(完整版)高三圆锥曲线知识点总结
第八章 《圆锥曲线》专题复习
一、椭圆方程.
1. 椭圆的第一定义：
为端点的线段
以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,
2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+
2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x 轴上：
)
0(12
22
2 b a b
y a
x =+
. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：
)0(12
22
2 b a b
x a
y =+
.
②一般方程：)0,0(12
2
B A By Ax =+.③椭圆的参数方程：
2
22
2+
b y a x ⎩⎨
⎧==θ
θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π
θ ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2
2
21,2b a c c F F -==.⑤准线：c
a x 2
±=或
c a y 2±=.⑥离心率：)10( e a
c
e =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆
)0(12
22
2 b a b
y a
x =+
上的一点，21,F F 为左、右焦点，则：
证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002
200201 x a ex x c
a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起
来为“左加右减”.
ii.设),(00y x P 为椭圆
)0(12
22
2 b a a
y b
x =+
上的一点，21,F F 为上、下焦点，则：
⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 2
22b d a
=；坐标：22(,),(,)b b c c a a -
4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12
22
2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a
c
e -==
，方程
t t b y a x (2
22
2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a
c
e =
我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5．若P 是椭圆：
12
22
2=+
b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为
2
tan
2θ
b （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2
cot
2θ
⋅b .
1020
,PF a ex PF a ex
=+=-1020
,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α)
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
的一个端点的一条射线
以无轨迹
方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-
2．双曲线的方程：
①双曲线标准方程：
)0,(1),
0,(12
22
22
22
2 b a b x a y b a b y a x =-
=-
. 一般方程：
)0(122 AC Cy Ax =+.
3．双曲线的性质：
①i. 焦点在x 轴上： 顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c
a x 2
±= 渐近线
方程：0=±b y
a x 或02222=-
b y a x ii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(
c c -. 准
线方程：c a y 2
±=. 渐近线方程：0=±b x a y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩
⎨⎧==θθtan sec b y a x 或
⎩
⎨
⎧==θθ
sec tan a y b x . ②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a c
e =. ④准线距
c a 22（两准线的距离）；通径a b 22. ⑤参数关系a
c
e b a c =+=,222. ⑥焦半径公式：对于双曲线
方程
12
22
2=-
b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
a
ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-
a
ex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半
a
ey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'
-='+'
-='+=-=02010201
4． 等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . 5．共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-22
22b y a x 与λ-=-2222b
y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
02
22
2=-
b
y a
x .
6．共渐近线的双曲线系方程：
)0(2
22
2≠=-
λλb y a x 的渐近线方程为
02
22
2=-
b y a x 如果双曲线的
渐近线为0=±b y
a x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb
y a x .
例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=
且过)2
1
,3(-p ，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：)0(4
2
2≠=-λλy x ，代入)21,3(-得
12822=-y x . 7．直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
注意：⑴过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
⑵若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”
“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
⑶若P 在双曲线
12
22
2=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的距离为m 与n ，则P 到两准
线的距离比为m ︰n. 简证：
e
PF e PF d d 21
21= =
n
m
. ⑷：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
注意：⑴x c by ay =++2
顶点)244(2a
b
a b ac --.
⑵)0(22≠=p px y 则焦点半径2
P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2
P y PF +=.
⑶通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.
⑷px y 22
=（或py x 22
=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==2
22pt
y pt
x ）（t 为参数）. ⑸关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线 y 2
=2px (p>0 )焦点的弦，A(x 1 ，y 1)、
B (x 2 ,y 2 ) ,直线AB 的倾斜角为θ，则：① x 1x 2=24p ， y 1y 2=－p 2
; ② |AB|=22sin p θ
；③
以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为900
；⑤
112
||||FA FB P
+=. 四、圆锥曲线的统一定义.
1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹. 当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线； 当0=e 时，轨迹为圆（a
c
e =
，当b a c ==,0时）. 2. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.
