2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优突破二(3页)
2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分培优突破六(11张)
所以 E(ξ)＝1＋12＋212＋…＋218－219×9＋219×10a ＝1＋12＋…＋219a＝11－－211210a＝21－2110a ＝1501223a(元)．
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解：(1)因为该同学通过各校考试的概率均为 p， 所以该同学恰好通过 m(1≤m≤10)所高校自主招生考试 的概率为 f(p)＝Cm10pm(1－p)10－m， f′(p)＝Cm10[mpm－1(1－p)10－m－(10－m)pm(1－p)9－m] ＝Cm10pm－1(1－p)9－m[m(1－p)－(10－m)p] ＝Cm10pm－1(1－p)9－m(m－10p)， 当 0<p<1m0时，f′(p)>0，f(p)单调递增； 当1m0≤p<1 时，f′(p)≤0，f(p)单调递减， 所以当 p＝1m0时，f(p)取得最大值．
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(2)设该同学共参加了 i 次考试的概率为 Pi(1≤i≤10，i∈
Z)．因为 Pi＝2211i9，，1i＝≤1i≤0，9，i∈Z，
所以该同学参加考试所需费用 ξ 的分布列如下：
10 ξ a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a
a
P
1 2
1 22
1 23
1 24
1 25
1 26
压轴大题24分提高练(六)
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20．(12 分)已知函数 f(x)＝ex(1＋alnx)，其中 a>0，设 f′(x) 为 f(x)的导函数．
(1)设 g(x)＝e－xf′(x)，若 g(x)≥2 恒成立，求 a 的取值范围； (2)设函数 f(x)的零点为 x0，函数 f′(x)的极小值点为 x1， 当 a>2 时，求证：x0>x1.
2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优一(3页)
2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优一压轴大题24分提高练(一)20．(12分)中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入(单位：千元)并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)．(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题：①在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7；P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5；P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.解：(1)x ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(2)由题意，X ～N (17.40,6.92)．①P (X >μ－σ)≈12＋0.682 72≈0.841 4，μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，即最低年收入大约为14.77千元．②由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)≈0.5＋0.954 52≈0.977 3，得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 3，记这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (103，p )，其中p ＝0.977 3，于是恰好有k 位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P (ξ＝k )＝C k 103p k (1－p )103－k ，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1 001－k )×p k ×(1－p )>1，得k <1 001p ， 而1 001p ＝978.277 3，所以，当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)<P (ξ＝k )，当979≤k ≤1 000时，P (ξ＝k －1)>P (ξ＝k )，由此可知，在所走访的1 000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.21．(12分)已知函数f (x )＝a (ln x ＋2x )－e x －1x 2(a ∈R ，a 为常数)在(0,2)内有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)．(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：x 1＋x 2<2(1＋ln a )．解：(1)由f (x )＝a (ln x ＋2x )－e x －1x 2，可得f ′(x )＝(2－x )(e x －1－ax )x 3，记h (x )＝e x－1－ax ，x >0，由题意，知y ＝h (x )在(0,2)内存在两个零点．∵h ′(x )＝e x －1－a ，则当a ≤0时，h ′(x )>0，h (x )在(0,2)上单调递增，h (x )至多有一个零点，不合题意．当a >0时，由h ′(x )＝0，得x ＝1＋ln a ，由1＋ln a >0，得a >1e .①若1＋ln a <2且h (2)>0，即1e <a <e 2时，h (x )在(0,1＋ln a )上单调递减，在(1＋ln a,2)上单调递增，则h (x )min ＝h (1＋ln a )＝－a ln a ，当1e <a ≤1时，h (x )min ＝－a ln a ≥0，不合题意，舍去．