上海市中考数学一模试卷H卷
2023年上海市虹口区中考一模数学试卷(解析版)
2022学年度学生学习能力诊断练习初三数学（满分150分，时间100分钟）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（）A.30° B.45°C.60°D.90°【答案】A 【解析】【分析】根据坡角的正切=坡度，列式可得结果．【详解】设这个斜坡的坡角为α，由题意得：.= 3.3，∴α=30°；故选A.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.2.如图，在Rt ABC △中，9012C AC BC ∠︒==，，，那么cos A 的值为（）A.12B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】先利用勾股定理求解AB ，再利用余弦的定义直接求解即可．【详解】解：∵9012C AC BC ∠=︒==，，，∴AB ==，∴5cos5AC A AB ===，故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，锐角的余弦的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义．3.已知抛物线()221y a x =-+有最低点，那么a 的取值范围是（）A.0a >B.a<0C.2a > D.2a <【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到20a ->，由此即可得到a 的取值范围．【详解】解：∵二次函数()221y a x =-+的图像有最低点，∴函数图象开口向上，则20a ->，解得2a <．故选D ．4.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（）A.a<0B.0b < C.0c > D.0abc <【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的图象与解析式中字母系数之间关系解答即可．【详解】解：A 、图象的开口向下，则0a <，此选项不符合题意；B 、对称轴在y 轴右边且0a <，则0b >，此选项符合题意；C 、图象与y 轴正半轴相交，则0c >，此选项不符合题意；D 、0abc <，此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象与各项系数间的关系，熟知二次函数的图象与各项字母系数之间关系是解答的关键．5.如果点()12,A y -与点()23,B y -都在抛物线2y x k =+上，那么1y 和2y 的大小关系是（）A.12y y >B.12y y < C.12y y = D.不能确定【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数图像与性质，对于比较二次函数的y 值大小，只需要比较相应点到对称轴距离即可得到答案．【详解】解： 点()12,A y -与点()23,B y -都在抛物线2y x k =+上，∴抛物线对称轴为0y =，∴()12,A y -到对称轴距离为2；()23,B y -到对称轴距离为3，抛物线2y x k =+中二次项系数为正，开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越近y 值越小，即12y y <，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数y 值大小比较，熟练掌握二次函数图形与性质、掌握二次函数y 值大小比较的方法步骤是解决问题的关键．6.如图，点D E 、分别在ΔABC 边AB AC 、上，3AB AE AD CE==，且AED B ∠=∠，那么ADAC 的值为（）A.12B.13C.14D.23【答案】A 【解析】【分析】根据AED B ∠=∠与A A ∠=∠，即可得到ΔADE ∽ΔACB ，即可得到AD AEAC AB=，结合3AB AE AD CE==即可得到ADAC 的值；【详解】解：∵AED B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ΔADE ∽ΔACB ，∴AD AEAC AB =，∵3AB AEAD CE ==，∴343AD CECE AD=，∴224AD CE =，∴142AD AD AC CE ==，故选A ．【点睛】本题考查三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据分式的性质得到AD 与CE 的关系．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且2a =，8c =，那么b =________．【答案】4【解析】【分析】根据比例中项的概念，可得a bb c=，可得216b ac ==，即可得到b 的值，注意线段的长为正数．【详解】解：∵线段b 是线段a 、c 的比例中项，且2a =，8c =，∴a b b c=，∴216b ac ==，解得4b =±，又∵线段的长度是正数，∴4b =．故答案为：4【点睛】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方；求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．根据比例中项的概念列出比例式是解答本题的关键．8.计算：()12622b a b --=__________．【答案】33b a-【解析】【分析】按照向量线性运算法则计算即可．【详解】解：()12622b a b --，1126222b a b =-⨯+⨯ ，23b a b =-+ ，33b a =- ，故答案为：33b a -．【点睛】本题考查了向量的线性运算，掌握向量的运算法则是解题关键．9.抛物线243y x x =-+与y 轴的交点坐标是___________．【答案】()0,3【解析】【分析】令0x =得出y 的值，从而得出与y 轴的交点坐标．【详解】令0x =，得3y =，∴抛物线243y x x =-+与y 轴的交点坐标是()0,3，故答案为：()0,3．【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与y 轴交点的求法是解题的关键．10.沿着x 轴正方向看，抛物线22y x x =-+在其对称轴右侧的部分是___________的．（填“上升”或“下降”）【答案】下降【解析】【分析】根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：因为10a =-<，所以抛物线22y x x =-+在对称轴右侧部分是下降的，故答案为：下降．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．11.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x x =+沿着y 轴向下平移2个单位，所得到的新抛物线的表达式为__________________．【答案】222y x x =+-【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，进行计算即可．【详解】解：将抛物线22y x x =+沿着y 轴向下平移2个单位长度所得抛物线解析式为：222y x x =+-；故答案为：222y x x =+-．【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规律，是解题的关键．12.已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x…1-0234…y…522510…如果点()2,m -在此抛物线上，那么m =___________．【答案】10【解析】【分析】根据题目表中数据，利用待定系数法确定函数关系式，再由点()2,m -在此抛物线上，代值求解即可得到答案．【详解】解：由题意可得，52242a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩，解得122a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为222y x x -=+，点()2,m -在此抛物线上，()()2222210m ∴=--⨯-+=，故答案为：10．【点睛】本题考查二次函数求值，涉及待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数解析式的求法是解决问题的关键．13.已知111ABC A B C ∽△△，顶点、、A B C 分别与111A B C 、、对应，1112,9AC A C ==，1A ∠的平分线的长为6，那么A ∠的平分线的长为________．【答案】8【解析】【分析】根据题意，作出图形，根据111ABC A B C ∽△△，由三角形相似的性质得到111ABD A B D △∽△，再由三角形相似的性质即可得到答案．【详解】解：如图所示：111ABC A B C ∽△△，1112,9AC A C ==，1111B B BAC B A C ∴∠=∠∠=∠，，111112493AB AC A B A C ===，AD 是BAC ∠的角平分线，11A D 是111B A C ∠的角平分线，111BAD B A D ∴∠=∠，∴111ABD A B D △∽△，∴111143AD AB A D A B ==， 1A ∠的平分线的长为6，∴A ∠的平分线的长为11114683AB AD A D A B =⋅=⨯=，故答案为：8．【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，熟练掌握两个三角形相似对应角相等、对应边成比例是解决问题的关键．14.如图，在ABC 中，点D 在边AC 上，已知ABD △和BCD △的面积比是12：，AB a =，DB b =，那么用向量、a b 表示向量AC 为________．【答案】33a b-【解析】【分析】由题中ABD △和BCD △的面积比是12：，根据三角形“等高”的面积表示即可知道12AD DC =，根据平面向量的加法运算可知()33AC AD AB BD ==+，从而得到答案．【详解】解：过B 作BE AC ⊥，如图所示：ABD △和BCD △的面积比是12：，∴112122ABDCBDAD BES AD S DC DC BE ⋅===⋅△△，∴AC 3AD =，AB a =，DB b =，∴用向量、a b 表示向量AC 为AC3AD= ()3AB BD=+ ()3AB DB =- ()3a b =- 33a b =- ，故答案为：33a b -．【点睛】本题考查向量运算，涉及三角形面积、向量加法运算及向量共线等知识，熟练掌握向量的相关表示是解决问题的关键．15.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E F 、分别在边AB CD 、上且EF AD ∥，已知:1:2AE EB =，3,4AD EF ==，那么BC 的长是________．【答案】6【解析】【分析】由题中AD BC ∥，EF AD ∥，得到AD BC ∥EF ∥，从而利用平行线分线段成比例定理得到12DF AE FC EB ==，连接AC ，如图所示，由相似三角形的判定得到∽CFH CDA △△、AEH ABC ∽△△，利用相似比即可得到答案．【详解】解：连接AC在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EF AD ∥，AD EF BC ∴∥∥，:1:2AE EB =，12DF AE FC EB ∴==， EF AD ∥，D HFC ∴∠=∠，FCH DCA ∠=∠ ，∽CFH CDA ∴△△，23HF CF AD CD ∴==， 3,4AD EF ==，24323EH EF HF ∴=-=-⨯=， EF BC ∥，B AEH ∴∠=∠，EAH BAC ∠=∠ ，∽AEH ABC ∴△△，13EH AE BC AB ∴==，3326BC EH ∴==⨯=，故答案为：6．【点睛】本题考查相似比求线段长，涉及平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解决问题的关键．16.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点G 为ABC 的重心，过点G 作GD BC ∥交AB 于点D ．已知310sin 5AB B ==，，那么GD 的长为________．【答案】83【解析】【分析】如图所示，连接CG 并延长交AB 于O ，过点O 作OH GD ⊥于H ，先由重心的定义得到O 为AB 的中点，则152OC OB AB ===，得到OCB OBC ∠=∠，再由平行线的性质推出OGD ODG ∠=∠，得到OG OD =，则2GD GH =，由重心的性质求出53OG =，解Rt OGH 求出43GH =，则823GD GH ==．【详解】解：如图所示，连接CG 并延长交AB 于O ，过点O 作OH GD ⊥于H ，∵点G 为ABC 的重心，90ACB ∠=︒∴O 为AB 的中点，∴152OC OB AB ===，∴OCB OBC ∠=∠，∵GD BC ∥，∴OGD OCB ODG OBC ==∠∠，∠∠，∴OGD ODG ∠=∠，∴OG OD =，∵OH GD ⊥，∴2GD GH =，由重心的性质可知1533OG OC ==，在Rt OGH 中，3sin sin 5OGH B ==∠，∴sin 1OH OG OGH =⋅=∠，∴43GH ==，∴823GD GH ==，故答案为：83．【点睛】本题主要考查了重心的性质与定义，直角三角形斜边上的中线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．17.魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD 、四边形EFGD 和四边形EAIH 都是正方形．如果图中EMH ∆与DMI ∆的面积比为169，那么tan GDC ∠的值为_________________．【答案】47【解析】【分析】先判定EMH 和DMI △相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，容易得到相似比为43，多次运用正方形的四条边相等，勾股定理，可分别求出CG 、CD ，即可求解．【详解】解：在EMH 和DMI △中，EMH DMI ∠=∠，EHM DIM ∠=，EMH DMI∴ EMH 面积：DMI △面积169=43EH DI ∴= 四边形EAIH 为正方形EH AI ∴=，即43AI DI =则7AD AI DI =+=在ADE V 中，根据勾股定理：DE =四边形EFGD 、ABCD 为正方形DG DE ∴==7CD AD ==根据勾股定理：CG =4tan 7CG GDC CD ∴∠==．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定、勾股定理．18.我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线12l l ∥，1l 与2l 之间的距离是3，“等高底”ABC ∆的“等底”BC 在直线1l 上（点B 在点C 的左侧），点A 在直线2l 上，AB =，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到111A B C ∆，点A C 、的对应点分别为点11A C 、，那么1AC 的长为____________．【答案】3-【解析】【分析】根据题意分情况画出相应图，然后根据旋转性质找到线段对应关系求解即可．【详解】解：当如下图所示时，3BC =，AB ==，点A 到直线1l 的距离为3，∴=45ABC ∠︒，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到111A B C ∆，113AC A B BC =-=-；当如下图所示时，3BC =，AB ==，点A 到直线1l 的距离为3，∴45ABD ∠=︒，135ABC ∠=︒，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到111A B C ∆，145ABA ∠=︒，1A B AB ==∴190A BC ∠=︒，∴在1Rt A BC △中，1A C ==故答案为：3-．【点睛】本题考查了旋转性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，分情况讨论并画出相应图像是解题关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算：cos 245°tan302sin60︒-︒＋cot 230°.【答案】196.【解析】【分析】把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．【详解】原式＝22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭23332＋)2＝1123-＋3＝196.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记各特殊角度的三角函数值．20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A 和()5,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）将此抛物线沿x 轴向左平移()0m m >个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点C ，求m 的值．【答案】（1）265y x x =-+，点C 的坐标是()0,5（2）6【解析】【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点C 的坐标；（2）把二次函数配方得到顶点式，根据题目进行平移解题即可．【小问1详解】解：把()1,0A 和()5,0B 代入2y x bx c=++010255b c b c =++⎧⎨=++⎩，解得65b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式为265y x x =-+∴当0x =时，5y =∴点C 的坐标是()0,5【小问2详解】()226534y x x x =-+=--设平移后的抛物线表达式为()234y x m =-+-把()0,5C 代入得()25034m =-+-解得126,0m m ==∵0m >，∴6m =【点睛】本题考查二次函数的解析式和抛物线的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．21.如图，在Rt ABC 中，290,9,sin 3BAC BC B ∠=︒==，点E 在边AC 上，且2AE EC =，过点E 作DE BC ∥交边AB 于点D ，ACB ∠的平分线CF 交线段DE 于点F ，求DF 的长．【答案】4【解析】【分析】在Rt ABC △中，得出AC ，由DE BC ∥得出ADE ABC △△∽，根据相似三角形的性质得出23DE AE BC AC ==，得出6DE =，由CF 平分ACB ∠，得出ACF BCF ∠=∠，继而得出2EF EC ==，即可求解．【详解】解：∵29,sin 3BC B ==在Rt ABC △中，2sin 963AC BC B =⋅=⨯=∵2AE EC =，∴2EC =，∵DE BC ∥，∴ADE ABC△△∽∴23DE AE BC AC ==∵9BC =，∴6DE =，∵DE BC ∥，∴EFC BCF ∠=∠，∵CF 平分ACB ∠，∴ACF BCF ∠=∠，∴EFC ACF∠=∠∴2EF EC ==，∴4DF =【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明ADE ABC △△∽是解题的关键．22.如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．AB 是缓降器的底板，压柄BC 可以绕着点B 旋转，液压伸缩连接杆DE 的端点D E 、分别固定在压柄BC 与底板AB 上，已知12cm BE =．（1）如图2，当压柄BC 与底座AB 垂直时，DEB ∠约为22.6︒，求BD 的长；（2）现将压柄BC 从图2的位置旋转到与AB 成37︒角（即37ABC ∠=︒），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆DE 的长．（结果保留根号）（参考数据：5125sin 22.6,cos 22.6tan 22.6131312︒≈︒≈︒≈；343sin37,cos37,tan37554︒≈︒≈︒≈）【答案】（1）5cm（2【解析】【分析】（1）根据正切即为对边与邻边的比可得答案；（2）过点D 作DH BE ⊥，垂足为H ，在Rt BDH △中，根据三角函数解直角三角形求出,BH DH 的值，根据EH BE BH =-求出EH 的长度，然后根据勾股定理可得DE 的长度．【小问1详解】解：在Rt BDE △中，5tan 12tan 22.612512BD BE BED =⋅∠=⨯︒≈⨯=，答：此时BD 的长约为5cm ；【小问2详解】过点D 作DH BE ⊥，垂足为H ，在Rt BDH △中，cos 5cos374BH BD DBE =⋅∠=︒≈，sin 5sin 373DH BD DBE =⋅∠=︒≈，∴1248EH BE BH =-=-=，在Rt DEH △中，DE ==，答：此时液压伸缩连接杆DE ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键．23.如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点F ，ADB ACB ∠=∠．（1）求证：ABD ACD ∠=∠；（2）过点A 作AE DC ∥交BD 于点E ，求证：EF BC AD AF = ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先证明AFD BFC ，再证明ABF DCF V :V ，即可求证；（2）先证明FAE FBA △△ ，再证明AFD BFC ，即可求证．【小问1详解】证明：∵,ADB ACB AFD BFC ∠=∠∠=∠，∴AFD BFC∴AF DF BF CF =，即AF BF DF CF=，∵AFB DFC ∠=∠，∴ABF DCF V :V ，∴ABD ACD ∠=∠．【小问2详解】证明：∵AE DC ∥，∴FAE ACD ∠=∠，∵ACD ABF ∠=∠，∴FAE ABF ∠=∠，∵AFE AFB Ð=Ð，∴FAE FBA △△ ，∴EF AF AF BF=∵AFD BFC ，∴AF AD BF BC =∴EF AD AF BC =即EF BC AD AF = ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2240y x kx k k =-+-<的顶点为P ，抛物线与y 轴交于点A ．（1）如果点A 的坐标为()0,4，点()3,B m -在抛物线上，连接AB ．①求顶点P 和点B 的坐标；②过抛物线上点D 作DM x ⊥轴，垂足为M ，DM 交线段AB 于点E ，如果DE EM =，求点D 的坐标；（2）连接OP ，如果OP 与x 轴负半轴的夹角等于APO ∠与POA ∠的和，求k 的值．【答案】（1）①顶点()15P -，；点()31B -，；②点()24D -，；（2）2k =【解析】【分析】（1）①把()0,4A 代入224y x kx k =-+-求出解析式，化为一般式，即可求出顶点坐标；把B （3，m ）代入求出m 的值即可得点B 坐标；②先求出AB 的解析式，根据DE EM =，列出等式即可求点D 的坐标．（2）过点P 分别作PQ x ⊥轴，PN y ⊥轴，垂足为Q 、N ，构建直角三角形，从而得到POQ PAN ∠=∠，tan tan POQ PAN ∠=∠，即可建立等式求出k 的值．【小问1详解】解：如图1，①把()0A ，4代入224y x kx k =-+-，∴44k -=，解得1k =-，∴抛物线的表达式为()222415y x x x =--+=-++∴顶点()15P -，把()3B m -，代入224y x x =--+，得1m =，∴点()31B -，，②∵()0A ，4，()31B -，可得直线AB 的解析式为4y x =+，设()224D t t t --+，，则()()4,0E t t M t +，，，∵DE EM =，∴234t t t --=+，解得122t t ==-∴点()24D -，．【小问2详解】解：如图2，过点P 分别作PQ x ⊥轴，PN y ⊥轴，垂足为Q 、N ，由题意可得，点()04A k -，，∵()222244y x kx k x k k k =-+-=--+-，∴()24P k k k -，，由题意可得POQ APO POA ∠=∠+∠，∵PAN APO POA ∠=∠+∠，∴POQ PAN ∠=∠，即tan tan POQ PAN ∠=∠，∴22444k k k k k k k--=--+，解得1222k k ==，∵0k <，∴2k =的关键．25.如图，在ABC 中，310,sin 5AB AC B ===，点D E 、分别在边AB BC 、上，满足CDE B ∠=∠．点F 是DE 延长线上一点，且ECF ACD ∠=∠．（1）当点D 是AB 的中点时，求tan BCD ∠的值；（2）如果3AD =，求CF DE的值；（3）如果BDE △是等腰三角形，求CF 的长．【答案】（1）1tan 4BCD ∠=（2）107CF DE =（3）CF =【解析】【分析】（1）过点A 作AG BC ⊥，过点D 作DH BC ⊥，垂足分别为G H 、，利用310,sin 5AB AC B ===求出BG 、BH 、DH 的长，即可得出结论；（2）证明DCE BCD ∽和CFD CAB △∽△，得出CF CA DE BD=，代入数值即可得出结论；（3）分三种情况讨论，DEB B ∠=∠，BDE B ∠=∠，BDE DEB ∠=∠，进而得出结论．【小问1详解】过点A 作AG BC ⊥，过点D 作DH BC ⊥，垂足分别为G H 、，∵310,sin 5AB AC B ===，∴在Rt ABG △中，cos 8BG AB B == ，∵AB AC =，∴216BC BG ==，∵点D 是AB 的中点，∴5BD =，在Rt BDH △中，cos 4BH BD B == ，sin 3DH BD B == ，∴16412CH =-=，在Rt CDH △中，31tan 124DH BCD CH ∠===；【小问2详解】∵,CDE B DCE BCD ∠=∠∠=∠，∴DCE BCD ∽，∴DE CD BD BC =，∵ECF ACD ∠=∠，∴ACB DCF ∠=∠，∵CDE B ∠=∠，∴CFD CAB △∽△，∴CF CD CA CB =，∴CF DE CA BD =，即CF CA DE BD=，∵3AD =，∴7BD =，∴107CF DE =；【小问3详解】∵BDE △是等腰三角形，①DEB B ∠=∠，∵CDE B ∠=∠，∴CDE DEB ∠=∠，∴CD BC ∥，∴舍去；②BDE B ∠=∠，∵CDE B ∠=∠，∴290CDB B ∠=∠<︒，∵90CDB A ∠>∠>︒，∴舍去；③BDE DEB ∠=∠，∴BD BE =，过点E 作EP BD ⊥，垂足为P ，可得44331,,55555BP BE BD EP BE BD DP BD =====，105DE BD ==∴，由DCE BCD ∽得DE CD BD BC=，即10516BD CD BD =，∴CD =由（2）可得，CFD CAB △∽△，CF CD CA CB =，∴161051016CF =，可得CF =综合①②③，CF =【点睛】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．第25页/共25页。
2023年上海市长宁区中考数学一模试卷及答案解析
