1622分式加减第一课时
初中数学八年级下册《16.2.2 分式的加减-》PPT课件
习1 1回6a2c 顾
找分式的最简公分母是:
与1 12abc2
48a2bc 2
1
与1
x2 2x 1 x2 x
x(x 1)(x 1)2
观察、思考:
12
1
分式的加减法与 5 5
5
分数的加减法实 质相同，类比分
12 3 55 5
数的加减法，你 a b a b
x2
y2
x y
yx
解：原式 x2 y2 xy xy
x2 y2 xy
(x y)(x y) xy
xy
11 32 5 23 66 6
11 32 1
23 66 6
a c ad bc ad bc
b d bd bd
bd
(2) 异分母分式相加减，先通 分，变为同分母的分式再加减。
x2
1
x 1 x 1
x2 1
x 1 (x 1)(x 1)
x 1
x 1
方 法
(1)
12
2
m2 9
3 m
(2)a b a2 b2 1 ab ba
（3） ( x x2
2 2x
x2
x 1 4x
) 4
4 x2
x 2x
（4）(a2 b2 a b )
a b
a b
a2 b2 a2 b2
a b
分母看 为“1”
2b2
a b
计算： a2 a b a b
解：原式 a2 (a b ) a b
15.2.2 分式的加减(第1课时)学案设计
第十五章分式15.2.2 分式的加减(第1课时)学习目标1.经历探索分式加减运算法则的过程,理解其算法、算理,会进行简单分式的加减运算,具有一定的代数化归能力.2.学习过程中不断总结运算方法和技巧,提高运算能力,增强“用数学”的意识.学习过程一、自主学习问题1:分式是如何进行乘除的?他们与分数乘除类似吗?问题2:从完善运算的角度出发,分式的运算还需要研究什么吗?问题3:从甲地到乙地有两条路,每条路都是3 km,其中第一条是平路,第二条有1 km的上坡路,2 km的下坡路,小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么(1)当走第二条路时,她从甲地到乙地需要多长时间?(2)她走哪条路花费时间少?少用多长时间?二、深化探究活动1:找朋友(把运算结果相等的找出来):①45-15;②215+815;③43+23;④23;⑤2;⑥35.活动2:继续找朋友:①4m ;②3a-1a;③7m-3m;④3n-1-2n-1;⑤1n-1;⑥2a.活动3:计算:(1)5x+3yx-y -2xx-y;(2)yx-y+xy-x;(3)2xy2+1(x-y)-1+2x2y (y-x).活动4:有了前面的经验,你能计算yx-y +xx+y吗?归纳:异分母分式的加减法则是怎样的?三、练习巩固【例1】计算:(1)12p+3q +1 2p-3q;(2)3x+2+12-x+2xx-4;(3)2x2x-1-x-1.巩固练习:教材第141页的练习2四、深化提高走进生活:1.甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项任务的几分之几?2.2001年、2002年、2003年某地的森林面积(单位:公顷)分别是S1,S2,S3,2003年与2002年相比,森林面积增长率提高了多少?请你决策:甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化,两位采购员的购货方式也不同,其中,甲每次购买1 000千克,乙每次用去800元,而不管购买多少饲料.(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少?(2)谁的购货方式更合算?回归导入:请解答本课开始的问题3.参考答案一、自主学习问题1:ba ×dc=bdac,ba÷dc=ba·cd=bcad,它们与分数的乘除类似.问题2:数的运算有加、减、乘、除、乘方,估计分式的运算也有这类运算,所以估计还需要研究分式的加减运算.问题3:(1)1v +23vh;(2)1v+23v-32vh.二、深化探究活动1:①与⑥,③与⑤,②与④.活动2:①与③,②与⑥,④与⑤.活动3:计算:(1)5x+3yx2-y2-2xx2-y2=5x+3y-2xx2-y2=3x+3yx2-y2=3(x+y)(x+y)(x-y)=3x-y;(2)yx-y +xy-x=yx-y+x-(x-y)=yx-y-xx-y=y-xx-y=-(x-y)x-y=-1;(3)2xy2+1(x-y)2-1+2x2y(y-x)2=2xy2+1(x-y)2-1+2x2y(x-y)2=2xy2+1-(1+2x2y)(x-y)2=2xy2-2x2y(x-y)2=-2xy(x-y)(x-y)2=-2xyx-y.活动4:yx-y +xx+y=y(x+y)(x-y)(x+y)+x(x-y)(x+y)(x-y)=xy+y2+x2-xy(x+y)(x-y)=x2+y2x-y.归纳:异分母分式的加减法则:先通分,变为同分母的分式,再加减.用式子表示为a b ±cd=adbd±bcbd=ad±bcbd.三、巩固练习【例1】计算:(1)原式=2p-3q(2p+3q)(2p-3q)+2p+3q(2p+3q)(2p-3q)=2p-3q+2p+3q(2p+3q)(2p-3q)=4p4p-9q;(2)原式=3x+2-1x-2+2x(x+2)(x-2)=3(x-2)(x+2)(x-2)-x+2(x+2)(x-2)+2x(x+2)(x-2)=3(x-2)-(x+2)+2x(x+2)(x-2)=3x-6-x-2+2x(x+2)(x-2)=4x-8(x+2)(x-2)=4x+2;(3)原式=2x2x-1-x+11=2x2x-1-(x+1)(x-1)x-1=2x2-(x+1)(x-1)x-1=2x2-(x2-1)x-1=2x2-x2+1x-1=x2+1x-1.