3. 当椭圆的焦点位置不明确，而无法确定其标准方程时，可设方程为
22
x y m n
+ =1（m>0，n>0且m ≠n ），这样可以避免讨论和繁杂的运算，椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式 mx 2+ny 2
=1（mn ≠0）来表示，所不同的是：若方程表示椭圆，则要求m>0，n>0且m ≠n ； 若方程表示双曲线，则要求mn<0，利用待定系数法求标准方程时，应注意此方法的合理使用，以避免讨论。
4. 双曲线是具有渐近线的曲线，复习中要注意以下两个问题：
（1）已知双曲线方程，求它的渐近线方程，将双曲线的标准方程 22
221x y a b -=中的常
数“1”换成“0”，即得 2222x y a b -=0，然后分解因式即可得到其渐近线方程 x y
a b
±=0；若
求中心不在原点，对称轴平行于坐标轴的双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程x ，y 分
别配方，然后将常数“1”换成“0”，再分解因式，则可得渐近线方程，例如双曲线
22
2(2)3y x +-=1的渐近线方程为22
2(2)3
y x +-=0，即y ±3（x+2），因此，如果双曲线的方
程已经确定，那么它的渐近线方程也就确定了。
±=0时，可设双曲线方程为（2）求已知渐近线的双曲线方程，已知渐近线方程为ax by
2222(0)
a x
b yλλ
-=≠，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法，如果已知双曲线的渐近线，双曲线方程却不是惟一确定的。
5、在建立抛物线的标准方程的坐标系时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
五．直线和圆锥曲线的位置关系:相交，相切，相离。
1．直线与圆锥曲线C位置关系的判断:
判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。
①当a≠0时，
若Δ＞0，则与C相交；
若Δ=0，则与C相切；
若Δ＜0，则有与C相离。
②当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一个公共点
若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；
若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。
注意：当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。
2．直线被圆锥曲线截得的弦长公式：
斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，设，，则
弦长公式：
当时, 弦长公式还可以写成：
注意：利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理。
六.求曲线的方程.
1．坐标法的定义：
在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y ）所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.
2．坐标法求曲线方程的步骤：
建系→设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）
3．求轨迹方程的常用方法：
直接法、定义法、代入法、参数法等。
七.规律方法指导.
1．三种圆锥曲线定义、标准方程及简单几何性质的对比:
椭圆双曲线抛物线
定义1．到两定点F1、F2的距离之和
为定值2a（2a＞|F1F2|）的点的
轨迹
1．到两定点F1、F2的距离之差
的绝对值的为定值2a（0＜2a＜
|F1F2|）的点的轨迹
2．与定点和定直线的距离之比
为定值e的点的轨迹（0＜e＜1）
2．与定点和定直线的距离之比
为定值e的点的轨迹（e＞1）
与定点和定直线的距离
相等的点的轨迹
图形
方程标
准
方
程
参
数
方
程
（参数为离心
角）
（参数为离心角）（t为参数）
范围，，
中心原点O（0，0）原点O（0，0）
顶点（a，0）（－a，0），（a，0），（－a，0）（0，0）
（0，b），（0，－b）
对称轴x轴，y轴；
长轴长2a，短轴长2b
x轴，y轴；
实轴长2a，虚轴长2b
x轴
焦点F1（c，0），F2（－c，0）F1（c，0），F2（－c，0）
焦距
离心率e=1
准线
渐近线
2．有关圆锥曲线综合题类型:
(1)求圆锥曲线方程
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。此时注意数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。
此处注意n个未知数，列够n个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。
注意：求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法
(2)求取值范围或最值
①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。
②方程与不等式组----n个未知数，列够n个独立方程或不等式，注意归纳总结列不等
式的方法：
③利用几何性质求参数范围；
④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同．
3．解析几何问题中，解决运算问题的几点措施：
解析几何图形结构、问题结构多，且易于发散，一旦形成为图形或知识点的综合，往往最具运算量、最为繁难复杂．因此，有时即便是明确了解法甚至较细的步骤，解题过程当中也常常被卡住，算不到底、算不出正确结果也是常有的事。因此，如何解决运算量问题，对于解题成功与否至关重要．解决运算问题，可以有以下措施：
(1)不断提高运算和恒等变形能力。注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问题的能力，避免 思维定势，提高思维灵活性；具体审题中多收集些信息，综观全局，权衡利弊，再决定解题策略； 加强训练运算基本功，不断提高恒等变形的能力．
(2)善于运用平面几何性质来解题问题。解题处理方式不同，可能繁简大相径庭，若考虑问题的几何特 征，充分利用图形几何性质，对于解决运算量会大有裨益，这一点对于圆锥曲线综合题的处理很重要．
(3)注意解析法与各种数学方法结合。当所求点的坐标直接解决有困难时，往往引进参数或参数方程起到解决问题的桥梁作用，引进合适的参数，进行设而不求的计算方式，在解析几何中是普遍的，但应注意不断积累消参经验；相应元替换法也是常用的策略
八．二次曲线中的中点弦问题.
