平面向量的数量积运算

平面向量的数量积运算考点71 平面向量的数量积运算1．（13天津T12）在平行四边形ABCD 中, AD = 1,60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 .【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算.【难易程度】简单 【参考答案】12【试题解析】用,AB AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算.由已知得AC =AD AB +，12BE BC CE AD AB =+=-， ∴AC BE=221122ADAB AD AB AD AB -+-211122AB AD AB =+-2111cos60122AB AD AB ︒=+-=，（步骤1）∴12AB =.（步骤2）jxq59 2.（13新课标Ⅰ T13）已知两个单位向量,a b 的夹角为60，c ＝t a ＋(1－t )b 若b c ＝0，则t ＝__________.【测量目标】平面向量的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】2t =【试题解析】∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b c ＝ta b ＋(1－t )|b |2.（步骤1）又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60＋(1－t )， 0＝12t ＋1－t .∴t ＝2.（步骤2） 3.（13江西T12）设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π3,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________.【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】52【试题解析】121(3)2||cos ||||||||2θ+===e e ea b a b a a a b b2112π2611cos2653.222+⨯⨯⨯+===e e e4．(13福建T7)在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．5D．10【测量目标】向量的数量积运算.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】∵AC BD＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC⊥BD.（步骤1）又|AC|＝2+，|BD|＝22125(-)+=+=4216425|AC||BD|＝5.（步骤2）S四边形ABCD＝125.（13陕西T3）设a，b为向量，则“|a b|＝|a||b|”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【测量目标】平面向量的数量积运算，充分、必要条件.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】若,a b a b若a，b中有零向量，显=然a∥b；（步骤1）若a ，b 中均不为零向量，则cos ,,==a b a b a ba bcos ,1∴=a b ,π⇒=a b 或0，∴a ∥b ，即=a b a b ⇒a ∥b .（步骤2） 若a ∥b ，则,π=a b 或0，cos ,∴==a b a b a b a b，（步骤3）其中若a ，b 中有零向量也成立，即a ∥b ⇒=a b a b ；（步骤4）综上知：“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件.（步骤5）6．（13浙江T17）设12,e e 为单位向量，非零向量12x y +b =e e ，,x y ∈R ，若12,e e 的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于________.【测量目标】向量模的计算，向量的数量积，不等式性质. 【难易程度】较难 【参考答案】2【试题解析】∵12,e e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于30°，（步骤1）∴12e e =1×1×cos30°=32.∵非零向量12x y +b =e e ，（步骤2）∴222221223x xy y x xyy ==++=++b b e e （步骤3）∴22222221133311324x x x x xy yx x x xy y x y y y ====++⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭b故当x y =3-时，x b取得最大值为2，故答案为 2. （步骤4）7.（13山东T15）已知向量AB 与AC 的夹角为120，且3, 2.==AB AC 若λ=+AP AB AC ，且⊥AP BC ，则实数λ的值为____________.【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】中等【参考答案】712【试题解析】∵AP ＝AB λ＋AC ，AP ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ，∴(AC －AB ) (AC ＋AB λ)＝0.∴AC 2＋AB λAC －AB AC －AB λ2＝0，即4＋(λ－1)×32⨯×12⎛⎫- ⎪⎝⎭－9λ＝0，即7－12λ＝0，∴λ＝712.8．（12浙江T15）在ABC △中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ＝______________．Yxj 63【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】中等 【参考答案】16- 【试题解析】设AMB θ∠=,则,AMC θ∠=π-又,AB MB MA =-,AC MC MA =-(步骤1)2()()AB AC MB MA MC MA MB MC MB MA MA MC MA ∴=--=--+，2553cos 35cos(θθ=--⨯-⨯π-)+9=-16故答案为16-.（步骤2） 9.（12重庆T6）设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)x y ===-a b c 且,⊥a c b c ，则+=a b ( )5 B.10 C.5 D.10【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】,240,2,x x ⊥∴=-==a c a c （步骤1） ,1(4)2,2,y y ∴⨯-==-c b （步骤2） (3,1),10.∴+=-∴+=a b a b （步骤3）10.(12新课标T13)已知向量a,b 夹角为45，且|a |=1，|2a -b |=10则|b |= .【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】32【试题解析】由题意得，222224444cos 45-=-+=-+a b a a b b a b b，则244cos451032-+=⇒=a b bb11.（11辽宁T10）若a ，b ，c 均为单位向量，且=a b ，()()--a c b c ，则||+-a b c 的最大值为( ) A.12- B.1C.2D.2【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】∵2()()0()0--⇒-++a c b c a b c a b c又∵,,a b c 为单位向量，且a b =0，∴()1+c a b ，（步骤1） 而222222()+-=+++-+a b ca b c a b c a b =32()321-+-=c a b .∴+-a b c 的最大值为1．（步骤2）12.（11江苏T10）已知12，e e 是夹角为2π3的两个单位向量，12122k =-=+，，a e e b e e 若0=a b ，则k 的值为【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】54【试题解析】解：∵12，e e 是夹角为2π3的两个单位向量 ∴1212=-ee （步骤1）∴1212(2)()k =-+a b e e e e=2211212222k k -+-ee e e e e=522k -（步骤2） ∵0=a b∴5202k -=（步骤3）解得54k = 故答案为：54（步骤4） 13．（11广东T3）若向量,a b,c 满足a b ∥且⊥a c ，则(2)c a +b = （ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 0【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵a b ∥且⊥a c ，∴(2)20=c a +b c a +c b =． 