当1<a <e 2时，h (x )min ＝－a ln a <0，且h (2)>0，x →0时h (x )>0，从而h (x )在(0,1＋ln a )和(1＋ln a,2)上各有一个零点．∴y ＝h (x )在(0,2)上存在两个零点．②若1＋ln a ≥2，即a ≥e 时，h (x )在(0,2)上单调递减，h (x )至多有一个零点，舍去．③若1＋ln a <2且h (2)≤0，即e 2≤a <e 时，h (x )在(0,1＋ln a )上有一个零点，而在(1＋ln a,2)上没有零点，舍去．综上可得，1<a <e 2，即实数a 的取值范围为(1，e 2)．(2)证明：令H (x )＝h (x )－h (2＋2ln a －x )，0<x <1＋ln a ，则H ′(x )＝h ′(x )＋h ′(2＋2ln a －x )＝e x －1－a ＋e 2＋2ln a －x －1－a ＝e x －1＋a 2ex －1－2a ≥2a －2a ＝0， ∴H (x )在(0,1＋ln a )上单调递增，从而H (x )<0，即h (x )－h (2＋2ln a －x )<0，∴h (x 1)－h (2＋2ln a －x 1)<0，而h (x 1)＝h (x 2)，且h (x )在(1＋ln a,2)上单调递增， ∴h (x 2)<h (2＋2ln a －x 1)，x 2<2＋2ln a －x 1，∴x 1＋x 2<2(1＋ln a )．。
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)高考压轴试题及答案解析
2018新课标1高考压轴卷理科数学一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的.1．已知随机变量ξ服从正态分布2N(0,)σ，(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤=A ．0.954B ．0.977C ．0.488D ．0.4772．对任意复数),(R y x yi x z ∈+=，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）.A y z z 2=- .B 222y x z += .C x z z 2≥- .D y x z +≤3.已知映射B A f →:,其中R B A ==，对应法则21||:x y x f =→，若对实数B k ∈，在集合A 中不存在元素x 使得k x f →:，则k 的取值范围是（ ） A ．0≤k B ．0>k C ．0≥k D ． 0<k 4.已知函数()()ϕ+=x sin x f 2，其中ϕ为实数，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤6πf x f 对x R ∈恒成立， 且 ()ππf f >⎪⎭⎫⎝⎛2，则()f x 的单调递增区间是 A ． ()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-63ππππ B ．()Z k k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，2πππ C ． ()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++326ππππ D ．()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ25．如图，已知圆22:(3)(3)4M x y -+-=，四边形 ABCD 为圆M 的内接正方形，E F 、分别为边AB AD 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME ⋅的取值范围是 （ ） A ．[62,62]-B ．[6,6]-C ．[32,32]-D ．[4,4]-6.在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为,a b .则方程22221x y a b +=表示焦点在x 32的椭圆的概率为BA .12B .1532C .1732D .31327、一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图的面积为（ ） A ．3 B ．25 C ．2 D ．278、阅读程序框图，若输入m =4，n =6，，则输出a ，i 分别是（ ） A ．12,3a i == B ．12,4a i == C ．8,3a i ==D ．8,4a i ==yxEF D B CMOA9、设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为654321,,,,,a a a a a a ， 若对任意的)6,5,4,3,2(=ia i 总有)5,4,3,2,1(=<k i k a k ，满足,1||=-k i a a 则这样的排列共有（ ）A ．36B ．32C ．28D ．2010. 过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中13C C 、有一个共同的焦点，若1MF MN =，则曲线1C 的离心率为 A.5 B.51- C.51+ D.512+ 11、若实数a ，b ，c ，d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（B ） A ．2 B ．９ C ．８ D ．212．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 ,00 ,1)(x x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同实数解的充要条件是 （ ）A ．2-<b 且0>cB ．2->b 且0<cC ．2-<b 且0=cD ．2-≥b 且0=c 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知nx i x )(2-的展开式中第三项与第五项的系数之比为143-，其中12-=i ，则展开式中常数项是______________. 14.当x ，y 满足时，则t=x ﹣2y 的最小值是15.已知12,l l 是曲线1:C y x=的两条互相平行的切线，则1l 与2l 的距离的最大值为_____. 16．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋μAP ，则λ＋μ的最小值为___.