向量积的物理背景
《向量数量积的物理背景与定义》 知识清单
《向量数量积的物理背景与定义》知识清单一、向量数量积的物理背景在物理学中，我们常常会遇到力做功的问题。
当一个力作用在物体上，并使物体在力的方向上产生位移时，力就对物体做了功。
例如，一个水平向右的力 F 作用在一个物体上，使物体在水平方向上移动了一段距离 s，力 F 与位移 s 之间的夹角为θ。
那么力 F 所做的功 W 就可以表示为：W ＝｜F| ×｜s| × cosθ 。
这里的｜F| 表示力 F 的大小，｜s| 表示位移 s 的大小，cosθ 则反映了力的方向与位移方向之间的关系。
从这个物理模型中，我们可以抽象出向量数量积的概念。
力 F 和位移 s 都是向量，它们的数量积就与力做功的大小密切相关。
再比如，在电学中，电场强度 E 与电荷 q 移动的位移 s 的数量积，也可以表示电场力对电荷做功的大小。
通过这些物理实例，我们能够更加直观地理解向量数量积的实际意义，并且认识到它在描述物理现象和解决物理问题中的重要性。
二、向量数量积的定义1、定义已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为θ（0 ≤ θ ≤ π），则数量｜a| ×｜b| × cosθ 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a·b ，即 a·b ＝｜a| ×｜b| × cosθ 。
如果其中有一个向量为零向量，那么规定它们的数量积为 0 。
2、几何意义向量数量积 a·b 的几何意义是：数量积 a·b 等于 a 的长度｜a| 与 b 在 a 方向上的投影｜b|cosθ 的乘积，或者等于 b 的长度｜b| 与 a 在 b 方向上的投影｜a|cosθ 的乘积。
以 a·b 为例，假设向量 b 在向量 a 方向上的投影为向量 p ，则 p 的长度为｜b|cosθ ，那么 a·b ＝｜a| ×｜p| 。
3、性质（1）交换律：a·b ＝ b·a这意味着两个向量进行数量积运算时，其顺序不影响结果。
高等数学数量积向量积
两向量夹角的余弦的坐标表示：
当a 0 、b 0 时，由于 a ·b | a | | b |cos ，所以
cos a b
| a || b |
axbx ayby azbz
ax2
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
．
例1 已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB ．
3
二、两向量的向量积
向量积的物理背景：
设O为一根杠杆L的支点． 有一个力F 作用于这杠杆上P点处．
F 与 OMPA的夹角为 ． 由力学规定，力 F 对支点O的力矩是一向
量 M ， 它的模
|
M
||OMPA
|
|
F
|sin
，
F
而 M 的方向垂直于 MOPA与 F 所决定的 O
平面， M 的指向是的按右手规则从
线速度．
解 w 平行于 l 轴， w 的方向由右手规则确定．
设点M 到旋转轴 l 的距离为a ，再在 l 轴上任取一点O作向量
r
OMMA
，
并以
表示w
与
r
的夹角，
那么
w
a| r |sin ．
设线速度为 v ，那么 v 的大小为
| v || w | a| w || r |sin ；
v a
M
v垂直于 w与 r ，又 v 的指向是使 w 、r 、v 符合右手规则．因此有
为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成
i jk ab ax ay az (ay bzaz by)i(az bx ax bz)j(ax byay bx)k．
bx by bz
例2 已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)、 C(2,4,7)，求三角形ABC的面积．
向量数量积的物理背景与定义ga
(3)已知向量a, b ,向量|a|=4,<a, b>=600,则向量a在向量b上的正射影的数量
解：4cos600=2
解：OA1=5COS600=5×( ½)=5/2
-5/2
四.向量的数量积（内积）
定义： 叫做向量a和b的数量积（或内积）
3
的夹角是
与
AD
AB
∵
练习3
已知|a|=3, |b|=5，且a·b=－12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量。
解：因为
所以a在b方向上的正射影的数量是
b在a方向上的正射影的数量是
(1)
01
A 锐角三角形
06
C
05
D
02
C 钝角三角形
04
D 不能确定
07
A 锐角三角形
2.3.1 向量数量积的物 理背景与定义
单击添加副标题
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
一.力做功的计算
位移S A θ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:
( )
(×)
( )
(×)
(×)
(×)
练习4
课堂小结
1.两个向量的夹角
2.向量在轴上的正射影
正射影的数量
3.向量的数量积（内积）
a·b=
4.两个向量的数量积的性质：
(1). ab ab = 0
(2). aa = |a|2或
(3). cos =
范围0≤〈a ，b〉≤π；
平面向量数量积的物理背景及其含义
例2.已知|a|6,|b|4,a与b夹角为60,
解
：（a
2b）（·a
- 3b）
求：(1)(a2b)(a3b)
a·a a·b 6b·b
|
a
|2
a ·b
6
|
b
|2
(2)a2b|. | a |2 | a |·| b | cosθ 6 | b |2 36 12 96 72
例3.已知|a|3,|b|4,且a与b不共线.