2023年上海市长宁区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．（4分）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8B．6C．4D．12．（4分）下列各组图形中一定是相似形的是（）A．两个等腰梯形B．两个矩形C．两个直角三角形D．两个等边三角形3．（4分）将抛物线y＝﹣x2+4向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2+4B．y＝﹣（x+1）2+4C．y＝﹣x2+5D．y＝﹣x2+34．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝3，AB＝5，那么∠A的余弦值为（）A．B．C．D．5．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（）A．B．C．D．6．（4分）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（）A．﹣3B．﹣4C．0D．﹣1二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）已知，那么的值为．8．（4分）计算：＝．9．（4分）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．10．（4分）如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为．11．（4分）小杰沿着坡度i＝1：2.4的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了米．12．（4分）已知抛物线y＝（1+m）x2在y轴左侧的部分是上升的，那么m的取值范围是．13．（4分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．14．（4分）如图，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的长等于．15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点G为△ABC的重心，若AC＝6，tan∠ABG ＝，那么AG的长等于．16．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，正方形EFGH的边FG在△ABC的边AB上，顶点E、H分别在边AC、BC上，如果其面积为24，那么AF•BG的值为．17．（4分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，∠ABE的平分线交边AD于点F，联结EF，如果正方形ABCD的面积为12，且CE＝2，那么cot（∠BEF﹣∠DFE）的值为．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），点C为图示中正方形网格交点之一（点O除外），如果以A、B、C为顶点的三角形与△OAB相似，那么点C 的坐标是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：．20．（10分）如图，已知D是△ABC边AC上一点，且AD：DC＝2：3，设，．（1）试用、表示；（2）直接在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）21．（10分）已知y关于x的函数﹣2tx﹣3是二次函数．（1）求t的值并写出函数解析式；（2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．22．（10分）某校开展数学周系列活动，举办了“测量”为主题的实践活动．小杰所在小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示：无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，测得大楼顶部D 的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D 的俯角为45°．已知A、C两点在同一水平线上，根据以上信息，请帮小杰小组计算大楼的高度．（结果保留根号）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且AD＝AB，边BC的垂直平分线EF交边AC于点E，BE交AD于点G．（1）求证：△BDG∽△CBA；（2）如果△ADC的面积为180，且AB＝18，DG＝6，求△ABG的面积．24．（12分）已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P、D分别在射线CB、射线AC上，且满足∠APD＝∠ABC．（1）当点P在线段BC上时，如图1．①如果CD＝4.8，求BP的长；②设B、P两点的距离为x，AP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（2）当BP＝1时，求△CPD的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程）25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和B（4，0），与y 轴交于点C，O为坐标原点，且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ．当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．2023年上海市长宁区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．【分析】根据成比例线段的概念可得a：c＝c：b，可求d的值．【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝3，∴a：b＝c：d，即1：2＝3：d，解得：d＝6．故选：B．【点评】此题考查了比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键．2．【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形．【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，等腰梯形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个等腰梯形、两个矩形都不一定是相似形，故选：D．【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．3．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y＝﹣x2+4向右平移1个单位向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4．故选：A．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．4．【分析】利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，∴cos A＝＝，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴＝，∴＝＝，∴＝﹣1＝﹣1＝＝，故选：C．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．【分析】假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答案．【解答】解：假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，把（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）代入函数解析式得：，解得，函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝﹣2时，y＝5，故选：D．方法二：解：假设函数经过（0，﹣3），（2，﹣3），则对称轴为直线x＝1，此时y＝﹣4，函数值最小，∴函数开口向上，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，而表格中，x＝﹣2时，y＝﹣1，由题意不符，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，求是二次函数的解析式解题关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．【分析】直接利用已知变形，进而得出b＝4a，进而带入计算得出答案．【解答】解：∵，∴b＝4a，∴＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．8．【分析】先去括号，然后计算加减法．【解答】解：＝﹣+2﹣3＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了平面向量的知识，乘法分配率同样能应用于平面向量的计算过程中，属于基础题．9．【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得结论．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，∴两个三角形的相似比为，1：3，∴它们的周长比是1：3，故答案为：1：3．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长之比等于相似比．10．【分析】根据平面向量的定义即可解决问题．【解答】解：∵向量与单位向量的方向相反，且，∴＝﹣5．故答案为：＝﹣5．【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．11．【分析】设坡度的高为x米，根据勾股定理，列方程求解．【解答】解：设坡度的高为x米（x＞0），则水平距离为：2.4x米，则：x2+（2.4x）2＝1302，解得：x＝50，故答案为：50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡脚问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键．12．【分析】由抛物线在y轴左侧的部分是上升的，可得抛物线开口向下，进而求解．【解答】解：∵抛物线y＝（1+m）x2在y轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴1+m＜0，∴m＜﹣1，故答案为：m＜﹣1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．13．【分析】由a＞0可得抛物线开口方向，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解．【解答】解：∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵y＝ax2﹣2ax+2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∵1﹣（﹣1）＞2﹣1，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系．14．【分析】由AD∥BE∥CF，可得＝，即＝，可解得DF＝18，从而EF＝DF ﹣DE＝12．【解答】解：如图：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝5，DE＝6，AC＝15，∴＝，解得DF＝18，∴EF＝DF﹣DE＝18﹣6＝12，故答案为：12．【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，列出比列式．15．【分析】延长BG交AC于F，过G作GD⊥AB于G，直线DG交BC于E，证明△DBE∽△ABC，得＝，同理可得＝＝＝，即有＝，根据G为△ABC 的重心，AC＝6，得DE＝4，DG＝GE＝2，又tan∠ABG＝，可得BD＝6，有AD＝3，由勾股定理可得答案．【解答】解：延长BG交AC于F，过G作GD⊥AB于G，直线DG交BC于E，如图：∵GD⊥AB，∠BAC＝90°，∴DE∥AC，∠BDE＝∠BAC＝90°，∵∠DBE＝∠ABC，∴△DBE∽△ABC，∴＝，同理可得＝＝＝，∴＝，∵G为△ABC的重心，∴AF＝CF，＝，∴DG＝GE，＝，∵AC＝6，∴DE＝4，∴DG＝GE＝2，∵tan∠ABG＝，∴＝，即＝，∴BD＝6，∵＝＝2，∴AD＝3，∴AG＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．16．【分析】由正方形EFGH面积为24，可得EF＝GH＝2，∠EFG＝∠HGF＝90°＝∠EFA＝∠HGB，又∠C＝90°，即可得∠AEF＝∠B，故△AEF∽△HBG，有＝，从而AF•BG＝24．【解答】解：∵正方形EFGH面积为24，∴EF＝GH＝2，∠EFG＝∠HGF＝90°＝∠EFA＝∠HGB，∴∠A+∠AEF＝90°，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠AEF＝∠B，∴△AEF∽△HBG，∴＝，∴＝，∴AF•BG＝24，故答案为：24．【点评】本题考查正方形性质和相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理，证明△AEF∽△HBG．17．【分析】过E作EG∥AD交AB于G，由正方形ABCD的面积为12，CE＝2，可得cot∠EBC＝＝＝，即可得cot∠BEG＝，而∠BEF﹣∠DFE＝∠BEF﹣∠FEG ＝∠BEG，故cot（∠BEF﹣∠DFE）＝．【解答】解：过E作EG∥AD交AB于G，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∵正方形ABCD的面积为12，∴BC＝2，∵CE＝2，∴cot∠EBC＝＝＝，∵EG∥AD，AD∥BC，∴EG∥BC，∴∠BEG＝∠EBC，∴cot∠BEG＝，∵EG∥AD，∴∠DFE＝∠FEG，∴∠BEF﹣∠DFE＝∠BEF﹣∠FEG＝∠BEG，∴cot（∠BEF﹣∠DFE）＝．故答案为：．【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，把∠BEF﹣∠DFE转化为∠BEG．18．【分析】△AOB是两条直角边的比为1：2的直角三角形，分别以A，B，C为直角顶点，画出两条直角边的比为1：2的直角三角形即可得到答案．【解答】解：由图可知，△AOB是两条直角边的比为1：2的直角三角形，在方格中画出与△OAB相似的三角形，如图：∴点C的坐标是（1，2）或（4，4）或（5，2），故答案为：（1，2）或（4，4）或（5，2）．【点评】本题考查相似三角形及图形与坐标，解题的关键是分类讨论思想的应用．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、分母有理化分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝+＝+（2﹣）＝+﹣＝﹣1．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．20．【分析】（1）利用三角形法则求出，再求出，根据＝+，可得结论；（2）利用三角形法则作出图形即可．【解答】解：（1）∵＝+，∴＝+，∵AD：DC＝2：3，∴＝AC＝+，∴＝+＝﹣++＝﹣+；（2）如图，，即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．21．【分析】（1）根据二次函数的定义得到t+2≠0且t2﹣2＝2，然后解关于t的方程可得到满足条件的t的值，从而得到抛物线解析式；（2）利用配方法把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）根据题意得t+2≠0且t2﹣2＝2，解得t＝2，所以抛物线解析式为y＝4x2﹣4x﹣3；（2）y＝4x2﹣4x﹣3＝4（x﹣）2﹣4，∵a＝4＞0，∴该二次函数图像的开口向上，顶点坐标为（，﹣4），对称轴为直线x＝．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．22．【分析】由已知可得：∠CBG＝30°，∠DBG＝∠FED＝45°，BE＝50米，设BG＝EF＝x米，可得2x＝50，解得BG＝DG＝25米，在Rt△BGC中，CG＝，即得CD＝CG+DG＝（+25）米．【解答】解：如图：由已知可得：∠CBG＝30°，∠DBG＝∠FED＝45°，BE＝50米，设BG＝EF＝x米，则DG＝DF＝x米，∴GF＝2x米，∵GF＝BE，∴2x＝50，解得x＝25，∴BG＝DG＝25米，在Rt△BGC中，tan∠CBG＝，∴CG＝×25＝，∴CD＝CG+DG＝（+25）米，答：大楼的高度为（+25）米．【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．23．【分析】（1）由AB＝AD得到∠ABD＝∠ADB，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，则∠EBC＝∠C，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；（2）由（1）知△BDG∽△CBA，可得＝，而AB＝18，DG＝6，即可得＝，＝180，故S△ABD＝90，因AG＝12，＝，即得S△ABG＝S△＝，又S△ADCABD＝×90＝60．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵EF垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠C，∵∠GBD＝∠C，∠BDG＝∠CBA，∴△BDG∽△CBA；（2）解：由（1）知△BDG∽△CBA，∴＝，∵AB＝18，DG＝6，∴＝＝，∴＝，∴＝，＝180，∵S△ADC＝90，∴S△ABD∵AC＝AB＝18，DG＝6，∴AG＝12，∴＝，∴＝，＝S△ABD＝×90＝60．∴S△ABG【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及三角形面积，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．24．【分析】（1）①证明△ABP∽△PCD，得＝，即＝，可解得BP的长为4或12；②由△ABP∽△PCD，有＝，可得CD＝，AD＝AC﹣CD＝10﹣，而△PAD∽△CAP，知PA2＝AC•AD，故y2＝10×[10﹣]＝100﹣16x+x2，即可得到答案；（2）过A作AH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，由AH⊥BC，AB＝AC，BH＝8，AH ＝＝6，结合（1）知当BP＝1，即x＝1时，CD＝＝，CP＝BC﹣BP＝15，证明△AHC∽△DGC，可得DG＝，故△CPD的面积为，当P在CB延长线上时，同理可得△CPD的面积为．【解答】解：（1）①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠APD+∠DPC＝∠B+∠BAP，且∠APD＝∠B，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∵CD＝4.8，AB＝10，∴＝，BC＝16，解得x＝4或x＝12，∴BP的长为4或12；②由（1）△ABP∽△PCD，∴＝，∵B、P两点的距离为x，∴＝，∴CD＝，∴AD＝AC﹣CD＝10﹣，∵∠B＝∠C，∠APD＝∠ABC，∴∠C＝∠APD，∵∠PAD＝∠CAP，∴△PAD∽△CAP，∴＝，∴PA2＝AC•AD，∴y2＝10×[10﹣]＝100﹣16x+x2，∴y＝，∵16﹣x＞0，∴x＜16，∴y＝（0＜x＜16）；（2）过A作AH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，当P在边BC上时，如图：∵AH⊥BC，AB＝AC，∴BH＝BC＝8＝CH，∴AH＝＝6，由（1）知当BP＝1，即x＝1时，CD＝＝，CP＝BC﹣BP＝15，∵AH⊥BC于H，DG⊥BC，∴∠AHC＝90°＝∠DGC，∠C＝∠C，∴△AHC∽△DGC，∴＝，∴＝，∴DG＝，∴△CPD的面积为×15×＝，当P在CB延长线上时，如图：由△ABP∽△PCD可得CD＝，由△AHC∽△DGC可得DG＝，∴△CPD的面积为×17×＝，综上所述，△CPD的面积为或．【点评】本题考查三角形综合应用，涉及三角形相似的判定与性质，三角形面积，动点问题等，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理及应用．25．【分析】（1）求出C（0，4），用待定系数法可得y＝x2﹣5x+4；（2）由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m+4），由OC＝PQ，有﹣m2+4m＝4，即可解得Q（2，﹣2）；（3）可得直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，知A在直线DQ上，AD＝，AC＝，过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，根据∠DQE＝2∠ODQ，可得直线AQ和直线QE关于直线QH对称，有∠DAO＝∠QAH＝∠QGH＝∠EGB，GH＝AH＝1，G（3，0），从而可得直线QE的表达式为y＝2x﹣6，点E的坐标为（5，4），即得△EKB ∽△COA，∠EBK＝∠CAO，故∠DAC＝∠GEB，△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点，设点F的坐标为（t，2t﹣6），当△BEF∽△CAD时，有＝，解得F（4，2）；当△BEF∽△DAC时，＝，解得F（1.6，﹣2.8）．【解答】解：（1）∵B（4，0），OB＝OC，∴C（0，4），把A（1，0），B（4，0），C（0，4）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：，∴y＝x2﹣5x+4；（2）由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m+4），则Q（m，m2﹣5m+4），∴PQ＝﹣m+4﹣（m2﹣5m+4）＝﹣m2+4m，∵OC∥PQ，要使四边形OCPQ恰好是平行四边形，只需OC＝PQ，∴﹣m2+4m＝4，解得m＝2，∴Q（2，﹣2）；（3）在直线QE上存在点F，使得△BEF与△ADC相似，理由如下：∵D是OC的中点，点C（0，4），∴点D（0，2），由（2）知Q（2，﹣2），∴直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，∵A（1，0），∴A在直线DQ上，AD＝，AC＝，过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，如图：∵QH∥CO，故∠AQH＝∠ODQ，∵∠DQE＝2∠ODQ，∴∠HQA＝∠HQE，∴直线AQ和直线QE关于直线QH对称，∴∠DAO＝∠QAH＝∠QGH＝∠EGB，GH＝AH＝1，∴G（3，0），由点Q（2，﹣2），G（3，0）可得直线QE的表达式为y＝2x﹣6，联立，解得或，∴点E的坐标为（5，4），∵B（4，0），∴BK＝1，EK＝4，BE＝，∴＝＝，∵∠EKB＝90°＝∠COA，∴△EKB∽△COA，∴∠EBK＝∠CAO，∴∠CAO﹣∠DAO＝∠EBK﹣∠EGB，即∠DAC＝∠GEB，∴△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点，设点F的坐标为（t，2t﹣6），则EF＝，当△BEF∽△CAD时，有＝，∴＝，解得t＝4或t＝6（在E右侧，舍去），∴F（4，2）；当△BEF∽△DAC时，＝，∴＝，解得t＝8.4（舍去）或t＝1.6，∴F（1.6，﹣2.8），综上所述，F的坐标为（4，2）或（1.6，﹣2.8）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，相似三角形等知识，解题的关键是证明∠DAC＝∠GEB，从而得到△BEF与△ADC相似，点E与点A 是对应点．第16页（共16页）。
2023年上海市嘉定区中考数学一模试卷【答案版】
