣4）=0，可得x ﹣2=0或x ﹣4=0，解得：x 1=2，x 2=4，当x=2时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；当x=4时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6=13． 故选B ．4．解：根据韦达定理得x 1•x 2=1．故选：C ． 5．解：∵a 为方程x 2+x ﹣5=0的解， ∴a 2+a ﹣5=0，∴a2+a=5 则a2+a+1=5+1=6．故选：B．6．解：∵关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有两个不相等的实根，∴△=（﹣6）2﹣4×9k＞0，解得k＜1．故选A．7．解：∵在等腰直角△ABC中，∠B=90°，∴∠BAC=45°，∵将△ABC绕点 A逆时针旋转60°后得到的△AB′C′，∴∠BAB′=60°，∠B′AC′=∠BAC=45°，∴∠BAC′=∠BAB′+∠B′AC′=60°+45°=105°，故选A．8．解：y=2（x﹣1）2+3中，a=2．故选D．9．解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）．可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．故选A．10．解：因为y=（x+2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选B．11．解：∵y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x2+4x+4﹣4+3）=﹣（x+2）2+1 ∴顶点坐标为（﹣2，1）；故选B．12．解：∵x=1和2时的函数值都是﹣1，∴对称轴为直线x==．故选：D．13．解：根据二次函数图象的性质，∵开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，又∵对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，所以A正确．故选A．14．解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线应经过二、四象限，故A可排除；B、由二次函数的图象可知a＜0，对称轴在ya、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b故B可排除；C、由二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b三象限，故C可排除；正确的只有D．故选：D．15．解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x又∵0≤x≤，∴当x=时，y取最大值，y最大=﹣2（﹣2）2+2=﹣2.5．故选：C．二、解答题（本大题共9小题，共75分）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题16．解：x 2﹣4x=﹣2x 2﹣4x+4=2 （x ﹣2）2=2或∴，．17．解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4，∵抛物线经过点B （3，0）， ∴a （3﹣1）2﹣4=0， 解得：a=1，∴y=（x ﹣1）2﹣4，即y=x 2﹣2x ﹣3．18．（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴∠OCD=60°，CO=CD ， ∴△OCD 是等边三角形； （2）解：△AOD 为直角三角形． 理由：∵△COD 是等边三角形． ∴∠ODC=60°，∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴∠ADC=∠BOC=α， ∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=∠ADC ﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，于是△AOD 是直角三角形．19．解：（1）由题意得：当5＜x ≤10时，y=400（x ﹣5）﹣600； 当x ＞10时，y=（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=﹣40x 2+100x ﹣4600．即y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10）．故答案是：400（x ﹣5）﹣600；﹣40x 2+100x ﹣4600； （2）由（1）知，y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10） 当y=1560时，（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=1560， 解得：x 1=11，x 2=14，答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元； 20．解：（1）作图如右：△A 1B 1C 1即为所求； （2）作图如右：△A 2B 2C 2即为所求； （3）x 的值为6或7．21．解：（1）所以，方程有两个实数根；（2）若腰=3，则x=3是方程的一个根，代入后得：k=2，原方程为x2﹣5x+6=0⇒x1=2，x2=3即，等腰三角形的三边为3，3，2．则周长为8，面积为若底为3，则原方程为x2﹣4x+4=0⇒x1=x2=2即，等腰三角形的三边为2，2，3．则周长为7，面积为22．解：（1）15×100=1500万，1500×10%×2=300万，1500+3500+3500×5%×2=5350万，1500×5%×2=150万，四者相加1500+300+5350+150=7300万．答：该房地产开发商总的投资成本是7300万；（2）设房价每平方米上涨x个100元，依题意有（5﹣0.1x）=8660+7300，解得x1=12，x2=8，又因为当x1=12时，卖房时间为30个月，此时超过两年，舍去；当x2=8时，卖房时间为20个月；则房价为3000+8×100=3800元．答：房价应定为每平方米3800元．23．解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD，∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD，∴∠BAE=∠DAF．在△ABE和△ADF 中，∴△ABE≌△ADF（ASA）∴AE=AF；（2）如图②，连接AG，∵∠MAN=90°，∠M=45°，密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴∠N=∠M=45°，∴AM=AN ．∵点G 是斜边MN 的中点， ∴∠EAG=∠NAG=45°．∴∠EAB+∠DAG=45°． ∵△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE=∠DAF ，AE=AF ， ∴∠DAF+∠DAG=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAG=∠FAG ． 在△AGE 和AGF 中，，∴△AGE ≌AGF （SAS ）， ∴EG=GF ． ∵GF=GD+DF ， ∴GF=GD+BE ， ∴EG=BE+DG ；（3）G 不一定是边CD 的中点． 理由：设AB=6k ，GF=5k ，BE=x ， ∴CE=6k ﹣x ，EG=5k ，CF=CD+DF=6k+x ，∴CG=CF ﹣GF=k+x ，在Rt △ECG 中，由勾股定理，得 （6k ﹣x ）2+（k+x ）2=（5k ）2， 解得：x 1=2k ，x 2=3k ， ∴CG=4k 或3k ．∴点G 不一定是边CD 的中点．24．解：（1）由题意，A （0，1）、C （4，3）两点确定的直线解析式为：y=x+1 将点E 的坐标（，），代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=．∵左边=右边∴点E 在直线y=x+1上， 即点A 、C 、E 在一条直线上；（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 的内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，密 封 线 内 不答 题∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下． 解法二：∵抛物线y=ax 2+bx+1的顶点P 的纵坐标为，且P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜＜3，由1＜1﹣得﹣＞0．∴a ＜0． ∴抛物线开口向下； （3）连接GA 、FA ． ∵S △GAO ﹣S △FAO =3∴GO •AO ﹣FO •AO=3． ∵OA=1， ∴GO ﹣FO=6．设F （x 1，0），G （x 2，0），则x 1、x 2是方程ax 2+bx+1=0的两个根，且x 1＜x 2， 又∵a ＜0 ∴x 1•x 2=＜0， ∴x 1＜0＜x 2 ∴GO=x 2、FO=﹣x 1∴x 2﹣（﹣x 1）=6，即x 2+x 1=6 ∵x 2+x 1=，∴=6∴b=﹣6a∴抛物线的解析式为：y=ax 2﹣6ax+1，其顶点P 1﹣9a ）∵顶点P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜1﹣9a ＜3， ∴﹣＜a ＜0①由方程组，得ax 2﹣（6a+）x=0， ∴x=0或x==6+，当x=0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，AE 有两个不同的交点， 则有：0＜6+≤， 解得：﹣a ＜﹣②，综合①②，得﹣＜a ＜﹣，∵b=﹣6a ， ∴＜b ＜．。
2024年浙江省扬州市高邮市九年级中考一模数学试题(解析版)
2023-2024学年度网上阅卷第一次适应性练习试题九年级数学2024.04(考试时间：120分钟满分：150分)友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效．一、选择题(每题3分，共24分)1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2. 一个数的绝对值等于3，这个数是【】A. 3B. ﹣3C. ±3D.【答案】C【解析】【详解】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点3和﹣3到原点的距离是3，所以绝对值等于3的数是±3．故选C．3. 某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数．年龄（岁）12岁13岁14岁15岁16岁人数（个）283在下列统计量，不受影响的是（ ）A. 中位数，方差B. 众数，方差C. 平均数，中位数D. 中位数，众数【答案】D【解析】【分析】根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为7，即可知出现次数最多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案．【详解】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为，故该组数据的众数为15岁，总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15，则中位数为：岁，故统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：D ．【点睛】本题考查频数分布表及统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．4. 若，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．据此求解即可．【详解】解：∵，202837---=1515152+=20m ->22m m -<-<<22m m -<-<<22m m -<-<<22m m -<-<<20m ->∴，则，∴，故选：B ．5. 如图，已知中，，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，由平行线的性质推出，，由三角形内角和定理即可求出答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴ ，∵，∴，∴，故选：A ．6. 如图，已知的半径为，的一条弦，若内的一点恰好在上，则线段的长度为整数的值有（）m>22-<-m 22m m -<-<<ABC 12l BC l AB 、120,115αβ=︒=︒B ∠55︒60︒65︒70︒180C ∠α∠+=︒180A ∠∠β+=︒1l BC ∥180C ∠α∠+=︒120α=︒60C ∠=︒2l AB 180A ∠∠β+=︒115β=︒65A ∠=︒180656055B ∠=︒-︒-︒=︒O 10O 16AB =O P AB OPA. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握定理内容是解题关键．过作交于，连接，则为中点，，用勾股定理求，确定的长度范围，取相应整数即可．【详解】解∶过作交于，连接如图：则，为中点，，，在中，，又长度为整数，长可为，故选∶B ．7.用表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】2345O OC AB ⊥AB C OB C AB OC OP OB ≤≤OC OP O OC AB ⊥AB C OB OC AB ⊥C AB OC OP OB ≤≤110,82OB BC AB === ∴Rt OBC △6OC ==68OP ∴≤≤ OP ∴OP 6,7,8a =b =a b 、10a b+10a b-ba 10ab，由此可得出答案．【详解】解：由题意得：，故选：D．是解题的关键．8. 如图，在正方形中，，点E是边中点，点P是直线上的动点(点P不与点C 重合)，将沿所在的直线翻折，得到，作点F关于对角线的对称点，连接，若为等腰三角形时，则线段的长为（）A. 4B. 1或4C. 2或4D. 1或2或4【答案】D【解析】【分析】先根据正方形的性质、折叠的性质得到点在以点N为圆心，为直径的圆上运动；然后分或或三种情况分别求解即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，取的中点N，连接．的10ab===ABCD4AB=CD BCCEP△EP FEPAC F'AF DF''，AF D'CPF'BCAF F D''=4AF AD'==4DF AD'==ABCD490AB BC CD DA ABC BCD CDA DAB====∠=∠=∠=∠=︒，BC,F N EN'∵点E 是边的中点，∴,∵是正方形对角线，∴∴点E ，N 关于直线对称．又∵点F ，关于直线对称，，∴，∴点在以点N 为圆心，为直径的圆上运动．由题意可知需分三种情况讨论：①当时，点在线段的垂直平分线上，如图（1），此时可知点与点F 重合，点P 与点N 重合，故．②当时，如图（2），连接，CD CE CN =AC ABCD ,EN AM MN ME⊥=AC F 'AC 122CE FE CD ===2F N FE CE CN '====F 'BC AF F D ''=F 'AD F '122CP BC ==4AF AD '==,AN AF∵∴,又∵，∴，，由折叠得：，∴，∴，∴点A ，F ，P 共线．∵点F ，关于直线对称，∴设，则，由勾股定理，得，即，解得：，即．③当时，如图（3），连接，AB AD=AB F A =',AN AN NB NF '==AF N ABN '≌ 90AF N ABN '∴∠=∠=︒90PFE PCE ∠=∠=︒90AFE AF N EFP ∠=∠=︒=∠'90AFE PFE ∠=∠=︒F 'AC 4AF AF AD '===∴FP CP x ==4,4BP x AP x =-=+222AB BP AP +=()()222444x x +-=+1x =1CP =4DF AD '==DN同②可证如图：连接．故点F ，，点E ，N ，点B ，D 分别关于直线对称，∴与关于直线对称，∴，∴，∵，点P 在上，∴点P 与点B 重合，∴．综上，的长为1，2或4．故选D ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，找出点的运动轨迹以及分类讨论的思想成为解题的关键．二、填空题(每题3分，共30分)9. 比较大小：“＞”，“＜”或“＝”）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查实数的大小比较，比较容易，由可得，从而即可得解．【详解】解：∵,∴，故答案为：．DF N DCN'≌ 90DF N DCN '∴∠=∠=︒,BF BE F 'AC F DN 'V FBE AC F DN EBE '≌ 90BFE DF N '∠=∠=︒90BFE BCE ∠=∠=︒BC 4CP =CP F '>1615>4>1615>4>>10. 