向量的物理背景与概念
平面向量的概念- 高一数学课件
起点
. B (终点)
方向 长度
.
A (起点)
有向线段的三要素：起点、方向、长度
注: 以A为起点，B为终点的有向线段记为 AB 线段AB的长度记作 AB（读为模）；
(二)、向量的表示方法
①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线
段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表
示向量的方向。
B
向量 AB
A
向量 AB的大小叫做向量 AB 的长度（或称模） 记作：| AB |
零向量： 长度为0的向量，记为0 ；
单位向量：长度为1的向量. 注:零向量、单位向量都是只限制大小，不确定方向的.
（四）相等向量与平行向量
相等向量：长度相等且方向相同的向量.
B
D
A
C
注：1.若向量a, b 相等，则记为a b ；
2.任意两个相等的非零向量，都可用同一 条有向线段来表示，并且与有向线段的 起点无关。 对于一个向量，只要不改变它的长度和
OB DC EO
C
O
F
OC AB ED FO
D
E
向量 OA与向量 FE 相等吗？
向量OB与向量 AF相等吗？
A
7
E
F
B
D
C
5
2
定义
表示
几何表示法：有向线段 符号表示法：a ，b, AB
长度（模）
向 量
零向量
特殊向量
向量的
单位向量
有关概念 向量间
平行（共线）
的关系 相等
大小
方向 大小和方向
F
F
向量的概念:
数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量 （vector). 只有大小，没有方向的量叫数量。
人教A版(新教材)高中数学第二册：向量的实际背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量
解 (1)如图所示，作出A→B，B→C，C→D.
(2)由题意知AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形， 所以 AD＝BC＝400 km，所以|A→D|＝400 km.
【迁移】 在例 3 的四边形 ABCD 中，是否一定有A→B＝D→C？ 解 是，因为 AB 与 DC 平行且相等，A→B与D→C的方向也相同，所以A→B＝D→C. 规律方法 平面向量在实际生活中的应用 生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的 知识进行解答可使问题简化，易于求解.解答时，一般先把实际问题用图示表示出 来，然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解.
(2)由题意知A→D＝B→C， ∴AD 綉 BC，则四边形 ABCD 为平行四边形， ∴A→B＝D→C，则 B 地相对于 A 地的位置为“北偏东 60°，长度为 6 千米”.
一、素养落地 1.通过了解平面向量的实际背景及理解平面向量的意义，培养数学抽象素养.通过学
习相等向量的含义及平面向量的几何表示提升直观想象素养. 2.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，
1.向量的定义及表示 向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移 (1)定义：既有 大小又有 方向 的量叫做向量. (2)表示： ①有向线段：带有 方向的线段，它包含三个要素： 起点 、方向、长度；
②向量的表示：
|AB|
长度
→a ,→b ,→c
2.向量的有关概念 相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
教材知识探究
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，猫能否追到老鼠(如图)? 问题 猫能否追到老鼠？ 提示 猫的速度再快也没用，因为方向错了. 老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有大小、有方向的量. 生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并指出其大小和方向吗？ 本节就来学习这方面的知识.
2.1向量的基本概念
d 向量的平行与直线的平行既有相 同的地方，也有不同的地方。
向量的平行是方向相同或相反，可以在一条直线上； 而直线的平行是不能在一条直线上。
c
L1
问题 分析
问题1 下列哪些不是向量的是（ ①④⑥⑦⑧ ） ① 质量; ② 速度; ③位移; ④温度; ⑤加速度; ⑥路程 ⑦ 密度;⑧功
问题2 数量之间有大小关系，如5＞3 ，0＞﹣2；
四.向量间的关系 1.相等向量：长度相等且方向相同的向量,叫
做相等向量 。 向量 a 与 b 相等， a b 记作 ：
a
abc
≠ d
b
c d
• 两个条件都要满足：模相等、 方向相同 • 零向量与零向量相等； • 任意两个相等的非零向量，都 可用同一条有向线段来表示，并 且与有向线段的起点无关.
