初中数学同步训练人教8年级上册: 13.3.2 等边三角形(1)
人教版八年级上册数学等边三角形同步训练

A.5B.10C.15D.2.5
6.如图,AD是等边三角形ABC的中线,点E在AC上,AE=AD,则∠EDC等于( )
A.15°B.20°C.25°D.30°
7.如图,点D、E分别在等边三角形ABC的边BC、AC上,且BD=CE,连接AD、BE相交于点P,则∠APE的度数是( )
10.如图, , , ,若 ,则 的长为______.
11.如图,有边长为2的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC,以D为顶点作∠MDN=60°角;两边分别交AB、AC于M、N,连接MN,则△AMN的周长为_____.
12.如图,△ABC是等边三角形,BD⊥AC于点D,E是BC延长线上的一点,DB=DE,则∠E的度数为_____.
参考答案:
1.B
2.B
3.D
4.C
5.B
6.A
7.A
8.D
9.12
10.6
11.4
12.30°
13.5
14.5或1
15.6
16.
18.(2)△ADE为等边三角形,
20.(2)
(3)7
16.如图, 、 是等边 边上的点, 、 交于 点, ,则 的度数为__.
三、解答题
17.如图,△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB,AE平分∠CAB.
(1)证明:△CAE≌△DBE.
(2)证明: .
18.如图,已知△ABC为等边三角形,D为BC延长线上的一点,CE平分∠ACD,CE=BD,求证:
13.如图,AB=AC=10cm,BD=DC,AD,BC相交于点E,若∠ABC=60°,则BE=_____cm.
等边三角形同步练习2022-2023学年八年级上册人教版数学

八年级上册人教版数学13.3.2等边三角形姓名: 得分: 日期:一、选择题(本大题共 9 小题)1、如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠CAB 的平分线交BC 于D ,DE 是AB 的垂直平分线,垂足为E .若BC=3,则DE 的长为( )A.1B.2C.3D.42、如图,木工师傅从边长为90cm 的正三角形木板上锯出一正六边形木块,那么正六边形木板的边长为( )A.34cmB.32cmC.30cmD.28cm3、等边△ABC 的两条角平分线BD 和CE 相交所夹锐角的度数为( )A.60°B.90°C.120°D.150°4、如图,在△ABC 中,AB=AC=10,∠BAC=120°,AD 是△ABC 的中线,AE 是∠BAD 的角平分线,DF∥AB 交AE 的延长线于点F ,则DF 的长是( )A.2B.4C.5D.525、有一直角三角板,30°角所对直角边长是6cm ,则斜边的长是( )A.3cmB.6cmC.10cmD.12cm6、已知a 、b 、c 是三角形的三边长,且满足(a −b)2+∣b −c ∣=0,那么这个三角形一定是( ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形D. 锐角三角形7、如图,若∠B=30°,∠C=90°,AC=20m,则AB=()A.25mB.30mC.20√3mD.40m8、如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内的两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60∘.若BE=6cm,DE=2cm,则BC的长为( )A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 12cm9、如图,已知等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120∘,AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC,下面的结论:①∠APO+∠DCO=30∘;②△OPC是等边三角形;③AC=AO+AP;,其中正确的个数是( )④S△ABC=S四边形AOCPA.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共 6 小题)10、已知△ABC中,AB=AC=4,∠A=60度,则△ABC的周长为_______,11、为等边三角形,分别在边上,且,则为三角形12、如图,∠AOC=90°,P为射线OC上任意一点(点P不与点O重合),分别以AO,AP为边在∠AOC的内部作两个等边△AOE和△APQ,连接QE并延长交OP于点F,则∠OEF的度数是____.13、如图,等边△ABC的边长为2,CD为AB边上的中线,E为线段CD上的动点,以BE为边,在BE左侧作等边△BEF,连接DF,则DF的最小值为______.14、已知△ABC中,AB=AC=2,∠A=60度,则△ABC的周长为 ______ .15、如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120∘.以D为顶点作一个60∘角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长为.三、解答题(本大题共 5 小题)16、已知:如图,点D、E分别是等边△ABC的两边AB、AC上的点,且AD=CE,求证:CD=BE.17、如图,已知△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.(1)求证:△ABE≌△CAD;(2)求∠BFD的度数.18、已知直线EF∥MN,点A、B分别为EF,MN上的动点,且∠ACB=α,BD平分∠CBN交EF于D.(1)若∠FDB=120°,α=90°,如图1,求∠MBC与∠EAC的度数?(2)延长AC交直线MN于G,这时α=80°,如图2,GH平分∠AGB交DB于点H,问∠GHB是否为定值?若是,请求值;若不是,请说明理由.19、已知,Rt△ABC中,∠ACB=90∘,∠CAB=30∘.分别以AB、AC为边,向三角形外作等边△ABD和等边△ACE.(1)如图1,连接线段BE、CD.求证:BE=CD;(2)如图2,连接DE交AB于点F.求证:F为DE中点.20、如图1,点M为直线AB上一动点,△PAB,△PMN都是等边三角形,连接BN(1)求证:AM=BN;(2)分别写出点M在如图2和图3所示位置时,线段AB、BM、BN三者之间的数量关系(不需证明);(3)如图4,当BM=AB时,证明:MN⊥AB.。
八年级数学上册 13.3.2.1《 等边三角形的性质》同步训练(含解析)(新版)新人教版

等边三角形的性质一.选择题1.(2013•吉安模拟)如图,过等边△ABC的顶点A作射线,若∠1=20°,则∠2的度数是()A.100°B.80° C.60° D.40°2.(2014秋•贵港期末)如图,在等边△ABC中,AB=8,E是BA延长线上一点,且EA=4,D 是BC上一点,且ED=EC,则BD的长为()A.3 B.4 C.5 D.63.(2014秋•岑溪市期中)在等边△ABC中,已知BC边上的中线AD=16,则∠BAC的平分线长等于()A.4 B.8 C.16 D.324.(2015•港南区二模)如图,等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上,且DE⊥BC于E,若AB=1,则DB的长为()A.B.C.D.5.(2015春•张家港市期末)如图,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠EDC=()度.A.30 B.20 C.25 D.156.(2014•路南区一模)已知:如图,l∥m,等边△ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所夹锐角为20°,则∠α的度数为()A.60° B.45° C.40° D.30°7.(2013秋•沈丘县校级期末)如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC到E,使CE=CD,连接DE.下面给出的四个结论,其中正确的个数是()①BD⊥AC;②BD平分∠ABC;③BD=DE;④∠BDE=120°.A.1个B.2个C.3个D.4个8.(2014春•赛罕区校级月考)如图.阴影部分是边长为1的小正三角形,A,B,C,D,E,F,G,H分别是8个正三角形,则A和B的边长分别是()A.2,4 B.2.5,5 C.3,6 D.4,8二.填空题9.(2015•泉州)如图,在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD= °.10.(2015•滕州市校级模拟)如图,△ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC.若△ABC的边长为4,AE=2,则BD的长为.11.(2015春•扬中市期末)三个等边三角形的位置如图所示,若∠3=40°,则∠1+∠2= °.12.(2015秋•湖南校级月考)如图,已知△ABC是等边三角形,点O是BC上任意一点,OE、OF分别与两边垂直,等边三角形的高为5,则OE+OF的值为.13.(2014•武侯区校级模拟)如图,将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2010次,点P依次落在点P1,P2,P3,…,P2010的位置,则点P2010的坐标为.三.解答题14.(2014秋•上蔡县校级期末)如图,在等边三角形ABC中,BD⊥AC于D,延长BC到E,使CE=CD,AB=6cm.(1)求BE的长;(2)判断△BDE的形状,并说明理由.15.