吉林省长春市2018-2019高二下学期期中考试数学(理)试卷(含答案)
9．点 的直角坐标为
，则点 的极坐标可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若圆的方程为
(θ 为参数)，直线的方程为
(t 为参数)，则直线与圆的位置关系
是(
)
A．相离
B．相交
C．相切
D．不能确定
11.袋中有大小相同的 3 个红球、7 个白球，从中不放回地依次摸出两球，在已知第一次取出白球
的前提下，第二次取得红球的概率是（
(2)f ′(x)＝
x
＝
x
(x>0)，
令 f ′(x)＝0 得 x1＝a，x2＝1， 当 0<a<1 时，在 x∈(0，a)或 x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，在 x∈(a,1)时，f ′(x)<0，∴f(x)的
单调递增区间为(0，a)和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当 a＝1 时，f
7．若复数
，则 z 的共轭复数 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．设袋中有大小相同的 80 个红球、20 个白球，若从袋中任取 10 个球，则其中恰有 6 个红球的
概率为（）
C840C160
A.
C10 100
C860C140
B.
C10 100
C840C260
C.
C10 100
C860C240
D.
C10 100
）
1
1
3
3
A. 5
B. 3
C. 8
D. 7
12．设函数 是奇函数 立的 的取值范围是（
的导函数， ）
，当 时，
，则使得
成
A． C． 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)
B．
D． 2,0 2,
第Ⅱ卷（非选择题)
13．在
的展开式中 的系数为_____.
k 2i
14．设随机变量 X 的分布列 P(X=i)= (i=1,2,3),则 P(X 2 )=_______
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项． 22．（12 分）已知函数 f(x)＝x2－2(a＋1)x＋2alnx(a>0). （1）当 a＝1 时，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； （2）求 f(x)的单调区间； （3）若 f(x)≤0 在区间[1，e]上恒成立，求实数 a 的取值范围．
第Ⅰ卷(选择题）
A．
B．
C．
2 4 x2 dx
2． 0
（
A．
D．
）
B． 2
C．2
D．1
3．“指数函数
是减函数， 是指数函数，所以 是减函数”上述推理（ ）
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误 D．以上都不是
4．用反证法证明命题：“若实数 ， 满足
，则 ， 全为 0”，其反设正确的是 （ ）
九台区师范高中、实验高中 2018-2019 学年度第二学期期中考试
高二理科数学试题
注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 2.全部答案在答题卡上完成，否则无效.交卷时只交答题卡.
3.答题时间为 120 分钟；试卷满分为 150 分.
一、选择（每小题 5 分，共 60 分） 1．下列导数运算正确的是（ ）
15．参数方程
（ 是参数）对应的普通方程是_____________.
16．从 1~7 七个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数不相邻、
三个奇数也不相邻的五位数有____________个. 三、解答题（共 6 个题，共 70 分）
17．（10 分）已知 （1 ）求复数 ；
19．（12 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为
（ 为参数）.以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为
.
（1）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，
，求
.
20．（12 分）有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符合下
端点取到，
e2－2e ∴f(1)＝1－2(a＋1)≤0 且 f(e)＝e2－2(a＋1)e＋2a≤0，解得 a≥ 2e－2 .
′(x)
2x－12 ＝ x ≥0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)；当 a>1 时，在 x∈(0,1)或 x∈(a，＋∞)时，f ′(x)>
0，在 x∈(1，a)时，f ′(x)<0，∴f(x)的单调增区间为(0,1)和(a，＋∞)，单调递减区间为(1，a)．
(3)由(2)可知，f(x)在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f(x)在区间[1，e]上的最大值必在区间
3
5
(2)
C A 4 4 840
7
4
(3)
C C A 4 1 4 3360
7
4
4
(4)
C C A 3 1 3 360
6
3
3
21．解：由题意，
展开式前三项的二项式系数和为 22．
1 二项式定理展开：前三项二项式系数为：
，
解得： 或 舍去 ．
即 n 的值为 6．
2 由通项公式
，
令
，
可得： ．
展开式中的常数项为
；
是偶数，展开式共有 7 项 则第四项最大
展开式中二项式系数最大的项为
．
22．解：(1)∵a＝1，∴f(x)＝x2－4x＋2lnx，
2x2－4x＋2 ∴f ′(x)＝ x (x>0)，
f(1)＝－3，f ′(1)＝0，
所以切线方程为 y＝－3.
2x2－2a＋1x＋2a 2x－1x－a
,∴
∵
在复平面上对应的点在第四象限,
∴ 解得 即实 的取值范围是 ．
18．（1）0.72
（2）0.26
（3）0.98
19．（1故曲线 的直角坐标方程为 .
（2）将
,代人 ，得
，
则
，
故
.
C C C C A 20．（1） 3 2 4 1 5 5400
5
3
5
九台区师范高中、实验高中 2018-2019 学年度第二学期期中
高二理科数学试题
参考答案
1．D 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．B 8．D 9．B 10．B 11．B 12．D 13．-84
3 14． 7
15．
.