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
(× )
2.下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是 |a|=|b| a ∥b （5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
2.我们所学的向量常被称为 ： 自由向量.
3.向量与数量的区别：
①数量只有大小， 可以比较大小。 ②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能
比较大小的，因此向量不能比较大小。
友情链接：物理中向量与数量分别叫做 矢量、标量
判断题
1. 身高是一个向量﹙
﹚
2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量。( )
如何定义向量之间的大小？ 结论:向量不能比较大小.但有相等的向量.
高中数学向量数量积的物理背景与定义
向量数量积的物理背景与定义 教学目标： 掌握平面向量的数量积的定义及其物理意义 教学重点：平面向量的数量积的定义 教学过程
一、复习引入： 1． 向量共线定理 2．平面向量基本定理： 3．平面向量的坐标表示 4．平面向量的坐标运算 二、讲解新课： 1、力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角 2、两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180
3、向量在轴上的正射影： 作图
定义：|b|cos叫做向量b在a所在轴上的正射影 正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值；当为钝角时正射影为负值；当为直角时正射影为0；当 = 0时正射影为|b|；当 = 180时正射影为|b| 4、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
C （2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”代替 （3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因为其中cos有可能为0
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA| ab = bc 但a c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线 5、两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 1ea = ae =|a|cos 2ab ab = 0
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
2
2
题2、 已知 a 6， b 4， a与b的夹角为60 ，
0
求(a＋2b) (a－3b)
题3、 已知 a 3， b 4，且a与b不共线.k为 何值时，向量 a k b与a k b互相垂直.
提高练习：
1、三角形ABC为正三角形，问：
(1) AB与 AC 夹角为 600 (2) AB与 BC 夹角为 1200 (3) AB在 AC 上的投影为 (4) AB在 BC 上的投影为
(3)a (b c) a b a c (分配律)
说明：向量数量积不满足消去律，
也就是说：
当a 0, a b a c时，不一定有b c.
巩固训练
题1、求证：
(1)(a b) a 2a b b
2
2
2
(2)(a b)(a b) a b
平面向量数量积 的物理背景及其 含义
一、向量数量积的物理背景
在物理课中，我们学过功的概念， 即如果一个物体在力 F 的作用下产生 位移 S ，那么力 F 所做的功
W F S cos
F
S
我们将功的运算类比到两个向量 的一种运算，得到向量“数量积”的 概念。
W F S cos
1 | AB | 2 1 | AB | 2
2、判断下列说法的正误，并说明理由
(1)在ABC中，若AB BC ＜0，则ABC是锐角。
假
(2)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是钝角。
真
(3)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是直角。
真
3、 已知 a 2, b 3, a与b的夹角为 120 (1)a b =-3 (5) a b
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
张喜林制2.3.1 向量数量积的物理背景与定义考点知识清单1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 、b ，作,,b a ==则AOB ∠称作向量a 和向量b 的夹角，记作（a ，b ），并规定其范围是 当2,π=b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作.b a ⊥2．向量在轴上的正射影：已知向量a 和轴L ，作,a =过点0，A 分别作轴f 的垂线，垂足分别为,,11A O 则11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量，即 ，其中l a 是a 在轴L 上正射影的数量． 3．向量的数量积（内积）定义： 4．向量内积的性质：(1)如果e 是单位向量，则=⋅=⋅a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即>=<b a ,cos )4( ||)5(b a ⋅ .||||b a要点核心解读1．向量数量积的物理背景——力做功的计算．如图2 -3 -1 -1．一个力F 使物体发生位移s 所做的功W 可以用下式计算．.cos ||||θF s W =其中θcos ||F 就是F 在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F 在物体位移方向上正射影的数量． 