武汉市光谷二高高三数学模拟训练
湖北省武汉市第二中学2023-2024学年高三上学期数学周练(三)B卷
三、填空题
13．函数 y lg cos x
3 2
的定义域为
.
14．在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， PA 底面 ABCD ，且 PA 2 ， E 为 PC 的
中点，则 P 到平面 BDE 的距离为
．
15．已知点 M 为抛物线 y x 2 上任意一点，点 N 为圆 x2 y2 2 y 3 0 上任意一点，点 P 1, 2 ，则
0
，
q
1 ，当
n
为奇数时
Sn
单调增，则
Sn
无最大值，
当 q
1
时 Sn
a1 q 1
qn 1
，
a1 q 1
0
，
q
1
,
Sn
单调增,
则 Sn 无最大值；
必要性：当 q 1 时， Sn na1 ，又 a1 0 ，则 Sn 无最大值. 可得“ a3 a1”不是“ Sn 无最大值”的必要条件； 由此可知“ a3 a1”是“ Sn 无最大值”的充分不必要条件.故选：A.
武汉市第二中学2024 届高三上数学周练（三）B 卷
一、单选题
1．复数 z (1 i)2 （ i 为虚数单位）的虚部为（ ）
1 i
A．1
B．－1
C． i
D． i
2．已知集合 A {x∣2a x a 1}， B {x∣ 2 x 3} ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 3,1
【详解】由 f (x) aex ln x x ， x 0, ，
x
f
x
a
xex ex x2
1 x
1
aex (x 1) x2
光谷二高高三文科数学训练卷
光谷二高高三文科数学训练卷（二）一．选择题：（本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. cos465°= （ ） A ．42-6 B ．46-2 C ．426+ D ． 426+ 2．设全集}7,5,3,1{=U ，集合,|},5|,1{U M a M ⊆-= C U M={5，7}，则a 的值为 （ ） A ．2或－8 B ．－8或－2 C ．－2或8 D ．2或83．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为 （ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．[]10-， C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4. 函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为（ ）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]- C ．[2,2]- D ．(1,2]-5. 若x x f ln 4-2-x (x )2=，则(x)f 的单调递增区间为（ ）A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0) 6.已知a ，b 都是实数，那么“a 2＞b 2”是“a ＞b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin<+,则ABC ∆的形状是（ ）A ． 锐角三角形B ．直角三角形C ． 钝角三角形D ．不能确定 8.已知，）（34tan =+θπ则θθ22cos -sin2的值为（ ） A. 54- B. 54 C. 43- D. 539.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解 析式是 ( ) A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =10.二次函数2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0，+∞)，则11a c c a+++的最小值为 （ ） A ．2 B ．2+2 C ．4 D ．222+二 ，填空题(本大题共7小题，每小题5分共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)11.已知全集U =R ，函数11y x =+的定义域为集合A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合B A C U ⋂)(= 12. 如果)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+那么的值是 ； 13．若函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ． 则 f (2512π)＝ ； 14.已知函数a x f ++=2x (x )在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是 ；15.已知点O 是三角形ABC 的边BC 的中点，过点O 的直线交直线AB 、AC 分别于M 、N ，AM mAB =，AN nAC =，则11______.m n+= 16.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22a b 4c +-=（），且C=60°，则ab 的值为 .17. 给出下列命题：①函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32cos 4πx x f 的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛-0,125π； ②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,1；③若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α > sin β. ④ |a ·b |≦|a |·|b |。
湖北省武汉市武汉二中高三数学全真模拟考试(二)试题 理(含解析)
试卷类型：A武汉二中2014届高三全真模拟试卷二数学试题(理科)【试卷综述】试卷在考查基本知识、基本技能和基本思想的基础上,突出了对考生数学空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识的考查.对支撑高中数学学科的主干知识模块,如三角、数列、概率及统计、函数及导数、立体几何、解析几何等继续进行了重点考查；对新增内容继续进行了部分考查,但难度相对较小,体现命题者坚定推行新课程改革的决心及勇气,也充分遵循了《考试说明》中“难度适中”的命题原则.试题很好地区分了不同层次的考生对基本概念、公式、定理等掌握的情况.试卷具有较高的信度、效度和区分度,达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的目标. 命题人：刘官毅一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知i 是虚数单位,则21ii-等于（ ）A. 1i -+B. 1i -C. 22i -+D. 1i + 【知识点】复数的除法. 【答案解析】 A 解析 2(1)(1)1(1)(1)i i i i i i i +==+=-+-+,故选答案A. 【思路点拨】分子和分母都乘以分母的共轭复数,变成a+bi 这种形式即可. 2. 设集合}}{{|(1)0,|0A x x x B x x =+>=≥,则A B ＝（ ）A. [)0,+∞B. ()0,+∞C. RD. ∅【知识点】一元二次不等式;集合的并集运算.【答案解析】 B 解析 ：解：{01}A x x x =><-或,(0,)A B ⋂=+∞,故选B.【思路点拨】把集合A 的范围求出后和集合B 取交集即可. 3. 定义行列式运算：12142334a a a a a a a a -＝,若将函数sin ()cos x f x x=的图象向左平移(0)m m > 个单位长度后,所得图象对应的函数为偶函数,则m 的最小值是（ ）A. 8πB. 3πC. 56πD. 23π【知识点】三角函数的化一公式;图象的平移;偶函数.【答案解析】 C 解析 ：解：()sin 2cos()6f x x x x π=-=+,其图象向左平移(0)m m >个单位长度后解析式为()2cos()6fx x m π=++,其为偶函数,则6m k ππ+=,当0k =时, min 56m π=. 【思路点拨】由行列式的定义得到函数f(x)的解析式,再平移后其新的函数解析式为偶函数得到关于m 的式子,求得最小值.4. 已知点(1,1),(2,)A B y -,向量(1,2)a =,若//AB a ,则实数y 的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7D. 8【知识点】向量平行的坐标运算.【答案解析】 C 解析 ：解：(3,1),(1,2)AB y a =-=,//AB a ,则6-(y-1)=0,解得y=7. 【思路点拨】找到AB 和a 的坐标,利用向量共线的充要条件12210x y x y -=即可求得.5. 设实数,x y 满足条件41002800,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为（ ） A. 256 B. 83 C. 113D. 4【知识点】基本不等式;简单线性规划的应用.【答案解析】 A 解析 ：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,6. 某公司有普通职员150人、中级管理人员40人、高级管理人员10人,现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查,若在已抽取的40人的问卷中随机抽取一张,则 所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率＝（ ）A. 14B. 15C. 120D. 1100【知识点】抽样方法;概率的计算.【答案解析】 C 解析 ：解：抽取40人中高级管理人员共40102200⨯=人, 则 所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率214020P ==,答案C 正确. 【思路点拨】抽取的40人中高级管理人员共2人,可求出所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率.7.如图是两个全等的正三角形,给定下列三个命题：①存在四棱锥,其正视图、侧视图如图； ②存在三棱锥,其正视图、侧视图如图；③存在圆锥,其正视图、侧视图如图.其中真命题 的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 【知识点】三视图和直观图的转化.【答案解析】 A 解析 ：解：易知①③成立,对于②,存在满足题意的三棱锥,其底面为等腰直角三角形,顶点在底面上的投影为斜边的中点,侧棱长是底面直角三角形直角边的. 【思路点拨】由正视图和侧视图得到三棱锥底面三角形的特点、顶点在底面上射影的位置、 侧棱长和底面三角形直角边的等量关系.8. 已知函数||2()x f x e x =+（e 为自然对数的底数）,且(32)(1)f a f a ->-,则实数a 的取值范围 为（ ）A. 13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. 130,,24⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识点】函数单调性的性质．【答案解析】 A 解析 ：解：∵f （x ）=e |x|+x 2,∴f （-x ）=e |-x|+（-x ）2=e |x|+x 2=f （x ）则函数f （x ）为偶函数且在[0,+∞）上单调递增∴f （-x ）=f （x ）=f （|-x|）∴f （3a-2）=f （|3a-2|）＞f （a-1）=f （|a-1|）,即|3a-2|＞|a-1|,两边平方得：8a 2-10a+3＞0, 解得a ＜12或a ＞34故选A ．【思路点拨】先判定函数的奇偶性和单调性,然后将f （3a-2）＞f （a-1）转化成f （|3a-2|）＞f （|a-1|）,根据单调性建立不等关系,解之即可．【典型总结】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的综合应用,绝对值不等式的解法,同时考查了转化的思想和计算能力,属于基础题．9. p 是双曲线221916x y -=左准线上一点,12F F 、分别是其左、右焦点,2PF 与双曲线右支交于点Q,且23PQ QF =,则1||QF 的值为（ ）A. 165B. 4C. 10225D. 172【知识点】定比分点坐标公式;双曲线的第二定义.【答案解析】 D 解析 ：解：设Q 的横坐标为x,因为23PQ QF =得x=3310,由双曲线的第二定义得21533917()()31052a QF e x c =+=+=.【思路点拨】由定比分点坐标公式求得Q 的横坐标,再利用双曲线的第二定义得1||QF 的值. 10. 定义在R 上的函数()f x 满足1(0)0,()(1)1,()()32x f f x f x f f x =+-==,且当1201x x ≤<≤时,12()()f x f x ≤,则1()2014f 的值为（ ）A. 1256B. 1128C. 164D. 132【知识点】函数单调性的判断与证明;函数的值.【答案解析】 B 解析 ：解：∵定义在R 上的函数f （x ）满足f (0)＝0,f (x )+f (1−x )＝1,1()()32x f f x =,11(1)(0)1,(1)1;()(1)122f f f f f ∴+=∴=+-=,1111();()(1)f f f ∴==14582014>1()2014f ≥又211111()()()145824862162f f f === 71(1)2f ==二、填空题(本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分) (一)必考题(1114题)11. 某部门计划对某路段进行限速,为调查限速60/km h 是否合理,对通过该路段的300辆汽车 的车速进行检测,将所得数据按[)[)[)[)40,50,50,60,60,70,70,80分组,绘制成如图所示的频率分布直方图,则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 辆. 【知识点】频率分布直方图.【答案解析】 180 解析 ：解：车速低于限速的频率为 1-0.3-0.1=0.6,则车速低于限速的汽车数量为300*0.6=180 【思路点拨】求出低于限速的频率,再用样本容量乘以频率即可 得到满足题意的汽车数量.12. 某程序的框图如图所示,若输出的结果不大于37,则输入的整数i的最大值为. 【知识点】程序框图的应用.【答案解析】 5 解析 ：解：由S=0,n=0得出S=0+20+1=2,n=1；由S=2,n=1得出S=2+21+1=5,n=2；由S=5,n=2得出S=5+22+1=10,n=3；由S=10,n=3得出S=10+23+1=19,n=4；由S=19,n=4得出S=19+24+1=36＜37,n=5；由S=36,n=5得出S=36+25+1＞37,∴当S=36时为满足条件时输出的结果,应终止循环,因此判定输入的整数i 的最大值为5．【思路点拨】分别计算n=1,2,3,…时的S 的值,直到满足S 不大于37时,进而即可得出结论．13. 已知不等式|1|22a x y z -≥++,对满足2221x y z ++=的一切实数x y z 、、都成立,则实数a 的取值范围为 .【知识点】柯西不等式在函数极值中的应用.【思路点拨】由柯西不等式可得9=（1+2+2）（x +y +z ）≥（1×x+2×y+2×z），即可得出x+2y+2z 的取值范围,进而求得a 的取值范围.11题图12题图14. 如图,对大于等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：仿此,26的“分裂”中最大的数是 ；32013的“分裂”中最大的数是 . 【知识点】归纳推理．【答案解析】 11 220132012+解析 ：解：对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”,不难发现：在n 2中所分解的最大的数是2n-1；故62的“分裂”中最大的数是11；在m 3（m 为奇数）的“分拆”的最大数是m 2+m-1,所以20132+2012=4054181,写成“20132+2012”或“4054181”故答案为：11；20132+2012．【思路点拨】根据所给的数据,不难发现：在n 2中所分解的最大的数是2n-1；在m 3中,所分解的最大数是m 2+m-1．根据发现的规律可求．(二)选考题(1516题)15. （几何证明选讲）如图,在O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF BC ⊥,垂足为F,若AB ＝6,5CF CB =,则AE ＝ .【知识点】与圆有关的比例线段．【答案解析】 1 解析 ：解：根据射影定理得： CE 2=CF •CB,且CE 2=AE •EB,又CF •CB=5,∴AE •EB=5, 即AE •（AB-AD ）=5,又AB=6,∴AE •（6-AE ）=5,解之得AE=1．故答案为：1【思路点拨】由于CD 垂直于直径AB,且EF ⊥BC,AB 为圆的直径,根据射影定理得,CE 2=CF •CB,且CE 2=AE •EB,从而得出AE •EB=5,又AB=6,从而有AE •（6-AE ）=5,由此可解出AE 的值．