2023年上海市嘉定区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） A ．y ＝（a +2）x 2+1 B ．y =1x 2+1 C ．y ＝（x +2）（x +1）﹣x 2D ．y ＝2x 2+3x2．抛物线y =12x 2−2一定经过点（ ） A ．（0，2）B ．（2，0）C ．（4，0）D ．（0，4）．3．如果把Rt △ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的四个三角比的值（ ） A ．都扩大为原来的3倍 B ．都缩小为原来的13C ．都没有变化D ．都不能确定4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，那么∠A 的正弦值是（ ） A ．3√1010B ．√1010C ．3D ．135．已知非零向量a →、b →、c →，下列条件中不能判定a →∥b →的是（ ） A ．a →=2b →B ．|a →|=2|b →|C ．a →∥c →，b →∥c →D ．a →=c →，b →=2c →6．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，它们依次交直线l 4、l 5于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，如果DE ：DF ＝3：5，AC ＝12，那么BC 的长等于（ ）A ．2B ．4C ．245D ．365二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知ab=34，那么a−b a+b= ．8．已知抛物线y ＝（a ﹣1）x 2+2x 开口向下，那么a 的取值范围是 ． 9．将抛物线y ＝x 2+6x 向右平移4个单位，得到的新抛物线表达式是 ．10．已知点A （1，y 1）、B （3，y 2）在二次函数y ＝﹣x 2+2的图象上，那么y 1 y 2（填“＞”、“＝”、“＜”）．11．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴是直线x ＝1，如果此抛物线与x 轴的一个交点的坐标是（3，0），那么抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 ．12．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，cosB =13，那么AB 的长是 ．13．如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，BD ⊥AD ，如果BC ＝4，cot ∠CDB =32，那么BD ＝ ．14．如图，某飞机在离地面垂直距离1000米的上空A 处，测得地面控制点B 的俯角为60°，那么飞机与该地面控制点之间的距离AB 等于 米（结果保留根号）．15．如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AB ＝3AE ，设AB →=a →，AD →=b →，那么CE →= ．16．如图，已知在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的中线，且相交于点F ，过点F 作FG ∥AC ，那么DG BC= ．17．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，如果S △ADE ＝4，S △BDF ＝9，那么S △ABC ＝ ．18．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝3，AD是BC边上的中线（如图）．将△ABC绕着点C 逆时针旋转，使点A落在线段AD上的点E处，点B落在点F处，边EF与边BC交于点G，那么DG 的长是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：3tan45°•cot60°+2|sin30°﹣1|−cot45°．tan60°+2cos45°20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，5）、B（0，3）、C（﹣1，﹣3）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．21．（10分）如图，已知在平行四边形ABCD中，E是AD边上的一点，CE与BD相交于点F，CE与BA 的延长线相交于点G，DE＝3AE，CE＝12．求GE、CF的长．22．（10分）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30°．（点F、G都在直线HB上）（1）求FG的长（结果保留根号）；（2）山峰高度AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）23．（12分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边CB、AC的延长线上，且∠DAB＝∠EBC，EB的延长线交AD于点F．（1）求证：△DBF∽△EBC；（2）如果AB＝BC，求证：EC2＝DF•DA．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，4）、B（3，﹣4）两点，且与y轴的交点为点C．（1）求此抛物线的表达式及对称轴；（2）求cot∠OBC的值；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBC是以BC为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由．25．（14分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点E、F分别在边AC、边BC上（点E不与点A 重合，点F 不与点B 重合），联结EF ，将△CEF 沿着直线EF 翻折后，点C 恰好落在边AB 上的点D 处．过点D 作DM ⊥AB ，交射线AC 于点M ．设AD ＝x ，CF CE=y ，（1）如图1，当点M 与点C 重合时，求MD ED的值；（2）如图2，当点M 在线段AC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当CM CE=12时，求AD 的长．2023年上海市嘉定区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） A ．y ＝（a +2）x 2+1 B ．y =1x 2+1 C ．y ＝（x +2）（x +1）﹣x 2D ．y ＝2x 2+3x解：A 、y ＝（a +2）x 2+1（a ≠﹣2），是二次函数，故A 不符合题意； B 、y =1x 2+1，不是二次函数，故B 不符合题意； C 、y ＝（x +2）（x +1）﹣x 2＝3x +2，是一次函数，故C 不符合题意； D 、y ＝2x 2+3x ，是二次函数，故D 符合题意； 故选：D ．2．抛物线y =12x 2−2一定经过点（ ） A ．（0，2）B ．（2，0）C ．（4，0）D ．（0，4）．解：当x ＝0时，y ＝﹣2，故A 和D 不正确． 当y ＝0时，12x 2−2=0，解得x ＝2或﹣2．故选：B ．3．如果把Rt △ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的四个三角比的值（ ） A ．都扩大为原来的3倍 B ．都缩小为原来的13C ．都没有变化D ．都不能确定解：如果把Rt △ABC 的三边长度都扩大3倍，锐角A 不变，锐角三角函数值不变． 故选：C ．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，那么∠A 的正弦值是（ ） A ．3√1010B ．√1010C ．3D ．13解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3， ∴AB =√AC 2+BC 2=√12+32=√10， ∴sin A =BCAB =3√10=3√1010， 故选：A ．5．已知非零向量a →、b →、c →，下列条件中不能判定a →∥b →的是（ ）A ．a →=2b →B ．|a →|=2|b →|C ．a →∥c →，b →∥c →D ．a →=c →，b →=2c →解：∵向量a →、b →、c →为非零向量，a →=2b →， ∴a →与b →方向相同， ∴a →∥b →，∵|a →|＝2|b →|，不能说明方向相同或相反， ∴不能判定a →∥b →； ∵a →∥c →，b →∥c →， ∴a →∥b →；∵a →=c →，b →=2c →， ∴a →与b →方向相同， ∴a →∥b →，故选项B 符合题意， 故选：B ．6．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，它们依次交直线l 4、l 5于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，如果DE ：DF ＝3：5，AC ＝12，那么BC 的长等于（ ）A ．2B ．4C ．245D ．365解：∵DE ：DF ＝3：5，EF ＝DF ﹣DE ， ∴EF ：DF ＝2：5． ∵l 1∥l 2∥l 3， ∴BC AC=EF DF，∴BC 12=25，∴BC =245． 故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知ab=34，那么a−ba+b= −17 ．解：∵a b=34，∴设a ＝3k ，b ＝4k ， ∴a−b a+b=3k−4k 3k+4k=−17．故答案为：−17．8．已知抛物线y ＝（a ﹣1）x 2+2x 开口向下，那么a 的取值范围是 a ＜1 ． 解：∵y ＝（a ﹣1）x 2+2x 的开口向下， ∴a ﹣1＜0，解得a ＜1， 故答案为：a ＜1．9．将抛物线y ＝x 2+6x 向右平移4个单位，得到的新抛物线表达式是 y ＝（x ﹣1）2﹣9（或y ＝x 2﹣2x ﹣8） ．解：∵y ＝x 2+6x ＝（x +3）2﹣9，∴将抛物线y ＝x 2+6x 向右平移4个单位，得到的新抛物线表达式是y ＝（x +3﹣4）2﹣9，即y ＝（x ﹣1）2﹣9．故答案为：y ＝（x ﹣1）2﹣9（或y ＝x 2﹣2x ﹣8）．10．已知点A （1，y 1）、B （3，y 2）在二次函数y ＝﹣x 2+2的图象上，那么y 1 ＞ y 2（填“＞”、“＝”、“＜”）．解：∵y ＝﹣x 2+2，∴抛物线开口向下，对称轴为y 轴， ∴当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∵点A （1，y 1）、B （3，y 2）在二次函数y ＝﹣x 2+2的图象上，1＜3， ∴y 1＞y 2． 故答案为：＞．11．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴是直线x ＝1，如果此抛物线与x 轴的一个交点的坐标是（3，0），那么抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 （﹣1，0） ．解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝1， ∴交点（3，0）到对称轴的距离是2，根据对称性可得另一交点到对称轴的距离等于2， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（﹣1，0）．12．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，cosB =13，那么AB 的长是 9 ． 解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由cos B =BCAB 得AB =BCcosB =313=9，故答案为：9．13．如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，BD ⊥AD ，如果BC ＝4，cot ∠CDB =32，那么BD ＝ 6 ．解：∵DC ∥AB ， ∴∠ABD ＝∠CDB ， ∴cot ∠ABD ＝cot ∠CDB =32，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ＝4，cot ∠ABD =BDAD ， ∴BD AD=32，即：BD 4=32，∴BD ＝6． 故答案为：6．14．如图，某飞机在离地面垂直距离1000米的上空A 处，测得地面控制点B 的俯角为60°，那么飞机与该地面控制点之间的距离AB 等于2000√33米（结果保留根号）．解：如图：由题意得：AC ⊥BC ，∠DAB ＝60°，DA ∥BC ， ∴∠ABC ＝∠DAB ＝60°， 在Rt △ABC 中，AC ＝1000米， ∴AB =ACsin60°=1000√32=2000√33（米）， ∴飞机与该地面控制点之间的距离AB 等于2000√33米，故答案为：2000√33．15．如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AB ＝3AE ，设AB →=a →，AD →=b →，那么CE →= −23a →−b →．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴BC →=AD →=b →， ∵AB ＝3AE ， ∴BE =23AB ，∴BE →=−23AB →=−23a →，∴CE →=BE →−BC →=−23a →−b →．故答案为：−23a →−b →．16．如图，已知在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的中线，且相交于点F ，过点F 作FG ∥AC ，那么DG BC=16．解：∵AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的中线，∴DF AD =13，DC =12BC ， ∵FG ∥AC ，∴DG DC =DF AD =13， ∴DG BC =16．故答案为：16．17．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，如果S △ADE ＝4，S △BDF ＝9，那么S △ABC ＝ 25 ．解：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴∠ADE ＝∠DBF ，∠AED ＝∠ACB ，∠BFD ＝∠ACB ，∴∠AED ＝∠BFD ，∴△ADE ∽△BDF ，∵S △ADE ＝4，S △BDF ＝9，∴S △ADE S △BDF =49， ∴AD DB =23， ∴AD AB =25， ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，又∵AD AB =25， ∴S △ADES △ABC =(25)2=425，∵S △ADE ＝4，∴S△ABC＝25．故答案为：25．18．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝3，AD是BC边上的中线（如图）．将△ABC绕着点C 逆时针旋转，使点A落在线段AD上的点E处，点B落在点F处，边EF与边BC交于点G，那么DG的长是3√1026．解：如图，过点C作CH⊥AD于H，过点D作DN⊥EF于N，∵∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝3，∴BC=√AC2+BC2=√1+9=√10，∵AD是BC边上的中线，∴AD＝CD＝BD=√102，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠BAC＝90°＝∠CHA，∴∠DAC+∠ACH＝90°＝∠DCA+∠B，∴∠B＝∠ACH，∴sin B＝sin∠ACH=AHAC=ACBC，∴AH=AC⋅ACBC=1×1√10=√1010，∵tan B＝tan∠ACH=ACAB=AHCH=13，∴CH＝3AH=3√10 10，∵将△ABC绕着点C逆时针旋转，∴CE＝AC＝1，∠CEF＝∠BAC＝90°，∴AH＝AE=√1010，∠CEH+∠DEN＝90°，∴DE＝AD﹣AH﹣HE=√102−√1010−√1010=3√1010，∵∠CEH+∠HCE＝90°，∴∠HCE＝∠DEN，又∵∠CHE＝∠DNE＝90°，∴△CEH ∽△EDN ，∴CE DE=HE DN ， ∴3√1010=√1010DN ，∴DN =310， ∵∠CEG ＝∠DNG ，∠DGN ＝∠CGE ，∴△CGE ∽△DGN ，∴DG CG =DNCG =3101=310， ∵CG +DG ＝CD =√102， ∴DG =3√1026， 故答案为：3√1026．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：3tan45°•cot60°+2|sin30°﹣1|−cot45°tan60°+2cos45°． 解：3tan45°•cot60°+2|sin30°﹣1|−cot45°tan60°+2cos45° ＝3×1×√33+2×|12−1|1√3+2×√22 =√3+1−(√3−√2)=1+√2．20．（10分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过A （1，5）、B （0，3）、C （﹣1，﹣3）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．解：（1）由题意把A （1，5）、B （0，3）、C （﹣1，﹣3）代入二次函数y ＝ax 2+bx +c ，可得：{a +b +c =5c =3a −b +c =−3，解得：{a =−2b =4c =3．∴二次函数解析式为y ＝﹣2x 2+4x +3；（2）y ＝﹣2x 2+4x +3＝﹣2（x ﹣1）2+5，∴顶点坐标是（1，5）．21．（10分）如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 是AD 边上的一点，CE 与BD 相交于点F ，CE 与BA 的延长线相交于点G ，DE ＝3AE ，CE ＝12．求GE 、CF 的长．解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，AB ∥DC ．∵点G 在BA 延长线上，∴GA ∥DC ．∴AE ED =GE EC ．∵DE ＝3AE ，CE ＝12，∴13=GE 12，即GE ＝4．∵AD ∥BC ，∴ED BC =EF FC ．∵DE ＝3AE ，DE +AE ＝AD ，∴ED AD =34．∵AD ＝BC ，∴ED BC =EF FC =34．∵EF +FC ＝EC ，∴FC CE =47．∵CE ＝12，∴FC 12=47， 即FC =487．综上，GE ＝4，FC =487．22．（10分）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．如图2，为测量海岛上一座山峰AH 的高度，直立两根高2米的标杆BC 和DE ，两杆间距BD 相距6米，D 、B 、H 三点共线．从点B 处退行到点F ，观察山顶A ，发现A 、C 、F 三点共线，且仰角为45°；从点D 处退行到点G ，观察山顶A ，发现A 、E 、G 三点共线，且仰角为30°．（点F 、G 都在直线HB 上）（1）求FG 的长（结果保留根号）；（2）山峰高度AH 的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）解：（1）由题意得：CB ⊥FH ，ED ⊥HG ，在Rt △FBC 中，∠BFC ＝45°，BC ＝2，∴BF =BC tan45°=2（米）， 在Rt △DEG 中，∠G ＝30°，DE ＝2，∴DG =DE tan30°=√33=2√3（米）， ∵BD ＝6米，∴FG ＝BD +DG ﹣BF ＝6+2√3−2＝（4+2√3）米， ∴FG 的长为（4+2√3）米；（2）设AH＝x米，在Rt△AHF中，∠AFH＝45°，∴FH=AHtan45°=x（米），∵FG＝（4+2√3）米，∴HG＝HF+FG＝（x+4+2√3）米，在Rt△AHG中，∠G＝30°，∴HG=AHtan30°=AH√33=√3AH，∴x+4+2√3=√3x，解得：x＝5+3√3≈10.2，∴AH＝10.2米，∴山峰高度AH的长约为10.2米．23．（12分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边CB、AC的延长线上，且∠DAB＝∠EBC，EB的延长线交AD于点F．（1）求证：△DBF∽△EBC；（2）如果AB＝BC，求证：EC2＝DF•DA．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠ABC、∠ACB分别是△ADB和△BCE的外角，∴∠ABC＝∠DAB+∠D，∠ACB＝∠EBC+∠E，∵∠DAB＝∠EBC，∴∠D＝∠E．又∠DBF＝∠EBC，∴△DBF∽△EBC．（2）∵∠DBF＝∠EBC，∠DAB＝∠EBC，∴∠DBF＝∠DAB．∵∠D ＝∠D ，∴△DBF ∽△DAB ，∴DB DA =DF DB ，即DB 2＝DA •DF ．在△ADB 和△BEC 中，{∠D =∠E∠DAB =∠EBC AB =BC，∴△ADB ≌△BEC （AAS ），∴BD ＝EC ，∴EC 2＝DF •DA ．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A （﹣1，4）、B （3，﹣4）两点，且与y 轴的交点为点C ．（1）求此抛物线的表达式及对称轴；（2）求cot ∠OBC 的值；（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点P 坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）根据题意：{1−b +c =49+3b +c =−4， 解得{b =−4c =−1， ∴抛物线表达式为y ＝x 2﹣4x ﹣1．∴抛物线的对称轴为：直线x ＝2．（2）∵抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣1与 y 轴相交于点C ，∴C 点坐标是（0，﹣1），作BM ⊥y 轴，垂足为M ．作OH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ．∵B （3，﹣4），∴CM ＝BM ＝3，BC =3√2，∴∠MCB ＝∠HCO ＝45°．∵OC ＝1，∴CH =OH =√22．∴BH =BC +CH =3√2+√22=7√22．∴cot ∠OBC =BH OH =72√222=7．（3）存在，理由如下：∵BC 为直角边，∴只可能有两种情况：∠PCB ＝90°或∠PBC ＝90°．设点P 坐标为（x ，x 2﹣4x ﹣1）①当∠PBC ＝90°，作PT ⊥BN ，垂足为T ，作CK ⊥BN ，垂足为K ．∴PT ＝3﹣x ，BT ＝4x ﹣x 2﹣3．∵∠CBK ＝45°，∠PCB ＝90°，∴∠BPT ＝45°，∴PT ＝BT ；∴3﹣x ＝4x ﹣x 2﹣3，可求得x 1＝2，x 2＝3（舍）．∴P 2（2，﹣5）；②当∠PCB ＝90°，作PQ ⊥y 轴，垂足为Q ．∴PQ ＝x ，QC ＝x 2﹣4x ．∵∠MCB ＝45°，∠PCB ＝90°，∴∠QCP ＝45°，∴PQ ＝QC ；∴x ＝x 2﹣4x ，可求得x 1＝0（舍），x 2＝5．∴P 1（5，4）；综上所述，点P 的坐标是（5，4）或（2，﹣5）．25．（14分）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，点E 、F 分别在边AC 、边BC 上（点E 不与点A 重合，点F 不与点B 重合），联结EF ，将△CEF 沿着直线EF 翻折后，点C 恰好落在边AB 上的点D 处．过点D 作DM ⊥AB ，交射线AC 于点M ．设AD ＝x ，CF CE =y ，（1）如图1，当点M 与点C 重合时，求MD ED 的值；（2）如图2，当点M 在线段AC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当CM CE =12时，求AD 的长． 解：（1）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，∴∠A ＝60°，BC =2√3，AC ＝2，∵DM ⊥AB ，∴∠ADM ＝90°，∵AC ＝2，∠A ＝60°，∴MD =√3，由题意可得：CE =ED =12CA =1，∴MD ED =√3．（2）由题意可知：CE ＝DE ，CF ＝DF ，∠EDF ＝∠C ＝90°， ∴CF CE =DF DE =y ，∵∠MDF +∠FDB ＝90°，∠EDM +∠MDF ＝90°， ∴∠FDB ＝∠EDM ，在Rt △ADM 中，∠ADM ＝90°，∠A ＝60°，AD ＝x ， ∴∠AMD ＝30°，DM =√3x ，∴∠B ＝∠AMD ，∴△FDB ∽△EDM ，∴DF DE =DB DM ，∵AD ＝x ，AB ＝4，∴DB ＝4﹣x ，∴y =4√3−√3x 3x（4−2√3＜x ≤1）． （3）①当点M 在线段AC 上时，∵CM CE =12， ∴EM CE =EM DE =12， 由（2）得△FDB ∽△EDM ，∴FB EM =FD ED ， 即FB FD =EM ED =12， ∴FB FC =12，∵BC =2√3，∴CF =DF =4√33，BF =2√33，过点F 作FH ⊥AB ，垂足为点H ，∴BH ＝1，FH =√33，在Rt △DFH 中，DH 2＝DF 2﹣FH 2， ∴DH 2＝（4√33）2﹣（√33）2＝5，∴DH =√5（负值舍去），∴AD =3−√5．②当点M 在AC 的延长线上时， ∵CM CE =12，∴CE ME =DE ME =23，由题意得∠M ＝∠B ，∠EDM ＝∠FDB ， ∴△EDM ∽△FDB ，∴ED FD =EM FB ，即FB FD =EM ED =32，∴FB FC =32，∵BC =2√3，∴CF =DF =4√35，BF =6√35，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为点G ．∴BG =95，FG =3√35，DG =√215，∴AD =11−√215． 综上，AD =3−√5或11−√215．。
上海市2024届长宁区中考数学一模
考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本调研卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤上海市2024届长宁区中考数学一模.一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每小题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．在Rt △ABC 中，∠C =90º，如果∠A =α，BC =a ，那么AC 等于 （A ）a ⋅tan α； （B ）a ⋅cot α；（C ）asin α； （D ）acos α． 2．下列关于抛物线y x x =+−223的描述正确的是（A ）该抛物线是上升的； （B ）该抛物线是下降的；（C ）在对称轴的左侧该抛物线是上升的； （D ）在对称轴的右侧该抛物线是上升的． 3．已知点C 在线段AB 上，且满足2=⋅AC BC AB ,那么下列式子成立的是（A ）AC BC =−512； （B ）AC AB =−512； （C ）BC AB =−512； （D ）BC AC =−352． 4．已知a 为非零向量，且=−3b a ，那么下列说法错误的是 （A ）=−13a b ； （B ）=b a ||3||；（C ）b a +=30； （D ）//b a ．5．如果点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，由下列哪一组条件可以推出DE ∥BC （A ）AD BD = 23 ，CE AE = 23 ； (B) AD AB = 23 ，DE BC = 23 ； （C ） AB AD = 32 ，EC AE = 12 ； (D) AB AD = 43 ，AE EC = 43 ．6．已知在△ABC 与△A'B'C'中，点D 、D'分别在边BC 、B'C'上，（点D 不与点B 、C 重合， 点D'不与点B'、C'重合）．如果△ADC 与△A D C '''相似，点A 、D 分别对应点A'、D'， 那么添加下列条件可以证明△ABC 与△A'B'C'相似的是 ①AD 、A'D'分别是△ABC 与△A'B'C'的角平分线； ②AD 、A'D'分别是△ABC 与△A'B'C'的中线； ③AD 、A'D'分别是△ABC 与△A'B'C'的高．（A ）①②； （B ）②③； （C ）①③； （D ）①②③．二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．如果=x y 53（x 、y 均不为零），那么+x x y :()的值是 ▲ ． 891011 ．12 ． 13．已知向量a 与单位向量e 方向相反，且a =||3，那么a = ▲ ．（用含向量e 的式子表示）14．已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为 15．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，且BC = 5，AD =3，矩形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和如果EH =2EF ，那么EH = ▲ ．16．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，点G 是△ABC 的重心，联结GA 、GC ，如果AC =3，AG =53，那么∠GCA 的余切值为 ▲ ． 17．我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在△ABC 中，AB =AC =10，点D 、E 都在边BC 上，AD =AE =5， 如果△ABC 与△ADE 是友好三角形，那么BC 的长为 ▲ ．18．如图，在矩形ABCD 中，AD =8，AB =4，A C 是对角线，点P 在边BC 上，联结DP ，将△DPC 沿着直线DP 翻折，点C 的对应点Q 恰好 落在△ADC 内，那么线段BP 的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知抛物线y x x =++2241．（1）用配方法把y x x =++2241化为=++y a(x m)k 2的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；ABCD EF第11题图、 G ACBHFED 第15题图A B C G第16题图ABCD第18题图（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点14（，），求平移后的抛物线的顶点坐标．20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 、AC 相交于点F ． （1）设AB a =，AD b =，试用a 、b 表示EF ；（2）先化简，再求作：32)(2)a b a b +−+（2（直接作在图中）．21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AC ⊥BC ，DE ⊥AC ， 垂足为点E ，AC =4，DE =3． （1）求:AD AB 的值；（2）联结BD 交AC 于点F ，如果BAC ∠=tan 12，求CF 的长．22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）小题8分）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在P 点观察所测物体最高点C ，量角器零刻度线上A 、B 两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O ．