全球最大的水陆两栖飞机—中航工业AG 600大型灭火飞机最大起飞重量53500千克，数据53500用科学记数法表达为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为，其中，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数．据此求解即可．【详解】解：数据53500用科学记数法表达为，故答案为：．11. 因式分解： ________________．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：原式．故答案为：．12. 已知，，则________.【答案】12【解析】【分析】将式子变形为，再代入计算即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：12．45.3510⨯10n a ⨯110a ≤<45.3510⨯45.3510⨯2312x -=()()322x x +-()234x =-()()322x x =+-()()322x x +-93m =274n =233m n +=()()23232333333m n m n m n +=⨯=⨯93m =274n =()()232323333339273412m nm n m n m n +=⨯=⨯=⨯=⨯=【点睛】本题考查同底数幂的逆运算，积的乘方，幂的乘方，正确变形是解题的关键．13. 下表为某中学统计的七年级名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是__________．“偏瘦”“标准”“超重”“肥胖”803504624【答案】【解析】分析】根据概率公式计算即可得出结果．【详解】解：该生体重“标准”的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比是本题的关键．14. 已知，反比例函数的图象上两点，当，时，有，则m 的取值范围是__________．【答案】m<1【解析】【分析】根据反比例函数的图象上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）当时，有y 1＜y 2可以判断出原函数图像过一、三象限，从而得出反比例函数比例系数为正数，即1﹣m >0，进一步求解即可．【详解】∵反比例函数的图象上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且当时，y 1＜y 2，∴原函数图象过一、三象限，∴1﹣m >0，解得，m<1，故答案为m<1．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与比例系数的关系，熟练掌握相关概念是解题关键．15. 将两块三角板如图叠放，若，，则_________．【500710350750010=710=1m y x -=()()1122,,,A x y B x y 120x x <<12y y <1m y x-=120x x <<1m y x-=120x x <<90AOC BOD ∠=∠=︒132AOD ∠=︒BOC ∠=【答案】##48度【解析】【分析】本题考查角的运算，根据求解即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．16. 若在二次函数中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如表：x......013......y (27)……则方程的解是_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，抛物线解析式为，将代入求出，然后代入方程即可求解．【详解】解：由表格可知抛物线经过，抛物线解析式为：，将代入可得：，解得：，48︒AOC BOD BOC AOD ∠+∠-∠=∠90AOC BOD ∠=∠=︒132AOD ∠=︒BOC AOC BOD AOD ∠=∠+∠-∠9090132=︒+︒-︒48=︒48︒2y ax bx c =++1-3-6-22ax bx c ++=121,5x x =-=2y ax bx c =++()()()1,20,31,6---；；a b c 、、23ax bx c ++=()()()1,20,31,6---；；2y ax bx c =++()()()1,20,31,6---；；2y ax bx c =++236a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴该抛物线的解析式为，∵，∴，整理得：因式分解可得：解得：．故答案为∶ ．17. 如图，已知中，，，若以为直径作分别交、于点、，则图中阴影部分面积为_________．(结果保留)【答案】【解析】【分析】本题考查的知识点是三角形内角和定理、等腰三角形性质、扇形面积的计算，解题关键是熟记扇形面积公式．先根据三角形内角和定理求出，再根据等腰三角形性质得出，最后根据阴影部分面积即可求解．【详解】解：，，，以为直径作分别交、于点、，，，，，，，的243y x x =--22ax bx c ++=2324x x --=2450x x --=()()150x x +-=121,5x x =-=121,5x x =-=ABC 72A ∠=︒10BC =BC O AB AC M N π10π108B C ∠+∠=︒144BOM CON ∠+∠=︒OBM OCN S S =+扇形扇形72A ∠=︒ 180A B C ∠+∠+∠=︒108B C ∴∠+∠=︒ BC O AB AC M N 152OB OM OC ON BC ∴=====B OMB ∴∠=∠C ONC ∠=∠108OMB ONC B C ∴∠+∠=∠+∠=︒()()180180BOM CON B OMB C ONC ∴∠+∠=︒-∠+∠+︒-∠+∠()()360144B C OMB ONC =︒-∠+∠-∠+∠=︒阴影部分面积，，，．故答案为：．18. 已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为_________．【答案】4160【解析】【分析】本题考查了数字类规律探索，要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果，准确计算、发现规律是解题的关键．【详解】由题意得：∴；∴；∴；∴OBM OCN S S =+扇形扇形()π55360BOM CON ∠+∠⨯⨯=144π25360⨯=10π=10π0a ≠1a ≠()111f a a =-1a ()2111f a a =-2a ()111n n f a a -=-n a 11,,32⎛⎫- ⎪⎝⎭1f ()111,,a b c ()111,,a b c 2f 222(,,)a b c 11122202420242024a b c a b a b c ++++++++ ()111,,a b c =111(,,)11(1)1312----11(,2,)22=-1112a b c ++=()222111,,(,,)11121122a b c =-⎛⎫--- ⎪⎝⎭2(2,1,3=-22235a b c ++=3331111(,,)(,,1,,32121(1)213a b c ⎛⎫==- ⎪---⎝⎭-333122a b c ++=∴；∴；∴∴，，，，由规律可得每三次变换为一个循环，∴∴故答案为：4160．三、解答题(本大题共有10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19. 计算：【答案】【解析】【分析】本题考查的知识点是二次根式的混合运算、零指数幂和负整数指数幂的运算、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，解题关键是熟练掌握以上运算．先根据零指数幂和负整数指数幂运算法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根的()44411111(,,)(,,,2,111132212a b c ⎛⎫==- ⎪---⎝⎭-4442a b c ++=5551112(,,)(,,)2,1,111231122a b c ⎛⎫==- ⎪-⎛⎫⎝⎭--- ⎪⎝⎭555213a b c ++=()6661111(,,)(,,)1,,321211213a b c ⎛⎫==- ⎪---⎝⎭-666122a b c ++=32323211(,,)(,2,22k k k a b c ---=-3232322k k k a b c ---++=1,2,3,k = 3131312(,,)(2,1,)3k k k a b c ---=-313131213k k k a b c ---++=3331(,,)(1,,3)2k k k a b c =-333122k k k a b c ++=202436742÷= 11122202420242024a b c a b a b c ++++++++ 21567421224160323⎛⎫=⨯++++= ⎪⎝⎭()20120242tan303π-⎛⎫-----︒ ⎪⎝⎭7据二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：原式，．20. 解不等式组，并求出所有整数解的和．【答案】不等式组的解集为，所有整数解的和为【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法；先解出每个不等式的解集，然后即可求出该不等式组的解集，从而可以得到该不等式组的正整数解．【详解】解不等式，得，解不等式，得，∴不等式组的解集为，∴所有整数解的和为．21. 初中数学共380课时的教学内容结束后，李老师计划用60课时进行总复习，根据教学内容所占课时比例绘制如下统计图表．请根据图表提供的信息，回答下列问题：数与代数（内容）课时数数与式67方程组与不等式组a函数44912=-+7=-405112x x x -≥⎧⎪⎨-+>⎪⎩143x -<≤1040x -≥4x ≤5112x x -+＞13x >-143x -<≤0123410++++=（1）图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为；（2）图2、3中的 ， ；（3）在60课时的总复习中，李老师应该用课时复习“数与代数”内容．【答案】（1）（2）60，14（3）27【解析】【分析】本题考查统计图，理解扇形图与表格中的数据之间的关系是解决本题的关键．（1）图1中根据扇形图已知的百分比可以求出“统计与概率”的百分比，进一步求出其在扇形的圆心角度数；（2）图2中的a 可以根据课时总数380课时求出“数与代数”的课时数，而图3的b 可以根据图2中的a 为依据求出；（3）唐老师应该安排多少课时复习“图形与几何”的内容，关键是抓住总复习课时和“图形与几何”所占的百分比计算．【小问1详解】【小问2详解】，；【小问3详解】依题意，得，答：唐老师应安排27课时复习“数与代数”内容．22. 甲，乙、丙三个旅行社都安排了到高邮的景点游览，若每个旅行社分别从湖上花海、珠湖小镇这两个景点中选择一个游览，且选择每个景点的机会相等，请用画树状图或列表法，求三个旅行社恰好选择了相同的景点游览的概率．︒=a b =36()145%5%40%36036---⨯︒=︒38045%674460a =⨯--=60181312314----=45%6027⨯=【答案】【解析】【分析】本题考查了树状图法和列表法，利用树状图法或列表法展示所以等可能的结果n ，再从中选出符合条件的结果数目m ，然后利用概率公式计算即可．画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出三个旅行社恰好选择了相同的景点游览的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】把湖上花海、珠湖小镇这两个景点分别记为A 、B ，画树状图如下：共有8种等可能得结果，其中甲、乙、丙三人选择相同景点的结果有2种，甲、乙、丙三人选择相同景点的概率为．23. 微信名“文游台”和“高邮湖”的两个同学计划一起用60元在网店购买一些签字笔，请根据他们如图的聊天截屏信息，求出第一家网店每支签字笔的单价．【答案】第一家网店每支签字笔的价格是10元【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用等知识点，首先设第一家网店每支签字笔的单价是x 元，现在每支签字笔的价格是元，即可根据题意列出方程，解此分式方程即可求得答案，注意分析题意，找到关14∴∴2184P ==1.5x键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【详解】解：设第一家网店每支签字笔的单价是x 元，现在每支签字笔的价格是元，依题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，答：第一家网店每支签字笔的价格是10元．24. 如图，已知点M 、N 分别为□ABCD 的边CD 、AB 的中点，连接AM 、CN ．（1）判断AM 、CN 的位置关系，并说明理由；（2）过点B 作BH ⊥AM 于点H ，交CN 于点E ，连接CH ，判断线段CB 、CH 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）AM ∥CN ，见解析；（2）CB=CH ，见解析【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AN ∥MC ，进而利用平行四边形的判定得出答案；（2）利用三角形中位线定理的推论得出HE=EB ，以及利用平行线的性质得出NC ⊥HB ，再利用线段垂直平分线的性质得出答案．【详解】解：（1）AM ∥NC ，理由：∵点M 、N 分别为▱ABCD 的边CD 、AB 的中点，∴AB=CD ，MC=AN ，AB ∥CD ，∴AN ∥MC ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴AM ∥NC ；（2）BC=HC ，理由：∵AM ∥NC ，AN=BN ，∴BE=HE ，∵BH ⊥AM ，∴EB ⊥NE ，1.5x 606021.5x x=+10x =10x =∴NC 垂直平分HB ，∴HC=BC ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，垂直平分线的判定和性质，以及平行线的性质等知识，得出HE=BE 是解题关键．25. 如图，、、、四点在上，为的直径，于点，平分．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长；（3）若，，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）连接，由角平分线的意义及等腰三角形性质得，再由垂直条件即可完成；（2）易得，得的长度，再证是等边三角形，即可求解；（3）设，则可得，则由勾股定理得；证明，由相似三角形的性质求出x 的值，即可求得结果．【小问1详解】证明：连接，A B C D O BD O AE CD ⊥E DA BDE ∠AE O 30DBC ∠=︒2DE cm =BD 3DE DC =4DE BC =5AD =BD 8BD cm=BD =OA OA CD 430∠=︒AD OAD DE x =BC CD 、BD Rt ADE Rt BDA ∽OA平分，，，，，，，，是的切线．【小问2详解】解：是直径，，，，在中，，，，，为等边三角形，，．【小问3详解】解：设，则，，在中，，DA BDE ∠12∴∠=∠OA OD = 13∴∠=∠23∴∠=∠OA CD ∴ AE CD ⊥ OA AE ∴⊥AE ∴O BD 90C ∴∠=︒90903060BDC DBC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒1260∴∠=∠=︒Rt ADE 430∠=︒24AD DE cm ∴==160∠=︒ OA OD =OAD ∴ 4OD AD cm ∴==28BD OD cm ∴==DE x =4BC x =3CD x =Rt BCD5BD x ==为直径，，而，，，即，，．【点睛】本题考查的知识点是证明某直线是圆的切线、半圆（直径）所对的圆周角是直角、含度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．26. 如图，某市计划利用现有的一段“”字形的古城墙粗线表示古城墙，已知，米，米和总长为米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆 (细线表示仿古城墙，展览馆中间也是用仿古城墙隔开)．（1）如图，若点可能在线段上，所围成的展览馆的面积为平方米，求的长；（2）如图，当点在线段延长线上，为多少时，展览馆的面积最大？最大面积为多少平方米？【答案】（1）（2）为时，展览馆的面积最大，最大面积为平方米【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．(1) 设的长为米，根据矩形性质得米，根据题意，可BD 90BAD ∴∠=︒12∠=∠Rt ADE Rt BDA ∴ ∽AD DE BD AD∴=555x x =x ∴=5BD x ∴==30L ABC AB BC ⊥60AB =20BC =280DBEF GH 1D AB DBEF 4800DF 2D BA DF DBEF 80DF 60DBEF 5400DF x 2802203003EF x x x =---=-（）60EF ≤得，根据矩形的面积公式列方程求解即可．