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面， 1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=.（Ⅰ）求证：1C B ABC ⊥平面；（Ⅱ）设1CE CC λ= (01λ≤≤)，且平面1AB E 与1BB E 所成的锐二面角的大小为30︒，试求λ的值.19.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X ≥900 工期延 误天数Y2610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3 ,0.7 ,0.9.求： （Ⅰ）工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．20.如图所示，已知过一点(11)P -，作抛物线2y x =的两条切线，切点分别为A 、B ；过点P 的直线l 与抛物线2y x =和线段AB 分别相交于两点C 、D 和点Q ． （Ⅰ）求直线AB 的方程； （Ⅱ）试问：线段PC 、PQ 、PD 的长度的倒数是否构成等差数列？请加以证明．21.函数xx a x f ln )(+=，若曲线)(x f 在点))(,e f e （处的切线与直线02=+-e y x e 垂直（其中e 为自然对数的底数）.（1）若)(x f 在)1,(+m m 上存在极值，求实数m 的取值范围；（2）求证：当1>x 时，)1)(1(21)(1++>+-xx xe x e e x f . 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图所示,已知圆O 外有一点P ,作圆O 的切线PM ,M 为切点,过PM 的中点N ,作割线NAB ,交圆于A 、2y x = y x P lDB AO C QA 1C 1BAC B 1B 两点,连接PA 并延长,交圆O 于点C ,连接PB 交圆O于点D ,若BC MC =. （1）求证:△APM ∽△ABP ;（2）求证:四边形PMCD 是平行四边形.23. （本小题满分10分）选修4在极坐标系中，已知圆C 的圆心．，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 2t y t x （t 为参数），直线l 交圆C于A B 、两点，求弦长 ２４(本小题满分10分) 选修⑴ 已知,a b 都是正数，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+；⑵ 已知,,a b c 都是正数，求证：222222a b b c c a abc a b c++++≥.新课标1高考压轴卷理科数学答案一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.A2. D3. D4. C5. B6.B7. A8. B9. B 10. Ｄ 11. Ｃ 12Ｃ. 简答与提示：1.【知识点】正态曲线的性质的应用 【答案解析】A()()22122120.0230.954.P P ξξ-≤≤=->=-⨯=2答案：D5.【知识点】圆的方程；向量在几何中的应用；向量的运算.【答案解析】B 解析：解：因为圆M ：（x-3）2+（y-3）2=4，圆心的坐标（3，3）半径为2.()ME OF ME OM MF ME OM ME MF⋅=⋅+=⋅+⋅0ME MF ME MF ⊥∴⋅=()[]6cos 6,6ME OF ME OM OME π∴⋅=⋅=-∠∈-,所以B 正确.6依题意知，a > b ，e ＝<，即b > .如图所示故所求概率为P ＝1－－＝7试题分析：根据平行投影的知识可知:该四面体中以平面为投影面的正视图为一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，所以面积为3.9如果1不在前左边,则2必须在1的左边(1)23456的次序保存不变,变化1的位置(123456)(213456)(231456)(234156)(234516)(234561)(2)3456次序不变,1和2的次序为21(同时3必须在21的左边）(321456)(324156)(324516)(324561)(342156)(342516)(342561)(345216)(345261)(345621)(3)456次序不变(432156)(432516)(432561)(435216)(435261)(435621)(453216)(453261)(453621)(456321)(4)56次序不变(543216)(543261)(543621)(546321)(564321)(5)6在最左(654321)32种可能注：这题本身也有趣.注意到当只有一个数时,可能排列为1,即2的0次,记2^0当有两个数1和2时,排列为12,或21,为两种,2^1当123时,排列为4＝2^2当数字为4个时,排列为8=2^311.【答案解析】B 解析：解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，∴b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx-x2，且c-d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx-x2求导：y′（x）=3x-2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=3x -2x，解得：x=1或x=-32（舍），把x=1代入y=3lnx-x2，得：y=-1，即切点为（1，-1），切点到直线y=x+2的距离：1122++=22，∴（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8．故选：B．【思路点拨】由题设b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx-x2；c-d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-c）2+（b-d）2的最小值．13的展开式的通项公式为：，因为第三项与第五项的系数之比为，所以解得所以常数项为第9项，所以展开式中的常数项为14．根据题意，首先画可行域，再分析可得t为目标函数纵截距一半的相反数，最后画直线0=x﹣2y，平移直线过A（0，2）时t有最小值即可．解：画可行域如图，z为目标函数t=x﹣2y，可看成是直线t=x﹣2y的纵截距一半的相反数，画直线0=x﹣2y，平移直线过A（0，2）点时，t有最小值﹣4，故答案为：﹣4．15.【知识点】导数几何意义的应用。