16. （坐标系与参数方程）曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=,设直线l 的参数方程是32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,直线l 与x 轴的交点是M,而N 为曲线C 上一动点,则||MN 的最大值是 . 以ρ,化为普通方程为 x 2+y 2=2y,即 x 2+（y-1）2=1,表示以（0,1）为圆心,以1为半径的圆．直线l 的参数方程是32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,消去参数t 可14题图【思路点拨】曲线C 化为普通方程为 x 2+y 2=2y,即 x 2+（y-1）2=1,直线l 的方程是三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本题满分12分）已知函数2()2sin()sin cos 3f x x x x x π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【知识点】三角函数的最小正周期;二倍角公式;化一公式;三角函数的最值.【答案解析】 （1）T π=（2）max min ()2,()1f x f x ==解析 ：解：（1）2()[2(sin coscos sin )sin ]cos 33f x x x x x x ππ=++-222sin cos x x x x =sin 222sin(2)3x x x π=+=+于是（1）函数()f x 的最小正周期2(6)2T ππ==分 （2）50,24336x x ππππ≤≤∴≤+≤ 1sin(2)1,1223x y π∴≤+≤≤≤则max min ()2,()1f x f x ∴== （12分）【思路点拨】(1)利用化一公式把函数化为2sin(2)3x π+,即可求出最小正周期T;(2)由x 得范围得到23x π+的范围，从而求得最大值和最小值.18. （本题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ,11a =,且对任意正整数n,点1(,)n n a S +在直线220x y +-=上.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若2n n b na =,求数列}{n b 的前n 项和.【知识点】数列的求和;等差数列的通项公式.【答案解析】 （1）11()2n n a -= （2）11634994n n n T -+=-⨯解析 ：解：（1）因为点1(,)n n a S +在直线220x y +-=上,所以1220n n a S ++-= （1分）当1n >时,1220n n a S -+-= （2分）两式相减得11220n n n n a a S S +--+-=,即111220,2n n n n n a a a a a ++-+== （3分）又当1n =时,2121211122220,22a S a a a a +-=+-=== （4分）所以数列}{n a 是首项11a =,公比12q =的等比数列,其通项公式为11()2n n a -= （6分）（2）由（1）知,214n n n nb na -==, （7分） 记数列}{n b 的前n 项和为n T ,则22123114444n n n n nT ---=+++++ （8分）3231442444n n n n nT ---=+++++ （9分）两式相减得32111111634354444334n n n n n n n T ----+=++++-=-⨯ （11分）所以数列}{n b 的前n 项和为11634994n n n T -+=-⨯ （12分）【思路点拨】（1）由已知条件可得1? 2a +S 20n n +-=,可得n ≥2时, 1220n n a S -+-=,19. （本题满分12分）如图,直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直.//,,222,.AB CD AB BC AB CD BC EA EB ⊥===⊥ （1）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）线段EA 上是否存在点F,使//EC FBD 平面？若存在,求出EFEA；若不存在,请说明理由.【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面平行的判定; 向量语言表述线面的垂直、平行关系. 【答案解析】（1（2）略解析 ：解：（1）设O 为AB 的中点,连接OD 、OE,因为平面ABE ⊥平面ABCD,且EO AB ⊥,所以EO ⊥平面ABCD,所以EO OD ⊥,在直角梯形ABCD 中,由CD ＝OB,//CD OB 可得OD AB ⊥,由OB 、OD 、OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为三角形EAB 为等腰直角三角形,所以OA ＝OB ＝OD ＝OE ＝1 （2分） 由AB ＝2CD ＝2BC ＝2得(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -,所以(1,1,1)EC =-,平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD = （4分） 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ,所以||3sin |cos ,|||||EC OD EC OD EC OD θ=〈〉==即直线EC 与平面ABE （6分） （2）存在点F,且13EF EA =时,有//EC 平面FBD （7分） 证明如下：由111,0,333EF EA ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭,所以42,0,33FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （8分）设平面FBD 的法向量为(,,)n a b c =,则有0n BD n FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以042033a b a c -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取得1a =,得(1,1,2)n = （10分）因为(1,1,1)(1,1,2)0EC n =-=,且EC ⊄平面FBD,所以//EC 平面FBD.即点F 满足13EF EA =时,有//EC 平面FBD. （12分）【思路点拨】（1）由平面ABE ⊥平面ABCD,且EO ⊥AB,可得EO ⊥平面ABCD,从而可得EO ⊥OD ．建立空间直角坐标系,确定平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =, (1,1,1)EC =-,利用向量的夹角公式,可求直线EC 与平面ABE 所成的角;=0EC v ⋅=即可.20. （本题满分12分）中国蓝球职业联赛（CBA ）的总决赛采用七局四胜制,当两支实力水平相当的球队进入总 决赛时,根据以往经验,第一场比赛中组织者可获票房收入3a 万元,以后每场比赛票房收 入比上一场增加a 万元,当两队决出胜负后,求： （1）组织者至少可以获得多少票房收入？ （2）决出胜负所需比赛场次的均值.【知识点】排列、组合的实际应用;数列的应用. 【答案解析】解析 ：解：（1）设n 为比赛的场数,n a 为第n 场比赛的票房收入,则2153,2,2n n n na a a an a S a +==+= （2分）4n ≥,∴组织者至少可以获得票房收入是：24454182S a a +⨯==万元 （2）（理）当ξ表示决出胜负的比赛场数,则ξ的取值为4,5,6,7, （5分）14211(4)()28P C ξ=== （6分） 1352411(5)()24P C C ξ=== （7分）1362515(6)()216P C C ξ=== （8分） 1372615(7)()216P C C ξ=== （9分）ξ的概率分布列为：4567 5.8125841616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=, （11分）所以决出胜负的比赛场次的均值为6场. （12分）【思路点拨】（1）根据题意,分析可得分出胜败至少要4局,由等差数列的性质可得此时组织者可以获得的票房为3a+（3a+a ）+（3a+2a ）+（3a+3a ）,计算可得答案； （2）根据题意,要求的决出胜负所需比赛场次的均值就是变量决出胜负所需比赛场次的期望,可以设两队为甲队、乙队,再设决出胜负所需比赛场次的值为ξ,分析可得ξ可取的值为4、5、6、7,分别计算ξ=4、5、6、7时的概率,进而由期望计算公式计算可得答案． 21. （本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点A ,且离心率e .（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点(1,0)B -的直线l ,使得l 与椭圆C 交于M 、N 两点,且以MN 为直径的圆经过坐标原点O ？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,说明理由.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【答案解析】（1）2214x y +=（2）略解析 ：解：（1）由题意知c e a =, 即22222231,44c a b a c a ==-=,所以,椭圆的方程为222241x y a a+= （2分）又因为A 为椭圆上的点,所以2211214a a +=解得24a =,可知21b =,所以,椭圆C 的方程为2214x y += （5分）（2）因为直线l 经过椭圆内的点(1,0)B -,所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M,N,当直线l的斜率不存在时,其方程是1x =,代入2214x y +=得y =,可知((1,M N --,所以,以MN 为直径的圆不经过坐标原点O （7分）当直线l 的斜率存在时,可设l 的方程为1122(1),(,),(,)y k x M x y N x y =+,由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(14)8440k x k x k +++-=, 22121222844,1414k k x x x x k k --+==++, （9分） 若以MN 为直径的圆经过坐标原点O,则0OM ON = （10分） 可得222121212121212(1)(1)(1)()0x x y y x x k x k x k x x k x x k +=+++=++++=即2222222448(1)01414k k k k k k k--+++=++,解得2k =±.综上所述,存在过点(1,0)B -的直线l ,使得以l 被椭圆C 截得的弦为直径的圆经过原点O,l 的方程为2222y x y x =+=--或 （13分）221(0,0)y a bb =>>经过点 A (1,2,且离心率e=,结合b 2=a 2-c 2,即可求得椭圆C 的方程; （2）因为直线l 经过椭圆内的点B （-1,0）,所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M,N ．当直线l 的斜率不存在时,其方程是：x=-1,以MN 为直径的圆不经过坐标原点O,当直线l 的斜率存在时,设方程是y=k （x+1）,将直线方程与椭圆方程联立,利用以MN 为直径的圆经过坐标原点O. 22. （本题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++.（1）若对定义域内的任意x ,都有()(1)f x f ≥成立,求实数b 的值； （2）若函数()f x 是定义域上的单调函数,求实数b 的取值范围；（3）若1b =-,证明对任意的正整数n ,不等式33311111()123n k f k n=∑<++++成立.【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【答案解析】解析 ：解：（1）由10x +>,得1x >-. ()f x ∴的定义域为()1,-+∞ （1分）因为对(1,)x ∈-+∞,都有()(1),(1)()f x f f f x ≥∴是函数的最小值,故有'(1)0f =. （2分） 又'()2,'(1)2012b b f x x f x =+∴=+=+,解得4b =- （3分） 经检验,当4b =-时,()f x 在(1,1)-上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,(1)f 为最小值, 故满足()(1)f x f ≥成立. （4分）（2）222'()211b x x b f x x x x ++=+=++,又函数()f x 在定义域上是单调函数. '()0'()0f x f x ∴≥≤或在()1,-+∞上恒成立 （6分） 即2211222()22b x x x ≥--=-++恒成立,由此得12b ≥； （8分） 若'()0f x ≤,则201b x x +≤+在()1,-+∞上恒成立.即2211222()22b x x x ≤--=-++恒成立. 因为2112()22x -++在()1,-+∞上没有最小值,∴不存在实数b 使'()0f x ≤恒成立. 综上所述,实数b 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （10分） （3）当1b =-时,函数2()ln(1)f x x x =-+. 令332()()ln(1)h x f x x x x x =-=-+-+ 则32213(1)'()3211x x h x x x x x +-=-+-=-++,当(0,)x ∈+∞时,'()0h x <, 所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减又(0)0,h =∴当[)0,x ∈+∞时,恒有()(0)0h x h <=, 即23ln(1)x x x -+<恒成立.故当(0,)x ∈+∞时,有3()f x x < （12分）*1,(0,)k N ∈∴∈+∞,取1x =,则有311()f <.33311111()1n k f n=∴∑<++++ （14分） 3n ++。
湖北省武汉市第二中学等校2023届高三下学期高考冲刺模拟(六)数学试题
秘密★启用前湖北省2023年高考冲刺模拟试卷数学试题（六）本试卷共4页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg ,0100}A y y x x ==<<，2{|450}B x x x =-+>+，则A B =A ．(0,2)B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(1,5)-2．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则122i z z z ⋅+= A ．31i 22- B ．31i 22+C ．31i 22--D ．31i 22-+3．如图，已知AOB 是半径为2，圆心角为π2的扇形，点E ，F 分别在OA ，OB 上，且3OA OE =，3OB OF =，点P 是圆弧上的动点（包括端点），则PE PF ⋅的最小值为A ．4B ．4C ．83D ．1634．中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分)，现有 一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲 池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为180︒，则该几何体的表面积为 A ．15π22+ B ．15π42+ C ．7π2+ D ．9π4+5=A ．-B ．6-C ．D ．66．设0.02e a =，211(sin cos )100100b =+，5150c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是 A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．b a c << 7．已知双曲线Γ：22421x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线分别交双曲线Γ的左右两支于A ，B 两点，且22F AB F BA ∠=∠，则2||BF =A 4B ．4C ．D 8．若存在a R ∈，使对于任意1[,]x e e∈，不等式22ln (2)ln x ax bx e e x e +-+剟恒成立，则实数b 的最小值为A ．21e e e +--B ．3211e e e ++-- C ．e - D ．1-二、多项选择题：本大题共4小题， 每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知其前n 项和为n S ，981S =，且2a ，5a ，14a等比数列，则下列结论正确的是 A ．21n a n =+ B ．1210012100(1)(1)(1)100a a a -+-+-=C ．2n S n =D ．