人教版高中数学高一-作业25-向量的物理背景与概念、几何表示(答案)
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.2.2 向量的几何表示
2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示●创设情境如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，问：猫能追上老鼠吗？（画图）●教材新知1.向量的相关概念（1）向量：既有_______，又有_______的量叫做向量.如：力、位移、速度、加速度等.向量的两个要素是：______、______.（2）有向线段：带有_______的线段叫做有向线段.①以A为起点，B为终点的有向线段记作______.②有向线段的三要素是：______、______、______.（3）模：向量AB的______叫做向量AB的______（或称_____），记作______..“向量”就是“有向线段”对吗？2.向量的表示方法有两种（1）用有向线段的起点和终点字母表示，如AB、CD.起点字母必须放在终点字母的______. （2）用黑体字母表示，如a、b.（手写体向量上面的箭头一定不能漏写）.3.两个特殊向量（1）零向量：模为_____的向量，记作____.“0”与“0”有区别吗？（2）单位向量：模为_____的向量.__________或__________的非零向量叫做平行向量，向量a，b平行记作______._____，即对于任意向量a，都有______.●题组集训（1）下列结论正确的是（）A.对任一向量a，0a总是成立的 B.模为0的向量与任一向量平行>C.向量就是有向线段D.单位向量与任一向量平行（2）下列结论中，正确的是（）A.2014cm长的有向线段不可能表示单位向量B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A、B，使得OA、OB是单位向量C.方向为北偏西50︒的向量与东偏南40︒的向量不可能时平行向量D.一人从点A向东走500米到达B点，则向量AB不能表示这个人从点A到B点的位移（3）有下列量：质量、速度、位移、力、加速度、路程、密度、功、海拔、温度、角度、高度.其中不是向量的有（）个A.6B.7C.8D.9（4）下列说法正确的是（ ）A.实数可以比大小，向量也可以比大小B.方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小C.向量的模是正数D.向量的模可以比较大小（5）在直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，则BC =_____.●课堂精讲【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）温度是向量；（2）作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量；（3）数轴是向量；（4）若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反.【变式训练】在下列结论中，正确的为（ ）A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量AB 与向量BA 的长度相等C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的【例2】一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50︒行驶了 200km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D 点.（1）作出向量AB ，BC ，CD ； （2）求AD .【变式训练】某人从A 地出发按北偏东30︒方向行走60米到达B 地，再从B 地向东行走100米到达C 地，再由C 地按东偏南60︒方向行走60米到达D 地.（1）作出向量AB ，BC ，CD ； （2）求AD .【例3】如图，1A 、2A 、…、8A 是O 上的八个等分点，则在以1A 、2A 、…、8A 及圆心O 九个点中任意两个点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于【变式训练】如图，菱形的一个内角是60︒，边长为2，E 是对角线AC 与BD 的交点.（1）模为2的向量最多有几个？（不再增加线段）（2）写出模为1的向量.（不再增加线段）（3）求AC .●课后反馈（1）下列各量中是向量的是（ ）A.质量B.距离C.速度D.电流强度（2）下列说法中正确的是（ ）A.有向线段AB 与BA 表示同一个向量B.两个有公共终点的向量是平行向量C.零向量与单位向量是平行向量D.若非零向量AB ‖CD ，则直线AB 与直线CD 平行 （3）如图，在O 中，向量OB ，OC ，AO 是（ ）A.有相同起点的向量B.单位向量C.模相等的向量D.平行向量（4）下列结论不正确的是（ ）A.向量AB 与向量BA 的长度相等B.任意一个非零向量都可以平行移动C.若a ‖b ，且≠0b ，则≠0aD.两个有公共起点且平行的向量，其终点不一定相同（5）已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O 、A 、B 、C 、D 这5个点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，与DA 是平行向量的有（ ）A.CBB.DBC.BAD.OB（6）把平面上一切单位向量平移到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）A.一条线段B.一段圆弧C.两个孤立点D.一个圆（7）下列结论中，正确的是（ ）A.坐标平面上的x 轴，y 轴都是向量B.