第一篇1力学模型的建立分解
第1章-质点运动学
z A.
(t )
.B
的变化情况，定义：质点
的平均加速度为
(t t )
O
a t
y
24
x
质点的(瞬时)加速度定义为:
d d r a lim 2 t 0 t dt dt
2
即：质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于
速度矢量 对时间的一阶导数，或等于矢径 r 对时
第一篇 力 学
1
内容提要
第一章 运动学 第二章 质点动力学(牛顿运动定律) 第三章 刚体力学
第四章 振动学基础
第五章 第六章 波动学基础
狭义相对论
2
第1章 质点运动学
§1-1 参考系、坐标系和理想模型
运动的可认知性——绝对运动与相对静止的辩证统一
案例讨论：关于物质运动属性的两种哲学论断 赫拉克利特：“人不能两次踏进同一条河流”
y
y
位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为
2 2 2 r r x y z
方向余弦: cos=x/r, cos=y/r, cos=z/r 式中 , , 取小于180°的值。
z
r
P(x,y,z)
z
C
cos2 + cos2 + cos2 =1
x
A
运动方程
—— 轨道方程。
11
消去时间t得：x2+y2=62
§1-3 位移 速 度
一.位移和路程
如图所示，质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时 刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线 段AB=r，称为质点在时间t内 的位移。 而A到B的路径长度S为 路程。
第一篇1力学模型的建立
2.转动惯量
仅用质心的概念还不能完全反映质点系内部质量 分布的情况。引入转动惯量的概念就能够全面描述质 点系的质量分布情况。 通常使用质点系对轴的转动惯量。质点系内每个 质点的质量与它们到某一轴线（如z轴）的距离的平 方的乘积之和定义为质点系对该轴的转动惯量，用Jz 表示：
分布）；以及便于描述物体运动状态的量：形状与 大小。 力学中使用的物体模型有： 质点：忽略物体形状与大小，视为一个有质量的点。 自由度：确定物体在空间位置的独立坐标数目。 一个自由的质点有三个自由度。
质点系：由有限个或无限个有着一定联系的质点组成。
刚体：各质点的距离保持不变的质点系。 刚体的形状大小是不会发生改变的，它是会发生 变形的实际物体在理论力学中的理想化模型。 一个自由刚体有六个自由度
常用均质直杆、圆盘、圆环对质心轴的转动惯量。
1 2 ml 12
例2–3 如图所示，已知质量为m、半径为R的均质薄圆 环对于中心轴的转动惯量是mR2；质量为m、长度为l的 均质细直杆对于质心轴的转动惯量是
J z mR
2
1 2 J z ml 12
分别计算质量为m、半径为R的均质圆板对中心轴（过 圆心且垂直于圆板的轴）的转动惯量和此圆板对于任一 直径的转动惯量。
第2章 力学模型的建立
2.1 物体的模型
品牌、价格、 色彩、大小、 形状、耗油、 重量（质量）、 速度、保养、 材料、舒适 性、 …... 物体的诸多属性中，哪些是研究机械运动所需要的呢？
2.1.1 质点 质点系 刚体
动力学实验：力的分解与合成实验
实验步骤
设置实验条件 记录数据 分析结果
注意事项
避免误操作 注意安全
数据处理
数据整理 报告撰写
力的作用机制探 究
力的作用机制是动力 学研究的重要内容， 通过实验可以进一步 探究力的作用方式和 影响因素，为科学研 究提供重要参考。
未来研究方向
力的应用
在工程领域的应 用研究
力学模型
力的合成实验操作步骤
设置实验器材，如 滑轮、斜面等。
准备实验器材
施加两个或多个力 使物体产生运动。
施加力
测量合力大小和方向。
根据合力测量结果， 计算合成后的力的大 小与方向。
测量合力
计算合成力
● 03
第三章 动力学实验的数据处 理
力的分解实验数 据处理
在力的分解实验中， 通过测量得到的数据， 可以利用数学方法计 算各个力的大小与方 向，进一步分析力的 分解规律。理解力的 分解过程对于探索物 体受力情况具有重要 意义。
搬运重物
开启门窗
固定物体
运动项目
通过力的分解，找到最佳 的搬运方式，避免受伤和 减轻劳动强度。
利用力的合成原理，可以 更轻松地打开门窗，提高 生活效率。
结合力的分解与合成，可 以更稳固地固定物体，增 强安全性。
在运动锻炼中，合理分解 和合成力量，可以提高运 动效果和减少运动损伤。
动力学实验的未 来发展
01 结构分析
通过力的分解与合成，工程师可以准确分析 结构受力情况，预防潜在的失稳风险。