统考版2021高考数学二轮复习24分大题抢分练3理含解析
24分大题抢分练(三)(建议用时：30分钟)20．(12分)已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R ) .(1)讨论函数f (x )的定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的最大值．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x. ①当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点．②当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞1a. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上递增，即f (x )在x ＝1a处有极小值． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点；当a ＞0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点．(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝a －1＝0，则a ＝1，从而f (x )＝x －1－ln x .∵∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，∴∀x ∈(0，＋∞)，1＋1x －ln x x≥b 恒成立． 令g (x )＝1＋1x －ln x x ，则g ′(x )＝ln x －2x 2， 由g ′(x )≥0得x ≥e 2，则g (x )在(0，e 2)上递减，在(e 2，＋∞)上递增．∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2， 故实数b 的最大值是1－1e 2. 21．(12分)已知动圆C 过定点F 2(1,0)，并且内切于定圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝12.(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)若曲线y 2＝4x 上存在两个点M ，N ，(1)中曲线上有两个点P ，Q ，并且M ，N ，F 2三点共线，P ，Q ，F 2三点共线，PQ ⊥MN ，求四边形PMQN 的面积的最小值．[解] (1)设动圆的半径为r ，则|CF 2|＝r ，|CF 1|＝23－r ，所以|CF 1|＋|CF 2|＝23＞|F 1F 2|， 由椭圆的定义知动圆圆心C 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，所以b ＝2，动圆圆心C 的轨迹方程是x 23＋y 22＝1.(2)当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得|MN |＝4，|PQ |＝23，四边形PMQN 的面积S ＝4 3.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ， 消元得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝4k 2＋2，x 1x 2＝1，|MN |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫4k 2＋22－4＝4k 2＋4. 因为PQ ⊥MN ，所以直线PQ 的方程为y ＝－1k(x －1)， 由⎩⎨⎧ y ＝－1k (x －1)，x 23＋y 22＝1，得(2k 2＋3)x 2－6x ＋3－6k 2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＋x 4＝62k 2＋3，x 3x 4＝3－6k 22k 2＋3，|PQ |＝1＋1k 2⎝⎛⎭⎫62k 2＋32－4×3－6k 22k 2＋3 ＝43(k 2＋1)2k 2＋3. 则四边形PMQN 的面积S ＝12|MN ||PQ | ＝12⎝⎛⎭⎫4k 2＋443(k 2＋1)2k 2＋3＝83(k 2＋1)2k 2(2k 2＋3). 令k 2＋1＝t ，t ＞1，则S ＝83t 2(t －1)(2t ＋1)＝83－1t 2－1t＋2 ＝83－⎝⎛⎭⎫1t ＋122＋94. 因为t ＞1，所以0＜1t ＜1，易知－⎝⎛⎭⎫1t ＋122＋94的范围是(0,2)，所以S ＞832＝4 3.综上可得S≥43，S的最小值为4 3.。
2020-2021年新课标高考文科数学二轮压轴大题24分提高试题五突破课件(11张)
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②当 0<a<2 时，函数 g(x)在(0，a2)上单调递增，在(a2，1) 上单调递减，在(1,2]上单调递增．
∵g(1)＝a＋1>0，∴当 x∈(a2，2]时，总有 g(x)>0.
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∵g(x)在(0，a2)上单调递增， ∴当 0<a<2 时，g(x)在(0,2]上有且只有一个零点． 综上，当 0<a<2 或 a<－ln22或 a＝－1 时，方程 f(x)＋a＋1 ＝0 在(0,2]上有且只有一个实根．
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(2)当 a<2 时，设 g(x)＝f(x)＋a＋1＝(x－1)2＋a(lnx－x＋1) ＋a＋1，则 g(x)在(0,2]上有且只有一个零点．显然函数 g(x)与 f(x)的单调性是一致的．
①当 a≤0 时，由(1)知函数 g(x)在区间(0,1)上单调递减， 在(1,2]上单调递增，∴g(x)在(0,2]上的最小值为 g(1)＝a＋1， 由于 g(e12)＝(e12－1)2－ea2＋1>0，要使 g(x)在(0,2]上有且只有一 个零点，需满足 g(1)＝0 或 g(2)<0，解得 a＝－1 或 a<－ln22.
