高中数学人教版一年级必修1-指数与指数函数单元整体设计

合集下载

指数函数的图象和性质教学设计 2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

指数函数的图象和性质教学设计学情分析从学生来看，主要体现在三个层面：1. 学生已了解指数函数的概念和简单的指数运算技能，探讨了指数函数图像及性质，通过幂函数的学习掌握了研究函数的一般方法；2. 学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数的图象，幂函数的学习提供了按“背景-概念-图象和性质-应用”的顺序研究函数。

3. 学生思维活跃，乐于合作，有探究问题的意识，但思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有待于提高。

从条件资源来看，我们有多媒体、几何画板等软件，以及生活中大量的贴合实际的素材展示给学生，帮助学生理解指数函数的深刻内涵。

教学目标1. 掌握指数函数的性质，掌握指数函数性质的应用。

2. 体会从一般到特殊研究问题的方法，能通过数形结合，解决定点、单调性等问题.3. 发展学生的直观想象和数学抽象，逻辑推理. 教学重难点1. 重点：指数函数的图象和性质及其实际应用2. 难点：指数函数性质的归纳、概括及其实际应用. 教学思路与方法本节课主要采用问题为载体的任务驱动式教学方法，启发引导学生归纳总结。

通过作图识图，培养学生从函数图象中归纳函数性质。

通过自主探究与合作探究，通过独立思考，动手操作，培养实践能力；通过小组讨论，培养学生的交流、协作能力。

课前准备PPT ，几何画板教学过程（一）复习导入 1、指数函数的定义？预设答案：一般的，函数 01)(,x a a a >≠且y=叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域为R .追问：指数函数对于底数的要求是什么? 为什么要这样要求?【设计意图】学生复习回顾指数函数的概念，明确对底数a 的限制条件。

通过复习指数函数引入指数函数的图象和性质的研究。

2、幂函数的研究过程和方法？类比幂函数的研究方法和过程研究指数函数：背景→定义→图象→性质（单调性、奇偶性、特殊点等）→应用注意：（1）引导学生独立思考，提出研究函数性质的基本思路；（2）突出数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用.（3）通过熟悉的旧知识引入知识，调动学生学习的积极性，用旧方法研究新问题，培养学生类比迁移的学习能力.3、1xxy a ya⎛⎫== ⎪⎝⎭结论：与的图象关于y轴对称。

高中数学人教A版必修第一册第四章指数与指数函数教案

指数与指数函数姓名：学校：年级：【学习目标】1、掌握指数幂运算2、掌握指数函数的重要性质3、学会利用指数函数的性质解题【知识要点】一、整数指数幂的运算法则： 1、),(Z n Z m aa a nm nm∈∈=⋅+2、),()(Z n Z m a a n m n m ∈∈=⋅3、)()(Z n a a b a nnn ∈⋅=⋅ 根式的运算法则：x =)()0(2,12,+∈⎩⎨⎧>=±+=N k a k n a k n a n n 根式的运算性质（1）),1()(+∈>=N n n aa nn且（2）⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n an aa nn分数指数幂的运算)0(1>=a aa n n）为既约分数，且nmN m n a a a an mm n nm +∈>==,,0()( ）为既约分数，且nmN m n a aanm nm +-∈>=,,0(1 二、指数函数的概念、图象和性质定义函数xy a =(0a >，且1)a ≠叫做指数函数．指数函数图象分类 1a >01a <<指数向x 、y 轴正负方向无限延伸【典型例题】例1、①88341)(-ym ②322aa a •③ 63125.132⨯⨯ ④)221(2323131---x x x例2、化简（1）11221122--------+----y x y x y x y x（2）1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭例3、求下列函数的定义域（1）xx y -+=112（2）2121-=+-x y例4、1、设1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求ba a a ,的大小关系2、比较23540.5,1.2,1的大小例5、函数]1,0[)10()(在且≠>=a a a x f x 上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为 A ）21 B ）2 C ）4 D ）41 例6、指数函数()xf x a =图像过点1(2,)16，求(0)f ，(1)f ，(2)f -例7、解不等式233258≤+⋅≤x的解集例8、已知函数1762)21(+-=x x y ，（1）求定义域及值域；（2）求函数的单调区间。