(2) 展览馆的面积为，的长为米，当点在线段延长线上，，根据矩形的面积公式列方程求解即可．【小问1详解】解：设的长为米，点在线段上，米，，，即，，故根据题意得展览馆的面积为，解得： ， (，故舍去)，答：为米．【小问2详解】展览馆的面积为，的长为米，当点在线段延长线上，，由，得此时，则，上式可化为，故当时，有最大值，即，答：为时，展览馆的面积最大，最大面积为平方米．27. 我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”．2003x ≥DBEF S DF x D BA ()2802206036018022x x EF x ----=+=-DF x D AB ∴()2802203003EF x x x =---=- 60AB =∴60EF ≤300360x -≤∴80x ≥DBEF ()30034800x x -=180x =220x =80x ≥DF 80DBEF S DF x D BA ()2802206036018022x x EF x ----=+=-60EF >80x <31802S x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()236054002S x =--+60x =S 5400S =DF 60DBEF 5400（1）如图1，已知，，①用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹）②过点C 能作出“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由；（2）如图2，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为；（3）如图3，已知四边形中，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”．（保留作图痕迹）【答案】（1）①见详解；②不能，理由见详解（2）（3）见详解【解析】【分析】（1）①作出线段的垂直平分线即可，②如果是的“紫金线”，能平分面积但不能平分周长；（2）由题意得是的垂直平分线才符合题意，由直角三角形两锐角互余以及角平分线的定义即可求解；（3）作出的垂直平分线即可．【小问1详解】解：①如图，直线l即为所求：的ABC ,AB AC AC BC =≠ABC ABC MN ABCD ACD ∠αABCD 90,3,8,5B C AB BC CD ∠=∠=︒===ABCD PQ 290α-︒BC CD ABC MN AC AD∵直线l 是的垂直平分线，则记与直线l 与交于点E ，点E 为的中点，∴与等底同高，故面积一样，∵，，∴l 平分周长，故直线l 是的一条“紫金线”;②过点C 不能作出的“紫金线”，设过点C 能作直线“紫金线”交于点D ，如图：则点D 为中点，满足平分面积，∵，∴，∴与周长不相等，故不能平分该图形周长，∴不能能作出的“紫金线”；【小问2详解】解：由题意得平分，当是矩形的“紫金线”，则是的垂直平分线，∵是的垂直平分线∴，∵四边形是矩形，∴，，BC BC BC ABE ACE △AB AC =BE CE =ABC ABC CD AB AB AC BC ≠AD AC BD BC +≠+ACD BCD △ABC AE DAC ∠MN ABCD MN AC MN AC CO AO =90FOA ∠=︒ABCD DC AB ∥,DC AB AD BC ==90D Ð=°∴，∵，∴，∴，∴，∴，左右两部分梯形面积也一样，∴即平分周长也平分面积，∴是矩形的“紫金线”，∵，，∴，∵，∴，故答案为：．【小问3详解】解：如图，直线即为所求：记直线与分别交于点F 、E ，连接，FCO NAO ∠=∠FOC AON ∠=∠OAN OCF △≌△FC AN =BN DF =FD DA AN BN BC CF ++=++MN MN ABCD 1∠=α90FOA ∠=︒90EAO DAE α∠=∠=︒-90D Ð=°()90290290ACD αα∠=︒-︒-=-︒290α-︒PQ PQ ,AD BC ,AE DE∵直线是的垂直平分线，∴，，∴，∵，∴由勾股定理得：，则，解得：，∴，∴，∴，∴直线平分该图形周长，，∴，∴直线平分该图形面积，∴直线四边形的“紫金线”．【点睛】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，中线平分三角形面积，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．28. 如图1，已知矩形中，，点是边的中点，点是线段上的一个动点，将沿直线翻折，点落在点．PQ AD EA ED =FA DF =AFE DEF S S =△△90B C ∠=∠=︒222222,=+=+AE AB BE DE DC CE ()2222358BE BE +=+-5BE =853CE =-=AB BE CE DE +=+AB BE AF CE DE DF ++=++PQ 1357.52ABE DEC S S ==⨯⨯=△△ABE AFE DEC DEF S S S S +=+△△△△PQ PQ ABCD ABCD 1313AB BC =≥，P AB Q BC PBQ PQ B B '（1）在点的运动过程中，请判断线段与的位置关系，并说明理由；（2）连接，求周长的最小值；（3）如图2，若，连接，延长交对角线于点，当时，求的长．【答案】（1），理由见解析（2（3）【解析】【分析】（1）由中点定义及折叠性质得到，即点的轨迹为半圆，由圆周角定理、等腰三角形性质及折叠性质即可得到，进而得出；（2）由折叠可得，，依据，可得，运用勾股定理得到，进而当时，；（3）若，则矩形为正方形，将和分别沿、翻折到和处，延长、相交于点，如图所示，由对称轴及正方形判定可得四边形为正方形，设，则，，，在中，由勾股定理可得，解方程即可得出的长度．【小问1详解】解：，理由如下：连接，如图所示：Q AB 'PQ CB 'CB Q '△13BC =BB 'BB 'AC M 5BB '=MB 'AB PQ '∥132+8417MB '=AP B P BP '==B 'PB A B PQ '∠'=∠AB PQ '∥CQ B Q CQ BQ BC +=+='B P B C CP '+≥'1322AB B C CP B P CP CP '='≥-=--PC =13BC ≥13BC =CB F ' 132+13BC =ABCD ABB ' AMB '△AB AC ABE AMF EB FM H AEHF MB MF x '==5BM x =+1257BH EH EB =-=-=12HM HF MF x =-=-Rt BHM △()()2227125x x +-=+MB 'AB PQ '∥AB '点是的中点，，由折叠可得，，即点的轨迹为半圆，，，，，由折叠可得，则，，；【小问2详解】解：由（1）可知，点的轨迹为半圆，连接，，如图所示：在，，由折叠可得，，，，，在中，， P AB AP BP ∴=BP B P ='AP B P BP '∴==B 'AP B P '= PAB PB A ''∴∠=∠ BB B B ''= 12PAB BPB ''∴∠=∠BPQ B PQ '∠=∠12PAB BPB Q BPQ B P ''∠'∠=∠=∠=PB A B PQ '∴'∠=∠AB PQ '∴∥B 'CB 'PC Rt BPC △90B Ð=°BQ B Q '=CQ B Q CQ BQ BC =+'∴+=B P B C CP ''+≥ 1322AB B C CP B P CP CP ∴--='≥-'=Rt BPC△PC ===最小值为，周长的最小值，，当时，周长的最小值；【小问3详解】解：若，则矩形为正方形，连接，如图所示：由为直径，可得，将和分别沿、翻折到和处，延长、相交于点，如图所示：由对称性知，，，则，四边形为正方形，在中，，，由勾股定理可得，，由折叠可知，设，则，，，在中，，则由勾股定理可得，解得，B C '∴132CP -=∴CB F ' 131322CP BC BC ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭ 13BC ≥∴13BC =CB F ' 132=+13BC =ABCD AB 'AB 90AB B '∠=︒ABB ' AMB '△AB AC ABE AMF EB FM H ,BAB BAE MAB MAF ''∠=∠∠=∠90E AB B AB M F ''∠=∠=∠=∠=︒AM AN =290MAN BAC ∠=∠=︒∴AEHF Rt ABB ' 13AB =5BB '=12AB '==12AE EH HF AF AB ∴===='=5,EB BB B M FM ''===MB MF x '==5BM x =+1257BH EH EB =-=-=12HM HF MF x =-=-Rt BHM △90BHM ∠=︒()()2227125x x +-=+8417x =．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了折叠的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，动点最值问题-圆弧型，正方形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，解题的关键是设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．8417MB x ∴=='x x。
高邮市初三数学上学期期中试卷
高邮市初三数学上学期期中试卷(含解析解析)高邮市2021初三数学上学期期中试卷(含答案解析)一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x2+2x=x2﹣1 B．C．ax2+bx+c=0 D．3（x+1）2=2（x+1）2．（3分）如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）A．65°B．25°C．15°D．35°3．（3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到A B的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．34．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC 通过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．25°C．40°D．50°5．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1?x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．46．（3分）在△ABC中，O为内心，∠A=70°，则∠BOC=（）A．140°B．135°C．130°D．125°7．（3分）下列语句：①相等的圆周角所对的弧是等弧；②通过三个点一定能够作一个圆；③等腰直角三角形的外心不在那个三角形顶角的角平分线上；④等边三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等，正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范畴是（）A．r= B．r＞C．3＜r＜4 D．二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）9．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=．10．（3分）已知圆O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M 与⊙O的位置关系是．11．（3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，P A切⊙O于A点，则PA=．12．（3分）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=．13．（3分）如图，量角器上的C、D两点所表示的读数分别是80°、5 0°，则∠DBC的度数为．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于B，连接AC交⊙O于D，若BC=8cm，DO⊥AB，则⊙O的半径OA=cm．15．（3分）若α，β是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则α2+β2 =．16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则它的一个外角∠DCE=．17．（3分）如图，矩形ABCD的边AB过⊙O的圆心，E、F分别为A B、CD与⊙O的交点，若AE=3cm，AD=4cm，DF=5cm，则⊙O的直径等于．18．（3分）已知等腰直角三角形ABC的腰长为4，半圆的直径在△A BC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，则半圆的半径为．三、解答题（本题共10个小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解下列方程：（1）x2﹣4 x+8=0；（2）3x（x﹣1）=2（1﹣x）．20．（8分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，求k的值．21．（8分）每位同学都能感受到日出时漂亮的景色．右图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时刻为16分钟，求“图上”太阳升起的速度．22．（8分）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．若点D在⊙O的外且∠DAC=∠BAC，求证：直线AD是⊙O的切线．23．（10分）如图：已知P是半径为5cm的⊙O内一点．解答下列问题：（1）用尺规作图找出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）（2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD．（3）已知OP=3cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有条．24．（10分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元．（2）假如该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM 与⊙O相切？并说明理由．26．（10分）已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+m=0．（1）用含m的代数式表示那个方程的实数根．（2）若Rt△ABC的两边a、b恰好是那个方程的两根，另一边长c=5，求m的值．27．（12分）如图1，AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，A B=4，BC=2，P是圆O上半部分的一个动点，连接OP，CP．（1）求△OPC的最大面积；（2）求∠OCP的最大度数；设∠OCP=α，当线段CP与圆O只有一个公共点（即P点）时，求α的范畴（直截了当写出答案）；（3）如图2，延长PO交圆O于点D，连接DB，当CP=DB，求证：CP是圆O的切线．28．（12分）阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB= BC?r+ AC?r+ AB?r= （a+b+c）r．∴r= ．（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；（2）明白得应用：如图（3），在四边形ABCD中，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，⊙O1与△ABD切点分别为E、F、G，设它们的半径分别为r1和r2，若∠ADB=90°，AE=4，BC+CD=10，S△DBC= 9，r2=1，求r1的值．高邮市2021初三数学上学期期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x2+2x=x2﹣1 B．C．ax2+bx+c=0 D．3（x+1）2=2（x+1）考点：一元二次方程的定义．分析：本题依照一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解答：解：A、原方程可化为：2x+1=0，是一元一次方程，错误；B、是分式方程，错误；C、方程二次项系数可能为0，错误；D、原方程可化为：3x2+4x+ 1=0，符合一元二次方程定义，正确．故选D．点评：本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观看方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判定．2．（3分）如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）A．65°B．25°C．15°D．35°考点：圆周角定理．专题：压轴题．分析：先依照邻补角的定义求出∠BOC，再利用圆周角定理求解．