当铅锤静止时，测得视线PC 与铅垂线OD 所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF 的高度．他先站在水平地面的点H 处，视线为GE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R 处，视线为QE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH 、QR 、EF 在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF 的高度．（结果保留根号）23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在△ABC 中，点、D E 分别是、BC AD 的中点，AFE DCB第20题图 AE DC B 第21题图AF E图1 第22题图 A B O CP βαD 图2Q R 图3且=AD AC ，联结CE 并延长交AB 于点F ． （1）证明：△ABC ∽△DCE ； （2）证明：=4BF EF ． 24．（本题满分12分，每小题4分）已知抛物线122=++y x bx c 与x 轴交于、A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线y x =−−6经过点A 与点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果、C F 两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当⊥DF CF 时，求∠PDF 的正切值； ②如果PD :DE=3:5，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知△ABC 中，∠=∠ABC C 2，BG 平分∠ABC ，=AB 8，=AG 316，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的点（点D 不与点B 、C 重合)，且∠=∠ADE ABC ，AD 、BG 相交于点F ．（1）求BC 的长；（2） 如图1，如果=BF CE 2，求BF :GF 的值； （3）如果△ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 长．ABCGA BC G DEFA BC G AOB yC x第24题图AOB yC x备用图7一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ；2．D ；3．B ；4．C ；5．C ；6．A ．二．填空题：（本大题共12题，满分48参考答案分）．38； 8．−31； 9．23； 10．4:9； 11．6； 12．−11； 13．3e −→；14．1:2.4； 15．3011； 16．32； 17．85； 18．<<BP 46． 三、解答题（本大题共7题, 满分78分）19. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）=+−y x 2112)( (2分)开口方向向上，对称轴直线=−x 1，顶点坐标−−1,1)(； (3分)（2）设平移后的解析式为 =+−+y x m 2112)( (1分)代入点1,4)( ，得 =−+m 481，=−m 3 (2分)∴平移后的解析式为： y x （）=+−2214(1分) ∴平移后的顶点坐标为−−1,4)(. (1分) 20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）解：（1）∵平行四边形ABCD ， ∴AD BC //，=AD BC (1分)∵E 是AD 的中点，∴=12AE AD ，∴AE BC =12∵AD BC //， ∴==FB BC EF AE 21 ∴=EF EB 31 (1分) ∵ 、EF EB →→方向相同 ∴13EF EB =→→(1分) ∵E 是AD 的中点，且EA →与EB →反向，∴12EA AD =−→→， (1分)∵AB a =，AD b =，∴1=EB EA AB b a +=−+2 (1分)∴111EF EB a b ==−336(1分)（2）原式=2332a b a b +−−→→→→=12a b −−→→ (2分) 作图 (1分) 结论 (1分)21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）∵⊥DE AC ∴∠=︒AED 90 ∴，中∆∠∠=︒Rt AED ADE EAD +90∵∠=∠+∠=︒BAD BAC EAD 90 ∴∠=∠ADE BAC (1分)∵⊥AC BC ∴ ACB 90∠=︒ ∴∠=∠ACB AED (1分) ∴∽∆∆AED BCA ， ∴=AD AB DEAC(2分) ∵DE AC ，==34， ∴AD AB =34(1分) （2）∵ 在∆Rt ABC 中，ACB 90∠=︒，∴tan ∠=BAC BCAC∵BAC AC ，∠==tan 124 ∴BC =2 (1分)∵∽∆∆AED BCA ∴AE BC DE AC ==34 ∴AE =32(1分) ∴CE AC AE =−=52(1分) ∵⊥⊥DE AC BC AC , ∴DE BC // ∴EF FC DE BC ==32(1分)∴ =25CF CE ∴=CF 1 (1分)22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）小题8分） 解：（1）90︒−α(2分)（2）延长GQ 交EF 于点M.由题意可知∠EGM=30°，∠EQM=45°， GQ =10米 ， MF=1.6米 (2分) 设EM =x ，则QM =x ， GM =10+x ， (1分) ∵在∆Rt EGM 中，∠EMQ=90︒ ，∴ tan ∠=EGM EM GM ， ∴ xx ︒=+tan 3010 ， (1分)∴ x =+535 (2分)∴ =+=++=+EF EM MF ..535165366米 (1分) 答: 大楼房EF 的高度为+53 6.6米. （1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵=AD AC ∴∠=∠ADC ACD 即 ∠=∠EDC ACB （1分） ∵D 、E 分别是BC 、AD 的中点 ∴==AC AD ED ED 21，=BC CD 21（2分）∴=AC BCED CD（1分） ∴∆ABC ∽∆DCE （1分）（2）∵=AD AC ∴∠=∠ADC ACD∵∆ABC ∽∆DCE ∴∠=∠ECD B ∴=CF BF （2分） ∵∠=∠+∠ADC B FAE ，∠=∠+∠ACD ECD ACF∴∠=∠FAE ACF （1分） ∵∠=∠AFE CFA ∴∆AFE ∽∆CFA （1分）∴===AF CF AC EF AF AE 21（1分） ∴=⋅=CF AF CF EF EF AF 41（1分） ∴=BF EF 41∴=BF EF 4 （1分） 24．（本题满分12分，每小题4分）（1）解：由=−−y x 6过x 轴上点A ，又过y 轴上点C ，令=y 0，得=−x 6，∴−A 6,0)( （1分） 令=x 0，得=−y 6，∴−C 0,6)( （1分）由于抛物线=++y x bx c 212过点A 、C ， ∴⎩−+=⎨⎧=−b c c 18606，⎩=−⎨∴⎧=c b 62（1分）∴=+−y x x 22612（1分） （2）① 解：已知抛物线y x x =+−21226与轴交于、A B 两点（点A 在点B 的左侧） 令 =y 0，得=−x 6或=x 2，∴B 2,0)( （1分）(0,6)C −、点F 关于直线=−x 2对称， ∴−−F 4,6)( （1分）∴⊥CF CO DF CF ⊥ ∴DF CO // ∴∠=∠FDC OCD //PD BC ∴∠=∠PDC BCD∴∠−∠=∠−∠PDC FDC BCD OCD 即∠=∠PDF BCO （1分） ∴∠=∠==CO PDF BCO BO 3tan tan 1（1分） ②解：分别过点、D P 作⊥DG y 轴，⊥PH y 轴，垂足为、G H//PE BC ∴∠=∠DEG OCB ∴∠=∠=DEG OCB 3tan tan 1（1分）在∆Rt DEG 中，∠==EG DEG DG 3tan 1∴设==DG t EG t 5,15在∆Rt DCG 中，∠==CGDCG DGtan 1 ∴ =CG t 5⊥DG y 轴，⊥PH y 轴，∴DG PH //∴===PH EH EP DG EG ED 85∴==PH t EH t 8,24，∴=−=CH EH EC t 4，∴=+OH t 64 （1分）∴−−−P t t 8,64)( （1分） 把−−−P t t 8,64)(代入=+−y x x 22612得−−=−+⨯−−t t t 264(8)2(8)612解得：=t 83，去舍=t 0()，⎝⎭ ⎪∴−−⎛⎫P 23,15 （1分）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）（1）解： ABC C ∠=∠2， BG 平分∠ABC∴∠=∠=∠ABG CBG CBAG CAB ∠=∠ ABG ACB ∴∆∆（1分）∴==AB AC BC AG AB BG GBC C ∠=∠ =BG CG （1分）8,AB AG ==316 +∴==CG BC CG38163816∴=CG 320=BC 10（2分） （2）解： 过点G 作GH BC // ，交 AD 于HADC ABD BAD ∠=∠+∠，∠=∠+∠ADC ADE EDC ，∠=∠ABD ADE ∴∠=∠BAD EDC ABG C ∠=∠， ABF DCE ∴∆∆ （1分）∴=AB BF CD CE2,8BF CE AB ==，∴=CD 4 10BC =∴=BD 6 （1分）162033AG CG ==, ， ∴=+=AC AG CG 12//GH CD ∴=CD AC GH AG 即 =GH412316∴=GH 916 （1分）//GH BD ∴==GF GH BF BD 827（1分）（3）解：①当=AD AE 时，∠=∠ADE AEDADE ABC C ∠=∠=∠2，∠=∠+∠AED EDC C∴∠=∠EDC C BAD EDC ∠=∠ ∴∠=∠BAD C（1分） ABD CBA ∠=∠ ABD CBA∴∆∆（1分） ∴=AB BC BD AB =BD 8108 =BD 532 （1分） ②当=AD DE 时，在BC 上在取点M ，使得∠=∠CEM C ，则=ME MC DME C CEM C ∠=∠+∠=∠2 ∠=∠ABD C 2 ∴∠=∠DME ABDBAD EDM ∠=∠ =AD DE ∴∆≅∆ABD DME（1分）∴==AB DM 8 ==BD ME MC （1分） BC BD DM MC =++ =++BD BD 108 ∴=BD 1（1分） 综上，325BD =或1。
2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷(含答案)
2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷（测试时间 100 分钟，满分150）一、选择题（本大题共6题，每题4分。
满分24分)1. 下列函数中，二次函数是(C) (D)2. 已知点A(1,2)在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为a，那么cosa 的值为(A)3. ，设4. 如图，传送带和底面所成斜坡的坡度为1:3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，那么物体从点A到点B所经历的路程为米5. 如图，在垂足为点D，下列结论中，错误的是(B) (D)6. 如图，在，AG平分D在边AB上，线段CD与AG交于点E，且下列结论中，错误的是(A)(C) (D)二、填空题（本大题共12题，每题2分。
满分24分）7. 计算：=8. =9. 如果函数，那么=10. 如果两个相似三角形周长之比是2:3，那么它们的对应高之比等于11. 已知点P时线段MN的黄金分割点（MP>NP）如果MN=10，那么线段MP=12. 已知在中，AB=13，BC=17，tanB=AC=13. 在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是14. 向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m=15. 广场喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（m）关于水珠和喷头的水平距离x达到的最大高度为米16.如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高和最低位置时的高度差为厘米，（）17.如图，已知在四边形ABCD,AB=CB，点E、F分别在线段AB、AD上，如果CE BF的值为18.如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD绕点C旋转，使点B恰好落在对角线AC A、D分别与边AD交于点M、N，那么线段MN的长为三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）在平面直角坐标系xOy中，点A(1,m)、B(3,n)上。
2023年上海市嘉定区中考一模数学答案
2022学年九年级学业水平调研数学试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D ；2．B ；3．C ；4．A ；5．B ；6．C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．71；8．1<a ；9．9)1(2--=x y （或822--=x x y ）；10．>；11．）（0,1-；12．9；13．6；14．332000；15．b a --32；16．61；17．25；18．26103．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=2223112123313⨯+--⨯+⨯⨯．…………………………（6分）=)23(13--+．……………………………………………（3分）=21+．……………………………………………………………（1分）20．解：（1）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==++335c b a c c b a …………………………………………（3分）可求得⎪⎩⎪⎨⎧==-=342c b a ………………………………………………………（2分）∴3422++-=x x y ……………………………………………………（1分）（2）由配方法可知：5122+--=）（x y ．…………………………………（2分）∴顶点坐标是）（5,1．……………………………………………………（2分）图921．解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC AB BC AD BC AD ∥∥,,=．…………………………………（1分）∵点G 在BA 延长线上，∴DC GA ∥．∴ECGEED AE =．…………………（1分）∵AE DE 3=，12=CE ，∴1231GE =，…………………（1分）即4=GE ．…………………（1分）∵BC AD ∥，∴FCEFBC ED =．…………………………………………（1分）∵AE DE 3=，AD AE DE =+，∴43=AD ED ．………………………（1分）∵BC AD =，∴43==FC EF BC ED ．……………………………………（1分）∵EC FC EF =+，∴74=CE FC ．………………………………………（1分）∵12=CE ，∴7412=FC ，………………………………………………（1分）即748=FC ．………………………………………………………………（1分）22．解：（1）Rt △ABC 中，︒=∠45BFC ，2=BC ，BFBCBFC =∠tan ，…（1分）∴12=BF，即2=BF ．………………………………………………（1分）∵6=BD ，∴4=-=BF BD FD ．…………………………………（1分）Rt △DEG 中，︒=∠30G ，2=DE ，DGEDG =tan ，∴DG233=，即32=DG ．…（1分）∵DG FD FG +=，∴324+=FG （米）．（1分）（2）设x AH =，根据题意得x HF =，则2-=x BH ．…………………（1分）Rt △GHA 中，︒=∠30G ，∵324++=+=x FG HF GH ，∴324tan ++==x xGH AH G ，∴32433++=x x ，…………………………………………………（1分）∴2.10533≈+=x （米）．…………………………………………（2分）答：山峰高度AH 的长约为2.10米．………………………………………（1分）图8图1023．证明：（1）∵AC AB =，∴ACB ABC ∠=∠．…………………………………………………………（1分）∵ABC ∠、ACB ∠分别是△ADB 和△BCE 的外角，∴D DAB ABC ∠+∠=∠，E EBC ACB ∠+∠=∠…………………………（2分）∵EBC DAB ∠=∠，∴E D ∠=∠．………………………（1分）又EBC DBF ∠=∠，…………………（1分）∴△DBF ∽△EBC ．………………（1分）（2）∵EBC DBF ∠=∠，EBCDAB ∠=∠∴DAB DBF ∠=∠．…………………………………………………………（1分）∵D D ∠=∠，∴△DBF ∽△DAB ，………………………………………………………（1分）∴DBDFDA DB =，即DF DA DB ⋅=2．……………………………………（1分）在△ADB 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AB EBC DAB E D ∴△ADB ≌△BEC （S A A ..），…………………………………………（1分）∴EC BD =，……………………………………………………………（1分）∴DA DF EC ⋅=2．………………………………………………………（1分）24．解：（1）根据题意：⎩⎨⎧-=++=+-43941c b c b ，可求得⎩⎨⎧-=-=14c b ．……………（2分）∴抛物线表达式为142--=x x y ．………………………………………（1分）对称轴：直线2=x ．……………………………………………………（1分）（2）∵抛物线142--=x x y 与y 轴相交于点C ，∴C 点坐标是)1,0(-．（1分）作y BM ⊥轴，垂足为M ．作BC OH ⊥，交BC 的延长线于点H ．∵)4,3(-B ，∴3==BM CM ，23=BC ，∴︒=∠=∠45HCO MCB ．∵1=OC ，∴22==OH CH ，………（1分）∴2272223=+=+=CH BC BH ．……（1分）∴722227cot ===∠OH BH OBC ．……………（1分）（3）∵BC 为直角边，∴只可能有两种情况：︒=∠90PCB 或︒=∠90PBC ．设点P 坐标为)14,(2--x x x ①当︒=∠90PCB ，作y PQ ⊥轴，垂足为Q ．易得x PQ =，x x QC 42-=．∵︒=∠45MCB ，︒=∠90PCB ，∴︒=∠45QCP ，∴QC PQ =．……………（1分）∴x x x 42-=，可求得01=x （舍），52=x ．∴），（451P ……………（1分）②当︒=∠90PBC ，同理作BN PT ⊥，垂足为T ，作BN CK ⊥，垂足为K ．易得x PT -=3，342--=x x BT ．∵︒=∠45CBK ，︒=∠90PCB ，∴︒=∠45BPT ，∴BT PT =．…………（1分）∴3432--=-x x x ，可求得21=x ，32=x （舍）．∴），（522-P ……………（1分）∴综上所述，点P 的坐标是），（45或），（52-．25．解：（1）Rt △ABC 中，∵︒=∠90ACB ，︒=∠30B ，4=AB ，∴︒=∠60A ，32=BC ，2=AC ．…………（1分）∵AB DM ⊥，∴︒=∠90ADM ．∵2=AC ，︒=∠60A ，∴3=MD ．…（1分）由题意易得：121===CA ED CE ．…………（1分）∴3=EDMD．…………………………………（1分）（2）由题意可知：DE CE =，DF CF =，︒=∠=∠90C EDF ，∴y DEDFCE CF ==．（1分）∵︒=∠+∠90FDB MDF ，︒=∠+∠90MDF EDM ，∴EDM FDB ∠=∠．Rt △ADM 中，∵︒=∠90ADM ，︒=∠60A ，x AD =，∴︒=∠30AMD ，DM 3=，∴AMD B ∠=∠，∴△FDB ∽△EDM ．……（1分）∴DMDBDE DF =．…………………………………………………………………………（1分）∵x AD =，4=AB ，∴x DB -=4．∴xxy 3334-=（1324≤<-x ）……（2分）（3）①当点M 在线段AC 上时，∵21=CE CM ，∴21==DE EM CE EM ．由(2)得△FDB ∽△EDM ，∴ED FD EM FB =，即21==ED EM FD FB ，∴21=FC FB ．…（1分）∵32=BC ，∴334==DF CF ，332=BF ．过点F 作AB FH ⊥，垂足为点H ．易得1=BH ，33=FH ，5=DH ．∴53-=AD ．…………………………（1分）②当点M 在AC 的延长线上时，∵21=CE CM ，∴32==ME DE ME CE ．由题意易证B M ∠=∠，FDB EDM ∠=∠，∴△EDM ∽△FDB ．…………（1分）∴FB EM FD ED =，即23==ED EM FD FB ，∴23=FC FB ．………………………………（1分）∵32=BC ，∴534==DF CF ，536=BF ．过点F 作AB FG ⊥，垂足为点G ．易得59=BG ，533=FG ，521=DG ．∴52111-=AD ．……………………（1分）综上，53-=AD 或52111-．。
2023上海宝山区中考数学一模试卷及答案
2023年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）已知线段a 、b ，如果:2:3a b =，那么下列各式中一定正确的是()A ．23a b=B ．5a b +=C ．52a b a +=D ．312a b +=+2．（4分）在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果:1:3AD BD =，那么下列条件中能判断//DE BC 的是()A ．14AE AC =B ．14AE EC =C ．14AD AB =D ．14DE BC =3．（4分）已知非零向量a 、b 、c ，下列条件中，能判定向量a与向量b 方向相同的是()A ．//a c，//b cB ．||2||a b =C ．0a b +=D ．3,2a c b c== 4．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,1)A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为β，那么tan β的值是()A ．2B ．12C ．5D 5．（4分）将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为()A ．2y x =B ．23y x =-C ．(y =23)3x ++D ．(y =23)3x -+6．（4分）已知ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =、4BC =．以C 为圆心作C ，如果圆C 与斜边AB 有两个公共点，那么圆C 的半径长R 的取值范围是()A ．1205R <<B ．125R <C ．1235R < D ．1245R < ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段2a =，8b =，如果线段c 是a 、b 的比例中项，那么c =．8．（4分）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为厘米．9．（4分）计算：2()3()a b a b --+=．10．（4分）如果抛物线2y ax =的开口方向向下，那么a 的取值范围是．11．（4分）抛物线2(1)2y x =--+的对称轴是．12．（4分）正六边形的一个外角的度数为︒．13．（4分）已知圆O 的半径为1，A 是圆O 内一点，如果将线段OA 的长记为d ，那么d 的取值范围是．14．（4分）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为y 平方米，那么y 关于x 的函数解析式为．（不要求写出定义域）15．（4分）如图，在ABC ∆中，已知线段EF 经过三角形的重心G ，//EF AB ，四边形ABFE 的面积为215cm ，那么ABC ∆的面积为2cm ．16．（4分）已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于．17．（4分）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为．18．（4分）如图，已知ABC ∆中，2AB AC ==，36A ∠=︒．按下列步骤作图：步骤1：以点B 为圆心，小于BC 的长为半径作弧分别交BC 、AB 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ；步骤3：作射线BM 交AC 于点F ．那么线段AF 的长为．三、解答题（共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan 452cos 60|1cot 30|sin 601︒︒--︒+︒-．20．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A 、(2,3)B -、(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D 的横坐标为2-，试求点E 的坐标．21．（10分）如图，已知圆O 的弦AB 与直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ．（1）已知6AB =，2EC =，求圆O 的半径；（2）如果3DE EC =，求弦AB 所对的圆心角的度数．22．（10分）如图，某小区车库顶部BC 是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB ．已知平台斜坡CD 的坡度i =，坡长为6米．在坡底D 处测得灯的顶端A 的仰角为45︒，在坡顶C 处测得灯的顶端A 的仰角为60︒，求灯的顶端A 与地面DE 的距离．（结果保留根号）23．（12分）已知：如图，四边形ABCD 、ACED 都是平行四边形，M 是边CD 的中点，联结BM 并延长，分别交AC 、DE 于点F 、G ．（1）求证：2BF FM BG =⋅；（2）联结CG ，如果AB =，求证：BGC BAC ∠=∠．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -、(2,0)B ，将该抛物线位于x 轴上方的部分沿x 轴翻折，得到的新图象记为“图象U ”，“图象U ”与y 轴交于点C ．（1）写出“图象U ”对应的函数解析式及定义域；（2）求ACB ∠的正切值；（3）点P 在x 轴正半轴上，过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点E ，交“图象U ”于点F ，如果CEF ∆与ABC ∆相似，求点P 的坐标．25．（14分）如图1，在ABC ∆中，15,cot2BC AB ABC ==∠=．点D 、E 分别在边AC 、AB 上（不与端点重合），BD 和CE 交于点F ，满足ABD BCE ∠=∠．（1）求证：2CD DF DB =⋅；（2）如图2，当CE AB ⊥时，求CD 的长；（3）当CDF ∆是等腰三角形时，求:DF FB 的值．参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）已知线段a 、b ，如果:2:3a b =，那么下列各式中一定正确的是()A ．23a b=B ．5a b +=C ．52a b a +=D ．312a b +=+【分析】根据比例的性质进行判断即可．