1. 设圆
022=++++F Ey Dx y x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则E y D x k AB ++-
=0022。（假设点P 在圆上时，则过点P 的切线斜率为
E y D
x k ++-=00
22） 2．设椭圆122
22=+b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则0022y x a b k AB •-=。（注：对a ≤b 也成立。假设点P 在椭圆上，则过点P 的切线斜率为
0022y x a b k •
-=） 3．设双曲线122
22=-b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0022y x a b k AB •=。（假设点P 在双曲线上，则过P 点的切线斜率为
00
22y x a b k •
=） 4．设抛物线
px y 22
=的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0y p
k AB =
。（假设点P
在抛物线上，则过点P 的切线斜率为)0y p k =
高中数学圆锥曲线知识点总结5篇
高中数学圆锥曲线知识点总结5篇 高中数学圆锥曲线知识点总结5篇 教育的现代化和大众化是推进知识普及和人才培养的重要策略。科学科研的公正性和透明度是科研活动的重要保障。下面就让小编给大家带来高中数学圆锥曲线知识点总结，希望大家喜欢! 高中数学圆锥曲线知识点总结1 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x ，y+y )。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x ,y ) 则 a-b=(x-x ,y-y ). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且 ∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 当λ 0时，λa与a同方向; 当λ 0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有
向线段伸长或压缩。 当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果 a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积 定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。 定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+- ∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x +y·y 。 向量的数量积的运算率 a·b=b·a(交换率); (a+b)·c=a·c+b·c(分配率); 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。 高中数学圆锥曲线知识点总结2 直线的倾斜角： 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值
高三数学圆锥曲线知识点总结大全
高三数学圆锥曲线知识点总结大全在高三数学学习中，圆锥曲线是一个非常重要的知识点，它可 以帮助我们更好地理解数学的几何性质和关系。本文将对圆锥曲 线的相关知识进行总结和归纳，希望可以帮助大家更好地掌握这 一部分的内容。 一、什么是圆锥曲线 圆锥曲线是以两条总称为焦点的直线为边界的平面曲线。根据 焦点的相对位置和离心率的不同，圆锥曲线可以分为四种类型： 椭圆、双曲线、抛物线和圆。 二、椭圆 1. 椭圆的定义：椭圆可由平面内的一动点 M 和两焦点 F1、F2 的距离之和等于常数 2a 的点的轨迹定义。 2. 椭圆的性质： - 椭圆的离心率 e 小于 1，且焦点位于长轴上。 - 椭圆的长轴和短轴分别对应着两个标准方程的分子和分母。 - 椭圆的离心率越小，形状越趋于圆形。 - 椭圆的焦点到直角坐标轴的垂直距离分别为 a 和 b。
三、双曲线 1. 双曲线的定义：双曲线可由平面内的一动点M 和两焦点F1、F2 的距离之差等于常数 2a 的点的轨迹定义。 2. 双曲线的性质： - 双曲线的离心率 e 大于 1，且焦点位于长轴上。 - 双曲线的长轴和短轴分别对应着两个标准方程的分子和分母。 - 双曲线的离心率越大，形状越扁平。 - 双曲线的焦点到直角坐标轴的垂直距离分别为 a 和 b。 四、抛物线 1. 抛物线的定义：抛物线可由平面内的动点 M 和直线 l 的距离 点 F 的距离等于焦距 PF 点的轨迹定义。 2. 抛物线的性质： - 抛物线的焦点位于焦线的中垂线上。 - 抛物线的顶点为最低点或最高点，轴称为准线，焦距 PF 的 两倍称为参数。
- 抛物线的标准方程为 y² = 2px。 五、圆 1. 圆的定义：圆可由平面内的一动点 M 到定点 O 的距离等于定长 r 的点的轨迹定义。 2. 圆的性质： - 圆的离心率 e 等于 0，焦距为零。 - 圆的半径为定长 r，焦距为零。 - 圆心到任意点的距离都相等，这个距离称为半径 r。 总结： 通过以上对圆锥曲线的介绍，我们可以发现每一种曲线都有各自的定义和性质。掌握了这些定义和性质之后，我们可以通过方程或者图像来确定和描述特定的圆锥曲线。在解决实际问题时，我们也常常会运用圆锥曲线的性质来进行分析，从而得到更准确的结果。 然而，圆锥曲线的学习并不仅仅局限于定义和性质的掌握。在数学的发展过程中，很多数学家通过对圆锥曲线的研究，不仅得
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