(2014秋•维扬区校级期中)如图:已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M.(1)求∠E的度数.(2)求证:M是BE的中点.16.(2013秋•宜春期末)△ABC为等边三角形,点M是线段BC上一点,点N是线段CA上一点,且BM=CN,BN与AM相交于Q点,(1)求证:△ABM≌△BCN;(2)求证:∠AQN=60°.17.(2014秋•北京校级期中)如图,以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD,连接BD、CE,相交于O.(1)试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由;(2)求出BD和CE的夹角大小,若改变△ABC的形状,这个夹角的度数会发生变化吗?请说明理由.人教版八年级数学上册13.3.2.1 《等边三角形的性质》同步训练习题(教师版)一.选择题1.(2013•吉安模拟)如图,过等边△ABC的顶点A作射线,若∠1=20°,则∠2的度数是()A.100°B.80° C.60° D.40°考点:等边三角形的性质.分析:先根据△ABC是等边三角形,求出∠B的度数,再根据三角形内角和定理求出∠3的度数,再根据对顶角相等,即可求出∠2的度数;解答:解:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠1=20°,∴∠3=100°,∴∠2=100°;故选A.点评:此题考查了等边三角形的性质,用到的知识点是三角形内角和定理,此题较简单,是一道基础题.2.(2014秋•贵港期末)如图,在等边△ABC中,AB=8,E是BA延长线上一点,且EA=4,D 是BC上一点,且ED=EC,则BD的长为()A.3 B.4 C.5 D.6考点:等边三角形的性质;等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形.分析:过点E作EF⊥BC于F,先根据含30°的直角三角形的性质求出BF,再根据等腰三角形的三线合一性质求出DF,即可得出BD.解答:解:过点E作EF⊥BC于F;如图所示:则∠BFE=90°,∵△ABC是等边三角形,∠B=60°,∴∠FEB=90°﹣60°=30°,∵BE=AB+AE=8+4=12,∴BF=BE=6,∴CF=BC﹣BF=2,∵ED=EC,EF⊥BC,∴DF=CF=2,∴BD=BF﹣DF=4;故选:B.点评:本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质;培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力.3.(2014秋•岑溪市期中)在等边△ABC中,已知BC边上的中线AD=16,则∠BAC的平分线长等于()A.4 B.8 C.16 D.32考点:等边三角形的性质.分析:根据等边三角形三线合一可知AD就是∠BAC的平分线,从而求得∠BAC的平分线长.解答:解:∵在等边△ABC中,AD是BC边上的中线,∴AD是∠BAC的平分线,∴∠BAC的平分线长为16.故选C.点评:本题主要考查了等边三角形三线合一的性质.4.(2015•港南区二模)如图,等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上,且DE⊥BC于E,若AB=1,则DB的长为()A.B.C.D.考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.分析:根据等边三角形性质,直角三角形性质求△BDE≌△AFD,得BE=AD,再求得BD的长.解答:解:∵∠DEB=90°∴∠BDE=90°﹣60°=30°∴∠ADF=180﹣30°﹣90°=90°同理∠EFC=90°又∵∠A=∠B=∠C,DE=DF=EF∴△BED≌△ADF≌△CFE∴AD=BE设BE=x,则BD=2x,∴由勾股定理得BE=,∴BD=.故选C.点评:本题利用了:1、等边三角形的性质,2、勾股定理,3、全等三角形的判定和性质.5.(2015春•张家港市期末)如图,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠EDC=()度.A.30 B.20 C.25 D.15考点:等边三角形的性质.分析:由AD是等边三角形ABC的中线,根据三线合一与等边三角形的性质,即可求得∠ADC 与∠DAC的度数,又由AE=AD,根据等边对等角的性质,即可求得∠ADE的度数,继而求得∠EDC的度数.解答:解:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°,∵AD是△ABC的中线,∴∠DAC=BAC=30°,AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵AE=AD,∴∠ADE=∠AED===75°,∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°.故选D.点评:此题考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质.此题难度不大,解题的关键是注意三线合一与等边对等角的性质的应用,注意数形结合思想的应用.6.(2014•路南区一模)已知:如图,l∥m,等边△ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所夹锐角为20°,则∠α的度数为()A.60° B.45° C.40° D.30°考点:等边三角形的性质;平行公理及推论;平行线的性质.专题:计算题.分析:过C作CE∥直线m,由l∥m,推出l∥m∥CE,根据平行线的性质得到∠ACE=∠α,∠BCE=∠CBF=20°,即∠α+∠CBF=∠ACB=60°,即可求出答案.解答:解:过C作CE∥直线m∵l∥m,∴l∥m∥CE,∴∠ACE=∠α,∠BCE=∠CBF=20°,∵等边△ABC,∴∠ACB=60°,∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°,∴∠α=40°.故选C.点评:本题主要考查对平行线的性质,等边三角形的性质,平行公理及推论等知识点的理解和掌握,此题是一个比较典型的题目,题型较好.7.(2013秋•沈丘县校级期末)如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC到E,使CE=CD,连接DE.下面给出的四个结论,其中正确的个数是()①BD⊥AC;②BD平分∠ABC;③BD=DE;④∠BDE=120°.A.1个B.2个C.3个D.4个考点:等边三角形的性质;等腰三角形的判定与性质.分析:因为△ABC是等边三角形,又BD是AC上的中线,所以有,AD=CD,∠ADB=∠CDB=90°(①正确),且∠ABD=∠CBD=30°(②正确),∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°,又CD=CE,可得∠CDE=∠DEC=30°,所以就有,∠CBD=∠DEC,即DB=DE(③正确),∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°(④正确);由此得出答案解决问题.解答:解:∵△ABC是等边三角形,BD是AC上的中线,∴∠ADB=∠CDB=90°,BD平分∠ABC;∴BD⊥AC;∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°,又CD=CE,∴∠CDE=∠DEC=30°,∴∠CBD=∠DEC,∴DB=DE.∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°所以这四项都是正确的.故选:D.点评:此题考查等边三角形的性质,等腰三角形的性质等知识,注意三线合一这一性质的理解与运用.8.(2014春•赛罕区校级月考)如图.阴影部分是边长为1的小正三角形,A,B,C,D,E,F,G,H分别是8个正三角形,则A和B的边长分别是()A.2,4 B.2.5,5 C.3,6 D.4,8考点:等边三角形的性质.专题:数形结合.分析:设A的边长为x,根据等边三角形的性质和已知图形得到H和G的边长都为x,B的边长为2x,由于阴影部分是边长为1的小正三角形,易得C的边长为2x﹣1,F和E的边长为x+1,所以D的边长可表示为2x﹣1或x+2,则2x﹣1=x+2,然后解方程求出x即可得到A 和B的边长.解答:解:如图,设A的边长为x,则H和G的边长都为x,B的边长为2x,∵阴影部分是边长为1的小正三角形,∴C的边长为2x﹣1,F和E的边长为x+1,∴D的边长为2x﹣1或x+2,∴2x﹣1=x+2,解得x=3,∴A和B的边长分别3和6.故选C.点评:本题考查了等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°.也考查了观察图形的能力.二.填空题9.(2015•泉州)如图,在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD=30°°.考点:等边三角形的性质.分析:根据正三角形ABC得到∠BAC=60°,因为AD⊥BC,根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数.解答:解:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠BAC=30°,故答案为:30°.点评:本题考查的是等边三角形的性质,掌握等边三角形的三个内角都是60°和等腰三角形的三线合一是解题的关键.10.(2015•滕州市校级模拟)如图,△ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC.若△ABC的边长为4,AE=2,则BD的长为 2 .考点:等边三角形的性质;等腰三角形的性质.分析:延长BC至F点,使得CF=BD,证得△EBD≌△EFC后即可证得∠B=∠F,然后证得AC∥EF,利用平行线分线段成比例定理证得CF=EA后即可求得BD的长.解答:解:延长BC至F点,使得CF=BD,∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD,∴∠EDB=∠ECF,在△EBD和△EFC中,,∴△EBD≌△EFC(SAS),∴∠B=∠F∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB,∴∠ACB=∠F,∴AC∥EF,∴=,∵BA=BC,∴AE=CF=2,∴BD=AE=CF=2,故答案为:2.点评:本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质,解题的关键是正确的作出辅助线.11.(2015春•扬中市期末)三个等边三角形的位置如图所示,若∠3=40°,则∠1+∠2=1400.考点:等边三角形的性质.分析:先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°,用∠1,∠2,∠3表示出△ABC各角的度数,再根据三角形内角和定理即可得出结论.解答:解:∵图中是三个等边三角形,∠3=40°,∴∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°,∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2,∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1,∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴80°+(120°﹣∠2)+(120°﹣∠1)=180°,∴∠1+∠2=140°.故答案为:140点评:本题考查的是等边三角形的性质,熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键.12.(2015秋•湖南校级月考)如图,已知△ABC是等边三角形,点O是BC上任意一点,OE、OF分别与两边垂直,等边三角形的高为5,则OE+OF的值为 5 .考点:等边三角形的性质.分析:利用等边三角形的特殊角求出OE与OF的和,可得出其与三角形的高相等,进而可得出结论.解答:解:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°又∵OE⊥AB,OF⊥AC,∠B=∠C=60°,∴OE=OB•sin60°=OB,同理OF=OC.∴OE+OF=(OB+OC)=BC.在等边△ABC中,高h=AB=BC.∴OE+OF=h.又∵等边三角形的高为5,∴OE+OF=5,故答案为5.点评:本题考查了等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°;三条边都相等.13.(2014•武侯区校级模拟)如图,将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2010次,点P依次落在点P1,P2,P3,…,P2010的位置,则点P2010的坐标为.考点:等边三角形的性质;勾股定理.专题:规律型.分析:做题首先要知道经过连续翻转2010次后P点的位置,然后求出此点坐标.解答:解:观察图形结合翻转的方法可以得出P1、P2的横坐标是1,P3的横坐标是2.5,P4、P5的横坐标是4,P6的横坐标是5.5…依此类推下去,P2005、P2006的横坐标是2005,P2007的横坐标是2006.5,P2008、P2009的横坐标就是2008.∴P2010的纵坐标为,横坐标=2008+1.5=2009.5.∴P2007(2007,).点P2010处于顶点上,∵三角形边长为1,故P2010(2009,).故答案为(2009,).点评:本题主要考查等边三角形的性质和坐标等知识点.三.解答题14.(2014秋•上蔡县校级期末)如图,在等边三角形ABC中,BD⊥AC于D,延长BC到E,使CE=CD,AB=6cm.(1)求BE的长;(2)判断△BDE的形状,并说明理由.考点:等边三角形的性质;等腰三角形的性质.专题:计算题.分析:(1)根据等边三角形的性质得BC=AB=6cm,再根据“三线合一”得AD=CD=AC=3cm,而CD=CE=3cm,所以BE=BC+CE=9cm;(2)根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°,再根据“三线合一”得∠CBD=∠ABC=30°,而CD=CE,则∠CDE=∠E,接着利用三角形外角性质得∠CDE+∠E=∠ACB=60°,所以∠E=30°,于是得到∠CBD=∠E,然后根据等腰三角形的判定即可得到△BDE为等腰三角形.解答:解:(1)∵△ABC为等边三角形,∴BC=AB=6cm,∵BD⊥AC,∴AD=CD=AC=3cm,∵CD=CE=3cm,∴BE=BC+CE=6cm+3cm=9cm;(2)△BDE为等腰三角形.理由如下:∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵BD⊥AC,∴∠CBD=∠ABC=30°,∵CD=CE,∴∠CDE=∠E,而∠CDE+∠E=∠ACB=60°,∴∠E=30°,∴∠CBD=∠E,∴△BDE为等腰三角形.点评:本题考查了等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴.也考查了等腰三角形的判定与性质.15.(2014秋•维扬区校级期中)如图:已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M.(1)求∠E的度数.(2)求证:M是BE的中点.考点:等边三角形的性质;含30度角的直角三角形.分析:(1)由等边△ABC的性质可得:∠ACB=∠ABC=60°,然后根据等边对等角可得:∠E=∠CDE,最后根据外角的性质可求∠E的度数;(2)连接BD,由等边三角形的三线合一的性质可得:∠DBC=∠ABC=×60°=30°,结合(1)的结论可得:∠DBC=∠E,然后根据等角对等边,可得:DB=DE,最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得:M是BE的中点.解答:(1)解:∵三角形ABC是等边△ABC,∴∠ACB=∠ABC=60°,又∵CE=CD,∴∠E=∠CDE,又∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠E=∠ACB=30°;(2)证明:连接BD,∵等边△ABC中,D是AC的中点,∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°由(1)知∠E=30°∴∠DBC=∠E=30°∴DB=DE又∵DM⊥BC∴M是BE的中点.点评:此题考查了等边三角形的有关性质,重点考查了等边三角形的三线合一的性质.16.(2013秋•宜春期末)△ABC为等边三角形,点M是线段BC上一点,点N是线段CA上一点,且BM=CN,BN与AM相交于Q点,(1)求证:△ABM≌△BCN;(2)求证:∠AQN=60°.考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:(1)根据已知条件,利用SAS定理即可证明△ABM≌△BCN.(2)根据△ABM≌△BCN(已证),可得∠AMB=∠BNC,然后利用△BQM∽△BCN即可得出结论.解答:证明;(1)∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°∵在△ABM和△BCN中,∴△ABM≌△BCN(SAS);(2)∵△ABM≌△BCN(已证).∴∠AMB=∠BNC,∵∠MBQ=∠NBC(公共角),∴△BQM∽△BCN,∴∠BQM=∠C=60°∵∠BQM和∠AQN是对顶角,∴∠AQN=60°.点评:此题主要考查学生对等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握,此题涉及到的知识点较多,有点难度,属于中档题.17.(2014秋•北京校级期中)如图,以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD,连接BD、CE,相交于O.(1)试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由;(2)求出BD和CE的夹角大小,若改变△ABC的形状,这个夹角的度数会发生变化吗?请说明理由.考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.专题:探究型.分析:(1)EC=BD,理由为:由△ABE和△ACD都为等边三角形,利用等边三角形的性质得到∠EAB=∠DAC=60°,AE=AB,AD=AC,利用等式的性质得到∠EAC=∠BAD,利用SAS可得出△AEC≌△ABD,利用全等三角形的对应边相等即可得证;(2)BD和CE的夹角大小为60°,若改变△ABC的形状,这个夹角的度数不变,理由为:由三角形ADC为等边三角形,得到∠ADC=∠ACD=60°,再由(1)得到△AEC≌△ABD,利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠ADB,由∠EOD为三角形OCD的外角,利用三角形的外角性质及等量代换可得出∠EOD=∠ADC+∠ACD,可求出∠EOD的度数,利用邻补角定义求出∠DOC的度数,即为BD与CE的夹角.解答:解:(1)EC=BD,理由为:∵△ABE和△ACD都为等边三角形,∴∠EAB=∠DAC=60°,AE=AB,AD=AC,∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,在△AEC和△ABD中,,∴△AEC≌△ABD(SAS),∴EC=BD;(2)BD和CE的夹角大小为60°,若改变△ABC的形状,这个夹角的度数不变,理由为:∵△ADC为等边三角形,∴∠ADC=∠ACD=60°,∵△AEC≌△ABD,∴∠ACE=∠ADB,∵∠EOD为△COD的外角,∴∠EOD=∠ODC+∠OCD=∠ODC+∠ACD+∠ACE=∠ODC+∠ADB+∠ACD=∠ADC+∠ACD=120°,即∠DOC=60°,则BD和CE的夹角大小为60°.点评:此题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形的外角性质,利用了等量代换及转化的思想,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.。
