福建省诏安县2015～2016学年初中学科知识能力竞赛数学试卷

诏安县2015～2016学年初学科知识能力竞赛数 学 试 卷（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题（每小题4分 共40分）1若a ：b ：c ＝2：3：7，且a －b ＋3＝c －2b ，则c 值为何（ ）A ．7B ．63C ．221D ．421 2若949)7(22+-=-bx x a x ，则b a +之值为何（ ）A ．18B ．24C ．39D ． 453观察图正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（ ）A 第502个正方形的左下角B 第502个正方形的右下角C 第503个正方形的左上角D 第503个正方形的右下角4在△ABCE 是BC 的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF , ，S △BEF 且S △ABC =12，则S △ADF —S △BEF =（ ）A1 B2 C3D4第4题图 第5题图 第6题图5如图，已知直线l ：y=33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为（ ）A ．（0，64）B ．（0，128）C ．（0，256）D ．（0，512）6如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其∠CAB=90°，BC=5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=2x －6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）A 4B 8C 16D 7关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A 1B －1C 1或－1D 28平面直角坐标系，已知点O （0,0）、A （0,2）、B （1,0），点P 是反比例函数1y=x-图象上的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为点Q ，若以点O 、P 、Q 为顶点的三角形与 △OAB 相似，则相应的点P 共有（ ）A1个 B2个 C 3个 D4个9设一元二次方程(x －1)(x －2)＝m （m ＞0）的两实根分别为α，β，则α，β满足（ ）A 1<α<β<2B 1<α<2 <βC α<1<β<2D α<1且β>210如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（ ）A28 B56 C60 D 124二、填空题（每小题5分 共50分）11定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b=ab +b ,当a <b 时，a ⊕b=ab-a ；若(2x -1)⊕(x +2)=0,则x = ．12如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．13若111a m =-，2111a a =-，3211a a =-，… ；则2011a 的值为 ．（用含m 的代数式表示）14如图①为Rt △AOB,∠AOB=090, 其 OA=3，OB=4，将△AOB 沿x 轴依次以A 、B 、O 为旋转心顺时针旋转，分别得图②，图③，……，求旋转到图⑩时直角顶点的坐标是_______________15关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是x 1=－2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程2(2)0a x m b +++=的解是 。

16已知函数2()1f x x =+，其f (a )表示x =a 时对应的函数值，如2(1)11f =+，2(2)12f =+，2()1f a a=+，则(1)(2)(3)(100)f f f f _ ．17如图，在平面直角坐标系，菱形OABC 的顶点B 的坐标为（8，4）则C 点的坐标为 。

18如图11，直线y =kx +b 经过A （﹣1，1）和B （-7，0）两点，则不等式0＜kx ＋b ＜﹣x 的解集为 ．19如图，在四边形A B C D ，P 是对角线BD 的点，E F ，分别是A B C D ，的点18AD BC PEF =∠=，，则PFE ∠的度数是 ．第20题20 如图20，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接AC ，将矩形纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置．若B （1，2），则D 的横坐标是 三、解答题（ 共60分）C FDBE AP（第19题）21已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123320x x x x ---=求242(1)4a a a++⋅-的值。

22（1）若工厂计划获利14万元，问A,B 两种产品应分别生产多少件？（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．23已知直线343+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∠ABC=60°，BC 与x 轴交于点C （1）试确定直线BC 的解析式 （2）若动点P 从点A 运动沿AC 向C 运动（不与A 、C 重合），同时动点Q 从C 点出发沿CBA 向点A 运动（不与C 、A 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度设△APQ 的面积为S ，P 点的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围（3）在（2）的条件下，当△APQ 的面积最大时，y 轴上有一点M ，平面内是否存在一点N ，使以A 、Q 、M 、N 为顶点四边形为菱形？若存在，请直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理由24如图，在直角坐标系，点A 的坐标为（0，8），点B （t b ,）在直线b x =上运动，点D 、E 、F 分别为OB 、OA 、AB 的点，其b 是大于零的常数 （1）判断四边形DEFB 的形状，并证明你的结论； （2）试求四边形DEFB 的面积s 与b 的关系式；（3）设直线b x =与x 轴交于点C ，问：四边形DEFB 能不能是矩形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由数学竞赛参考答案及评分标准二，填空题 11、 -1或21 12 )2(+n n 13、11m - 14、()0,36 15、x 1=－4，x 2=－116、5151 17、 (3,4) 18、﹣7＜x ＜﹣1 19、18 20、53- 三，解答21 解：∵关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=有两根21,x x∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥----=∆--=⋅-=+04741447222222121a a a a a x x a x x 即：1-≥a∵12123320x x x x ---= ()0232121=-+-⋅x x x x ∴()0223472=----a a a解得4,321=-=a a ∵1-≥a ∴4=a 把4=a 代入242(1)4a a a ++⋅-，得：2463442441641=⋅=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+（15分） 22 （1）设生产A 种产品x 件，则生产B 种产品有10x -件，于是有1(10)314x x ⨯+-⨯=，解得8x =，所以应生产A 种产品8件，B 种产品2件；（2）设应生产A 种产品x 件，则生产B 种产品有10x -件，由题意有25(10)443(10)14x x x x +⨯-≤⎧⎨+⨯->⎩，解得28x ≤<； 所以可以采用的方案有：234567,,,,,,876543A A A A A A B B B B B B ======⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨======⎩⎩⎩⎩⎩⎩共6种方案；（3）由已知可得，B 产品生产越多，获利越大，所以当28A B =⎧⎨=⎩时可获得最大利润，其最大利润为218326⨯+⨯=万元。