高中数学人教版必修一第二章-2.1.2指数函数及其性质教学设计

高中数学人教版必修一第二章-2.1.2指数函数及其性质教学设计高中数学人教版必修一第二章第一节指数函数---指数函数及其性质（第二课时）教学设计一、教材分析本节内容是高中数学人教版必修一第二章第一节指数函数的内容，共六课时，本节是指数函数图像及其性质的第二课时.在指数函数图像及其性质的第一课时中，通过图形、实例进行具体分析、观察、归纳，由具体到抽象，得出指数函数的图像和性质，并能进行最基本的应用.本节课，在第一节的基础上，学生继续学习函数图像和性质，并能进行简单的应用.指数函数是函数中的一个重要基本初等函数，为后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的学习做好了知识的准备.同时指数函数的图像和性质也是学习指数函数的重要内容.通过这部分知识的学习，使学生进一步深化对函数概念的理解与认识；通过这部分的学习，向学生渗透数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法，这些数学思想方法对于进一步探究对数函数、三角函数等函数的图像和性质有很强的引领作用.二、学情分析高一学生在初中阶段已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数，对于这些函数的图像和性质有了一定的认识，具备了初步的观察、发现、分析的能力，为指数函数的图像和性质的学习，有了一定的理论基础.但对底数a的变化如何影响其性质以及应用性质进行简单的应用，解决一些实际问题，对于学生来说还是有一些困难的.而且大部分学生不具备数形结合的思想，分类讨论的意识比较淡薄，在解决问题中经常出现解不全面的错误.三、教学目标1.理解指数函数的概念和意义，根据图像理解和掌握指数函数的性质.2.会进行指数函数性质的简单应用.3.通过对指数函数的图像和性质的探究与应用，渗透数形结合的思想方法.4.通过应用指数函数图像和性质解决一些简单问题，领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力.5.通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法.6.让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.四、教学重点和难点1.重点：指数函数的性质和图像.2.难点：理解、掌握指数函数中底数a的变化对于函数值的影响.五、教学过程（一）引导回忆，复习新知1.复习指数函数的形式是2.根据指数函数的概念，并指出下列函数那些是指数函数？4xy = 4xy =- 4y x = 4xy -= 14x y += 32xy =设计意图:为了让学生明确指数函数的定义是以解析式的形式来定义的，加强对概念的理解.图象（1）定义域：R 4.比较下列各题中两值的大小（1）2.73.2 与2.74.5 ( 2 ) 0.10.8-与0.20.8-（3） 0.8 1.811()42（）与设计意图：进一步理解指数函数图像的性质，能简单应用指数函数单调性判断大小（二）创设情境，导入新课1.问题1：例1：如何比较0.3 3.11.70.9两值与的大小2.问题2：对于 1.70.9x x y y ==函数与的图像在第一象限的特点，能否利用图像来解决上面的问题呢？设计意图：底不同，指数也不同，可以借助中间值比较大小，选取适当的中间值（比如0或1）再比较，同时引导学生分别画出x x 0.9y 7.1y ==、的函数图象，再进行比较，对于底不同，指数也不同，也可以借助函数图像和函数的性质比较大小，体会数形结合的思想. （三）互动交流，探索新知1.问题3：检查学生绘制的图像（1）y=2x 和y=3x （2）y=x )21(和 x y )31(=结合学生所做的图像展示电脑已制作好的图像.利用图像更进一步探究指数函数的性质：分组尝试归纳出图象的变化规律与特性：函数图象除了有以下四个规律外，进一步得出其他规律（1）图象全在x 轴上方，与x 轴无限接近; （2）图象过定点（0，1）;（3）a >1时，自左向右图象逐渐上升;0<1时，自左向右图象逐渐下降；<="" p="">（4）a >1时，图象分布在左下和右上两个区域内；0<="">当指数函数的底数互为倒数时，图象关于 y 轴对称；当底数a>1时，底数越大函数值增长越快越靠近y 轴即底大图高，底数0<a<1时，情况相反.对于所有的底数来说，在第一象限，底大图高.< p="">设计意图：通过引导学生分析图像特征，帮助学生总结函数性质，培养学生形数结合的能力.2.问题4：例2：对于0.30.30.30.2--（）与（）的大小如何比较呢？找中间值是否容易解决？如果不容易，利用图像呢？他们的图像又有什么关系呢？3.问题5：指数函数图像在第一象限的特点？小结：底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小.4.问题6：我们还有没有别的方法来解决指数相同的数值的比较大小的问题. 设计意图：通过图像使学生了解函数图象在第一象限因为底数不同而图像位置不同. 小结：比较指数大小的方法1.底数相同，指数不同.做题方法：利用指数函数的单调性来判断.（数形结合）. 2.指数不同，底数也不同.做题方法：引入中间量法（常用0或1）或图像法. 3.指数相同，底数不同.做题方法：利用比商法来判断或图像法.温馨提示：心中无图，一塌糊涂；心中有图，胸有成竹. （四）反馈训练，拓展知识 1.问题7：比较下面两个数的大小0.60.63,2；0.80.80.30.2--，； 2 1.51.9,0.9-- ； 0.5 2.12.1,0.5 ；231π-，2.问题8：曲线分别是指数函数, 和的图象,则与1的大小关系是 ( ).D（）b<a<1<d<="" p="" 比较m="" 的大小="">设计意图：前两题直接应用函数性质解答，第3题对底数进行讨论，体会分类讨论的思想.4.问题10：例4：①求23x y -=的定义域②求函数122x y -=-的定义域③求使不等式4x >32成立的x 的集合设计意图：应用函数性质解决简单的不等式，更进一步掌握性质.5.问题11：例5：函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．设计意图：对a 进行讨论，体会分类讨论的思想．（五）归纳总结1.本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住a ＞1或0＜a ＜时x y a =的图象，在此基础上研究其性质，还涉及到指数型函数的应用，形如x y ka =（a ＞0且a ≠1）.2.学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解.（六）布置作业必做题1. 函数f (x )=3－x －1的定义域、值域分别是（）. A. R ， R B. R ，(0,)+∞ C. R ，(1,)-+∞ D.以上都不对 2 比较下列各组数的大小：122()5- 320.4-（）； 0.763（）0.753-（）；20.6- 2343-（）； 0.31.08 30.98； 0.753 0.752； 54.7 44.73、求满足下列条件的x 取值范围.① 616115x --<2x （）②3242x x ->4. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（）. A. (0,1)B. (0,2)C. (2,1)D. (2,2)5. 指数函数①()x f x m =，②()x g x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（）.选做题课本：77页A 组：6题拓展延伸:党的十八大提出，到2020年要实现国民经济收入和城乡居民收入较2010年翻一番，建成小康社会.2000年我国GDP 人均800美元，2000-2010年我国经济发展速度平均递增约8％，2010-2020年我国经济发展速度平均递增约7.5％,那么从2010年起再过x 年我国GDP 人均年为y 美元，写出y 关于x 的关系式，按照这个速度到2020年能否实现翻一番？设计意图：不同的学生有不同的发展，让每个学生都获得数学知识，并能和实际生活相连系. 六、板书设计教学评价是课堂教学的重要环节，目的在于促进学生在知识与技能、过程与方法、情感态度价值观等方面得到全面发展，采用实践、探究、归纳等形式，发展其思维过程，恰当运用一些激励性评价手段和方法，肯定其思维中的有效成分，通过练习检测，及时作出肯定性评价；通过课后作业，及时反馈信息，以改进其不足；课后的师生平等交流也是实施教学评价的重要形式.</a<1<d</a<1时，情况相反.对于所有的底数来说，在第一象限，底大图高.<>。