02 平衡设计
利用力的合成原理，设计出平衡的结构，确 保在受力情况下不会发生倾斜或倒塌。
03 运动仿真
将力的分解与合成应用于运动仿真，可以模 拟各种受力情况下结构的运动状态，为设计 提供参考。
第一章 静力学公理与物体的受力分析
第一章静力学公理与物体的受力分析第一篇静力学静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的一门科学。
静力学中所指的物体都是刚体。
所谓刚体是指物体在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变，这是一种理想化的力学模型。
“平衡〞是指物体相对于惯性参考系〔如地面〕保持静止或作匀速直线运动的状态，是物体运动的一种特殊形式。
静力学主要研究以下三个问题： 1．物体的受力分析分析物体共受几个力作用，每个力的作用位置及其方向。
2．力系的简化所谓力系是指作用在物体上的一群力。
如果作用在物体上两个力系的作用效果是相同的，那么这两个力系互称为等效力系。
用一个简单力系等效地替换一个复杂力系的过程称为力系的简化。
力系简化的目的是简化物体受力，以便于进一步分析和研究。
3．建立各种力系的平衡条件刚体处于平衡状态时，作用于刚体上的力系应该满足的条件，称为力系的平衡条件。
满足平衡条件的力系称为平衡力系。
力系平衡条件在工程中有着特别重要的意义，是设计结构、构件和零件的静力学根底。
第一章静力学公理与物体受力分析§1.1力的概念与分类力是人们从长期生产实践中经抽象而得到的一个科学概念。
例如，当人们用手推、举、抓、掷物体时，由于肌肉伸缩逐渐产生了对力的感性认识。
随着生产的开展，人们逐渐认识到，物体运动状态及形状的改变，都是由于其它物体对其施加作用的结果。
这样，由感性到理性建立了力的概念：力是物体间相互的机械作用，其作用结果是使物体运动状态或形状发生改变。
实践说明力的效应有两种，一种是使物体运动状态发生改变，称为力对物体的外效应；另一种是使物体形状发生改变，称为力对物体的内效应。
在静力学局部将物体视为刚体，只考虑力的外效应；而在材料力学局部那么将物体视为变形体，必须考虑力的内效应。
力是物体之间的相互作用，力不能脱离物体而独立存在。
在分析物体受力时，必须注意物体间的相互作用关系，分清施力体与受力体。
否那么，就不能正确地分析物体的受力情况。
工程力学第一章静力学基础知识
1-2 静力学公理
公理一的应用 人在划船离岸时，常把浆向岸上撑。这就是利用了作用力与反作用力的原理。
§1-2 静力学公理
二力平衡公理示意图
二、二力平衡公理（公理二）
作用于同一刚体上的两个力，使刚体平衡的必要且充分条件是，这两个力的大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。
第一章 静力学基础知识
202X
第一章 静力学基础知识
理解力、刚体和约束等概念。
深刻理解静力学各公理的内涵。
了解各种常见典型约束的性质，会正确表示各种典型约束的约束反力。
初步学会对物体进行受力分析的方法，能正确画出研究对象的受力图。
1-1 力与静力学模型
力
1．力的概念
1-1 力与静力学模型
02
几种常见的约束及其约束反力
1-3 约束与约束反力
1-3 约束与约束反力
约束与约束反力 自由体和非自由体
1-3 约束与约束反力
当物体沿着约束所能限制的方向有运动趋势时，约束为了阻止物体的运动，必然对物体有力的作用，这种力称为约束反力或反力。
约束——对非自由物体的限制
2．主动力与约束反力
足球
§1-1 力与静力学模型
弹簧形变
力的内效应
内效应——力使物体的形状发生变化的效应。
§1-1 力与静力学模型
4．力的三要素
大小 方向 作用点
力的三要素
§1-1 力与静力学模型
夹紧力作用点的选择 夹紧力作用点的选择
模型——对实际物体和实际问题的合理抽象与简化
刚体——对物体的合理抽象与简化
1-3 约束与约束反力
巧夹球形工件 用平口钳夹球形工件很难夹紧，这是因为平面与球面接触，接触面积小（理论上为点接触），要产生一定大小的约束反力F１、F2和摩擦刀矩M２，与轴向力F和切削力矩M１平衡，需要很大的夹紧力，易损坏球形工件。若用螺母代替，将是环面接触，加大了接触面积，改变了约束条件。因此，只需较小的夹紧力，就可使球形工件夹得很牢固。 4
弹性力学 绪论(1)
The Leaning Tower of Pisa
看似简单的新技术— —地基应力解除法