解：A 、由:2:3a b =，得32a b =，故本选项错误，不符合题意；B 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是10a b +=，故本选项错误，不符合题意；C 、由:2:3a b =，得52a b a +=，故本选项正确，符合题意；D 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是3728a b +=+，故本选项错误，不符合题意．故选：C ．【点评】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．2．（4分）在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果:1:3AD BD =，那么下列条件中能判断//DE BC 的是()A ．14AE AC =B ．14AE EC =C ．14AD AB =D ．14DE BC =【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．解：:1:3AD BD = ，∴14AD AB =，∴当14AE AC =时，AD AEAB AC=，//DE BC ∴，故A 选项能够判断//DE BC ；而C ，B ，D 选项不能判断//DE BC ．故选：A ．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．3．（4分）已知非零向量a 、b 、c ，下列条件中，能判定向量a 与向量b 方向相同的是()A ．//a c，//b cB ．||2||a b =C ．0a b +=D ．3,2a c b c== 【分析】由//,//a c b c，可得//a b ，则a 与b 的方向相同或相反；由||2||a b = 可知，a 与b 的方向相同或相反；由0a b += ，可得a b =- ，则a 与b 的方向相反，由3ac = ，2b c =，可得1132c a b == ，则a与b 的方向相同，即可得出答案．解：对于A 选项，由//,//a c b c，可得//a b ，∴a与b 的方向相同或相反，故A 选项不符合题意；对于B 选项，a与b 的方向相同或相反，故B 选项不符合题意；对于C 选项，由0a b += ，可得a b =-，∴a与b 的方向相反，故C 选项不符合题意；对于D 选项，由3a c = ，2b c =，可得1132c a b == ，∴a与b 的方向相同，故D 选项符合题意．故选：D ．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．4．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,1)A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为β，那么tan β的值是()A ．2B ．12C ．5D 【分析】过点A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，根据垂直定义可得90ABO ∠=︒，根据已知可得2OB =，1AB =，然后在Rt ABO ∆中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．解：如图：过点A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，90ABO ∴∠=︒， 点(2,1)A ，2OB ∴=，1AB =，在Rt ABO ∆中，1tan 2AB OB β==，故选：B ．【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（4分）将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为()A ．2y x =B ．23y x =-C ．(y =23)3x ++D ．(y =23)3x -+【分析】根据左加右减的平移规律求解即可．解：将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为2(3)3y x =-+，故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．6．（4分）已知ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =、4BC =．以C 为圆心作C ，如果圆C 与斜边AB 有两个公共点，那么圆C 的半径长R 的取值范围是()A ．1205R <<B ．125R <C ．1235R < D ．1245R < ．【分析】作CD AB ⊥于D ，由勾股定理求出AB ，由三角形的面积求出CD ，由AC BC >，可得以C 为圆心，4R =为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点；若C 与斜边AB 有两个公共点，即可得出R 的取值范围．解：作CD AB ⊥于D ，如图所示：90ACB ∠=︒ ，3AC =，4BC =，5AB ∴==，ABC ∆ 的面积1122AB CD AC BC =⋅=⋅，125AC BC CD AB ⋅∴==，即圆心C 到AB 的距离125d =，AC BC < ，∴以C 为圆心，4R =为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，∴若C 与斜边AB 有两个公共点，则R 的取值范围是1235R < ．故选：C ．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段2a =，8b =，如果线段c 是a 、b 的比例中项，那么c =4．【分析】根据线段比例中项的概念::a c c b =，可得216c ab ==，即可求出c 的值．解： 线段c 是a 、b 的比例中项，22816c ab ∴===，解得：4c =±，又 线段是正数，4c ∴=．故答案为：4．【点评】此题考查了比例线段，掌握比例中项的定义是解题的关键．注意线段不能是负数．8．（4分）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为18厘米．【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24x =，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键．9．（4分）计算：2()3()a b a b --+= 5a b -- ．【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可．解：2()3()a b a b --+ 2233a b a b=--- 5a b =-- ．故答案为：5a b -- ．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解答本题的关键．10．（4分）如果抛物线2y ax =的开口方向向下，那么a 的取值范围是0a <．【分析】由抛物线的开口方向与a 的关系求解．解： 抛物线2y ax =的开口方向向下，0a ∴<，故答案为：0a <．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握抛物线开口方向与a 的符号的关系．11．（4分）抛物线2(1)2y x =--+的对称轴是直线1x =．【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解．解：2(1)2y x =--+ ，∴抛物线顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线1x =，故答案为：直线1x =．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12．（4分）正六边形的一个外角的度数为60︒．【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．解： 正六边形的外角和是360︒，∴正六边形的一个外角的度数为：360660︒÷=︒，故答案为：60．【点评】本题考查了多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．13．（4分）已知圆O 的半径为1，A 是圆O 内一点，如果将线段OA 的长记为d ，那么d 的取值范围是01d < ．【分析】根据点在圆内，0d r <，可得结论．解： 点A 在圆内，01d ∴< ，故答案为：01d <．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>②点P 在圆上d r ⇔=．③点P 在圆内d r ⇔<．14．（4分）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为y 平方米，那么y 关于x 的函数解析式为(122)y x x =-．（不要求写出定义域）【分析】由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为(122)x -米，再利用矩形的面积公式，即可得出y 关于x 的函数解析式．解： 篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为x 米，∴花圃平行于墙的一边长为(122)x -米．根据题意得：(122)y x x =-．故答案为：(122)y x x =-．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 关于x 的函数解析式是解题的关键．15．（4分）如图，在ABC ∆中，已知线段EF 经过三角形的重心G ，//EF AB ，四边形ABFE 的面积为215cm ，那么ABC ∆的面积为272cm ．【分析】连接CG 并延长交AB 于H ，由G 为ABC ∆的重心，可得23CG CH =，而//EF AB ，有CEF CAB ∆∆∽，23CE CG CA CH ==，故224()39CEF CAB S S ∆∆==，设ABC S x ∆=2cm ，有1549x x -=，即可解得答案．解：连接CG 并延长交AB 于H ，如图：G 为ABC ∆的重心，2CG GH ∴=，∴23CG CH =，//EF AB ，CEF CAB ∴∆∆∽，23CE CG CA CH ==，∴23EF CE CG AB AC CH ===，∴224(39CEF CAB S S ∆∆==，设ABC S x ∆=2cm ，则2(15)CEF S x cm ∆=-，∴1549x x -=，解得27x =，故答案为：27．【点评】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形重心的性质．16．（4分）已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于7．【分析】设另一个圆的半径长为r，根据两圆内切得出25-=，再求出r即可．rr-=或25解：设另一个圆的半径长为r，内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，r-=，∴-=或25r25解得：7r=-（半径不能为负，舍去），r=或3所以另一个圆的半径长是7．故答案为：7．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，能熟练掌握圆与圆的位置关系的内容是解此题的关键，已知两圆的半径分别为a，()b a b>，两圆的圆心距为d，那么当a b d-=时，两圆的位置关系是内切．17．（4分）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为11或21．【分析】设半径长分别为13和20的A、B相交于点E、点F，24EF=，连接AE、BE，则13BE=，再分两种情况讨论，一是点A、点B在直线EF的同侧，延长BA交AE=，20EF于点C，根据“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”得90CE CF==，BCE∠=︒，12可由勾股定理求得16=-=；二是点A、点B在直线EF的AB BC ACBC=，5AC=，则11异侧，BA 交EF 于点D ，则16BD =，5AD =，21AB BD AD =+=．解：半径长分别为13和20的A 、B 相交于点E 、点F ，24EF =，连接AE 、BE ，则13AE =，20BE =，如图1，点A 、点B 在直线EF 的同侧，延长BA 交EF 于点C ，AB 垂直平分EF ，90BCE ∴∠=︒，11241222CE CF EF ===⨯=，16BC ∴===，5AC ===，16511AB BC AC ∴=-=-=；如图2，点A 、点B 在直线EF 的异侧，BA 交EF 于点D ，90BDE ADE ∠=∠=︒ ，11241222DE DF EF ===⨯=，16BD ∴==，5AD ===，16521AB BD AD ∴=+=+=，综上所述，这两个圆的圆心距为11或21，故答案为：11或21．【点评】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．18．（4分）如图，已知ABC ∆中，2AB AC ==，36A ∠=︒．按下列步骤作图：步骤1：以点B 为圆心，小于BC 的长为半径作弧分别交BC 、AB 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ；步骤3：作射线BM 交AC 于点F ．那么线段AF 的长为1．【分析】由题意得，BF 为ABC ∠的平分线，可得36ABF CBF ∠=∠=︒，进而可得AF BC =，设BC AF x ==，则2CF x =-，结合已知条件证明BCF ACB ∆∆∽，则BC CF AC BC =，即22x x x-=，求出x 的值，即可得出答案．解：由题意得，BF 为ABC ∠的平分线，ABF CBF ∴∠=∠，AB AC = ，36A ∠=︒，72ABC C ∴∠=∠=︒，36ABF CBF ∴∠=∠=︒，AF BF ∴=，18072BFC C CBF ∠=︒-∠-∠=︒，BC BF ∴=，AF BC ∴=，设BC AF x==，则2CF x=-，A CBF∠=∠，BCF ACB∠=∠，BCF ACB∴∆∆∽，∴BC CFAC BC=，即22x xx-=，解得1x=或1（舍去），1AF∴=-．1-．【点评】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan452cos60|1cot30|sin601︒︒--︒+︒-．【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．解：原式12|1|2=⨯-11)=-+112)=-+-24=---2=--．【点评】本题考查的是实数的运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．20．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A 、(2,3)B -、(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D 的横坐标为2-，试求点E 的坐标．【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标特征解决此题．（2）根据二次函数图象的对称性求得E 的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得E 的坐标．解：（1）由题意得，930a b c ++=，423a b c ++=-，3c =-．1a ∴=，2b =-．∴这个抛物线的表达式为223y x x =--．（2）由（1）得，223y x x =--．∴该抛物线的对称轴是直线1x =．点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，点D 的横坐标为2-，E ∴的横坐标是4．∴当4x =时，16835y =--=．(4,5)E ∴．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．21．（10分）如图，已知圆O 的弦AB 与直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ．（1）已知6AB =，2EC =，求圆O 的半径；（2）如果3DE EC =，求弦AB 所对的圆心角的度数．【分析】（1）连接OA ，如图，设O 的半径为r ，则OA r =，2OE r =-，先根据垂径定理得到3AE BE ==，CD AB ⊥，在Rt OAE ∆中利用勾股定理得到2223(2)r r +-=，然后解方程即可；（2）连接OB ，如图，先利用3DE EC =得到OE CE =，即12OE OA =，再利用正弦的定义得到30A ∠=︒，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算AOB ∠即可．解：（1）连接OA ，如图，设O 的半径为r ，则OA r =，2OE r =-，CD 平分AB ，3AE BE ∴==，CD AB ⊥，在Rt OAE ∆中，2223(2)r r +-=，解得134r =，即O 的半径为134；（2）连接OB ，如图，3DE EC = ，3OC OE EC ∴+=，即3OE CE OE CE ++=，OE CE ∴=，1122OE OC OA ∴==，在Rt OAE ∆中，1sin 2OE A OA == ，30A ∴∠=︒，OA OB = ，30B A ∴∠=∠=︒，180120AOB A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，即弦AB 所对的圆心角的度数为120︒．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．22．（10分）如图，某小区车库顶部BC 是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB ．已知平台斜坡CD 的坡度i =，坡长为6米．在坡底D 处测得灯的顶端A 的仰角为45︒，在坡顶C 处测得灯的顶端A 的仰角为60︒，求灯的顶端A 与地面DE 的距离．（结果保留根号）【分析】过点B 作BF DE ⊥于点F ，过点C 作CG DE ⊥于点G ，由坡度的定义及斜坡CD的坡长为6米，可得DG =米，3CG BF ==米，设BC FG x ==米，则(DF x =+米，在Rt ABC ∆中，tan 60AB AB BC x︒===，解得AB =，则(3)AF =+米，在Rt ADF ∆中，45ADF ∠=︒，可得AF DF =，即3x =+，求出x 的值，进而可得答案．解：过点B 作BF DE ⊥于点F ，过点C 作CG DE ⊥于点G ，由题意得，6CD =米，45ADF ∠=︒，60ACB ∠=，CG BF =，BC FG =，斜坡CD 的坡度i =∴CG DG =，即DG =，在Rt CDG ∆中，由勾股定理得222)6CG +=，解得3CG =，DG ∴=米，3BF =米，设BC FG x ==米，则(DF x =+米，在Rt ABC ∆中，tan 60AB AB BC x ︒===，解得AB ，(3)AF ∴=+米，在Rt ADF ∆中，45ADF ∠=︒，AF DF ∴=，即3x +=+解得3x =，(3AF ∴=+米．∴灯的顶端A 与地面DE 的距离为(3+米．【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD 、ACED 都是平行四边形，M 是边CD 的中点，联结BM 并延长，分别交AC 、DE 于点F 、G ．（1）求证：2BF FM BG =⋅；（2）联结CG ，如果AB =，求证：BGC BAC ∠=∠．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到//AB CD ，AB CD =，则2AB CM =，CM DM =，再证明ABF CMF ∆∆∽，利用相似比得到2BF AB FM CM ==，同理方法证明CMF DMG ∆∆∽，则1FM CM MG DM==，所以22BF FM MG ==，然后利用224BF FM =，24FM BG FM ⋅=可得到结论；（2）先利用AB CD =得到CD =，22CM =，则22CG CM CD CG ==，加上MCG GCD ∠=∠，则可判断CMG CGD ∆∆∽，所以MGC DEC ∠=∠，然后利用平行线的性质得到EDC ACD BAC ∠=∠=∠，从而得到结论．【解答】证明：（1） 四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =，M 是边CD 的中点，2AB CM ∴=，CM DM =，//AB CM ，ABF CMF ∴∆∆∽，∴2BF AB FM CM==， 四边形ACED 为平行四边形，//AC DE ∴，CMF DMG ∴∆∆∽，∴1FM CM MG DM==，22BF FM MG ∴==，224BF FM = ，244FM BG FM FM FM ⋅=⋅=，2BF FM BG ∴=⋅；（2）AB = ，AB CD =，CD ∴=，CM =，∴CG CD =，CM CG =，∴CG CM CD CG=，MCG GCD ∠=∠ ，CMG CGD ∴∆∆∽，MGC DEC ∴∠=∠，//AC CD ，EDC ACD ∴∠=∠，//AB CD ，BAC ACD ∴∠=∠，BAC BGC ∴∠=∠．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -、(2,0)B ，将该抛物线位于x 轴上方的部分沿x 轴翻折，得到的新图象记为“图象U ”，“图象U ”与y 轴交于点C ．（1）写出“图象U ”对应的函数解析式及定义域；（2）求ACB ∠的正切值；（3）点P 在x 轴正半轴上，过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点E ，交“图象U ”于点F ，如果CEF ∆与ABC ∆相似，求点P 的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由1122ABC S AB CO AC BH ∆=⨯⨯=⨯⨯，求出BH =（3）因为45E ABC ∠=︒=∠，故当CEF ∆与ABC ∆相似时，ECF ACB ∠=∠或BCA ∠，①当ECF ACB ∠=∠时，设：CH t =，则3HF t HE ==，则4t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，即可求解；②当ECF CAO ∠=∠时，同理可解．解：（1）由题意得：2(1)(2)2y x x x x =-+-=-++，则翻折后的函数表达式为：22y x x =--，即()222212(12)x x x x y x x x ⎧-++-=⎨---<<⎩或 ；（2）过点B 作BH AC ⊥于点H ，则1122ABC S AB CO AC BH ∆=⨯⨯=⨯⨯，即32BH ⨯=，解得：BH =则sin BH ACB BC ∠==，则tan 3ACB ∠=；（3）由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：2y x =-，设点(,0)P m ，在点(,2)E m m -，点2(,2)F m m m --或2(,2)m m m -++，则CE =，22FE m m =-+或24m -，如下图45E ABC ∠=︒=∠，故当CEF ∆与ABC ∆相似时，ECF ACB ∠=∠或BCA ∠，①当ECF ACB ∠=∠时，即tan tan 3ECF ACB ∠=∠=，在CEF ∆中，过点F 作FH CE ⊥于点H，设：CH t =，则3HF t HE ==，则4t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，解得：12m =或3414+（不合题意的值已舍去）；②当ECF CAO ∠=∠时，则tan tan 2ECF CAO ∠=∠=，同理可得：3t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，解得：23m =或23+（不合题意的值已舍去）；综上，点P 的坐标为：1(2，0)或3(4+，0)或2(3，0)或2(3+，0)．【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．25．（14分）如图1，在ABC ∆中，15,cot2BC AB ABC ==∠=．点D 、E 分别在边AC 、AB 上（不与端点重合），BD 和CE 交于点F ，满足ABD BCE ∠=∠．（1）求证：2CD DF DB =⋅；（2）如图2，当CE AB ⊥时，求CD 的长；（3）当CDF ∆是等腰三角形时，求:DF FB 的值．【分析】（1）作CG AB ⊥于G ，解直角三角形BCG ，求得BG 和CG ，进而解直角三角形ACG ，求得AC ，从而得出AC AB =，进一步得出DCF CBD ∠=∠，从而CDF BDC ∆∆∽，进一步得出结论；（2）作DG CE ⊥于G ，解直角三角形BEG ，求得112EF BE ==，3CF CE EF =-=，解Rt DCG ∆，得出3tan 4DG AE DCF CG CE ∠===，进而设3DG a =，4CG a =，5CD a =，从而32a FG =，进而由CG FG CF +=得，3432a a +=，进一步得出结果；（3）由两种情形：当CF DF =时，可推出CD BC ==作CG AB ⊥于G ，作DK BC ⊥于K ，进而证明DCK CBG ∆≅∆，从而2CK BG ==，4DK CG ==，进而求得BD ，根据（1）：2CD DF BD =⋅，求得DF ，进而求得BF ，进一步得出结果；当CD CF =时，可推出BD BC ==，作BH AC ⊥于H ，可得出4CD =，同样根据（1）2CD DF BD =⋅求得5DF =，进一步得出结果．【解答】（1）证明：如图1，作CG AB ⊥于G ，1cot 2BG ABC CG ∴∠==，cos ABC ∴∠=，2BG ∴=，24CG BG ==，3AG AB BG ∴=-=，5AC ∴=，AC AB ∴=，ACB ABC ∴∠=∠，ABD BCE ∠=∠ ，DCF CBD ∴∠=∠，CDF CDF ∠=∠ ，CDF BDC ∴∆∆∽，∴DF CD CD BD=，2CD DF DB ∴=⋅；（2）解：如图2，作DG CE ⊥于G ，CE AB ⊥ ，//DG AB ∴，FDG ABD BCE ∴∠=∠=∠，1tan tan tan 2EF BE FDG ABD BCE BE CE ∴∠=∠==∠==，112EF BE ∴==，3CF CE EF ∴=-=，在Rt DCG ∆中，3tan 4DG AE DCF CG CE ∠=== ，∴设3DG a =，4CG a =，5CD a =，32a FG ∴=，由CG FG CF +=得，3432a a +=，611a ∴=，30511CD a ∴==；（3）解：如图3，当CF DF =时，CDF ACF ∠=∠，ACF CBD ∠=∠ ，CDF CBD ∴∠=∠，CD BC ∴==，作CG AB ⊥于G ，作DK BC ⊥于K ，90DKC CGB ∴∠=∠=︒，DCB ABC ∠=∠ ，()DCK CBG AAS ∴∆≅∆，2CK BG ∴==，4DK CG ==，2BK BC CK ∴=-=，BD ∴=，由（1）知：2CD DF BD =⋅，2DF ∴==BF BD DF ∴=-=:5DF BF ∴=+如图4，当CD CF =时，CDF CFD BCD ∠=∠=∠，BD BC ∴==，作BH AC ⊥于H ，22CD DH CH ∴==，4BH CG ==，2DH BG ==，4CD ∴=，由（1）知：2CD DF BD =⋅，24DF ∴=，DF ∴=852555BF BD DF ∴=-==，:4:1DF FB ∴=，综上所述：DF ；5FB =+或4:1．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质及分类，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理清线段之间的关系．。
上海市初三中考数学一模模拟试题【含答案】