高中数学中的圆锥曲线知识点总结
高中数学中的圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中重要的几何概念之一，包括椭圆、双曲线和 抛物线。在本文中，我们将对这些圆锥曲线的基本概念、性质和相关 公式进行总结。 一、椭圆 1. 概念：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a 的点的轨迹。 2. 基本性质： - 长轴和短轴：椭圆的两个焦点F1和F2之间的距离为2c，椭圆 的长轴为2a，短轴为2b，有关系式c^2 = a^2 - b^2。 - 离心率：离心率e定义为离焦距离2c与长轴2a之比，即e = c/a。椭圆的离心率小于1。 - 焦点与定点关系：椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的 距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。 - 弦与切线性质：椭圆上任意一条弦与该点处的切线垂直。 3. 相关公式： - 椭圆标准方程：(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 或 (y^2)/(a^2) + (x^2)/(b^2) = 1（其中a > b）。 - 焦点坐标公式：F1(-c,0)，F2(c,0)。
- 离心率公式：e = c/a。 - 曲率半径：任意一点P在椭圆上的曲率半径为a^2/b。 二、双曲线 1. 概念：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数 2a的点的轨迹。 2. 基本性质： - 长轴和短轴：双曲线的两个焦点F1和F2之间的距离为2c，双 曲线的长轴为2a，短轴为2b，有关系式c^2 = a^2 + b^2。 - 离心率：离心率e定义为离焦距离2c与长轴2a之比，即e = c/a。双曲线的离心率大于1。 - 焦点与定点关系：双曲线上的任意一点P到两个焦点F1和F2 的距离之差等于常数2a，即|PF1 - PF2| = 2a。 - 弦与切线性质：双曲线上任意一条弦与该点处的切线垂直。 3. 相关公式： - 双曲线标准方程：(x^2)/(a^2) - (y^2)/(b^2) = 1 或 (y^2)/(a^2) - (x^2)/(b^2) = 1（其中a > b）。 - 焦点坐标公式：F1(-c,0)，F2(c,0)。 - 离心率公式：e = c/a。 - 曲率半径：任意一点P在双曲线上的曲率半径为|a^2/b|。
高中数学圆锥曲线知识点整理
高三数学圆锥曲线知识整理 知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹)方程.它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系),侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形,重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、 三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样 的 点集:⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点,d 为P 到定直线的距离,F ∉，如图. 因为三者有统一定义，所以,它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0 （2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF1|+｜PF2|=2a，2a〉|F1F2|>0，F1、F2为定点}，双曲线｛P｜|｜PF1|—｜PF2｜｜=2a，｜F1F2|〉2a〉0，F1，F2为定点}. (3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质,不因为位置的改变而改变。 ①定性:焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点,两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称. ②定量： 高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识 点总结 1.椭圆的概念 椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。 2.椭圆的性质 ①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。 ②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。 ③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。其中，c表示 焦距，a表示长半轴长。 椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。当离心率 接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的 长度，此时椭圆会趋向于圆形。当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为 x+y=a。 双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数 2a的动点轨迹。需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小 于焦距F1F2的。