为 y＝－1kx，又圆 O 的方程为 x2＋y2＝5，
由yx＝2＋kyx2，＝5 得 x＝ 1＋5 k2，
所以得 A
1＋5 k2，k
1＋5 k2，
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由y＝－1kx， 得 x＝4k2，所以得 B(4k2，－4k)， y2＝4x
因为点 D 为线段 AB 的中点，所以 k 1＋5 k2－4k＝0， 整理得 16k2＋11＝0，此方程无实数解，所以符合条件的 k 不存在，所以满足条件的点 A 不存在．
【高考推荐】2020-2021高考数学二轮复习压轴题增分练3理
压轴题增分练(三)(时间：30分钟 满分：24分)1．(12分)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作垂直于x 轴的直线l 与椭圆E 在第一象限交于点P ，若|PF 1|＝5，且3a ＝b 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的两点．若直线AB 过点(1，－1)，且∠APF 2＝∠BPF 2，求直线AB 的方程． [规范解答及评分标准] (1)由题意知，|PF 2|＝b 2a＝3. ∵|PF 1|＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，∴a ＝4，b 2＝3a ＝12，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(4分) (2)由(1)可得c ＝2.把x ＝2代入x 216＋y 212＝1，得y ＝3(负值已舍去)． ∴点P 的坐标为(2,3)．(6分)∵∠APF 2＝∠BPF 2，∴直线PA ，PB 的斜率之和为0.设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为－k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线PA 的方程为y －3＝k (x －2)． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y －3＝k x －2，x 216＋y 212＝1， 消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－48＝0.∴x 1＋2＝8k 2k －33＋4k 2.(8分) 同理可得直线PB 的方程为y －3＝－k (x －2)，x 2＋2＝－8k －2k －33＋4k 2＝8k 2k ＋33＋4k2. ∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k 3＋4k2.(10分) k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1－2＋3＋k x 2－2－3x 1－x 2＝k x 1＋x 2－4k x 1－x 2＝12， ∴满足条件的直线AB 的方程为y ＋1＝12(x －1)，即x －2y －3＝0.(12分) 2．(12分)已知函数f (x )＝x 2－(2m ＋1)x ＋ln x (m ∈R )．(1)当m ＝－12时，若函数g (x )＝f (x )＋(a －1)ln x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围； (2)当x >1时，f (x )<(1－m )x 2恒成立，求实数m 的取值范围．[规范解答及评分标准] (1)由题意得，函数g (x )的定义域为(0，＋∞)．当m ＝－12时，g (x )＝a ln x ＋x 2，所以g ′(x )＝a x ＋2x ＝2x 2＋a x. ①当a ＝0时，g (x )＝x 2(x >0)无零点．(2分)②当a >0时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增．取x 0＝e －1a ，则g (e －1a )＝－1＋(e －1a)2<0. 因为g (1)＝1，所以g (x 0)·g (1)<0，此时函数g (x )恰有一个零点．(4分)③当a <0时，令g ′(x )＝0，解得x ＝－a 2. 当0<x <－a 2时，g ′(x )<0，即g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a 2上单调递减； 当x > －a 2时，g ′(x )>0，即g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a 2，＋∞上单调递增． 要使函数f (x )有一个零点，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a 2＝a ln －a 2－a2＝0，解得a ＝－2e. 综上所述，若函数g (x )恰有一个零点，则a ＝－2e 或a >0.(6分)(2)令h (x )＝f (x )－(1－m )x 2＝mx 2－(2m ＋1)x ＋ln x ，则h ′(x )＝2mx －(2m ＋1)＋1x ＝x －12mx －1x .根据题意可知，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0恒成立．①若0<m <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞时，h ′(x )>0，所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上是增函数，且h (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞，所以不符合题意．(8分) ②若m ≥12，则当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0恒成立，所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，且h (x )∈(h (1)，＋∞)，所以不符合题意．(10分)③若m ≤0，则当x ∈(1，＋∞)时，恒有h ′(x )<0，所以h (x )在(1，＋∞)上是减函数，要使h (x )<0对任意x ∈(1，＋∞)恒成立，则h (1)≤0，即m －(2m ＋1)≤0，解得m ≥－1，故－1≤m ≤0.综上所述，实数m 的取值范围是[－1,0]．(12分)。
2024年高考数学(新高考压轴卷)(考试版)
