平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（第1课时） 教材分析 本节内容是必修4第二章第4节的第1课时，平面向量的数量积是继向量的加法，减法，数乘等线性运算之后又一新的运算，也是高中数学的一个重要概念，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用．此外它在数学、物理等学科中的广泛应用．本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力．数量积的概念既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点．

课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要探讨平面向量数量积的概念、性质及运算律． 教学目标 重点：平面向量数量积的概念，性质、运算律的发现与论证． 难点：平面向量数量积的定义及运算率的理解，平面向量数量积的应用． 知识点：平面向量数量积的概念，性质、运算律． 能力点：通过对平面向量数量积性质及运算律的探究，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力． 教育点：通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐，体会各学科之间是密不可分的．培养学生思考问题认真严谨的学习态度． 自主探究点：有关向量数量积的性质及运算律的证明．

考试点：①考查向量数量积运算；②有关向量夹角的计算；③应用向量解决垂直问题． 易错易混点：向量的数量积与实数的乘法的区别． 拓展点：向量在几何中证明垂直的应用．

教具准备 多媒体课件、直尺

课堂模式 学案导学

一、 创设情境、引入课题 任意两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量，我们自然地会想到：两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？ 思考： 1．如右图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功W是多少？

结论：cosW=Fs

2．功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s的“数量积”．一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？ 【设计意图】由旧知识引出新内容，同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系． 二、探究新知 1．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，我们把数量cosab叫做a与b的数量积(inner product)（或内积），记作

ab，即cosab=ab，其中是a与b的夹角．

特别强调：两个向量a，b的数量积与代数中两个数,ab的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a与b的数量积是记作ab，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×”代替，写成ab． 思考1：对于两个非零向量a与b，其数量积ab是一个数量，那么它何时为正数？何时为负数？何时为零？

结论：cosab=ab，

当cos0，即090时，0ab>； 当cos0，即90时，0ab=； 当cos0，即90180时，0ab<． 思考2：零向量与任一向量的数量积是多少？ 结论：我们规定，零向量与任一向量的数量积为0． 2．投影的定义

对于两个非零向量a与b，设其夹角为，cosb叫做向量b在a方向上的投影．

如上图所示，1cosOBb，即有向线段1OB的数量为cosb． 特别强调：向量的投影是一个数量． 思考1：向量b在a方向上的投影cosb一定是正数吗？向量a在b方向上的投影是什么？

结论：cosb不一定是正数，其正负取决于cos，即的取值．向量a在b方向上的投影是cosa． 思考2：根据投影的概念，数量积cosab=ab的几何意义是什么？ 结论：数量积ab等于a的长度a与b在a方向上的投影cosb的乘积，或等于b的长度b与a在b方向上的投影cosa的乘积． 【设计意图】使学生从感性到理性去认知数量积的定义．通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，掌握相关的几何意义并加深对投影的认识．

3．平面向量数量积的运算性质 思考1：设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？ 结论：0abab 思考2：当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？

结论：当a与b同向时，cos0ab=abab；

当a与b反向时，cosab=abab； 2cos0aa=aaa，所以aaa．通常aa记作2a．

思考3：设a与b都是非零向量，如何计算它们的夹角？

结论：由cosab=ab可得cosab=ab，再结合0,可求出．

思考4：ab与ab的大小关系如何？为什么？ 结论：cosab=ab，因为cos1，所以abab 【设计意图】通过上述4个思考，在学生讨论交流的基础上，由教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动．这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情． 4．平面向量数量积的运算律 ①发现数量积的运算律 教师引导学生回顾实数运算中有关的运算律，并类比得出数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，然后由学生自主完成下列表格： 在实数运算中 在向量运算中 是否正确 交换律 abba (1)abba （ ） 结合律 ()()abcabc (2)()()abcabc （ ）

(3)()()()ababab （ ） 分配率 ()abcacbc (4)()abcacbc （ ） 消去律 (0)abbcbac (5)()0abbcbac （ ） 【设计意图】通过类比、探究使学生得到数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和探究问题的能力． 答案：(1)√；(2)×；(3)√；(4)√；(5)×． 对于上述表格，学生在处理的过程中(2)(5)出错率较高，需要老师着重分析：

(2)这是因为()abc表示一个与c共线的向量，而()abc表示一个与a共线的向量，而c与a不一定

共线，所以()()abcabc一般不成立，即使c与a共线，此式也不一定成立． (5) 如下图，均满足abbc，但ac． ②明晰数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数，则： (1) abba；

(2) ()()()ababab；

(3) ()abcacbc． ③证明数量积的运算律 学生自主证明(1) (2)， 同时对于(2)，注意引导学生反思：当0时，向量a与a、b与b的方向的关系，此时向量a

与b、b与a的夹角与向量a与b的夹角相等吗？

教师分析证明 (3)：如右图，在平面内任取一点O，作OAa，

ABb

，OCc，因为ab（即OB）在c方向上的投影等于a、

b在c方向上的投影的和，即12coscoscosabab，

所以12coscoscoscabcacb， 所以()cabcacb， 所以()abcacbc． 【设计意图】发现运算律、明晰运算律、证明运算律， 这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起．

三、理解新知 1．对数量积的理解 平面向量的数量积是两个向量之间的运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是：数量积的运算结果是数量而不是向量．这个数量的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关，数量积运算结果的符号取决于向量a与b的夹角． 2．灵活掌握平面向量数量积的性质 (1) 0abab，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算； (2) 22aa=aa与aaa可用来求向量的模，以实现实数运算向向量运算的相互转化． (3) cosab=ab不仅可以用来直接计算两向量a、b的夹角，也可用来求直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围． 四、运用新知 例1．已知5a，4b，且a与b的夹角120，求ab． 【设计意图】本例及拓展变式1，2均由学生自主完成，然后教师进行答案的校对．其目的是通过计算巩固对数量积定义的理解． 解：cosab=ab 54cos120 154210





拓展变式1：若5a，4b，且//ab，则ab是多少？ 答案：当a与b同向时，20ab=ab；当a与b反向时，20ab=ab． 拓展变式2：若5a，4b，且ab，则ab是多少？ 答案：因为ab，所以0ab=． 例2．我们知道，对任意,abR，恒有222()2abaabb，22()()ababab．对于任意的向量a，b，是否也有下面类似的结论？ (1) 222()2abaabb； (2) 22()()ababab． 【设计意图】使学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异同．

解：(1) 2()()()ababab =aa+abbabb 222=aabb

(2) ()()ababaaabbabb22=ab 例3．已知6a，4b，且a与b的夹角60，求(2)(3)abab． 解：(2)(3)6abab=aaabbb =22cos6aabb =22664cos6064 =72． 拓展变式3． 已知6a，4b，a与b的夹角120，求a+b．

答案：a+ba+ba+b 222aabb

226264cos1204

28 例4．已知3a，4b，且a与b不共线．k为何值时，向量kab与kab互相垂直？ 【设计意图】学会利用数量积来解决有关垂直问题，体会运算律的优越性．