在斜塔倾斜的反方向（北侧）塔基下 面掏土，利用地基的沉降，使塔体的 重心后移，从而减小倾斜幅度。该方 法于1962 年，由意大利工程师 Terracina针对比萨斜塔的倾斜恶化问 题提出，当时称为“掏土法”，由于 显得不够深奥而遭长期搁置，直到该 法在墨西哥城主教堂的纠偏中成功应 用，又被重新得到认识和采纳。
1990年1月斜塔被关闭，意大利政府随即成立了由13名专家组成的比萨斜塔 拯救委员会。拯救工程分3个阶段进行：第一阶段主要是在塔身上端安装5道 厚度为10至40厘米的不锈钢圈；第二阶段主要是将600吨铅锭挂压在塔基的北 侧；第三阶段主要是在塔基北侧地下打入10根长50米的钢柱，上端同固定在 塔底部的钢环相连接。
“定理愈来愈少，应用愈来愈多”
数学弹性力学：“基本方程”，平衡方程
N：粒子之间的作用力，应力，一个常数的平衡方程
C：平衡方程，两个常数，单元体的平衡
唯象理论：从现象出发，宏观
唯理理论（理性力学）：可以从宏观出发，也可以从微观出发
三、线性问题（1854-1907）
圣维南（Saint Venant）：圣维南原理；扭转问 题（半逆解法）；正确解答。
2.特朗斯康谷仓地基失稳
（2）特朗斯基谷仓地基失稳，半平 面在载荷作用下的应力分布问题。
大学物理（第五版）课后习题答案
面向21 世纪课程教材学习辅导书习题分析与解答马文蔚主编殷实沈才康包刚编高等教育出版社前言本书是根据马文蔚教授等改编的面向21世纪课程教材《物理学》第五版一书中的习题而作的分析与解答。
与上一版相比本书增加了选择题更换了约25的习题。
所选习题覆盖了教育部非物理专业大学物理课程教学指导分委员会制定的《非大学物理课程教学基本要求讨论稿》中全部核心内容并选有少量扩展内容的习题所选习题尽可能突出基本训练和联系工程实际。
此外为了帮助学生掌握求解大学物理课程范围内的物理问题的思路和方法本书还为力学、电磁学、波动过程和光学热物理、相对论和量子物理基础等撰写了涉及这些内容的解题思路和方法以期帮助学生启迪思维提高运用物理学的基本定律来分析问题和解决问题的能力。
物理学的基本概念和规律是在分析具体物理问题的过程中逐步被建立和掌握的解题之前必须对所研究的物理问题建立一个清晰的图像从而明确解题的思路。
只有这样才能在解完习题之后留下一些值得回味的东西体会到物理问题所蕴含的奥妙和涵义通过举一反三提高自己分析问题和解决问题的能力。
有鉴于此重分析、简解答的模式成为编写本书的指导思想。
全书力求在分析中突出物理图像引导学生以科学探究的态度对待物理习题初步培养学生―即物穷理‖的精神通过解题过程体验物理科学的魅力和价值尝试―做学问‖的乐趣。
因此对于解题过程本书则尽可能做到简明扼要让学生自己去完成具体计算编者企盼这本书能对学生学习能力的提高和科学素质的培养有所帮助。
本书采用了1996 年全国自然科学名词审定委员会公布的《物理学名词》和中华人民共和国国家标准GB3100 3102 -93 中规定的法定计量单位。
本书由马文蔚教授主编由殷实、沈才康、包刚、韦娜编写西北工业大学宋士贤教授审阅了全书并提出了许多详细中肯的修改意见在此编者致以诚挚的感谢。
由于编者的水平有限敬请读者批评指正。
编者2006 年1 月于南京目录第一篇力学求解力学问题的基本思路和方法第一章质点运动学第二章牛顿定律第三章动量守恒定律和能量守恒定律第四章刚体的转动第二篇电磁学求解电磁学问题的基本思路和方法第五章静电场第六章静电场中的导体与电介质第七章恒定磁场第八章电磁感应电磁场第三篇波动过程光学求解波动过程和光学问题的基本思路和方法第九章振动第十章波动第十一章光学第四篇气体动理论热力学基础求解气体动理论和热力学问题的基本思路和方法第十二章气体动理论第十三章热力学基础第五篇近代物理基础求解近代物理问题的基本思路和方法第十四章相对论第十五章量子物理附录部分数学公式第一篇力学求解力学问题的基本思路和方法物理学是一门基础学科它研究物质运动的各种基本规律由于不同运动形式具有不同的运动规律从而要用不同的研究方法处理力学是研究物体机械运动规律的一门学科而机械运动有各种运动形态每一种形态和物体受力情况以及初始状态有密切关系掌握力的各种效应和运动状态改变之间的一系列规律是求解力学问题的重要基础但仅仅记住一些公式是远远不够的求解一个具体物理问题首先应明确研究对象的运动性质选择符合题意的恰当的模型透彻认清物体受力和运动过程的特点等等根据模型、条件和结论之间的逻辑关系运用科学合理的研究方法进而选择一个正确简便的解题切入点在这里思路和方法起着非常重要的作用1正确选择物理模型和认识运动过程力学中常有质点、质点系、刚体等模型每种模型都有特定的含义适用范围和物理规律采用何种模型既要考虑问题本身的限制又要注意解决问题的需要例如用动能定理来处理物体的运动时可把物体抽象为质点模型而用功能原理来处理时就必须把物体与地球组成一个系统来处理再如对绕固定轴转动的门或质量和形状不能不计的定滑轮来说必须把它视为刚体并用角量和相应规律来进行讨论在正确选择了物理模型后还必须对运动过程的性质和特点有充分理解如物体所受力矩是恒定的还是变化的质点作一般曲线运动还是作圆周运动等等以此决定解题时采用的解题方法和数学工具2.