若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量C.若0=a ，1=b ，则a ‖bD.计算向量的模与单位长度无关 （8）O 是ABC ∆内一点，且OA OB OC ==，则O 是ABC ∆的（ ）A.重心B.内心C.外心D.垂心（9）如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量EF 方向相反的向量是 _______.（10）以下命题正确的是_______.①单位向量都平行；②任一单位向量都大于0；③单位向量的模相等.（11）如图，ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的关系是_______.（12）直线l ：1y x =-上点(),A x y ，使OA 为单位向量（其中O 为坐标原点），则x =______，y =______.（13）如图，D、E、F分别是ABC∆各边的中点，若2BC=，则DF=______，BE=______.（14）如图，45⨯方格纸中有一向量AB，现以方格纸中的格点为起点和终点作向量，其中与AB长度相等且与AB平行的向量有多少个？（AB除外）（15）如图，已知四边形ABCD是矩形，O是对角线AC与BD的交点，写出以A、B、C、D、O为始点和终点的所有向量.（16）如图，A、B、C三点的坐标依次是(),x y，其中x、y∈R，当x、y满0,1、()1,0-、()足什么条件时，OC‖AB.。
人教A版高中数学必修4第二章 向量的物理背景与概念
量。
生活中许多事物都有这样的性质．．．
抽 象 概 括
向 量: 既有大小又有方向的量
二、向量的表示方法
①几何表示——向量常用有向线段表示.
有向线段的长度表示向量的大小（向量的模）
记作：│AB│或┃a┃
A
Ｂ
a
有向线段的方向表示向量的方向.
②代数表示： a 、b、 c、 d …. 或以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ.
知识与技能目标
了解向量 的实际背景， 掌握向量的有 关概念及几何 表示。
过程与方法目标
通过解决 实际问题，提 高依据具体问 题背景分析问 题、解决问题 的能力。
情感态度价值观目标
体会数学 在生活中重要 作用，培养严 谨的思维习惯。 培养学生数形 结合的思想。
教学重点、难点
重点 掌握向量的有关概念及几何表示。
2.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b
其中正确的个数是( B )
A．0 B. 1
C. 2
D. 3
3.把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量
的终点将落在（B ）
A.同一个圆上
B.同一个点上
C.同一条直线上 D.以上都有可能
②平行向量也叫共线向量
类比演练
ef
那么向量e与f是否是平行向量？
两向量的平行与平面几何里两线段的平行 有什么区别？
两向量的共线与平面几何里两线段的共线 是否一样？
2.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量.
D
A
记作：AB DC
B
人教A版(新教材)高中数学第二册：向量的实际背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量
解 (1)如图所示，作出A→B，B→C，C→D.
(2)由题意知AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形， 所以 AD＝BC＝400 km，所以|A→D|＝400 km.
【迁移】 在例 3 的四边形 ABCD 中，是否一定有A→B＝D→C？ 解 是，因为 AB 与 DC 平行且相等，A→B与D→C的方向也相同，所以A→B＝D→C. 规律方法 平面向量在实际生活中的应用 生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的 知识进行解答可使问题简化，易于求解.解答时，一般先把实际问题用图示表示出 来，然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解.
(2)由题意知A→D＝B→C， ∴AD 綉 BC，则四边形 ABCD 为平行四边形， ∴A→B＝D→C，则 B 地相对于 A 地的位置为“北偏东 60°，长度为 6 千米”.
一、素养落地 1.通过了解平面向量的实际背景及理解平面向量的意义，培养数学抽象素养.通过学
习相等向量的含义及平面向量的几何表示提升直观想象素养. 2.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，
1.向量的定义及表示 向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移 (1)定义：既有 大小又有 方向 的量叫做向量. (2)表示： ①有向线段：带有 方向的线段，它包含三个要素： 起点 、方向、长度；
②向量的表示：
|AB|
长度
→a ,→b ,→c
2.向量的有关概念 相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
教材知识探究
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，猫能否追到老鼠(如图)? 问题 猫能否追到老鼠？ 提示 猫的速度再快也没用，因为方向错了. 老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有大小、有方向的量. 生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并指出其大小和方向吗？ 本节就来学习这方面的知识.