巩固练习:(1)原式=2c+3d6c d;(2)原式=22m-n;(3)原式=ba-b;(4)1a-1.四、深化提高走进生活:1.1n+1n+3=n+3n(n+3)+nn(n+3)=2n+3n2+3n.2.S3-S2S2-S2-S1S1=S1S3-S1S2S1S2-S22-S1S2S1S2=S1S3-S1S2-(S22-S1S2)S1S2=S1S3-S22S1S2.请你决策:(1)设两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克(m,n是正数,且m≠n).甲两次购买饲料的平均单价为1 000m +1 000n 1 000×2=m +n 2(元/千克), 乙两次购买饲料的平均单价为800×2800m +800n =2mn m +n (元/千克).(2)甲、乙两种饲料的平均单价的差是m +n 2-2mn m +n =(m +n )22(m +n )-4mn 2(m +n )=m 2+2mn +n 2-4mn2(m +n )=(m -n )22(m +n ). 由于m ,n 是正数,因为m ≠n 时,(m -n )22(m +n )也是正数,即m +n 2-2mnm +n >0,因此乙的购买方式更合算.回归导入: (1)小丽走第二条路时,她从甲地到乙地需要的时间为1v +23v =33v +23v =3+23v =53v(h ). (2)小丽走第一条路所用的时间为32v h .作差可知53v -32v =106v -96v =16v >0.所以小丽走第一条路花费的时间少,少用16v h .。
初中八年级数学 16.2.2分式的加减
（3）分子去括号，合并同类项；
（4）分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式
第三步；例题讲解
（P20）例6.计算
[分析] 第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比较简单；第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积.
分式通分时，要注意几点：
（1）如果各分母的系数都是整数时通分，常取它们的系数的最小公倍数，作为最简公分母的系数；
（2）若分母的系数不是整数时，先用分式的基本性质将其化为整数，再求最小公倍数；
（3）分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号提取到分式前面；
（4）若分母是多项式时，先按某一字母顺序排列，然后再进行因式分解，再确定最简公分母。
1． P18问题3与问题4
是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的 .这样引出分式的加减法的实际背景
问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.
=
=
=
第四步：随堂练习
计算(1) （2）
（3） （4）
答案：（1） （2） （3） （4）1
第五步：课后练习
计算（1） (2)
(3) (4)
答案；(1) (2) （3）1 （4）
课后小结：
课后反思：
16．2．2分式的加减（一)
教学目标
（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算.
（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母分式相加减.
15.2.2分式的加减(第1课时)教学PPT
四、强化训练
计算
（1） x2 4 x2 x2
（2）x 2 x 1 x 3 x 1 x 1 x 1
(3) x2 y2
xy yx
(4)
a
1 1
1
2 a2
五、布置作业 习题15.2
本课结束
二、新课讲解
归纳总结
〔1〕注意分数线有括号的作用，分子相加减时， 要注意添括号．
〔2〕把分子相加减后，如果所得结果不是最简 分式，要约分．
二、新课讲解
例 计算：
(1)
5x x2
3y y2
2x x2 y2
解:
(1)原式
5x 3y 2x x2 y2
3x 3y x2 y2
3 x y
二、新课讲解
1、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
先通分，变为同分母的
〔2〕把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分．
2021年的森林面积增长率是__________, 分母不变,把分子相加减.
分数，再加减.
〔1〕注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号．
同分母分数加减法的法那么如何表达？
s 2 s1
2021年的森林面积增长率是_____s_1____,
2021年与2021年相比,森林面积增长率提高了
s3 s2 s2 s1 __s_2_______s1_.