b a
a+b
OM
Nc
则： (a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
典型例题
（ 1）(ab)2
2
2
a 2abb
22
(2)(ab)(ab)a b
例1.已知向量a，b,求证下列各式
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
6
WORKHARVEST
W=|F| |S|cosθ 其中 θ是F与S的夹角
数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹
角为 ，我们把数量 |a||b|c叫os做a 与b 的
数量积（或内积），记作a · b ，即
（1）两向量的数量积是一个数量，
注
意 （2） a · b不能写成a×b ，‘·’不能省.
特别地: aa |a|2或 |a|aa求模的方法
求 角
（3）cos
|
ab a || b
（4）|a
|
向量数量积的物理背景及定义
A1 a1 O1
则a l a cos
︱a︱cosθ 的几何意义:
A
对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ ， a ︱a︱cosθ 叫做向量a在b方向上的 b 正射影的数量， θ B O |a|cosθ A1 ︱b︱cosθ的几何意义呢？
向量数量积 a · 的几何意义 b
1、向量的夹角的概念
(0 )
B
叫做向量
b
怎样找向量 的夹角? b
记作 a, b
和 a
b的夹角．
a
O
特殊情况：
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同始点的
O b B 0 a 与 b 同向
a
A B b
a
O A
a 与 b 反向
(×)
(×)
(×) ( )
(×) (×)
课堂小结
向量的夹角 共始点 向量在轴上的正射影
al a cos a , l
向量的数量积的定义，几何意义，性质。
a b a b cos a, b
我们学到 了什么？
向量 a 与b 的数量积等于a 的长度 |a| 与b 在a 的方向上的正射影的数量| b | cosθ的积.
θ为直角时， | b | cos a , b =0
A
B1
O
a A
θ为锐角时， | b | cos a , b ＞0
θ为钝角时， | b | cos a , b ＜0
当夹角为 0 0 和180° ，结果是什么呢？
2.3.1向量数量积 的物理背景与定 义
我们学过功的概念，即一个物体在力F的 作用下产生位移s（如图） F s
向量数量积的物理背景与定
若a是一个单位向量，则a · a = 1。
向量数量积的几何意义
向量数量积表示两个向量的“相似度” 或“一致性”。当两个向量同向时， 数量积为最大值；当垂直时，数量积 为0；其他情况下，数量积介于0和最 大值之间。
向量数量积可以用于描述两个向量在 方向上的关系，例如在物理中可以表 示力或速度之间的角度关系，在工程 中可以用于分析结构的稳定性等。
05
CHAPTER
向量数量积的物理意义
动能定理
动能定理描述了物体在力的作用下运动时，动能的变化与 力所做的功之间的关系。具体来说，物体动能的增加等于 力所做的功。在物理学中，向量数量积可以用来表示力与 位移之间的点乘运算，从而计算力所做的功。
公式：$W = Fmathbf{cdot}s$，其中$W$表示力所做的功， $F$表示力的大小和方向，$mathbf{cdot}$表示点乘运算， $s$表示位移。
03
CHAPTER
向量数量积的应用
力的合成与分解
力的合成
通过向量数量积，可以将多个力合成一个合力，计算合力的效果。例如，在物理实验中，经常需要将多个力合成 一个合力，以研究物体的运动状态。
力的分解
在物理问题中，有时需要将一个已知力分解为若干个分力。通过向量数量积，可以将一个力分解为沿不同方向的 分力，以便进一步分析。
04
CHAPTER
向量数量积的运算
向量数量积的运算律
交换律
$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$
结合律
$(vec{A} + vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot vec{C} + vec{B} cdot vec{C}$
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
张喜林制2.3.1 向量数量积的物理背景与定义考点知识清单1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 、b ，作,,b a ==则AOB ∠称作向量a 和向量b 的夹角，记作（a ，b ），并规定其范围是 当2,π=b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作.b a ⊥2．向量在轴上的正射影：已知向量a 和轴L ，作,a =过点0，A 分别作轴f 的垂线，垂足分别为,,11A O 则11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量，即 ，其中l a 是a 在轴L 上正射影的数量． 3．向量的数量积（内积）定义： 4．向量内积的性质：(1)如果e 是单位向量，则=⋅=⋅a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即>=<b a ,cos )4( ||)5(b a ⋅ .