（15分）23．解：（1）由已知得A 点坐标（－4，0），点B 坐标（0，34）， ∵OA=4，OB=34 ∴∠BAO=60°∵∠ABC=60°∴△ABC 是等边三角形 ∵OC=OA=4∴C 点坐标（4，0）设直线BC 解析式b kx y +=，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=343b k ，∴直线BC 解析式为343+-=y（2）当P 点在AO 之间运动时，作Q H ⊥x 轴∵CB CQ OB QH =，∴8234tQH =，∴t QH 3= ∴()4023321212≤<=⋅=⋅=∆t t t t QH AP S APQ 同理，可得()()843423338212≤<+-=-⋅=∆t t t t t S APQ （3）存在，（4，0），（－4，8），（－4，－8），（－4，338）说明：以上各题，学生如果有其它正确解法，可酌情给分（15分） 24（15分）（1）四边形DEFB 是平行四边形证明：∵D 、E 分别是OB 、OA 的点，∴DE ∥AB ，同理，EF ∥OB ，∴四边形DEFB 是平行四边形 （2）解法一：b b S AOB 4821=⋅⋅=∆ 由（1）得E F ∥OB ，∴△AEF ～△AOB ，∴,212⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆AOB AEF S S ∴b S S AOB AEF ==∆∆4同理b S ODE =∆，∴b b b b S S S S AEF O D E AO B 24=--=--=∆∆∆，即()02>=b b S解法二：如图，连结BE ，b b S AOB 4821=⋅⋅=∆ ∵E 、F 分别为OA 、AB 的点，∴b S S S AOB AEB AEF ===∆∆∆4121同理b S ODE =∆，∴b b b b S S S S AEF O D E AO B 24=--=--=∆∆∆，即()02>=b b S（3）解法一：以E 为圆心、OA 长为直径的圆记为⊙E①当直线b x =与⊙E 相切或相交时，若点B 是切点或交点，则∠ABO=90°，由（1）知，四边形DEFB 是矩形此时,0,40>≤<t b 可得△AO B ～△OBC ，故BOOA BC OB =即t BC OA OB 82=⋅=（注：本式也可以由三角函数值得到）在Rt △OBC ，22222b t OC BC OB +=+=，∴t b t 822=+,∴0822=+-b t t 解得：22,1164b t -±=②当直线b x =与⊙E 相离时，∠AB O ≠90°，∴四边形DEFB 不是矩形，此时4>b ， ∴当4>b 时，四边形DEFB 不是矩形综上所述，当40≤<b ，四边形DEFB 是矩形，这时22,1164b t -±=；当4>b 时，四边形DEFB 不是矩形解法二：由（1）知，当∠ABO=90°，四边形DEFB 是矩形，此时Rt △OB C ～Rt △ABO ，∴BOOA BC OB =，BC OA OB ⋅=2又()0,8,22222>==+=+=t t BC OA t b BC OC OB ，∴t b t 822=+，∴()22164b t -=-① 当0162≥-b 时，解得22,1164b t -±=，这时四边形DEFB 是矩形② 当0162<-b ，t 无实数解，这时四边形DEFB 不是矩形综上所述，当0162≥-b 时，四边形DEFB 是矩形，此时22,1164b t -±=解法三：如图，过点A 作A M ⊥BC 于点M ，在Rt △AMB ，()222228t b BM AM AB -+=+=在Rt △OCB ，22222t b BC OC OB +=+=在△OAB ，当222OB AB OA +=，∠ABO=90°，则四边形DEFB 是矩形 ∴()2222288=-+++t b b t ，化简得228b t t -=-，配方得：()22164b t -=-其余同解法二（2018年10月最新下载到博学网）。