二、新课讲解
知识讲解
请计算： 1 2 ？ 1 2 ？
55
55
1.同分母分数加减法的法那么如何表达？
2.你认为 a b ? a b ？
(2)
1
1
2 p 3q 2 p 3q
(2)原式 2 p 3q 2 p 3q (2 p 3q)(2 p 3q) (2 p 3q)(2 p 3q)
初中八年级下册第十六章《1622分式的加减》共4页
新课标人教版初中八年级下册第十六章《16.2.2分式的加减》精品教案一、教学过程(一)复习提问1．什么叫通分？2．通分的关键是什么？3．什么叫最简公分母？4．通分的作用是什么？(引出新课)(二)新课1．同分母的分式加减法．由学生类比同分母分数加减法小结同分母分式加减法法则，训练学生使用数学语言．文字叙述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．2．由学生小结异分母的分式加减法法则．文字叙述：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．例1 计算：小结：(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号．(2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分．例2 计算：请学生分析：(1)分母是否相同？(2)如何把分母化为相同的？小结：注意符号问题．例3 计算：由学生分析解法：①通分；②加减．请学生观察题目特点，通过讨论，得到最简洁的解法．(三)课堂小结1．同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．2．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．3．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．4．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式．(四)课堂练习教材P.83．1、2、3(1)、(3)、(5)．学生板演，并相互纠错．二、作业三、板书设计16.2.2分式的加减（2）一、教学过程(一)复习提问分式加减法法则．(二)新课分式混合运算．例1 计算：解：小结：1．对于混合运算，一般应按运算顺序，有括号先做括号中的运算，若利用乘法对加法的分配律，有时可简化运算，而合理简捷的运算途径是我们始终提倡和追求的．2．对每一步变形，均应为后边运算打好基础，并为后边运算的简捷合理提供条件．可以说，这是运算能力的一种体现．3．当通分熟练之后，有些步骤可以同时进行．4．注意约分时的符号问题．例2 计算：由学生板演．解：=-a-1．解：解：(三)练习教材P.22中1、2．二、作业三、板书设计希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。
八年级数学下册162分式的运算1622分式的加减法教案华东师大版
回忆：如何计算5251+、6141+，从中可以得到什么启示？16.2.2 分式的加减法教学目标：1、知识与技能：使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算。
2、过程与方法：通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式通分，培养学生分式运算的能力。
3、情感态度与价值观：渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的能力。
教学重点：让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。
教学难点：分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。
教学过程：一、实践与探索1、回忆：同分母的分数的加减法法则： 同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减。
2、试一试：计算：（1）a a b 2+；（2）ab a 322- 3、总结一下怎样进行分式的加减法？ 概括：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.二、例题1、例3计算：xy yx xy y x 22)()(--+2、例4 计算：1624432---x x .分析．． 这里两个加项的分母不同，要先通分.为此，先找出它们的最简公分母.注意到162-x =)4)(4(-+x x ,所以最简公分母是)4)(4(-+x x解 1624432---x x＝)4)(4(2443-+--x x x ＝)4)(4(24)4)(4()4(3-+--++x x x x x ＝)4)(4(24)4(3-+-+x x x＝)4)(4(123-+-x x x ＝)4)(4()4(3-+-x x x ＝43+x三、练习：P9第1题（1）（3）、第2题（1）（3）四、作业：P9习题17.2第2、3、4题五、教学反思：1、同分母分式的加减法：类似于同分母的分数的加减法；2、异分母分式的加减法步骤：①. 正确地找出各分式的最简公分母。
求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母为底的幂的因式都要取；（3）相同字母的幂的因式取指数最大的。
八年级上册数学教学课件15.2.2分式的加减 第1课时分式的加减
工程的___n___，乙工1程队单独工作一天 可完成这项工程的_n_+_3___，两个工程队 共同工作一天可以完成这项工程的
11 __n__+__n_+_3____.
