2018年秋浙教版八年级数学上第2章自我评价试卷含答案

第2章自我评价一、选择题(每小题3分，共30分)1．在下列标志中，属于轴对称图形的是(B)2．下列四组线段能构成直角三角形的是(D)A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝53．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．其中逆命题是真命题的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是(C)A．20°B．35°C．40°D．70°(第4题)(第5题)5．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果M是OP的中点，那么DM的长是(C)A．2B． 2C．3D．2 3(第6题)6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长，交BC 于点D ，则下列说法中，正确的个数是(D ) ①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 47．如图，将一把含45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角尺的最大边长为(D )A ． 3 cmB ． 6 cmC ． 18 cmD ． 72 cm(第7题)(第7题解)【解】 如解图，过点C 作CD ⊥AD 于点D ， 则CD ＝3 cm ． 在Rt △ADC 中，∵∠CAD ＝30°，∴AC ＝2CD ＝2×3＝6(cm)． ∵该三角尺是含45°角的三角尺， ∴∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝6 cm ， ∴BC ＝AB 2＋AC 2＝62＋62＝72(cm)．(第8题)8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，则∠B的度数为(C)A．22．5°B．30°C．36°D．45°【解】设∠B＝x．∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x．∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x．∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x．∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x．在△ABD中，∵∠B＝x，∠ADB＝∠BAD＝2x，∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠B＝36°．9．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为(C)A．20°B．25°C．30°D．45°(第9题)(第9题解)【解】如解图，过点E作EM∥BC，交AB于点M，则∠AME＝∠B，∠AEM＝∠ACB．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝4．∴∠AME＝∠AEM＝60°．∴AM＝AE＝2．∴BM ＝AB －AM ＝2．∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ． ∵EM ∥BC ，∴AD ⊥EM ． ∴点E 和点M 关于AD 对称． 连结CM 交AD 于点F ，连结EF ， 则此时EF ＋CF 的值最小． ∵AC ＝BC ，AM ＝BM ， ∴∠ECF ＝12∠ACB ＝30°．10．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，∠ADC ＋∠ABC ＝180°，有下列结论：①CD ＝CB ；②AD ＋AB ＝2AE ；③∠ACD ＝∠BCE ；④AB －AD ＝2BE ．其中正确的是(C )A ． ②B ． ①②③C ． ①②④D ． ①②③④ 导学号：91354016(第10题)(第10题解)【解】 如解图，在EA 上取点F ，使EF ＝BE ，连结CF ． ∵CE ⊥AB ，EF ＝BE ， ∴CF ＝CB ，∴∠CFB ＝∠B ．∵∠AFC ＋∠CFB ＝180°，∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∴∠D ＝∠AFC ． ∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝∠FAC ．在△ACD 和△ACF 中，∵⎩⎨⎧∠D ＝∠AFC ，∠DAC ＝∠FAC ，AC ＝AC ，∴△ACD ≌△ACF(AAS)．∴AD ＝AF ，CD ＝CF ．∴CD ＝CB ，故①正确．AD ＋AB ＝AF ＋(BE ＋AE)＝AF ＋EF ＋AE ＝AE ＋AE ＝2AE ，故②正确． 根据已知条件无法证明∠ACD ＝∠BCE ， 故③错误．AB －AD ＝AB －AF ＝BF ＝2BE ，故④正确． 综上所述，正确的是①②④． 二、填空题(每小题3分，共30分)11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线．若∠B ＝60°，则∠BAD ＝__30°__．,(第11题)) ,(第12题))12．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝12 cm ，则BC 边上的高AD 的长是__8__ cm ．13．如图，AB ∥CD ，FE ⊥DB ，垂足为E ．若∠1＝50°，则∠2的度数为__40°__．,(第13题)) ,(第14题))14．如图，在△ABC 中，BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，且它们相交于点O ，OE ∥AB ，OF ∥AC ，BC ＝10，则△OEF 的周长为__10__．