13.3.2等边三角形同步练习(含简单答案)人教版数学八年级上册

13.3.2 等边三角形一、单选题1.如图,衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形,记为等腰三角形ABC ,若30cm AB AC ==,D 是BC 的中点,30ABC ∠=︒,则AD 的长为( )A .10cmB .12cmC .15cmD .cm2.如图,ABD AEC 、都是等边三角形,BE CD 、交于F ,则BFC ∠的度数为( )A .140︒B .130︒C .120︒D .110︒3.如图,在等腰梯形ABCD 中,AB CD ∥,cm AD BC a ==,60A ∠=︒,BD 平分ABC ∠,则这个梯形的周长是( )A .4a cmB .5a cmC .6a cmD .7a cm 4.如图,在Rt ABC △中,9030C B ∠=︒∠=︒,,以点A 为圆心,适当长为半径作弧,在边AB ,AC 上截取AD ,AE ;然后分别以点D ,E 为圆心,以大于12DE 的长为半径作弧,两弧在CAB ∠内交于点F ;作射线AF 交BC 于点G .若2BG =,P 为边AB 上一动点,则GP 的最小值为( )A .12B .1C .2D .无法确定5.如图所示,已知ABC 和DCE △均是等边三角形,点B 、C 、E 在同一条直线上,连接AE 、BD 、FG ,AE 与BD 交于点O ,AE 与CD 交于点G ,AC 与BD 交于点F ,则下列结论中:①AE BD =; ②AG BF =; ③FG //BE ; ④CF CG =,以上结论正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个6.如图,OP 平分AOB ∠,15AOP PC OA PD OA ∠=︒⊥,∥,于点D .10PC =,则PD 的长度是( )A .2.5B .4C .6D .57.在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,30A ∠=︒,12AB BC cm +=,则AB 的长度为( )A .6cm B .7cm C .8cm D .9cm8.如图,在等边ABC 中,D 是AB 的中点,DE AC ⊥于E ,已知8=AB ,则CE 的长为( )A .6B .5C .4D .39.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD ⊥BC 于D ,BE 是∠ABC 的平分线,且交AD 于P ,如果AP=2,则AC 的长为( )A .2B .4C .5D .610.下列叙述不正确的是( )A .等腰三角形一定是锐角三角形B .等边三角形的每条高线都是角平分线和中线C .其中有一个内角为60︒的等腰三角形是等边三角形D .在一个三角形中,如果两条边不相等,那么它们所对的角也不相等;反之,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么它们所对的边也不相等二、填空题11.如图,15AOB ∠=︒,P 是OA 上一点,P 与P '关于OB 对称,作'⊥P M OA 于点M ,4OP =,则M P '= .12.如图,在等边三角形ABC 中,AD 是角平分线,P 为线段AD 上一动点,M 为AC 的中点,连接PM PC ,,若PM PC +的最小值为15cm ,则AD = cm .13.如图,∠MON =30°,点A 1、A 2、A 3、……在射线ON 上,点B 1、B 2、B 3、……在射线OM 上,△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4,……均为等边三角形,若OA 1=1,则△A 2019B 2019A 2020的边长为14.如图所示,∠A =60°,CE ⊥AB 于E ,BD ⊥AC 于D ,BD 与CE 相交于点H ,HD =1,HE =2,则BD = ,CE = .15.在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,且5AD =,10AC =.则AB = 16.如图所示,在ABC 中,90,15,ACB B DE ∠=︒∠=︒垂直平分AB ,交BC 于点E ,3cm AC =,则BE 等于 .17.如图,等边ABC ,D 为CA 延长线上一点,E 在BC 边上,且AD CE =,连接DE 交AB 于点F ,连接BD ,若45BFE ∠=︒,DBE 的面积为2,则DB = .18.如图,边长为8cm 的等边ABC 中,点D 在边AB 上,且2AD =,点E 在边BC 上,以2/s cm 的速度从B 向C 运动,点F 在边AC 上,以/s acm 的速度从C 向A 运动,则当=a 时,BDE △与CEF △全等.19.如图,六边形ABCDEF 的六个内角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于 .20.如图,AD 为等边ABC 的高,E ,F 分别为线段AD ,AC 上的动点,且AE CF =,当BF CE +取得最小值时,AFB ∠的度数为 .三、解答题21.(1)图①是折叠凳撑开时的侧面示意图,其中凳腿AC 和DB 的长度相等,O 是AC 和BD 的中点,为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开时的凳面宽度AD 设计为30cm ,求撑开时的凳腿间距BC ;(2)在(1)题条件下,为了节省空间,凳子不用时可折叠起来摆放,图②是折叠后的侧面示意图,若折叠前凳面与凳腿的夹角D ∠为60度,求折叠后凳腿的高度AC .22.如图,在ABC 中,,120,AB AC BAC AD BC =∠=︒⊥于D ,点O 是线段AD 上一点,点P 是BA 延长线上一点,且OP OC =.(1)请直接写出线段OB 和OP 之间的数量关系:______.(2)请说明: 30APO DCO ∠+∠=︒;(3)请说明:POC △是等边三角形;(4)请直接写出线段AB OA AP 、、之间的数量关系.23.郑州高铁站入口的双翼闸机如图1所示,它的双翼展开时,双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm .双翼的边缘54cm AC BD ==,且与闸机侧立面夹角30ACP BDQ ∠=∠=︒.一名旅客携带如图2长方体行李箱进站(单位:cm ).当双翼收回进闸机箱内时:(1)根据实际情况,推着______向前更容易通过闸机;A .“80100⨯”的面B .“60100⨯”的面(2)通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机.24.如图,A 、B 、C 、D 是几个城市,AB BC AC AD CD 、、、、是几条即将修建的公路,经测量:90,30ACB CBA ∠=︒∠=︒,CD AB ∥,,AD AC AB =长为20公里.(1)求ADC ∠的度数;(2)甲施工队沿A C D --方向施工,每公里造价3000万元,乙施工队沿AD 方向施工,H 为线段AD 的中点,H 处附近因条件限制只能以H 为圆心、HE 为半径修半圆形公路,AE DG 、每公里造价3500万元,半圆形公路每公里造价5000万元.甲施工队的总造价比乙施工队的总造价少230万元,求HE 的长(π 3.14)≈.25.如图,在ABC ∆中,AB AC =,120BAC ∠=︒,延长BA 至点D ,使12AD AB =,连结CD ,作BAC ∠的平分线与BDC ∠的平分线交于点E ,连结EB ,EC .(1)求证:AD CD ⊥;(2)求DBE ∠的度数;(3)求BECD 的值.参考答案:1.C2.C3.B4.B5.D6.D7.C8.A9.D10.A11.212.1513.2201914. 5 415.2016.6cm17.18.2或319.1520.105︒/105度21.(1)30cm ;(2)60cm 22.(1)OB OP =;(2)30︒;(3)略;(4)AB OA AP =+.23.(1)B(2)可以通过,略24.(1)60ADC ∠=︒(2)HE 的长为2.9米25.(1)略(2)DBE ∠=︒75(3)BECD =。
人教版八年级数学上册同步练习 13.3.2 等边三角形(1)

13.3.2 等边三角形(1)
一、自学目标
1、 了解等边三角形的定义
2、 掌握等边三角形的性质也判定
二、自学指导
认真阅读课本79-80页的内容,完成下列要求:
1、
请你用等腰三角形的性质证明等边三角形的性质 2、
在证明判定2时注意60°的角是等腰三角形的顶角或底角 3、