上海市初三中考数学一模模拟试题【含答案】一、 选择题( 本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案填在答题卷相应的位置上) 1. 63a a ÷结果是 （ ）A .3aB .2aC . 9aD .3a -2.在函数y =x 的取值范围 （ ） A .1x ≤ B .1x ≥ C .1x < D . 1x >3．江苏省占地面积约为107200平方公里．将107200用科学记数法表示应为（ ）A ．0.1072×106B ．1.072×105C ．1.072×106D ．10.72×1044．如图，∠1＝50°，如果AB ∥DE ，那么∠D 的度数为（ ） A . 40° B . 50° C . 130° D . 140°5、若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6． 若1=x 是方程052=+-c x x 的一个根，则这个方程的另一个根是 （ ）A ．－2B ．2C ．4D ．－57. 已知一个圆锥的侧面积是10πcm 2，它的侧面展开图是一个圆心角为144°的扇形，则这个圆锥的底面半径为 （ ）A . 45cm BC . 2 cm D.8. 如图，在楼顶点A 处观察旗杆CD 测得旗杆顶部C 的仰角为30°，旗杆底部D 的俯角为45°.已知楼高9AB = m ，则旗杆CD 的高度为（ ）A. (9+mB. (9+mC.D.C（第4题）1ABDE第10题9． 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，以B 为圆心BC 为半径画弧交AD 于点E ，连接CE ，作BF ⊥CE ，垂足为F ，则tan ∠FBC 的值为（ ）10. 如图，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，动点P 从点A 出发，以2cm /s 的速度沿A →C →B运动，到达B 点即停止运动，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，设运动时间为x （s ），△ADP 的面积为y （cm 2），则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卷相应的位置上) 11．在实数范围内分解因式：1642-m = ．12. 已知a －2b ＝－5，则8－3a ＋6b 的值为 ． 13. 一组数据2、3、4、5、6的方差等于 ．14．抛物线241y x x =-+的顶点坐标为 第15题 15．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠AOB =100°，则∠ACB = 度． 16． 如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，点D 在BC 上，且BD ＝BA ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，点F 是AC 的中点，连结EF ．若四边形DCFE 和（第9题）BADCEF△BDE 的面积都为3，则△ABC 的面积为 .17. 如图，在边长为10 的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是第16题 第17题 第18题18. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于A （1，12）和B （6，2）两点，点P 是线段AB 上一动点(不与点A 和B 重合)，过P 点分别作x 、y 轴的垂线PC 、PD 交反比例函数图像于点M 、N ，则四边形PMON 面积的最大值是 ．三、解答题（本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19．(本题满分5分）计算：101()2cos60(2)2π--︒+-20．(本题满分5分）解不等式组:1123(2)4x x x ⎧-<⎪⎨⎪--≤⎩21．(本题满分6分） 先化简，再求值：121a a a a a --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，其中a．22．(本题满分6分) 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AD ＝，∠DAC ＝30°，求△ABC 的周长．23．（7分）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次一共调查了多少名购买者？（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A 种支付方式所对应的圆心角为 度． （3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A 和B 两种支付方式的购买者共有多少名？ABDCF E24．（本题满分8分）在地铁入口处检票进闸时，3个进闸通道A、B、C中，可随机选择其中的一个通过．（1）如果你经过此进闸口时，选择A通道通过的概率是；（2）求两个人经过此进闸口时，选择不同通道通过的概率.(请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程.)25. (本题满分8分) 如图1，线段AB=12厘米，动点P从点A出发向点B运动，动点Q从点B出发向点A运中学数学一模模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项.1．在实数0，﹣，，|﹣2|中，最小的是（）A．B．﹣C．0D．|﹣2|2．下列运算正确的是（）A．﹣（﹣x+1）＝x+1B．C．D．（a﹣b）2＝a2﹣b23．下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（）A．2x﹣1B．2x﹣3C．x﹣1D．x﹣34．如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（）A．m+3B．m+6C．2m+3D．2m+65．关于x的方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况描述正确的是（）A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种6．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（）A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定7．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折8．一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（）A．B．C．D．9．下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④Rt△ABC中，∠C＝90°，两直角边a、b分别是方程x2﹣7x+7＝0的两个根，则AB边上的中线长为正确命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．2B．2+C．2D．2+二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）11．化简：÷＝．12．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．13从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是．14．已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B 落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为．15．以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB＝90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD＝60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（和）相交，那么实数a的取值范围是．16．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标是．三、（本大题共3个小题，每小题各6分，共18分）17．先化简，再求值：（﹣2），其中x＝2．18．分别按下列要求解答：（1）在图1中．作出⊙O关于直线l成轴对称的图形；（2）在图2中．作出△ABC关于点P成中心对称的图形．19．某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？四、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）20．根据全国人口普查结果显示：某市常住人口总数由第五次的400万人增加到第六次的450万人，常住人口的学历状况统计图如下（部分信息未给出）：解答下列问题：（1）计算第六次人口普查小学学历的人数，并把条形统计图补充完整；（2）第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是多少？21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若AC＝6，AB＝10，求⊙O的半径；（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证：AD＝AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．23．设，，，…，．若，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．25．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一动点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF．请将△OEF的面积用k表示出来；（3）是否存在点E使△OEF的面积为△PEF面积的2倍？若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项. 1．（3分）在实数0，﹣，，|﹣2|中，最小的是（）A．B．﹣C．0D．|﹣2|【解答】解：|﹣2|＝2，∵四个数中只有﹣，﹣为负数，∴应从﹣，﹣中选；∵|﹣|＞|﹣|，∴﹣＜﹣．故选：B．2．（3分）下列运算正确的是（）A．﹣（﹣x+1）＝x+1B．C．D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【解答】解：A、﹣（﹣x+1）＝x﹣1，故本选项错误；B、＝3﹣故本选项错误；C、|﹣2|＝2﹣故本选项正确；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2故本选项错误；故选：C．3．（3分）下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（）A．2x﹣1B．2x﹣3C．x﹣1D．x﹣3【解答】解：∵2x2+5x﹣3＝（2x﹣1）（x+3），2x﹣1与x+3是多项式的因式，故选：A．4．（3分）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（）A．m+3B．m+6C．2m+3D．2m+6【解答】解：依题意得剩余部分为（m+3）2﹣m2＝（m+3+m）（m+3﹣m）＝3（2m+3）＝6m+9，而拼成的矩形一边长为3，∴另一边长是＝2m+3．故选：C．5．（3分）关于x的方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况描述正确的是（）A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【解答】解：△＝k2﹣4（k﹣1）＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2，≥0，即△≥0，∴原方程有两个实数根，当k＝2时，方程有两个相等的实数根．故选：B．6．（3分）某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（）A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【解答】解：A、由图可知甲、乙运动员第一场比赛得分相同，第十二场比赛得分甲运动员比乙运动员得分高，所以甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，故A选项正确；B、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B选项正确；C、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数，故C选项正确；D、由图可知甲运动员得分数据波动性较大，乙运动员得分数据波动性较小，乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D选项错误．故选：D．7．（3分）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折【解答】解：设可打x折，则有1200×﹣800≥800×5%，解得x≥7．即最多打7折．故选：B．8．（3分）一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为x+y＝k（矩形的面积是一定值），整理得y＝﹣x+k，由此可知y是x的一次函数，图象经过第一、二、四象限，x、y都不能为0，且x＞0，y ＞0，图象位于第一象限，所以只有A符合要求．故选：A．9．（3分）下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④Rt△ABC中，∠C＝90°，两直角边a、b分别是方程x2﹣7x+7＝0的两个根，则AB边上的中线长为正确命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①一个角的两边垂直于另一个角的两边，这两个角互补或相等，所以①错误．②数据1，2，2，4，5，7，中位数是（2+4）＝3，其中2出现的次数最多，众数是2，所以②正确．③等腰梯形只是轴对称图形，而不是中心对称图形，所以③错误．④根据根与系数的关系有：a+b＝7，ab＝7，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣14＝35，即：AB2＝35，AB＝∴AB边上的中线的长为．所以④正确．故选：C．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y ＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．2B．2+C．2D．2+【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接P A．∵PE⊥AB，AB＝2，半径为2，∴AE＝AB＝，P A＝2，根据勾股定理得：PE＝＝1，∵点A在直线y＝x上，∴∠AOC＝45°，∵∠DCO＝90°，∴∠ODC＝45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，∴∠PDE＝∠ODC＝45°，∴∠DPE＝∠PDE＝45°，∴DE＝PE＝1，∴PD＝．∵⊙P的圆心是（2，a），∴a＝PD+DC＝2+．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）11．（3分）化简：÷＝．【解答】解：原式＝•＝．故答案为：12．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝15度．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，∵CG＝CD，∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案为：15．13．（3分）从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是．【解答】解：共有6种情况，在第四象限的情况数有2种，所以概率为．故答案为：．14．（3分）已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为80°．【解答】解：由翻折可得∠B′＝∠B＝60°，∴∠A＝∠B′＝60°，∵∠AFD＝∠GFB′，∴△ADF∽△B′GF，∴∠ADF＝∠B′GF，∵∠EGC＝∠FGB′，∴∠EGC＝∠ADF＝80°．故答案为：80°．15．（3分）以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB＝90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD＝60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（和）相交，那么实数a的取值范围是﹣4≤a≤﹣2．【解答】解：当A、D两点重合时，PO＝PD﹣OD＝5﹣3＝2，此时P点坐标为a＝﹣2，当B在弧CD时，由勾股定理得，PO＝＝＝4，此时P点坐标为a ＝﹣4，则实数a的取值范围是﹣4≤a≤﹣2．故答案为：﹣4≤a≤﹣2．16．（3分）如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．．【解答】解：（1）当点P在x轴正半轴上，①以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP＝45°，OA＝2，∴P的坐标是（4，0）或（2，0）；②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP＝AP；（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA＝2，∴OA＝OP＝2，∴P的坐标是（﹣2，0）．故答案为：（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．三、（本大题共3个小题，每小题各6分，共18分）17．（6分）先化简，再求值：（﹣2），其中x＝2．【解答】解：原式＝＝×＝，当x＝2时，原式＝﹣＝﹣1．18．（6分）分别按下列要求解答：（1）在图1中．作出⊙O关于直线l成轴对称的图形；（2）在图2中．作出△ABC关于点P成中心对称的图形．【解答】解：（1）（2）如图所示：19．（6分）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？【解答】解：（1）120×0.95＝114（元），若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付114元；（2）设所付钱为y元，购买商品价格为x元，则按方案一可得到一次函数的关系式：y＝0.8x+168，则按方案二可得到一次函数的关系式：y＝0.95x，如果方案一更合算，那么可得到：0.95x＞0.8x+168，解得：x＞1120，∴所购买商品的价格在1120元以上时，采用方案一更合算．四、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）20．（8分）根据第五次、第六次全国人口普查结果显示：某市常住人口总数由第五次的400万人增加到第六次的450万人，常住人口的学历状况统计图如下（部分信息未给出）：解答下列问题：（1）计算第六次人口普查小学学历的人数，并把条形统计图补充完整；（2）第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是多少？【解答】解：（1）450﹣36﹣55﹣180﹣49＝130（万人）；（2）第五次人口普查中，该市常住人口中高中学历人数的百分比是：1﹣3%﹣17%﹣38%﹣32%＝10%，人数是400×10%＝40（万人），∴第六次人口普查中，该市常住人口中高中学历人数是55万人，∴第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是：×100%＝37.5%．21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若AC＝6，AB＝10，求⊙O的半径；（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．【解答】解：（1）连接OD．设⊙O的半径为r．∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC．∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴＝，即10r＝6（10﹣r）．解得r＝，∴⊙O的半径为．（2）四边形OFDE是菱形．理由如下：∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠B．∵∠DEF＝∠DOB，∴∠B＝∠DOB．∵∠ODB＝90°，∴∠DOB+∠B＝90°，∴∠DOB＝60°．∵DE∥AB，∴∠ODE＝60°．∵OD＝OE．∴OD＝DE．∵OD＝OF，∴DE＝OF．又∵DE∥OF，∴四边形OFDE是平行四边形．∵OE＝OF，∴平行四边形OFDE是菱形．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证：AD＝AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．【解答】（1）证明：在△ACD与△ABE中，∵，∴△ACD≌△ABE，∴AD＝AE．（2）答：直线OA垂直平分BC．理由如下：连接BC，AO并延长交BC于F，在Rt△ADO与Rt△AEO中，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），∴∠DAO＝∠EAO，即OA是∠BAC的平分线，又∵AB＝AC，∴OA⊥BC且平分BC．23．（9分）设，，，…，．若，求S（用含n的代数式表示，其中n 为正整数）．【解答】解：∵，，，…，．∴S1＝（）2，S2＝（）2，S3＝（）2，…，S n＝（）2，∵，∴S＝，∴S＝1+，∴S＝1+1﹣+1+﹣+…+1+，∴S＝n+1﹣＝．六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB 的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．【解答】（1）解：∵∠BP A＝90°，P A＝PB，∴∠P AB＝45°，∵∠BAO＝45°，∴∠P AO＝90°，∴四边形OAPB是正方形，∴P点的坐标为：（a，a）．（2）证明：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，∵∠BPE+∠EP A＝90°，∠EPB+∠FPB＝90°，∴∠FPB＝∠EP A，∵∠PFB＝∠PEA，BP＝AP，∴△PBF≌△P AE，∴PE＝PF，∴点P都在∠AOB的平分线上．（3）解：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，则PE＝h，设∠APE ＝α．在直角△APE中，∠AEP＝90°，P A＝，∴PE＝P A•cosα＝•cosα，又∵顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），∴0°≤α＜45°，∴＜h≤．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一动点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF．请将△OEF的面积用k表示出来；（3）是否存在点E使△OEF的面积为△PEF面积的2倍？若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意知，P（1，2）．若点E与点P重合，则k＝xy＝1×2＝2；（2）①当0＜k＜2时，如图1所示．根据题意知，四边形OAPB是矩形，且BP＝1，AP＝2．∵点E、F都在反比例函数（k＞0）的图象上，∴E（，2），F（1，k）．则BE＝，PE＝1﹣，AF＝k，PF＝2﹣k，∴S△OEF＝S矩形OAPB﹣S△OBE﹣S△PEF﹣S△OAF＝1×2﹣××2﹣×（1﹣）×（2﹣k）﹣×1×k＝﹣k2+1；②当k＝2时，由（1）知，△OEF不存在；③当k＞2时，如图2所示．点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD 为矩形．∵PF⊥PE，∴S△FPE＝PE•PF＝（﹣1）（k﹣2）＝k2﹣k+1，∴四边形PFGE是矩形，∴S△PFE＝S△GEF，∴S△OEF＝S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△GEF﹣S△OCE＝•k﹣﹣（k2﹣k+1）﹣＝k2﹣1；（3）当k＞0时，存在点E使△OEF的面积为△PEF面积的2倍．理由如下：①如图1所示，当0＜k＜2时，S△PEF＝×（1﹣）×（2﹣k）＝，S△OEF＝﹣k2+1，则×2＝﹣k2+1，解得，k＝2（舍去），或k＝；②由（1）知，k＝2时，△OEF与△PEF不存在；③如图2所示，当k＞2时，S△PEF＝﹣k2+k﹣1，S△OEF＝k2﹣1，则2（﹣k2+k﹣1）＝k2﹣1，解得k＝（不合题意，舍去），或k＝2（不合题意，舍去），则E点坐标为：（3，2）．中学数学一模模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项.1．在实数0，﹣，，|﹣2|中，最小的是（）A．B．﹣C．0D．|﹣2|2．下列运算正确的是（）A．﹣（﹣x+1）＝x+1B．C．D．（a﹣b）2＝a2﹣b23．下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（）A．2x﹣1B．2x﹣3C．x﹣1D．x﹣34．如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（）A．m+3B．m+6C．2m+3D．2m+65．关于x的方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况描述正确的是（）A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种6．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（）A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定7．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折8．一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（）A．B．C．D．9．下列说法中①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④Rt△ABC中，∠C＝90°，两直角边a、b分别是方程x2﹣7x+7＝0的两个根，则AB边上的中线长为正确命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．2B．2+C．2D．2+二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）11．化简：÷＝．12．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．13从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是．14．已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B 落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为．15．以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB＝90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD＝60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（和）相交，那么实数a的取值范围是．16．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标是．三、（本大题共3个小题，每小题各6分，共18分）17．先化简，再求值：（﹣2），其中x＝2．18．分别按下列要求解答：（1）在图1中．作出⊙O关于直线l成轴对称的图形；（2）在图2中．作出△ABC关于点P成中心对称的图形．19．某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？四、（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）20．根据全国人口普查结果显示：某市常住人口总数由第五次的400万人增加到第六次的450万人，常住人口的学历状况统计图如下（部分信息未给出）：解答下列问题：（1）计算第六次人口普查小学学历的人数，并把条形统计图补充完整；（2）第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是多少？21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若AC＝6，AB＝10，求⊙O的半径；（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证：AD＝AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．23．设，，，…，．若，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．六、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB 的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．25．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行，直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P．点E为直线l2上一动点，反比例函数（k＞0）的图象过点E与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接OE、OF、EF．请将△OEF的面积用k表示出来；（3）是否存在点E使△OEF的面积为△PEF面积的2倍？若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．。