当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于 2a时，得不到任何图形。双曲线的焦点是F1和F2，焦距为 F1F2. 双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。双曲线关 圆锥曲线知识点总结高三网 圆锥曲线知识点总结 在高三学习数学的阶段，我们经常会遇到圆锥曲线这一知识点。圆锥曲线是解析几何的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线 三种曲线形式。下面我们将对这些曲线的基本性质进行总结。 1. 椭圆 椭圆是圆锥曲线中的一种，具有以下特点： - 定义：椭圆由一个固定点F（焦点）和一个不经过焦点的定 长线段2a（长轴）上的所有点P组成。 - 离心率：离心率e是一个用来描述椭圆的形状的参数，它的 取值范围是0 - 焦半径性质：对于椭圆上的任意一点P，到F1的距离加上到F2的距离等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。 2. 双曲线 双曲线也是圆锥曲线中的一种，具有以下特点： - 定义：双曲线由一个固定点F（焦点）和一个不经过焦点的线段2a（长轴）上的所有点P组成。 - 离心率：与椭圆不同，双曲线的离心率e大于1。 - 渐近线性质：双曲线的两个分支在无穷远处会趋近于两条互相平行的直线，这两条直线称为双曲线的渐近线。 - 双曲线方程：双曲线的方程一般形式为(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，其中a为长轴的半长，b为短轴的半长。 3. 抛物线 抛物线是圆锥曲线中的一种，具有以下特点： - 定义：抛物线是由一个焦点F和与焦点不重合的一条直线l上的所有点P所构成。 - 焦半径性质：对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离PF等于点P到直线l的距离PL。 - 抛物线方程：抛物线的一般方程形式为y^2 = 2px，其中p是焦点到准线的距离，同时也是抛物线的离心率。 4. 特殊情况 除了一般情况下的椭圆、双曲线和抛物线之外，还有一些特殊的情况需要额外注意： - 圆：当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆，此时圆锥的两个焦点和直径重合。 高中数学圆锥曲线知识点总结 高中数学圆锥曲线知识点总结 一、基本概念 1、圆锥曲线：圆锥曲线是由一系列圆及其与它们的共轭切面围成的曲线，也可以看作是由一条曲线以及一个光滑曲面所围成的曲线空间。 2、圆弧：圆弧是曲线上一定角度范围内的闭合曲线，实际中常用于表示圆的片段。 3、渐开线：渐开线是由来自同一个圆的两个圆弧构成的弧线，渐开线的共轭切面是一条直线，而此直线又可在空间上做一个新的圆锥曲线。 二、圆锥曲线的性质 1、圆锥曲线的曲线部分是由圆弧和渐开线组成的，曲线上每个点都是圆切弧上的一个点； 2、圆锥曲线的表面部分是一个椭圆锥曲面，其参数方程由三个椭圆锥参数函数组成，其积分可以计算出圆锥曲面上的面积； 3、点P（x，y，z）在圆锥曲线上，则其有连续的x，y，z三个坐标参数，并且满足圆锥曲线的参数方程； 4、圆锥曲线的曲线部分是椭圆锥曲线，并且任一点在曲线上的切线方向都是一致的； 5、圆锥曲线的曲线与曲面的连接，是一条中间缝合曲线，即渐开线，渐开线也可以看作是空间曲线上的锥面的交线。 6、圆锥曲线的曲线部分与表面部分的连接，是一条中间缝合曲线，被称为椭圆锥曲线，椭圆锥曲线也是一条空间曲线上的椭圆锥面的交线。 7、圆锥曲线的曲线部分与表面部分之间的交点的曲线，也被称 为椭圆锥曲线，它也可以看作是圆锥曲线上的椭圆锥线的交点的曲线。 三、圆锥曲线的应用 1、圆锥曲线在建筑学上常用于建造拱顶、圆顶、屋顶等，这些 曲线具有很好的象征性； 2、圆锥曲线在航空和航天工程上常用于设计飞机、火箭的运动 轨迹； 3、圆锥曲线在汽车制造上常用于设计汽车的底盘，以实现更好 的操控性能； 4、圆锥曲线在计算机渲染上常用于设计三维物体，以获得更加 逼真的渲染效果； 5、圆锥曲线在绘画上常用于创作凹凸有致的曲线，以实现更加 自然的线条。 总之，圆锥曲线是一种非常有用的曲线，它在不同领域有着广泛的应用。 高考数学中的圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中比较重要和难度较大的一部分内容，也是高考数学必考的一个知识点。它是由圆锥（一种立体图形）与平面相交所得到的一类曲线，在空间中可以表现为椭圆、双曲线和抛物线三种不同形态。下面本文将对这一知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握和应用这一重要知识点。 一、椭圆 1. 定义 椭圆是平面上到两个确定点F1和F2的距离的和等于定值2a 的所有点的轨迹。 2. 公式 椭圆的标准方程为： (x² / a²) + (y² / b²) = 1 其中，a、b均为正数，a代表椭圆短轴一半长度，b代表椭圆 长轴一半长度。 3. 性质 （1）椭圆的长轴和短轴分别是椭圆的最长直径和最短直径； （2）椭圆的两个焦点F1和F2在椭圆的长轴上，且满足距离 为2a； （3）椭圆的离心率e的值在[0，1)之间； （4）椭圆的对称轴分别是椭圆的长轴和短轴； （5）椭圆的直径有两个对称轴，有四个半轴； （6）椭圆的周长为4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分，用数值表或计算器可得。 二、双曲线 1. 定义 双曲线是平面上到两个确定点F1和F2的距离的差为定值2a 的所有点的轨迹。 2. 公式 双曲线的标准方程为： (x² / a²) - (y² / b²) = 1 其中，a、b均为正数，a代表双曲线的距离两点的差的一半，b 代表双曲线离心率的倒数。 