设数列{}12n n a +⋅的前n 项和为n T ，则122n n T n +=⋅+10．已知函数()f x 对x ∀∈R 都有()()()42f x f x f =++，若函数()3y f x =+的图象关于直线3x =-对称，且对1x ∀，[]20,2x ∈，当12x x ≠时，都有()()()()21210x x f x f x -->， 则下列结论正确的是A ．()20f =B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是周期为4的周期函数D ．(2023)(100)f f <-11．某人有6把钥匙，其中4把能打开门．如果不放回地依次随机抽取3把钥匙试着开门，设事件i A 为“第i 次能打开门”，则下列结论中正确的是 A ．事件1A 与2A 互斥B ．22()3P A =C ．128()9P A A =D ．323(|)5P A A =12．我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪．如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的 五面体，四边形ABCD 为正方形，//EF 平面ABCD ，=24AB EF =，AE DE BF ==CF ==A ．该几何体的表面积为16B ．该几何体的体积为C ．该几何体的外接球的表面积为40πD ．AE 与平面FBC 所成角的正弦值为12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若()()2611axx ++的展开式中4x的系数为45-，则实数a 的值为__________．14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上横坐标为4的点到抛物线焦点F 的距离为9，B 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，OFB ∠的平分线交抛物线C 于点A ，且120OFB ∠=︒，,A B 都在x 轴的上方，则直线AB 的斜率为__________．15．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动 时离开平衡位置的位移()f t （单位：cm ）与时间t （单位：s ）满足函数关系()3sin()f t t ωϕ=+(0,0||π)ωϕ><<，若函数()f t 在区间[,1]a a +上的最大值为M ，最小值为N ，则M N -的最小 值为__________．16．已知圆O ：222x y r +=与直线34100x y +-=相切，函数()log (21)a f x x =-P ，过点P 作圆O 的两条互相垂直的弦AC ，BD ，则四边形ABCD 面积的最大值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且数列{}n S 是3为公比的等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()1nn n b a =-⋅，求和11523n b b b b +++++．18．（12分）为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用，推进生态文明建设，由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12月1日起施行．某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前 9并计算得：9111909i i y y ===∑，921()60i i x x =-=∑，921()55482i i y y =-=∑，91()()1800i i i x x y y =--=∑． （1）从这9周的数据中任选4个周的数据，以X 表示4周中每周普及宣传人数不少于240人的周数，求X 的分布列和数学期望； （2）由于统计工作人员的疏忽，第5周的数据统计有误，如果去掉第5周的数据，试用剩下的数据求出每周普及的人数y 关于周数x 的线性回归方程．附：线性回归方程ˆˆy bxa =+中，1122211()()ˆ()nnii i i i i nniii i xx y y x ynx yb xx xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．19．（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，()π2sin cos sin sin 22A C Bb c a A c C +--=-．（1）若2a =，求ABC △面积的最大值；（2）若π3B =，在ABC △边AC 的外侧取一点D （点D 在ABC △外部），使得1DC =， 2DA =，且四边形ABCD2，求ADC ∠的大小．20．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为4的等边三角形，132AA AB =，1AA C A ⊥， 160BAA ∠=︒，D 在1CC 上 且满足12CD DC =．（1）求证：平面11ACC A ⊥平面BAD ；（2）求平面ABC 与平面11AB C 夹角的余弦值．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点落在直线2x a =上，且椭圆C过点M ．（1）求椭圆C 的方程；（2）,P Q 为椭圆C 上两个动点，且直线AP 与AQ 的斜率之积为16-，MD PQ ⊥，D 为垂足，求||AD 的最大值．22．（12分）已知函数222()ln ()x f x a x x a a=+--． （1）若0a <，()f x 的极大值为3，求实数a 的值；（2）若(0,)x ∀∈+∞，22()(1)x f x axe a x x a<+---，求实数a的取值范围．湖北省2023年高考冲刺模拟试卷数学试题（六）参考答案一、单项选择题，二、多项选择题：三、填空题13． 4- 14 15．3-16．5 13．4- 1415．3-16．517．解：（1）因为113S a ==，且数列{}n S 是3为公比的等比数列，所以1333n n n S -=⨯=，（2分）当2n …时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，（4分）当1n =时，13a =不满足上式，所以13,123,2,,n n n a n -=⎩⨯⎧=⎨…．（5分） （2）由已知可得()112(3,3,)2,,1nn n n b a n n --=⎧=⎨⎩=-⋅-⨯-…，（6分） 所以数列3521,,,n b b b +是以223-⨯为首项，9为公比的等比数列；（7分）所以3221523(19)9(19)194n n n b b b +-⨯⨯--+=-+=+，（9分） 所以1115329(19)39344n n n b b b b ++=++----=++．（10分） 18．解：（1）X 的可能取值为0，1，2，3．46495(0)42C P X C ===，31634910(1)21C C P X C ===，2263495(2)14C C P X C ===，1363491(3)21C C P X C ===，（4分）所以X 的分布列为()0123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（6分）则(12346789)58x =+++++++=，(1909203)88y =⨯-=， 81()()180001800iii x x y y =--=-=∑，821()60060ii x x =-=-=∑，（7分）所以81821()()1800ˆ3060()iii ii x x yy bx x ==--===-∑∑，所以1507307ˆˆ53088a y bx =-=-⨯=，（11分）故剩下的数据所求出的线性回归方程为307308y x =+ ．（12分） 19．解：（1）因为()π2sincos 22A C Bb c +--sin sin a A c C =-，πA C B +=-，可得 ()sin sin sin b c B a A c C -=-，又由正弦定理得()22b c ba c -=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==，∵0πA <<，∴π3A =，即π3BAC ∠=． （3分）ABC △中，由余弦定理得2222cos a b c b c BAC =+-⋅⋅∠，则224b c b c b c =+-⋅⋅…，当且仅当a b =时取等号，11sin 4222ABC Sb c BAC ∴=⋅⋅∠⨯⨯=△… a b =时，ABC △面积取得最大值5分）（2）设(0π)ADC θθ∠=<<，则1sin sin 2ACD S AD DC θθ=⋅=△，（7分）在ADC △中，2222cos 54cos AC AD DC AD DC θθ=+-⋅=-，由（1）知ABC △为正三角形，故2ABC S AC θ==△，（9分） 故sin 2sin()23πABCDS θθθ=+=-=，（10分）因为0πθ<<，故sin()1π3θ-=，32ππθ∴-=，即5π6θ= ．（12分） 20．解：（1）如图，过点D 作DE AC ∥交1AA 于E ，连接,CE BE ，设AD CE O =，连接BO ，1AC AA ⊥，DE AE ∴⊥，又12CD DC =，可得4CD =，∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥，（2分）AC AE =，BAC BAE ∠=∠，BA BA =，BAC BAE ∴≅△△，BC BE ∴=，O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥，（4分）因为AD BO O =，CE ∴⊥平面BAD ，又CE ⊂平面11ACC A ，∴平面11ACC A ⊥平面BAD ．（5分）（2）在Rt BOC △中，12CO CE==，BO ∴=又4AB =，12AO AD ==， 222BO AO AB +=，BO AD ∴⊥，又BO CE ⊥，AD CE O =，,AD CE ⊂平面11AAC C ，BO ∴⊥平面11AAC C ，故建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2,2,0)A -，(0,0,22)B ，(2,2,0)C --，1(2,4,0)C -，1B ，11CB C B ∴==，1(4,6,0)AC =-，(4,0,0)CA =，（6分）设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)x y z =m ，则111C B AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩m m ，11111460220x y x y -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令1=6x ，得(6,4,=-m ，（8分） 设平面ABC一个法向量为222(,,)x y z =n ，则CB CA ⎧⊥⎨⊥⎩n n ，22224022220x x y z =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2y 1)=-n ，（10分）|cos ,|⋅<>===⋅|m n |m n m n ，故平面ABC 与平面11AB C 夹角的余弦值 ．（12分）21．解：（1）设椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点(,)m n ，则有21,250,22nmm n ⎧⨯=-⎪⎪⎨⎪⨯--=⎪⎩（1分）4m ∴=，2n =-，椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点落在直线2x a =上，24a ∴=，（3分）又椭圆C过点M ，可得213142b +=， 解得22b =， 所以椭圆C 的方程22142x y +=．（5分）（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意得直线PQ 斜率不为零， 设:PQ l x my t =+，由22142x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22()240my t y ++-=，即222(2)240m y mty t +++-=，所以12221222242mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，，（6分） 由16AP AQ k k =-， 得12121226y y x x ⋅=-++， 即()()12126220y y x x +++=， 所以()()12126220y y my t my t +++++=，所以()()2212126(2)(2)0m y ym t y y t ++++++=，所以()22222426(2)(2)022t mtm m t t m m --+++++=++，化简得220t t +-=，所以1t =或2t =-，（9分）若2t =-，则直线:2PQ l x my =-过椭圆的左顶点，不适合题意，所以1t=，所以:1PQ l x my =+过定点()1,0S ，因为MD PQ ⊥，D 为垂足，所以D 在以MS 为直径的圆上，MS =，MS 的中点为T ，又(2,0)A -，所以||4AT ==，所以||AD的最大值为+2MS AT =， 即||AD 的最大值为2．（12分） 22．解：（1）因为0a <，由20xa>，得0x <，即()f x 的定义域为(,0)-∞． 因为222()ln ()x f x a x x a a=+--，所以1221()2()()2a f x a x x x x a x a'=+--=--+， 因为0x <，0a <，10x a+<，所以当(,)2ax ∈-∞时，()0f x '>，当(,0)2ax ∈时，()0f x '<，所以当0a <时，()f x 在(,)2a -∞上单调递增，在(,0)2a上单调递减.所以当2a x =时，()f x 取得极大值222()ln1()132244a a a a f a a =+-⨯-=-=，解得4a =-．（5分）（2）当(0,)x ∈+∞时，0a >，22()(1)xf x axe a x x a<+---， 即2lnx x axe x a <-，所以22ln ln()x x axe axe a<-． 令(0)xt axe t =>，则22ln ln t t a<-，（7分）令()ln g t t t =-，则11()1t g t t t-'=-=，所以当(0,1)t ∈时，()0g t '<，当(1,)t ∈+∞时，()0g t '>，所以()g t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以0t ∀>，()(1)1g t g =…，即0x ∀>，ln()1x x axe axe -…，（10分）所以22ln1a <，所以22e a <，又0a >，所以a >所以实数a 的取值范围是)+∞．（12分）。
武汉二中高三数学模拟(二)