合作交流例4的其它证法 4、 自学后完成展示内容,20分钟后进行展示
三、展示内容
1、
一个三角形一边的中线和高线重合,那么这个三角形是__ 2、
等腰三角形顶角的外角平分线与底边的位置关系是____ 3、
一个等腰三角形有三条对称轴,那么它就是___三角形。
4、
在△ABC 中,AB =AC ,且∠A =60°,则△ABC 是___三角形。
5、 选择:下列叙述正确的是( )
A 、等腰三角形是等边三角形
B 、所有的等边三角形形状都相同,所以全等
C 、三个角之比为1:2:3的三角形是等腰三角形
D 、等边三角形的三条中线是它的三条对称轴
6、
证明:等边三角形的判定方法2.
7、O 是等边三角形ABC 内一点,∠OCB =∠ABO ,求∠BOC 的度数
9、等边三角形的三条中线交于一点,画出图中所有的全等三角形,并能说出它们是否全等?为什么?
O C B
A。
等边三角形 同步练习 人教版数学八年级上册

八年级数学13.3.2 等边三角形同步练习一、选择题1.在△ABC 中,AB=AC,∠A=60°,BC=6,则AB 的值是()A.12 B.8 C.6 D.32.如图,已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD,连接DE,则∠BDE 的度数为()A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°第2题第3题3.如图,过等边△ABC 的顶点A 作射线,若∠1=20°,则∠2 的度数是()A.100° B.80° C.60° D.40°4.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE,则∠AEB的度数为()A. 10°B. 15°C. 20°D. 12.5°第4题第6题5.下列说法错误的是()A.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边相等C.等腰三角形的角平分线,中线,高相互重合D.三个角都相等的三角形是等边三角形.6.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ADE,此时点C恰好在线段DE上,若∠B = 40°,∠CAE = 60°,则∠DAC的度数为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°7.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A等于()A.25°B.30°C.45°D.60°第7题第9题8.下列条件不能得到等边三角形的是()A. 有两个角是60∘的三角形B. 有一个角是60∘的等腰三角形C. 腰和底相等的等腰三角形D. 有两个角相等的等腰三角形9.已知如图等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC,下面的结论:①∠APO+∠DCO=30°;②∠APO=∠DCO;③△OPC是等边三角形;④AB=AO+AP.其中正确的是()A.①③④B.①②③C.①③D.①②③④10.如图所示,已知等边△ABC(三边相等,三个角都是60°)中,BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的度数是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°二、填空题11.如图,AB=AC,DB=DC,若∠ABC为60°,BE=3cm,则AB=cm.第11题第12题12.如图,△ABC中,AD为角平分线,若∠B=∠C=60°,AB=8,则CD的长度为______.13.在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,AD为△ABC的中线,则∠ADC=.14.等边三角形是轴对称图形,它的对称轴共有条.15.如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F 沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是.第15题第16题16.如图,在正△ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,将△ADE折叠,使点A落在BC边上的点F处,则∠BDF+∠CEF=______.三、解答题17.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数.(2)求证:DC=CF.18.如图,已知等边三角形ABC,延长BA至点D,延长AC至点E,使AD=CE,连接CD,BE.求证:△ACD≌△CBE.19.已知:如图,点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,AN交MC于点E,BM交CN于点F.(1)求证:AN=BM;(2)求证:△CEF为等边三角形.。
人教版八年级数学上册 13.3.2 等边三角形 同步练习(附答案)
13.3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定知识点1 三角形的性质1.如图,过等边△ABC的顶点A作射线,若∠1=20°,则∠2的度数是( )A.100° B.80°C.60° D.40°2.如图,等边△ABC的边长如图所示,那么y=.第2题图第3题图3.如图,△ABC为等边三角形,AC∥BD,则∠CBD=.4.如图,点D,E分别在等边△ABC边BC,CA的延长线上,且CD=AE,连接AD,BE.求证:BE=AD.知识点2等边三角形的判定5.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( )A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形6.如图,在△ABC中,点D是AB上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC 是等边三角形.7.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°,CE⊥AB于点D,且DE=DC.求证:△CEB 为等边三角形.8.如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( )A.15° B.30° C.45° D.60°第8题图第9题图9.如图,在等边△ABC中,M,N分别在BC,AC上移动,且BM=CN,AM与BN相交于点Q,则∠BAM+∠ABN的度数是( )A.60° B.55°C.45° D.不能确定10.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是cm.11.如图,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形ODC,连接AC和BD,相交于点E,连接BC.求∠AEB的大小.12.如图,已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC匀速运动,其中点P运动的速度是1 cm/s,点Q运动的速度是2 cm/s,当点Q到达点C时,P,Q两点都停止运动.设运动时间为t s,当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由.13.如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC.(1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由;(2)线段BD,DE,EC三者有什么关系?写出你的判断过程.第2课时含30°角的直角三角形的性质知识点含30°角的直角三角形的性质1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最小边BC=4 cm,则最长边AB的长是( ) A.5 cm B.6 cm C. 5 cm D.8 cm2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则CD等于( )A.3 B.4 C.5 D.6第2题图第3题图3.如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8 cm,则BD=,BE=.4.等腰三角形顶角为30°,腰长是4 cm,则三角形的面积是.5.如图是某房屋顶框架的示意图,其中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=120°,AD=3.5 m,求∠B,∠C,∠BAD的度数和AB的长度.6.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分AB,垂足为点E,交AC于点D,连接BD.若DE=2,则AC的长为( )A.4 B.6 C.8 D.10第6题图第7题图7.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM=( )A.3 B.4 C.5 D.68.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,交BC于点E,连接AE,BE=6 cm,则AC的长为.9.如图,在等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M.(1)求∠E的度数;(2)求证:M是BE的中点.10.某轮船由西向东航行,在A处测得小岛P的方位是北偏东75°,又继续航行7海里后,在B处测得小岛P的方位是北偏东60°.