最新必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)
平面向量的实际背景及基本概念[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一 向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量．注意：①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题． ②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．思考 已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有________________，是向量的有________________．答案 ②④⑤⑨⑩ ①③⑥⑦⑧知识点二 向量的表示方法(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c ，…，表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用a →，b →，c →)．(3)向量AB →的大小：也就是向量AB →的长度(或称模)，即有向线段AB →的长度，记作|AB →|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．思考 在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是________．答案 单位圆知识点三 相等向量与共线向量(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b .②规定：零向量与任一向量平行．(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．思考 向量平行具备传递性吗？答案 向量的平行不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，这是因为，当b ＝0时，a 、c 可以是任意向量，但若b ≠0，必有a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”．题型一 向量的基本概念例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0；⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与b 有共线的可能，故①不正确．②AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故②不正确．③在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，③正确．④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确．⑤a ＝b ，则|a |＝|b |且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |且b 与c 方向相同，则a 与c 方向相同且模相等，故a ＝c ，⑤正确．若b ＝0，由于a 的方向与c 的方向都是任意的，a ∥c 可能不成立；b ≠0时，a ∥c 成立，故⑥不正确．跟踪训练1 下列说法正确的有________．(1)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；(2)向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上；(3)向量AB →与BA →是平行向量；(4)任何两个单位向量都是相等向量．答案 (3)解析 (1)错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系．(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上，因此点A 、B 、C 、D 不一定在同一条直线上．(3)正确．向量AB →和BA →是长度相等，方向相反的两个向量．(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．题型二 向量的表示及应用例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →；(2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形．∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．题型三 平行向量与共线向量例3 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点， 所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.(3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.跟踪训练3 如图，已知四边形ABCD 为▱ABCD ，则(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)与OA →的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与AB →共线的向量．解 (1)与OA →的模相等的向量有AO →，OC →，CO →三个向量．(2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →.(3)与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.对向量的有关概念理解不清致误例4下列说法正确的个数是()①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．A．1 B．2 C．3 D．4错解向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同(包括起点、终点)，同起点共线向量不是平行向量．答案B或C或D错因分析对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同．正解事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确．答案 A1．下列说法错误的是()A ．若a ＝0，则|a |＝0B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任一向量平行D ．零向量的方向是任意的2．下列说法正确的是( )A ．若|a |>|b |，则a >bB ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若a ＝b ，则a 与b 共线D ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线3．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )A.AB →＝DC →B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →>DC →D.AB →<DC →4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF →、AE →相等的向量；(2)写出与AD →模相等的向量．5．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点且CN →＝MA →，求证：四边形DNBM 是平行四边形．一、选择题1．下列条件中能得到a ＝b 的是( )A ．|a |＝|b |B ．a 与b 的方向相同C ．a ＝0，b 为任意向量D ．a ＝0且b ＝02．下列说法正确的是( )A ．若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c3．命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”( )A ．总成立B ．当a ≠0时成立C ．