叠加法叠加原理是物理学中应用非常广泛的一条重要原理据此力学中任何复杂运动都可以被看成由几个较为简单运动叠加而成例如质点作一般平面运动时通常可以看成是由两个相互垂直的直线运动叠加而成而对作圆周运动的质点来说其上的外力可按运动轨迹的切向和法向分解其中切向力只改变速度的大小而法向力只改变速度的方向对刚体平面平行运动来说可以理解为任一时刻它包含了两个运动的叠加一是质心的平动二是绕质心的转动运动的独立性和叠加性是叠加原理中的两个重要原则掌握若干基本的简单运动的物理规律再运用叠加法就可以使我们化―复杂‖为―简单‖此外运用叠加法时要注意选择合适的坐标系选择什么样的坐标系就意味着运动将按相应形式分解在力学中对一般平面曲线运动多采用平面直角坐标系平面圆周运动多采用自然坐标系而对刚体绕定轴转动则采用角坐标系等等叠加原理在诸如电磁学振动、波动等其他领域内都有广泛应用是物理学研究物质运动的一种基本思想和方法需读者在解题过程中不断体会和领悟3.类比法有些不同性质运动的规律具有某些相似性理解这种相似性产生的条件和遵从的规律有利于发现和认识物质运动的概括性和统一性而且还应在学习中善于发现并充分利用这种相似性以拓宽自己的知识面例如质点的直线运动和刚体绕定轴转动是两类不同运动但是运动规律却有许多可类比和相似之处如txddv 与tθωdd taddv 与tωαdd 其实它们之间只是用角量替换了相应的线量而已这就可由比较熟悉的公式联想到不太熟悉的公式这种类比不仅运动学有动力学也有如maF 与JαM0dvvmmtF 与0dLωJωtM 2022121dvvmmxF 与2022121dωJωJθM 可以看出两类不同运动中各量的对应关系十分明显使我们可以把对质点运动的分析方法移植到刚体转动问题的分析中去当然移植时必须注意两种运动的区别一个是平动一个是转动状态变化的原因一个是力而另一个是力矩此外还有许多可以类比的实例如万有引力与库仑力、静电场与稳恒磁场电介质的极化与磁介质的磁化等等只要我们在物理学习中善于归纳类比就可以沟通不同领域内相似物理问题的研究思想和方法并由此及彼触类旁通4微积分在力学解题中的运用微积分是大学物理学习中应用很多的一种数学运算在力学中较为突出也是初学大学物理课程时遇到的一个困难要用好微积分这个数学工具首先应在思想上认识到物体在运动过程中反映其运动特征的物理量是随时空的变化而变化的一般来说它们是时空坐标的函数运用微积分可求得质点的运动方程和运动状态这是大学物理和中学物理最显著的区别例如通过对质点速度函数中的时间t 求一阶导数就可得到质点加速度函数另外对物理量数学表达式进行合理变形就可得出新的物理含义如由tddav借助积分求和运算可求得在t1 -t2 时间内质点速度的变化同样由tddvr也可求得质点的运动方程以质点运动学为例我们可用微积分把运动学问题归纳如下第一类问题已知运动方程求速度和加速度第二类问题已知质点加速度以及在起始状态时的位矢和速度可求得质点的运动方程在力学中还有很多这样的关系读者不妨自己归纳整理一下从而学会自觉运用微积分来处理物理问题运用时有以下几个问题需要引起大家的关注1 运用微积分的物理条件在力学学习中我们会发现ta0vv和2021ttarv等描述质点运动规律的公式只是式tt0ddavvv0和式tttrdd000arv在加速度a为恒矢量条件下积分后的结果此外在高中物理中只讨论了一些质点在恒力作用下的力学规律和相关物理问题而在大学物理中则主要研究在变力和变力矩作用下的力学问题微积分将成为求解上述问题的主要数学工具2 如何对矢量函数进行微积分运算我们知道很多物理量都是矢量如力学中的r、v、a、p 等物理量矢量既有大小又有方向从数学角度看它们都是―二元函数‖在大学物理学习中通常结合叠加法进行操作如对一般平面曲线运动可先将矢量在固定直角坐标系中分解分别对x、y 轴两个固定方向的分量可视为标量进行微积分运算最后再通过叠加法求得矢量的大小和方向对平面圆周运动则可按切向和法向分解对切线方向上描述大小的物理量a 、v、s 等进行微积分运算3 积分运算中的分离变量和变量代换问题以质点在变力作用下作直线运动为例如已知变力表达式和初始状态求质点的速率求解本问题一条路径是由F m a 求得a的表达式再由式dv adt 通过积分运算求得v其中如果力为时间t 的显函数则a at此时可两边直接积分即ttta0ddvvv0但如果力是速率v 的显函数则a av此时应先作分离变量后再两边积分即tta0dd1vvvv0又如力是位置x 的显函数则aax此时可利用txddv得vxtdd并取代原式中的dt再分离变量后两边积分即xxtxa0ddvvvv0 用变量代换的方法可求得vx表达式在以上积分中建议采用定积分下限为与积分元对应的初始条件上限则为待求量5.