平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教案章节：一、向量数量积的定义及计算公式【教学目标】1. 了解平面向量数量积的定义及其物理意义；2. 掌握平面向量数量积的计算公式；3. 能够运用向量数量积解决实际问题。
【教学内容】1. 向量数量积的定义：两个向量相乘的结果称为向量数量积，记作a·b，其中a、b为平面向量。
2. 向量数量积的物理意义：表示两个向量在空间中的投影长度乘积。
3. 向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|、|b|分别为向量a、b的长度，θ为向量a、b之间的夹角。
【教学过程】1. 引入新课：通过讲解物理中力的作用效果，引导学生思考力的方向和大小对作用效果的影响，从而引出向量数量积的概念。
2. 讲解向量数量积的定义：结合图形，解释向量数量积的含义，让学生理解它是两个向量在空间中的投影长度乘积。
3. 推导向量数量积的计算公式：引导学生利用向量的长度和夹角，推导出向量数量积的计算公式。
4. 应用实例：让学生运用向量数量积的计算公式，解决实际问题，如力的合成与分解。
【课堂练习】1. 已知两个向量a、b，长度分别为|a|=3，|b|=4，夹角为θ=60°，求向量a与向量b的数量积。
2. 如图，在直角坐标系中，向量OA=(2,3)，向量OB=(4,6)，求向量OA与向量OB的数量积。
教案章节：二、向量数量积的性质及运算规律【教学目标】1. 掌握向量数量积的性质；2. 熟悉向量数量积的运算规律。
【教学内容】1. 向量数量积的性质：（1）交换律：a·b = b·a；（2）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c；（3）数乘律：k·a = a·k（k为实数）。
2. 向量数量积的运算规律：（1）结合律：(a·b)·c = a·(b·c)；（2）分配律：(a+b)·c = a·c + b·c。
平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计
平面向量数量积的物理背景及其含义1.教学内容解析本节课内容选自人教版高中数学必修4第二章《平面向量》2.4《平面向量的数量积》的第一课时内容包括：（1）平面向量数量积的物理背景及其含义；（2）平面向量数量积的几何意义及性质。
内容解析：（1）作为一种运算，平面向量数量积是继研究了向量的线性运算之后，这些知识的自然延伸；而平面向量的数量积又是高中数学的重要概念之一，掌握好这一内容，不仅能够巩固前面所学知识，而且还能为下一课时学习数量积运算以及进一步研究向量的坐标表示提供必要的知识准备。
因此，本课时内容为平面向量的一个核心，起着承上启下的作用。
（2）向量的平行、垂直关系是向量之间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决这些问题的一个重要工具，因此，平面向量数量积在涉及垂直、夹角与长度的几何问题中有着十分广泛的应用。
（3）教材通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，从定义出发推导出向量的数量积与向量的长度和夹角的关系，进一步探究了两个向量的夹角对数量积符号的影响，得出有关性质、几何意义，这样做是为了让学生从已有的知识出发认识新知识，因此，本课时内容便于开放课堂，开展探究活动。
（4）教材中知识发展的两条主线非常清晰。
其一是向量的数量积（2.4.1），从物理背景出发到数量积的定义，再根据定义研究性质，然后再研究运算律；其二是（2.4.2），在第一课时的基础上先研究平面向量的坐标表示，再研究夹角的计算和垂直的判定方法，第一课时偏重概念“形”的特征，第二课时偏重概念“数”的特点，两条线正好把平面向量数量积的几何与代数特征有机地联系在一起，体现了数形结合的本质。
本课时完成概念“形”的特征的教学，做好与下一节中概念“数”的特点结合的准备。
另外在性质的推导与证明过程中也很好地体现了特殊与一般的数学思想。
因此，本课时内容看似简单，数学思维却很有高度。
根据以上分析：确定本节课的教学重点为教学重点：平面向量数量积的概念及性质。
平面向量数量积的物理背景及其含义教案
平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学目标 1、知识与技能：理解平面向量数量积的含义及其物理意义；应用数量积的性质和运算律进行相关的判断和运算。
2、过程与方法：通过物理中功的计算方式引入向量数量积的概念；通过对定义的理解与拓展，得到向量数量积的性质及运算律；应用“引”“动”“展”“评”“考”的教学方法对向量数量积的习题的灵活掌握。
3情感、态度与价值观：培养学生类比迁移的能力。
二、教学重难点1、重点：向量数量积德相关运算2、难点：向量数量积的性质和运算律的综合应用 三、教学过程（一）、复习引入。
两个非零向量 和 ，作OA a,OB b ==，则AOB ∠=θ叫做向量 和 的夹角 注意：向量的夹角，两向量必需共起点。
（二）、新课讲解1、物理中，一个物体在力 的作用下产生位移 ，则力所做的功w 计算，cos w F S θ=，其中θ是 与 的夹角。
像这样功w ，由力 和位移 ，和夹角θ确定的数量称为力 与 的数量积。
2、数量积的定义！ 已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作a b ⋅。
cos a b a b θ⋅=即， 其中，θ为 与 的夹角。
规定：零向量与任一向量的数量积为0，注意：向量的数量积为一个实数，不是向量。