当b ≠0时成立D ．当c ≠0时成立 4．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OB →与OD →C.AC →与BD →D.AO →与OC →5．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1，其中正确的是( )A ．①④B ．③C ．①②③D ．②③6．判断下列命题中不正确的是命题个数为( )①若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；②若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；③对于任意|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；④向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．若对任意向量b ，均有a ∥b ，则a 为________．8．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)9．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________．10．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝________.三、解答题11．一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．(1)画出AD →，DC →，CB →，AB →；(2)求B 地相对于A 地的位置向量．12．如图，已知AA ′—→＝BB ′—→＝CC ′—→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′；(2)AB →＝A ′B ′——→，AC →＝A ′C ′———→.13．O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与AO →，BO →相等的向量；(2)找出与AO →共线的向量；(3)找出与AO →模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？当堂检测答案1．答案 B解析 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B 是错误的．2．答案 C解析 A 中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a |>|b |，但a 与b 的方向不确定，不能说a >b ，A 不正确；同理B 错误；D 中，a ≠b ，a 可与b 共线．故选C.3．答案 B解析 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．4.解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →.(2)DA →，CF →，FC →.5．证明 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形，∴AN ，MC 平行且相等，∴DN ，MB 平行且相等，∴四边形DNBM 是平行四边形．当堂检测答案一、选择题1．答案 D2．答案 D3．答案 C解析 当b ＝0时，不一定成立，因为零向量与任何向量都平行．4．答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →.5．答案 B解析 a 为任一非零向量，故|a |＞0.6．答案 C解析 ①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确．②不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．③正确．∵|a |＝|b |，且a 与b 同向．由两向量相等的条件可得a ＝b .④不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不确定．二、填空题7．答案 零向量8．答案 ①③④解析 相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．9．答案 菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC∴四边形ABCD 是平行四边形，∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形．10．答案 2 3解析 易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB ＝1.在Rt △ABO 中，易得|BO →|＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝2 3.三、解答题11．解 (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →，∴AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．12．证明 (1)∵AA ′—→＝BB ′—→，∴|AA ′—→|＝|BB ′—→|，且AA ′—→∥BB ′—→.又∵A 不在BB ′—→上，∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′———→|.同理|AC →|＝|A ′C ′———→|，|BC →|＝|B ′C ′———→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′———→，且|AB →|＝|A ′B ′———→|.∴AB →＝A ′B ′———→.同理可证AC →＝A ′C ′———→.13．解 (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →.(2)与AO →共线的向量有BF →，CO →，DE →.(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →.(4)向量AO →与CO →不相等，因此它们的方向不相同．班级工作计划15机电班，作为一个全男生班，管理上要特别对待。
高一数学人教A版必修四教案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义Word版含答案
乘积 .
（三）应用示例
思路 1
例 1 已 知 平 面 上 三 点 A 、 B 、 C 满 足 | AB |=2,| BC |=1,C ·CA + CA AB 的值 .
活动 :教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解
,先分析题设然后找到所需
条件 .因为已知 AB 、 BC 、 CA 的长度 ,要求得两两之间的数量积 ,必须先求出两两之间的夹
数量积 a·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 | b|cos θ的乘积 . 让学生思考 :这个投影值可正、 可负 ,也可为零 ,所以我们说向量的数量积的结果是一个实 数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质 : 设 a、b 为两个非零向量 ,e 是与 b 同向的单位向量 .
1°e·a=a·e=| a|cos θ． 2°a⊥ b a·b=0. 3°当 a 与 b 同向时 ,a·b=| a|| b|; 当 a 与 b 反向时 ,a·b=-| a|| b|.
例 2 已知 a,b 是两个非零向量 ,且 | a|-| b|=| a+b|, 求向量 b 与 a-b 的夹角 .
活动 :教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则
角.结合勾股定理可以注意到 △A BC 是直角三角形 ,然后可利用数形结合来求解结果 .
解 :由已知 ,| BC | 2+| CA | 2=| AB | 2,所以 △ABC是直角三角形 .而且∠ ACB=90°,
从而 sin∠ABC=
3
1
,sin∠BAC= .
2
2
∴∠ ABC=60°,∠ BAC=30°.