求:(1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里?(2)小岛点P方圆3海里内有暗礁,如果轮船继续向东航行,请问轮船有没有触礁的危险?请说明理由.参考答案:13.3.2 等边三角形第1课时 等边三角形的性质与判定1.B 2.3. 3.120°.4.证明:∵△ABC 是等边三角形,∴AB =AC ,∠BAC =∠ACB =60°. ∴∠BAE =∠ACD =120°. 在△BAE 和△ACD 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AE =CD ,∠BAE =∠ACD ,AB =CA ,∴△BAE ≌△ACD(SAS).∴BE =AD.5.C6.证明:∵DC =DB ,∴∠B =∠DCB =30°.∴∠ADC =∠DCB +∠B =60°. 又∵AD =DC ,∴△ADC 是等边三角形. 7.∴BC =BE.∵AC =BC ,∠ACB =120°,CE ⊥AB , ∴∠ECB =60°. 又∵BC =BE ,8.A 9.A 10.18.11.解:∵△DOC 和△ABO 都是等边三角形,且点O 是线段AD 的中点,∴OD =DC =OC =OB =OA ,∠ADC =∠DAB =60°. 在△DBA 和△ACD 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AB =DC ,∠DAB =∠ADC ,AD =DA ,∴△DBA ≌△ACD(SAS).∴∠BDA =∠CAD. ∵OD =OB , ∴∠ODB =∠OBD.又∵∠BDA +∠OBD =∠BOA =60°, ∴∠BDA =30°. ∴∠CAD =30°.∵∠AEB =∠BDA +∠CAD , ∴∠AEB =60°.12.解:△BPQ 是等边三角形.理由:当t =2时, AP =2×1=2(cm), BQ =2×2=4(cm).∴BP =AB -AP =6-2=4(cm). ∴BQ =BP.∴∠B=60°.∴△BPQ是等边三角形.13.解:(1)△ODE是等边三角形.理由:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵OD∥AB,OE∥AC.∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°.∴△ODE是等边三角形.(2)BD=DE=EC.理由:∵OB平分∠ABC,且∠ABC=60°,∴∠ABO=∠OBD=30°.∵OD∥AB,∴∠BOD=∠ABO=30°.∴∠DBO=∠DOB.∴DB=DO.同理:EC=EO.∵△ODE是等边三角形,∴DE=OD=OE.∴BD=DE=EC.第2课时含30°角的直角三角形的性质1.D2.A3.2__cm.4.4__cm2.5.解:∵AB =AC ,∴∠B =∠C =12×(180°-120°)=30°.∵AD ⊥BC ,∴∠ADB =90°,∠BAD =12∠BAC =60°.又∵∠B =30°, ∴AB =2AD =7 m. 6.B 7.C 8.3__cm . 9.解:(1)∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ACB =∠ABC =60°. 又∵CE =CD ,∴∠E =∠CDE. 又∵∠ACB =∠E +∠CDE , ∴∠E =12∠ACB =30°.(2)证明:连接BD ,∵等边△ABC 中,D 是AC 的中点, ∴∠DBC =12∠ABC =12×60°=30°.由(1)知∠E =30°,∴∠DBC =∠E =30°,∴DB =DE. 又∵DM ⊥BC ,∴M 是BE 的中点. 10.解:(1)过点P 作PD ⊥AB 于点D.∵∠PBD =90°-60°=30°,∠PAB =90°-75°=15°, ∴∠APB =30°-15°=15°.∴∠PAB =∠APB.∴BP =AB =7海里. (2)∵∠PBD =30°,∠PDB =90°, ∴PD =12PB =3.5海里.∵3.5>3,∴该轮船继续向东航行,没有触礁的危险.。
13.3.2 等边三角形 人教版数学八年级上册同步作业(含答案)
13.3.2 等边三角形 必备知识·基础练(打“√”或“×”)1.三条边都相等的三角形是等边三角形.(√)2.三个角都相等的三角形是等边三角形.(√)3.有一个角是60°的三角形是等边三角形.(×)4.有一个角等于30°的三角形,它所对的边等于最长边的一半. (×) 5.在△ABC中,若AB=BC=AC,则∠A=∠B=∠C=60°.(√)知识点1 等边三角形的性质1.如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=10,BD=6,则△ADE 的周长为( D )A.4 B.30 C.18 D.12【解析】∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AED=∠B=∠C=60°,∴△ADE为等边三角形,∵AB=10,BD=6,∴AD=AB-BD=10-6=4,∴△ADE的周长为12.2.如图,在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD=__30__°.【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=30°.∴∠BAD=123.(2020·阜新中考)如图,直线a,b过等边三角形ABC顶点A和C,且a∥b,∠1=42°,则∠2的度数为__102°__.【解析】如图,∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵∠1=42°,a∥b,∴∠2=∠1+∠BAC=42°+60°=102°.知识点2 等边三角形的判定4.(易错警示题)下列推理中,错误的是( B )A.因为∠A=∠B=∠C,所以△ABC是等边三角形B.因为AB=AC且∠B=∠C,所以△ABC是等边三角形C.因为∠A=60°,∠B=60°,所以△ABC是等边三角形D.因为AB=AC,∠B=60°,所以△ABC是等边三角形【解析】选项A,根据判定方法可知三个角相等的三角形是等边三角形,因此A是正确的;选项B,由AB=AC可推出∠B=∠C,因此它只能判定△ABC是等腰三角形,故B是错误的;选项C,可求出第三个角也是60°,因此有两个角是60°的三角形可判定为等边三角形,故C是正确的;选项D,有一个角为60°的等腰三角形,可判定为等边三角形,故D是正确的.5.(2021·长沙期中)如图,△ABC是等边三角形,DF⊥AB,DE⊥CB,EF⊥AC,求证:△DEF是等边三角形.【证明】∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°,∵DF⊥AB,DE⊥CB,EF⊥AC,∴∠DAB=∠ACF=∠CBE=90°,∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°,∴∠D=∠E=∠F=180°-90°-30°=60°,∴△DEF是等边三角形.6.(2021·北京期中)如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,D是BC 的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F为垂足,求证:△DEF是等边三角形.【证明】∵∠A=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=30°,又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°,∴∠BDE=∠CDF=60°,∴∠EDF=60°,∵D是BC的中点,∴BD=CD,在△BDE与△CDF中,{∠B=∠C,BD=CD,∠BDE=∠CDF,∴△BDE≌△CDF(ASA),∴DE=DF,∴△DEF是等边三角形.知识点3 含30°角的直角三角形的性质7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3 cm,则BD的长度是( C )A.3 cm B.6 cmC.9 cm D.12 cm【解析】在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=∠B=30°(同角的余角相等),∵AD=3 cm,在Rt△ACD中,AC=2AD=6 cm,在Rt△ABC中,AB=2AC=12 cm.∴BD=AB-AD=12-3=9(cm).8.如图,∠MON=30°,且OP平分∠MON,过点P作PQ∥OM交ON 于点Q.若点P到OM的距离为2,则OQ的长为( D )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】如图,过点P作PE⊥ON,∵OP平分∠MON,∴∠1=∠2,∵PQ∥OM,∴∠1=∠3,∠MON=15°,∴∠2=∠3=12∴OQ=PQ,∠4=30°,∴PQ=2PE=4,∴OQ=PQ=4.9.(生活情境题)如图是屋架设计图的一部分,立柱BC垂直于横梁AC,AB=12 m,∠A=30°,则立柱BC的长度为( B )A.4 m B.6 m C.8 m D.12 m【解析】∵∠ACB=90°,AB=12 m,∠A=30°,∴BC=1AB=6 m.则立柱BC的长度为6 m.210.(2021·珠海期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=3 cm,求BC的长.