（老师提示，学生完成）.5,4,120.a b a b a b θ===⋅练习已知与的夹角，求 cos 54cos120154()10.2a b a b θ⋅==⨯⨯=⨯⨯-=-解： a b a b ,.a b <>记作b aA B O θF s F sF s F s a b cos a b θab a b a b3、向量数量积的性质设 与 是非零向量@2||||.a a a a a a ⋅==⋅(1)或 (2)0.a b a b ⊥⇔⋅= 4、投影的概念（1）cos b θ叫做向量 b 在 a 方向上的投影.（2）数量积的几何意义a 与b 的数量积等于 a 与b 在a 方向上投影 cos b θ的积.'5、向量数量积的运算律 12()()()(3)().a b b a a b a b a b a b c a c b c λλλ⋅=⋅⋅=⋅=⋅+⋅=⋅+⋅（）；（）；注意：()(),=a b c a b c a c b c a b ⋅⋅≠⋅⋅⋅=⋅(1) ；(2)不能得2222.||6,||4,60,(2)(-3).236||6||||||||cos606||36129672.a b a b a b a b a b a b a a a b b ba ab b a a b b ==+⋅+⋅-=⋅-⋅-⋅=-⋅-=--=--=-例1已知与的夹角为°求解：（）（）°（注：教师讲解，重点强调易错点）（三）课堂训练：（注：学生小组完成，让学生“动”“展”，教师完成“评”） cos a b a b θ⋅=o22||3,||2,()(2).·223cos302933224217oa b a b a b a ba b a b a a a b a b b ba ab b==+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅=++=+⨯⨯⨯+⨯=+已知与的夹角为30，求解：（+）(+2)=2222234,()()0.39,416,9160.3.43.4a b a b ka kb a kba kb a kba kb a kba bkkk a kb a kb==+-+⊥-∴+⋅-=====∴-=∴=±=±+-例2：已知，，且与不共线，为何值时，向量与互相垂直？解：（）（）又即时，与互相垂直（教师提示：向量的垂直可以转化为向量的数量积为零，由学生小组共同完成）（四）、课堂检测：（提示：由学生独立完成，限时5分钟，学生上交检测题，教师批改）…o22||1,||2,()(2).·22cos602111122482oa b a ba b a ba b a b a a a b a b b ba ab b==+⋅-⋅⋅-⋅+⋅-⋅=--=-⨯⨯⨯-⨯=-已知与的夹角为60，求解：（+）(-2)=（五）、课堂小结1.向量的数量积的定义cosa b a bθ⋅=2.向量数量积的性质2||||0.(2).a a a a a a b a b a ⋅==⋅⊥⇔⋅=(1)，或3.向量数量积的运算律、（六）、作业布置：课本108页 A 组第1题、五、课后思考题 ()()48.1|42|2k (2)(k )?o a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→⊥已知＝，＝，与的夹角是120计算－；当为何值时，＋－六、教学反思：我作为高一数学组的代表,非常荣幸能够参加这次赛课，通过这次活动,我收获很多,在教学上进步很多.著名教育家布卢姆说:“教会学生思考,我们就给了他们自己教育自己的能力.”在新课标课程背景下衡量课堂教学效果好坏的一个重要标志就是学生的思维能力在多大程度上得到挖掘和培养.下面我将正式上课的主要环节做个反思：1、问题情景引入如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力所做的功是多少能否把“功”看成是两个向量的一种运算的结果呢为此,我们可以引入“向量数量积”的概念.但由于高一学生在物理上还没有学习到力与位移夹角不为零时功的计算公式，所以这里有一定的遗憾。
平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计
《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计一．教学目标：1.知识与技能⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律；⑶平面向量数量积几何意义应用。
2.过程与方法本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习数量积概念，随后探究数量积的性质，通过让学生练习计算数量积及公式变形应用并引导学生由力在位移上的分力值得出投影的概念及数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，设置例题与变式，夯实基础，提升能力。
3.情感态度与价值观通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。
二、教学重难点重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角。
难点：平面向量数量积概念，平面向量数量积的性质及平面向量数量积的几何意义的应用。