14.（11重庆T12）已知单位向量ije ,e 的夹角为60，则2_____ij-=e e．【测量目标】平面向量数量积. 【难易程度】容易. 3【试题解析】22i j -e e =2(2)i j-e e=2244ii j j -+ee e e=54cos60- =3 ∴23ij-=e e315.(11新课标T10)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题其中的真命题是（ ）12:10,3p θπ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3p θπ⎛⎤+>⇔∈π ⎥⎝⎦a b3:10,3p θπ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 4:1,3p θπ⎛⎤->⇔∈π ⎥⎝⎦a bA.14,p pB.13,p pC.23,p pD.24,p p【测量目标】不等式比较大小及平面向量的数量积运算.【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题解析】222cos 22cos 1θθ+=++=+>a b a b a b 得，1cos 2θ>-，2π0,3θ⎡⎫⇒∈⎪⎢⎣⎭，（步骤1）由222cos 22cos 1θθ-=+-=->a b a b a b 得1cos 2θ<π,π3θ⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦， 选A（步骤2）16．(10重庆T2)已知向量a ，b 满足a b ＝0，|a |=1，|b |=2，则|2-a b |＝ ( )A ． 0 2 C. 4 D. 8【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】2-=a b 222(2)44822-=-+==a b a a b b 17.(10安徽T3)设向量11(1,0),(,)22==a b ，则下列结论中正确的是 （ ） A.||||=a b B.22=a b C.-与a b b 垂直D.a b【测量目标】平面向量的坐标运算和数量积运算.【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】 由于a =（1，0），b =（21，21），那么|a |=1，|b |=22，选项A 错；（步骤1）a•b =1×21+0×21=21，选项B 错；（步骤2） （a －b ）•b =（21，－21）•（21，21）=21×21－21×21=0，即a －b 与b 垂直，选项C 正确；（步骤3）112≠210，选项D 错.（步骤4） 18.(10广东T10)若向量()1,1,x =a ,()1,2,1=b ，()1,1,1=c ,满足条件()()22-=-c a b ,则x = .【测量目标】平面向量的坐标运算和数量积运算.【难易程度】容易 【参考答案】2 【试题解析】()0,0,1x -=-c a ，()()()()()220,0,11,2,1212x x -=-=-=-c a b解得2x =．19．（09福建T9）设a b c ，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，⊥a c ，=a c ，则b c 的值一定等于 ( ) A ．以a ，b 为两边的三角形面积 B ．以b ，c 为两边的三角形面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积【测量目标】平面向量的数量积运算，三角形面积．【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】依题意可得cos(,)sin(,)S===b c b c b c b a a c ，故选C ．20.（09广东T16）已知向量(sin ,2)θ=-a 与(1,cos )θ=b 互相垂直，其中π(0,)2θ∈．（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若10πsin()102θϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．【测量目标】平面向量的数量积运算和两角和与差的余弦.【难易程度】中等【试题解析】（1）∵ 向量()sin ,2θ=-a 与()1cos θ，b =互相垂直，∴ sin 2cos 0θθ=-=a b ，即θθcos 2sin =①，（步骤1）又 1cos sin 22=+θθ②① 代入②，整理，得51cos 2=θ，（步骤2）由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知0cos >θ， ∴55cos =θ，（步骤3）代入①得552sin =θ.故55cos =θ， 552sin =θ.（步骤4）（2）ππππ0,0,,2222ϕθθϕ<<<<∴-<-<（步骤5）则()()2310cos 1sin ,θϕθϕ-=--=（步骤6）()()()2cos cos cos cos sin sin .2ϕθθϕθθϕθθϕ∴=--=-+-=⎡⎤⎣⎦（步骤7）21.（09江苏T2）已知向量a 和向量b 的夹角为°30,||2,||3==a b ，则向量a 和向量b 的数量积=a b .【测量目标】向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】3 【试题解析】3233==a b .22．（09江苏T15）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值； （2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【测量目标】向量的数量积运算，同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式.【难易程度】中等【试题解析】（1）由a 与2b c -垂直，(2)20-=-=a b c a b a c ，（步骤1）即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，tan()2αβ+=；（步骤2） （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c （步骤3）222||sin 2sin cos cos ββββ+=+++b c 2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，最大值为32，（步骤4）所以||+b c 的最大值为42.（步骤5） （3）由tan tan 16αβ=得sin sin 16cos cos αβαβ=，（步骤6） 即4cos 4cos sin sin 0αβαβ-=（步骤7） 所以a ∥b .（步骤8）23.（09全国Ⅰ T6）设a 、b 、c 是单位向量，且0=a b ，则()()--a c b c 的最小值为 （ ） A.2- B.22C.1-D.12【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】,,a b c 是单位向量 ()()()2∴--=-++a c b c a b a b c c ()112,12=-+=-<+>-a b c a b c 故选D.24.（09辽宁T3）平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)=a ，1=b 则2+=a b ( )3 B. 23C.4 D. 12【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】由已知2222,2444421cos60412︒=+=++=+⨯⨯⨯+=a a b a a b b ,∴223+=a b 25.（09全国Ⅱ T6） 已知向量()2,1,10,||52=•=+=a a b a b ||=b （ ）A.5B. 10C.5D.25【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】222250||||2||520||=+=++=++a b a a b b b ，||5∴=b .故选C.26．（09重庆T7）设ABC △的三个内角,,A B C ，向量(3sin ,sin )A B =m ，(cos ,3cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【测量目标】平面向量的数量积运算、两角和与差的正弦． 【难易程度】中等. 【参考答案】C 【试题解析】3sin cos 3cos sin 3sin()1cos()A B A B A B A B =+=+=++m n ，πA B C ++=，所以31cos C C=-即3cos 1C C +=，π2sin 16C +=（）π1sin(62C ⇒+=），由题π5π66C +=，即2π3C =．。