||||b a要点核心解读1．向量数量积的物理背景——力做功的计算．如图2 -3 -1 -1．一个力F 使物体发生位移s 所做的功W 可以用下式计算．.cos ||||θF s W =其中θcos ||F 就是F 在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F 在物体位移方向上正射影的数量． 2．两个向量的夹角已知两个非零向量a ，b （如图2 -3 -1 -2所示），作,,b a ==则AOB /称作向量a 和向量b 的夹角，记作),,(b a 并规定,),(0π≤≤b a在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有.,,>>=<<a b b a当2,π>=<b a 时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作,b a ⊥在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．3．向量在轴上的正射影已知向量a 和轴L 如图2 -3 -1 -3.作,a =过点0、A 分别作轴L 的垂线，垂足分别为,11A O 、，则向量11A O 叫做向量a 在轴L 上的正射影（简称射影），该射影在轴L 上的坐标，称作a 在轴L 上的数量或在轴L 的方向上的数量．a =在轴L 上正射影的坐标记作,l a 向量a 的方向与轴L 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有.cos ||θa a l =4．向量的数量积（内积）定义><b a b a ,cos ||||叫做向量a 和向量b 的数量积（或内积），记作a ×b ，即.,cos ||||><=⋅b a b a b a5．平面向量的数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则;,cos ||><=⋅=⋅e a a a e e a,0)2(=⋅⇒⊥b a b a 且;0b a b a ⊥⇒=⋅,||)3(2a a a =⋅即;||a a a ⋅=;||||,cos )4(b a ba b a ⋅>=<.||||||)5(b a b a ≤⋅典例分类剖析考点1求数量积的问题[例1] 已知.3||,4||==b a 当b a b a b a 与③②①,,//⊥的夹角为60时，分别求a 与b 的数量积． [解析] ①当b a //时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角∴=,0 θ||a b a =⋅;120cos 34cos .||=⨯⨯= θb若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为,180o =θ;12)1(34180cos ||||-=-⨯⨯=⋅=⋅∴o b a b a②当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为,90;003490cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a③当a 与b 的夹角为60时．.6213460cos .||||=⨯⨯=⋅=⋅∴ b a b a [点拨] 若||||b a ⋅是一个定值k ，则当这两个向量的夹角从0变化到o180时，两向量的数量积从k 减到-k ，其图象恰好为从O 到霄的半个周期内的余弦图象，对于图形中的问题要注意区分图形中的角与向量的夹角．1．如图2—3 -1-4，在边长为1的等边三角形ABC 中，设,a BC =,,c AB bCA == 试求 a c c b b a ..++⋅的值．考点2 向量的夹角与垂直关系的运算[例2] 已知,9,1||,36||-=⋅==b a b a 则=),(b a ( )120.A 150.B 60.C 30.D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能） [解析] 利用||||,cos b a ba b a ⋅>=<及,),(0π≤≤b a 求⋅),(b a解：⋅-=⨯-=⋅>=<231369||||,cos b a b a b a又.150,,180),(0 >=∴<≤≤b a b a [答案] B[点拨] 两个向量夹角的范围是⋅],0[π2．(1)向量a 、b 满足4222-=⋅--b a b a 且,4||,2||==b a 则=),(b a(2)若0是△ABC 所在平面内一点，且满足=-|||,2|-+则△ABC 的形状为( )． A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形考点3 向量的投影问题[例3] 如图2-3 -1-5，在等腰三角形ABC 中，=AB D ABC AC ,30,2 =∠=是BC 的中点， 求：(1)C 在方向上的投影；(2)在D 方向上的投影．