16．144
17．（1）设
,则
∵ 和 都是实数,
∴
解得 ∴
（2）由（1）知
A． ， 至少有一个为 0
B． ， 至少有一个不为 0
C． ， 全不为 0
D． ， 全为 0
5．由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．20
B．30
C．60
D．120
6．6 人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为 ( )
A．18
B．72
C．36
D．144
和 都是实数．
（2）若复数
在复平面上对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
18．（12 分）甲乙两名射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为 0.8，乙射中的概率为
0.9，求：
（1）2 人都射中目标的概率；
（2）2 人中恰有 1 人射中目标的概率； （3）2 人至少有 1 人射中目标的概率。
列条件的选法数：（写出必要的解题步骤）
（1）有女生但人数必须少于男生；
（2）某女生一定担任语文科代表；
（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
（4）某女生一定担任语文课代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表。
21．（12 分）已知
展开式前三项的二项式系数和为 22．
（1）求 n 的值；
吉林省吉林市2019年高二下学期期中数学试卷(理科)B卷
吉林省吉林市2019年高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共15分)1. （1分）复数i（1+i）（i是虚数单位）的虚部是________2. （1分） (2018高二下·辽宁期中) 直线是曲线的一条切线，则实数的值为________3. （1分）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________.4. （1分）设（，是虚数单位），满足，则 ________.5. （1分） (2017高二下·瓦房店期末) 若函数f(x)＝x2－aln x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．6. （1分）如果曲线y=x2与y=﹣x3在x=x0处的切线互相垂直，则x0的值为________．7. （1分）某果园现有100棵果树，平均每一棵树结600个果子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个果子．设果园增种x棵果树，果园果子总个数为y个，则果园里增种________棵果树，果子总个数最多．8. （1分）要制作一个容积为9m3 ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总价是________ 元．9. （1分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知 ( 为常数),在上有最大值，那么此函数在上的最小值为________.10. （1分） (2015高二下·徐州期中) 利用数学归纳法证明“ ”，从n=k推导n=k+1时原等式的左边应增加的项数是________项．11. （2分）(2012·湖南理) 设N=2n（n∈N* ，n≥2），将N个数x1 ， x2 ，…，xN依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN﹣1x2x4…xN ，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P2 ，当2≤i≤n﹣2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段作C变换，得到Pi+1 ，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8 ，此时x7位于P2中的第4个位置．（1）当N=16时，x7位于P2中的第________个位置；（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第________个位置．12. （1分）(2018·银川模拟) 曲线在点处的切线方程为________13. （1分） (2015高二下·宜春期中) 观察下列等式：13+23=32 ， 13+23+33=62 ， 13+23+33+43=102 ，…，根据上述规律，得到一般结论是________．14. （1分）(2019·南昌模拟) 已知函数对于任意实数都有，且当时，，若实数满足，则的取值范围是________．二、解答题： (共6题；共65分)15. （15分） (2015高二下·克拉玛依期中) 实数m分别为何值时，复数z= +（m2﹣3m﹣18）i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．16. （10分）(2019·浙江模拟) 已知函数．（1）若在处导数相等，证明：为定值，并求出该定值；（2）已知对于任意，直线与曲线有唯一公共点，求实数的取值范围.17. （5分）求证：32n+2﹣8n﹣9（n∈N*）能被64整除．18. （15分） (2015高三上·泰州期中) 设f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2 ．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围；（3）若使方程f（x）﹣g（x）=0在x∈[ ，en]（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小a的值为an，数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn＜3．19. （15分） (2015高三上·枣庄期末) 已知函数f（x）=x4lnx﹣a（x4﹣1），a∈R．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3） f（x）的极小值为φ（a），当a＞0时，求证：．（e=2.71828…为自然对数的底）20. （5分）设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0 ，当x＞x0时，f（x）＞0．参考答案一、填空题： (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题： (共6题；共65分)15-1、15-2、15-3、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、。
吉林省长春市第一中学2018-2019学年下学期高二年级期末考试数学(理)试题(解析版) (1)
长春一中2018—2019学年下学期高二年级期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则A B =I （ ）A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,4【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解法可得{|13}A x x =<<，从而由集合的交集运算可求得结果.【详解】根据题意，{|13}A x x =<<，则{|23}(2,3)A B x x ⋂=<<=.故本题正确答案为C.【点睛】本题考查集合的基本运算和简单不等式的解法，认真计算是关键，属基础题. 2.已知函数2,0()(3),0x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(2)f =( ) A. 32 B. 12 C. 16 D. 132 【答案】B【解析】【分析】根据自变量符合的范围代入对应的解析式即可求得结果.【详解】()()()11223122f f f -=-=-== 本题正确选项：B【点睛】本题考查分段函数函数值的求解问题，属于基础题.3.