3. 性质 （1）双曲线有两个相交且交点为对称中心的对称轴； （2）双曲线的长轴是对称轴之间的距离，短轴是横截距； （3）双曲线的离心率e的值在（1，+∞）之间； （4）双曲线的渐近线是与双曲线无限靠近但不相交的直线。 三、抛物线 新高考圆锥曲线知识点总结 在新高考中，数学是一个重要的科目，而其中一个重要的考点就是圆锥曲线。而圆锥曲线作为数学中的一个重要分支，对于高中数学的学习和理解有着非常重要的作用。本文将对圆锥曲线的知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。 一、圆锥曲线的定义和性质 圆锥曲线是由一个动点P和一个定点F确定的动点P到定点F的距离与动点P到定直线l的距离之差为常数e(e>0)的几何图形。其中定点F为焦点，定直线l为准线，常数e为离心率。 根据离心率，圆锥曲线可分为三类：e<1时为椭圆，e=1时为抛物线，e>1时为双曲线。这三类曲线在空间中的形状和性质各异，值得我们深入研究和了解。 二、椭圆的基本性质 1.椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和为常数2a(a>0)的点的轨迹。 2.焦点和准线：椭圆的焦点是F1和F2，准线是过焦点的两条相互垂直的直线。 3.椭圆的中心：椭圆的中心是准线的中点。 4.椭圆的离心率：椭圆的离心率为e=c/a，其中c是焦点到中心的距离。 5.椭圆的长轴和短轴：椭圆的长轴是准线的长度2a，短轴是通过中心垂直于准线的直线段的长度2b。 6.椭圆的焦点性质：椭圆上的每个点到F1和F2的距离和为常数2a。 7.椭圆的方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1或者y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1。 三、抛物线的基本性质 1.抛物线的定义：抛物线是平面上到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离相等的点的轨迹。 2.焦点和准线：抛物线的焦点是F，准线是与定直线l相交且与焦点F的连线垂直的直线。 3.抛物线的顶点：抛物线的顶点是抛物线与准线相交的点。 4.抛物线的对称性：抛物线以准线为轴对称。 5.抛物线的方程：抛物线的标准方程为y^2 = 2px，其中p是焦点到准线的距离。 四、双曲线的基本性质 1.双曲线的定义：双曲线是平面上到两个固定点F1和F2的距离之差为常数2a(a>0)的点的轨迹。 2.焦点和准线：双曲线的焦点是F1和F2，准线是过焦点的两条 圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结 圆锥曲线是由平面上直线与一个定点及一定曲线相交而形成的曲线，分为圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。在高三数学中，学习圆锥曲线是必不可少的。以下为圆锥曲线的相关知识点总结。 一、坐标系下的圆锥曲线方程式 1.圆的方程 所谓圆，是指平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。设圆心为 $O({{x_0},{y_0}})$，半径为 $r$，则圆的方程为 $${(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} = {r^2}$$ 3.双曲线的方程 二、圆锥曲线的性质 （1）对圆上任意一点，作圆的切线，它垂直于切点与圆心的连线。 （2）两个数轴上投影相等的两点与圆心之间的距离相等（称为圆的两点定理）。 （3）圆心为原点的圆，其半径为 $r$，横轴方程为 $x^2 + y^2 = r^2$，纵轴方程为$x^2 + y^2 = r^2$。 2.椭圆 （1）椭圆的两个焦点与中心 $O$ 在一条直线上。 （2）椭圆的上下两支称为上半部和下半部，椭圆与 $x$ 轴的交点称为顶点。 （4）椭圆的到两个焦点分别距离和为定值，等于两倍的圆长轴长。 （2）双曲线的两支曲线称为左半支和右半支，曲线的两个交点称为顶点，与左右两支连接的两条直线称为渐近线。 4.抛物线 （1）抛物线是关于顶点对称的曲线。 （2）抛物线与横轴交于顶点 $O$。 （3）抛物线与纵轴垂直。 三、曲线的参数方程 如果把圆的中心移到原点，半径为 $r$，则圆的参数方程为 $$\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta \end{cases}$$ 如果双曲线的中心移到原点，且 $a>b$，则双曲线的参数方程为 $$\begin{cases} x=c\cosh \theta \\ y=b\sinh \theta \end{cases}$$ 其中，$c=\sqrt{{a^2} + {b^2}}$，$\cosh \theta = \frac{{{e^\theta } + {e^{ - \theta }}}{2}}$，$\sinh \theta = \frac{{{e^\theta } - {e^{ - \theta }}}{2}}$。 四、圆锥曲线的相关公式 1.圆的弧长公式 设圆的半径为 $r$，则圆心角的弧长公式为 $L = r\theta$，其中 $\theta$ 为圆心角的角度，即 $\frac{{\angle{AOB}}}{2}$。 设椭圆长轴长为 $2a$，短轴长为 $2b$，则椭圆周长公式为 $L = 4aE(k)$，其中 $k = \sqrt {1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}}$，而 $E(k)$ 为第二类完全椭圆积分，可以使用数值计算求解。 3.