[解析] 如图2 -3 -1-5所示，连接AD ，在等腰三角形ABC 中，=∠==ABC AC AB ,2D ,30是BC的中点，所以⨯===⊥230cos ,AB BD CD BC AD .323=作CB 的延长线BE ，则与的夹角为-=∠180ABE .150=∠ABCCD BA =)1(方向上的投影是=-⨯=)23(2150cos || ;3- BA CD 在)2(方向上的投影是=-⨯=)23(3150cos || ⋅-23[点拨] 向量的投影是一个实数，它可正、可负、可为零，其性质符号取决于两向量之间的夹角，因此在正确理解向量投影定义的同时，找准两个向量之间的夹角是关键．b a a 与,4||.3=的夹角为,30 则a 在b 方向上的投影为考点4 内积性质的简单应用[例4] 已知,5||||==b a 向量a 与b 的夹角为,3π求.|||,|b a b a -+ [解析] 解法一：由数量积公式2||a a =求解．,25||,25||2222====b b a a,2253cos55cos ||||=⨯⨯==⋅πθb a b a .352525252)(222=++=⋅++=+=+∴b a b a b a b a同样可求 b a b a b a b a ⋅-+=-=-2)(||2.5252525=-+=解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD ，使,3.5π=∠==DAB AD AB设,,b A a A ==如图2 -3 -1 -6．则,5||||||===-A B b a.355232||2||||=⨯⨯===+A b a[点拨] (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①22||a a a a =⋅=;||a a a ⋅=或.2)(||22b b a a b a b a +⋅±=±=±②由关系式=2a ,||2a 可使向量的长度与向量的数量积互相转化，因此欲求+a ||,b 可求),()(b a b a +⋅+将此式展开．由已知,5||||==b a 即b a b b a a ⋅=⋅=⋅,25 也可求得,225将上面各式的值代入，即可求得被求式的值． (2)利用向量线性运算的几何意义转化到求平面几何的长度的计算．4．(1)已知向量a ，b 满足==||,13||b a ,24||,19=+b a 求.||b a -(2)已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为,60那么+a |=|3b ( )．7.A 10.B 13.C 4.D学业水平测试1．下列命题，正确的是( )．A ．若,0=⋅b a 则00==b a 或B ．若,0=⋅b a 则b a //C ．若,b a ⊥则0=⋅b a ||.a a aD >⋅对任意向量恒成立 2．已知,135,,4||,212 >=<=-=⋅b a a b a 则=||b （ ）12.A 3.B 6.C 33.D3．以下等式中恒成立的有( )．① b a b a ⋅=⋅ ② ;||;||22a a a a a ==⋅③④⋅+⋅-=-)2()2(222b a b a b aA.l 个B.2个 C ．3个 D.4个4．向量a 、b 满足,3||,2||==b a 且,7||=+b a 则=⋅b a5．已知,2||,1||==b a 且),2()(b a b a λλ-⊥+a 与b 的夹角为,60则=λ6．在△ABC 中，设,,,c AB b CA a BC ===若..a c c b b a ⋅=⋅=求证：△ABC 为正三角形，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分）1．在△ABC 中，C B A ∠∠∠、、的对边分别为1,3,==b a c b a 、、,30=∠C 则=B .343.A 323.B 343.-C 323.-D 2．△ABC 中，.A B A ⋅+⋅+一定是( )A ．小于0B ．大于0．C ．小于或等于零D ．大于或等于零3．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的有( )．.(|;||||];0)()(b b a b a b a c c b a ③②①-≤-=⋅⋅-⋅⋅b a c a c ⋅⋅-⋅)()不与C 垂直；=-⋅+)23()23(b a b a ④.||4||922b a -A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 4．若,5||,4||,32041||==-=-b a b a 则a 与b 的数量积为( )．310.A 310.-B 210.C 10.D5．若四边形ABCD 满足,0)(,0=⋅-=+AC AD AB CD AB 则该四边形一定是( )．A ．直角梯形B ．菱形C ．正方形D ．矩形 6．（2009年福建高考题）设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，|,|||,c a c a =⊥则||c b ⋅的值一定等于( )．A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 7．已知非零向量AC AB 与满足0)||||(=⋅+AC AC AB 且.||AB ⋅,21||=AC 则△ABC 为( )． A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 8．（2011年全国大纲理）设向量a ，b ，c 满足.,1||||a b a ==,21-=b ,60, >=--<c b c a 则∣C ∣的最大值等于( )．