三．教学过程（一）导入新课前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加、减、数乘运算,并且两个向量的和、差、数乘仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？情景:观察小车的运动，讨论功的计算公式．提问：（1）力对小车有没有做功？能不能用初中所学的W=FS，为什么？（2）如何解决力不在位移方向时功的计算？分别考虑力F的两个分力做功的情况？（3）力F在位移方向的分力是什么？功的计算公式是什么？（二）新课讲授1.物理背景：如图，物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功W =||||cos W F S F S θ=⋅= .其中，力F 在位移S 方向分力的大小为||cos F θ （请在下图中画出来），力是向量，位移是向量，功是数量，θ是F S 与的夹角.提问：类比功的计算公式，数学中两个向量乘法的计算公式是什么？2.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把||||cos a b θ 称为a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅ ，即a b ⋅ =||||cos a b θ ，其中，|b |cos θ叫做b 在a 方向的投影（请在下图中画出来），规定：0 ⋅a =0.3.回归物理背景，归纳几何意义提问：物理中，力所做的功=力在位移方向的分力大小×位移大小，类比猜想，平面向量数量积的几何意义是什么？预设互动回答：a b ⋅ =b 在a 方向的投影||cos b θ ×||a 平面向量数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向的投影||cos b θ 的乘积.4.回顾向量的夹角，强调前提条件问题：投影也是一个数量还是向量？是否为正？当[0,)2πθ∈时，投影为正；当(,]2πθπ∈时，投影为负；当2πθ=时，投影为零。
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标：1. 理解平面向量数量积的概念及其物理意义；2. 掌握平面向量数量积的计算公式；3. 能够运用平面向量数量积解决实际问题。
教学重点：1. 平面向量数量积的概念及其物理意义；2. 平面向量数量积的计算公式。
教学难点：1. 平面向量数量积的理解和应用；2. 平面向量数量积的计算公式的推导和运用。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量数量积的物理背景和计算公式；2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用向量数量积解决实际问题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过PPT或黑板，展示一些物理场景，如力的作用、位移等，引导学生思考向量数量积的物理背景；2. 学生分享自己对向量数量积的理解和疑问。
二、向量数量积的概念及其物理意义（15分钟）1. 教师通过PPT或黑板，介绍向量数量积的概念，即两个向量的点积；2. 教师解释向量数量积的物理意义，如力的作用、位移等；3. 学生跟随教师一起回顾向量数量积的定义和物理意义。
三、向量数量积的计算公式（15分钟）1. 教师通过PPT或黑板，推导出向量数量积的计算公式，即两个向量的点积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积；2. 教师解释计算公式的推导过程和含义；3. 学生跟随教师一起推导计算公式，并理解其含义。
四、向量数量积的运用（15分钟）1. 教师提出一些实际问题，如力的合成、位移的计算等，引导学生运用向量数量积解决实际问题；2. 学生分组讨论，尝试解决实际问题；3. 各组汇报解题过程和结果，教师进行点评和指导。
2. 学生分享自己的学习收获和反思。
教学延伸：1. 教师可以引导学生进一步学习向量数量积的应用，如力的分解、动量的计算等；2. 教师可以组织学生进行小组讨论或研究，深入研究向量数量积的性质和应用。
教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，包括教学内容的掌握情况、学生的参与程度、教学方法的适用性等，以便于改进教学策略，提高教学质量。
平面向量数量积的物理背景及其含义教案
教案平面向量数量积的物理背景及其含义王瑞琪项城市第一高级中学2012-6-17课题：§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义教学目标(一)知识目标1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的运算和判断；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括的能力。
(二)能力目标通过对平面向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练.继续培养学生的探究能力和创新的精神。
(三)情感目标通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态。
教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质。
教学难点：平面向量数量积的概念。
教学方法：启发探究式,讲练结合法。
教学准备：多媒体、彩色粉笔。
课型：新授课.教学过程(一)复习引入教师引言：前面我们学习了向量的相线性运算，向量的加法、减法和数乘运算。
我们知道这些运算有个共同的特点，就是他们运算的结果仍然是一个向量。