武汉二中高三数学模拟(二)一、选择题.1．函数22()log ()f x x ax a =--的值域为R 且在(,1-∞上单减, 则a 范围( )A ．a >0B ．0≤a ≤2C ．20a -≤<D ．－4<a <22．点P 到1(,0),(,2)2A B a 及到直线12x =-的距离都相等, 如果这样的点恰有且只有一个, 则a的值为( ) A ．12 B ．32C ．1322或D ．1122-或 3．已知抛物线23y x =-+上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B , 则|AB |＝( )A ．3B ．4C ．D ．4．以()x Φ表示标准正态总体在区间(,)x -∞内取值的概率, 若随机变量2~(,)N ξμδ, 则(||)P ξμδ-<＝( )A ．()()μδμδΦ+-Φ- C ．1()μδ-ΦB ．(1)(1)Φ-Φ- D ．2()μδΦ+ 5．2()lg()1f x a x=+-为奇函数, 使f(x )<0的方程为( )A ．(－1, 0)B ．(0, 1)C ．(,0)-∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 6．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中AB ＝1, AD ＝2, AA 1＝3, ∠BAD ＝90︒, ∠BAA 1＝∠DAA 1＝60︒, 则AC 1的长度( )A B C D 7．设a , b , c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边, 则a 2=b (b +c )是A ＝2B 的( )条件. A ．充要条件 B ．充分不必要 C ．必要不充分 D ．均不是 8．在同一平面上有△ABC 及一点O 满足关系式22222||||||||||OA BC OB CA OC +=+=2||AB +, 则O 为△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．垂心 D ．重心9．若一条直线与一个平面平行, 称此直线与平面构成一个“平行线面对”在平行六面体中由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面对”个数为( ) A ．60 B ．48 C ．36 D ．24 10．已知22:16,(2,0),(2,0)O x y A B +=-为两定点, l 为O 的一条切线, 若过A 、B 两点的抛1物线以直线l 为准线, 由抛物线的焦点所在轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆二、填空题.11. 过A(2, －2)作曲线33y x x =-的切线, 其切线方程为.12. 直线:(0)l x my n n =+>过点(4,A ,若可行域00x my n y y ≤+⎧-≥≥⎩的外接圆直径为,则实数n 的值为 .13. 已知随机变量~(,)B n p ξ, 若4,23, 3.2E D ξηξη==+=, 则(2)p ξ+= .(结果用数字表示) 14. 已知函数()f x =, 则()f x 的值域为 .15. 对有(4)n n ≥个元素的总体{1,2,3,,}n 进行抽样, 先将总体分成两个子总体{1,2,,}m 和{1,2,}m m n ++(m 是给定的正整数, 且22m n ≤≤-)再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本, 用ij p 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率, 则1n p = 所有(1)ij p i j n ≤≤≤的和等于 .三、解答题.16. 在△ABC 中, 已知AB B =, AC 边上的中线BD =, 求sin A 的值.17. 如图, 在边长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, E 为AD 中点.(1)求二面角E －A 1C 1－D 1的平面角的余弦值；(2)求四面体B －A 1C 1E 的体积.18. 袋中有5个红球和5个白球, 每次从中至少取一个球, 取得一个红球得2分, 取得一个白球得1分, 如果取一次得分超过12分, 则该次取球无效. (1)求取球一次得分恰好为12分的概率；(2)如果规定一次取四个球, 求得分ξ的数学期望； (3)若每次取一个球, 取后放回, 连续取n 次, 设取得红球次数的概率为n a , 求40.5a =, 且10.5(4)n a n -≤≤的概率.19. 已知椭圆221:14x C y +=, 双曲线2C 的左、有焦点分别是1C 的左右顶点, 而2C 的左右顶点分别是1C 的左右焦点. (1)求双曲线2C 的方程；(2)若直线y kx =2C 恒有两个不同的交点A 、B, 且2OA OB >(O 为原点)求k 的取值范围；(3)设12,P P 分别为2C 的两条渐近线上的点, 且点M 在2C 上, 121()2OM OP OP =+.求△P 1OP 2的面积.20. 设函数1()ln f x x x=(0x >且1x ≠). (1)求函数()f x 的单调区间；(2)已知12a xx >对任意(0,1)x ∈成立, 求实数a 的取值范围.21. 已知点1(,)n n a a +在曲线()f x =上, 且11a =. (1)求()f x 的定义域；(2)求证：2233121111(1)14(1)1(*)4nn n n N a a a +-≤+++≤+-∈； (3)求证：数列{}n a 前n 项和3(1,*)2n S n n N ≥∈x11A 高三数学模拟(二)答案二、填空题.11. 2,9160y x y =-+-=12. 813.3262514. 4[,2]315.4,6()m n m -二、解答题.16. 解法1：建系45((33A D (2,0),||C AC 在△ABC 中, sin sin sin AC BC A B A =⇒解法1：向量1()2BD BA BC =+∴221(2)4S BA BC BA BC =++∴238280,2a a a +-== 余统定理||AC ⇒=, 正弦定理sin A ⇒ 解法3：几何△ABE 中, 余弦定理2AE ⇒=17. 解：①1cos 3θ=②如右图所示解法1：自量法解法2：直接法 EP ⊥面A1BC11111111134B E V AC E V A BC S A BC EP -=-== 解法3：转移法11//BE A E11111111B E E V AC E V AC E V A E C -=-=-11111134S A E C == 解法4：割初法111111111111B B E E E E V AC E V V A B C V A D C V AA B V DD C C V BCC -=----------正18. 解：①设取到x 个红球, y 球, 整数,x y 满足的约束条件1102120505x y x y x y ≤+≤⎧⎪+≤⎪⇒⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩可行解有5+6+6+6+5+3=31(组) 其中最段解有44x y =⎧⎨=⎩或52x y =⎧⎨=⎩共2组∴取球一次恰好为12的概率2()31P A = ②ξ 45678P 142 1042 2042 1042 142E ξ=6③由40.5a =知, 连续取球4次, 共取到2个红球, 2个白球, 第4次一定取到白球第2式第3次取到一红一白14211()()28P B C ==19. ①222:13x C y -=②2222(13)9033y kx k x x y ⎧=⎪⇒---=⎨-=⎪⎩ 2301130k k >⎧⇒<⎨-≠⎩且213k ≠设121122122(,),(,)913x x A x y B x y x x k ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩2121212()2y y k x x x x =++ 222(3)(31)0OA OB k k >⇒--<2133k ⇒<< 综合k的取值范围3(1,--③111222(),(,)P x x P x 121()2OM OPOP =+ 12(2x x M+ M 点在双曲线上212()]32x x +-= ∴123x x = 12121||||sin602POP SOP OP =︒= 20. (1)22ln 1'()ln x f x x x +=-, 若'()0f x =, 则1x e =, 列表如下(2)在12a xx >两边取对数, 得1ln 2ln a x x>, 由于01x <<, 所以1ln 2ln a x x>. ①由①的结果可知, 当(0,1)x ∈时, 1()()f x f e e ≤=-, 为使①式对所有(0,1)x ∈成立, 当且仅当ln 2ae >-, 即ln2a e >-.21. (1)()f x 定义域为：(,1](0,)-∞-+∞(2)222111121111n n na a a a a a +++++=-=- 要证明：2233121111(1)14(1)14nn n a a a +-≤+++≤+- 只需证明：1133122n n a n ≤≤(*)下面使用数学归纳法证明：113312(1,)2n n a n n n N ≤≤≥∈①在1n =时, 1111,22a a =<<, 则1n =时(*)式成立②假设n k =时, 1133122k k a k ≤≤成立, 由22233111331124412k k a k k a k k +=≤+=+ 要证明：223313244(1)k k k+≤+只需1233212(1)k k k +≤+ 只需22(21)8(1)k k k +≤+ 只需2142k k ≤+ 而2421k k +≥在1k ≥时恒成立, 于是22314(1)k a k +≤+于是1312(1)k a k +≤+ 又222311311142k k k aa k a k +=+≥=要证：223313111(1)442k k k =≥+只需证：12332(1)k k k +≥+只需证：241180k k ++>, 而241180k k ++>在1k ≥时恒成立. 于是：22311(1)4k ak +≥+ 因此113311(1)2(1)2k k a k ++≤≤+得证.综合①②可知(*)式得证, 从而原不等式成立.(3)要证明：32n S由(2)2)n≥(* *)下面用分析法证明：(* *)式成立.要使(* *)成立, 只需证：(3(3n n ->- 即只需证：33(32)(31)(1)n n n n ->-- 只需证：21n >而21n >在1n ≥时显然成立, 故(* *)式得证于是由(* *)354n +≤因此有：3331212(23)n n S a a a n =+++≤++++32=。
2023-2024学年湖北省武汉市高三下学期数学质量检测模拟试题(六模)含答案
2023-2024学年湖北省武汉市校高三下学期数学模拟试题（六模）一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{lg ,0100},450A y y x xB x x x ==<<=-++>∣∣，则A B = （）A.()0,2 B.()1,2- C.()1,2 D.()1,5-【正确答案】B【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义可求出答案.【详解】因为lg ,0100y x x =<<，所以lg1002y <=，所以}{2,A yy =<∣{}{}245015B x x x x x =-++>=-<<∣，所以A B = ()1,2-.故选：B.2.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则122i z z z +=⋅（）A.31i 22- B.31i 22+C.31i 22-- D.31i 22-+【正确答案】C【分析】利用复数的几何意义和复数的乘除运算求解.【详解】解：由图知：1212i,1i z z =-=+，所以()122ii i 2i 2i1i 1z z z --++=⋅-=+⋅，()()()()2i 1i 31i1i 1i 22------+-=-=，故选：C3.如图，已知AOB 是半径为2，圆心角为π2的扇形，点,E F 分别在,OA OB 上，且3,3OA OE OB OF ==，点P 是圆弧 AB上的动点（包括端点），则PE PF ⋅的最小值为（）A.4243-B.4243+C.83D.163【正确答案】A【分析】以O 为原点，,OA OB 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，设(),,,0P x y x y >，则224x y +=，利用平面向量的坐标运算得()243PE PF x y ⋅=-+ ，结合基本不等式即可求得最值.【详解】如图，以O 为原点，,OA OB 所在直线为,x y轴建立平面直角坐标系则()()222,0,0,2,,0,0,33A B E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),,,0P x y x y >，则224x y +=，所以()2222222,,433333PE PF x y x y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()22224x y x y xy +=+-=，所以()242x y xy +=+，又222x y xy +≥，则42xy ≥，所以02xy <≤，当且仅当x y ==则()2x y +的最大值为8，所以x y +的最大值为，即PE PF ⋅ 的最小值为4243-.故选：A.4.中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为112,,AA BB ，11,CC DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为180 ，则该几何体的表面积为（）A.15π22+ B.15π42+ C.7π2+ D.9π4+【正确答案】D【分析】根据圆柱侧面积公式以及圆的面积公式即可求解每个面的面积,进而可求表面积.【详解】此几何体为两个半圆柱的组合体：一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱，()()22112π212π22π121229π422S =⨯-+⨯+⨯⨯+⨯⨯=+表.故选：D 5.()2231cos364sin 18cos722cos 361sin144=+--⋅（）A.-B.6-C. D.6【正确答案】A【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算计算可得.【详解】()224sin 18cos722cos 361sin144+--⋅()()2312cos 184sin 18cos 90cos722sin 18011836=--+--⎡⎤⎣⋅⎦()232cos184sin 18sin182sin si 18n 36=+--⋅()24sin 182s 3n 6i =-⋅s 2co 332cos168s36in =⋅-32cos18sin 72-=()32cos1832cos18cos18sin 9018==---=-.故选：A6.设20.021151e ,sin cos ,10010050a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A .a b c<< B.a c b <<C.<<b c a D.b a c<<【正确答案】C【分析】解：由0.02e ,sin0.02,10.021a b c ==+=+，构造()()e sin (0)1xf x x x =->+和()()e (0)1x g x x x =->+，利用其单调性比较.【详解】解：由20.0211e ,sin cos sin0.02,10.021010010a b c ⎛+⎫==+=+⎪⎝= ⎭，令()()e sin (0)1xf x x x =->+，则()e cos 0x f x x =->'，所以()f x 在()0,∞+上递增，则()()00f x f >=，即e 1sin x x >+，则0.02e sin0.021>+，即a b >；令()()e (0)1xg x x x =->+，则()e 10xg x '=->，所以()g x 在()0,∞+上递增，则()()00g x g >=，即e 1x x >+，则0.0221e 0.0>+，即a c >，故选：C7.已知双曲线22:142x y Γ-=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线Γ的左右两支于,A B 两点，且22F AB F BA ∠∠=，则2BF =（）A.4+ B.4+ C. D.【正确答案】C【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出2BF 即可.【详解】由双曲线22:142x y Γ-=得出2,a b c ===.因为22F AB F BA ∠∠=，所以22F A F B =.作2F C AB ⊥于C ，则C 是AB 的中点.设22F A F B x ==，则由双曲线的定义211222,F A F A a F B F B a -=-=，可得114,4,8F A x F B x AB =-=+=.故2124cos CB BF xF BF =∠=，又由余弦定理得()(()()222221cos 444244F BF xx x x x x xx ++-+-=⋅∠=++⋅，所以()24444x x x x x+-=+⋅，解得x =.故选：C8.若存在R a ∈使对于任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式()22ln e2e ln e x ax bxx +-+恒成立，则实数b的最小值为（）A.2e ee 1+-- B.32e e 1e 1++-- C.e- D.1-【正确答案】D【分析】变形为()2e2e ln e ln x x ax bxx-++，由题意知直线y ax b =+恒位于ln ()xf x x=的图象上方，()2e2e ln e ()x g x x-+=的图象下方，b 代表直线y ax b =+在y 轴上的截距，当直线变化时观察b 取得小值时满足的条件.【详解】令ln ()x f x x =，则21ln ()x f x x -'=，故()f x 在1(,1)e 为增函数，(1,e)为减函数，且(1)0f =，在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的图象如图所示.令()2e2e ln e ()x g x x-+=，则()2222e e ln e3e()x g x x -+-='且()221()e 2e 5e 0e g =->'，1(e)0eg =-<'，所以存在0x 使得00()g x '=当01,e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0()0g x '>，当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，00()g x '<()g x 当01,e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为增函数，当[]0,e x x ∈为减函数，当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的图象如图所示.由题意得()2e2e ln e ln x x ax bxx-++，如图，当1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线y ax b =+恒位于()y f x =的图象上方，()y g x =的图象下方，b 代表直线y ax b =+在y 轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过()e,e 1M -且与曲线ln xy x=相切时，b 最小.