2.A3.B 2.C 1.D二、填空题（5分x4 =20分）9．（2008年江苏高考题）a ，b 的夹角为,3||,1||,120==b a则=-|5|b a10.（2010年天津高考题）如图2-3 -1 -7，在△ABC 中，,AB AD ⊥BC =,1||=AD 则=⋅.11．设向量a ，b ，c 满足.,)(,0b a c b a c b a ⊥⊥-=++若=||a 222||||||,1c b a ++则的值是 12.（2008年陕西高考题）关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若,c a b a ⋅=⋅则;c b =②若//),6,2(),,1(a b k a -==;3,-=k b 则③非零向量a 和b 满足|,|||||b a b a -==则a 与b a +的夹角为.60 其中真命题的序号为____（写出所有真命题的序号）．三、解答题（10分x4 =40分）13.如图2-3 -1-8，已知正六边形,654321P P P P P P 求下列向量的数量积．;)2(;)1(41213121P P P P P P P P ⋅⋅.)4(;)3(61215121P P p p P P P P ⋅⋅14．已知,0||2||=/=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．15．已知向量,60,, =∠==AOB b O a 且.4||||==b a (1)求|;||,|b a b a -+(2)求b a +与a 的夹角及b a -与a 的夹角．16.已知),1,(),1,2(λ=--=b a 若a 与b 的夹角α为钝角，求A 的取值范围．。
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义在我们的日常生活中，有些东西就像水和空气，虽然看不见，但却无时无刻不在影响着我们。
就拿平面向量的数量积来说吧，听起来可能有点儿复杂，其实它就是一种简单又有趣的概念，来，咱们一起聊聊这件事。
想象一下，你在操场上跟朋友打篮球。
你投篮的时候，用力的角度、力量的大小，都会影响到篮球的飞行轨迹。
数量积就像是你在这场游戏里的秘密武器，能帮助你理解这股力量和方向的结合。
简单点说，数量积就是把两个向量结合在一起，得出一个数值，告诉你这两个向量之间的关系。
比如，力的方向和移动的方向，如果你力气大但方向错了，那球就算飞得再快，也未必能进篮。
这就好比你走路的时候，前面有个障碍，你必须调整自己的方向，不然就撞上去了。
再举个例子，你在海边晒太阳，风在吹，你的沙滩椅子被风推得摇摇晃晃。
这个时候，你得考虑风的方向和力量，才能舒服地躺在那里。
如果你朝着风的方向靠，就算风再大，也不会把你推倒。
数量积就像是这个时候的指南针，告诉你该如何调整自己，才能迎风而行。
这种感觉真的是妙不可言，恰如其分。
说到这里，你可能会想，这个数量积到底有什么用呢？嘿，别小看它。
它在物理学、工程学和计算机科学中，都起着至关重要的作用。
拿物理来说，力和位移的数量积，能直接帮我们算出做功的大小。
这就意味着，咱们可以通过简单的计算，明白做事情的效率。
想想看，如果你在搬家，要搬一个重重的箱子，你使出的力气和箱子移动的方向正好一致，结果就是一口气就能把它搬上车。
但要是你使力的方向偏了，可能搬半天也没动，这可就太尴尬了。
再看看工程领域，设计师们在绘制建筑图纸的时候，数量积也能大显身手。
想要确保建筑的稳定性和安全性，设计师得考虑每一个结构的受力情况。
而数量积恰好能帮助他们判断，哪个方向的力量最大，从而做出最好的设计选择。
这就像是在搭积木，搭得越稳，玩得越开心。
再说计算机科学，这可是个神奇的领域。
机器学习、计算机图形学中，数量积用得相当频繁。
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(4)cos〈a，b〉＝ |a||b| (|a||b|≠0). (5)|a·b| ≤ |a||b|.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
9
预习导学
[知识链接]
挑战自我，点点落实
如图，一个物体在力F的作用下产生位移 s，且力F与
位移 s 的夹角为θ，那么力F所做的功W怎么计算？
W＝|F1|·|s|
∴cos〈A→B，B→C〉＝cos(180°－B)＝－cos B＝－153. ∴A→B·B→C＝|A→B|·|B→C|cos(180°－B)
＝13×5×－153＝－25.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
16
练习2. 已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)A→B·A→C；
(2)A→B·B→C；
F1
＝ |F|cos θ ·|s|
＝|F||s|cos θ= F·s
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
10
课堂小结 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下 产生位移s所做的功。 2.向量在轴上的正射影及其数量。 3.掌握了平面向量数量积的定义，会数量积求向量的夹角 4.总结了平面向量数量积的性质，会用其解决问题。
→→ (3)BC·AC.