既然平面向量能进行加减运算，那自然会想到两个向量能否进行乘法运算？如果能，结果应该是什么呢？我们很清楚，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，我们来看物理学中这样的一个例子：物理学家很早就知道,如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:(图1)中力所做的功W=S F ，(图2)中力所做的功θcos S F W=，在物理中功是一个标量，是由F 和S 这两个向量来确定的，如果我们把功看成是由F 和S 这两个向量的一种运算结果，就可以引出新课的内容“平面向量数量积的物理背景及其含义”. (二)合作探究结合物理学中功大小的定义θcos S F W =和前面我们说的把功看成是F和S 两个向量的运算结果，两者是等价的.如果把F和S 这两个向量推广到一般的向量，就引出数量积的定义． 1、数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，把数量θcos b a 叫做a 与b数量积（或内积），记作ba ⋅（注意：两个向量的运算符号是用“∙”表示的，且不能省略），用数学符号表示即θcosb a b a=⋅,（）︒≤≤︒1800θ .规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即()为任意向量a a00=⋅2、接下来，请同学们思考一个问题：根据定义我们知道数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？我们前面已经提到两个向量的夹角在[]︒︒1800，，根据余弦函数的知识我们可以知道:当[)︒︒∈90,0θ时，0cos >θ，0>⋅b a； 当(]︒︒∈180,90θ时，0cos <θ，0<⋅b a. 当0,,90=⋅⊥︒=b a b aθ;3、投影的定义θcos b a b a=⋅是由θcos S F W =的引出来的，而θcos S F W =是1F 所做的功，θcos 1F F =是F 在S 方向上的分力，那么在数量积中θcos a叫做什么呢？这是我们今天要学的第二个新概念“投影” ：a cosθ（b cosθ）叫做向量a 在b 方向上(b 在a方向上）的投影.4、根据投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义：数量积与的长度等于a a b a ⋅b 在a方向上的投影θcos b 的乘积 5、功的数学本质是什么？功的数学本质是力与位移的数量积。
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标：1. 了解平面向量数量积的物理背景；2. 掌握平面向量数量积的定义及其计算公式；3. 理解平面向量数量积的几何意义；4. 能够运用平面向量数量积解决实际问题。
教学重点：1. 平面向量数量积的物理背景；2. 平面向量数量积的定义及其计算公式；3. 平面向量数量积的几何意义。
教学难点：1. 平面向量数量积的计算公式的推导；2. 平面向量数量积的几何意义的理解。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 教学用具（如直尺、三角板等）；3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入物理背景：以力的合成与分解为例，说明平面向量数量积的重要性；2. 引导学生思考：如何量化两个力的合力的大小和方向？二、平面向量数量积的定义及其计算公式（15分钟）1. 介绍平面向量数量积的定义：两个向量的数量积是它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积；2. 推导平面向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ；3. 讲解计算公式的含义：数量积表示两个向量共线的程度，正值表示共线同方向，负值表示共线反方向，零值表示不共线。
三、平面向量数量积的几何意义（15分钟）1. 解释平面向量数量积的几何意义：数量积等于两个向量夹角的余弦值，表示两个向量之间的夹角的余弦值；2. 绘制图示：通过图示解释数量积的计算公式及几何意义；3. 讲解数量积的性质：交换向量a和b，数量积不变；数量积为零，表示两个向量垂直。
四、平面向量数量积的运算律（15分钟）1. 介绍平面向量数量积的运算律：交换律、分配律、结合律；2. 通过示例讲解运算律的应用：解决实际问题，如力的合成与分解。
五、练习与巩固（10分钟）1. 出示练习题：让学生独立完成，检验对平面向量数量积的理解；2. 讲解答案：解析学生答案，解答疑问，巩固知识点。
教学反思：本节课通过引入物理背景，引导学生了解平面向量数量积的重要性，接着讲解其定义、计算公式、几何意义、运算律，通过练习题进行巩固。
平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计