新知导入
填一填：回顾所学知识，完成下面内容。
（2）2009年、2010年、2011年某地的森林覆盖面积 （单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年 相比，森林覆盖面积增长率提高了多少？
a c ad bc ad bc b d bd bd bd
12 3 55 5
分子相加 分母不变
a b a+b cc c
32 1 55 5
分子相减
a b a-b cc c
分母不变
课程讲授
1 同分母分式相加减
同分母分式加减法运算法则： 同分母分式相加减，分母_不__变__，把分子_相__加__减__.
a b ab cc c
课程讲授
1 同分母分式相加减
例
计算：
(1)
5x x2
3y y2
2x x2 y2
；
解：原式= (5x 3y) 2x x2 y2
3x 3y = x2 y2
3(x y) = (x y)(x y) = 3；
x y
课程讲授
1 同分母分式相加减
练一练：化简 m2 9 的结果是（ A ）
m3 m3 A.m+3
B.m-3
6ab 6ab 6ab
(2)原式=
1 a 1
2 a2 1
a
1 1
a
2
1 a
1
a
a 1
1 a
1
a
初中数学八年级下册《16.2.2 分式的加减》课件
计算：
12 55
【同分母的分数加减法的法则】
同分母的分数相加减，分母不变,分子相加减。
问题1：猜一猜, 同分母的分式应该如何加减？ 【如同：分a1 母的a2分式?加a3减法的法则】
同分母的分式相加减，分母不变,分子相加减。
同分母分式加减法法则 与同分母分数加减
法的法则类似
探究合作
a2
2、对每一步变形，均应为后边运算打好 基础，并为后边运算的简捷合理提供条 件．可以说，这是运算能力的一种体
延伸拓展
链接一：甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地到 乙地按v千米/时的速度行驶，若按(v+a)千米/ 链时接的二速：度若行驶m，n可n ，提则前43 多的少值小mn等时于到（达？）
A. 7 4
2 x2
1; x2
(9)
12 m2
9
2 3 m
;
(10) a 2 b2 ab
ab ab
b2 a2
;
(11)1 1 ; x 1
(12) x 2 x2 . x2
4
2、计算：a 2
4
2
1
a
，并求当a＝－３时原式
3、的阅值读。下面的计算过程。
=
式a 2的b2相 b2分计如交讨小
分同母算何流论组
（6）
探究归纳
同分母分式加减的基本步骤： 1、分母不变，把分子相加减 （1）如果分式的分子是多项式，一定要加上括号 （2）如果是分子式单项式，可以不加括号 2、分子相加减时，应先去括号，再合并同类项
探究活动
问题2：想一想，异分母的分数如何加减？
1(1、) 计1 算x：;
分式的加减(第一课时)
当分子和分母同时乘以或除以同一 个不为0的整式时，分式的值不变。 如 $frac{a}{b} = frac{ac}{bc}$ （$b, c neq 0$）。
02 同分母分式加减法
同分母分式加法法则
01
02
03
04
法则一
同分母分式相加，分母不变， 分子相加。
示例
$frac{a}{c} + frac{b}{c} = frac{a+b}{c}$
将相减后的结果化简，得到最简分数。
04 复杂分式加减法技巧
提取公因式法
观察分子和分母，找 出可以提取的公因式。
注意提取公因式后， 剩余部分是否还能继 续简化。
提取公因式，简化分 式。
拆分法
将复杂分式拆分成几个简单分式的和或差。
分别对每个简单分式进行加减运算。
将结果合并为一个分式。
凑整法
观察分子和分母，寻找可以凑整的部分。 通过加减运算，使分子或分母变成整数。
分式基本性质
分母不为0
分式的分母不能为0，否则分式没 有意义。
符号法则
当分子和分母同号时，分式为正 ；当分子和分母异号时，分式为
负。
01
03
02 04
分数线的运算性质
分数线具有除法运算的性质，如 $frac{a}{b} div frac{c}{d} = frac{a}{b} times frac{d}{c}$。
法则二
若分子相加结果为0，则整个 分式为0。
示例
$frac{a}{c} + (-frac{a}{c}) = frac{a-a}{c} = 0$
同分母分式减法法则
法则一
示例
法则二
1622分式加减教学设计
16.2.2分式加减教学设计-------教学设计中的解决策略大连博伦中学王小双2010年9月19日新人教版八年级下册16.2.2分式的加减教学设计-----教学设计中的解决策略一、内容和内容解析内容：分式加减(人民教育出版社《义务教育课程标准实验教科书》八年级下册第十六章第二节第一课时)——同分母的分式相加减及简单的异分母的分式相加减内容分析（宏观方面和微观方面）《第十六章分式》是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念，分式或分式方程具有整式和整式方程不可替代的作用，也是学生构建知识体系中不可缺少的重要部分。
从整式到分式，是初中代数领域的一次重要扩充，对今后学习数学有重要意义。
在前一个学段，学生已经完成了分数的学习。
为了更好地反映一般规律，人们又抽象出分式的概念，这是一种从数到式的抽象。
分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般之间的关系，即相对于分式而言分数就是具体的、特殊的基本对象，分式时把具体的分数一般化后的抽象代表。
根据这种关系，分式加减运算法则等应该与分数加减运算法则等对应，可以通过特殊到一般及类比思想方法方式进行教学。
在数学教学中，以数学公理、定理、公式、法则及数学对象的性质等为主要内容的新授课教学统称为命题新授课。
本节属于命题性新授课。
教学重点：简单的同分母分式、异分母分式的加减运算。
二、目标及目标解析目标：1、理解并掌握分式加减法则2、会运用分式加减法则进行简单的分式加减运算。
目标解析：1、在探究分式加减法法则的过程中，领会同分母分式和异分母分式的结果特点及运算方式。
2、能观察异分母分式的分母特点，找到它们的最简公分母，并运用分式的性质进行通分。
3、能用分式加减法法则解决其他情境中的问题。
三、教学问题诊断分析本章所讨论的主要内容是分式，分式的形式具有抽象性、多样性，分式是分数的延续，同时又是分式方程的基础。
学生掌握分数的加减法运算法则，能进行分数的加减运算。
同时学生初步掌握了类比、整体的思想方法，他们可以通过类比分数的运算法则得到分式的运算法则。
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5555Βιβλιοθήκη 1、同分母分数加减法的法则如何叙述？
2、你认为 a b ? a b ？
cc
cc
3、猜一猜, 同分母的分式应该如何加减?