2024年高考压轴卷【新高考卷】数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．1204．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，直线l 与圆C 有公共点必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数(22()log 1f x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c<<B ．c a b<<C ．b c a<<D ．b a c<<8．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P 关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z zB ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD 的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD 是边长为2的菱形，B ，C 分别为AE ，FD 的中点，BD =22）A ．BE CD ⊥B ．BE 与平面DCE 所成角的余弦值为1515C ．四面体ABCD 10530D ．四面体ABCD 的外接球表面积为8π11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈）把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-第二部分（非选择题共92分）二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2020-2021新课标高考理科数学“12+4”限时提速培优突破二(9页)
2020-2021新课标高考理科数学“12＋4”限时提速培优突破二“12＋4”限时提速练(二)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z ＝1＋i1－i＋2i ，则|z |＝( D )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：解法1：因为z ＝1＋i 1－i ＋2i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋2i ＝i ＋2i ＝3i ，所以|z |＝02＋32＝3，故选D.解法2：|z |＝|1＋i 1－i ＋2i|＝|3＋3i 1－i |＝|3＋3i||1－i|＝322＝3，故选D.2．已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x 2－x －2<0}，则(∁R A )∩B ＝( C ) A ．(－1,0] B ．[－1,2) C ．[1,2)D ．(1,2]解析：解法1：由题意知，∁R A ＝{x |x ≥1或x ≤－1}，又B ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，所以(∁R A )∩B ＝{x |1≤x <2}，故选C.解法2：因为1∉A 且1∈B ，所以排除A ，D ，又－1∉B ，所以排除B ，故选C.3．甲、乙两名同学6次考试的成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为x 甲，x 乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则( C )A.x 甲<x 乙，σ甲<σ乙B.x 甲<x 乙，σ甲>σ乙C.x 甲>x 乙，σ甲<σ乙D.x 甲>x 乙，σ甲>σ乙解析：由题图可知，甲同学除第2次考试成绩低于乙同学外，其他5次考试成绩都高于乙同学，所以x 甲>x 乙．又由题图中数据知甲同学的成绩波动没有乙同学的成绩波动大，所以甲同学的成绩更稳定，所以σ甲<σ乙，故选C.4．计算sin133°cos197°＋cos47°cos73°的结果为( B ) A.12 B ．－12 C.22D.32解析：sin133°cos197°＋cos47°cos73°＝－sin47°cos17°＋cos47°cos73°＝－sin47°sin73°＋cos47°cos73°＝cos(47°＋73°)＝cos120°＝－12，故选B.5．已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积k P A ·k PB ＝3，则该双曲线的离心率为( C )A. 2B.3 C ．2D ．3解析：由双曲线的对称性知，点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，P (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，又k P A ＝y 2－y 1x 2－x 1，k PB ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，所以k P A ·k PB ＝y 22－y 21x 22－x 21＝b 2a 2＝3，所以离心率e ＝1＋b 2a 2＝2，故选C.6．(2x 2－1x )9的展开式中的常数项为( A ) A ．672 B ．－672 C ．84D ．－84解析：(2x 2－1x )9的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9(2x 2)9－r·(－1x )r＝(－1)r ·29－r·C r 9·x 18－3r，由18－3r ＝0，得r ＝6，所以该二项式的常数项为(－1)6×23×C 69＝672，故选A.7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为－21，则判断框中可以填( A )A ．a <64?B ．a ≤64?C ．a <128?D ．a ≤128?解析：执行程序框图，S ＝1，a ＝－2；S ＝－1，a ＝4；S ＝3，a ＝－8；S ＝－5，a ＝16；S ＝11，a ＝－32；S ＝－21，a ＝64.此时退出循环，所以判断框中可以填“a <64？”，故选A.8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( C )A ．1，3π4 B ．2，π4 C ．π，3π4D ．2π，π4解析：由题图知最小正周期T ＝2×(54－14)＝2，所以ω＝2πT ＝π，所以f (x )＝2sin(πx ＋φ)，把点(14，0)代入，得sin(π4＋φ)＝0，即π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π4(k ∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝3π4，故选C.9．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，异面直线AC 1与BB 1所成的角为30°，则AA 1＝( D )A. 3 B ．3 C. 5D.6解析：如图，连接A 1C 1，由长方体的性质知，BB 1∥AA 1，则∠A 1AC 1即异面直线AC 1与BB 1所成的角，所以∠A 1AC 1＝30°.在Rt △A 1B 1C 1中，A 1C 1＝A 1B 21＋B 1C 21＝ 2.在Rt △A 1AC 1中，tan ∠A 1AC 1＝A 1C 1A 1A ，即A 1A ＝A 1C 1tan ∠A 1AC 1＝233＝6，故选D.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sin B ＋sin C ＋ba ＋c ＝1，则C ＝( B )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由正弦定理及sin A sin B ＋sin C ＋b a ＋c ＝1，得a b ＋c ＋ba ＋c＝1，整理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3，故选B.11．