高中数学人教A版必修1第一章指数函数及其性质教学设计案例

教学设计案例《§2.1.2 指数函数及其性质》教学设计课题§2.1.2 指数函数及其性质（第一课时）教材版本人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修1 A版教学目标1. 通过实例引入指数函数，激发学生的学习兴趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，体会数学的应用价值；2. 通过牛肉面的实例，激发学生对家乡的热爱之情；3. 通过探究指数函数的底数a的条件，明确数学概念的严谨性和科学性，并领会分类讨论的思想方法；4. 掌握指数函数的概念，并能根据定义判断一个函数是否为指数函数；5. 通过现代信息技术的合理利用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段；6. 通过观察指数函数的图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质；7. 体会数形结合的思想，培养学生发现、分析、解决问题的能力；8. 在探究过程中，让学生体会从特殊到一般的数学方法；9. 会用指数函数及其性质解决指数函数相关问题.教学重点指数函数的概念和性质.教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.授课类型新授课课时安排第一课时（40分钟）教学方法引导启发式、参与发现式教学用具多媒体课件、坐标纸、性质列表.教学过程活动一体会身边的指数模型1．教师请学生展示牛肉面的拉面过程，让学生抽象出拉面师两手之间的面的根数与对折次数之间的关系.（设计牛肉面的情境，旨在激起学生学习数学的热情，调动学生主体参与学习活动的积极性，并让学生体会身边的指数模型，同时感受家乡美.）2．庄子在《天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”请学生写出截取第x 次后，木棰的剩留量y 与x 的关系式.（设计这个情境，旨在渗透数学史.）3.回顾两个情境，教师提问情境中涉及到的两个关系式*2,x y x N =∈和*1,2xy x N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭是不是函数，为指数函数定义的探究做好铺垫. 活动二探究指数函数的定义1．将活动一得到的关系式*2,x y x N =∈中的定义域扩充到实数集范围，即2,x y x R =∈.提问学生上述关系式是否为函数？2．如果将2,x y x R =∈中的底数2替换为常数a ，它还是函数吗？学生分小组讨论，教师引导学生对参数a 的限定条件进行讨论，得出0>a 且1≠a 的结论. 教师也参与到学生的讨论中，对有困难的小组进行启发.（采用小组合作这种方式，一方面是考虑到小组合作这种特殊的学习模式具有信息密度大、传递速度快等特点，另一方面是为了培养学生的合作意识和语言表达能力，让学生尝试“说数学”.）3．讨论结束后，小组派代表向全班同学展示讨论结果.（学生发表观点，教师及时实施多元评价.）交流后，教师完善定义并用多媒体展示指数函数定义，并指出指数函数的定义是形式化的定义，我们必须严格依照它的形式来判断一个函数是否为指数函数.并用多媒体展示形式中的三个要求.一般地，函数y=a x (a >0,且a ≠1)叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域是R.想一想下列四个函数是不是指数函数？21223;;3;3.x x x y y x y y +=⨯===教师随机提问.（这个环节是为了让学生进一步理解指数函数的形式化定义.）活动三探究指数函数的图象分小组在事先准备好的坐标纸上用描点法作出下面几个指数函数的图象.○12x y =与12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭；○24x y =与14x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭；○35x y =与15xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 要求：每位同学从上述三组函数中选择一组底数互为倒数的指数函数作出函数的图象.（设置这个环节是为了让学生尝试“做数学”，体会知识的生成过程，教师对有困难的同学进行个别指导.）选代表展示自己画出的图象.教师给予及时评价.（教师鼓励性的及时评价有利于学生建立学习数学、探索知识的自信心.）展示交流后，教师用几何画板作出第一组的两个图象，再用EXCEL 画出第二组和第三组的4个函数图象.并请学生对比自己画出的图象.教师进一步用几何画板展示当底数0a且)1a为任意常数时对应的指≠a(>数函数的图象.（EXCEL和几何画板的加入，有利于学生更准确地认识指数函数的图象，节省课堂有效教学时间，同时也体现了信息技术的有效整合.）活动四探究指数函数的性质1.教师结合几何画板，动态呈现底数a变化时的一系列函数图象，让学生仔细观察图象特征，进而归纳相应性质.学生积极发言.学情预设(1).定义域是R ；(2).图象恒过（0，1）点；(3).值域是（0，＋∞）；(4).不是奇函数，也不是偶函数；(5).当a ＞1时，函数在R 上单调递增；当0＜a ＜1时，函数在R 上单调递减；(6).函数图象无限靠近x 轴；(7).当a ＞1时，随着a 的增大，函数图象在第一象限越来越靠近y 轴；当0＜a ＜1时，随着a 的减小，函数图象在第二象限越来越靠近y 轴.学生发言的同时，教师及时板书.2. 教师引导学生回忆并观察自己画出的2x y =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、4x y =与14x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭或 5x y =与15xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，说说底数互为倒数的两个函数图象间有没有什么关系.学生发表自己的观点后，教师动态展示2x y =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的函数图象关于y 轴对称.教师引导学生猜想=x y a 与1(0⎛⎫=> ⎪⎝⎭xy a a 且1)≠a 的图象是否关于y 轴对称？板书上述性质，并鼓励学有余力的学生课后做出严格证明.（这正体现了新课标中不同的学生在数学上得到不同的发展这一理念）活动五新知应用○例已知指数函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)的图象过点()π,3,求f (0), f (1), f (-3)的值. 学生独立练习，教师个别指导.结束后，请一位学生口述解题过程，教师实施评价并展示解题过程.解：因为()x f x a =的图象过点(3,)π，所以(3)f π=，即3a π=，解得13a π=，于是 3()x f x π=.所以，10131(0)1,(1)(3).f f f ππππ-====-==活动六小结归纳布置作业教师提问：通过这节课的学习，你有哪些收获呢？1.知识：2.数学史：（教师在本环节先引导学生从知识层面对指数函数及其性质进行梳理，深化知识与技能，回顾课堂中认识到的数学人物庄子和华罗庚，旨在渗透数学史并且增强学生的民族自豪感.）●必做:习题2.1 A组5、6题●选做:查阅关于“富兰克林的遗嘱和拿破仑的诺言”相关资料，写一篇不少于300字的小论文,体会并与同伴交流指数函数在生活中的应用.（选做题的加入，一方面是让学生体会数学的应用价值，提高资料检索的能力，另一方面体现了不同的学生在数学上得到不同的发展这一理念.）板书设计。