上海市宝山区2024届中考一模考试数学试卷(附答案)
上海市宝山区2024届中考一模考试数学试卷考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列各组中的四条线段成比例的是（ ▲ ）（A ）2cm ，3cm ，4cm ，5cm ；（B ）2cm ，3cm ，4cm ，6cm ；（C ）1cm ，2cm ，3cm ，2cm ；（D ）3cm ，2cm ，6cm ，3cm ．2.已知线段AB ＝2，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >BP ，则AP 的长是（ ▲ ）（A ）253−； （B ）53−； （C ）215−； （D ）15−.3.许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）.上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图1，AB 的长为50米，AB 与AC 的夹角为24°，则高BC 是（ ▲ ）（A ） 2450sin 米；（B ） 2450cos 米； （C ）︒2450sin 米； （D ）︒2450cos 米. 4.在四边形ABCD 中，如果BC AD 32=，|AB DA +|＝|DA DC −|，那么四边形ABCD 是（ ▲ ）（A ）矩形；（B ）菱形； （C ）正方形； （D ）等腰梯形.5.二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像如图2所示，则一次函数y ＝ax ＋b 的图像不．经过（ ▲ ）（A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限.图2图3图16. 如图3，在正方形网格中，A 、B 、C 、D 、M 、N 都是格点，从A 、B 、C 、D 四个格点中选取三个构成一个与△AMN 相似的三角形，某同学得到两个三角形：①△ABC ；②△ABD .关于这两个三角形，下列判断正确．．的是( ) （A ）只有①是； （B ）只有②是； （C ）①和②都是；（D ）①和②都不是．二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7. 已知线段a ＝2，b ＝4，如果线段c 是a 和b 的比例中项，那么c ＝ ▲ .8. 比例尺为1:100000的地图上，A 、B 两地的距离为2cm ，那么A 、B 两地的实际距离为 ▲ km . 9. 计算：sin 30°－sin 45°．cos 45°＝ ▲ .10. 二次函数()20y ax bx c a =++≠图像上部分点的坐标（x ，y ）对应值如表1所示，那么该函数图像的对称轴是直线 ▲ .11. 直径是2的圆，当半径增加x 时，面积的增加值s 与x 之间的函数关系式是 ▲ . 12. 在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点G 为重心，联结AG 并延长，交BC 于点F ，如果BC ＝6，那么GF 的长是 ▲ .13. 如图4，斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，如果坡比i ＝1:3，那么这个斜坡的长度AB ＝ ▲ m .14. 在△ABC 中，如果2BC =，7AB =，3AC =，那么cos A = ▲ . 15. 如果二次函数)0()2(<−=a x a y 2的图像上有两点），（149y 和），（237y ， 那么y 1 ▲ y 2.（填“>”、“=”或“<”）16. 如图5，已知正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝ 6，△ABC 的面积为12，那么EF 的长为 ▲ .17. 平面直角坐标系中，在x 轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与y 轴的交点的距离．．之和．．最小的点，称为这条抛物线与x 轴的“亲密点”．那么抛物线2245y x x =++与x 轴的“亲密点”的坐标是 ▲ .18. 已知AC 和BD 是矩形ABCD 的两条对角线，将△ADC 沿直线AC 翻折后，点D 落在点E 处，三角形AEC 与矩形的重叠部分是三角形ACF ，联结DE ．如果AB ＝6，BF ＝2，那么∠BDE 的正切值是 ▲ .图5表1图4三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分）如图6，在△ABC 中，∠C ＝ 90︒，sinB ＝ 54，AB ＝10，点D 是AB 边上一点， 且BC ＝ BD ． （1）求BD 的长； （2）求∠ACD 的余切值．20. （本题满分10分）如图7，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝4，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E .（1）求DE 的长；（2）联结CE 交BD 于点F ，设a AB =，b AD =，用a 、b 的线性组合表示向量BD ＝ ▲ ，BF ＝ ▲ ．21. (本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数c bx x y ++=2的图像经过点A (1,0)和B (0,3).（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点E (4,m )在该函数图像上，求△ABE 的面积．图6图722. （本题满分10分）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高.测高仪ABCD 为矩形，CD ＝30cm ，顶点D 处挂了一个铅锤H .图8是测量塔高的示意图，测高仪上的点C 、D 与塔顶G 在一条直线上，铅垂线DH 交BC 于点M .经测量，点D 距地面1.9m ，到塔EG 的距离DF ＝13m ，CM ＝20cm .求塔EG 的高度(结果精确到1m )．23. （本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分）如图9，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD 、BC 上，且CE ＝BF ，DF 分别交 AE 、AC 于点P 、Q ． （1）求证：AE ⊥DF ；（2）求证：DFPQ BF AQ ⋅=⋅2．图8图924.（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线221x y =平移，使平移后的抛物线仍经过原点O ，新抛物线的顶点为M （点M 在第四象限），对称轴与抛物线221x y =交于点N ，且MN ＝4.（1）求平移后抛物线的表达式；（2）如果点N 平移后的对应点是点P ，判断以点O 、M 、N 、P 为顶点的四边形的形状，并 说明理由；（3）抛物线221x y =上的点A 平移后的对应点是点B ，BC ⊥MN ，垂足为点C ，如果△ABC是等腰三角形，求点A 的坐标.图1025.（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题满分各5分）如图11，已知△ABC中，AB＝AC＝1，D是边AC上一点，且BD＝AD，过点C作CE∥AB，并截取CE＝AD，射线AE与BD的延长线交于点F.（1）求证：BFAF⋅DF=（2）设AD＝x，DF＝y，求y与x的函数关系式；（3）如果△ADF是直角三角形，求DF的长.图11评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B ；2.D ；3.A ；4.D ；5.C ；6.B .二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.22；8.2；9.0；10.x ＝2 ；11.S ＝πx 2+2πx ； 12. 1；13.1030； 14.37； 15.>； 16.2.417. ），085(−； 18. 31或33. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 解：（1）∵在Rt △ABC 中，sinB ＝ ABAC ，又∵sinB ＝54，AB ＝10， ∴AC ＝8，…………………………………………………………………………2分 ∵∠C ＝ 90︒， ∴，222AB BC AC =+∴BC ＝6，…………………………………………………………………………2分 ∵BC ＝ BD ，∴BD ＝6.………………………………………………………………………… 1分（2）过点D 作DE ⊥AC ,垂足为点E .………………………………………………………1分又由∠C ＝ 90︒，可得DE ∥BC ， ∴，ABAD BC DE =∵BC ＝6，A D ＝4，AB ＝10，∴DE ＝2.4， ………………………………………………………………………1分 同理可得EC ＝4.8，………………………………………………………………1分 ∵在Rt △DEC 中，cot ∠ACD ＝ DE EC ， …………………………………………1分∴cot ∠ACD ＝ 2. …………………………………………………………………1分20. 解：（1）∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2，∵DE ∥BC ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3， ………………………………………………………………………1分 ∴DE ＝BE ， ………………………………………………………………………1分 设DE ＝BE ＝x ，则AE ＝5-x , ……………………………………………………1分 ∵DE ∥BC ，∴AB AE BC DE =， ……………………………………………………1分∴，554x x −= ………………………………………………………………………1分 解得920=x ，所以，.920=DE …………………………………………………1分（2）BD ＝a b −， ……………………………………………………………………2分BF ＝.149149a b −…………………………………………………………………2分21. 解：（1）由图像经过点B (0,3)，可知c ＝3， ………………………………………2分再由图像经过点A (1,0)，可得0312=++b ，解得b ＝－4， ……………………2分所以，该二次函数的表达式为.342+−=x x y …………………………………1分 （2）把x ＝4代入342+−=x x y ，得y ＝3，……………………………………1分由B (0,3)、E (4,3)可知BE ∥x 轴，……………………………………………1分 于是BE ＝4，BE 边上的高为3,…………………………………………………2分 ∴.63)04(21=⋅−⋅=∆ABE S…………………………………………………1分22. 解：在Rt △CDM 中，cot ∠CDM ＝ CMCD ， ……………………………………………1分又∵CD ＝30cm ，CM ＝20cm ， ………………………………………………………1分 ∴cot ∠CDM ＝ 23， ……………………………………………………………………1分∵DF ⊥EG ，∴∠DGF +∠GDF ＝90°，……………………………………………………………1分 又由题意可得∠CDM +∠GDF ＝90°，∴ ∠CDM ＝∠DGF ， …………………………………………………………………1分在Rt △DGF 中，cot ∠DGF ＝ DF GF ，…………………………………………………1分又∵DF ＝13m ，∴GF ＝m 239， ………………………………………………………………………1分∴EG ＝GF+EF ＝m 219.1239≈+， ……………………………………………………2分答：塔EG 的高度约为21m . …………………………………………………………1分23. 证明：（1）∵在正方形ABCD 中，∴CD ＝BC ，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°， …………………………………1分 又∵CE ＝BF ，∴CD -CE ＝BC -BF ，即DE ＝CF ， …………………………………………………………………………1分 ∴△ADE ≌△CDF ，∴∠1＝∠2， …………………………………………………………………………1分 ∵∠ADE ＝90°∴∠1+∠3＝90°，∴∠2+∠3＝90°， ……………………………………………………………………1分 ∵∠APQ ＝∠2+∠3，∴∠APQ ＝90°，………………………………………………………………………1分 ∴AE ⊥DF.（2）过点E 作EG ⊥AC ,垂足为点G . ………………………………………………1分 ∵∠APQ ＝90°， ∴∠APQ ＝∠AGE ， 又∵∠PAQ ＝∠EAG ，∴△APQ ∽△AEG ，……………………………………………………………………1分∴EGAEPQ AQ =，…………………………………………………………………………1分 ∵在正方形ABCD 中，∴ 45214=∠=∠DCF ，在Rt △CDM 中，cot ∠4＝ 22=CE EG ，∴CE EG 22=， ………………………………………………………………………1分∵CE ＝BF ，∴BF EG 22=，………………………………………………………………………1分∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝DF ， …………………………………………………………………………1分 ∴BF DF PQAQ 22=， ∴DF PQ BF AQ ⋅=⋅2.……………………………………………………………1分24. 解：（1），，设)0)(21(2>t t t N )421(2−t t M ，则，……………………………………………………1分于是平移后抛物线的表达式是421)(2122−+−=t t x y ， ………………………………1分 由平移后抛物线经过原点O (0，0)，可得t ＝2(负值不合题意舍去），………………1分 所以，平移后抛物线的表达式是2)2(212−−=x y . ……………………………………1分 （2）四边形OMPN 是正方形.根据题意可得O (0，0)，M (2，-2)，N (2，2)，P (4，0)， …………………………1分 记MN 与OP 交于点G ，则G (2，0)，∴OG ＝GP ＝2，MG ＝NP ＝2，MN ＝OP ＝4，22==NP NO ，∴四边形OMPN 是平行四边形， ……………………………………………………1分 ∵MN =OP =4，∴四边形OMPN 是矩形， ……………………………………………………………1分 ∵22==NP NO ，∴四边形OMPN 是正方形. ……………………………………………………………1分 （3），，设)21(2a a A ，，则)2212(2−+a a B )2212(2−a C ，，222,2)2(22a BC a AC AB =+−==，可得，……………………………………1分；，（舍去①)84(),0,4,04,2)2(22,11222A a a a a a AC AB ===−+−== …………1分 ；，或，②)422()422(,22,22,22,112−−====A A a a a BC AB ………………1分；，，，③)22(2,2)2(222A a a a BC AC ==+−=……………………………………1分 所以，点A 的坐标是)2,2()422()422()8,4(、，、，、−.25.（1）证明：∵CE ∥AB ，∴∠1＝∠2，………………………………………………………………………………1分 又∵AB ＝AC ，CE ＝AD ，∴△ABD ≌△AEC ，………………………………………………………………………1分 ∴∠3＝∠4，又∵∠AFB ＝∠AFD ，∴△ABF ∽△ADF ，………………………………………………………………………1分 ∴AFBF DF AF =， ∴BF DF AF ⋅=2.…………………………………………………………………………1分 解：（2）过点D 作DG ∥AB ，交AE 于点G. ………………………………………………1分又∵CE ∥AB ，∴DG ∥CE ， ∴AC AD CE DG =，……………………………………………………………………………1分 由AD ＝x ，则CE ＝x ，CD ＝1-x ，∴2x DG =，………………………………………………………………………………1分 ∵DG ∥AB ， ∴BF DF AB DG =，……………………………………………………………………………1分 ∴y x y x +=12， ∴231x x y −=. ……………………………………………………………………………1分（3）①∠DAF ＝ABD ≠90°，………………………………………………………………1分 ②如果∠AFD ＝90°，由∠1＝∠3＝∠4，∠1+∠3+∠4＝90°，可得∠3＝∠4＝30°，……………………1分 设DF ＝m ，则AD ＝BD ＝2m ，在Rt △ABF 中，cos ∠3＝ABBF ， ∴2312=+m m ，63=m .………………………………………………………………1分③如果∠ADF ＝90°，由∠1＝∠3＝∠4，∠1+∠3＝90°，可得∠3＝∠4＝45°，……………………………1分 设DF ＝m ，AD ＝BD ＝m ，在Rt △ABF 中，cos ∠3＝BFAB ， ∴221=+m m ，22=m . ………………………………………………………………1分 所以,当△ADF 是直角三角形时，DF 的长为63或22.。
2023年上海市静安区九年级数学中考一模试题含详解
九年级数学学科练习（满分150分，用卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．下列实数中，无理数是（A ）16；（B ）391；（C ）()02+π；（D ）78．2．计算x 3•x 2所得的结果是（A ）x 9；（B ）x 6；（C ）x 5；（D ）x ．3．如果非零向量a 、b 互为相反向量，那么下列结论中错误的是（A ）b a //；（B ）||||b a =；（C ）0=+b a ；（D ）b a -=．4．如图，已知△ABC 与△DEF ，下列条件一定能推得它们相似的是（A ）E B D A ∠=∠∠=∠，；（B ）EF BCDF AB D A =∠=∠且；（C ）E D B A ∠=∠∠=∠，；（D ）DFACDE AB E A =∠=∠且．5．如果︒<∠<︒600A ，那么A sin 与A cos 的差（A ）大于0；（B ）小于0；（C ）等于0；（D ）不能确定．6．如图，在△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点G ，联结DE ．下列结论成立的是（A ）AG DG 31=；（B ）AB DEEG BG =；（C ）41=∆∆AGB DEG S S ；（D ）21=∆∆AGB CDE S S ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．31的倒数是▲．8．计算：=+++2224a a a ▲．9．已知3:2:=b a ，那么ba a+的值是▲．10．抛物线()212-+=x y 与y 轴的交点坐标是▲．11．请写出一个以直线3=x 为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是▲．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）12．有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB 宽20米，拱桥的最高点O 距离水面AB 为3米，如图建立直角坐标平面xOy ，那么此抛物线的表达式为▲．13．一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC 、AD ，且迎水坡AB 的坡度为1∶2.5，背水坡CD 的坡度为1∶3，则迎水坡AB 的坡角▲背水坡CD 的坡角．（填“大于”或“小于”）14．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为51，△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为32，那么△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为▲．15．在矩形ABCD 内作正方形AEFD （如图所示），矩形的对角线AC 交正方形的边EF 于点P ．如果点F 恰好是边CD 的黄金分割点（DF >FC ），且PE =2，那么PF =▲．A BCDE G第6题图A BOxy 第12题图16．在△ABC 中，AB =6，AC =5，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，当AD =4，∠ADE =∠C时，=BC DE▲．17．如图，△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得△DEC ，如果点B 、D 、E 在一直线上，且∠BDC =60°，BE =3，那么A 、D 两点间的距离是▲．18．定义：把二次函数()n m x a y ++=2与()n m x a y ---=2（a ≠0，m 、n 是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数2232-+=bx x y 与c cx x y +--=412（b 、c 是常数）互为“旋转函数”，写出点P （b ，c ）的坐标▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：222)45tan 45sin 45cot (30sin 30cos ︒︒-︒+︒-︒．20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD =2AD ，AE =21EC ．（1）求证：DE //BC ；（2）设a BE =，b BC =，试用向量a 、b 表示向量AC ．21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠B 为锐角，AD 是BC 边上的高，135cos =B ，AB =13，BC =21．（1）求AC 的长；（2）求∠BAC 的正弦值第15题图A BCDEF PABCDE第17题图A BCDE第20题图A22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）有一把长为6米的梯子AB ，将它的上端A 靠着墙面，下端B 放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直（如图1所示）.一般满足︒≤≤︒7550α时，人才能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B 距离墙面2.5米时，求α的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A 离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A 沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D 点处停止，梯子底端B 也随之向后平移到地面上的点E 处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DF 分别交对角线AC 、底边BC 于点E 、F ，且BC AE AC AD ⋅=⋅.（1）求证：AB ∥FD ；（2）点G 在底边BC 上，BC =10，CG =3，联结AG ，如果△AGC 与△EFC 的面积相等，求FC 的长.第22题图1AB OαA BED第22题图2O ABCE第23题图DF G24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①、②小题各4分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线62-+=bx ax y （0≠a ）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，联结BC ，∠ABC 的余切值为31，AB ＝8，点P 在抛物线上，且PO=PB .（1）求上述抛物线的表达式；（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O 和点P ，新抛物线的对称轴与x 轴交于点E .①求新抛物线的对称轴；②点F 在新抛物线对称轴上，且∠EOF=∠PCO ，求点F 的坐标.25．