【解析】∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∵AB⊥AD,∴BD=2AD=2×3=6(cm),∵∠B+∠ADB=90°,∴∠ADB=60°,∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°,∴∠DAC=30°,∴∠DAC=∠C,∴DC=AD=3 cm,∴BC=BD+DC=6+3=9(cm).关键能力·综合练11.如图,在以BC为底边的等腰△ABC中,∠A=30°,AC=8,BD⊥AC,则△ABC的面积是( B )A.12 B.16C.20 D.24【解析】∵AB=AC,AC=8,∴AB=8,∵BD是高,∴∠BDA=90°,∵∠A=30°,∴BD=1AB=4,2∴△ABC的面积=1×8×4=16.212.(2021·深圳质检)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( A )A.15° B.30° C.45° D.60°【解析】∵等边三角形ABC中,AD⊥BC,∴BD=CD,即:AD是BC的垂直平分线,∵点E在AD上,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,∵∠EBC=45°,∴∠ECB=45°,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°.13.(2020·河南中考)如图,在△ABC中,AB=BC=3,∠BAC=30°,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为( D )A.63B.9C.6 D.33【解析】连接BD交AC于O,∵AD=CD,AB=BC,∴BD垂直平分AC,∴BD⊥AC,AO=CO,∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC=30°,∵AC=AD=CD,∴△ACD是等边三角形,∴∠DAC=∠DCA=60°,∴∠BAD=∠BCD=90°,∠ADB=∠CDB=30°,∵AB=BC=3,∴AD=CD=3AB=3,∴四边形ABCD的面积=2×1×3×3=33.214.(生活情境题)某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要( B )A.300a元B.150a元C.450a元D.225a元【解析】如图,作BA边的高CD,设与BA的延长线交于点D,∵∠BAC=150°,∴∠DAC=30°,∵CD⊥BD,AC=30 m,∴CD=15 m,∵AB=20 m,∴S△ABC=12AB×CD=12×20×15=150 m2,∵每平方米售价a元,∴购买这种草皮的价格是150a元.15.(2020·常州中考)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B=__30__°.【解析】∵EF 垂直平分BC ,∴BF =CF ,∴∠B =∠BCF ,∵△AFC 为等边三角形,∴∠AFC =60°,∴∠B =∠BCF =30°.16.(2021·杭州期中)如图,AD ,BE 是等边△ABC 的两条高线,AD ,BE 交于点O ,则∠AOB =__120__°.【解析】∵△ABC 是等边三角形,∴AB =AC =BC ,∠CAB =∠ABC =60°,∵AD ,BE 是等边△ABC 的两条高线,∴∠BAD =12∠BAC =30°,∠ABE =12∠ABC =30°,∴∠AOB =180°-∠BAD -∠ABE =180°-30°-30°=120°.17.如图,已知△ABC 是等边三角形,过点B 作BD ⊥BC ,过A 作AD ⊥BD ,垂足为D ,若△ABC 的周长为12,求AD 的长.【解析】∵BD ⊥BC ,在等边三角形ABC 中,∠ABC =60°,∴∠ABD =90°-60°=30°.又∵AD⊥BD,即△ABD是直角三角形,∴∠ABD所对的直角边AD是斜边AB的一半.∵等边三角形ABC的周长为12,∴其边长AB=4.∴AD=1AB=2.218.(素养提升题)(2021·广州期中)如图,已知△ABC和△CDE均为等边三角形,且点B,C,D在同一条直线上,连接AD,BE,交CE 和AC分别于G,H点,连接GH.(1)试证明AD=BE;(2)试证明△BCH≌△ACG;(3)试猜想:△CGH是什么特殊的三角形,并加以说明.【解析】(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形,∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=60°.∴∠ACD=∠ECB,∴△ACD≌△BCE,∴AD=BE.(2)∵△ACD≌△BCE,∴∠CBH=∠CAG.∵∠ACB=∠ECD=60°,点B,C,D在同一条直线上,∴∠ACB=∠ECD=∠ACG=60°.又∵AC=BC,∴△ACG≌△BCH.(3)△CGH是等边三角形,理由如下:∵△ACG≌△BCH,∴CG=CH,又∵∠ACG=60°,∴△CGH是等边三角形(有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形).模型 等边三角形判定定理1的应用模型如图,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC,AE⊥AB.求证:△ADE是等边三角形.【证明】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵AD⊥AC,AE⊥AB,∴∠ADC=∠AEB=60°,∴∠ADC=∠AEB=∠EAD=60°,∴AD=AE=DE,即△ADE是等边三角形.应用模型:在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C,∴AB=BC=CA.关闭Word文档返回原板块。
人教版八年级数学上册《13.3.2等边三角形》同步测试题带答案
人教版八年级数学上册《13.3.2等边三角形》同步测试题带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、选择题:在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.等边三角形的对称轴有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条2.下列条件不能得到等边三角形的是( )A. 有两个内角是60°的三角形B. 有一个角是60°的等腰三角形C. 腰和底相等的等腰三角形D. 有两个角相等的等腰三角形3.在△ABC中AB=AC=6,∠B=60°则△ABC的周长为( )A. 24B. 18C. 12D. 64.如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上∠DBC=35∘,则∠ADB的度数为( )A. 25∘B. 60∘C. 85∘D. 95∘5.如图,直线a//b,等边三角形ABC的顶点B在直线b上.若∠1=34°,则∠2等于( )A. 84°B. 86°C. 94°D. 96°6.等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE交于点I,则∠BIC等于( )A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°7.如图,在▵ABC中∠ACB=90∘,CD是高∠A=30∘,若BD=1,则AD长为( )A. 2B. 3C. 4D. 58.如图,E是等边ΔABC中AC边上的点∠1=∠2,BE=CD则ΔADE的形状是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 不等边三角形D. 不能确定形状9.如图,在△ABC中∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于点D,BE是∠ABC的平分线,且交AD于点P,如果AP=6,那么AD的长为( )A. 9B. 8C. 7D. 610.如图,△ABC为等边三角形AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1.AD的长是( )A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题:11.如图,在等边▵ABC中BP⊥AC于P,E是BC延长线上一点,且BP=EP,则∠E=.12.如图,▵ABC是等边三角形AD⊥BC,垂足为D.若BD=3 cm,则AB=cm.(12题)(13题)(14题)13.如图,△ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,若BC=2,则BF+CE=.14.如图,△ABC的边BC上有D、E两点,且BD=DE=EC=AD=AE,则∠BAC=______.15.腰长为2,底角为15∘的等腰三角形的面积等于.16.如图,在△ABC中∠A=120°,AB=AC,BC=6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为__cm.17.如图,在Rt△ABC中∠ABC=90°,CD⊥AB,垂足为点D,∠DCB=30°,BD=1,则AB的长为.18.如图,点D,E分别在等边ΔABC的边AB,BC上,将ΔBDE沿直线DE翻折,使点B落在B1处DB1,EB1分别交边AC于点F,G.若∠ADF=80∘,则∠CEG=.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
13.3.2 等边三角形1(含答案)
뷈
,
뷈
,
在 上取点 ,使
뷈,
在 뷈 与 中,
뷈 , 뷈
,뷈
,
뷈
,
,
뷈 ,
뷈 甘 ,
뷈 뷈
甘,
,
为等边三角形,
,
뷈 .