2．两个向量的夹角已知两个非零向量a ，b （如图2 -3 -1 -2所示），作,,b a ==则AOB /称作向量a 和向量b 的夹角，记作),,(b a 并规定,),(0π≤≤b a在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有.,,>>=<<a b b a当2,π>=<b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作,b a ⊥在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．3．向量在轴上的正射影已知向量a 和轴L 如图2 -3 -1 -3.作,a =过点0、A 分别作轴L 的垂线，垂足分别为,11A O 、，则向量11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量．a =在轴L 上正射影的坐标记作,l a 向量a 的方向与轴L 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有.cos ||θa a l =4．向量的数量积（内积）定义><b a b a ,cos ||||叫做向量a 和向量b 的数量积（或内积），记作a ×b ，即.,cos ||||><=⋅b a b a b a5．平面向量的数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则;,cos ||><=⋅=⋅e a a a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即;||a a a ⋅=;||||,cos )4(b a ba b a ⋅>=<.||||||)5(b a b a ≤⋅典例分类剖析考点1求数量积的问题[例1] 已知.3||,4||==b a 当b a b a b a 与③②①,,//⊥的夹角为60时，分别求a 与b 的数量积． [解析] ①当b a //时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角∴=,0 θ||a b a =⋅;120cos 34cos .||=⨯⨯= θb若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为,180o =θ;12)1(34180cos ||||-=-⨯⨯=⋅=⋅∴o b a b a②当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为,90;003490cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a③当a 与b 的夹角为60时．.6213460cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a [点拨] 若||||b a ⋅是一个定值k ，则当这两个向量的夹角从0变化到o180时，两向量的数量积从k 减到-k ，其图象恰好为从O 到霄的半个周期内的余弦图象，对于图形中的问题要注意区分图形中的角与向量的夹角．1．如图2—3 -1-4，在边长为1的等边三角形ABC 中，设,a BC =,,c AB bCA == 试求 a c c b b a ..++⋅的值．考点2 向量的夹角与垂直关系的运算[例2] 已知,9,1||,36||-=⋅==b a b a 则=),(b a ( )120.A 150.B 60.C 30.D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能） [解析] 利用||||,cos b a ba b a ⋅>=<及,),(0π≤≤b a 求⋅),(b a解：⋅-=⨯-=⋅>=<231369||||,cos b a b a b a又.150,,180),(0 >=∴<≤≤b a b a [答案] B[点拨] 两个向量夹角的范围是⋅],0[π2．(1)向量a 、b 满足4222-=⋅--b a b a 且,4||,2||==b a 则=),(b a(2)若0是△ABC 所在平面内一点，且满足=-|||,2|-+则△ABC 的形状为( )． A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形考点3 向量的投影问题[例3] 如图2-3 -1-5，在等腰三角形ABC 中，=AB D ABC AC ,30,2 =∠=是BC 的中点， 求：(1)C 在方向上的投影；(2)在D 方向上的投影．[解析] 如图2 -3 -1-5所示，连接AD ，在等腰三角形ABC 中，=∠==ABC AC AB ,2D ,30是BC的中点，所以⨯===⊥230cos ,AB BD CD BC AD .323=作CB 的延长线BE ，则与的夹角为-=∠180ABE .150=∠ABCCD BA =)1(方向上的投影是=-⨯=)23(2150cos || ;3- BA CD 在)2(方向上的投影是=-⨯=)23(3150cos || ⋅-23[点拨] 向量的投影是一个实数，它可正、可负、可为零，其性质符号取决于两向量之间的夹角，因此在正确理解向量投影定义的同时，找准两个向量之间的夹角是关键．b a a 与,4||.3=的夹角为,30 则a 在b 方向上的投影为考点4 内积性质的简单应用[例4] 已知,5||||==b a 向量a 与b 的夹角为,3π求.|||,|b a b a -+ [解析] 解法一：由数量积公式2||a a =求解．,25||,25||2222====b b a a,2253cos55cos ||||=⨯⨯==⋅πθb a b a .352525252)(222=++=⋅++=+=+∴b a b a b a b a同样可求 b a b a b a b a ⋅-+=-=-2)(||2.5252525=-+=解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD ，使,3.5π=∠==DAB AD AB设,,b A a A ==如图2 -3 -1 -6．