平面向量数目积的物理背景及其含义教课方案一、教课剖析前方已经知道 , 向量的线性运算有特别明确的几何意义 , 所以利用向量运算能够议论一些几何元素的地点关系 . 既然向量能够进行加减运算 , 一个自然的想法是两个向量可否做乘法运算呢 ?假如能 , 运算结果应当是什么呢 ?此外 , 距离和角是刻画几何元素 ( 点、线、面 ) 之间胸怀关系的基本量 . 我们需要一个向量运算来反应向量的长度和两个向量间夹角的关系 . 尽人皆知 , 向量观点的引入与物理学的研究亲密有关 , 物理学家很早就知道 , 假如一个物体在力 F 的作用下产生位移 s( 如图 1), 那么力 F 所做的功图 1θ功 W 是一个数目 , 此中既波及“长度” , 也波及“角” , 并且只与向量有关 . 熟习的数的运算启迪我们把上式解说为两个向量的运算 , 从而引进向量的数目积的定义a·θ.这是一个好定义 , 它不单知足人们熟习的运算律 ( 如互换律、分派律等 ), 并且还能够用它来更为简短地表述几何中的很多结果 .向量的数目积是一种新的向量运算 , 与向量的加法、减法、数乘运算同样 , 它也有显然的物理意义、几何意义 . 但与向量的线性运算不一样的是, 它的运算结果不是向量而是数目 .二、教课目的1、知识与技术：掌握平面向量的数目积及其几何意义；掌握平面向量数目积的重要性质及运算律；认识用平面向量的数目积能够办理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。
2、过程与方法：经过物理中“功”等实例，理解平面向量数目积的含义及其物理意义；领会平面向量的数目积与向量投影的关系。
3、感情态度与价值观：经过与物理中“功”的类比抽象出向量的数目积，培育学生的抽象归纳能力。
三、要点难点教课要点 : 平面向量数目积的定义 .教课难点 : 平面向量数目积的定义及其运算律的理解和平面向量数目积的应用 .四、教课假想（一）导入新课思路 1. 我们前方知道向量观点的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等观点 , 向量是既有大小、又有方向的量, 它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系 , 将向量这一工具应用到物理中 , 能够使物理题解答更简捷、更清楚 , 并且向量知识不单是解决物理很多问题的有益工具 , 并且用数学的思想方法去审察有关物理现象 , 研究有关物理问题 , 可使我们对物理问题认识更深刻 . 物理中有很多量 , 比方力、速度、加快度、位移等都是向量 , 这些物理现象都能够用向量来研究 .在物理课中 , 我们学过功的观点 , 即假如一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,那么力 F 所做的功 W可由下式计算 :θ此中θ是 F 与 s 的夹角 . 我们知道力和位移都是向量, 而功是一个标量 ( 数量 ).故从力所做的功出发 , 我们就自然而然地引入向量数目积的观点.思路 2. 前方我们已学过 , 随意的两个向量都能够进行加减运算 , 并且两个向量的和与差还是一个向量 . 我们联合随意的两个实数之间能够进行加减乘除 ( 除数不为零 ) 运算 , 就自然地会想到 , 随意的两个向量能否能够进行乘法运算呢？假如能 , 其运算结果是什么呢？（二）推动新课、新知研究、提出问题①a·b 的运算结果是向量还是数目？它的名称是什么 ? ②由所学知识能够知道 , 任何一种运算都有其相应的运算律 , 数目积是一种向量的乘法运算 , 它能否知足实数的乘法运算律？③我们知道 , 对随意∈ R, 恒有 () 22+22,()() 22. 对随意愿量 a、b, 能否也有下边近似的结论 ?(1)()22+2a·2;(2)()·()22.活动 : 已知两个非零向量 a 与 b, 我们把数目θ叫做 a 与 b 的数目积 ( 或内积 ),记作 a·b, 即a·θ(0 ≤θ≤π ).此中θ是 a 与 b 的夹角θ( θ) 叫做向量 a 在 b 方向上 ( b 在 a 方向上 ) 的投影. 如图 2 为两向量数目积的关系, 并且能够知道向量夹角的范围是 0°≤θ≤180°.图 2在教师与学生一同研究的活动中, 应特别点拨指引学生注意:(1)两个非零向量的数目积是个数目 , 而不是向量 , 它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积 ;(2)零向量与任一直量的数目积为 0, 即 a·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号 , 既不可以省略 , 也不可以用“×”取代 ;(4) 当 0≤θ <时θ >0,从而a· b>0;当<θ≤π时θ<0, 从而 a· b<0. 与22学生共同研究并证明数目积的运算律.已知和实数λ, 则向量的数目积知足以下运算律:①a·· a( 互换律 );②(λa) ·λ( a· b) ·(λb)( 数乘联合律 );③() ··· c( 分派律 ).特别是 :(1) 当 a≠0 时, 由 a·0不可以推出 b 必定是零向量 . 这是由于任一与 a 垂直的非零向量b, 都有 a·0.图 3(2)已知实数 a、b、c(b ≠0), 则 . 但对向量的数目积 , 该推理不正确 , 即a·· c 不可以推出 . 由图 3 很简单看出 , 固然 a·· c, 但 a≠c.(3)关于实数 a、 b、 c 有(a ·b)(b ·c); 但关于向量 a、b、c,( a·b)( b·c)不建立 . 这是由于 ( a· b) c 表示一个与 c 共线的向量 , 而 a( b·c) 表示一个与 a 共线的向量 , 而 c 与 a 不必定共线 , 所以 ( a·b)( b·c) 不建立 .议论结果 : ①是数目 , 叫数目积 .②数目积知足 a·· a( 互换律 );( λa) ·λ( a·b) ·(λb)( 数乘联合律 );() ··· c( 分派律 ).③(1)() 2=() ·()····2+2a·2;(2)()·()···· 22.提出问题①怎样理解向量的投影与数目积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解说数目积的几何意义吗？活动: 教师指引学生来总结投影的观点, 能够联合“研究”, 让学生用平面向量的数目积的定义, 从数与形两个角度进行研究研究 . 