最新人教版高中数学必修1第二章《指数函数》教案1

示范教案整体设计教学分析有了前面的知识储备，我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念，作指数函数的图象以及研究指数函数的性质．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等．同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过实际问题了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质，体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想．2．让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．3．通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：指数函数的概念和性质及其应用．教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．课时安排 2课时教学过程第1课时导入新课思路1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的关系式，它是函数关系式吗？若是，请计算若要使存留的污垢不超过原有的164，则至少要漂洗几次？教师引导学生分析，列出关系式y ＝(14)x ，发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上，这样的函数叫做指数函数，引出本节课题．思路 2.教师复习提问指数幂的运算性质，并要求学生计算23,20,2－2,1621324149,27,16－.再提问怎样画函数的图象，学生思考，分组交流，写出自己的答案8,1，14，2,9，17，先建立平面直角坐标系，再描点，最后连线．点出本节课题．推进新课新知探究提出问题1．一种放射性物质不断衰减为其他物质，每经过一年剩留量约是原来的84%，求出这种物质经过x 年后的剩留量y 与x 的关系式是__________．2．某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成十六个，依次类推，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的关系式是__________．讨论结果：1.y ＝0.84x 2.y ＝2x 提出问题1 你能说出函数y ＝0.84x 与函数y ＝2x 的共同特征吗？2 你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念？3 为什么指数函数的概念中明确规定a>0，a≠1？4 为什么指数函数的定义域是实数集？5 如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤.活动：先让学生仔细观察，交流讨论，然后回答，教师提示点拨，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，针对学生共性的问题集中解决．对于问题(1)，看这两个函数的共同特征，主要是看底数和自变量以及函数值．对于问题(2)，一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量．对于问题(3)，为了使运算有意义，同时也为了问题研究的必要性．对于问题(4)，在(3)的规定下，我们可以把a x 看成一个幂值，一个正数的任何次幂都有意义．对于问题(5)，使学生回想指数函数的定义，根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数，紧扣指数函数的形式．讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x 一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，再就是它们的自变量x 都在指数的位置上，它们的底数都大于0，但一个大于1，一个小于1.0.84与2虽然不同，但它们是两个函数关系中的常量，因为变量只有x 和y.(2)对于两个解析式y ＝0.84x 和y ＝2x ，我们把两个函数关系中的常量用一个字母a 来表示，这样我们得到指数函数的定义：一般地，函数y ＝a x (a ＞0，a≠1，x ∈R )叫做指数函数，其中x 叫做自变量，函数的定义域是实数集R .(3)a ＝0时，x ＞0时，a x 总为0；x≤0时，a x 没有意义． a ＜0时，如a ＝－2，x ＝12，a x ＝(－2)21＝－2显然是没有意义的．a ＝1时，a x 恒等于1，没有研究的必要．因此规定a ＞0，a≠1.此解释只要能说明即可，不要深化．(4)因为a ＞0，x 可以取任意的实数，所以指数函数的定义域是实数集R .(5)判断一个函数是否是一个指数函数，一是看底数是否是一个常数，再就是看自变量是否是一个x 且在指数位置上，满足这两个条件的函数才是指数函数．提出问题 1 前面我们学习函数的时候，根据什么思路研究函数的性质，对指数函数呢？ 2 前面我们学习函数的时候，如何作函数的图象？说明它的步骤., 3 利用上面的步骤，作函数y ＝2x 的图象.4 利用上面的步骤，作函数xy )21( 的图象.5 观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点？6 根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？7 把y ＝2x 和xy )21(=的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？ 8 你能证明上述结论吗？9 能否用y ＝2x 的图象画xy )21(=的图象？请说明画法的理由.10 什么是限制函数？活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质，共同讨论研究指数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画得好的部分学生的图象，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究指数函数性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对指数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体的认识．讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的性质．(2)一般是列表，描点，连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象． (3)列表．作图如下所示．(4)列表．作图如下图．(5)通过观察上图，可知图象左右延伸无止境，说明定义域是实数．图象自左至右是上升的，说明是增函数，图象位于x轴上方，说明值域大于0.图象经过点(0,1)，且y值分布有以下特点：x＜0时，0＜y＜1；x＞0时，y＞1.图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．通过观察下图，可知图象左右延伸无止境，说明定义域是实数．图象自左至右是下降的，说明是减函数，图象位于x轴上方，说明值域大于0.图象经过点(0,1)，且y值分布有以下特点：x＜0时，y＞1；x＞0时，0＜y＜1.图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．可以再画下列函数的图象以作比较，y＝3x，y＝6x，y＝(13)x，y＝(16)x.重新观察函数图象的特点，推广到一般的情形．(6)一般地，指数函数y＝a x在a＞1和0＜a＜1的情况下，它的图象特征和函数性质如下表所示．一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：①定义域：R②值域：，＋∞)③过点(0,1)＝0时y ＝1(7)在同一坐标系中作出y ＝2x 和y ＝(12)x 两个函数的图象，如下图．