则,5||||||===-A B b a.355232||2||||=⨯⨯===+A b a[点拨] (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①22||a a a a =⋅=;||a a a ⋅=或.2)(||22b b a a b a b a +⋅±=±=±②由关系式=2a ,||2a 可使向量的长度与向量的数量积互相转化，因此欲求+a ||,b 可求),()(b a b a +⋅+将此式展开．由已知,5||||==b a 即b a b b a a ⋅=⋅=⋅,25 也可求得,225将上面各式的值代入，即可求得被求式的值． (2)利用向量线性运算的几何意义转化到求平面几何的长度的计算．4．(1)已知向量a ，b 满足==||,13||b a ,24||,19=+b a 求.||b a -(2)已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为,60那么+a |=|3b ( )．7.A 10.B 13.C 4.D学业水平测试1．下列命题，正确的是( )．A ．若,0=⋅b a 则00==b a 或B ．若,0=⋅b a 则b a //C ．若,b a ⊥则0=⋅b a ||.a a aD >⋅对任意向量恒成立 2．已知,135,,4||,212 >=<=-=⋅b a a b a 则=||b （ ）12.A 3.B 6.C 33.D3．以下等式中恒成立的有( )．① b a b a ⋅=⋅ ② ;||;||22a a a a a ==⋅③④⋅+⋅-=-)2()2(222b a b a b aA.l 个B.2个 C ．3个 D.4个4．向量a 、b 满足,3||,2||==b a 且,7||=+b a 则=⋅b a5．已知,2||,1||==b a 且),2()(b a b a λλ-⊥+a 与b 的夹角为,60则=λ6．在△ABC 中，设,,,c AB b CA a BC ===若..a c c b b a ⋅=⋅=求证：△ABC 为正三角形，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分）1．在△ABC 中，C B A ∠∠∠、、的对边分别为1,3,==b a c b a 、、,30=∠C 则=B .343.A 323.B 343.-C 323.-D 2．△ABC 中，.A B A ⋅+⋅+一定是( )A ．小于0B ．大于0．C ．小于或等于零D ．大于或等于零3．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的有( )．.(|;||||];0)()(b b a b a b a c c b a ③②①-≤-=⋅⋅-⋅⋅b a c a c ⋅⋅-⋅)()不与C 垂直；=-⋅+)23()23(b a b a ④.||4||922b a -A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 4．若,5||,4||,32041||==-=-b a b a 则a 与b 的数量积为( )．310.A 310.-B 210.C 10.D5．若四边形ABCD 满足,0)(,0=⋅-=+AC AD AB CD AB 则该四边形一定是( )．A ．直角梯形B ．菱形C ．正方形D ．矩形 6．（2009年福建高考题）设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，|,|||,c a c a =⊥则||c b ⋅的值一定等于( )．A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 7．已知非零向量AC AB 与满足0)||||(=⋅+AC AC AB 且.||AB ⋅,21||=AC 则△ABC 为( )． A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 8．（2011年全国大纲理）设向量a ，b ，c 满足.,1||||a b a ==,21-=b ,60, >=--<c b c a 则∣C ∣的最大值等于( )．2.A3.B 2.C 1.D二、填空题（5分x4 =20分）9．（2008年江苏高考题）a ，b 的夹角为,3||,1||,120==b a则=-|5|b a10.（2010年天津高考题）如图2-3 -1 -7，在△ABC 中，,AB AD ⊥BC =,1||=AD 则=⋅.11．设向量a ，b ，c 满足.,)(,0b a c b a c b a ⊥⊥-=++若=||a 222||||||,1c b a ++则的值是 12.（2008年陕西高考题）关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若,c a b a ⋅=⋅则;c b =②若//),6,2(),,1(a b k a -==;3,-=k b 则③非零向量a 和b 满足|,|||||b a b a -==则a 与b a +的夹角为.60 其中真命题的序号为____（写出所有真命题的序号）．三、解答题（10分x4 =40分）13.如图2-3 -1-8，已知正六边形,654321P P P P P P 求下列向量的数量积．;)2(;)1(41213121P P P P P P P P ⋅⋅.)4(;)3(61215121P P p p P P P P ⋅⋅14．已知,0||2||=/=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．15．已知向量,60,, =∠==AOB b O a 且.4||||==b a (1)求|;||,|b a b a -+(2)求b a +与a 的夹角及b a -与a 的夹角．16.已知),1,(),1,2(λ=--=b a 若a 与b 的夹角α为钝角，求A 的取值范围．。
平面向量数量积的物理背景及其含义(史宏刚)