教师给出图形并作结论性的总结 , 提出注意点“投影”的观点 , 如图 4.图 4定义θ叫做向量 b 在 a 方向上的投影 . 并指引学生思虑 :1°投影也是一个数目 , 不是向量 ;2°当θ为锐角时投影为正当 ; 当θ为钝角时投影为负值 ; 当θ为直角时投影为 0; 当θ =0°时投影为 ; 当θ=180°时投影为 .教师联合学生对“投影”的理解, 让学生总结出向量的数目积的几何意义:数目积 a·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影θ的乘积 .让学生思虑 : 这个投影值可正、可负 , 也可为零 , 所以我们说向量的数目积的结果是一个实数 . 教师和学生共同总结两个向量的数目积的性质 :设 a、 b 为两个非零向量是与 b 同向的单位向量 .1° e··θ .2° a⊥ ·0.3°当 a 与 b 同向时· ; 当 a 与 b 反向时·.特别地 a·2或 a a .4°θ= a b.| a || b |5°·≤.上述性质要修业生联合数目积的定义自己试试推证 , 教师赐予必需的增补和提示 , 在推导过程中理解并记忆这些性质 .议论结果 : ①略 ( 见活动 ).②向量的数目积的几何意义为数目积 a·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影θ的乘积 .（三）应用示例思路 1例 1 已知平面上三点 A、B、C 知足 AB 2BC 1, CA 3 ,求AB·BC +BC·CA +CA AB的值.活动 : 教师指引学生利用向量的数目积并联合两向量的夹角来求解, 先剖析题设而后找到所需条件 . 由于已知 AB 、BC、CA的长度 , 要求得两两之间的数目积 , 一定先求出两两之间的夹角. 联合勾股定理能够注意到△A BC是直角三角形 ,而后可利用数形联合来求解结果.解: 由已知BC2CA2 AB 2, 所以△是直角三角形 . 并且∠ 90°,从而∠3∠1. 22∴∠ 60°, ∠30°.∴ AB 与BC的夹角为 120°,BC与CA的夹角为 90°,CA与 AB 的夹角为150°.故 AB·BC +BC·CA +CA· AB=2×1×120°+1× 3 90°+ 3 ×2150°4.评论 : 确立两个向量的夹角, 应先平移向量 , 使它们的起点同样 , 再观察其角的大小 , 而不是简单地当作两条线段的夹角, 如例题中 AB 与BC的夹角是 120°,而不是变式训练已知 64 与 b 的夹角为 60°, 求 (2 b) ·(3 b解: (2 b) ·(3 b) ··6b· b 22·62θ -6222=6 - 6×4×60° - 6×4 72.例 2已知 34, 且 a 与 b 不共线 , 当 k 为什么值时 , 向量与相互垂直 ?解与相互垂直的条件是 () ·()=0,即 a22b2=0.2222∵a =3 =9 =4 =16,3∴±.也就是说 , 当±3时与相互垂直 . 4评论 : 此题主要观察向量的数目积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量 a、b 知足2 =9·12, 求的取值范围 .解: ∵22=9,∴3.又∵ a·12,∴· 12.∵·≤,∴12≤3≥4.故的取值范围是［ 4∞).思路 2例 1 已知在四边形中AB BC CD DA ,且a····a,试问四边形的形状如何？解:∵ AB BC CD DA0,即 0,∴().由上可得 () 2=() 2,即 a2 +2a·22+2c·2.又∵ a·· d, 故a2222. 同理可得 a2222.由上两式可得 a22, 且 b22,即, 且, 也即,且, ∴是平行四边形 .故AB= CD,即.又 a··· b,即 a·０ , ∴ a⊥ b, 即 AB ⊥BC .综上所述是矩形 .评论 : 此题观察的是向量数目积的性质应用 , 利用向量的数目积解决有关垂直问题 , 而后联合四边形的特色从而判断四边形的形状 .例 2 已知是两个非零向量 , 且 , 求向量 b 与的夹角 .活动 : 教师指引学生利用向量减法的平行四边形法例 , 画出认为邻边的 , 若AB CB , 则 CA DB . 由, 可知∠ 60°与 DB 所成角是 150° . 我们还能够利用数目积的运算 , 得出向量 b 与的夹角 , 为了稳固数目积的有关知识 , 我们采纳此外一种角度来思虑问题 , 教师赐予必需的点拨和指导 , 即由〈〉 =b (ab)作为切入点 ,| b || a b |进行求解 .解: ∵, ∴b 2=() 2. ∴22+2a ·2.1 2∴a ·.而 b ·() ·21 223 2,①22由() 22-2 a · 22- 2×( 1) 22=32 ,2而 2=() 2=32 , ∴3. ②∵〈〉 =b (ab) ,| b || a b |代入①② , 得〈〉3| b | | b |23 .2 3 | b |2又∵〈〉∈［ 0, π］ , ∴〈〉 =5.6评论 : 此题观察的是利用平面向量的数目积解决有关夹角问题 , 解完后教师实时指引学生对本解法进行反省、总结、领会 .变式训练设向量 ( ∈R), 已知 2 2 4⊥· 4, 且 b 与 c 的夹角为 120°, 求的值 .解: ∵a ⊥c, ∴a ·0. 又, ∴c ·() · c,即 2·· c. ∴2· c.由已知 2 =16·4, ∴164n. ∴4.从而 4b.∵b ·120°4,∴· 4·(1)4. ∴ 2. 2由 4b, 得 a·2-4 a· b,∴84a·0, 即 a·2m.①再由 4b, 得 b··4b2.∴· 164, 即· 12. ②2联立①②得 2m=12, 即2m=6.∴±6.故±64.（四）讲堂小结1.先由学生回首本节学习的数学知识 , 数目积的定义、几何意义 , 数目积的重要性质 , 数目积的运算律 .2.教师与学生总结本节学习的数学方法, 归纳类比、定义法、数形联合等 . 在意会数学思想方法的同时 , 鼓舞学生多角度、发散性地思虑问题 , 并鼓舞学生进行一题多解 .（五）作业。