求解力学问题的几条路径综合力学中的定律可归结为三种基本路径即1 动力学方法如问题涉及到加速度此法应首选运用牛顿定律、转动定律以及运动学规律可求得几乎所有的基本力学量求解对象广泛但由于涉及到较多的过程细节对变力矩问题还将用到微积分运算故计算量较大因而只要问题不涉及加速度则应首先考虑以下路径2 角动量方法如问题不涉及加速度但涉及时间此法可首选3 能量方法如问题既不涉及加速度又不涉及时间则应首先考虑用动能定理或功能原理处理问题当然对复杂问题几种方法应同时考虑此外三个守恒定律动量守恒、能量守恒、角动量守恒定律能否成立往往是求解力学问题首先应考虑的问题总之应学会从不同角度分析与探讨问题以上只是原则上给出求解力学问题一些基本思想与方法其实求解具体力学问题并无固定模式有时全靠―悟性‖但这种―悟性‖产生于对物理基本规律的深入理解与物理学方法掌握之中要学会在解题过程中不断总结与思考从而使自己分析问题的能力不断增强第一章质点运动学1 -1 质点作曲线运动在时刻t 质点的位矢为r速度为v 速率为vt 至t Δt时间内的位移为Δr 路程为Δs 位矢大小的变化量为Δr 或称Δ r 平均速度为v平均速率为v 1 根据上述情况则必有 A Δr Δs Δr B Δr ≠ Δs ≠ Δr当Δt→0 时有 dr ds ≠ dr C Δr ≠ Δr ≠ Δs当Δt→0 时有 dr dr ≠ ds D Δr ≠ Δs ≠ Δr当Δt→0 时有 dr dr ds 2 根据上述情况则必有 A v v v v B v ≠v v ≠ v C v v v ≠ v D v ≠v v v分析与解1 质点在t 至t Δt 时间内沿曲线从P 点运动到P′点各量关系如图所示其中路程Δs PP′ 位移大小Δr PP′而Δr r - r 表示质点位矢大小的变化量三个量的物理含义不同在曲线运动中大小也不相等注在直线运动中有相等的可能但当Δt→0 时点P′无限趋近P 点则有 dr ds但却不等于dr故选B 2 由于 Δr ≠Δs故tstΔΔΔΔr即 v ≠v 但由于 dr ds故tstddddr即 v v由此可见应选C 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢rxy的端点处对其速度的大小有四种意见即1trdd 2tddr 3tsdd 422ddddtytx 下述判断正确的是 A 只有12正确B 只有2正确 C 只有23正确 D 只有34正确分析与解trdd表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率在极坐标系中叫径向速率通常用符号vr表示这是速度矢量在位矢方向上的一个分量tddr表示速度矢量在自然坐标系中速度大小可用公式tsddv计算在直角坐标系中则可由公式22ddddtytxv求解故选D 1 -3 质点作曲线运动r 表示位置矢量v表示速度a表示加速度s 表示路程a 表示切向加速度对下列表达式即1d v /dt a2dr/dt v3ds/dt v4d v /dt a 下述判断正确的是A 只有1、4是对的B 只有2、4是对的C 只有2是对的D 只有3是对的分析与解tddv表示邢蚣铀俣萢 它表示速度大小随时间的变化率是加速度矢量沿速度方向的一个分量起改变速度大小的作用trdd在极坐标系中表示径向速率vr如题1 -2 所述tsdd在自然坐标系中表示质点的速率v而tddv表示加速度的大小而不是切向加速度a 因此只有3 式表达是正确的故选D 1 -4 一个质点在做圆周运动时则有 A 切向加速度一定改变法向加速度也改变B 切向加速度可能不变法向加速度一定改变C 切向加速度可能不变法向加速度不变D 切向加速度一定改变法向加速度不变分析与解加速度的切向分量a 起改变速度大小的作用而法向分量an起改变速度方向的作用质点作圆周运动时由于速度方向不断改变相应法向加速度的方向也在不断改变因而法向加速度是一定改变的至于a 是否改变则要视质点的速率情况而定质点作匀速率圆周运动时a 恒为零质点作匀变速率圆周运动时a 为一不为零的恒量当a 改变时质点则作一般的变速率圆周运动由此可见应选B 1 -5 如图所示湖中有一小船有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动设该人以匀速率v0 收绳绳不伸长且湖水静止小船的速率为v则小船作 A 匀加速运动θcos0vv B 匀减速运动θcos0vv C 