第三章 静电能1 真空中点电荷间的相互作用能

1 We = ∫∫ σ e (r )u ( r ) dS 2 S
3．线电荷分布 1 在 λe dl 处，电场 ∝ r ，所以其在自身所在处产生的 电势不仅不会趋于零，而且会按 ln r （r为离线元 dl 的距 离）趋于无穷，即: u 元 ∝ ln r
1 这时静电能既不能写成： W = e ∫L ηe (l )u1 (l )dl 2 也不能写成：
ui表示除qi以外其余所有点电荷在 ri 处产生的电势。 在《结晶化学》，《固体物理学》等课程中，经常要 遇到这种运算，比如计算氯化钠晶体等的静电相互作用能 等。
P(267) 分布的静电能
一. 一个带电体(自能) 空间只有自由电荷(即在导体中或介电系数恒等于1的 物体及真空中)。 1．体电荷分布 设电荷密度为 ρ e (r ) ，将该体电荷无限分割并把每一 小部分当作点电荷处理， 则：
0 0
π
2π
4πR 3 ρ e 和 Q= 3
讨论
4πρ R 3 ⎛ Q2 ⎞ = ⎜ We = ⎟ 15ε 0 5 ⎝ 4πε 0 R ⎠
2 e 5
（1）当 ρ e 固定时，We 将随R→0而趋于零。这一点很 自然，R越小，带电量越少，则We越小。 （2）用 表示时，若固定Q，则R→0（ 这是点电荷的处理方法），则We→∝，说明点电荷的自能 是发散的，与前面的结论相符。
4πR 3 ρ e Q= 3
例二．一孤立带电导体球电量为q，半径为R，求其 1 N 静电能（自能）。 W互 = ∑ q i u i 2 i =1 解： q C = 4πε 0 R 对于孤立导体球，有： u = , C 3 ⎛ Q2 ⎞ 这时电荷只分布在球面上。 We = ⎜ ⎟ 5 ⎝ 4πε 0 R ⎠ 2 所以 1 1 1⎛ q ⎞
4πε 0 rij
（2）
W互 =
1 8πε 0
∑∑
i =1 j =1 i≠ j
N
N
qi q j rij
相当于先选出某个特点的点电荷qi，求它与所有其 余各点电荷之间的相互作用能之和，然后对i求和。这样 一来，每对电荷之间的能量被重复地考虑了两次。故对结 果应该除以2。 （3） N
1 W互 = ∑ q i u i 2 i =1
∞
qj 4πε 0 rij
代表第j个电荷在第i个电荷Pi处产生的电势，因此建 立这带电体系的总功为：
W = W1 + W2 + ...... + W N = ∑ Wi
i =1
N
= ∑ qi ∑ u ji =
i =1 j =1
N
i −1
1 4πε 0
∑∑
i =1 j =1
N
i −1
qi q j rij
§1. 真空中点电荷间的相互作用能
一. 两个点电荷的情形 将两个相距无限远的点电荷 q1和q 2 分别移到指定位 置 r1和r2，可通过两种方式来实行。
O
r1
q1
r2
q2
P 1
r12
P2
1． 先将 q1移到r1 。在搬运q1时因无其它电荷和电 场，因而不作功。然后将 q 2 移到r2 。搬运q2时，它已经 处在q1的电场 E1中，因而需抵抗电场力作功 F12 = q2 E1 ：
W12 = − ∫ F12 ⋅ dl = −q 2 ∫
∞
P2
P2
∞
q1 q 2 E1 ⋅ dl = q 2 u12 = 4πε 0 r12
P2 ∞
其中
u12 = u1 ( P2 ) = − ∫ E1 ⋅ dl =
4πε 0 r12
q1
代表点电荷q1在P2点产生的电势，以∝为电势零点。
2．先将 q 2 移到r2 将 q1移到r1 ，外界作功：
⎠
讨论
ρe ⎛ 3 2 1 2 ⎞ u' = ⎜ a − r ⎟ 3ε 0 ⎝ 2 2 ⎠
（1） a不变时，在球边界， 即r → 0时，得最大值: 其中a为dV之半径，r为其余电荷到dV之距离。 ' （2）a → 0时，有u m → 0, 即 u ' → 0 ，这就意味着 电荷元取得很小很小，由此我们可以得出结论 ρ e (r )dV在r 处产生的电势将随dV → 0而趋于零。即 u1 (r ) 和总电势 u (r ) 的差别可以忽略。 1 所以体电荷分布的静电能为： W互 = 2 ∫∫∫V ρ e (r )u1 (r )dV
1 N W互 = ∑ q i u i 2 i =1
1 变成了： W互 = ∫∫∫ ρ e ( r )u1 ( r ) dV 2 V
式中体积分遍及全部带电体的空间V，u1 (r ) 表示除 ρ e (r )dV 外其余所有电荷在 r 处产生的电势。
下面来讨论 u1 (r ) 和总电势 u (r ) 的关系，我们可以 得到： u1 (r ) ≈ u ( r ) 证明： 设dV为一球体元，半径为a，则可求得电荷密度为 ρ e 的均匀带电球体在球内产生的电势为：
4πρ e2 R 5 3 ⎛ Q 2 ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ 4πε R ⎟ 15ε 0 5⎝ 0 ⎠
1 We = ∫∫∫ ρ e (r )u (r )dV 2 V