解答：解：∵∠AOC=130°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣130°=50°，∴∠D= ×50°=25°．故选B．点评：本题利用了圆周角定理和邻补角的概念求解．3．（3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到A B的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3考点：垂径定理；勾股定理．分析：过O作OC⊥AB于C，依照垂径定理求出AC，依照勾股定理求出OC即可．解答：解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC= AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC= =5．故选：B．点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．4．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC 通过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．25°C．40°D．50°考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系．专题：几何图形问题．分析：连接OA，依照切线的性质，即可求得∠C的度数．解答：解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=25°，∴∠AOC=50°，∴∠C=40°．故选：C．点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线经常用的辅助线是连接圆心与切点．5．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1?x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4考点：根与系数的关系．专题：运算题．分析：直截了当依照根与系数的关系求解．解答：解：依照韦达定理得x1?x2=1．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2= ．6．（3分）在△ABC中，O为内心，∠A=70°，则∠BOC=（）A．140 °B．135°C．130°D．125°考点：三角形的内切圆与内心．分析：依照三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，依照三角形的内心，求出∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB），代入求出∠OBC+∠OCB，依照三角形的内角和定理求出∠BOC即可．解答：解：∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=110°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=55°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=125°．故选D．点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的内心，角平分线定义等知识点的应用，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数，题目比较典型，要紧训练了学生的推理能力和运算能力．7．（3分）下列语句：①相等的圆周角所对的弧是等弧；②通过三个点一定能够作一个圆；③等腰直角三角形的外心不在那个三角形顶角的角平分线上；④等边三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等，正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：圆周角定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．分析：由圆周角定理，可得在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；由确定三角形的条件可知通过不在同一直线上三个点一定能够作一个圆；由三角形的外心与内心的知识可知等腰直角三角形的外心在那个三角形顶角的角平分线上，等边三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等．解答：解：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧，故错误；②经过不在同一直线上三个点一定能够作一个圆；故错误；③等腰直角三角形的外心在那个三角形顶角的角平分线上；故错误；④等边三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等；正确．故选A．点评：此题考查了圆周角定理、确定圆的条件以及三角形外心与外心的知识．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．8．（3分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范畴是（）A．r= B．r＞C．3＜r＜4 D．考点：直线与圆的位置关系．分析：要使圆与斜边AB有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可．解答：解：如图，∵BC＞AC，∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，由勾股定理知，AB= =5．∵S△ABC= AC?BC= CD?AB= ×3×4= ×5?CD，∴CD= ，即R的取值范畴是＜r≤3．故选D．点评：本题利用了勾股定理和垂线段最短的定理，以及直角三角形的面积公式求解．专门注意：圆与斜边有两个交点，即两个交点都应在斜边上．二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）9．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=1．考点：一元二次方程的解．分析：把x=2代入方程x2+mx﹣6=0得到一个关于m的一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：把x=2代入方程x2+mx﹣6=0，得：4+2m﹣6=0，解方程得：m=1．故答案为：1．点评：本题要紧考查对解一元一次方程，等式的性质，一元二次方程的解等知识点的明白得和把握，能得到方程4+2m﹣6=0是解此题的关键．10．（3分）已知圆O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M 与⊙O的位置关系是在圆外．考点：点与圆的位置关系．分析：要确定点与圆的位置关系，要紧确定点与圆心的距离与半径的大小关系；若设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．解答：解：∵⊙O的直径为6，∴⊙O的半径为3，∵点M到圆心O的距离为4，∴4＞3，∴点M在⊙O外．故答案为：在圆外．点评：本题考查了点与圆的位置关系的判定．解决此类题目的关键是第一确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结论．11．（3分）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，P A切⊙O于A点，则PA=4．考点：切线的性质；勾股定理．专题：运算题．分析：先依照切线的性质得到OA⊥PA，然后利用勾股定理运算PA 的长．解答：解：∵PA切⊙O于A点，∴OA⊥PA，在Rt△OPA中，OP=5，OA=3，∴PA= =4．故答案为：4．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于通过切点的半径．也考查了勾股定理．12．（3分）如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠B AD =72°．考点：正多边形和圆．分析：利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数．解答：解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴∠E= ×540°=108°，∠BAE=108°又∵EA=ED，∴∠EAD= ×（180°﹣108°）=36°，∴∠BAD=∠BAE﹣∠EAD=72°，故答案是：72°．点评：本题考查了正多边形的运算，重点把握正多边形内角和公式是关键．13．（3分）如图，量角器上的C、D两点所表示的读数分别是80°、5 0°，则∠DBC的度数为15°．考点：圆周角定理．分析：第一连接OC，OD，即可求得∠COD的度数，又由圆周角定理，即可求得∠DBC的度数．解答：解：连接OC，OD，∵量角器上的C、D两点所表示的读数分别是80°、50°，∴∠AOC=50°，∠AOD=80°，∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=30°，∴∠DBC= ∠COD=15°．故答案为：15°．点评：此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意把握辅助线的作法，注意把握数形结合思想的应用．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于B，连接AC交⊙O于D，若BC=8cm，DO⊥AB，则⊙O的半径OA=4cm．考点：切线的性质．分析：欲求OA，已知BC=8cm，则可依照等腰直角三角形转化未知边为已知，从而求解．解答：解：由切线的性质知BC⊥AB；∵DO⊥AB，∴OD∥BC，又∵O点为AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，因此OA=OD= BC=4cm．点评：本题综合考查了切线的性质和三角形中位线的性质．15．（3分）若α，β是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则α2+β2 =6．考点：根与系数的关系．分析：欲求α2+β2的值，先把此代数式变形为（α+β）2﹣2αβ= 22的形式，代入数值运算即可．解答：解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣1，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣1）=6．故答案为：6．点评：此题要紧考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则它的一个外角∠DCE=70°．考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理．专题：探究型．分析：先依照圆周角定理求出∠BAD的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠BCD的度数，由补角的定义即可得出结论．解答：解：∵∠BOD与∠BAD是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BO D=140°，∴∠BAD= ∠BOD= ×140°=70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=180°﹣70°=110°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=180°﹣∠BCD=180°﹣110°=70°．故答案为：70°．点评：本题考查的是圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补．17．（3分）如图，矩形ABCD的边AB过⊙O的圆心，E、F分别为A B、CD与⊙O的交点，若AE=3cm，AD=4cm，DF=5cm，则⊙O的直径等于10．考点：垂径定理；勾股定理；矩形的性质．分析：连接OF，作FG⊥AB于点G，则EG=DF﹣AE=5﹣3=2cm，设⊙O的半径是R，在直角△OFG中利用勾股定理即可得到一个关于R的方程，解方程求得半径，则圆的直径即可求解．解答：解：连接OF，作FG⊥AB于点G．则EG=DF﹣AE=5﹣3=2cm．设⊙O的半径是R，则OF=R，OG=R﹣2．在直角△OFG中，OF2=FG2+OG2，即R2=（R﹣2）2+42，解得：R=5．则直径是10cm．故答案是：10．点评：本题考查了勾股定理，正确作出辅助线是关键．18．（3分）已知等腰直角三角形ABC的腰长为4，半圆的直径在△A BC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，则半圆的半径为2或﹣4+ ．考点：切线的性质；等腰直角三角形．分析：有两种情形：①是直径在斜边上，第一连接OD，由切线的性质，易得OD⊥AB，即可得OD是△ABC的中位线，继而求得OD的长．②是直径在腰上，第一连接OD，由切线的性质，易得OD⊥BC，即可依照勾股定理求得OD的长．解答：解：①∵半圆的直径在△ABC的斜边上，且半圆的弧与△AB C的两腰相切，切点为D、E，如图，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，∴AO⊥BC，∴OD∥AC，∵O为BC的中点，∴OD= AC=2．②∵半圆的直径在△ABC的腰上，且半圆的弧与△ABC的斜边相切，切点为D，如图2，连接OD，设半圆的半径为r，∴OB=4﹣r，∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，∴∠B=45°，∴△OBD是等腰直角三角形，∴OD=BD=r，∴2r2=（4﹣r）2，解得r=﹣4+4 ，r=﹣4﹣4 （舍去），故答案为2或﹣4+4 ．点评：此题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意把握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．三、解答题（本题共10个小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解下列方程：（1）x2﹣4 x+8=0；（2）3x（x﹣1）=2（1﹣x）．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．分析：（1）用直截了当开平方法解答；（2）用提公因式法解答．解答：解：（1）方程可化为（x﹣2 ）2=0，解得x1=x2=2 ；（2）移项得3x（x﹣1）﹣2（1﹣x）=0，提公因式得（3x+2）（x﹣1）=0，解得x1=﹣，x2=1．点评：本题考查了因式分解法和配方法解方程，依照式子的特点找到合适的方法是解题的关键．20．（8分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，求k的值．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：依照根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．解答：解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，∴△=0，∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）×=0，整理得，k2﹣3k+2=0，即（k﹣1）（k﹣2）=0，解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．∴k=2．点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情形与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．21．（8分）每位同学都能感受到日出时漂亮的景色．右图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时刻为16分钟，求“图上”太阳升起的速度．考点：垂径定理的应用；勾股定理．专题：探究型．分析：连接OA，过点O作OD⊥AB，由垂径定理求出AD的长，再依照勾股定理求出OD的长，进而可运算出太阳在海平线以下部分的高度，依照太阳从所处位置到完全跳出海平面的时刻为16分钟即可得出结论．解答：解：连接OA，过点O作OD⊥AB，∵AB=8厘米，∴AD= AB=4厘米，∵OA=5厘米，∴OD= =3厘米，∴海平线以下部分的高度=OA+OD=5+3=8（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时刻为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度= =0.5厘米/分钟．