（本题满分14分，第（1）①、②小题各5分，第（2）小题4分）在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AC=4，点D 为射线CB 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），以AD 为腰且在AD 的右侧作等腰直角△ADF ，∠ADF=90°，射线AB 与射线FD 交于点E ，联结BF .（1）如图1所示，当点D 在线段CB 上时，①求证：△ACD ∽△ABF ；②设CD =x ，tan ∠BFD =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当AB=2BE 时，求CD 的长.A CO xy第24题图B九年级数学学科练习（解析版）（满分150分，用卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．下列实数中，无理数是（B）（A ）16；（B ）391；（C ）()02+π；（D ）78．【解析】（A ）416=，是有理数，不合题意；（B ）391无法化简，是无理数，符合题意；（C ）()120=+π，是有理数，不合题意；（D ）78为分数，是有理数，不合题意．2．计算x 3•x 2所得的结果是（C）（A ）x 9；（B ）x 6；（C ）x 5；（D ）x ．【解析】x 3•x 2=x（3+2）=x 5，C 符合.3．如果非零向量a 、b 互为相反向量，那么下列结论中错误的是（C ）（A ）b a //；（B ）||||b a =；（C ）0=+b a ；（D ）b a -=．【解析】∵非零向量a 、b 互为相反向量，∴a 、b 长度相同、方向相反，∴（A ）（B ）（D ）正确，∴选择（C ）.4．如图，已知△ABC 与△DEF ，下列条件一定能推得它们相似的是（A ）（A ）E B D A ∠=∠∠=∠，；（B ）EF BCDF AB D A =∠=∠且；（C ）E D B A ∠=∠∠=∠，；（D ）DFACDE AB E A =∠=∠且．【解析】（A ）∵E B D A ∠=∠∠=∠，，∴△ABC ∽△DEF （A.A.）；（B ）EFBCDF AB D A =∠=∠且，不符合S.A.S.，故不可证明△ABC 与△DEF 相似；（C ）E D B A ∠=∠∠=∠，，只能推得△ABC 与△DEF 为等腰三角形,不可证明△ABC 与△DEF 相似；（D ）DFACDE AB E A =∠=∠且，不符合S.A.S.，故不可证明△ABC 与△DEF 相似．5．如果︒<∠<︒600A ，那么A sin 与A cos 的差（D ）（A ）大于0；（B ）小于0；（C ）等于0；（D ）不能确定．【解析】采用赋值法：（1）当∠A=30°时，2130sin sin =︒=A ，2330cos cos =︒=A ，则0cos sin <-A A ．（2）当∠A=45°时，2245sin sin =︒=A ，2245cos cos =︒=A ，则0cos sin =-A A ．由此可得：不能确定A sin 与A cos 的差与0之间的大小关系，∴D 符合.【规律】当︒<∠<︒450A ，A sin <A cos ；当︒<∠≤︒9045A ，≥A sin A cos .6．如图，在△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点G ，联结DE ．下列结论成立的是（C ）（A ）AG DG 31=；（B ）ABDE EG BG =；（C ）41=∆∆AGB DEG S S ；（D ）21=∆∆AGB CDE S S ．【解析】∵中线AD 与中线BE 相交于点G ，∴G 为重心，DE 为中位线.（A ）∵G 为重心，∴AG DG 21=，故（A ）不成立；（B ）2=EG BG ，21=AB DE ，故（B ）不成立；（C ）∵21//=AB DE AB DE ，，∴41(2==∆∆AB DE S S AGB DEG ，故（C ）成立；（D ）在△ABD 与△BCE 中，BC BD 21=，AM EH 21=，∴S △ABD =S △BCE ，CDGE ABD S S 四边形△=⇒，由（C ）可知，41=∆∆AGB DEG S S ．∴可得43=∆∆AGB CDE S S ，故（D ）不成立．A BCD EG第6题图MH二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．31的倒数是▲．【解析】31的倒数是3.8．计算：=+++2224a a a ▲．【解析】22)2(22242224=++=++=+++a a a a a a a .9．已知3:2:=b a ，那么ba a+的值是▲．【解析】∵3:2:=b a ，∴设k b k a 32==，，代入，5252322==+=+k k k k k b a a .10．抛物线()212-+=x y 与y 轴的交点坐标是▲．【解析】()1221221222-+=-++=-+=x x x x x y ，∴抛物线()212-+=x y 与y 轴的交点坐标是（0，-1）11．请写出一个以直线3=x 为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是▲．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）【解析】∵对称轴为直线3=x ，∴可知抛物线表达式：()m x a y +-=23，∵对称轴左侧部分是下降的抛物线，∴0>a ，∴抛物线的表达式可以是：()23-=x y ，()1322+-=x y 等（答案不唯一）.12．有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB 宽20米，拱桥的最高点O 距离水面AB 为3米，如图建立直角坐标平面xOy ，那么此抛物线的表达式为▲．【解析】由题：桥下水面AB 宽20米，拱桥的最高点O 距离水面AB 为3米，∴)3,10()3,10()0,0(---B A O ，，，∴可得21003x y -=.13．一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC 、AD ，且迎水坡AB 的坡度为1∶2.5，背水坡CD 的坡度为1∶3，则迎水坡AB 的坡角▲背水坡CD 的坡角．（填“大于”或“小于”）【解析】设迎水坡AB 的坡角为α，背水坡CD 的坡角为β，由题可得，5.2:1tan =α，3:1tan =β，∵αtan 随α的增大而增大，而βαtan tan >，∴βα>，即迎水坡AB 的坡角大于背水坡CD 的坡角14．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为51，△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为32，那么△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为▲．【解析】由△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为51，可设△ABC 为k ，△A 1B 1C 1为5k ，同理，由△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为32，可设△A 2B 2C 2为1.5k ，∴△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为5k ：1.5k =310.ABOxy第12题图15．在矩形ABCD 内作正方形AEFD （如图所示），矩形的对角线AC 交正方形的边EF 于点P ．如果点F 恰好是边CD 的黄金分割点（DF >FC ），且PE =2，那么PF =▲．【解析】∵正方形AEFD ，∴DF =AE ，∵点F 恰好是边CD 的黄金分割点，∴215-==CD DF DF CF ，∵AE CF //，∴215-==PE PF AE CF ，∵PE =2，∴215-=PF .16．在△ABC 中，AB =6，AC =5，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，当AD =4，∠ADE =∠C时，=BCDE▲．【解析】由题，可画出图形（如右图），∵∠ADE =∠C ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴54==AC AD BC DE .17．如图，△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得△DEC ，如果点B 、D 、E 在一直线上，且∠BDC =60°，BE =3，那么A 、D 两点间的距离是▲．【解析】作CH ⊥BE ，联结AD ，∵△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得△DEC ，∴可得等腰Rt △ACD ，等腰Rt △BCE ，∵BE =3，∴BH =EH =CH =23，在Rt △CDH 中，∠BDC =60°，∴得CD =3，∴AD =62=CD .第15题图A BCD EF PA BCD E 第16题图αα425A BCD E第17题图H 45°45°45°45°15°18．定义：把二次函数()n m x a y ++=2与()n m x a y ---=2（a ≠0，m 、n 是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数2232-+=bx x y 与c cx x y +--=412（b 、c 是常数）互为“旋转函数”，写出点P （b ，c ）的坐标▲．【解析】()n am axm ax n m x a y +++=++=2222，()n am axm ax n m x a y --+-=---=2222，由此可知，在互为“旋转函数”中：（1）二次项系数互为相反数；（2）一次项系数相同；（3）常数项互为相反数.则在二次函数2232-+=bx x y 与c cx x y +--=412中，⎪⎩⎪⎨⎧-=--=c c b 24123，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=231c b ，∴)2,31(-P .三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：222)45tan 45sin 45cot (30sin 30cos ︒︒-︒+︒-︒．【解析】原式=222)1221(2123-+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=424621-+=222322-+=223-.20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD =2AD ，AE =21EC ．（1）求证：DE //BC ；（2）设a BE =，b BC =，试用向量a 、b 表示向量AC ．【解析】（1）∵BD =2AD ，∴21=BD AD ，∵AE =21EC ，∴21=EC AE ，∴ECAEBD AD =，∴DE //BC ．（2）∵21=EC AE ，∴32=AC EC ，∴.2323)(23)(2323b a b a BC EB EC AC +-=+-=+==21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠B 为锐角，AD 是BC 边上的高，135cos =B ，AB =13，BC =21．（1）求AC 的长；（2）求∠BAC 的正弦值．【解析】（1）Rt △ABD ，135cos =B ，AB =13，∴BD =5，AD =12，∵BC =21，∴CD =BC －BD =21－5=16，∴Rt △ABD ，AD =12，CD =16，∴AC =20.A BCDE第20题图ABCD第21题图H 513121620A B ED第22题图2O1.575°62.5第22题图1ABOα（2）作CH ⊥AB ，∴Rt △BCH ，1312sin 135cos =⇒=B B ，∴132521312=⇒=CH BC CH ，∴.65632013252sin ===∠AC CH BAC .22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）有一把长为6米的梯子AB ，将它的上端A 靠着墙面，下端B 放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直（如图1所示）.一般满足︒≤≤︒7550α时，人才能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B 距离墙面2.5米时，求α的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A 离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A 沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D 点处停止，梯子底端B 也随之向后平移到地面上的点E 处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．【解析】（1）65.2cos =α，解得︒=65α，在︒≤≤︒7550α的范围内，∴能.答：︒=65α，此时人能安全地使用这架梯子.（2）由题：人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A 离开地面最高，∴︒=75α，Rt △AOB ，m AB AO 8.575sin =︒⋅=，∵AD =1.5m ，∴OD =5.8-1.5=4.3m ，∴63.4sin ==∠DE OD DEO ，解得︒<︒=∠5046DEO ，答：此时人不能安全使用这架梯子.ABCD第21题图H51312162023．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DF 分别交对角线AC 、底边BC 于点E 、F ，且BC AE AC AD ⋅=⋅.（1）求证：AB ∥FD ；（2）点G 在底边BC 上，BC =10，CG =3，联结AG ，如果△AGC 与△EFC 的面积相等，求FC 的长.【解析】（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACB ，∵BC AE AC AD ⋅=⋅，∴ACAEBC AD =，∴△ADE ∽△CBA ，∴∠ADE =∠ABC ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE =∠EFC ，∴∠ABC =∠EFC ，∴AB ∥FD .（2）∵△AGC 与△ABC 同高，∴103==∆∆BC GC S S ABC AGC ，∵EF ∥FD ，∴10022CF BC CF S S ABC EFC =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆，∵△AGC 与△EFC 的面积相等，∴103=1002CF ，∴解得30=CF .ABCE第23题图DFGαααββA CO xy第24题图B 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①、②小题各4分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线62-+=bx ax y （0≠a ）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，联结BC ，∠ABC 的余切值为31，AB ＝8，点P 在抛物线上，且PO=PB .（1）求上述抛物线的表达式；（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O 和点P ，新抛物线的对称轴与x 轴交于点E .①求新抛物线的对称轴；②点F 在新抛物线对称轴上，且∠EOF=∠PCO ，求点F 的坐标.【解析】（1）Rt △BOC ，31cot =∠ABC ，∵62-+=bx ax y ，∴C （0，－6）∴可求得B （2，0），∵AB ＝8（点A 在点B 的左侧），∴A （－6，0），代入抛物线，62212-+=⇒x x y .（2）①∵PO=PB ，∴P 在OB 的中垂线上，∵新抛物线过点O 和点P ，∴原抛物线向右平移，⇒由点A 平移到点O ，∴原抛物线对称轴向右平移6个单位，即得新抛物线对称轴，原抛物线对称轴：直线x =－2，⇒新抛物线对称轴：直线x =4.②∵P 在OB 的中垂线上，∴x P =1，代入原抛物线⇒P （1，27-）∴PC ：625-=x y ，52tan =∠⇒PCO ∵∠EOF=∠PCO ，∴52tan tan =∠=∠PCO EOF ，由①：E （4，0），∵点F 在新抛物线对称轴上，∴△EOF 为Rt △，x F =4，∴52tan ==∠OE EF EOF 58=⇒EF ，∵点F 可在x 轴的上方或下方，∴58,4(1F ，)58,4(2-F .25．（本题满分14分，第（1）①、②小题各5分，第（2）小题4分）在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，AC=4，点D 为射线CB 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），以AD 为腰且在AD 的右侧作等腰直角△ADF ，∠ADF=90°，射线AB 与射线FD 交于点E ，联结BF .（1）如图1所示，当点D 在线段CB 上时，①求证：△ACD ∽△ABF ；②设CD =x ，tan ∠BFD =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当AB=2BE 时，求CD 的长.【解析】（1）①∵等腰直角△ABC ，等腰直角△ADF ，∴∠BAC =∠ABC =∠DAF =∠AFD =45°，∴∠CAD =∠BAF ，亦可得22==AF AD AB AC ，∴△ACD ∽△ABF .②作EH ⊥BD，H4x√2x由①得22==AF AD BF CD ，∠EBF =90°，∴x BF 2=，∵tan ∠BFD =y ，∴xy BE 2=，∵∠ABC =45°，∴等腰直角△BEH ，∴xy BH EH ==，由一线三直角，得∠CAD =∠EDH ，∴tan ∠CAD =tan ∠EDH =4x，4xDH EH =⇒，∴y DH 4=，∴BD =DH +BH =xxy y -=+44)40(44<<+-=⇒x xxy ，定义域由题：（点D 不与点B 、C 重合）可知.（2）分类讨论：（a ）当点D 在线段CB 上时，即222==xy BE ，∴2=xy ，)40(44<<+-=x x x y 代入：244=+-⋅xxx ，0<∆⇒，方程无实数根，故此种情况不存在，舍去.（b ）当点D 在CB 的延长线上，可得此时44+-=x x y ，2=xy ，代入：244=+-⋅x x x ，解得，173±=x （负值舍去）综上所述，当AB=2BE 时，CD 的长为173+.x －4EDF。
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上海市中考数学一模试卷H卷
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000021用科学记数法表示为（）
A . 21×10﹣4
B . 2.1×10﹣6
C . 2.1×10﹣5
D . 2.1×10﹣4
2. （2分）下列说法正确的是（）
A . 掷一枚硬币，正面一定朝上
B . 某种彩票中奖概率为1%，是指买100张彩票一定有1张中奖
C . 旅客上飞机前的安检应采用抽样调查
D . 方差越大，数据的波动越大
3. （2分）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）
A . 若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0
B . 若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0
C . 若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0
D . 若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0
4. （2分）如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）如果最简二次根式与能够合并，那么x的值为（）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
6. （2分）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连结CD．若∠A＝50°，则∠BDC的大小为（）
A . 90°
B . 100°
C . 120°
D . 130°
7. （2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE 的面积为（）
A . 3
B . 5
C . 6
D . 8
8. （2分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x+m上的点，则（）
A . y1＜y2＜y3
B . y3＜y2＜y1
C . y3＜y1＜y2
D . y2＜y3＜y1
9. （2分）如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠A EC=；②四边形CGMH是矩形；③△EGM≌△MHA；
④S△ABC+S△CDE≥S△ACE；⑤图中的相似三角形有10对．正确结论是（）
A . ①②③④
B . ①②③⑤
C . ①③④
D . ①③⑤
10. （2分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A 出发，以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s 的速度沿BA向终点A运动，在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）
A . 4s
B . 3 s
C . 2 s
D . 1s
二、填空题 (共8题；共8分)
11. （1分）函数y= 的自变量x的取值范围是________．
12. （1分）有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意
抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为________．
13. （1分）如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数y= 的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是________．
14. （1分）某楼盘2015年房价均价为每平方米8000元，经过两年连续涨价后，2017年房价均价为15000元.设该楼盘这两年房价平均增长率为x，根据题意可列方程为________．
15. （1分）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为________cm2 ．
16. （1分）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1 ， S2 ，则|S1﹣S2|=________（平方单位）
17. （1分）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1 ， B1 ， C1 ， D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为________．
18. （1分）观察下列一组数：，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是________．
三、解答题： (共8题；共66分)
19. （5分）计算：﹣cot30°．
20. （12分）某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分15分，成绩均记为整数分），并按测试成绩（单位：分）分成四类：A类（12≤m≤15），B类（9≤m≤11），C类（6≤m≤8），D类（m≤5）绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽取样本容量为________，扇形统计图中A类所对的圆心角是________度；
（2）请补全统计图；
（3）若该校九年级男生有300名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为C 类的有多少名？
21. （10分）在一个不透明的布袋中有2个红球和3个黑球，它们只有颜色上的区别．
（1）从布袋中随机摸出一个球，求摸出红球的概率；
（2）现从布袋中取出一个红球和一个黑球，放入另一个不透明的空布袋中，甲乙两人约定做如下游戏：两人分别从这两个布袋中各随机摸出一个小球，若颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请用树状图(或列表)的方法表示游戏所有可能的结果，并用概率知识说明这个游戏是否公平?
22. （12分）操作与探究
综合实践课，老师把一个足够大的等腰直角三角尺AMN靠在一个正方形纸片ABCD的一侧，使边AM与AD在同一直线上（如图1），其中∠AMN＝90°，AM＝MN．
（1）猜想发现
老师将三角尺AMN绕点A逆时针旋转α．如图2，当0＜α＜45°时，边AM，AN分别与直线BC，CD交于点E，F，连结EF．小明同学探究发现，线段EF，BE，DF满足EF＝BE﹣DF；如图3，当45°＜α＜90°时，其它条件不变．
①填空：∠DAF+∠BAE＝________度；
②猜想：线段EF，BE，DF三者之间的数量关系是：________．
（2）证明你的猜想；
（3）拓展探究
在45°＜α＜90°的情形下，连结BD，分别交AM，AN于点G，H，如图4连结EH，试证明：EH⊥AN．
23. （5分）如图，从热气球C上测得两建筑物A，B底部的俯角分别为30°和60度．如
果这时气球的高度CD为90米．且点A，D，B在同一直线上，求建筑物A，B间的距离．
24. （2分）如图，梯形OABC中，BC∥AO，O（0，0），A（10，0），B（10，4），BC=2，G（t，0）是底边OA上的动点．
（1）tan∠OAC=________．
（2）边AB关于直线CG的对称线段为MN，若MN与△OAC的其中一边平行时，则t=________
25. （10分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米每秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C 点向A点运动.
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经一秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度是多少时，能够
使△BPD与△CQP全等?
26. （10分）已知抛物线y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）与x轴分别交于A （x1 ， 0）、
B（x2 ， 0）两点，直线y2=2x+t经过点A．
（1）已知A、B两点的横坐标分别为3、﹣1．
①当a=1时，直接写出抛物线y1和直线y2相应的函数表达式；
②如图，已知抛物线y1在3＜x＜4这一段位于直线y2的下方，在5＜x＜6这一段位于直线y2的上方，求a的取值范围；
（2）若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个公共点，探求x2﹣x1与a之间的数量关系．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共8题；共8分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题： (共8题；共66分)
19-1、
20-1、
20-2、
20-3、
21-1、
21-2、22-1、
22-2、
22-3、
23-1、24-1、
24-2、
25-1、
25-2、
26-1、
26-2、。