为两向量数量积的关系 ,并且可以知道向量夹角的范围是 0°≤θ≤ 180°．
高中数学人教A版必修4第二章平面向量2.1.1向量的物理背景与概念 答案和解析
高中数学人教A 版必修4第二章平面向量2.1.1向量的物理背景与概念学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．正n 边形有n 条边,它们对应的向量依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ,则这n 个向量( ) A ．都相等 B ．都共线 C ．都不共线 D ．模都相等2．已知圆心为O 的⊙O 上三点A 、B 、C ，则向量BO⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A ．有相同起点的相等向量B ．长度为1的向量C ．模相等的向量D ．相等的向量3．下列说法中错误的是 ( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量,且向量也不是有向线段B ．共线的向量,起点不同,终点可以相同C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等二、填空题4．与非零向量a 平行的单位向量有________个．5．设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K,L,M,N 分别是AB,BC,CD,DA 的中点,在以已知各点为起点和终点的向量中,与向量KL 相等的向量是____.参考答案1．D【解析】正n 边形n 条边相等,故这n 个向量的模相等.故选：D.2．C【解析】圆的半径r ＝|BO⃗⃗⃗⃗⃗ |＝|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |不一定为1，故选C. 3．C【解析】对于A ，向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段来表示向量，有向线段不是向量，向量也不是有向线段，∴A 正确；对于B ，共线的向量,起点不同,终点可以相同，B 正确；对于C ，长度相等但方向相反的两个向量是共线向量，∴C 错误；对于D ，相等向量的大小相等，方向相同的两个向量，∴方向相反的两个非零向量必不相等，D 正确．故选C ．点睛：本题考查了平面向量的基本概念，注意我们研究的向量根据需要是可以平移的，在平移过程中，仍然是相等向量.4．2【详解】与非零向量a 平行的单位向量即模为1,方向与向量a 相同或相反的向量有两个.故答案为25．NM【解析】因为点K,L 分别是AB,BC 的中点,所以KL∥AC,KL=12 AC,因为点M,N分别是CD,DA的中点,所以MN∥AC,MN=12 AC,所以KL∥MN,KL=MN,所以KL NM.故答案为NM点睛：本题考查了对相等向量的理解，充分利用中位线定理转化线段间的关系.。
(2021年整理)必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)
必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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平面向量的实际背景及基本概念[学习目标］1。
能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别。
2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量。
3。
理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念．知识点一向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小,没有方向的量（如年龄、身高、体积等）称为数量．注意：①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题．②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．思考已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有________________，是向量的有________________．答案②④⑤⑨⑩①③⑥⑦⑧知识点二向量的表示方法(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A为起点、B为终点的有向线段记作错误!.（2）向量的字母表示：向量可以用字母a， b, c，…,表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用错误!，错误!，错误!）．(3)向量错误!的大小：也就是向量错误!的长度（或称模)，即有向线段错误!的长度，记作|错误! |。
人教新课标版数学高一B版必修4学案 向量数量积的物理背景与定义
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义明目标、知重点 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.1.两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉，并规定它的范围是0≤〈a ，b 〉≤π. 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉. (2)当〈a ，b 〉＝π2时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作a ⊥b .2.向量在轴上的正射影 已知向量a 和轴l (如图).作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l ，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos θ. 3.向量的数量积(内积)|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.1.请同学们回顾一下我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答向量的加法、减法及数乘运算.2.请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？答物理模型→概念→性质→运算律→应用.本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量另一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义.探究点一平面向量数量积的含义思考1如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？答W＝|F||s|cos θ.思考2对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ，那么a·b的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？答a·b的运算结果是数量.0·a＝0.思考3对于两个非零向量a与b，夹角为θ，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？答当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90°时，a·b＝0.思考4向量的数量积与数乘向量的区别是什么？答向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向.例1已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.解(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°＝10 3.＝4×5×32反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去.跟踪训练1 已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ； (3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积. 解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向， 则a 与b 的夹角θ＝0°，∴a·b ＝|a||b |cos θ＝4×3×cos 0°＝12. 