点评：本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用，依照题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22．（8分）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．若点D在⊙O的外且∠DAC=∠BAC，求证：直线AD是⊙O的切线．考点：切线的判定．专题：证明题．分析：第一得出∠OCA+∠CAE=90°，进而求出∠DAC+∠OAC=9 0°，即可得出答案．解答：证明：∵半径OC垂直于弦AB，∴∠OCA+∠CAE=90°，∵CO=OA，∴∠OCA=∠OAC，∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC+∠OAC=90°，∴OA⊥AD，即直线AD是⊙O的切线．点评：此题要紧考查了切线的判定，得出∠DAC+∠OAC=90°是解题关键．23．（10分）如图：已知P是半径为5cm的⊙O内一点．解答下列问题：（1）用尺规作图找出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法）（2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD．（3）已知OP=3cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有4 条．考点：作图—复杂作图；勾股定理；垂径定理．分析：（1）利用过不在同一直线上的三点能够确定一个圆，进而求出即可；（2）利用最长弦AB即为直径和最短弦CD，即为与AB垂直的弦，进而得出答案；（3）求出CD的长，进而得出长度为整数的弦，注意长度为9cm，的有两条．解答：解：（1）如图所示：点O即为所求；（2）如图所示：AB，CD即为所求；（3）如图：连接DO，∵OP=3cm，DO=5cm，∴在Rt△OPD中，DP= =4（cm），∴CD=8cm，∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有：4条．故答案为：4．点评：此题要紧考查了复杂作图以及勾股定理和垂径定理，注意长度为整数的弦不要漏解．24．（10分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为2.6（1+x）2万元．（2）假如该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）依照增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就能够表示出第二年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；（2）依照养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可．解答：解：（1）由题意，得第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，故答案为：2.6（1+x）2；（2）由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146，解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．点评：本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时依照增长率问题的数量关系建立方程是关键．25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM 与⊙O相切？并说明理由．考点：切线的判定．专题：几何综合题．分析：（1）依照圆周角定理可得∠ADC=90°，再依照直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，依照等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再依照∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．解答：（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠D CB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切，故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．点评：此题要紧考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是把握切线的判定定理：通过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．26．（10分）已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+m=0．（1）用含m的代数式表示那个方程的实数根．（2）若Rt△ABC的两边a、b恰好是那个方程的两根，另一边长c=5，求m的值．考点：根的判别式；根与系数的关系；勾股定理．分析：（1）依照一元二次方程的求根公式，列出算式，再进行整理即可；（2）依照a、b是那个方程的两根，得出a+b=2m+1，ab=m2+m，再依照Rt△ABC另一边长c=5，得出（2m+1）2﹣2（m2+m）=25，然后进行整理求出m的值即可．解答：解：（1）∵x= = ，∴x1=m，x2=m﹣1；（2）∵若a、b恰好是那个方程的两根，∴a+b=2m+1，ab=m2+m，∵Rt△ABC另一边长c=5，∴a2+b2=c2，∴（a+b）2﹣2ab=c2，∴（2m+1）2﹣2（m2+m）=25，∴m1=3，m2=﹣4（舍去），∴m的值是3．点评：本题考查了根与系数的关系，用到的知识点是求根公式、勾股定理、根与系数的关系，关键是依照勾股定理和根与系数的关系列出关于m的方程，注意把不合题意的解舍去．27．（12分）如图1，AB是圆O的直径，点C在AB的延长线上，A B=4，BC=2，P是圆O上半部分的一个动点，连接OP，CP．（1）求△OPC的最大面积；（2）求∠OCP的最大度数；设∠OCP=α，当线段CP与圆O只有一个公共点（即P点）时，求α的范畴（直截了当写出答案）；（3）如图2，延长PO交圆O于点D，连接DB，当CP=DB，求证：CP是圆O的切线．考点：圆的综合题．分析：（1）在△OPC中，底边OC长度固定，因此只要OC边上高最大，则△OPC的面积最大；观看图形，当OP⊥OC时满足要求；（2）PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，依照切线的性质即可求得．再依照α的最大度数即可得出结论；（3）连接AP，BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC，从而求得P C是⊙O的切线．解答：（1）解：∵AB=4，∴OB=2，OC=OB+BC=4．在△OPC中，设OC边上的高为h，∵S△OPC= OC?h=2h，∴当h最大时，S△OPC取得最大值．观看图形，当OP⊥OC时，h最大，如答图1所示：现在h=半径=2，S△OPC=2×2=4．∴△OPC的最大面积为4．（2）解：当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如答图2所示：∵sin∠OCP= = = ，∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°．∴设∠OCP=α，当线段CP与圆O只有一个公共点（即P点）时，0＜α≤30°；（3）证明：图3，连接AP，BP．∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD，∴AP=BD，∵CP=DB，∴AP=CP，∴∠A=∠C∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C，在△ODB与△BPC中，∴△ODB≌△BPC（SAS），∴∠D=∠BPC，∵PD是直径，∴∠DBP=90°，∴∠D+∠BPD=90°，∴∠BPC+∠BPD=90°，∴DP⊥PC，∵DP通过圆心，∴PC是⊙O的切线．点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．28．（12分）阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB= BC?r+ AC?r+ AB?r= （a+b+c）r．∴r= ．（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；（2）明白得应用：如图（3），在四边形ABCD中，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，⊙O1与△ABD切点分别为E、F、G，设它们的半径分别为r1和r2，若∠ADB=90°，AE=4，BC+CD=10，S△DBC= 9，r2=1，求r1的值．考点：圆的综合题．分析：（1）连接OA，OB，OC，OD，依照所给出的例子即可得出结论；（2）依照题中所给出的例子得出BD的长，再由AE=4，可得出AD+ AB+BD的长，再依照勾股定理求出DG的长，由r1= 即可得出结论．解答：解：（1）连接OA，OB，OC，OD，∵S四边形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△AOD+S△COD= （a+b+c+d）r，∴r= ；（2）∵S△DBC=9，r2=1，∴BC+CD+BD= =18，∵BC+CD=10，∴BD=8．∵⊙O1是△ABD的内切圆，∴AE=AG=4，BE=BF，DF=DG，∴DG+BE=BD=8，∴设DG=x，则BE=8﹣x，∵∠ADB=90°，∴AD2+BD2=AB2，即（4+x）2+82=（4+8﹣x）2，解得x=2，∴AD=AG+DG=4+2=6，∴S△ABD= AD?BD= ×6×8=24，∵AD+AB+BD=AG+AE+（DG+BE）+BD=4+4+8+8=24，∴r1= = =2．与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
江苏省扬州市高邮市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
江苏省扬州市高邮市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 若一元二次方程（x﹣2）2＝9可转化为两个一元一次方程，一个一元一次方程是x﹣2＝3，则另一个一元一次方程是（）A．x﹣2＝3 B．x﹣2＝﹣3 C．x+2＝3 D．x+2＝﹣32. 两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为3，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中（）A．平均年龄为13岁，方差改变B．平均年龄为15岁，方差不变C．平均年龄为15岁，方差改变D．平均年龄不变，方差不变3. 若直线l与半径为5的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d满足（）A．d＜5 B．d＞5 C．d＝5 D．d≤54. “翻开苏科版九年级上册《数学补充习题》，恰好翻到第586页”，这个事件是（）A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．无法判断5. 已知，则锐角的取值范围是（）A．B．C．D．6. 已知等腰△ABC的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC相似的是（）A．顶角为30°的等腰三角形B．顶角为40°的等腰三角形C．等边三角形D．顶角为75°的等腰三角形7. 已知二次函数y＝x2﹣4x+m2+1（m是常数），若当x＝a时，对应的函数值y ＜0，则下列结论中正确的是（）A．a﹣4＜0B．a﹣4＝0C．a﹣4＞0D．a与4的大小关系不能确定8. 若三条线段a、b、c的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连（）A．能围成锐角三角形B．能围成直角三角形C．能围成钝角三角形D．不能围成三角形二、填空题9. 一元二次方程x2+9x＝0的较大的根为_____．10. 如图，点A、B、C均在⊙O上，点D在AB的延长线上，若∠CBD＝74°，则∠AOC＝_____°．11. 如图，CD是△ABC的高，若AB＝10，CD＝6，tan∠CAD＝，则BD＝_____．12. 如图，把一只篮球放在高为16cm的长方体纸盒中，发现篮球的一部分露出盒，其截图如图所示．若量得EF＝24cm，则该篮球的半径为_____cm．13. 如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为70cm，检票前双翼展开呈扇形CAP和扇形DBQ，若AC＝BD＝55cm，∠PCA＝∠BDQ＝30°，则A、B之间的距离为_____cm．14. 如图，若△ABC内接于⊙O，∠BAC＝50°，的长是，则⊙O的半径是_____．15. 若点A（﹣，y1）、B（，y2）都在二次函数y＝﹣x2+2x+m的图像上，则y1_____y2．16. 已知一组数据的方差S2＝[（6﹣10）2+（9﹣10）2+（a﹣10）2+（11﹣10）2+（b﹣10）2]＝6.8，则a2+b2的值为_____．17. 已知关于x的一元二次方程m﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数n都有实数根，则m的取值范围是_____．18. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为_____．三、解答题19. （1）解方程：x（x﹣6）＝5（6﹣x）；（2）计算：2sin60°+|﹣2|﹣cos45°．20. 如图，△ABC的顶点坐标分别为：A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）△ABC的外接圆圆心M的坐标为；（2）①以点M为位似中心，画出△DEF，使它与△ABC位似（点D与A对应），且相似比为2：1；②△DEF的面积为个平方单位．21. 国庆长假期间，兴趣小组随机采访了10位到高邮的游客使用“街兔”共享电动车的次数，得到了这10位游客1天内使用“街兔”共享电动车的次数，统使用次0 2 3 4 6数人数 1 1 4 3 1是次，众数是次，平均数是次；（2）若小明同学把统计表中的数据“6”错看成了“5”，则用“街兔”共享电动车的次数的中位数、众数、和平均数这三个统计量中不受影响的是；（填“中位数”、“众数”或“平均数”）（3）若国庆长假期间，每天约有1200位游客到高邮，试估计这些游客7天国庆长假期间使用“街兔”共享电动车的总次数．22. 如图，在电路AB中，有三个开关：S1、S2、S3．（1）当开关S1已经是闭合状态时，开关S2、S3的断开与闭合是随机的，电路AB能正常工作的概率是；（2）若三个开关S1、S2、S3的断开与闭合都是随机的，求电路AB能正常工作的概率．23. 建造一个池底为正方形、深度为2m的长方体无盖水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米200元，总造价为6400元．求该水池池底的边长．24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，连接AD，CE⊥AD，垂足为E，连接BE．（1）若CD＝，AE＝2时，求DE的长；（2）若D是BC的中点，判断∠BED与∠ABC是否相等，并说明理由．25. 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O 交AE于点F．（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点．26. 二次函数y＝a+bx+c的图像如图所示，根据图像解答下列问题：（1）方程a+bx+c＝0的两个根为，不等式a+bx+c＞0的解集为；（2）若关于x的一元二次方程a+bx+c＝k的两个不相等的实数根，则k的取值范围为；（3）若关于x的一元二次方程a+bx+c﹣t＝0在1＜x＜4的范围内有实数根，求t的取值范围．27. 如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“韵三角形”，这条边叫做“韵三角形”的底边．（1）等腰Rt△ABC“韵三角形”（填“是”或“不是”）；（2）如图1，已知点P是正方形的边CD所在直线上的一个动点，AB＝4．①△ABP“韵三角形”（填“是”或“不是”），若△ABP是等腰三角形，则AP＝；②如图2，当点P在点C右侧，且tan∠BPC＝时，求AP的长；③如图3，当点P在点C右侧，且BP＝时，将△ABP绕点A按逆时针旋转45°得到△AB′P′，AP′交直线CD于点Q，求AQ的长．28. 如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在边CD上的点M处（不与点C、D重合），折痕EF分别交AD、BC于点E、F，边AB折叠后交边BC 于点G．（1）若点M是边CD的中点，求△CMG的周长；（2）若DM＝CD，求△CMG的周长；（3）若M是边CD上的动点，①你有什么猜想？证明你的猜想；②四边形CDEF的面积S是否存在最值？若存在，求出这个最值；若不存在，说明理由．。