变加速运动θcos0vv D 变减速运动θcos0vv E 匀速直线运动0vv 分析与解本题关键是先求得小船速度表达式进而判断运动性质为此建立如图所示坐标系设定滑轮距水面高度为ht 时刻定滑轮距小船的绳长为l则小船的运动方程为22hlx其中绳长l 随时间t 而变化小船速度22ddddhltlltxv式中tldd表示绳长l随时间的变化率其大小即为v0代入整理后为θlhlcos/0220vvv方向沿x 轴合蛴伤俣缺泶锸娇膳卸闲〈 鞅浼铀僭硕 恃 讨论有人会将绳子速率v0按x、y 两个方向分解则小船速度θcos0vv这样做对吗1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动其运动方程为32262ttx式中x 的单位为mt 的单位为s求1 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小 2 质点在该时间内所通过的路程3 t4 s时质点的速度和加速度分析位移和路程是两个完全不同的概念只有当质点作直线运动且运动方向不改变时位移的大小才会与路程相等质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到0Δxxxt而在求路程时就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向此时位移的大小和路程就不同了为此需根据0ddtx来确定其运动方向改变的时刻tp 求出0 tp 和tp t 内的位移大小Δx1 、Δx2 则t 时间内的路程21xxs如图所示至于t 4.0 s 时质点速度和加速度可用txdd和22ddtx两式计算解 1 质点在4.0 s内位移的大小m32Δ04xxx 2 由0ddtx 得知质点的换向时刻为s2pt t0不合题意则m0.8Δ021xxx m40Δ242xxx 所以质点在4.0 s时间间隔内的路程为m48ΔΔ21xxs 3 t4.0 s时1s0.4sm48ddttxv2s0.422m.s36ddttxa 1 -7 一质点沿x 轴方向作直线运动其速度与时间的关系如图a所示设t0 时x0试根据已知的v-t 图画出a-t 图以及x -t 图分析根据加速度的定义可知在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小图中AB、CD 段斜率为定值即匀变速直线运动而线段BC 的斜率为0加速度为零即匀速直线运动加速度为恒量在a-t 图上是平行于t 轴的直线由v-t 图中求出各段的斜率即可作出a-t 图线又由速度的定义可知x-t 曲线的斜率为速度的大小因此匀速直线运动所对应的x -t 图应是一直线而匀变速直线运动所对应的x–t 图为t 的二次曲线根据各段时间内的运动方程xxt求出不同时刻t 的位置x采用描数据点的方法可作出x-t 图解将曲线分为AB、BC、CD 三个过程它们对应的加速度值分别为2sm20ABABABttavv 匀加速直线运动0BCa 匀速直线运动2sm10CDCDCDttavv 匀减速直线运动根据上述结果即可作出质点的a-t 图图B 在匀变速直线运动中有2021ttxxv 由此可计算在0 2 和4 6 时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法由表中数据可作0 2 和4 6 时间内的x -t 图在2 4 时间内质点是作1sm20v的匀速直线运动其x -t 图是斜率k20的一段直线图c 1 -8 已知质点的运动方程为jir222tt式中r 的单位为mt 的单位为 求 1 质点的运动轨迹2 t 0 及t 2 时质点的位矢3 由t 0 到t 2 内质点的位移Δr 和径向增量Δr 4 2 内质点所走过的路程s 分析质点的轨迹方程为y fx可由运动方程的两个分量式xt和yt中消去t 即可得到对于r、Δr、Δr、Δs 来说物理含义不同可根据其定义计算其中对s的求解用到积分方法先在轨迹上任取一段微元ds则22dddyxs最后用ssd积分求 解1 由xt和yt中消去t 后得质点轨迹方程为2412xy 这是一个抛物线方程轨迹如图a所示2 将t 0 和t 2 分别代入运动方程可得相应位矢分别为jr20 jir242 图a中的P、Q 两点即为t 0 和t 2 时质点所在位置3 由位移表达式得jijirrr24Δ020212yyxx 其中位移大小m66.5ΔΔΔ22yxr 而径向增量m47.2ΔΔ2020222202yxyxrrrr 4 如图B所示所求Δs 即为图中PQ段长度先在其间任意处取AB 微元ds则22dddyxs由轨道方程可得xxyd21d代入ds则2 