【解】 ∵OB ，OC 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线， ∴∠ABO ＝∠CBO ，∠ACO ＝∠BCO ． ∵OE ∥AB ，OF ∥AC ，∴∠ABO ＝∠BOE ，∠ACO ＝∠COF ， ∴∠CBO ＝∠BOE ，∠BCO ＝∠COF ，∴BE ＝OE ，OF ＝FC ，∴△OEF 的周长＝OE ＋EF ＋OF ＝BE ＋EF ＋FC ＝BC ＝10．(第15题)15．如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝102°，则∠ADC ＝__52°__．【解】 ∵AC ＝AD ＝DB ， ∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ． 设∠ADC ＝α，则∠B ＝∠BAD ＝α2． ∵∠BAC ＝102°，∴∠DAC ＝102°－α2． ∵∠ADC ＋∠C ＋∠DAC ＝180°， ∴2α＋102°－α2＝180°， 解得α＝52°，即∠ADC ＝52°．16．如图，已知△ABC 的周长是21，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，垂足为D ，且OD ＝3，则△ABC 的面积是__632__．, (第16题)) , (第16题解))【解】 如解图，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，连结OA ． 由角平分线的性质知OD ＝OE ＝OF ，∴S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ＝12AB·OE ＋12BC·OD ＋12AC·OF ＝12(AB ＋BC ＋AC)·OD ＝12×21×3＝632．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是__245__．,(第17题)),(第17题解))【解】 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，如解图． ∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝AB 2－BD 2＝4． 易得当BP ⊥AC 时，BP 有最小值． 此时12AD·BC ＝12BP·AC ，得4×6＝5BP ，∴BP ＝245．18．如图是两把完全一样的含30°角的三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两把三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角尺ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C ′间的距离是__5__．(第18题)(第18题解)【解】 如解图，连结C′C ．∵M 是AC ，A ′C ′的中点，AC ＝A′C′＝10， ∴CM ＝A′M ＝C′M ＝12AC ＝5，∴∠A ′CM ＝∠A′＝30°，∴∠CMC ′＝60°． ∴△MCC ′为等边三角形．∴C′C ＝CM ＝5．(第19题)19．按如图所示的方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB ＝1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S 1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S 2……则第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和S n ＝__52__．【解】 易得第一个正方形的面积为1， 第一个等腰直角三角形的面积为14，第二个正方形的面积为12，第二个等腰直角三角形的面积为12×14， ……∴第n 个正方形的面积为⎝⎛⎭⎫12n －1×1＝12n －1，第n 个等腰直角三角形的面积为⎝⎛⎭⎫12n －1×14＝12n ＋1，∴第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和S n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝52n ＋1．(第20题)20．如图，正方形ABDE ，正方形CDFI ，正方形EFGH 的面积分别为25，9，16，△AEH ，△BDC ，△GFI 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝__18__．导学号：91354017【解】 过点A 作AK ⊥HE ，交HE 的延长线于点K ． 易得DE 2＝25，DE 2＝9，EF 2＝16， ∴DE 2＝DF 2＋EF 2，∴△DEF 是直角三角形，且∠DFE ＝90°． 易得∠AEK ＋∠DEK ＝∠DEK ＋∠DEF ＝90°， ∴∠AEK ＝∠DEF ．又∵AE ＝DE ，∠K ＝∠DFE ＝90°， ∴△AEK ≌△DEF (AAS )， ∴AK ＝DF ． 又∵EH ＝EF ，∴S △AHE ＝12EH ·AK ＝12EF ·DF ＝S △DEF ．同理，S △BDC ＝S △GFI ＝S △DEF ， ∴S 1＋S 2＋S 3＝3S △DEF ． 易得DF ＝3，EF ＝4， ∴S △DEF ＝12×3×4＝6， ∴S 1＋S 2＋S 3＝3×6＝18． 三、解答题(共40分)21．(6分)如图，AD ＝BC ，AC ＝BD ．求证：△EAB 是等腰三角形．(第21题)【解】 在△ADB 和△BCA 中，∵⎩⎨⎧AD ＝BC ，BD ＝AC ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA(SSS)， ∴∠DBA ＝∠CAB ， ∴△EAB 是等腰三角形．(第22题)22．(6分)如图，△ABC为等边三角形，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是等边三角形吗？请说明理由．【解】△DEF是等边三角形．理由如下：∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∠ADF＝∠CFE＝90°，∴∠AFD＝30°，∴∠DFE＝180°－30°－90°＝60°．同理，∠FDE＝∠DEF＝60°．∴△DEF是等边三角形．(第23题)23．