经过仔细研究发现，它们的图象关于y 轴对称．(8)证明：设点P(x 1，y 1)是y ＝2x 上的任意一点，它关于y 轴的对称点是P 1(－x 1，y 1)，它满足方程y ＝(12)x ＝2－x ，即点P 1(－x 1，y 1)在y ＝(12)x 的图象上．反之亦然，所以y ＝2x 和y ＝(12)x 两个函数的图象关于y 轴对称．(9)因为y ＝2x 和y ＝(12)x 两个函数的图象关于y 轴对称，所以可以先画其中一个函数的图象，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处．(10)由指数函数的定义可知，指数函数的定义域是实数集，但在实际问题中不都如此．例如，开始引进的两个函数的例子，函数y ＝2x 的定义域是非负整数集，函数y ＝0.84x 的定义域是正整数集，它们的定义域都是指数函数定义域的子集，而且它们在其定义域内分别与指数函数y ＝2x ，y ＝0.84x 取相同的值．通常，我们把这类函数称为指数函数的“限制函数”．应用示例思路1例1判断下列函数是否是一个指数函数？y ＝x 2，y ＝8x ，y ＝2·4x ，y ＝(2a －1)x (a ＞12，a≠1)，y ＝(－4)x ，y ＝πx ，y ＝6x3＋2.活动：学生观察，小组讨论，尝试解决以上题目，学生紧扣指数函数的定义解题，因为y＝x2，y＝2·4x，y＝6x3＋2都不符合y＝a x的形式，教师强调y＝a x的形式的重要性，即a 前面的系数为1，a是一个正常数(也可以是一个表示正常数的代数式)，指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式．解：y＝8x，y＝(2a－1)x(a＞12，a≠1)，y＝πx是指数函数；y＝(－4)x，y＝x2，y＝2·4x，y＝6x3＋2不是指数函数．2比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的，再写出(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)，比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并及时评价．解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y＝1.7x的图象，如下图．在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法三：利用函数单调性：(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y＝1.7x在R上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y＝0.8x，当x＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y＝0.8x在R上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2.(3)因为1.70.3＞1,0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值.思路2例1求下列函数的定义域和值域： (1)412－x y =；(2)||)32(x y －=.活动：学生先思考，再回答，由于指数函数y ＝a x (a ＞0且a≠1)的定义域是R ，所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求，教师适时点拨和提示，求定义域，只需使指数有意义即可，转化为解不等式．解：(1)令x －4≠0，则x≠4，所以函数y ＝21x －4的定义域是{x ∈R |x≠4}，又因为1x －4≠0，所以412－x ≠1，即函数412－x y =的值域是{y|y ＞0且y≠1}．(2)因为－|x|≥0，所以只有x ＝0. 因此函数||)32(x y －=的定义域是{x|x ＝0}．而||)32(x y －=＝(23)0＝1，即函数||)32(x y －=的值域是{y|y ＝1}．点评：求与指数函数有关的定义域和值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性，特别是第(1)题千万不能漏掉y ＞0.2比较下列两个数的大小： (1)30.8,30.7；(2)0.75－0.1,0.750.1；(3)1.80.6,0.81.6；(4)53322,)31(－－.活动：教师提示学生指数函数的性质，根据学生的解题情况及时评价学生．解法一：直接用科学计算器计算各数的值，再对两个数进行大小的比较：对(1)，因为30.8＝2.408 225,30.7＝2.157 669，所以30.8＞30.7；对(2)，因为0.75－0.1＝1.029 186,0.750.1＝0.971 642，所以0.75－0.1＞0.750.1；对(3)，因为1.80.6＝1.422 864,0.81.6＝0.699 752，所以1.80.6＞0.81.6；对(4)，因为32)31(－＝2.080 084,2－35＝0.659 754，所以32)31(－＞2－35.解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较：对(1)，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，0.8＞0.7，所以30.8＞30.7；对(2)，因为函数y ＝0.75x 在R 上是减函数，0.1＞－0.1，所以0.75－0.1＞0.750.1；对(3)，由指数函数的性质知1.80.6＞1.80＝1＝0.80＞0.81.6，所以1.80.6＞0.81.6；对(4)，由指数函数的性质知32)31(－＞(13)0＝1＝20＞2－35，所以32)31(－＞2－35.解法三：利用图象法来解，具体解法略．点评：在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时，首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较．若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个中间量，两个数都与这个中间量进行比较，这是常用的比较数的大小的方法，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“中间量法”.知能训练1．下列关系中正确的是()答案：D2．函数y＝a x(a＞0，a≠1)对任意的实数x、y都有()A．f(xy)＝f(x)·f(y)B．f(xy)＝f(x)＋f(y)C．f(x＋y)＝f(x)·f(y)D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)答案：C3．函数y＝a x＋5＋1(a＞0，a≠1)恒过定点__________．答案：(－5,2)拓展提升探究一：在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝3x，y＝10x的图象，比较这三个函数增长的快慢．活动：学生深刻回顾作函数图象的方法，交流作图的体会．列表、描点、连线，作出函数y＝2x，y＝3x，y＝10x的图象，如下图．从表格或图象可以看出：(1)x＜0时，有2x＞3x＞10x；(2)x＞0时，有2x＜3x＜10x；(3)当x从0增长到10，函数y＝2x的值从1增加到1 024，而函数y＝3x的值从1增加到59 049.这说明x＞0时y＝3x比y＝2x的函数值增长得快．同理y＝10x比y＝3x的函数值增长得快．因此得：一般地，a＞b＞1时，(1)x＜0时，有a x＜b x＜1；(2)x＝0时，有a x＝b x＝1；(3)x＞0时，有a x＞b x＞1；(4)指数函数的底数越大，x＞0时其函数值增长就越快．探究二：分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(如下图所示)，对照底数为2、3、10的指数函数的图象，研究指数函数y＝a x(0＜a＜1)中a对函数的图象变化的影响．