设切点为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则000200ln e 11ln e xx x x x -+-=-，整理得()20000(e 1)2e ln e 0x x x x -+---=令2()(e 1)(2e)ln e h x x x x x =-+---，则(1)0h =e ()2(e 1)12(1ln )h x x x x=-+-++'e2(e 1)(12ln )x x x=-+-+而当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，e 2(e 1)3x x -+≥>，12ln 3x +≤所以e2(e 1)(12ln )0x x x-+-+>所以当1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '>所以当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()h x 为增函数，所以()h x 有唯一的零点1，所以01x =，此时直线方程为1y x =-，故min 1b =-.故选：D不等式恒成立求参数范围时常用的方法：①完全分离参数，此法比较简单，分离后只需研究不含参函数的最值即可；②半分离参数，将参数留在一个形式比较简单的函数中，如一次函数或二次函数，另一边的函数可以是稍微复杂一点的不含参函数，将不等式恒成立问题转化为两函数图象位置关系求解；③不分离参数，含参讨论，常常比较复杂要用导数研究最值.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知其前n 项和为9,81n S S =，且2514,,a a a 等比数列，则下列结论正确的是（）A.21n a n =+B.()()()1210012100111100a a a -+-++-= C.2n S n=D.设数列{}12nn a +⋅的前n 项和为n T ，则122n n T n +=⋅+【正确答案】BC【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，利用9,81n S S =，2514,,a a a 等比数列求出d 、1a ，可判断A ；求出()()()1210012100111a a a -+-++- 可判断B ，利用等差数列求和公式求出n S 可判断C ；求出12+⋅nn a ，再利用错位相减求和可判断D.【详解】对于A ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由9,81n S S =得1989812a d ⨯+=，①由2514,,a a a 等比数列得()25214=a a a ，()()()2111413a d a d a d +=++，②由①②解得2d =，11a =，所以21n a n =-，故A 错误；对于B ，()()()1210012100111135791113199a a a -+-++-=-+-+-+-+⋅+ ()()()()1357911197199=-++-++-+++-+ ()222250100=++++⨯= ，故B 正确；对于C ，2121·2n n S n n +-==，故C 正确；对于D ，()12221+⋅=⋅+nnn a n ，所以所以()()1231325272212212-=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅ n nn T n n ，①()()23412325272212212+=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅ n n n T n n ，②①-②得，()()1231322222212+-=⋅++++-+⋅ n n n T n ，则()12122n n T n +=-⋅+，故D 错误.故选：BC.10.已知函数()f x 对x ∀∈R 都有()()()42f x f x f =++，若函数()3y f x =+的图象关于直线3x =-对称，且对[]12,0,2x x ∀∈，当12x x ≠时，都有()()()()21210x x f x f x -->，则下列结论正确的是（）A.()20f = B.()f x 是偶函数C.()f x 是周期为4的周期函数 D.()()2023100f f <-【正确答案】ABC【分析】由图象的平移可得()f x 是偶函数，从而判断B ；对x ∀∈R 都有()()()42f x f x f =++，取2x =-，可求得()2f ，从而判断A ；进而得到()()4f x f x =+恒成立，从而判断C ；再由已知可得()f x 在[]0,2上单调递增，结合偶函数的性质及周期性，从而判断D.【详解】因为函数()3y f x =+的图象关于直线3x =-对称，所以函数()y f x =的图象关于直线0x =对称，故()f x 是偶函数，B 正确；因为函数()f x 对x ∀∈R 都有()()()42f x f x f =++，所以取2x =-，可得()()()222f f f =-+，又()f x 是偶函数，所以()()22f f -=，从而可得()20f =，A 正确；由()20f =，知()()()()424f x f x f f x =+=++，故()f x 是周期为4的周期函数，C 正确；因为()f x 是偶函数，且是周期为4的周期函数，所以()()()202311f f f =-=，()()()1001000f f f -==，又对[]12,0,2x x ∀∈，当12x x ≠时，都有()()()()21210x x f x f x -->，所以()f x 在[]0,2上单调递增，()()10f f >，即()()2023100f f >-，D 错误.故选：ABC.11.某人有6把钥匙，其中4把能打开门.如果不放回地依次随机抽取3把钥匙试着开门，设事件i A 为“第i 次能打开门”，则下列结论中正确的是（）A.事件1A 与2A 互斥B.()223P A =C.()1289P A A ⋃= D.()3235P A A =∣【正确答案】BD【分析】利用互斥事件的定义和条件概率公式求解即可.【详解】事件1A 与2A 可以同时发生，所以不是互斥事件，故A 错误；事件2A 为“第2次能打开门”，则()()()222112443265653P A P A A P A A =+=⨯+⨯=，故B 正确；()()12122114116515P A A P A A =-=-⨯= ，故C 错误；()()()23232311P A A P A A P A A A =+24343226546545=⨯⨯+⨯⨯=，()()()222112443265653P A P A A P A A =+=⨯+⨯=，所以()()()2322335P A A P A A P A ==∣,故D 正确.故选：BD12.我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体，四边形ABCD 为正方形，EF 平面,24,ABCD AB EF AE DE BF CF ======）A.该几何体的表面积为16+B.该几何体的体积为2073C.该几何体的外接球的表面积为40πD.AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212【正确答案】ABD【分析】过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，将该几何体分为一个棱柱与两个棱锥，取AD ，BC 的中点P ，Q ，则EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，然后求出表面积可判断A ；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，可证得FT ⊥面ABCD ，求出一个棱柱与两个棱锥的体积，可得该几何体的体积，从而判断B ；连接AC ，BD 交于点O ，可求得O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝，求出表面积即可判断C ；取AB 的中点N ，得AE ∥FN ，则AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设N 到面FBC 的距离为h ，利用等体积法，由N FBC F NBC V V --=求得h ，进而可得AE 与平面FBC 所成角的正弦值，可判断D ．【详解】∵EF ∥平面ABCD ，EF 在平面ABFE 内，平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ，∴EF ∥AB ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥DC ，∵24,AB EF AE DE BF CF ======∴ABFE ，DCFE 均为等腰梯形，过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，连接KM ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，连接GH ，∴EF ∥KG ∥MH ，EF ＝KG ＝MH ＝2，AK ＝GB ＝DM ＝HC ＝1，∵AB ∥DC ，FH ⊥DC ，∴AB ⊥FH ，又AB ⊥GF ，GF ，FH 在平面FGH 内，GF ∩FH ＝F ，∴AB ⊥面FGH ，同理，AB ⊥面EKM ，∴面FGH ∥面EKM ，∴该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.分别取AD ，BC 的中点P ，Q ，连接FQ ，EP ，∵AE DE BF CF ====EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，∴FQ ==，∴142EAD FBC S S ==⨯⨯=△△，FG =()1242DCFE ABFE S S ==⨯+=，又4416ABCD S =⨯=，∴该几何体的表面积为16EAD FBC DCFE ABFE ABCD S S S S S ++++=+△△，故A 正确；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，连接FT ，∵AB ⊥面FGH ，FT 在面FGH 内，∴FT ⊥AB ，∵GF ＝FH ＝EK ＝EM ，∴FT ⊥GH ，又AB ，GH 在面ABCD 内，AB ∩GH ＝G ，∴FT ⊥面ABCD ，∴FT ==，∴14133E AKMDF GBCH V V --==⨯⨯=，∵11422FGH S GH FT =⋅=⨯=△∴2FGH EKM FGH V S GK -=⋅==△∴该几何体的体积为3E AKMDF GBCH FGH EKM V V V ---++=，故B 正确；连接AC ，BD 交于点O ，则O 也在PQ 上，连接OE ，OF ，∵EF ∥OQ ，EF ＝OQ ，∴EFQO 为平行四边形，∴EO ＝FQ ＝，同理，FO ＝EP ＝∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OE ＝OF ＝∴O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝，∴该几何体的外接球的表面积为24π32πR =，故C 错误；取AB 的中点N ，连接FN ，NC ，∵EF ∥AN ，EF ＝AN ，∴EFNA 为平行四边形，∴AE ∥FN ，∴AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设为θ，设N 到面FBC 的距离为h ，∵N FBC F NBC V V --=，∴1133FBC NBC S h S FT ⋅=⋅△△，∴11124332h ⨯=⨯⨯⨯⨯，∴2h =，∴142sin 12h FN θ===，即AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212，故D 正确．故选：ABD ．三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()261(1)axx ++的展开式中4x的系数为45-，则实数a 的值为__________.【正确答案】4-【分析】求出6(1)x +的通项为，令4x =和2x =求出()261(1)axx ++的展开式中4x 的系数，151545a +=-，解方程即可求出答案.【详解】()266261(1)(1)(1)axx x ax x ++=+++,6(1)x +的通项为：16C r r r T x +=，令4x =时，46C 15=；令2x =时，2615C =，所以()261(1)axx ++的展开式中4x的系数为45-，所以151545a +=-，解得.4a =-故答案为.4-14.已知抛物线2:2(0)C y px p =>上横坐标为4的点到抛物线焦点F 的距离为9，点B 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，OFB ∠的平分线交抛物线C 于点A ，且120OFB ∠= ，,A B 都在x轴的上方，则直线AB 的斜率为__________.【正确答案】2【分析】根据题意分别求得直线BF 的方程为5)y x =-和直线AF 的方程为5)y x =-，联立方程组求得B 和5103(,33A ，结合斜率公式，即可求解.【详解】由抛物线2:2(0)C y px p =>上横坐标为4的点到抛物线焦点F 的距离为9，根据抛物线的定义，可得492p+=，解得10p =，所以2:20C y x =，如图所示，因为120OFB ∠= ，可得60xFB ∠= ，所以直线BF 的斜率为1k =可得直线BF 的方程为5)y x =-，联立方程组25)20y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得2350+75=0x x -，解得15x =或53x =（舍去），因为B 都在x 轴的上方，所以点B ，又由OFB ∠的平分线交抛物线C 于点A ，可得120xFA ∠= ，所以直线AF 的斜率为2k =AF 的方程为5)y x =-联立方程组23(5)20y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩，整理得2350+75=0x x -，解得53x =或15x =（舍去），因为A 都在x 轴的上方，所以点5103(,)33A ，所以AB 的斜率为1031033352153k -==-.故答案为.3215.如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移()f t （单位：cm ）与时间t （单位：s ）满足函数关系()3sin()f t t ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<，若函数()f t 在区间[],1a a +上的最大值为M ，最小值为N ，则M N -的最小值为__________.【正确答案】3322【分析】根据题意求得()π3cos2f t t =-，由区间[],1a a +的区间长度14个周期，分区间[],1a a +在同一个单调区间和不同一个单调区间，两种情况讨论，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由函数()f t 的图象，可得554T =，解得4T =，所以2ππ2T ω==，又由()03f =-，可得sin 1ϕ=-，解得π2π,Z 2k k ϕ=-+∈因为0πϕ<<，所以π2ϕ=-，所以()πππ3sin()3cos 222f t t t =-=-，由区间[],1a a +的区间长度为1，即区间长度为14个周期，当区间[],1a a +在同一个单调区间时，不妨设[],1[0,2]a a +⊆，可得01a ≤≤则()()π(1)π3cos cos 221a M N M N f a f a a -=-=-+-+=ππππ3cossin sin()2224a a a ==++，因为01a ≤≤，可得πππ3π4244a ≤+≤，当πππ244a +=或3π4时，M N -取最小值3；当区间[],1a a +在不同一个单调区间时，不妨设[],1(1,3)a a +⊆，可得12a <<，此时函数()f x 在[],1a a +上先增后减，此时()max 3M f x ==，不妨设()(1)f a f a ≥+，则322a ≤<33cos (1)33sin 22M N a a -=++=-ππ，()min23132M N ⎛⎫∴-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭综上可得，M N -最小值为3-.故答案为.316.已知圆222:O x y r +=与直线34100x y +-=相切，函数()()log 21a f x x =-+过定点P ，过点P 作圆O 的两条互相垂直的弦,AC BD ，则四边形ABCD 面积的最大值为__________.【正确答案】5【分析】先根据相切求半径，再求出定点，最后求得四边形ABCD 面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值.