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，∠E＝∠AFE，请判断EF与BC的位置关系，并说明理由．【解】EF⊥BC．理由如下：过点A作AD⊥BC于点D，延长EF交BC于点G．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠CAD．又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∠E＝∠AFE，∴∠BAC＝2∠E，∴∠CAD＝∠E，∴AD∥EF．又∵∠ADC＝90°，∴∠EGC＝90°，即EF⊥BC．24．(10分)已知△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ADE ＝90°，F 为BE 的中点，连结DF ，CF ．(1)如图①，当点D 在AB 上，点E 在AC 上，请直接写出此时线段DF ，CF 的数量关系和位置关系．(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转45°，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°，若AD ＝1，AC ＝8，求此时线段CF 的长(直接写出结果)．(第24题)【解】 (1)∵∠ACB ＝∠ADE ＝90°，F 为BE 的中点，∴DF ＝BF ＝12BE ，CF ＝12BE ，∴DF ＝CF ． ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°．∵BF ＝DF ，∴∠DBF ＝∠BDF ．∵∠DFE ＝∠DBF ＋∠BDF ，∴∠DFE ＝2∠DBF ．同理，∠CFE ＝2∠CBF ，∴∠DFE ＋∠CFE ＝2∠DBF ＋2∠CBF ＝2∠ABC ＝90°，∴DF ⊥CF ．(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：如解图①，延长DF 交BC 于点G ．∵∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∴DE ∥BC ，∴∠DEF ＝∠GBF ，∠EDF ＝∠BGF ．∵F 为BE 的中点，∴EF ＝BF ，∴△DEF ≌△GBF(AAS)，∴DE ＝GB ，DF ＝GF ．∵AD＝DE，∴AD＝GB．∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，即DC＝GC．∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形．∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF．(第24题解) (3)如解图②，延长DF交BA于点H．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE，∠AED＝∠ABC＝45°．由旋转可知∠CAE＝∠BAD＝∠ACB＝90°，∴AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF＝BF．又∵∠DFE＝∠HFB，∴△DEF≌△HBF(ASA)，∴ED＝BH．∵BC＝AC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝4．∵BH＝ED＝AD＝1，∴AH＝3．∵∠BAD＝90°，∴DH＝10，∴DF＝102，∴CF＝102．25．(10分)问题探究：(1)如图①，在锐角△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连结BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．深入探究：(2)如图②，在四边形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝3，∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°，求BD 的长．(3)如图③，在(2)的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．(第25题)导学号：91354018【解】 (1)BD ＝CE ．理由如下：∵∠BAE ＝∠CAD ，∴∠BAE ＋∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAD ．在△EAC 和△BAD 中，∵⎩⎨⎧AE ＝AB ，∠EAC ＝∠BAD ，AC ＝AD ，∴△EAC ≌△BAD(SAS)，∴BD ＝CE ．(2)如解图①，在△ABC 的外部作等腰直角三角形BAE ，使∠BAE ＝90°，AE ＝AB ，连结EC ．∵∠ACD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝AD ，∠CAD ＝90°，∴∠BAE ＋∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAD ．在△EAC 和△BAD 中，∵⎩⎨⎧AE ＝AB ，∠EAC ＝∠BAD ，AC ＝AD ，∴△EAC ≌△BAD(SAS)，∴EC ＝BD ．∵AE ＝AB ＝7，∴BE ＝72＋72＝98．易知∠ABE ＝45°，又∵∠ABC ＝45°，∴∠CBE ＝45°＋45°＝90°，∴EC ＝BE 2＋BC 2＝（98）2＋32＝107，∴BD ＝EC ＝107．(第25题解)(3)如解图②，在线段AC 的右侧过点A 作AE ⊥AB ，交BC 的延长线于点E ． ∵AE ⊥AB ，∴∠BAE ＝90°．又∵∠ABC ＝45°，∴∠E ＝∠ABC ＝45°，∴AE ＝AB ＝7，∴BE ＝72＋72＝98．∵∠ACD ＝∠ADC ＝45°，∴∠DAC ＝90°＝∠BAE ，∴∠BAE －∠BAC ＝∠DAC －∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAD ．在△EAC 和△BAD 中，∵⎩⎨⎧AE ＝AB ，∠EAC ＝∠BAD ，AC ＝AD ，∴△EAC ≌△BAD(SAS)，∴EC ＝BD ．又∵BC ＝3，∴BD ＝EC ＝BE －BC ＝98－3．。