内路程为m91.5d4d402xxssQP 1 -9 质点的运动方程为23010ttx 22015tty 式中xy 的单位为mt 的单位为 试求1 初速度的大小和方向2 加速度的大小和方向分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向解 1 速度的分量式为ttxx6010ddv ttyy4015ddv 当t 0 时vox -10 m· -1voy 15 m· -1 则初速度大小为120200sm0.18yxvvv 设vo与x 轴的夹角为α则23tan00xyαvv α123°41′ 2 加速度的分量式为2sm60ddtaxxv 2sm40ddtayyv 则加速度的大小为222sm1.72yxaaa 设a 与x 轴的夹角为β则32tanxyaaβ β-33°41′或326°19′ 1 -10 一升降机以加速度1.22 m· -2上升当上升速度为2.44 m· -1时有一螺丝自升降机的天花板上松脱天花板与升降机的底面相距2.74 m计算1螺丝从天花板落到底面所需要的时间2螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离分析在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下一种处理方法是取地面为参考系分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1 y1t和y2 y2t并考虑它们相遇即位矢相同这一条件问题即可解另一种方法是取升降机或螺丝为参考系这时螺丝或升降机相对它作匀加速运动但是此加速度应该是相对加速度升降机厢的高度就是螺丝或升降机运动的路程解1 1 以地面为参考系取如图所示的坐标系升降机与螺丝的运动方程分别为20121attyv 20221gtthyv 当螺丝落至底面时有y1 y2 即20202121gtthattvv s705.02aght 2 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为m716.021202gttyhdv 解2 1以升降机为参考系此时螺丝相对它的加速度大小a′g a螺丝落至底面时有2210tagh s705.02aght 2 由于升降机在t 时间内上升的高度为2021atthv 则m716.0.。
第一章单自由度机械系统动力学建模讲解
3 动力分析
抛弃了对驱动构件运动规律的理想假定，把原动机包括 在机械系统之内来进行分析，分析的对象是整个机械系 统，求解的是微分方程或代数-微分混合方程。
4 弹性动力分析
随着机械系统向高速轻质化发展，构件的柔度加大，惯 性力急剧加大，构件的弹性变形可能给机械的运动输出 带来误差。机械系统柔度 系统的固有频率 ，机械 运转速度 激振频率 可能会发生共振，破坏运动精度 ，影响疲劳强度，引发噪声。
故有： J e
J 1
z2 z1
2
J2
m3
2
2
l
2
m4
2
l sin
2
2
2
9J1 J 2 m3l 2 m4l 2 sin2 2
则：
Me
M
1
1 2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F4
cos180
v4 2
2
J
2
2
v3
2
m2
v2 v3
2
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v32
(M
1
1
v3
F3 )v3
me
n i 1
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vsi v
2
等 J效si质 量vi
2 me
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T
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质点系模型是力学中最基本、最普遍的物体模型，
它包括刚体、变形体、流体和自由质点系等模型。
采用哪一种模型由研究问题的需要决定。
由若干个刚体组成的系统也是质点系，但通常称 之为物体系统，简称物系。 工程中常见的物系分为机构与结构两大类。 它们最主要的区别在于： 机构的组成物体之间可以相对运动， 结构的组成物体之间是相对静止的。
如果这有限个物体的密度相同，其中任一形体的体 积为Vi，则组成物体或物系的质心（形心）按下式计算：
Vi xi xC , V i Vi yi yC , V i Vi zi zC V i
当每一个物体是密度相同的等厚度的均质平板时，其 中任一形体的面积为Ai，则组成物体或物系的质心（形 心）可以按下式计算：