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《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计卢龙县城关中学冯爱琴一、整体设计思路本节课从总体上讲是一节概念教学课，依据新课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课知识的特点，充分利用课件辅助教学，改变相关内容的呈现方式，增加课堂容量。
并设计合理板书，加深对主要知识的印象，使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。
并采用启发类比和探究-建构教学相结合的教学模式。
1．情境设置生活化本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生初步了解“数学来源于生活”，采用运用学生熟悉的物理课中功的概念背景，创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲。
2．问题探究活动化教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。
通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。
3．辨析质疑结构化在理解概念的基础上,及时类比辨析探索、归纳总结，强化了概念理解，促进学生主动建构，有助于学生形成新的知识系统，优化知识结构。
二、教学背景分析平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。
本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。
其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
三、教学目标分析1．知识与技能：阐明平面向量的数量积及其几何意义。
了解一个向量在另一个向量上投影的概念，运用平面向量数量积的性质、运算律进行相关的运算和判断。
2．过程与方法：以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。
3．情感态度与价值观：由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想，类比思想，体验法则学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。
四、教学重难点分析1、重点：平面向量数量积的概念。
在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，也是本节课教学的重点。
2、难点：平面向量数量积的定义的理解。
相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。
因而本节课教学的难点是数量积的概念。
五、教学基本流程六、教学过程设计1．创设情境，引入课题【问题】：如图所示，如果一个物体在力F的作用下，产生的位移为S，那么请问力F在这个运动过程中所做的功？（1）力F所做的功W= 。
（2）请同学们分析公式的特点：W（功）是量，F（力）是量，S（位移）是量，θ是。
（3）师生共同探讨以引出向量乘以向量。
【设计意图】设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。
同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。
2．步步探索，形成概念（1）概念的明晰已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量︱a︱·︱b︱cosθ 叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b【问题1】：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？【问题2】：向量的数量积是一个数量，那么它何时为正？何时为负？它能等于零吗？【问题3】：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。
【设计意图】问题1，2使学生不但在形式上认识数量积的定义而且从细节上进一步理解数量积的定义。
问题3 使学生理解了数量积的物理意义。
例题训练教材例1（由学生独立完成）【设计意图】通过计算巩固对定义的理解。
（2）探讨数量积的几何意义给出投影的概念并提问：【问题1】两向量的夹角对投影的正负有什么影响？【【问题2】由向量投影的定义你得到数量积的几何意义是什么？【设计意图】：这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。
同时也为数量积的性质埋下伏笔。
（3）数量积性质的发现教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，在完成上述问题后，我不失时机地提出：【问题】：比较︱a·b︱与︱a︱×︱b︱的大小，你有什么结论？在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动。
