2015年高考第一轮复习数学：4.6 三角函数的图象与性质(二)

4.6 三角函数的图象与性质（二）●知识梳理注：读者自己填写.2.图象与性质是一个密不可分的整体，研究性质要注意联想图象.●点击双基 1.函数y =sin （3π－2x ）+sin2x 的最小正周期是 A.2πB.πC.2πD.4π解析：y =23cos2x －21sin2x +sin2x =23cos2x +21sin2x =sin （3π+2x ），T =π. 答案：B2.若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是 A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x解析：检验. 答案：B3.（2004年天津，理9）函数y =2sin （6π－2x ）（x ∈［0，π］）为增函数的区间是A.［0，3π］ B.［12π，12π7］ C.［3π，6π5］D.［6π5，π］ 解析：由y =2sin （6π－2x ）=－2sin （2x －6π）其增区间可由y =2sin（2x －6π）的减区间得到，即2k π+2π≤2x －6π≤2k π+2π3，k ∈Z . ∴k π+3π≤x ≤k π+6π5，k ∈Z . 令k =0，故选C. 答案：C4.（2005年北京东城区高三期末检测题）把y =sin x 的图象向左平移3π个单位，得到函数____________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数____________的图象. 解析：向左平移3π个单位，即以x +3π代x ，得到函数y =sin （x +3π），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以21x 代x ，得到函数：y =sin （21x +3π）. 答案：y =sin （x +3π） y =sin （21x +3π）5.函数y =lg （cos x －sin x ）的定义域是_______. 解析：由cos x －sin x ＞0⇒cos x ＞sin x .由图象观察，知2k π－4π3＜x ＜2k π+4π（k ∈Z ）.答案：2k π－4π3＜x ＜2k π+4π（k ∈Z ） ●典例剖析【例1】 （1）y =cos x +cos （x +3π）的最大值是_______； （2）y =2sin （3x －4π）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.剖析：（1）y =cos x +21cos x －23sin x=23cos x －23sin x =3（23cos x －21sin x ）=3sin （3π－x ）.所以y max =3.（2）T =3π2，相邻对称轴间的距离为3π. 答案：33π【例2】 （1）已知f （x ）的定义域为［0，1），求f （cos x ）的定义域；（2）求函数y =lgsin （cos x ）的定义域. 剖析：求函数的定义域：（1）要使0≤cos x ≤1，（2）要使sin （cos x ）＞0，这里的cos x 以它的值充当角.解：（1）0≤cos x ＜1⇒2k π－2π≤x ≤2k π+2π，且x ≠2k π（k ∈Z ）.∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2π，2k π+2π］且x ≠2k π，k ∈Z ｝.（2）由sin （cos x ）＞0⇒2k π＜cos x ＜2k π+π（k ∈Z ）.又∵－1≤cos x ≤1，∴0＜cos x ≤1.故所求定义域为{x ｜x ∈（2k π－2π，2k π+2π），k ∈Z ｝. 评述：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.【例3】 求函数y =sin 6x +cos 6x 的最小正周期，并求x 为何值时，y 有最大值.剖析：将原函数化成y =A sin （ωx +ϕ）+B 的形式，即可求解.解：y =sin 6x +cos 6x =（sin 2x +cos 2x ）（sin 4x －sin 2x cos 2x +cos 4x ）=1－3sin 2x cos 2x =1－43sin 22x =83cos4x +85. ∴T =2π. 当cos4x =1，即x =2πk （k ∈Z ）时，y max =1. 深化拓展函数y =tan （ax +θ）（a ＞0）当x 从n 变化为n +1（n ∈Z ）时，y 的值恰好由－∞变为+∞，则a =_______.分析：你知道函数的周期T 吗? 答案：π ●闯关训练 夯实基础1.（2004年辽宁，11）若函数f （x ）=sin （ωx +ϕ）的图象（部分）如下图所示，则ω和ϕ的取值是xy 2ππO 33-1A.ω=1，ϕ=3π B.ω=1，ϕ=－3πC.ω=21，ϕ=6πD.ω=21，ϕ=－6π 解析：由图象知，T =4（3π2+3π）=4π=ωπ2，∴ω=21.又当x =3π2时，y =1，∴sin （21×3π2+ϕ）=1，3π+ϕ=2k π+2π，k ∈Z ，当k =0时，ϕ=6π. 答案：C2.（2004年北京海淀区二模题）f （x ）=2cos 2x +3sin2x +a （a 为实常数）在区间［0，2π］上的最小值为－4，那么a 的值等于 A.4B.－6C.－4D.