双曲线弧长公式 抛物线的方程为 $y = \frac{1}{{2p}}{x^2}$，则抛物线顶点处的切线方程为 $y = - px$。 圆锥曲线应用广泛，尤其在三维几何中有很多应用，例如球、椭球、双曲面、抛物面等。在数学模型中，也经常用到圆锥曲线模型，如建立经济模型、物理模型等。 总结 高中数学圆锥曲线知识 点总结 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8- 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。 两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{ ),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两 条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆： 1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2 ,2 (E D --半径是2 422F E D -+。配方，将方程 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+ 2D )2+(y+2 E )2=4 4F -E D 22+ ②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(- 2D ,-2 E ); ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为 完整版)圆锥曲线知识点归纳总结 1.圆锥曲线的定义和构造 圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。 三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。 构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。 2.椭圆的特性 椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。 椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。 椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。 重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2. 3.抛物线的特性 抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。 抛物线的离心率为1，焦缩比为1. 抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。 重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。 4.双曲线的特性 双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。 双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准 线长度。 双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2. 重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1. 5.圆锥曲线的应用 圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。 椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。 抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。 双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。 6.圆锥曲线的性质 圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。 对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。 切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。 焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。 此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。 高中数学中，圆锥曲线是重要的内容之一。以下是对圆锥曲线的知识点进行总结： 1. 圆锥曲线的定义： 圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个到该点的固定距离之比（离心率）确定的曲线。 2. 椭圆： -定义：椭圆是所有到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。 -基本方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的半长轴和半短轴。 -离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，离心率满足$0 -焦点和准线：椭圆和双曲线有两个焦点和一条准线，抛物线有一个焦点和一条准线，圆只有一个焦点和没有准线。 -对称性：椭圆和双曲线关于$x$轴、$y$轴对称，抛物线关于$y$轴对称。 -焦点与离心率的关系：椭圆和双曲线的离心率小于1，抛物线的离心率等于1，圆的离心率为0。 -焦点与直径的关系：椭圆和双曲线的焦点在直径上，抛物线的焦点在对称轴上。 7. 焦点和准线的性质： -椭圆和双曲线：对于椭圆和双曲线，焦点到准线的距离等于焦点到曲线上任意点的距离之差的一半。同时，准线也是曲线的对称轴。 -抛物线：对于抛物线，焦点到准线的距离等于焦点到曲线上任意点的距离。 8. 离心率与准线之间的关系： -离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数。 -对于椭圆和双曲线，离心率是焦点到准线的距离与焦点到曲线上任意点的距离之比。离心率越大，曲线形状越扁平；离心率越小，曲线形状越接近圆形。 -对于抛物线，离心率为1，焦点到准线的距离等于焦点到曲线上任意点的距离。 9. 焦点、准线与直角关系： -对于椭圆和双曲线，焦点和准线之间的连线与曲线上的切线之间构成直角。 -对于抛物线，焦点到曲线上任意点的距离与焦点到准线的距离之差为常数，且该差值等于焦点到曲线上该点处切线的斜率。 10. 参数方程与极坐标方程： -除了基本方程，圆锥曲线还可以使用参数方程和极坐标方程来表示。 -参数方程使用参数$t$来表示曲线上的点的坐标，通过给定参数$t$的取值范围，可以遍历整个曲线。 圆锥曲线高考知识点 圆锥曲线是数学中的一门重要的几何学分支，也是高考数学中 的重中之重。掌握圆锥曲线的知识点，对于高中数学的学习以及 高考的顺利通过具有重要的意义。本文将从圆锥曲线的基本概念 到不同类型的圆锥曲线的性质和应用进行论述，希望能够帮助同 学们更好地理解和掌握这一知识点。 一、圆锥曲线的基本概念 圆锥曲线是由一个固定点F（焦点）和一条固定直线L（准线）确定的曲线。根据焦点和准线的相对位置可以得到不同类型的圆 锥曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。 椭圆：焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于两倍的焦准距离。椭圆是一种封闭的曲线，具有对称性和周期性。在实际生活中， 椭圆的应用非常广泛，例如卫星轨道和地球公转等。 双曲线：焦点到双曲线上任意一点的距离之差等于两倍的焦准 距离。双曲线是开放的曲线，具有两支且无对称轴。它在数学、 物理和工程等领域中有广泛的应用，例如电磁场分布和天体运动等。 抛物线：焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦准距离。抛物 线是一种非常常见的曲线，具有对称性和方向性。它在日常生活 中有很多实际应用，例如抛物物体的运动轨迹和反射焦点原理等。 二、圆锥曲线的性质 1. 集中性：椭圆和抛物线的焦点在曲线内部，而双曲线的焦点 在曲线外部。这是圆锥曲线与其他曲线（如直线和旋转曲面）的 重要区别。 2. 对称性：椭圆和抛物线具有对称轴，对称轴是通过焦点且垂 直于准线的直线；双曲线则没有对称轴。这一性质对于曲线的研 究和应用具有重要的帮助。 3. 参数方程：圆锥曲线可以使用参数方程描述。参数方程给出 了曲线上任意一点的坐标与参数之间的关系，简化了计算和分析 过程。 第八章 《圆锥曲线》专题复习 一、椭圆方程. 1. 椭圆的第一定义： 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ 2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x 轴上： ) 0(12 22 2 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上： )0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(12 2 B A By Ax =+.③椭圆的参数方程： 2 22 2+ b y a x ⎩⎨ ⎧==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2 2 21,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2 ±=或 c a y 2±=.⑥离心率：)10( e a c e =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则： 证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起 来为“左加右减”. ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则： ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 2 22b d a =；坐标：22(,),(,)b b c c a a - 4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程 t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5．若P 是椭圆： 12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为 2 tan 2θ b （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2 cot 2θ ⋅b . 1020 ,PF a ex PF a ex =+=-1020 ,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α)高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结
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