得：
ρe ⎛ 3 2 1 2 ⎞ u' = ⎜ a − r ⎟ 3ε 0 ⎝ 2 2 ⎠
积分时请注意积分上下限， 即
∫
R
0
dr ∫ dθ ∫ dφ
σe u( z) = 2ε 0
(R
2
+z − z
2
)
面元半径。当a → 0时，则dS → 0，所以u → 0。因此我 们可以忽略 u1 (r ) （从总电势中扣除面电荷元的贡献）和总 电势 u (r ) 的差别，相应求得面电荷分布的静电能为：
式中积分区域S代表所有带电面。这时不考虑扣除面 电荷元 σ e ( r )dS 的贡献
可以证明，建立多个点电荷组成的体系时，总功W 也是与搬运电荷的顺序无关的，为此只需证明W的表达式 可以写成对电荷标号i、j完全对称的形式。 由于： q j qi
q i u ji = q j u ij =
4πε 0 rij
而且其中距离rij显然等于rji，所以
1 W中的q i u ji 可以用 ( qi u ji + q j u ij ) 代替。 2 N 1 N 1 N N qi q j W = ∑ qi ∑ u ji = ∑∑ r = W互 2 i =1 j =1 8πε 0 i =1 j =1 ij
第三章 静电能
能量是物质运动的一种普遍量度，适用于各种运动 形态。不同形式的能量可以相互转换，同一形式的能量可 以在不同物体之间相互传递，在上述转换和传递过程中， 能量总是守恒的。 能量的基本特性： 1．运动状态的单值函数。能量所反映的是物质在一 定运动状态下所具有的特性，因此它必定是状态的单值函 数。 2．能量是相对的，但能量差却是绝对的。 3．通过作功来表示能量。作功是能量转换和传递的 一种形式。 在物理学中，常通过作功来引入能量的定义(在第一 章中我们已经这样做过)。
这时同样不需作功。然后
q1q2 W21 = q1u21 = 4πε 0 r12
u21代表点电荷q2在P1点产生的电势。 W 由以上可以看出： 12 = W21，这说明外界作功与q1、q2 移入的次序无关。因此我们把W12 或W21 定义为点电荷q1 和q2的相互作用能。为方便起见，我们将它们写成另外一 种对称形式：
i≠ j i≠ j
这个公式显然已对标号i、j对称了，表明外界作功 与电荷移入次序无关。
小结：W互可以表示成几种不同的形式： （1）
W互 =
1 4πε 0
∑∑
i =1 j =1
N
i −1
qi q j rij
物理意义为： 除qi以外的其余各点电荷在qi的位置Pi上产生的电势 。若从N个点电荷中不重复地选出各种可能的配对qiqj 来 1 qi q j ，则总静电能是所有这些配对能量 之和。
We =
2
qu =
2C
q2 =
⎟ ⎜ 2 ⎜ 4πε 0 R ⎟ ⎠ ⎝
1⎛ q ⎞ ⎜ ⎟ 3 ⎛ Q2 ⎞ ，但 2 ⎜ 4πε 0 R ⎟（例二，这儿集中分布于球面）< 5 ⎜ 4πε R ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 ⎝ ⎠
与例一比较，对电量相同及半径相等的带电球体， q2 其静电自能与电荷分布有关，虽然都是 的量级 4πε 0 R 2
ρe ⎛ 3 2 1 2 ⎞ u' = ⎜ a − r ⎟ 3ε 0 ⎝ 2 2 ⎠
{或见胡友秋书P(50) ，在球壳上，
ρ e ⎛ 3 2 R13 r 2 ⎞ ⎜ R2 − − ⎟ u2 = ⎜2 r 3ε 0 ⎝ 2⎟ ⎠
3ε 0 ⎝ 2 2
R1 ≤ r ≤ R2时
代入R1 = 0 和 R2 = a， 得： ρe ⎛ 3 2 1 2 ⎞ } u2 = ⎜ a − r ⎟
解: 以球心为坐标原点，取球坐标系 ( r ,θ , φ ) (电荷在球中 均匀分布)。利用前面的结果：
ρe u (r ) = (3R 2 − r 2 ) 6ε 0
代入
和 dV
= r sin θ drdθ dφ
2
ρe 1 We = ∫∫∫ ρ e (3R 2 − r 2 )r 2 sin θ drdθ dφ 2 r ≤ R 6ε 0
ρea u = 2ε 0
' m
2
1 We = ∫∫∫ ρ e (r )u (r )dV 2 V 这时不再考虑扣除 ρ e ( r ) dV 的贡献。
2．面电荷分布 设面电荷密度为 σ e (r ) ，将该面电荷无限分割为面电 荷元 σ e (r )dS ，由胡友秋书P（48）的
σ ea 可以看出，它在自身产生的电势不会大于 2ε 0 ，其中a为
静电能----对一个带电体系而言，其带电过程总伴随 着电荷相对运动。在这个过程中，外力必须克服电荷间的 相互作用而作功，外界作功所消耗的能量转换为带电系统 的能量，就称作该带电体系的静电能，其由系统的电荷分 布所决定。 本章我们将对带电系统的静电能作进一步分析 1．讨论点电荷组和连续带电体的静电能、有电介质 存在时的损耗、电荷体系在外电场中的静电能、电场的能 量和能量密度等； 2．介绍由静电能求静电力的方法（虚功原理法） 。