江苏省高邮市车逻初级中学九年级数学上学期期中试题 苏科版
项目 一 二 三 总分 积分人 核分人 1-8 9-18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28得分一、选择题 (每题3分,共24分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案1．下列二次根式中，最简二次根式是A ．0.5B ．4aC ． 8D ．10 2．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为A ．2(1)6x += B ．2(2)9x += C ．2(1)6x -= D ．2(2)9x -=3．小伟5次引体向上的成绩为：16、18、20、18、18（单位：个），对此成绩描述错误的是 A ．平均数为18 B ．众数为18 C ．方差为0 D ．极差为4 4．化简2(21)÷-的结果是A ．221-B ．22-C ． 12-D ．22+5．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是边BC 的中点，AB =4，则OE 的长是 A ． 2 B ．2 C ．1 D ．126．如图，量角器上的C 、D 两点所表示的读数分别是80°、50°， 则∠DBC 的度数为A ．25°B ．15°C ．30°D ．50°7．若非零实数a 、b 、c 满足9a －3b +c =0，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=一定有一个根为A ．3B ．－3C ．0D ．无法确定8．如图，点C 在线段AB 上从点A 向点B 运动（不与点A 、B 重合），△ACD 和△BCE 是在AB 同侧的两个等边三角形，DM 、EN 分别是△ACD 和△BCE 的高，连接DE ，得到的四边形DMNE 的面积 A ．逐渐增大 B ．逐渐减小 C ．始终不变 D ．先增大后变小二、填空题（每小题3分，共30分.）9．二次根式1x -中x 的取值范围是 ▲ ．得分评卷人得分 评卷人9． 10． 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18．10．一元二次方程(1)4(1)x x x-=-的两个根是▲．11．在二次根式6、8、12、27中，与18是同类二次根式的是▲．12．在平面直角坐标系中，若□ABCD的三个顶点坐标为A（1，0），B（ 0，2），C（－4，2），则另外一个顶点D的坐标为▲．13．关于x的方程2(2)210m x x--+=有实数解，那么m的取值范围是▲．14．一组数据3、－1、0、2、x的极差是5，则x = ▲．15．若整数x满足|x|≤3，则使7x-为整数的x的值是▲．16．如图，若将宽为3cm的矩形纸条折叠，那么折痕PQ的长是▲cm．17．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，若∠AOB+∠C=180°，∠COD=∠A，则∠AOB= ▲°．18．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若18CGGB=，则ADAB=▲．三、解答题（本大题共10题，共96分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题满分8分）计算：（1）1220)35)-（2）2(221)(122)(31)++20．（本题满分8分）解一元二次方程：（1）2420x x+-= (用配方法) （2）(2)20x x x-+-=21．（本题满分8分）某学习小组5名同学参加初中毕业生实验操作考试（满分100分）的平均得分评卷人得分评卷人得分评卷人成绩是80分．其中三名男生的方差为150（分2），两名女生的成绩分别为85分，75分．（1）三名男生实验操作成绩的平均数是；（2）求该学习小组5位同学实验操作成绩的标准差．22．（本题满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，将Rt△ABC沿直线AB翻折得到△ABF，将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，若点E恰好落在斜边AC上，连接AD．（1）四边形AFCD的形状是；（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，判断四边形ABCG的形状，并说明理由．23．（本题满分10分）“邮驿”旅行社的一则广告如下：我社组团去花果山旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为300元，如果人数超过30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于200元．实验学校组织部分学生随该旅行社组团到花果山旅游，共花费8000元，问实验学校共安排了多少名学生参加这次旅游？24．（本题满分10分）得分评卷人得分评卷人得分评卷人某同学作业本上做了这么一道题：“当a =■时，试求221a a a +-+的值”，其中■是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为12，请你判断该同学答案是否正确，说明理由． 25．（本题满分10分）已知关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m +--=．（1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；（2）设这个一元二次方程的两根为a 、b ，且2、a 、b 分别是一个直角三角形的三边长，求m 的值．26．（本题满分10分）如图，已知点C 在⊙O 上，AC =12AB ，动点P 与点C 位于直径AB 的异侧，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），连结BP ，过点C 作直线PB 的垂线CD 交直线PB 于D 点，连结CP ． （1）如图1，在点P 运动过程中，①∠CPD 的度数变化吗？若变化，说明理由；若不变， 求∠CPD 的度数； ②当点P 运动到什么位置时，△PCD 与 △ABC 全等．（直接在图1中标出点P 的位置）（2）如图2，在点P 运动过程中，当CP ⊥AB 时，求∠BCD 的度数．得分评卷人得分 评卷人27．（本题满分12分） 已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B 、C 重合）．以AD 为边做正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时．求证CF +CD =BC ；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF 的边长为22，对角线AE ，DF 相交于点O ，连接OC ．求OC 的长度．28．（本题满分12分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n 次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形．例如：如图，□ABCD 中，若AB =1，BC =2，则□ABCD 为1阶准菱形． （1）邻边长分别为2和3的平行四边形是 2阶准菱形吗？说明理由；（2）操作、探究与计算：得分评卷人得分评卷人①已知□ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出□ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知□ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出□ABCD是几阶准菱形．2013～2014学年度第一学期期中调研试卷 九年级数学参考答案三、解答题（本大共10题，共96分）20．解：（1）26x =-±（说明：必须是用配方解，其它解法得1分） ………………………4分（2）12x =，21x =- ……………………………………………………………8分 21．解：（1）80 …………………………………………………2分（2）不妨设三名男生的成绩为123,,x x x ，则222231231()()()1503S x x x x x x ⎡⎤=-+--=⎣⎦ 222123()()()450x x x x x x -+--= ……………………………………4分()22222251231()()()(8580)(7580)3145025251005S x x x x x x⎡⎤=-+--+-+-⎣⎦=++=…………………7分∴10S=…………………………………………………8分23．解：设共安排x人参加，∵30×300=9000＜8000 ∴x＞30，根据题意得： (1)分x[300－10（x－30）]=8000 …………………5分整理得：x2－110x+2800=0解得： x1=40，x2=70 …………………7分∵300－10（x－30）≥200∴x ≤ 40 ∴x=40． (9)分答：实验学校共安排了40名学生参加这次旅游． (10)分24．解：该同学的答案不正确．…………………1分理由如下：∵2211a a a a a-+=+-∴当a ≥ 1时，原式=a+a－1=2a－1当a ＜1时，原式=a－a+1=1 …………………5分∵该同学所求得的答案为12∴a ≥1，∴2a－1=12∴a=34这与a ≥1矛盾…………………9分∴该同学的答案是不正确的．…………………10分25.解：（1）∵2224(3)1269b ac m m m m -=-+=++ ……………………1分 2(3)m =- ……………………3分又2(2)0m -≥ ∴240b ac -≥ ∴原方程有两个实数根 ……………………4分（2）原方程可变为()(3)0x m x +-=，则方程的两根为12,3x m x =-=……………………5分∴直角三角形三边为2, 3，－m ∴ m ＜0 ……………………6分 若－m 为直角三角形的斜边时，则：22223m += 13m =± ∴13m =- ……………………8分②若3为直角三角形的斜边时，则：22223m += 5m =± ∴5m =- ……………………10分27. 证明：（1）∵∠BAC =90° ∠ABC =45° ∴∠ACB =∠ABC =45° ∴AB =AC ∵四边形ADEF 是正方形 ∴AD =AF ∠DAF =90°∵∠BAD =90°－∠DAC ∠CAF =90°－∠DAC ∴∠BAD =∠CAF ∵在△BAD 和△CAF 中：AB =AC ∠BAD =∠CAF AD =AF ∴△BAD ≌△CAF （ ∴BD =CF∵BD +CD =BC ∴CF +CD =BC ； ……………………4分（2）CF －CD =BC ； …………………6分 （3）①CD －CF =BC ； …………………8分②∵∠BAC=90°∠ABC=45°∴∠ACB=∠ABC=45°∴AB=AC ∵四边形ADEF是正方形∴AD=AF∠DAF=90°∵∠BAD=90°－∠BAF∠CAF=90°－∠BAF∴∠BAD=∠CAF∵在△BAD和△CAF中：AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF∴△BAD≌△CAF∴∠ACF=∠ABD∵∠ABC=45°∴∠ABD=135°∴∠ACF=∠ABD=135°∴∠FCD=90°∴△FCD是直角三角形．∵正方形ADEF的边长为22，且对角线AE、DF相交于点O∴DF=2AD=4，O为DF中点∴OC=12DF=2．…………………12分28．解：（1）是，理由如下：∵邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形∴邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；…………………3分。
江苏省扬州市高邮市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
江苏省扬州市高邮市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．入冬以来气温变化异常，在校学生患流感人数明显增多，若某校某日九年级8个班因病缺课人数分别为2、6、4、6、10、4、6、2，则这组数据的众数是（ ） A ．5人 B ．6人 C ．4人 D ．8人 2．在平面直角坐标系中，O 的直径为10，若圆心O 为坐标原点，则点()8,6P -与O 的位置关系是（ ）A ．点P 在O 上B ．点P 在O 外C ．点P 在O 内D ．无法确定 3．关于x 的一元一次方程122a x m -+=的解为1x =，则a m -的值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3D ．2 4．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()213y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）A ．213y y <<B ．123y y <<C ．213y y <<D ．213y y << 5．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．72︒B ．56︒C ．62︒D ．52︒ 6．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知CD a =，DCA β∠=∠，下列结论错误的是（ ）A ．BDC β∠=∠B ．2sin a AO β=C ．tan BC a β=D ．cos a BD β= 7．如图，已知点D 在ABC ∆的BC 边上，若CAD B ∠=∠，且:1:2CD AC =，则:CD BD =（ ）A ．1:2B ．2:3C ．1:4D ．1:3 8．如图，矩形ABCD 中，3AB =，8BC =，点P 为矩形内一动点，且满足PBC PCD ∠=∠，则线段PD 的最小值为（ ）A ．5B ．1C ．2D ．3二、填空题9．若53x y x +=，则y x=______. 10．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．转动一次转盘后，指针指向_____颜色的可能性大．11．已知一组数据：4，4，m ，6，6的平均数是5，则这组数据的方差是______. 12．若a 是方程223x x =+的一个根，则代数式263a a -的值是______.13．已知小明身高1.8m ，在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m .若当他把手臂竖直举起时，测得影长为0.78m ，则小明举起的手臂超出头顶______m .14．如图，已知正六边形内接于O ，若正六边形的边长为2，则图中涂色部分的面积为______.15．如图，若抛物线2y ax h =+与直线y kx b =+交于()3,A m ，()2,B n -两点，则不等式2ax b kx h -<-的解集是______.16．如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到MCN ∆，点D 、E 分别为AB 、MN 的中点，若点E 刚好落在边BC 上，则sin DEC ∠=______.17．如图，已知菱形ABCD 中，4AB =，C ∠为钝角，AM BC ⊥于点M ，N 为AB 的中点，连接DN ，MN .若90DNM ∠=︒，则过M 、N 、D 三点的外接圆半径为______.18．若记[]x 表示任意实数的整数部分，例如：[]4.24=，1=，…，则-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-（其中“+”“－”依次相间）的值为______.三、解答题19．（1）计算：()212cos6020202π-⎛⎫++-︒ ⎪⎝︒⎭（2）若关于x 的方程22210x x m ++-=有两个相等的实数根，求m 的值. 20．习总书记在2020新年贺词中讲到“垃圾分类引领新时尚”为积极响应号召，普及垃圾分类知识，某社区工作人员在一个小区随机抽取了若干名居民，开展垃圾分类知识有奖问答，并用得到的数据绘制了如图所示条形统计图.请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了______名居民（2）求本次调查获取的样本数据的平均数______：中位数______；（3）杜区决定对该小区2000名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为一等奖.根据调查结果，估计社区工作人员需准备多少份一等奖奖品？21．某校为了丰富学生课余生活，计划开设以下社团：A ．足球、B ．机器人、C ．航模、D ．绘画，学校要求每人只能参加一个社团小丽和小亮准备随机报名一个项目.（1）求小亮选择“机器人”社团的概率为______；（2）请用树状图或列表法求两人至少有一人参加“航模”社团的概率.22．某市2021年对市区绿化工程投入的资金是5000万元，为争创全国文明卫生城，加大对绿化工程的投入，2021年投入的资金是7200万元，且从2021年到2021年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2021年预计需投入多少万元？ 