整数指数幂

对于一个小于1的正小数， 对于一个小于1的正小数，如 果小数点后至第一个非0数字前有8 果小数点后至第一个非0数字前有8个0, 用科学记数法表示这个数时，10的指 用科学记数法表示这个数时，10的指 数是多少？如果有m 数是多少？如果有m个0呢？
9
m+1
例题
纳米是非常小的长度单位，1纳米=10-9 纳米是非常小的长度单位， 纳米=10 米。把1纳米的物体放在乒乓球上就如同把乒 乓球放在地球上。 乓球放在地球上。1立方毫米的空间可以放多 少个1立方纳米的物体？ 少个1立方纳米的物体？
我们已经知道，一些较大的数适 我们已经知道， 合用科学记数法表示。例如， 合用科学记数法表示。例如，光速约 为3×108米/秒，太阳半径约为 6.96× 千米。 6.96×105千米。 有了负整数指数幂后，小于1的 有了负整数指数幂后，小于1 正数也可以用科学记数法表示。例如， 正数也可以用科学记数法表示。例如， 0.000257=2.57× 0.001=10-3，0.000257=2.57×10-4.
n
解：两个等式都正确。 两个等式都正确。
m+(（1）∵am÷an=am-n=am+(-n)=am·a-n
∴am÷an=am·a-n
1 a a n n −n ( 2) Q = n = a • n = a b b b b n a n −n ∴ = a b b
n
n
科学记数法
= 100 = 1000000
3
3
(4)( 3a )
2 −3
1 1 = 2 = 6 27a 3a
引入负整数指数和0指数后， 引入负整数指数和0指数后，运算 性质a (a≠0,m,n是正整数 是正整数,m 性质am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m n)可以扩大到m,n是全体整数 可以扩大到m,n是全体整数。 ＞n)可以扩大到m,n是全体整数。 引入负整数指数和0指数后， 引入负整数指数和0指数后，运 算性质a (m,n是正整数 是正整数) 算性质am·an=am+n(m,n是正整数)能否扩 大到m,n是任意整数的情形? m,n是任意整数的情形 大到m,n是任意整数的情形?
n n n
( 2)(a )
(1)a • a = a
m n
m+n
( m , n是正整数 )
m n
= a ( m , n是正整数 )
mn
一般地， 中指数m 一般地，am中指数m可以是负整 数吗？如果可以，那么负整数指数幂a 数吗？如果可以，那么负整数指数幂am 表示什么？ 表示什么？
a ÷a = a
m n
1×10-9
-0.000 03
1.2×10-3 3.45×10-7 1.2× 3.45×
0.000 000 010 8
-3×10-5
2、计算： 计算：
−6
1.08× 1.08×10-8
3 −6 2 −4 3
(1)(2×10 ) × (3.2×10 ) (2)(2×10 ) ÷ (10 )
3 −5 3
am·an=am+n 这条性质对于m,n是 这条性质对于m,n m,n是 任意整数的情形仍然适用. 任意整数的情形仍然适用.