若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°， ∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12. (2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°， ∴a·b ＝|a||b |cos 90°＝4×3×0＝0. (3)当a 与b 的夹角为60°时， ∴a·b ＝|a||b |cos 60°＝4×3×12＝6.探究点二 向量在轴上的正射影思考 向量b 在a 方向上的正射影不是向量，而是数量，它的符号取决于夹角θ的范围.|b |cos θ>0|b |cos θ＝0|b |cos θ<0例2 －32，求a 与b 的夹角θ. 解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧|a |cos θ＝－3，|b |cos θ＝－32，∴⎩⎨⎧a ·b|b |＝－3，a ·b |a |＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧－9|b |＝－3，－9|a |＝－32，，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝6，|b |＝3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－96×3＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝120°.反思与感悟 (1)理清“谁在谁上”的正射影，再列方程，将条件转化解决. (2)注意数量积公式的变形式的灵活应用.跟踪训练2 已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的正射影的数量. 解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2 ＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12.探究点三 平面向量数量积的性质思考1 设a 与b 都是非零向量，若a ⊥b ，则a·b 等于多少？反之成立吗？ 答 a ⊥b ⇔a·b ＝0思考2 当a 与b 同向时，a·b 等于什么？当a 与b 反向时，a·b 等于什么？特别地，a·a 等于什么？答 当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |； a·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a·a .思考3 ︱a·b ︱与︱a||b ︱的大小关系如何？为什么？对于向量a ，b ，如何求它们的夹角θ？ 答 ︱a·b ︱≤︱a||b ︱，设a 与b 的夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. 两边取绝对值得：|a·b |＝|a||b ||cos θ|≤|a||b |. 当且仅当|cos θ|＝1，即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”. 所以|a·b |≤|a||b|.cos θ＝a·b|a||b |.例3 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.反思与感悟 此类求解向量的模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方.跟踪训练3 已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角. 解 ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为60°， ∴e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12.∵a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝ 1＋2×12＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－32×13×3＝－12.又∵θ∈，∴θ＝120°. ∴a 与b 的夹角为120°.1.已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上正射影的数量为( ) A.4 B.－4 C.2 D.－2 答案 D解析 b 在a 方向上正射影的数量为|b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2. 2.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝________. 答案 12解析 a ·a ＋a ·b ＝12＋1×1×cos 120°＝12.3.在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________. 答案 －25解析 易知|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2， C ＝90°.cos B ＝513，∴cos 〈AB →，BC →〉＝cos(180°－B ) ＝－cos B ＝－513.∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－B ) ＝13×5×⎝⎛⎭⎫－513＝－25. 4.已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°. ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.1.两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时).2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.3.b在a方向上的正射影：|b|cos θ＝a·b|a|是一个数量而不是向量.具体情况可以借助下表分析：一、基础过关1.已知a、b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b等于()A.－1B.0C.1D.2答案B解析因为a、b为单位向量，且其夹角为60°，所以a·b＝1×1×cos 60°＝12，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×12－1＝0.2.已知|a|＝9，|b|＝62，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为()A.45°B.135°C.120°D.150°答案B解析∵cos θ＝a·b|a||b|＝－549×62＝－22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.3.|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的数量等于( ) A.－3 B.－2 C.2 D.－1 答案 D解析 a 在b 方向上的正射影的数量是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1. 4.已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A.32 B.－32C.±32D.1答案 A解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2 ＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.5.若a ·b <0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( ) A.π2，π) C.(π2，π0，π. 6.已知|a |＝2，|b |＝10，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在向量a 方向上的正射影的数量是________，向量a 在向量b 方向上的正射影的数量是________. 答案 －5 －1解析 b 在a 方向上的正射影的数量为|b |cos 〈a ，b 〉＝10×cos 120°＝－5，a 在b 方向上的正射影的数量为|a |cos 〈a ，b 〉＝2×cos 120°＝－1.7.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，当a ·b 满足下列条件时，能确定△ABC 的形状吗？ (1)a ·b <0；(2)a ·b ＝0；(3)a ·b >0. 解 ∵a ·b ＝AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A .(1)当a ·b <0时，∠A 为钝角，△ABC 为钝角三角形； (2)当a ·b ＝0时，∠A 为直角，△ABC 为直角三角形； (3)当a ·b >0时，∠A 为锐角，△ABC 的形状不确定. 二、能力提升8.设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( ) A.150° B.120° C.60° D.30°答案 B解析 ∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2， 即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.9.已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.答案 3解析 |a |2＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－2e 2)＝9|e |2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9.∴|a |＝3.10.已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________. 答案解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0， ∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈， ∴0≤|b |≤1.11.已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.解 由已知(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，即7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① (a －4b )·(7a －2b )＝0，即7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，② 两式相减得2a ·b ＝b 2，∴a ·b ＝12b 2.代入①②中任一式得a 2＝b 2.设a ，b 夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.12.在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的正射影的数量； (3)AB →在BC →方向上的正射影的数量.解 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3. ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°. ∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16；(2)|AC →|·cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AB →|＝5×3×355＝95；(3)|AB →|·cos 〈AB →，BC →〉＝BC →·AB →|BC →|＝－BA →·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.三、探究与拓展13.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 2解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.。
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精校版 作业25-向量的物理背景与概念、几何表示(答案)
班级___________ 姓名__________
1．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移. 正确的是 ( D )
A. ①②③是数量，④⑤⑥是向量
B. ②④⑥是数量，①③⑤是向量
C. ①④是数量，②③⑤⑥是向量
D. ①②④⑤是数量，③⑥是向量
2. 下列说法错误的是 ( D )
A. 向量与的长度相同
B. 单位向量的长度都相等
C. 向量的模是一个非负实数
D. 零向量是没有方向的向量
3. 给出下列结论：①数轴是向量；②角有正角和负角之分，所以角是向量.其中 ( D )
A. ①正确，②错误
B. ①错误，②正确
C. ①②都正确
D. ①②都错误
4. 关于零向量，下列说法中错误的是 ( A )
A. 零向量是没有方向的
B. 零向量的长度是0
C. 零向量与任一向量平行
D. 零向量的方向是任意的
5. 下列说法中错误的是 ( )
（A ）有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 （B ）若向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量
（C ）长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
（D ）方向相反的两个非零向量必不相等
【解析】选C.
6. 若向量与任意向量都平行，则=__0→___；若||=1,则向量是 单位向量 .
7. 把平面上一切单位向量的终点放在同一点,那么这些向量的起点所构成的图形是单位圆 . 把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是_______.
8. 给出下列命题：
①向量的大小是实数 ② 平行向量的方向一定相同 ③向量可以用有向线段表示 ④向量就是有向线段 正确的有 ①③ .
9. 给出下列命题：①若||=0,则=0；②若是单位向量，则||=1；③与不平行，则与都是非零向量. 其中真命题是 ②③ (填序号)
11. 举例说明：“如果//, //,那么//”是一个假命题.
答案：当b →是两向量，而a →, c →均不是零向量时，这是假命题
12. 下列各组中的两个量是不是向量？如果是向量，说明它们是不是平行向量.
(1) 两个平面图形各自的面积. 答案：不是向量
(2) 停放在广场上的两辆小汽车各自受到的重力. 答案：是向量，是平行向量
(3) 小船驶向河对岸的速度与水流速度. 答案：是向量，不是平行向量
(4) 浮在水面的物体受到的重力与与浮力. 答案：是向量，是平行向量
13. 如图，D 、E 、F 分别是ΔABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，写出以A 、B 、C 、D 、E 、F
这六个点中任意两个点为起点和终点的向量中，与
平行的所有向量.
答案： BE →, EC →,BC →, EB →, CE →, CB →
F
D B
精校版
14. 如图，
ABCD 的对角线交于点O,则在以A 、B 、C 、D 、O 这五个点中任意两个点为起点和终点的向量中，与和都不平行的向量有哪些？
答案：AO →, AC →, OC →, CO →, CA →, OA →, BO →, BD →, OD →, DO →, DB →, OB →
15. 如图所示，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形,
（1）写出与BC →相等的向量：_______.
（2）写出与BC →共线的向量：_______.
【解析】由相等向量和共线向量概念可求.
答案：
(1) AD →, DE → (2) CB →, AD →, DA →, DE →, ED →, AE →, EA →
16.一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.
（1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；
（2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？
【解析】（1）如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；
（2）要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按（1）的方式作图，则所作图形是内角为180°-α的正多边形，故有：n(180°-α)=(n -2)180°.
∴即α=360°
n , n 为不小于3的整数.
O
D A C。