23．2021年12月17日，我国第一艘国产航母“山东舰”在海南三亚交付海军.如图，“山东舰”在一次试水测试中，航行至M 处，观测指挥塔P 位于南偏西30方向，在沿正南方向以30海里/小时的速度匀速航行2小时后，到达N 处，再观测指挥塔P 位于南偏西45︒方向，若继续向南航行.求“山东舰”与指挥塔之间的最近距离为多少海里？（结果保留根号）24．如图，平行四边形ABCD 中，30B ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥于点E ，现将ABE ∆沿直线AE 翻折至AFE ∆的位置，AF 与CD 交于点G .（1）求证：CG BF CD CF ⋅=⋅；（2）若AB =8AD =，求DG 的长.25．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像经过()0,3M ，()2,5N --两点.（1）求该函数的解析式；（2）若该二次函数图像与x 轴交于A 、B 两点，求ABM ∆的面积；（3）若点P 在二次函数图像的对称轴上，当MNP ∆周长最短时，求点P 的坐标. 26．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”.如：如图，已知O 的两条弦AB CD ⊥，则AB 、CD 互为“十字弦”，AB 是CD 的“十字弦”，CD 也是AB 的“十字弦”.（1）若O 的半径为5，一条弦8AB =，则弦AB 的“十字弦”CD 的最大值为______，最小值为______.（2）如图1，若O 的弦CD 恰好是O 的直径，弦AB 与CD 相交于H ，连接AC ，若12AC =，7DH =，9CH =，求证：AB 、CD 互为“十字弦”；（3）如图2，若O 的半径为5，一条弦8AB =，弦CD 是AB 的“十字弦”，连接AD ，若60ADC ∠=︒，求弦CD 的长.27．5G 网络比4G 网络的传输速度快10倍以上，因此人们对5G 产品充满期待.华为集团计划2021年元月开始销售一款5G 产品.根据市场营销部的规划，该产品的销售价格将随销售月份的变化而变化.若该产品第x 个月（x 为正整数）销售价格为y 元/台，y 与x 满足如图所示的一次函数关系：且第x 个月的销售数量p （万台）与x 的关系为1p x =+.（1）该产品第6个月每台销售价格为______元；（2）求该产品第几个月的销售额最大？该月的销售价格是多少元/台？（3）若华为董事会要求销售该产品的月销售额不低于27500万元，则预计销售部符合销售要求的是哪几个月？（4）若每销售1万台该产品需要在销售额中扣除m 元推广费用，当68x ≤≤时销售利润最大值为22500万元时，求m 的值.28．如图，已知矩形ABCD 的边6AB =，4BC =，点P 、Q 分别是AB 、BC 边上的动点.（1）连接AQ 、PQ ，以PQ 为直径的O 交AQ 于点E .①若点E 恰好是AQ 的中点，则QPB ∠与AQP ∠的数量关系是______；②若3BE BQ ==，求BP 的长；（2）已知3AP =，1BQ =，O 是以PQ 为弦的圆.①若圆心O 恰好在CB 边的延长线上，求O 的半径： ②若O 与矩形ABCD 的一边相切，求O 的半径.参考答案1．B【解析】【分析】找出这组数据出现次数最多的那个数据即为众数.【详解】解：∵数据2、6、4、6、10、4、6、2，中数据6出现次数最多为3次，∴这组数据的众数是6.故选：B.【点睛】本题考查众数的概念，出现次数最多的数据为这组数的众数.2．B【分析】求出P 点到圆心的距离，即OP 长，与半径长度5作比较即可作出判断.【详解】解：∵()8,6P -，∴10= ，∵O 的直径为10，∴r=5,∵OP>5,∴点P 在O 外.故选：B.【点睛】本题考查点和直线的位置关系，当d>r 时点在圆外，当d=r 时，点在圆上，当d<r 时，点在圆内,解题关键是根据点到圆心的距离和半径的关系判断.3．D【分析】满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x 的次数为1；二是方程的解为x=1,即1使等式成立，根据两点列式求解.【详解】解：根据题意得，a-1=1,2+m=2,解得，a=2,m=0,∴a-m=2.故选：D.【点睛】本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键. 4．A【分析】将x=0和x=1代入表达式分别求y 1,y 2,根据计算结果作比较.【详解】当x=0时，y 1= -1+3=2,当x=1时，y 2= -4+3= -1,∴213y y <<.故选：A.【点睛】本题考查二次函数图象性质，对图象的理解是解答此题的关键.5．C【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD 的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,∵AB 是直径，∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.6．B【分析】根据矩形的性质得对角线相等且互相平分，再结合三角函数的定义，逐个计算即可判断. 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90°∴AO=CO=BO=DO,∴∠OCD=∠ODC=β,A、BDC DCAβ∠=∠=∠,故A选项正确；B、在Rt△ADC中，cos∠ACD=DCAC, ∴cosβ=2aAO,∴AO=2cosa，故B选项错误；C、在Rt△BCD中，tan∠BDC=BCDC, ∴ tanβ=BCa∴BC=atanβ，故C选项正确；D、在Rt△BCD中，cos∠BDC=DCDB, ∴ cosβ=aBD∴cosaBDβ=，故D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查矩形的性质及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键. 7．D【分析】根据两角对应相等证明△CAD∽△CBA，由对应边成比例得出线段之间的倍数关系即可求解.【详解】解：∵∠CAD=∠B，∠C=∠C,∴△CAD∽△CBA,∴12 CD CACA CB,∴CA=2CD,CB=2CA, ∴CB=4CD,∴BD=3CD,∴13 CDBD.故选：D.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，得出线段之间的关系是解答此题的关键.8．B【分析】通过矩形的性质和等角的条件可得∠BPC=90°，所以P点应该在以BC为直径的圆上，即OP=4，根据两边之差小于第三边及三点共线问题解决.【详解】如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=3，∠BCD=90°,∴∠PCD+∠PCB=90°,∵PBC PCD∠=∠,∴∠PBC+∠PCB=90°,∴∠BPC=90°,∴点P在以BC为直径的圆⊙O上，在Rt△OCD中，OC=118422BC,CD=3，由勾股定理得，OD=5，∵PD≥OD OP,∴当P,D,O三点共线时，PD最小，∴PD的最小值为OD-OP=5-4=1.故选：B.【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，线段最小值问题及圆的性质，分析出P点的运动轨迹是解答此题的关键.9．2 3【分析】将已知比例式变形化成等积式，整理出x与y的倍数关系，再化成比例式即可得. 【详解】解：∵53x yx+=，∴3x+3y=5x, ∴2x=3y,∴23 yx=.故答案为：2 3 .【点睛】本题考查比例的基本性质，解题关键是将比例式与等积式之间能相互转换. 10．红【解析】【分析】哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就大．【详解】∵转盘分成6个大小相同的扇形，红色的有3块，∴转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性大．故答案为：红．【点睛】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最多，难度不大． 11．0.8【分析】根据平均数是5，求m 值，再根据方差公式计算，方差公式为：2222121n S x x x x x x n （x 表示样本的平均数，n 表示样本数据的个数，S 2表示方差.）【详解】解：∵4，4，m ，6，6的平均数是5，∴4+4+m+6+6=5×5,∴m=5,∴这组数据为4，4，m ，6，6，∴22222214545556565=0.85S ，即这组数据的方差是0.8.故答案为：0.8.【点睛】本题考查样本的平均数和方差的定义，掌握定义是解答此题的关键.12．9【分析】根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.【详解】解：∵a 是方程223x x =+的一个根，∴2a 2=a+3,∴2a 2-a=3,∴()2263=32339a a a a --=⨯=.故答案为：9.【点睛】本题考查方程解的定义及代数式求值问题，理解方程解的定义和整体代入思想是解答此题的关键.13．0.54【分析】在同一时刻，物体的高度和影长成比例，根据此规律列方程求解.【详解】解：设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得， 1.8 1.80.60.78x ， 解得x=0.54即举起的手臂超出头顶0.54m.故答案为：0.54.【点睛】本题考查同一时刻物体的高度和影长成比例的投影规律，根据规律列比例式求解是解答此题的关键.，14．23π 【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA ≌△BDO ，得出涂色部分即为扇形AOB 的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA 与BC 交于D 点∵正六边形内接于O ,∴∠BOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=4,∴∠BOC=120°，OD ⊥BC,BD=CD∴∠OCB=∠OBC=30°,∴OD=1122OB OA DA , ∵∠CDA=∠BDO,∴△CDA ≌△BDO,∴S △CDA =S △BDO ,∴图中涂色部分的面积等于扇形AOB 的面积为：260223603ππ⨯=. 故答案为：23π.【点睛】本题考查圆的内接正多边形的性质，根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键.15．23x -<<【分析】观察图象当23x -<<时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当2x <-或3x >时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x 的取值范围，即为不等式的解集.【详解】解：设21y ax h =+，2y kx b =+，∵2ax b kx h -<-∴2ax h kx b +<+，∴12y y <即二次函数值小于一次函数值，∵抛物线与直线交点为()3,A m ，()2,B n -，∴由图象可得，x 的取值范围是23x -<<.【点睛】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键.16 【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE 长，sin DEC ∠的值即为等腰△CDE 底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.【详解】如图，过D 点作DM ⊥BC ，垂足为M ，过C 作CN ⊥DE ，垂足为N ，在Rt △ACB 中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，∵D 为AB 的中点，∴CD=152AB = , 由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，∵E 为MN 的中点，∴CE=152MN ,∵DM ⊥BC,DC=DB,∴CM=BM=132BC =, ∴EM=CE-CM=5-3=2，∵DM=142AC ,∴由勾股定理得，DE=∵CD=CE=5，CN ⊥DE,∴,∴由勾股定理得，CN=∴sin ∠DEC=25CNCE .. 【点睛】 本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.171【分析】通过延长MN 交DA 延长线于点E ，DF ⊥BC,构造全等三角形，根据全等性质证出DE=DM,,再通过AE=BM=CF,在Rt △DMF 和Rt △DCF 中，利用勾股定理列方程求DM 长，根据圆的性质即可求解.【详解】如图，延长MN 交DA 延长线于点E ，过D 作DF ⊥BC 交BC 延长线于F,连接MD, ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=4，AD ∥BC,∴∠E=∠EMB, ∠EAN=∠NBM,∵AN=BN,∴△EAN ≌BMN,∴AE=BM,EN=MN,∵90DNM ∠=︒,∴DN ⊥EM,∴DE=DM,∵AM ⊥BC,DF ⊥BC,AB=DC,AM=DF∴△ABM ≌△DCF,∴BM=CF,设BM=x,则DE=DM=4+x,在Rt △DMF 中，由勾股定理得，DF 2=DM 2-MF 2=(4+x)2-42,在Rt △DCF 中，由勾股定理得，DF 2=DC 2-CF 2=4 2-x 2,∴(4+x)2-42=4 2-x 2,解得，x 1=2,x 2=232（不符合题意，舍去）∴DM=2，∴90DNM ∠=︒∴过M 、N 、D 三点的外接圆的直径为线段DM, ∴其外接圆的半径长为1312DM .1.【点睛】本题考查菱形的性质，全等的判定与性质，勾股定理及圆的性质的综合题目，根据已知条件结合图形找到对应的知识点，通过“倍长中线”构建“X 字型”全等模型是解答此题的突破口，也是解答此题的关键.18．-22【分析】2020的整数部分的规律，根据题意确定算式-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-的运算规律，再进行实数运算. 【详解】解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数据1,2,3,4……2020中，算术平方根是1的有3个，算术平方根是2的有5个，算数平方根是3的有7个，算数平方根是4的有9个，…其中432=1849，442=1936,452=2025，所以在、⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，算术平方根依次为1,2,3……43的个数分别为3,5,7,9……个，均为奇数个，最大算数平方根为44的有85个，所以-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=1-2+3-4+…+43-44= -22【点睛】本题考查自定义运算，通过正整数的算术平方根的整数部分出现的规律，找到算式中相同加数的个数及符号的规律，方能进行运算.19．（1）6；（2）1m =.【分析】（1）根据负指数幂和0次幂法则，特殊三角函数值分别算出原算式中的每一项，然后进行实数运算即可.（2）根据一元二次方程根的判别式与根个数的关系，可得出b 2-4ac=0,列方程求解.【详解】解：（1）()2012cos6020202π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭︒ 12412=⨯++ 6=；（2）∵22210x x m ++-=有两个相等的实数根，∴b 2-4ac=22-4(2m-1)=0,∴m=1.【点睛】本题考查实数运算和一元二次方程根的判别式与根个数的关系，掌握负指数幂，0次幂和特殊三角形函数值及根的判别式是解答此题的关键. 20．（1）50；（2）8.26，8；（3）400【分析】（1）根据总数等于各组数量之和列式计算；（2）根据样本平均数和中位数的定义列式计算；（3）利用样本估计总体的思想解决问题.【详解】解：（1）本次调查一共抽取了4+10+15+11+10=50名；（2）调查获取的样本数据的平均数为6471081591110108.2650分；4+10+15=29<26,所以中位数为8+8=82分；（3）根据题意得2000名居民中得分为10分的约有102000=40050名，∴社区工作人员需准备400份一等奖奖品.【点睛】本题考查条形统计图，读懂图形，从图形中得到必要的信息是解答此题的关键，条形统计图的特点是能清楚的反映出各个项目的数据.21．（1）14；（2）716；【分析】（1）属于求简单事件的概率，根据概率公式计算可得；（2）用列表格法列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得.【详解】解：（1）小亮随机报名一个项目共有4种等可能结果，分别为A.足球、B.机器人、C.航模、D.绘画，其中选择“机器人”的有1种，为B.机器人，所以选择“机器人”的概率为P=1 4 .