【详解】由题意圆222:O x y r +=与直线34100x y +-=相切，圆心为(0,0)O ，半径为512d r ====，函数()()log 21a f x x =-+过定点(P 如图连接OA 、OD 作,OE AC OF BD ⊥⊥垂足分别为E 、F ，AC BD ^ ，四边形OEMF 为矩形，已知2OA OC ==，OP =设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为1d 、2d ，则222123d d OP +==．四边形ABCD 的面积为：()12S AC BP PD =+，从而：()22121852S AC BD dd =⋅=≤-+=，当且仅当2212d d =时即12d d ==取等号，故四边形ABCD 的面积最大值是5，故5.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为1,3n S a =，且数列{}n S 是3为公比的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令(1)nn n b a =-⋅，求和13521n b b b b +++++ .【正确答案】（1）13,1,23,2,n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩（2）1394+--n 【分析】（1）先根据等比数列通项公式得S n ，再根据和项与通项关系求数列{a n }的通项公式；（2）由于奇数项从第三项起成等比数列，所以利用等比数列求和公式求和【小问1详解】因为113S a ==，且数列{}n S 是3为公比的等比数列，所以1333n n nS -=⨯=，当2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，当1n =时，13a =不满足上式，所以13,1,23,2,n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩.【小问2详解】由已知可得()()13,1,123,2,nn n n n b a n --=⎧⎪=-⋅=⎨-⨯-≥⎪⎩，所以数列3521,,,n b b b + 是以223-⨯为首项，9为公比的等比数列；所以()()235212319919194nnn b b b +-⨯⨯--+++==- ，所以()11352191939344nn n b b b b ++---++++=-= .18.为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用，推进生态文明建设，由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12月1日起施行．某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9周每周普及的人数，得到下表：时间/x 周123456789每周普及的人数y8098129150203190258292310并计算得：9111909i i y y ===∑，()92160i i x x =-=∑，()92155482i i y y =-=∑，()()911800iii x x y y =--=∑．（1）从这9周的数据中任选4个周的数据，以X 表示4周中每周普及宣传人数不少于240人的周数，求X 的分布列和数学期望；（2）由于统计工作人员的疏忽，第5周的数据统计有误，如果去掉第5周的数据，试用剩下的数据求出每周普及的人数y 关于周数x 的线性回归方程．附：线性回归方程ˆˆy bx a =+中，()()()1122211ˆn niii i i i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-．【正确答案】（1）分布列见解析；数学期望()43E X =（2）307ˆ308yx =+【分析】（1）首先确定X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得数学期望()E X ；（2）去掉第5周数据后，可重新计算最小二乘法所需数据，由此可求得回归直线方程.【小问1详解】由表格数据知：每周普及宣传人数不少于240人的周数3周，则X 所有可能的取值为0,1,2,3，()4649C 1550C 12642P X ∴====；()316349C C 60101C 12621P X ====；()226349C C 4552C 12614P X ====；()136349C C 613C 12621P X ====；X ∴的分布列为：X123P5421021514121∴数学期望()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】去掉第5周的数据可得统计表如下：时间/x 周12346789每周普及的人数y8098129150190258292310()11234678958x ∴=+++++++=，()11507190920388y =⨯-=，()82160i i x x =-=∑；去掉第5个月数据前，()()99119iii ii i x x y y x y xy ==--=-∑∑，()()9911918009519010350i i i i i i x y x x y y xy ==∴=--+=+⨯⨯=∑∑，去掉第5个月数据后，()()88955111150788103505203858i i i i i i i i i x x y y x y x y x y x y x y ===''''''--=-=--=-⨯-⨯⨯∑∑∑10350101575351800=--=.()()()8182118003060iii i i x x y y b x x ==--∴===-∑∑$，1507307ˆˆ53088ay bx =-=-⨯=，∴剩下的数据求得的回归直线方程为.307ˆ308yx =+19.在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，()2sincos sin sin 22A C Bb c a A c C π+--=-.（1）若2a =，求ABC 面积的最大值；（2）若3B π=，在ABC 边AC 的外侧取一点D （点D 在ABC 外部），使得1DC =，2DA =，且四边形ABCD2，求ADC ∠的大小.【正确答案】（1（2）56π【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得222b c a bc +-=，由余弦定理求得1cos 2A =，得到π3A =，再由余弦定理和基本不等式求得bc 的最大值，进而求得面积的最大值；（2）设(0π)ADC θθ∠=<<，利用余弦定理和ABC 为正三角形，求得ABCD S ，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：由()2sincos sin sin 22A C Bb c a A c C π+--=-，因为A C B π+=-，可得()sin sin sin b c B a A c C -=-，又由正弦定理得()22b c b a c -=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为0πA <<，可得π3A =，所以π3BAC ∠=，在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c b c BAC ∠=+-⋅⋅，即2242b c b c bc bc bc =+-⋅≥-=，当且仅当b c =时取等号，所以113sin 4222ABC S b c BAC ∠=⋅⋅≤⨯⨯= ，所以ABC 【小问2详解】解：设(0π)ADC θθ∠=<<，则1sin sin 2ACD S AD DC θθ=⋅= ，在ADC △中，由余弦定理得2222cos 54cos AC AD DC AD DC θθ=+-⋅=-，由（1）知，π3BAC ∠=且π3B =，所以ABC 为正三角形，所以234ABC S AC θ== ，可得πsin 2sin 23ABCD S θθθ⎛⎫=+=-=+ ⎪⎝⎭，因为0πθ<<，故sin 13πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ32θ-=，可得5π6θ=.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为4的等边三角形，1113,,60,2AA AB AA AC BAA D ∠=⊥=︒在1CC 上且满足12CD DC =.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面BAD ；（2）求平面ABC 与平面11AB C 夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）17【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，由空间向量法求解即可.【小问1详解】如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设AD CE O = ，连接1,,BO AC AA DE AE ⊥∴⊥ ，又12CD DC =，可得4CD =∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥，,,AC AE BAC BAE BA BA ∠∠=== ，,BAC BAE BC BE ∴≅∴= ，O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥，因为AD BO O = ，,AD BO ⊂平面BAD ，CE ∴⊥平面BAD ，又CE ⊂ 平面11,ACC A ∴平面11ACC A ⊥平面BAD .【小问2详解】在Rt BOC 中，12CO CE BO ==∴=又142AB AO AD ===,222,BO AO AB BO AD +=∴⊥ ，又,BO CE AD CE O AD CE ⊥⋂=⊂,,平面11,AAC C BO ∴⊥平面11AAC C ，故建立如图空间直角坐标系O xyz -，则()2,2,0A -，(()()(110,0,,2,2,0,2,4,0,0,6,B C C B ---，(112,2,CB C B ∴== ，()()14,6,0,4,0,0AC CA =-= ，设平面11AB C 的一个法向量为()111,,m x y z =r，则11111111460220m C B x y m AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令16x =，得(6,4,m =- ，设平面ABC 一个法向量为()222,,n x y z =r，则222240220n CB x n CA x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令2y =，得()1n =-，cos ,n 17m n m n m ⋅===⋅ ，故平面ABC 与平面11AB C夹角的余弦值为17.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点落在直线2x a =上，且椭圆C过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）,P Q 为椭圆C 上两个动点，且直线AP 与AQ 的斜率之积为1,,6MD PQ D -⊥为垂足，求AD 的最大值.【正确答案】（1）22142x y +=（2）362【分析】（1）由点关于直线对称，以及椭圆过点61,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，构造方程解,a b 得答案；（2）设直线PQ 方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，利用直线AP 与AQ 的斜率之积为16-，整理化简证明直线过定点，进而求出D 的轨迹是圆，把问题转化为圆上的点到椭圆左顶点距离的最大值问题，使问题得到解决.【小问1详解】设椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点(),m n ，则有21,25022n m m n ⎧⨯=-⎪⎪⎨⎪⨯--=⎪⎩4,2,m n ∴==- 椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点落在直线2x a =上，24,a ∴=又椭圆C过点2M ⎛ ⎝⎭，可得213142b +=，解得22b =，所以椭圆C 的方程22142x y +=.【小问2详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意得直线PQ 斜率不为零，设:PQ l x my t =+，由22,1,42x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22()240my t y ++-=，即()2222240m y mty t +++-=，所以12221222,24,2mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由16AP AQ k k =-，得12121226y y x x ⋅=-++，即()()12126220y y x x +++=，所以()()12126220y y my t my t +++++=，所以()()()22121262(2)0m y y m t y y t ++++++=，所以()()222224262(2)022t mt m m t t m m --+++++=++，化简得220t t +-=，所以1t =或2t =-，若2t =-，则直线:2PQ l x my =-过椭圆的左顶点，不适合题意，所以1t =，所以:1PQ l x my =+过定点()1,0S ，因为,MD PQ D ⊥为垂足，所以D 在以MS为直径的圆上，,2MS MS =的中点为1,4T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又()2,0A -，所以564AT ==，所以AD 的最大值为566362442MS AT +=+=，即AD 的最大值为362.关键点点睛：本题是圆锥曲线过定点问题，属于难题，解决问题的关键点有两个，一是过定点问题不是显性的，比较隐晦，识别出来有困难，第二在由斜率的乘积是常数进行化简整理的过程中，计算直线过定点难度比较大，容易形成畏难心理导致计算失败.22.已知函数()222ln x f x a x x a a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）若()0,a f x <的极大值为3，求实数a 的值；（2）若()()220,,e 1x x f x ax a x x a ∞⎛⎫∀∈+<+--- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）4a =-（2）⎫+∞⎪⎪⎭【分析】（1）当a<0，对()f x 求导，得出()f x 的单调性和极大值，即可得出答案.（2）由题意整理可得()22ln e ln e x x ax ax a <-，利用换元法，令e (0)x t ax t =>，则22ln ln t t a <-，令()ln g t t t =-，利用导数求出()g t 的最小值，求解即可得出答案.【小问1详解】因为0a <，由20x a >，得0x <，即()f x 的定义域为(),0∞-.因为()222ln x f x a x x a a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，所以()122122a f x a x x x x a x a ⎛⎫⎛⎫=+--=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'，因为10,0,0x a x a <<+<，所以当,2a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，当,02a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以当0a <时，()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当2a x =时，()f x 取得极大值222ln1132244a a a a f a a ⎛⎫⎛⎫=+-⨯-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4a =-.【小问2详解】当()0,x ∈+∞时，()220,e 1x a f x ax a x x a ⎛⎫><+--- ⎪⎝⎭，即2ln e x x ax x a <-，所以()22ln e ln e x x ax ax a <-.令e (0)x t ax t =>，则22ln ln t t a<-，令()ln g t t t =-，则()111t g t t t '-=-=，所以当()0,1t ∈时，()0g t '<，当()1,t ∈+∞时，()0g t '>，所以()g t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()0,11t g t g ∀>≥=，即()0,e ln e1x x x ax ax ∀>-≥，所以22ln 1a <，所以22e a <，又0a >，所以a >所以实数a 的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎭.关键点点睛：本题第二问的关键点在于把恒成立问题通过分离参数转化为新函数的最值问题，转化后利用导数判断出其定义域上的单调性求出值域或最值问题就解决了.。