由此得：一般地，0＜a＜b＜1时，(1)x＞0时，有a x＜b x＜1；(2)x＝0时，有a x＝b x＝1；(3)x＜0时，有a x＞b x＞1；(4)指数函数的底数越小，x＞0时，其函数值减少就越快．课堂小结1．指数函数的定义．2．指数函数的图象和性质．3．利用函数的图象说出函数的性质，即数形结合的思想(方法)，它是一种非常重要的数学思想和研究方法．4．利用指数函数的单调性比较几个数的大小，特别是中间变量法．作业课本本节练习B2、3.设计感想本节课是在前面研究了函数性质的基础上，研究具体的初等函数，它是重要的初等函数，它有着丰富的内涵，且和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，在指数函数的概念讲解过程中，既要向学生说明定义域是什么，又要向学生交代，为什么规定底数a 是大于0而不等于1的，本节内容课堂容量大，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．备课资料[备选例题]例1 (1)求使不等式4x ＞32成立的x 的集合； (2)已知a 45＞a2，求实数a 的取值范围．活动：学生先思考，再讨论，然后回答．(1)由于x 在指数位置上，因此，要利用指数函数的性质进行转化，特别是指数函数的单调性，(2)也是利用指数函数的性质判断底数的范围．解：(1)4x ＞32，即22x ＞25.因为y ＝2x 是R 上的增函数，所以2x ＞5，即x ＞52.满足4x ＞32的x 的集合是(52，＋∞)．(2)由于45＜2，则y ＝a x 是减函数，所以0＜a ＜1.点评：正确理解和运用指数函数的性质是解题的关键．例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性．活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则 y 2－y 1＝ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)．因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以ax 2－x 1＞1，即ax 2－x 1－1＞0. 又因为ax 1＞0，所以y 2－y 1＞0，即y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数．证法二：设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2与y 1都大于0，则y 2y 1＝ax 2ax 1＝ax 2－x 1.因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以ax 2－x 1＞1，即y 2y 1＞1，y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数．例3截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？(精确到亿)活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底人口约为13亿；经过1年人口约为13(1＋1%)亿；经过2年人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；经过3年人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；经过x年人口约为13(1＋1%)x亿；经过20年人口约为13(1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则y＝13(1＋1%)x，当x＝20时，y＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N，平均增长率为p，则对于经过时间x年后总量y＝N(1＋p)x，像y＝N(1＋p)x等形如y＝ka x(k∈R，a＞0且a≠1)的函数称为指数型函数．(设计者：韩双影)第2课时导入新课思路1.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，m∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题．思路2.我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本堂课要解决的问题．推进新课新知探究提出问题1 指数函数有哪些性质？2 利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？3 对复合函数，如何证明函数的单调性？4 如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图象和性质．一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：①取值．即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f[g(x)]可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考察式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例思路1例在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．解：(1)列出函数数据表作出图象如下图．比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．(2)列出函数数据表作出图象如下图．比较可知函数y＝2x－1、y＝2x－2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图象；将指数函数y＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图象．点评：类似地，我们得到y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，a≠1，m∈R)之间的关系：y＝a x＋m(a＞0，m∈R)的图象可以由y＝a x的图象变化而来．当m＞0时，y＝a x的图象向左移动m个单位得到y＝a x＋m的图象；当m＜0时，y＝a x的图象向右移动|m|个单位得到y＝a x＋m的图象．上述规律也简称为“左加右减”．思路2例1设a ＞0，f(x)＝e x a ＋aex 在R 上满足f(－x)＝f(x)．(1)求a 的值；(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数．活动：学生先思考或讨论，如果有困难，教师提示，引导．(1)求单独一个字母的值，一般是转化为方程，利用f(－x)＝f(x)可建立方程． (2)证明增减性一般用定义法，回忆定义法证明增减性的步骤，规范书写的格式．(1)解：依题意，对一切x ∈R 有f(－x)＝f(x)成立，即1ae x ＋ae x ＝e xa ＋a ex . 所以(a －1a )(e x －1e x )＝0对一切x ∈R 成立．由此可得a －1a ＝0，即a 2＝1.又因为a ＞0，所以a ＝1.(2)证明：设0＜x 1＜x 2，f(x 1)－f(x 2)＝e x1－e x2＋1e x1－1e x2＝(e x1－e x2)(1e x1＋x2－1)＝e x1(e x2－x1－1)·(1－e x1＋x2ex1＋x2)．由x 1＞0，x 2＞0，x 2－x 1＞0，得x 2＋x 1＞0，e x2－x1－1＞0,1－e x2＋x1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．点评：在已知等式f(－x)＝f(x)成立的条件下，对应系数相等，求出a ，也可用特殊值求解．证明函数的单调性，严格按定义写出步骤，判断过程尽量明显直观．例2已知函数f(x)＝3x ，且x ＝a ＋2时，f(x)＝18，g(x)＝3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求g(x)的解析式；(2)求g(x)的单调区间，确定其增减性并用定义证明； (3)求g(x)的值域．