高一数学必修4第二章平面向量数量积的物理背景及其含义平遥中学史宏刚一、教学内容分析以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。
本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（A版）第二章、第4节第1课时。
它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
本节的知识结构：二、学生学习情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。
在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.三.设计思想：遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。
四.教学目标：1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其几何意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
五.教学重点和难点:重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。
六.教学过程设计：活动一：创设问题情景，引出新课问题1：若一个物体在力F 的作用下产生的位移为S ，那么力F 所做的功W 等于多少？ ［设计意图］：以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。
(人教B)高二数学必修4课件：2.1.1向量的概念
例1 判断下列命题是否正确，并说明理由. ①若a≠b，则a一定不与b共线； ②若A→B＝D→C，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点； ③在平行四边形 ABCD 中，一定有A→B＝D→C； ④若向量a与任一向量b平行，则a＝0； ⑤若a＝b，b＝c，则a＝c； ⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.向量的概念 (1)向量：具有大小和 方向 的量称为向量.只有大小和方 向，而无特定的位置的向量叫做 自由向量 . (2)如果两个向量的大小、方向都相同，则说这两个向 量 相等 .
明目标、知重点
(3)有向线段：从点A位移到点B，用线段AB的长度表示 位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时 我们说线段AB具有从A到B的方向.具有方向的线段，叫 做 有向 线段.点A叫做有向线段的 始点 ，点B叫做有向线 段的 终点 .有向线段的方向表示向量的 方向 ，线段的长 度表示位移的 距离 ，位移的距离叫做向量的长度 .
明目标、知重点
思考 2 如果非零向量A→B与C→D是共线向量，那么点 A、 B、C、D 是否一定共线？ 答 点A、B、C、D不一定共线.
明目标、知重点
思考3 若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若 向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递 性吗？ 答 向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b 相等，则向量a与b平行(或共线). 向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这 是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b， b∥c⇒a∥c. 小结 在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时， 一定要看清题目明目中标、是知“重点零向量”还是“非零向量”.
2.3.1向量数量积的物理背景与定义
2020/1/16
复习回顾
1、若向量a=(x1,y1) ，b=(x2,y2) 则向量a+b=（ x1 + x2 ，y1 + y2 ） 向量a-b=（x1 - x2 ，y1 - y2 ） 向量λa=（λ x1 ，λ y1）
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2、若已知点A(x1,y1) ， B(x2,y2)
|a|cosab12 |b| 5
b在a方向上的正射影的数量是
2020/1/16
| b| cos ab 4 | a|
课堂小结
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影
正射影的数量 al a cos
3.向量的数量积（内积）a·b= a bcosa,b
量，不是向量.
2. 当为锐角时，数量为正值；
3. 当为钝角时，数量为负值；
4. 当为直角时，数量为0； 5. 当 = 0时，数量为 |a|；
aa
6. 当 = 180时，数量为 |a|.
O
x
A2 a l O 1 a l A1
l
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例1.已知轴l
（1）.向量︱OA︱=5, ＜OA, l＞=60°, 求OA在上的正射影的数量OA1
则向量AB=（x2 – x1，y2- y1 ）
3、向量a、b（b≠0）共线的充要
条件是什么？ a =λb
若a= (x1,y1) b= (x2,y2) ，则共线的 条件是什么？ x1 y2 - x2 y1=0
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一.力做功的计算
F θ
O
位移S
F
θ S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所
向量的概念 课件 高中数学人教A版(2019)必修第二册
且|
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量