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝( B )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：解法1：如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l ：x ＝－2与x 轴交于点F ′，作MB ⊥l 于点B ，NA ⊥l 于点A ，则|AN |＝2，|FF ′|＝4.在直角梯形ANFF ′中，由中位线定理，知|BM |＝|AN |＋|FF ′|2＝3.由抛物线的定义，知|MF |＝|MB |＝3，结合题意，有|MN |＝|MF |＝3，所以|FN |＝|FM |＋|MN |＝6，故选B.解法2：设N (0，a )，由题意知F (2,0)，则M (1，a2)，因为点M 在抛物线上，所以a 24＝8，解得a ＝±42，所以N (0，±42)，所以|FN |＝(2－0)2＋(0±42)2＝6，故选B.12．已知函数f (x )＝a －x 2(1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数)与g (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( B )A ．[1，1e 2＋2] B ．[1，e 2－2] C ．[1e 2＋2，e 2－2]D ．[e 2－2，＋∞)解析：由条件知，方程a －x 2＝－2ln x ，即a ＝x 2－2ln x 在[1e ，e]上有解．设h (x )＝x 2－2ln x ，则h ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(1＋x )x .因为当x ∈(1e ，1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，e)时，h ′(x )>0，所以函数h (x )在(1e ，1)上单调递减，在(1，e)上单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝1.因为h (1e )＝1e 2＋2，h (e)＝e 2－2，所以h (e)>h (1e )，所以方程a ＝x 2－2ln x 在[1e ，e]上有解等价于1≤a ≤e 2－2，所以a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－3,2)，若向量k a －2b 与a 垂直，则实数k ＝－1.解析：由题意，得k a －2b ＝(k ＋6，k －4)．又k a －2b 与a 垂直，所以(k a －2b )·a ＝k ＋6＋k －4＝0，解得k ＝－1.14．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －6≤0，x －2y －3≤0，则z ＝2x －3y 的最小值是－8.解析：解法1：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当目标函数z ＝2x －3y 所表示的直线经过点A (2,4)时，z 取得最小值，即z min ＝2×2－3×4＝－8.解法2：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，得A (2,4)，此时z ＝－8；由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y －3＝0，得B (－1，－2)，此时z ＝4； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6＝0，x －2y －3＝0，得C (5,1)，此时z ＝7. 综上所述，z ＝2x －3y 的最小值为－8.15．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋52)＋f (x )＝0，当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x＋a ，则f (16)＝12.解析：由f (x ＋52)＋f (x )＝0，得f (x )＝－f (x ＋52)＝f (x ＋5)，所以函数f (x )是以5为周期的周期函数，则f (16)＝f (3×5＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，即1＋a ＝0，a ＝－1，所以当－54≤x ≤0时，f (x )＝2x －1，所以f (－1)＝－12，则f (1)＝－f (－1)＝12，故f (16)＝12.16．在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S ABCD 体积的取值范围为[433，83]，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是[28π3，20π]．解析：在四棱锥S ABCD 中，由条件知AD ⊥SA ，AD ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面SAB ，所以平面SAB ⊥平面ABCD .过S 作SO ⊥AB 于点O ，则SO ⊥平面ABCD .设∠SAB ＝θ，则V S ABCD ＝13S 正方形ABCD ·SO ＝83sin θ∈[433，83]，所以sin θ∈[32，1]，又θ∈(0，π)，所以θ∈[π3，2π3]，所以－12≤cos θ≤12.在△SAB 中，SA ＝AB ＝2，所以SB ＝221－cos θ，所以△SAB 的外接圆半径r ＝SB2sin θ＝21－cos θsin θ.将该四棱锥补成一个以△SAB 为一个底面的直三棱柱，得其外接球的半径R ＝r 2＋1，所以该四棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π(21＋cos θ＋1)∈[28π3，20π]．。
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2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优突破二
压轴大题24分提高练(二)
20．(12分)某车床生产某种零件的不合格率为p(0<p<1)，要求这部车床生产的一组5个零件中，有2个或2个以上不合格品的概率不大于0.05.为了了解该车床每天生产零件的利润，现统计了该车床100天生产的零件组数(1组5个零件)，得到的条形统计图如下．
现以记录的100天的日生产零件组数的频率作为日生产零件组数的概率．
(1)设平均每天可以生产n个零件，求n的值；
(2)求p的最大值p0；
(3)设每个零件的不合格率是p0，生产1个零件的成本是20元，每个合格零件的出厂价为120元，不合格的零件不得出厂，不计其他成本．假设每天该机床生产的零件数为n，X表示这部车床每天生产零件的利润，求X的数学期望E(X)．
(参考数据：0.924×1.32的取值为0.95)
解：(1)由题意知每天生产14组，15组，16组，17组零件的频率分别是0.2,0.3,0.4和0.1，所以n＝(14×0.2＋15×0.3＋16×0.4＋17×0.1)×5＝77.