解：(1)因为f(x)＝3x ，且x ＝a ＋2时f(x)＝18，所以f(a ＋2)＝3a ＋2＝18.所以3a ＝2. 所以g(x)＝3ax －4x ＝(3a )x －4x . 所以g(x)＝2x －4x .(2)因为函数g(x)的定义域为[0,1]，令t ＝2x ，因为x ∈[0,1]时，函数t ＝2x 在区间[0,1]上单调递增，所以t ∈[1,2]，则g(t)＝t －t 2＝－(t 2－t)＝－(t －12)2＋14，t ∈[1,2]．因为函数t ＝2x 在区间[0,1]上单调递增，函数g(t)＝t －t 2在t ∈[1,2]上单调递减，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减．证明：设x 1和x 2是区间[0,1]上任意两个值，且x 1＜x 2，g(x 2)－g(x 1)＝2x 2－4x 2－2x 1＋4x 1＝(2x 2－2x 1)－(2x 2－2x 1)(2x 2＋2x 1)＝(2x 2－2x 1)(1－2x 1－2x 2)，因为0≤x 1≤x 2≤1，所以2x 2＞2x 1，且1≤2x 1＜2,1＜2x 2≤2. 所以2＜2x 1＋2x 2＜4.所以－3＜1－2x 1－2x 2＜－1，可知(2x 2－2x 1)(1－2x 1－2x 2)＜0. 所以g(x 2)＜g(x 1)．所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减．(3)因为函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，所以x ∈[0,1]时，有g(1)≤g(x)≤g(0)．因为g(1)＝21－41＝－2，g(0)＝20－40＝0，所以－2≤g(x)≤0.故函数g(x)的值域为[－2,0]．点评：此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题，要通盘考虑．知能训练求函数y ＝(12)|1＋2x|＋|x －2|的单调区间．活动：教师提示，因为指数含有两个绝对值，要去绝对值，要分段讨论，同时注意底数的大小，分析出指数的单调区间，再确定函数的单调区间，利用复合函数的单调性学生思考讨论，然后解答．解：由题意可知2与－12是区间的分界点．当x ＜－12时，因为y ＝(12)－1－2x －x ＋2＝(12)1－3x ＝23x －1＝12·8x ，所以此时函数为增函数．当－12≤x ＜2时，因为y ＝(12)1＋2x －x ＋2＝(12)3＋x ＝2－3－x ＝18·(12)x ，所以此时函数为减函数．当x≥2时，因为y ＝(12)1＋2x ＋x －2＝(12)3x －1＝21－3x ＝2·(18)x ，所以此时函数为减函数．当x 1∈[－12，2)，x 2∈[2，＋∞)时，因为2·(18)x2－18·(12)x1＝2·2－3x2－2－3·2x1＝21－3x2－2－3－x1，又因为1－3x 2－(－3－x 1)＝4－3x 2＋x 1＝4＋x 1－3x 2＜0，所以1－3x 2＜－3－x 1，即2·(18)x2＜18·(12)x1.所以此时函数为减函数．综上所述，函数f(x)在(－∞，－12]上单调递增，在[－12，＋∞)上单调递减．拓展提升设m ＜1，f(x)＝4x4x ＋2，若0＜a ＜1，试求：(1)f(a)＋f(1－a)的值；(2)f(11 001)＋f(21 001)＋f(31 001)＋…＋f(1 0001 001)的值．活动：学生思考，观察，教师提示学生注意式子的特点，做这种题目，一定要有预见性，即第(2)问要用到第(1)问的结果，联系函数的知识解决．解：(1)f(a)＋f(1－a)＝4a4a ＋2＋41－a41－a ＋2＝4a4a ＋2＋44a44a＋2＝4a 4a ＋2＋44＋2·4a＝4a 4a ＋2＋22＋4a ＝4a ＋24a ＋2＝1. (2)f(11 001)＋f(21 001)＋f(31 001)＋…＋f(1 0001 001)＝[f(11 001)＋f(1 0001 001)]＋[f(21 001)＋f(9991 001)]＋…＋[f(5001 001)＋f(5011 001)]＝500×1＝500.点评：第(2)问是第(1)问的继续，第(1)问是第(2)问的基础，两个问号是衔接的，利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形，要注意问号与问号之间的联系．课堂小结本节课复习了指数函数的性质，借助指数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性也进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中升华提高．作业课本习题3—1 B 3、5、6.设计感想指数函数作为一类基本的初等函数，它虽然不具有函数通性中的奇偶性，但是它与其他函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数，同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数，判断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心，严格按规定的要求，有时借助数形结合可帮我们找到解题思路，本堂课是在以前基础上的提高与深化，同时又兼顾了高考常考的内容，因此涉及面广，容量大，要集中精力，加快速度，高质量完成教学任务．备课资料富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针．这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：“……一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息．这些款过了100年增加到131 000英镑．我希望那时候用100 000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31 000英镑拿去继续生息100年．在第二个100年末了，这笔款增加到4 061 000英镑，其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3 000 000英镑让马萨诸塞州的公众来管理．过此之后，我可不敢主张了！”你可曾想过：区区的1 000英镑遗产，竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱，是“信口开河”，还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断．y n ＝m(1＋a)n 就是复利公式，其中m 为本金，a 为年利率，y n 为n 年后本金与利息的总和．在第一个100年末富兰克林的财产应增加到：y 100＝1 000(1＋5%)100＝131 501(英镑)，比遗嘱中写的还多出501英镑．在第二个100年末，遗产就更多了：y 100＝131 501(1＋5%)100＝4 142 421(英镑)．可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的．遗嘱故事启示我们：在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌．威名显赫的拿破仑，由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪！1797年，拿破仑参观国立卢森堡小学，赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺只要法兰西共和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征．由于连年征战，拿破仑忘却了这一诺言！1894年，卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”，要求法国政府在拿破仑的声誉和1 375 596法郎的债款中，两者选取其一．这笔巨。