18.解: 1证明:在等边 뷈 中,
뷈 甘,
뷈,
뷈,
,
뷈
甘,
뷈
⺁甘 ,
甘,
是等边三角形;
易知 뷈
,
뷈 ,뷈
뷈 뷈 .
뷈 平分 뷈,
1 .
是等边三角形,
,又 뷈 . 1 뷈.
16.解:
为等边三角形.
证明: 뷈 为等边三角形, 뷈 .
뷈
在 뷈 与 中, 뷈
뷈
뷈
,뷈
.
뷈 뷈
ห้องสมุดไป่ตู้
甘,
甘,
是等边三角形.
17. 1证明: 在等边 뷈 中,
뷈
뷈 甘 , 뷈,
,
뷈 甘 ,
,
뷈
뷈 뷈 1ͳ,
在
뷈 中, 뷈 ⺁甘 ,
뷈 뷈,
뷈 뷈 1ͳ,
뷈 ͳ,
ͳ
19.解: 1 뷈 、 都是等边三角形,
뷈,
,뷈
뷈
뷈 甘,
甘,
뷈
뷈,
뷈
뷈,
뷈,
뷈 在 和 뷈 中, 뷈
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初中数学人教版八年级上册实用资料
第十三章轴对称
第7课时13.3.2等边三角形(1)
一、课前小测——简约的导入
1. 在△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则∠B=_______.
2. 等腰三角形的对称轴是().
A.顶角的平分线B.底边上的高
C.底边上的中线D.底边上的高所在的直线
二、典例探究——核心的知识
例1 等边三角形是轴对称图形,它有______条对称
轴,分别是_____________.
例2 如图1,△ABC是等边三角形,过AB边上一点
D作BC的平行线交AC于E,则△ADE•的三个内角
__ _ ___等于60°(选填“都”“不都”或“都不”).
例3(1)如图2(1)所示,若△ABC为等边三角形,
且∠1=∠2=∠3,求∠BEC的度数.
(2)如图2(2)所示,在△ABC中,∠BAC=70°,
∠ABC=50°,且同样有∠1=∠2=∠3,∠BEC•的度
数改变了吗?
三、平行练习——三基的巩固
3. 如图3,在△ABC中,AB=AC ,∠BAD=20•°,且
AE =•AD,则∠CDE=________.
4.如图4,在等边ABC
△中,点D,E分别在边
BC,AB上,且BD AE
=,AD与CE交于点F.
(1)求证:AD CE
=;
(2)求DFC
∠的度数.
5. 如图5,△ABC是等边三角形,AD为中线,AD=AE,求∠EDC的度数.
四、变式练习——拓展的思维
例4如图6,△ABC中,AB=AC,∠B=36°,D,E是BC上两点,使∠ADE=∠AED=2∠BAD,则图中等腰三角形共有个.
变式1 如图7,△ABC中,角平分线BO与CO的相交点O,OE∥AB,OF∥AC,BC=10,求△OEF 的周长.变式2如图8,在等边三角形ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OE∥AB,OF∥AC,试说明BE= EF=FC.
五、课时作业——必要的再现
6.如图9,已知△ABC是等边三角形,点O是BC 上任意一点,OE,OF分别与两边垂直,等边三角形的高为1,则OE+OF的值为().
A.
1
2
B.1 C.2 D.不确定
图9
7. 如图10,O为等边三角形ABC内一点,∠OCB =∠ABO,求∠BOC的度数.
8. 如图11,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,AB 的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,求证:BM=MN=NC.
4.等边三角形给人以“稳如泰山”的美感,它具有
独特的对称性.请你用三种
..不同的分割方法,将以下
三个等边三角形分别分割成四个等腰三角形
........(在图12中画出分割线,并标出必要的角的度数)
答案
1. 1. 60°.
2. D.
例1 三,三边的垂直平分线.
例2都.
例3(1)∵△ABC是等边三角形.
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
∵∠BED是△BEC的外角,
∴∠BED=∠2+∠BCE.
又∵∠2=∠3,
∴∠BED=∠3+∠BCE=∠ACB=60°,
∴∠BEC=180°-∠BED=120°.
故∠BEC的度数为120°;
(2)∠BEC的度数没有改变,还是120°.
3. 10°.
4.(1)∵△ABC为等边三角形,
∴AC=AB,∠CAE=∠ABD. ∵AE=BD,∴△ABD≌△CAE,
∴AD CE
;
(2)由(1)可得△ABD≌△CAE,
∴∠ACE=∠BAD,
∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°.
5. ∵△ABC为等边三角形,AD为中线,
∴∠DAE=
1
2
∠BAC=
1
2
×60°=30°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=
1
2
×(180°-∠DAE)
=
1
2
×(180°-30°)=75°.
∵∠AED=∠EDC+∠C,
∴∠EDC=∠AED-∠C=75°-60°=15°.
例4 6个.
变式1 ∵BO,CO分别平行∠ABC,∠ACB,
∴∠ABO=∠OBE,∠ACO=∠OCF.
∵OE∥AB,OF∥AC,
∴∠ABO=∠BOE,∠ACO=∠COF,
∴∠OBE=∠BOE,∠OCF=∠COF,
∴OE=BE,OF=CF,
∴△OEF的周长为BE+EF+FC= BC=10.
变式2 ∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵OE∥AB,OF∥AC,
∴∠OEF=∠ABC=60°,∠OFE=∠ACF=60°,
∴∠OEF=∠OFE,
∴∠EOF=60°,即△OEF为等边三角形.
∴OE=OF=EF.
∵BO,CO分别平行∠ABC,∠ACB,
∴∠ABO=∠OBE,∠ACO=∠OCF.
∵OE∥AB,OF∥AC,
∴∠ABO=∠BOE,∠ACO=∠COF,
∴∠OBE=∠BOE,∠OCF=∠COF,
∴OE=BE,OF=CF,
∴BE=EF=FC.
6. B.
7. ∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∵∠OCB=∠ABO,∠ABC=∠ABO+∠OBC, ∴∠OCB+∠OBC=60°,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-60°=120°.
8.如图1所示,连结AM,AN,
∵AB=AC,∠A=120°, ∴∠B=∠C=30°.
∵ME 垂直平分AB ,NF 垂直平分AC , ∴AM=BM,AN=CN,∠BAM=∠B=30°,∠NAC= ∠NCA=30°,∠MAN=60°,
∴△ABM ≌△CAN ,即AM=BM=AN=CN, ∴△MAN 为等边三角形,即AM=AN=MN, ∴BM=MN=NC.
图1 9.如图2所示:
E A
B C M N
F。