(2)记ξ为一组零件中不合格品的个数，则
P(ξ≥2)＝1－[P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)]≤0.05，
即1－[(1－p)5＋C15·p·(1－p)4]≤0.05，
整理得(1－p)4(1＋4p)≥0.95.
记f (p )＝(1－p )4(1＋4p )，0<p <1，
则f ′(p )＝(－4)(1－p )3(1＋4p )＋4(1－p )4＝－20p (1－p )3<0，所以f (p )在(0,1)上单调递减．
又0.924×1.32的取值为0.95，即(1－0.08)4×(1＋4×0.08)＝0.95，所以f (0.08)＝0.95，因此(1－p )4(1＋4p )≥0.95等价于f (p )≥f (0.08)，所以p ≤0.08，故p 0＝0.08.
(3)设生产一个零件的利润为Y 元，
由题意，得Y 的可能取值是100和－20，
则P (Y ＝100)＝1－p 0＝0.92；P (Y ＝－20)＝p 0＝0.08.
所以Y 的分布列为
E (Y )＝100×0.92＋所以E (X )＝77E (Y )＝77×90.4＝6 960.8(元)．
21．(12分)已知函数f (x )＝ax ＋1x e x ，其中x ∈(0，＋∞)，a ∈R .
(1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)若对任意的x >0，f (x )<1e x －1
恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝ax e x －(ax ＋1)(e x ＋x e x )(x e x )2
＝－ax 2－x －1x 2e x . 当a ≥0时，f ′(x )＝－ax 2－x －1x 2e x
<0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 当a <0时，对于方程－ax 2－x －1＝0，Δ＝1－4a >0，方程－ax 2－x －1＝0
有两个不相等的实数根，记为x 1，x 2，解方程得x 1,2＝1±1－4a －2a
，不妨令x 1＝1－1－4a －2a ，x 2＝1＋1－4a －2a
，易知x 1<0，x 2>0，令f ′(x )>0，则x >x 2，令f ′(x )<0，则0<x <x 2，所以f (x )在(0，1＋1－4a －2a )上是减函数，在(1＋1－4a －2a
，＋∞)上是增函数．
综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数；
当a <0时，f (x )在(0，1＋1－4a －2a )上是减函数，在(1＋1－4a －2a
，＋∞)上是增函数．
(2)f (x )<1e x －1可化为ax ＋1x e x <1e x －1
，因为x >0，所以e x －1>0，所以(ax ＋1)(e x －1)<x e x ，即(ax ＋1)(e x －1)－x e x <0.令g (x )＝(ax ＋1)(e x －1)－x e x ，则对任意的x >0，有g (x )<0恒成立．
g ′(x )＝a (e x －1)＋(ax ＋1)e x －e x －x e x ＝[(a －1)x ＋a ]e x －a ，令h (x )＝[(a －1)x
＋a ]e x －a ，则h ′(x )＝[(a －1)x ＋2a －1]e x ，令⎩⎪⎨⎪⎧
a －1≤0，2a －1≤0，得a ≤12，则h ′(x )<0， 此时h (x )在(0，＋∞)上是减函数，当x >0时，h (x )<h (0)＝0，所以g ′(x )＝h (x )<0，
所以g (x )在(0，＋∞)上是减函数，当x >0时，g (x )<g (0)＝0，符合题意． 当a ≥1时，a －1≥0,2a －1>0，当x >0时，有(a －1)x ＋2a －1>0，所以h ′(x )>0，h (x )在(0，＋∞)上是增函数，当x >0时，h (x )>h (0)＝0，所以g ′(x )＝h (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数，当x >0时，g (x )>g (0)＝0，这与g (x )<0矛盾，不符合题意．
当12<a <1时，令h ′(x )>0，则(a －1)x ＋2a －1>0，得x <1－2a a －1
，所以h (x )在(0，1－2a a －1)上是增函数，当0<x <1－2a a －1
时，h (x )>h (0)＝0，所以g ′(x )＝h (x )>0，所以g (x )在(0，1－2a a －1)上是增函数，当0<x <1－2a a －1
时，g (x )>g (0)＝0，这与g (x )<0矛盾，不符合题意．
因此实数a 的取值范围为(－∞，12]．。