（2）用列表法表示所有可能出现的结果如图：从表格可以看出，总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中至少有一人参加“航模”社团有7种，分别为(A,C),(B,C),(C,A), (C,B),(C,C), (C,D),(D,C),所以两人至少有一人参加“航模”社团的概率P=7 16.【点睛】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率,用表格或树状图表示总结果数是解答此类问题的关键.22．（1）20%；（2）8640万元.【分析】（1）设平均增长率为x,根据题意可得2021年投入的资金是5000(1+x)万元，2021年投入的资金是5000(1+x) (1+x)万元，由2021年投入的资金是7200万元即可列出方程.，求解即可.（2）相当于数字7200增长了20%，列式计算.【详解】解：（1）设两年间每年投入资金的平均增长率为x，根据题意得，5000(1+x)2=7200解得，x1=0.2=20%，x2= -2.2（不符合题意，舍去）答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为20%；（2）根据题意得，7200（1+20%）=8640万元.答：在2021年预计需投入8640万元.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，根据a(1+x)2=b（a、b、x、n分别表示增长前量、增长后量、增长率和增长次数）列方程是解答增长率问题的关键.23．30【分析】过P 作PH ⊥MN 于H ，构建直角三角形，设PH=x 海里，分别在两个直角三角形△PHN 和△PHM 中利用正切函数表示出NH 长和MH 长，列方程求解.【详解】过P 作PH ⊥MN ，垂足为H ，设PH=x 海里，在Rt △PHN ，tan ∠PNH=PH NH, ∴tan45°=PH NH, ∴NH=tan 45x x ,在Rt △PHM 中，tan ∠PMH=PH MH , ∴tan30°=PH MH, ∴MH=3tan 30xx , ∵MN=30×2=60海里，60x -= ， ∴30330x .答：“山东舰”与指挥塔之间的最近距离为30海里.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答此题的关键是构建直角三角形，找准线段之间的关系，利用锐角三角函数进行解答.24．（1）见解析；（2【分析】（1）根据平行四边形的性质得AB∥CD,AB=CD，通过两角对应相等证明△FCG∽△FBA，利用对应边成比例列比例式，进行等量代换后化等积式即可；（2）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理，求出BE的长,再由折叠性质求出BF长，结合（1）的结论代入数据求解.【详解】解（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC∴∠GCF=∠B, ∠CGF=∠BAF,∴△FCG∽△FBA,∴CG CF AB BF=,∴CG CF CD BF∴CG BF CD CF⋅=⋅. （2）∵AE BC⊥，∴∠AEB=90°,∵∠B=30°, AB=∴AE=1232AB , 由勾股定理得，BE=6，由折叠可得，BF=2BE=12，∵AD=BC=8，∴CF=4∵CG BF CD CF ⋅=⋅,∴124CG =,∴CG=3,∴. 【点睛】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质即为相似三角形判定的条件，利用相似三角形的对应边成比例是解答问题的关键.25．（1）2y x 2x 3=-++；（2）6；（3）()1,1P【解析】【分析】（1）将M,N 两点代入2y x bx c =-++求出b,c 值，即可确定表达式；（2）令y=0求x 的值，即可确定A 、B 两点的坐标，求线段AB 长，由三角形面积公式求解.（3）求出抛物线的对称轴，确定M 关于对称轴的对称点G 的坐标，直线NG 与对称轴的交点即为所求P 点，利用一次函数求出P 点坐标.【详解】解：将点()0,3M ，()2,5N --代入2y x bx c =-++中得， 3425c b c =⎧⎨--+=-⎩，解得，23b c =⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为2y x 2x 3=-++；（2）如图，当y=0时，2230x x -++=，∴x 1=3,x 2= -1,∴A(-1,0),B(3,0),∴AB=4,∴S △ABM =14362⨯⨯= . 即ABM ∆的面积是6.（3）如图，抛物线的对称轴为直线2122bx a ， 点()0,3M 关于直线x=1的对称点坐标为G(2，3),∴PM=PG,连MG 交抛物线对称轴于点P ，此时NP+PM=NP+PG 最小，即MNP ∆周长最短. 设直线NG 的表达式为y=mx+n,将N(-2,-5),G(2,3)代入得，2523m n m n -+=-⎧⎨+=⎩， 解得，21m n =⎧⎨=-⎩， ∴y=2m-1,∴P点坐标为(1,1).【点睛】本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，图象的交点问题，利用对称性解决线段和的最小值问题，利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键.如图，二次函数y=-x²+bx+c的图像经过M(0,3)，N(-2,-5)两点.26．（1）10，6；（2）见解析；（3）3.【分析】（1）根据“十字弦”定义可得弦AB的“十字弦”CD为直径时最大，当CD过A点或B点时最小；（2）根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△ACH∽△DCA,由其性质得出对应角相等，结合90°的圆周角证出AH⊥CD，根据“十字弦”定义可得；（3）过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F,利用垂径定理得出OE=3，由正切函数得出DH,设DH=x，在Rt△ODF中，利用线段和差将边长用x表示，根据勾股定理列方程求解.【详解】解：（1）当CD 为直径时，CD 最大，此时CD=10，∴弦AB 的“十字弦”CD 的最大值为10；当CD 过A 点时，CD 长最小，即AM 的长度,过O 点作ON ⊥AM,垂足为N,作OG ⊥AB ，垂足为G,则四边形AGON 为矩形，∴AN=OG,∵OG ⊥AB,AB=8，∴AG=4，∵OA=5，∴由勾股定理得OG=3，∴AN=3，∵ON ⊥AM,∴AM=6，即弦AB 的“十字弦”CD 的最小值是6.（2）证明：如图，连接AD ，∵12AC =，7DH =，9CH =， ∴AC CH CD AC, ∵∠C=∠C,∴△ACH ∽△DCA,∴∠CAH=∠D,∵CD 是直径，∴∠CAD=90°,∴∠C+∠D=90°,∴∠C+∠CAH=90°,∴∠AHC=90°,∴AH ⊥CD,∴AB 、CD 互为“十字弦”.（3）如图，过O 作OE ⊥AB 于点E ，作OF ⊥CD 于点F ，连接OA ，OD ，则四边形OEHF 是矩形，∴OE=FH,OF=EH,∴AE=4，∴由勾股定理得OE=3，∴FH=3，∵tan ∠ADH=AH HD, ∴tan60°=3AHHD ,设DH=,则∴x,在Rt △ODF 中，由勾股定理得，OD 2=OF 2+FD 2，∴(3+x)2x)2=52,解得，x=3 2,∴FD=3332322,∵OF⊥CD,∴CD=2DF=32234332即CD=3【点睛】本题考查圆的相关性质，利用垂径定理，相似三角形等知识是解决圆问题的常用手段,对结合学过的知识和方法的基础上，用新的方法和思路来解决新题型或新定义的能力是解答此题的关键.27．（1）4500元；（2）7，4000；（3）4、5、6、7、8、9、10；（4）9000 7.【解析】【分析】（1）利用待定系数法将(2,6500),(4,5500)代入y=kx+b求k,b确定表达式，求当x=6时的y值即可；（2）求销售额w与x之间的函数关系式，利用二次函数的最大值问题求解；（3）分三种情况讨论假设6月份，7月份，8月份的最大销售为22500万元时，求相应的m 值，再分别求出此时另外两月的总利润，通过比较作出判断.【详解】设y=kx+b,根据图象将(2,6500),(4,5500)代入得，2650045500k b k b ， 解得，5007500k b ，∴y= -500x+7500，当x=6时，y= -500×6+7500=4500元；（2）设销售额为z 元，z=yp=( -500x+7500 )(x+1)= -500x 2+7000x+7500= -500(x-7)2+32000,∵z 与x 成二次函数，a= -500<0,开口向下，∴当x=7时，z 有最大值，当x=7时，y=-500×7+7500=4000元.答：该产品第7个月的销售额最大，该月的销售价格是4000元/台.（3）z 与x 的图象如图的抛物线当y=27500时，-500(x-7)2+32000=27500，解得，x 1=10，x 2=4∴预计销售部符合销售要求的是4,5,6,7,8,9,10月份.（4）设总利润为W= -500x 2+7000x+7500-m(x+1)= -500x 2+(7000-m)x+7500-m,第一种情况：当x=6时，-500×62+(7000-m) ×6+7500-m=22500，解得，m=90007, 此时7月份的总利润为-500×72+(7000-90007) ×7+7500-90007≈17714<22500, 此时8月份的总利润为-500×82+(7000-90007) ×8+7500-90007≈19929<22500,∴当m=90007时，6月份利润最大，且最大值为22500万元. 第二种情况：当x=7时，-500×72+(7000-m) ×7+7500-m=22500，解得，m=1187.5 ,此时6月份的总利润为-500×62+(7000-1187.5) ×6+7500-1187.5=23187.5>22500, ∴当m=1187.5不符合题意，此种情况不存在.第三种情况：当x=8时，-500×82+(7000-m) ×8+7500-m=22500，解得，m=1000 ,此时7月份的总利润为-500×72+(7000-1000) ×7+7500-1000=24000>22500,∴当m=1000不符合题意，此种情况不存在.∴当68x ≤≤时销售利润最大值为22500万元时，此时m=90007. 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，最大利润问题，利用二次函数的最值性质是解决实际问题的重要途径.28．（1）①2QPB AQP ∠=∠；②1.5；（2）①5；②53、255，35630、5. 【解析】【分析】（1）①根据直径所对的圆周角是直角判断△APQ 为等腰三角形，结合等腰三角形的两底角相等和圆周角定理证明；②证明△PBQ ∽△QBA ，由对应边成比例求解；（2）①画出图形，由勾股定理列方程求解；②分O 与矩形ABCD 的四边分别相切，画出图形，利用切线性质，由勾股定理列方程求解.【详解】解：（1）①如图，PQ 是直径，E 在圆上，∴∠PEQ=90°，∴PE ⊥AQ,∵AE=EQ,∴PA=PQ,∴∠PAQ=∠PQA,∴∠QPB=∠PAQ+∠PQA=2∠AQP,∵∠QPB=2∠AQP.\②解：如图，∵BE=BQ=3，∴∠BEQ=∠BQE,∵∠BEQ=∠BPQ,∵∠PBQ=∠QBA,∴△PBQ∽△QBA,∴BP BQ BQ BA,∴3 36 BP,∴BP=1.5;（2）①如图，BP=3，BQ=1，设半径OP=r,在Rt△OPB中，根据勾股定理得，PB2+OB2=OP2∴32+(r-1)2=r2，∴r=5,∴O的半径是5.②如图，O与矩形ABCD的一边相切有4种情况，如图1，当O与矩形ABCD边BC相切于点Q，过O作OK⊥AB于K,则四边形OKBQ为矩形，设OP=OQ=r,则PK=3x,由勾股定理得，r2=12+(3-r)2,解得，r=5 3 ,∴O半径为5 3 .如图2，当O与矩形ABCD边AD相切于点N，延长NO交BC于L,则OL⊥BC,过P作PS⊥NL于S，设OS=x，则ON=OP=OQ=3+x，设PS=BL=y,由勾股定理得，2222223331x x yx x y，解得125 2x（舍去），225 2x，∴ON=25 5,∴O 半径为25 53.如图3，当O与矩形ABCD边CD相切于点M，延长MO交AB于R,则OR⊥AB,过O作OH⊥BC于H，设OH=BR=x，设HQ=y, 则OM=OP=OQ=4-1-y=3-y，由勾股定理得，2222223331y x yy x y，解得163032x（舍去），263032x，∴OM=35630,∴O半径为35630.如图4，当O与矩形ABCD边AB相切于点P，过O作OG⊥BC于G,则四边形AFCG为矩形，设OF=CG=x，，则OP=OQ=x+4,由勾股定理得(x+4)2=32+(x+3)2,解得，x=1,∴OP=5,∴O半径为5.综上所述，若O与矩形ABCD的一边相切，为O的半径53，255，35630，5.【点睛】本题考查圆的相关性质，涉及圆周角定理，垂径定理，切线的性质等，综合性较强，利用分类思想画出对应图形，化繁为简是解答此题的关键.。
2022-2023学年江苏省扬州市高邮市九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年江苏省扬州市高邮市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是( )A. 瓜熟蒂落B. 旭日东升C. 日行千里D. 守株待兔2. 水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是( )A. 2是变量B. π是变量C. r是变量D. C是常量3. 我校在科技文化节活动中，8位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的6个评分与原始的8个评分相比一定不发生变化的是( )A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 众数4. 已知三条线段长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线段长不可能是( )A. 1B. 9C. 20D. 165. 一元二次方程x(x−3)=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根6. 如图，在6×6的正方形网格中，以O为位似中心，把格点△ABC放大为原来的2倍，则A的对应点为( )A. 点A1B. 点A2C. 点A3D. 点A47. 如图，已知⊙O的直径为26，弦AB=24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ=10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是( )A. 7≤MN≤17B. 14≤MN≤34C. 7<MN<17D. 6≤MN≤168. 若关于x的一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0)的两根分别为x1=−2，x2=1，则关于x的一元二次方程a(x+m−2022)2+n=0(a≠0)的两根分别为( )A. x1=−2，x2=1B. x1=2020，x2=2023C. x1=−2020，x2=2023D. x1=−2024，x2=−2019二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9. 立冬是二十四节气中的第十九个节气，每年11月7−8日之间交节，立冬后早晚的温度变化渐大．今天的最高气温为16℃，最低气温为5℃，该日的气温极差为______．10. 若用配方法解一元二次方程x2−4x−3=0时，则可以将该方程变形为______．11. 若a：b=3：4，b：c=1：2，则a：c=______．12. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______．13. 若从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮中剪出一个面积最大的扇形，则该扇形的面积为______cm2．14. 如图，已知AB是⊙O的直径，点P在⊙O外，连接PA、PB分别交⊙O于点C、D，若设∠P=n°，则CD⏜的度数为______(用含n的代数式表示)．15. 已知m是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，则代数式m(m+2)+(m+1)2的值______．16. 如图，已知矩形ABCD的边长AB=3，BC=4，点M在矩形的对角线AC上，若AM=3MC，则EM的长为______．17. 若一组数据6，8，10，x的中位数与平均数相等，则符合条件的x的值有______个．18. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=12，点E为BC的中点，点P是线段CD上的一个动点，连接EP，将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EP′，点Q是直线AB上的一个动点，连接EQ，点A关于EQ的对称点是点A′，连接P′A′，则P′A′的最小值为______．三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。