（4）明晰数量积的性质【设计意图】：体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质。
（5）运算律的发现关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出下面问题【问题】：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？让学生自己写运算律，可能学生的答案有遗漏或错误，教师以此强调运算律学习的重要性。
(6)明晰数量积的运算律(7)证明运算律学生独立证明运算律（1）、（2）。
师生共同证明运算律（3）。
运算律（3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共同完成，我想这也是教材的本意。
【设计意图】：在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。
3．典例剖析，巩固提高例2、（学生独立完成）对任意向量a，b是否有以下结论：（1）(a+b )2= a2+2a·b +b2（2）(a+b)·(a-b )=a2—b 2例3、（师生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4, a与b的夹角为60°，求（a+2b）·（a-3b），并思考此运算过程类似于哪种运算？例4、（师生共同完成）已知︱a︱=3，︱b︱=4, 且a与b不共线，k为何值时，向量a+k b与a-k b 互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？【设计意图】：我根据学生实际在这里安排了教材后三道例题，并对例3和例4增加了题后反思。
例2先要求学生自己猜测给出的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。
例3是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。
完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上掌握这种运算。
例4的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。
4．知识迁移，创新演练为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积解决有关问题，再安排如下练习：（1）有四个式子：⑴ ⑵ ⑶ ⑷其中正确的个数为（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 （2）已知 、 都是单位向量，下列结论正确的是（ ）A 、B 、C 、 ∥D 、（3）有下列四个关系式：⑴ ⑵ ⑶ ⑷，其中正确的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4【设计意图】安排练习（1）（2）（3）的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算， 通过练习（4）（5）使学生学会用数量积表示两个向量的夹角和向量的模，进一步感受数量积的应用价值。
5．课堂小结，归纳提升（1）平面向量的数量积及其几何意义。
（2）平面向量数量积的重要性质及运算律。
【设计意图】：通过上述小结，使学生对本节课的知识有了更加全面深刻的认识。
6．课后作业，拓展延伸（1）课本P121习题2.4A 组1、2、3、6、7。
（必做）（2）已知a 与b 都是非零向量，且a +3b 与7a -5b 垂直，a -4b 与 7a -2b 垂直，求a 与b 的夹角。
（选做）【设计意图】：在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安00a ⋅=00=a .||12||9542a b a b a b θ==⋅=-（4）设，，，求与的夹角c b c a b a =⇒⋅=⋅||||||b a b a =⋅a b 1=⋅b a 22b a =a b a b =⇒0=⋅b a 000=⋅)()(c b a c b a ⋅=⋅a b b a ⋅=⋅00=a .6,4,60a b a b a b a b ==+-（5）已知与的夹角为，求和排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后续学习打好基础。
其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不同的发展，我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学选做。
七、板书设计§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一、数量积的概念1、数量积的定义2、投影的概念3、数量积的几何意义：二、数量积的性质三、数量积的运算律八、教学反思以落实课程标准为目标，以学生知识技能的形成、数学思维的完善和情感态度的发展为出发点，用多媒体辅助教学，在教师的组织、引导、参与下，以学生的积极动脑、动口为主线来促进学生的有效学习活动。
以数学来源于生活，又服务于生活的理念来设计本节课。
突出新知识必须在学生自主探索，交流合作的基础上让学生自己去发现和归纳，让学生充分的自主学习、合作探究、积极展示，体验学习数学的快乐及成功的喜悦。