【同分母的分数加减法的法则】同分母的分数相加减， 分母不变,分子相加减.
【同分母的分式加减法的法则】同分母的分式相加减， 分母不变,分子相加减.
⑴课本P16例6（2） 1 1 2 p 3q 2 p 3q
补充例题：
⑵
2 3x2
3 2y
5 6xy
2
（分母为单项式）
计算 :
(1)
b 3a
a 2b
;
(2)
a
1
1
1
2 a2
.
解
: 1
原式
2b2 6ab
3a2 6ab
2b2 3a2 6ab
;
2
原式
a
1
1
2 a2 1
a
1
1
a
2
1a
1
a
x2
2
x
2.
(2)
x2 x1
x x
1 1
x3 x1
? x
2 x 1 x 3
x1
x
2 x1 x1
x3
x
x
1
.
（ 1） 2a b 2a b b 2a
（ 2） a b a2 b 2 b a ab
（ 3） 1 1 x3 x3
（ 4） a 1 a2 b2 a b
例4、先化简，再求值:其中x=3
（1）异分母的分数如何加减？
比如： 1 1 ？ 1 1 ？
23
23
(通分,将异分母的分数化为同分母的分数)
（2）你认为异分母分式的加减应该如何进行？
比如 :
3 1 ？ 3 1 ？
a 4a
a 4a
b d bc ad bc ad a c ac ac ac
例2 计算（异分母的分式相减）
(4) y x -1
xy xy
例 1 计算 ：
把分子看作
(1)
5a2b ab2
3
3a2b ab2
5
8
a2b ab2
一个整体， 先用括号括
起来！
解：原式= (5a2b 3) (3a2b 5) (8 a2b) ab2
5a2b 3 3a2b 5 8 a2b
=
a 2b = ab2
ab2
注意：结果要 化为最简分式！
a
=b
2、例题分析，新知应用
课例本1 计P1算6（例同6（分1母）的5x分x2 式 相3yy减2 ）
x
2
2x y
2
补充：
⑵
3b a a2 b2
a 2b a2 b2
3a 4b b2 a2
（分母为多项式）
⑶ 3a 2b a b b a（分母为单项式）
5a2b 5a2b 5a2b
a1
1a
1
a
2
1a
1
a
a3
1a
1
a3 a2 1
.
3、综合拓展
m 5 m 6 2
例3、化简求值
m3 m2 9 m3
其中
（ 1） x 2 y 2 xy yx
x2 y2 xy xy
x2 y2 xy
(x y)(x y) xy
xy
小结：本节课你的收获是什么？
（1）分式加减运算的方法思路：
x2 1 x 1
,
x2 2x 2x x2
异分母 相加减
通分 转化为
同分母 分母不变 分子（整式）
相加减 转化为
相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项 式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来， 再运算，可减少出现符号错误。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。
做一做
(1)
x2 x2
x
4
2
?xx224
x
2x
即： a b a b
cc c
计算： (1)
3b x
b x
;
(2)
aa ab ab
;
解 : (1)
原式
3b b x
2b x
;
(2)
原式
a
a
b
a
a
b
2a ab
.
(1) m y c m y c
x xx
x
(2) m n d m n d
2abc 2bca 2cab
2abc
(3) a b a b xy xy x y