新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第四章指数函数与对数函数《指数》

教学设计：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第四章指数函数与对数函数《指数》教学目标（核心素养）1.数学抽象：学生能够理解指数的概念，包括底数、指数和幂的含义，以及它们之间的关系。

2.逻辑推理：通过实例分析，学生能够推导出指数运算法则，并理解其背后的逻辑依据。

3.数学建模：初步建立指数模型，理解指数在描述实际问题（如增长、衰减）中的应用。

4.数学运算：掌握指数的基本运算法则，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方和积的乘方等。

5.数学交流：能够用数学语言准确表达指数的概念、运算法则及其应用，与同学和教师进行有效交流。

教学重点•指数概念的理解与掌握。

•指数运算法则的推导与应用。

•指数模型在实际问题中的应用。

教学难点•理解指数概念中底数、指数和幂之间的动态关系。

•灵活运用指数运算法则解决实际问题。

教学资源•多媒体课件（包含指数概念介绍、运算法则推导及例题分析）。

•教材及配套习题册。

•黑板和粉笔/白板和笔，用于板书和演示。

•实物或模型（如细胞分裂、人口增长等指数增长现象的模拟），用于辅助说明。

教学方法•讲授与演示结合：通过多媒体展示指数的概念和运算法则，结合实例进行讲解。

•启发式教学：通过提问引导学生思考，逐步揭示指数的本质和运算法则。

•合作学习：分组讨论指数运算法则的应用，促进学生之间的交流与合作。

•练习巩固：通过课堂练习和课后作业，巩固学生对指数概念及运算法则的理解。

教学过程导入新课•生活实例引入：展示细胞分裂、人口增长等实际问题的图片或视频，引导学生观察并思考这些现象的共同特征——即数量的快速增长，且增长速度与初始数量成正比。

由此引出指数的概念。

新课教学1.指数概念的讲解：•定义指数：介绍底数、指数和幂的概念，强调它们之间的关系。

•举例说明：通过具体例子（如2³=8）说明指数运算的过程和结果。

•强调底数的限制：说明底数不能为0且不能为负数（在实数范围内），同时指出当底数为1或-1时的特殊情况。

4.2.1指数函数的概念+教学设计2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

教学单元第四章指数函数与对数函数教学内容 4.2.1 指数函数的概念教学目标学习目标1.必备知识：(1)理解指数函数的概念和底数的取值范围。

(2)通过分析具体实例，了解指数函数的实际意义。

2.关键能力：发现情境中的规律，探究如何建立模型，并会用建立的数学模型分析，解决问题。

3.核心素养：(1)经历通过具体实例抽象为具体函数，再由具体函数概括为一般函数的过程，提升数学抽象素养。

(2)通过使用指数函数模型解决数学问题与实际问题，发展数学建模素养。

教学重难点重点：通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。

难点：从实际问题中归纳出函数表达式。

学情分析这堂课面对的是高一学生，他们在第三章中已经学习了函数的概念与基本性质，上一节学习了指数的运算，将指数的数系范围拓展到了全体实数。

同时从幂函数概念的学习中感受了从实际问题归纳推导函数的过程。

故通过前面的学习，学生具备了一定的基础知识、运算能力及思想方法，对于理解指数函数概念较为容易。

薄弱点在于归纳过程不够严谨和规范。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图视频导入播放“村超”视频以“网友问观看“村超”需要门票吗？”贵州网友答“门都没有，哪来的门票”进行引入。

观看视频调动学生情绪，增强对家乡的自豪感。

【情境一：A.B两地游客增长人次变化】情景1. A、B两地景区自2001年起实行不同的门票改革措施，A地提高了景观察A、B两组数据，发现游客人次均在增长让学生从表格里提取关键信息，并会用语新知探究区门票价格，而B地则取消了景区门票。

在学案及ppt上呈现A、B两地景区2001年至2015年的游客人次。

探究1 让学生观察两组数据，发现虽然A.B两地的游客人次均在增长，但是A地增长速度慢一些，而B地则更快，引导学生发现研究对象？老师继续提问“现在只是得到了从01年到15年的游客人次，那老师还想继续研究16年，17年乃至后面的游客人次，怎么办呢？具体又怎么研究呢？老师追问“如果现在从这些表格上无法得到直观的结论，那又该采取什么方式呢”？探究2 ppt上呈现出用A地数据画出的图像，让学生观察图象呈什么变化，和以前学过的什么内容比较像？学生回答后，问道“那是否能找到一个表达式呢。