武汉市光谷二高高三数学周练1讲义
光谷二高高三数学周练（1）一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．）1.设集合P ＝{3，log 2a }，Q ＝{a ，b }，若P ∩Q ＝{0}，则P ∪Q =A ．{3,0}B ．{3,0,1}C ．{3,0,2}D ．{3,0,1,2}2.观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝ A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x ) D ．－g (x )3.给出下述四个命题中：①三角形中至少有一个内角不小于60°；②四面体的三组对棱都是异面直线； ③闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点；④当k >0时，方程x 2 + ky 2 = 1的曲线是椭圆.其中正确的命题的个数有 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44． 若0x 是方程31)21(x x =的解，则0x 属于区间为 （ ）A ． （1,32）.B ．（32,21）.C ．（21,31）D ．（31,0）5.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b 的最小值为 A ．323 B ．283 C ．143 D ．163 6．若函数x x f y cos )(+=在]43,4[ππ-上单调递减，则)(x f 可以是 A. 1 B. x cos C. x sin - D. x sin7．设c b a ,,均为正数，且a a21l o g 2=，b b21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫⎝⎛.则 （ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ． b a c <<D ． c a b <<8、已知函数2()43f x x x m =-++有两个零点，则m 的取值范围为 （ ）A ．(3,)+∞B ．(,3)-∞-C ． (,3){1}-∞-D ． (,3]{1}-∞- 9．已知点),(y x P 为曲线xx y 1+=上任一点，点)4,0(A ，则直线AP 的斜率k 的取值范围是 （ ）A ．[)+∞-,3B ．()+∞,3C ．[)+∞-,2D ．()+∞,110.定义域为R 的函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧lg |x －2|，x ≠ 21 ，x =2 ，若关于x 的方程f 2(x )+bf (x )+c =0恰有5个不同的实数解x 1, x 2, x 3, x 4, x 5，则f (x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)等于 A ．lg 2 B ．2lg 2 C ．3lg 2 D ．4lg 2二．填空题（共5题，每题5分，本大题共25分）11.设集合{}25,log (3)A a =+，{},B a b =，若{}2A B ⋂=，则A B ⋃=_________.12.设函数.1sin cos )(3++=x x x x f 若11)(=a f ，则=-)(a f ． 13.若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个子区间)1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围 .14.已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为M ),(00y x ，记函数)(x f 的导函数为)(/x f ， )(/x f 的导函数为)(//x f ，则有0)(0//=x f 。
2022年湖北省武汉市第二中学高三数学理模拟试题含解析
2022年湖北省武汉市第二中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数y=lgx的定义域为A，B={x|0≤x≤1}，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．（0，1]参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出函数y=lgx的定义域确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：函数y=lgx中，x＞0，即A=（0，+∞），∵B={x|0≤x≤1}=[0，1]，∴A∩B=（0，1]．故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2. 若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=﹣，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．3. 在平行四边形中，，，，为的中点，则=（）A． B． C． D．参考答案：A4. sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A．﹣B．C．﹣D．参考答案：B【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GO：运用诱导公式化简求值．【分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．【解答】解：原式=sin163°?sin223°+cos163°cos223°=cos=cos（﹣60°）=．故答案选B5. 已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D6. （09年宜昌一中12月月考理）直线与圆切于点P则的值为（）A．1 B.-1 C．3 D.-3参考答案：C7. 已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为( )A．a n=B．a n=C．a n=n+2 D．a n=（n+2）3n参考答案：B考点：数列递推式．分析：由题意及足a1=1，且，且n∈N*），则构造新的等差数列进而求解．解答：解：因为，且n∈N*）?，即，则数列{b n}为首项，公差为1的等差数列，所以b n=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故答案为：B点评：此题考查了构造新的等差数列，等差数列的通项公式．8. 台风中，C,A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区。
湖北省武汉市第二中学2022届高三五月全仿真模拟考试(一)数学试题
武汉二中2022届高三五月全仿真模拟考试（一）数 学 试 题考试时间：2022年5月20日下午15:00—17:00 考试时长：120分钟本试卷共4页，全卷满分150分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}{}325,log 1A x x B x x =<<=>，则A B ⋃=（ ）A ．(3,5)B ．(2,5)C ．D ．2．若复数2iiz a +=+的实部与虚部相等，则实数a 的值为（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．33．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验 舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其 中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人， 则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．124．已知直线l ：y kx =与圆22:2320C x y x y +--=相交于M ，N 两点，若23MN =，则非零实数k 的值为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．35．设sin7a =，则（ ）A ．222log a a a <<B ．22log 2a a a <<C ．22log 2a a a <<D ．22log 2a a a <<6．已知A ，B 分别为随机事件A ，B 的对立事件，()0P A >，()0P B >，则下列说法正确的是（ ）A ．()()()PB A P B A P A +=B ． 若，则 A ，B 对立C ．若A ，B 独立，则()()P A B P A =D ．若A ，B 互斥，则7．如图，在等腰△ABC 中，已知o1,120,,AB AC A E F ==∠=分别是边,AB AC 的点，且,AE AB AF AC ==λμ，其中(),0,1λμ∈且21λμ+=，若线段,EF BC 的中点分别为,M N ，则MN 的最小值是（ ）(2,+)∞(0,5)()()1P A P B +=()()1P A B P B A +=A ．77B ．7C ．2114D ．218．已知函数()1ln f x x x=-，直线y mx n =+是曲线()y f x =的一条切线，则2m n +的取值范围是（ ）A ．[)3,∞-+B ．[)2ln 24,--+∞C ．2e 3,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5ln 2,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭二、选择题: 本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（ ）A ．cos 2y x =B ．tan y x =C ．sin y x =D ．lg sin y x =10. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为 了建立茶水温度y 随时间x 变化的函数模型，小明每隔1分钟测 量一次茶水温度，得到若干组数据()11,x y ，()22,x y ，⋅⋅⋅，(),n n x y ， 绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个函数模型来拟合茶水温度y 随时间x 的变化情况，函数模型一：()0,0y kx b k x =+<≥；函数模型二：()0,01,0xy ka b k a x =+><<≥，下列说法正确的是 （ ）A ．变量y 与x 具有负的相关关系B ．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况C ．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到x y ka b =+的图象一定经过点(),x yD ．当5x =时，通过函数模型二计算得65.1y =，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为0.111．已知双曲线C ：2214y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 双曲线C 右支上，若12F PF θ∠=，12PF F △ 的面积为S ，则下列选项正确的是（ ）A ．若60θ=︒，则S ＝43B ．若4S =，则223PF =C ．若12PF F △为锐角三角形，则(4,45)S ∈D ．若12PF F △的重心为G ，随着点P 的运动，点G 的轨迹方程为22919143y x x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭12．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平 面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体 的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD 的棱长为a ，则（ ）A ．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为aB ．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为C ．勒洛四面体的截面面积的最大值为()212π34a - D ．勒洛四面体的体积3326π,128V a a ⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a =______. 14．已知等比数列{}n a 前n 项和为,,,则公比q=______.15．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示，由一 个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长 分别为1h ， 2h ，r ，且12h h r ==，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S 1 和S 2，则12SS =___________.16．在锐角中，，则角B 的范围是______________，的取值 范围为______________.312a ⎛⎫- ⎪⎝⎭n S 332a =392S =ABC △22a b bc -=6sin tan tan 55A B A -+四、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数()sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调增区间；（2）ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 锐角，若3()f A =，5a =，3b c +=，求ABC 的面积.18．已知数列{}n a 满足，且15a =，2n n na b λ+=，11nn n c b b +=. （1）求实数λ，使得数列{}n b 为等差数列；（2）在（1）的条件下，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求的取值范围19．如图（1），平面四边形ABDC 中，90ABC D ∠=∠=︒，2AB BC ==，1CD =，将ABC 沿BC 边折起如图（2），使7AD =点M ，N 分别为AC ，AD 中点． （1）判断直线MN 与平面ABD 的位置关系，并说明理由；（2）求二面角A MN B --的正弦值．()12212nn n a a n -=+-≥n T20．2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮．．．．．流与甲进行比赛．．．．．．．，若甲连续赢两场．．．．．则专业队获胜；若甲连续输两场．．．．．则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为13；甲与丙比赛，丙赢的概率为p ，其中1132p <<．(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X 万元，求X 的数学期望()E X 的取值范围．21．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率为22，且6AB =.(1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线与椭圆相交于点24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭H ，与y 轴相交于点S ，过点S 的另一条直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，且△ASM 的面积是△HSN 面积的32倍，求直线l 的方程.22. 已知()3sinf x x ax x=+-.（1）当16a=时，求证：函数()f x在R上单调递增；（2）若()f x只有一个零点，求a的取值范围.。
湖北省武汉二中高三理科数学考前模拟训练(3)