解 (1)∵A→B与A→C的夹角为 60°. ∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
(2)∵A→B与B→C的夹角为 120°.
∴A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos 120°＝1×1×－12＝－12. (3) B→C·A→C＝|B→C||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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课堂讲义
重点难点，个个击破
判断正误，并简要说明理由. (1)a·0＝0；(2)0·a＝0；(3)a与b是两个单位向量，则a2＝b2. 解 上述3个命题中只有(3)正确； 对于(1)：两个向量的数量积是一个实数，应有a·0＝0； 对于(2)：应有0·a＝0； 对于(3)：|a|＝|b|＝1⇒a2＝b2＝1.
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练习3 已知a、b、c是三个非零向量，则下列问题中
真命题的个数为( )
①a·b＝±|a|·|b|⇔a∥b；②a、b反向⇔a·b＝－|a|·|b|；
③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
A.1
B.2Biblioteka C.3D.42.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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练习4 已知a，b是两个非零向量|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，
求a与b的夹角。
练习5 已知向量a，b的夹角为120，且|a|＝4，|b|＝2 求 (1) |a＋b| (2) |3a－4b|.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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练习 1.在△ABC 中，|A→B|＝13，|B→C|＝5，|C→A|＝12，则A→B·B→C的
值是________.
解析
易知|A→B|2＝|B→C|2＋|C→A|2， C＝90°. cos B＝153，
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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例1
(1)
已知
|O→A|=5，〈O→A，l〉=60°，求
→ OA
在l上正射影的数量OA1
(2)
已知|O→B|=5，〈O→B，l〉=120°，求
→ OB
在l上正射影的数量OB1
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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思考：当θ为锐角，钝角，0°，90°，180°角时，向量在轴上 正射影的数量是怎样的？
例2 已知|a|=3，|b|=4， a与b的夹角θ=135°，求a·b
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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平面向量数量积的性质
(1)e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉. (a≠0).
(2)a⊥b⇒a·b＝ 0 ，反之a·b＝0 ⇒a⊥b(a≠0，b≠0). (3)a·a＝ |a|2 或|a|＝ a·a .
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1.两个向量的夹角 (1)已知两个非零向量a，b(如图所示)，作 O→A＝a， O→B＝b，则 ∠AOB 称作向量a和向量b的夹角， 记作〈a，b〉， 并规定它的范围是[0，π].
任意向量
思考 正∆ABC中,〈A→B，A→C〉= 60〈°, A→B，B→C〉=120°, 〈A→C，B→C〉=60°.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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2.向量在轴上的正射影 已知向量 a 和轴 l，作 O→A＝a，过点O，
A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则 向量 O——1A→1叫做向量 a 在轴 l上的正射影(简称
射影)，该射影在轴l上的坐标，称作 a 在轴 l上的数量，或 a
在轴 l 上正射影的数量.记为al， al＝|a|cos θ
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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练习4 已知a，b是两个非零向量|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求
a与b的夹角。
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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练习5 已知向量a，b的夹角为120，且|a|＝4，|b|＝2 求 (1) |a＋b| (2) |3a－4b|.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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练习 1.在△ABC 中，|A→B|＝13，|B→C|＝5，|C→A|＝12，则A→B·B→C的
值是________.
练习 2.已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)A→B·A→C；
(2)A→B·B→C；
→→ (3)BC·AC.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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跟踪演练 已知|p|=2，|q|=3，且p与q的夹角θ=120°，则
向量p在q方向上的正射影的数量为
；向量q在p
方向上的正射影的数量为
。
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
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平面向量数量积的基本概念
|a||b|cos 〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记 作a·b. 即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
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第二章——
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
预习导学
[知识链接]
挑战自我，点点落实
如图，一个物体在力F的作用下产生位移 s，且力F与
位移 s 的夹角为θ，那么力F所做的功W怎么计算？
W＝|F1|·|s|
F1
＝ |F|cos θ ·|s|
＝|F||s|cos θ.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
(1)当θ为锐角时，正射影和轴 l 同向， al＝|a|cos θ >0. (2)当θ为钝角时，正射影和轴 l 反向，al＝|a|cos θ <0.
(3)当 θ= 0° 时， al＝|a|; 当 θ= 180° 时， al＝-|a|.
(4)当 θ= 90° 时， al＝0.
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义