b
在图示坐标系中，由于对称性，必有
xC 0
设y1，y2，y3分别是A1，A2，A3质心的坐标，查表可得
4R 400 y1 mm, 3 3 4(r b) 40 y2 mm, 3 y3 0
由（2–3）式，偏心块质心的坐标yC为
A1 y1 A2 y2 A3 y3 2 yC A1 A2 A3 40.01(mm) 1002 400 40 2 17 13 17 2 0 3 2 100
mi xi xC , M mi yi yC , M mi zi zC M
M mi 是整个质点系的质量。
质量元的体积是dV密度是，则质量元的质量 dm dV
密度是常数时物体的质量
xdV
V ,
M V （V是物体的体积）
ydV
V ,
由上式得到物体形心的坐标计算公式：
x
标系中分别计算它们 的质心坐标。 再由质心公式计算机 构质心坐标。
曲柄OA： 滑块A： 滑杆BD：
l x1 cos j, 2
l y1 sinj 2
x2 l cos j , x3 l cos j a,
A O
y2 l sinj y3 0
j
B a
E D
x
机构质心的坐标为
m1l cos j m2l cos j m3 l cos j a m1 x1 m2 x2 m3 x3 xC 2 m1 m2 m3 m1 m2 m3 m1 m2 m3 l cos j m3 a 2 m1 m2 m3
m1 m1l m sin j m2l sin j m3 0 2 l sin j m1 y1 m2 y2 m3 y3 2 yC 2 m1 m2 m3 m1 m2 m3 m1 m2 m3
2.转动惯量
仅用质心的概念还不能完全反映质点系内部质量 分布的情况。引入转动惯量的概念就能够全面描述质 点系的质量分布情况。 通常使用质点系对轴的转动惯量。质点系内每个 质点的质量与它们到某一轴线（如z轴）的距离的平 方的乘积之和定义为质点系对该轴的转动惯量，用Jz 表示：
xC V yC V zC V
zdV
V
对于质量均匀的物体，其质心与形心是重合的。 当物体是密度为常数的等厚度的均质平板时，质心在 板平面上的位置与平面图形的形心一致（设平板是Oxy 面上的平面图形），有
xC
A
xdA
A ,
yC
A
ydA
A
对于由几个常见形体组成的物体的质心，或者物系 的质心，可以把每一个组成物体视为质点，用质心公 式计算。
第2章 力学模型的建立
2.1 物体的模型
品牌、价格、 色彩、大小、 形状、耗油、 重量（质量）、 速度、保养、 材料、舒适 性、 …... 物体的诸多属性中，哪些是研究机械运动所需要的呢？
2.1.1 质点 质点系 刚体
对于研究物体机械运动的理论力学，关注的只
是物体自身与运动状态改变有关的量：质量(大小与
分布）；以及便于描述物体运动状态的量：形状与 大小。 力学中使用的物体模型有： 质点：忽略物体形状与大小，视为一个有质量的点。 自由度：确定物体在空间位置的独立坐标数目。 一个自由的质点有三个自由度。
质点系：由有限个或无限个有着一定联系的质点组成。
刚体：各质点的距离保持不变的质点系。 刚体的形状大小是不会发生改变的，它是会发生 变形的实际物体在理论力学中的理想化模型。 一个自由刚体有六个自由度
Ai xi xC , Ai Ai yi yC Ai
例2–1 图示振动沉桩器中的偏心块，可视为等厚度
均质平板。测量得：
y
R 100mm , r 17mm , b 13mm
试计算该偏心块的质心。 解：将偏心块图形看成三部
r o
分组成：半径为R的半圆A1
x
R
与半径为r+b的半圆A2拼接 后再挖去半径为r的小圆A3。 因为A3是挖去的部分，所以 其面积取为负值。
2
2
2
17 13 17 2
2
例2–2 图示的曲柄滑杆机构中，曲柄OA的长度OA=l,
ห้องสมุดไป่ตู้
质量为m1，质心在OA中点；滑块A的质量为m2；滑杆
BD的质量为m3，质心在E点。试求在图示位置时机构 的质心位置。 解：此机构由曲柄OA，
A O
滑块A与滑杆BD三个
j
B a
E D
物体组成，在图示坐
J z mi ri 2
式中mi与ri分别是第i个质点的质量与该质点到z轴的 距离。在国际单位制中转动惯量的单位是 kg m2 。
在工程中常将转动惯量写成：
2.1.2 质心 转动惯量
质点系的运动特性不但与它的总质量有关，还与 它的质量分布情况有关。质点系的质量分布特点用两 个基本特征量表示：质心与转动惯量。
1.质心 设有n个质点组成的质点系，其中任一个质点的质量 是mi，坐标是 xi , yi , zi 。于是定义这个质点系的质量中 心（简称质心）C的坐标 xC , yC , zC