类似于上面的观察，可以进一步用负 类似于上面的观察， 整数指数幂或0指数幂， 整数指数幂或0指数幂，对于前面提到的其他 正整数指数幂的运算性质进行试验， 正整数指数幂的运算性质进行试验，看这些 性质在整数指数幂范围内是否还适用。 性质在整数指数幂范围内是否还适用。 事实上， 事实上，随着指数的取值范围由正整数 推广到全体整数， 推广到全体整数，前面提到的运算性质也推 广到整数指数幂。 广到整数指数幂。
归纳
例题
计算： 计算：
(1) (a-1b2)3
(2) a-2b2 (a2b-2)-3
●
(3)x2y-3(x-1y)3 (4) (2ab2c-3)-2÷(a-2b)3 6 b 解： (1) (a-1b2)3 =a-3b6 = 3 a 8 b -2b2 (a2b-2)-3 (2) a =a-8b8 = 8 a
练习
1、填空： 填空： 1 （1）32=___， 30=__， 3-2=____; ） 9 9 ， 1，
1 （2）(-3)2=___，(-3)0=__，(-3)-2=_____； ） 9， 1， 9 ； 1 2 2 （3）b2=___, b0=__, b-2=____(b≠0). ） 1 b b
2、计算： 计算：
观察
a 1 3 + ( −5 ) −2 a •a = 5 = 2 = a = a a a 3 3+(−5) −5 即a • a = a 1 1 1 −3 −5 −8 − 3 + ( −5 ) a •a = 3 • 5 = 8 = a = a a a a −3 −5 −3+(−5) 即a • a = a 1 1 0 0 + ( −5 ) −5 −5 a • a = 1• 5 = 5 = a = a a a 0 0+(−5) −5 即a • a = a
解： 1毫米=10-3米，1纳米=10-9米 毫米=10 纳米=10
(10 ) ÷ (10 ) = 10 ÷ 10 = 10
−3 3 −9 3
−9
−27
−9 − ( −27 )
= 10
18
1立方毫米的空间可以放1018个1立 立方毫米的空间可以放10 方纳米的物体。 方纳米的物体。
练习
1、用科学记数法表示下列各数： 用科学记数法表示下列各数： 0.000 000 001 0.001 2 0.000 000 345
●
(3)x2y-3(x-1y)3
1 = x (4) (2ab2c-3)-2÷(a-2b)3
=x-1y0
=2-2a-2b-4c6÷ a-6b3 =2-2a4b-7c6 4 6 a c = 7 4b
下列等式是否正确？为什么？ 下列等式是否正确？为什么？
（1）am÷an=am·a-n
a n −n ( 2) = a b b
复习回顾
我们知道， 我们知道，当n是正整数时， 是正整数时，
a = a • a •L• a
n
n个 正整数指数幂还有哪些运 正整数指数幂还有哪些运 算性质呢 算性质呢？
( 3)(ab ) = a b ( n是正整数 ) m n m−n ( 4)a ÷ a = a ( a ≠ 0, m , n是正整数 , m 〉 n ) n n a a (5) = n ( n是正整数 ) b b 0 (6)a = 1(a ≠ 0) 1 −9 1纳米 = 10 米，即1纳米 = 9 米 10
m−n
( a ≠ 0, m , n是正整பைடு நூலகம் , m 〉 n )
3 3
a ÷a =? 3 5 当m＜n时, a ÷ a = ?
当m=n时, m=n时
a a ÷a = 3 =1 a
3 3
3
a ÷a = a
3 3
3
3− 3
=a
3
a =1
0
0
a a 1 a ÷a = 5 = 3 2 = 2 a a •a a
(1)2 (1)2 ;;
−3
0
3 (2) ; (2) 2
−2
;
(3)0.01 ;
(4)(3a )
2 −3
( a ≠ 0)
解： 1）20=1 （
3 ( 2 ) 2
−2
4 2 = = 9 3
−3
2
1 ( 3)0.01 = 100
−3
3 5
a ÷a = a
3 5
3− 5
=a
−2
1 a = 2 a
−2
归纳
一般地， 一般地，当n是正整数时， 是正整数时，
−n
a
1 = n (a ≠ 0) a
这就是说，a-n(a≠0)是an的倒数。 这就是说， (a≠0)是 的倒数。 am (m是正整数） 是正整数） 是正整数 ） am = 1 （m=0） 1 是负整数） a−m（m是负整数）
即小于1 即小于1的正数可以用科学记数法 表示为a 表示为a×10-n的形式，其中a是整数数 的形式，其中a 位只要一位的正数，n是正整数。 位只要一位的正数， 是正整数。 这种形式更便于比较数的大小。 这种形式更便于比较数的大小。 例如2.57 例如2.57×10-5显然大于2.57×10-8， 2.57× 显然大于2.57 2.57× 前者是后者的10 前者是后者的103倍。