高三数学模拟(三)一、选择题1. 如果复数()22232z a a a a i =+-+-+为纯虚数，那么实数a 的值为( )A.2-B.1C.2D.1或2-2.已知函数()f x 的导数为()'22f x x =+,且()f x 的图象过点()0,3,则函数()f x 的最小值为( ) A.0 B.6- C.2 D.4-3.已知n的展开式前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的个数是 A ．1B ．0C ．3D ．与n 有关4. 已知四面体A BCD -中，2,1,AB CD AB ==与CD 间的距离与 夹角分别为3与30，则四面体A BCD -的体积为A.125. 如图,平行四边形ABCD 对角线AC BD 、交于O ，E 为OC 中点，则BE =A.3144AD BA + B. 3144AD AB + C. 3144AC BA + D. 3144AC AB +6. 在对两个变量x 、y 进行线性回归分析时有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(),i i x y ,1,2,,i n =；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图.如果根据可靠性要求能够作出变量x 、y 具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是( )A. ①②⑤③④B. ③②④⑤①C. ②④③①⑤D. ②⑤④③① 7.从0到5这6个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被4整除的概率为( )A.0.76B.0.72C.0.24D.0.288.函数()()110114f x x x x=+<<-的最小值是( ) A.52 B.73 C.94 D.1159．若1)11(21lim =---→xbx a x ,则常数b a 、的值为（ ） A ．4,2=-=b a B ．4,2-==b a C ．4,2-=-=b a D ．4,2==b a10.已知双曲线221:1169x y C -=的左准线为l ，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的准线为l ，焦点是2F ，若1C 与2C 的一个交点为P ，则2||PF 的值等于A ．40B ．32C ．8D ．4二、填空题11. 双曲线221ax by -=:a b =12.AB 垂直于BCD ∆所在的平面，:3:4AC AD BC BD ===，当BCD ∆的 面积最大时，点A 到直线CD 的距离为 ．13.若0,0a b ≥≥，且当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时．恒有1ax by +≤，则以a 、b 为坐标的点(,)P a b 所形成的平面区域的面积是 ． 14.若存在正实数x ，使不等式)1ln(1ln xkxx x +≥+成立，则实数k 的取值范围是______________ 15.以下四个命题中： A ．()3cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴为()62k x k Z ππ=+∈ B ．()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的增区间是22,233k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈C. 已知()()sin cos 43tan 2,tan 2sin cos 3αααββααα+=-=-=-且则D ．若θ是第二象限角，则tancot sin cos 2222θθθθ>>且以上结论中，正确的是 （写出所有正确结论的编号）三、解答题16.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且()()()2222sin sin a b A B a b C +-=- ⑴若a =3,b=4,求CA CB +的值； ⑵若C=3π,ABC ∆求AB BC BC CA CA AB ++的值.17.在正三棱柱111ABC A B C -中,1BB =BC=2,且M 是BC 的中点，点N 在1CC 上. ⑴试确定点N 的位置，使1AB MN ⊥；⑵当1AB MN ⊥时，求二面角1M AB N --的大小.18. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，设(,())P t f t（1）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ； （2）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的最小值.19.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其中2F 也是抛物线22:4C y x =的焦点，M 是1C 与2C 在第一象限的交点，且25||3MF =． （1）求椭圆1C 的方程；x（2）已知菱形ABCD 的顶点,A C 在椭圆1C 上，顶点,B D 在直线7710x y -+=上，求直线AC 的方程．20．已知数列{}n a 的前n 项和{}n S 满足12,n n S kS +=+又122,1a a == （1）求k 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T ； （3）是否存在整数m 、n ，使112n n S m S m +-<-成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，说明理由。
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武汉市光谷二高高三数学模拟训练一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．若0a b <<，则下列不等式中不一定成立的是（ ）A ．11a b> B ．11a bb>- C >D ．∣a ∣>b -2．设1p ≤，:()[(1)]0q x a x a --+≤，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1[0,]2B ．1(0,)2C ．(,0]-∞∪1[,)2+∞ D ．(,0)-∞∪1(,)2+∞3．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，4||=BC ，||||AC AB AC AB -=+,则AM ∣∣=（ ）A.8B.4 C .2 D.14.关于x 的方程02)(log 21=+--x a x 的根在)2,1(内，则实数a 的取值范围是（ ）A.)2,1( B . )1,1(- C. )1,0( D. )1,21(5．已知函数()2sin f x x ω=在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的取值范围为（ ）A ．9(,]2-∞-B ．(,2]-∞-C ．3(,2][,)2-∞-+∞D ．9(,][6,)2-∞-+∞6．正四棱锥P —ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，则此球的表面积为（ ）A ．18πB ．36πC ．72πD ．9π7．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，两个不同的奥运宣传广告，一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方式的种数是 （ ）A ．48B ．98C ．108D ．1208．已知函数()1f x ax =-+{}{}0,1,1,2a b ∈∈，则使得()0f x >在[1,0]x ∈-上有解的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．09．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右顶点为A ，P 为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A 引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP 分别交于Q ，R 两点，其中O 为坐标原点，则2||O P 与||||OQ OR 的大小关系为（ ）A ．2||||||O P O Q O R <B ．2||||||OP OQ OR >C ．2||||||OP OQ OR =D ．不确定10．若函数()f x 满足：“对于区间(1,2)上的任意实数1212,()x x x x ≠，2121|()()|||f x f x x x -<- 恒成立”，则称()f x 为完美函数.给出以下四个函数①1()f x x= ②()||f x x =③xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21)( ④2()f x x =其中是完美函数的是（ ） A ．①B ．② ③C ．①③D ．②③④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．在二项式25()a x x-的展开式中，x 的系数是-10，则实数a 的值为 1 。
12．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元，另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费 500 元。
13．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310(7)n a n -=>，714S =，72n S =，则n=_____12___．14．已知()f x 是偶函数，且()[0,)f x +∞在上是增函数，如果(1)(2)f ax f +≤在[m ,]x n ∈时恒成立，其中实数m,n 满足31144m ni i i+=++，则实数a 的取值范围是 .15．给出下列命题：①函数()(4)y f x y f x ==-和的图象关于直线x=2对称；②在R 上连续的函数()f x 若是增函数，则对任意00'()0x R f x ∈>均有成立； ③已知函数2sin()(0,0)y x ωθωθπ=+><<为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为1212,.||x x x x -若的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为.2π④底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。
⑤若P 为双曲线2219yx -=上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左右焦点，且|PF 2|=4，则|PF 1|=2或6。
其中正确的命题是 （把所有正确的命题的选项都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 中，123,,a a a b a c ===，,,a b c 分别为A B C ∆的三内角,,A B C 的对边，且3cos 4B =．（1）求数列{}n a 的公比q ；（2）设集合{}2|2||A x N x x =∈<，且1a A ∈，求数列{}n a 的通项公式． 17．（本小题满分12分）某商场准备在五一劳动节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．（1）试求选出的3种商品至少有一种日用商品的概率；（2）商场对选出的A 商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高180元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否是等概率的．请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利? （18）（本小题满分13分）如图，在五棱锥P —ABCDE 中，P A ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ，∠ABC =45°，ABBC =2AE =4，三角形PAB（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面P AC ； （Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P —ACDE 的体积． 19．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,数列{}n b 的前n项的和为n S ，且*1()2nn b S n N -=∈．（Ⅰ） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n b a c ⋅=,求证： 310≤<n c ；（Ⅲ）求数列{}n c 的前n 项和n T ． 20．（本小题满分13分）已知椭圆22222221(0,)x y a b c a b c ab+=>>>=+的左、右焦点分别为F 1,F 2，若以F 2为圆心，b c -为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT|的最小值不小于()2a c -．（1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F 2与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为k （k>0）的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，若O A O B ⊥，求直线l 被圆F 2截得的弦长s 的最大值．21.（本小题满分14分）已知a ∈R ，函数2()()exf x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数）（Ⅰ）当2a =-时，求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围；（Ⅲ）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由.高三数学模拟训练答案一．选择题答案1.B2.A3.C4.B5.C6.B7.C8.A9.C 10.C 二．填空题答案11.1 12.500 13.12 14.[]3,1- 15.①③ 三．解答题答案16．解：（1）依题意知：2b ac =，由余弦定理得：222113cos ()2224a c ba c B acca+-==⨯+-=， （3分）而2c q a=，代入上式得22q =或212q =，又在三角形中,,a b c 0>，q ∴=或2q =； （6分）（2）2422||,40x x x x <∴-< ，即22(4)0,22x x x -<∴-<<且0x ≠，（8分）又x N ∈，所以{}11,1A a =∴=，1n n a -=或12n n a -=．（10分）17．（1）从3种服装商品、2种家电商品，4种日用商品中，选出3种商品，一共有39C 种不同的选法．选出的3种商品中，没有日用商品的选法有35C 种。
所以选出的3种商品至少有一种日用商品的概率为353937142C P C =-=．（2）假设商场将中奖奖金数额定为x 元，则顾客在三欢抽奖中所获得的奖金总额是一个随机变量ξ，其所有可能的取值为0,,2,3x x x311(0)()28P ξ∴===123113()()()228P x C ξ==⋅=223113(2)()()228P x C ξ==⋅=33311(3)()28P x C ξ===于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是1331023 1.58888E x x x x ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．要使促销方案对商场有利，因此应有1.5180x ≤，120x ∴≤．故商场应将中奖奖金数额最高定为120元．才能使促销方案对自己有利．18.【解析】（Ⅰ）证明：因为∠ABC =45°，AB ，BC =4，所以在A B C ∆中，由余弦定理得：222AC +4-24cos 45=8⨯ ，解得AC所以222AB +AC =8+8=16=BC ，即A B A C ⊥，又PA ⊥平面ABCDE ，所以P A ⊥A B ， 又PA AC A ⋂=，所以AB AC ⊥平面P ，又AB ∥CD ，所以AC CD ⊥平面P ，又因为CD CD ⊂平面P ，所以平面PCD ⊥平面P AC ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD ⊥平面PAC ，所以在平面PAC 内，过点A 作A H C ⊥P 于H ，则AH CD ⊥平面P ，又AB ∥CD ，AB ⊄平面C D P 内，所以AB 平行于平面C D P ，所以点A到平面C D P 的距离等于点B 到平面C D P 的距离，过点B 作BO ⊥平面C D P 于点O ，则P B O ∠为所求角，且A H =B O ，又容易求得AH =2，所以1sin P B O =2∠，即PBO ∠=30 ，所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为30 ；另解：（Ⅱ）因为P A B ∆为等腰三角形，所以4PA AB PB ====又 //A B C D ，所以点B 到平面PC D 的距离等于点A 到平面PC D 的距离.由C D ⊥平面PAC ，在R t P A C ∆中，P A A C ==所以4P C =. 故P C 边上的高为2，即点A 到平面的距离，即点点B 到平面PC D 的距离为2. 设直线P B 与平面PC D 所成的角为θ，则21sin 42h P Bθ===，又[0,]2πθ∈，所以6πθ=.（Ⅲ）由（Ⅰ）知AC CD ⊥平面P ，所以AC C D ⊥，又AC ∥ED ，所以四边形ACDE 是直角梯形，又容易求得DE =，AC=，所以四边形ACDE 的面积为132=（，所以四棱锥P —ACDE 的体积为133⨯=。