－3解析：f （x ）=1+cos2x +3sin2x +a =2sin （2x +6π）+a +1. ∵x ∈［0，2π］，∴2x +6π∈［6π，6π7］. ∴f （x ）的最小值为2×（－21）+a +1=－4. ∴a =－4. 答案：C 3.函数y =3sinx-的定义域是_________. 解析：－sin 3x ≥0⇒sin 3x ≤0⇒2k π－π≤3x≤2k π⇒6k π－3π≤x ≤6k π（k ∈Z ）.答案：6k π－3π≤x ≤6k π（k ∈Z ）4.（2005年北京海淀区高三期末练习题）函数y =tan x －cot x 的最小正周期为____________.解析：y =x x cos sin －x x sin cos =－2cot2x ，T =2π. 答案：2π 5.（2004年全国Ⅰ，17）求函数f （x ）=xx x x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++的最小正周期、最大值和最小值.解：f （x ）=xx xx x x cos sin 22cos sin cos sin 22222--+）（=）（x x x x cos sin 12cos sin 122--=21（1+sin x cos x ） =41sin2x +21， 所以函数f （x ）的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 6.已知x ∈［4π3，2π3］，函数y =cos2x －sin x +b +1的最大值为89，试求其最小值.解：∵y =－2（sin x +41）2+817+b ， 又－1≤sin x ≤22，∴当sin x =－41时， y max =817+b =89⇒b =－1； 当sin x =22时，y min =－22. 培养能力7.求使θsin 1-=2sin （2θ－4π）成立的θ的区间. 解：θsin 1-=2sin （2θ－4π）⇒22cos 2sin ）（θθ-=2（22sin 2θ－22cos 2θ）⇒｜sin 2θ－cos 2θ｜=sin 2θ－cos2θ⇒sin2θ≥cos 2θ⇒2k π+4π≤2θ≤2k π+4π5（k ∈Z ）. 因此θ∈［4k π+2π，4k π+4π5］（k ∈Z ）.8.已知方程sin x +cos x =k 在0≤x ≤π上有两解，求k 的取值范围.解：原方程sin x +cos x =k ⇔2sin （x +4π）=k ，在同一坐标系内作函数y 1=2sin （x +4π）与y 2=k 的图象.对于y =2sin （x +4π），令x =0，得y =1.∴当k ∈［1，2）时，观察知两曲线在［0，π］上有两交点，方程有两解.评述：本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数，应重视这种方法.探究创新9.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧>≥.sin cos cos cos sin sin ）（），（x x x x x x（1）画出f （x ）的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；（2）判断f （x ）是否为周期函数.如果是，求出最小正周期. 解：（1）实线即为f （x ）的图象.单调增区间为［2k π+4π，2k π+2π］，［2k π+4π5，2k π+2π］（k ∈Z ），单调减区间为［2k π，2k π+4π］，［2k π+2π，2k π+4π5］（k ∈Z ），f （x ）max =1，f （x ）min =－22. （2）f （x ）为周期函数，T =2π.●思悟小结1.三角函数是函数的一个分支，它除了符合函数的所有关系和共性外，还有它自身的属性.2.求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误.●教师下载中心 教学点睛1.知识精讲由学生填写，起到回顾作用.2.例2、例4作为重点讲解，例1、例3诱导即可. 拓展题例【例1】 已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是 A.若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β D.若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β 解析：借助三角函数线易得结论. 答案：Ｄ【例2】 函数f （x ）=－sin 2x +sin x +a ，若1≤f （x ）≤417对一切x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.解：f （x ）=－sin 2x +sin x +a=－（sin x －21）2+a +41. 由1≤f （x ）≤417⇒1≤－（sin x －21）2+a +41≤417 ⇒a －4≤（sin x －21）2≤a －43.①由－1≤sin x ≤1⇒－23≤sin x －21≤21 ⇒（sin x －21）2max =49，（sin x －21）2min =0. ∴要使①式恒成立，只需⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-494304a a ⇒3≤a ≤4.。