函数()()ln 2f x x =- ）A. ()1,2-B. [)1,2-C. (]1,2-D. []1,2- 【答案】B要使函数有意义，解2010x x ->⎧⎨+≥⎩即可.【详解】要使函数有意义，解2010x x ->⎧⎨+≥⎩解得12x -≤<，故选B. 【点睛】本题考查了具体函数的定义域，属于基础题.4.下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A. y x =与3y =B. 2y = 与y x =C. x y x =与0y x =D. 211x y x +=-与11y x =- 【答案】C【解析】【分析】先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．【详解】解：对于A 、∵y x =的定义域为R ，3y =的定义域为R ．两个函数的对应法则不相同，∴不是同一个函数．对于B 、∵2y =的定义域[)0,+∞，y x =的定义域均为R ．∴两个函数不是同一个函数． 对于C 、∵x y x =的定义域为R 且0x ≠，0y x =的定义域为R 且0x ≠．对应法则相同，∴两个函数是同一个函数．对于D 、211x y x +=-的定义域是1x ≠±，11y x =-的定义域是1x ≠，定义域不相同，∴不是同一个函数． 故选C ．【点睛】本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数，需要两个条件：①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足．5.过点()1,0且与直线20x y -=垂直的直线方程是（ ）A. 210x y --=B. 220x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y +-= 【答案】B先求出所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化简整理即得解.【详解】由题得直线的斜率为2,-所以直线的方程为02(1)y x -=--，即：220x y +-=故选B【点睛】本题主要考查相互垂直的直线的斜率关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.设a R ∈，则“1a =”是“直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行”的( )A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】 先由直线1l 与2l 平行，求出a 的范围，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行，所以(1)20a a +-=，解得1a =或2a =-，又当2a =-时，1:20l x y -+=与2:20l x y -+=重合，不满足题意，舍去；所以1a =；由1a =时，1l 与2l 分别为1:240l x y +-=，2:220l x y ++=，显然平行；因此“1a =”是“直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行”的充要条件；故选C【点睛】本题主要考查由直线平行求参数，以及充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型. 7.若点()11P ，为圆C ：22(3)9x y -+=弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为（ ）A. 210x y --=B. 210x y -+=C. 210x y +-=D. 210x y ++=【答案】A【解析】【分析】 根据题意，先求出直线PC 的斜率，根据MN 与PC 垂直求出MN 的斜率，由点斜式，即可求出结果.【详解】由题意知，圆心的坐标为()30C ，，则12PC k =-，由于MN 与PC 垂直，故MN 的斜率2k =， 故弦MN 所在的直线方程为()121y x -=-，即210x y --=.故选A【点睛】本题主要考查求弦所在直线方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于常考题型.8.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】执行循环，根据判断条件确定结束循环，输出结果. 【详解】第1步：a ＝7-2n ＝5，a ＞0成立，S ＝S ＋a ＝5，n ＝2；第2步：a ＝7-2n ＝3，a ＞0成立，S ＝S ＋a ＝8，n ＝3；第3步：a ＝7-2n ＝1，a ＞0成立，S ＝S ＋a ＝9，n ＝4；第4步：a ＝7-2n ＝－1，a ＞0不成立，退出循环，输出S ＝9．选D.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析判断能力，属基础题.9.若命题p ：0x ∃∈R ，20010x x -+≤，命题q ：0x ∀<，||x x >.则下列命题中是真命题的是（ ）A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. ()p q ⌝∧D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】【分析】 先判断命题p 和q 的真假，再判断选项得解.【详解】对于命题p,22000131=()024x x x -+-+>,所以命题p 是假命题，所以p ⌝是真命题； 对于命题q, 0x ∀<，x x >,是真命题.所以()p q ⌝∧是真命题.故选C【点睛】本题主要考查复合命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.设命题*:p x R ∀∈，1ln x x -≥，则p ⌝为（ ） A. *0x R ∃∈，001ln x x -≥B. *0x R ∃∈，001ln x x -≥C. *0x R ∃∈，001ln x x -<D. *0x R ∀∈，1ln x x -< 【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.【详解】Q 全称量词命题的否定是存在量词命题，*000,:1ln p x R x x ∃∈-<∴⌝.故选：C .【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.11.已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．【详解】当0ab =时，若1,0a b ==，不能推出220a b +=，不满足充分性；当220a b +=，则0a b ==，有0ab =，满足必要性；所以“0ab =”是“220a b +=”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题．12.下列四个命题中，真命题的个数是 （ ）①命题：“已知,a b ∈R ，“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件”；②命题：“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件；③命题：已知幂函数()a f x x =的图象经过点（2，2），则f （4）的值等于12； ④命题：若ln 1x x +>，则1x >．A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】【分析】命题①单位圆x 2+y 2＝1上或圆外任取一点P （a ，b ），满足“a 2+b 2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M （a ，b ），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足“a 2+b 2≥1”，从而判断命题的真假性；命题②先由“p 且q 为真”推出p 、q 的真假，然后判断“p 或q ”的真假，反之再加以判断；命题③直接把点的坐标代入幂函数求出α，然后把x ＝4代入求值即可；命题④构造函数f （x ）＝x ﹣1+lnx ，其中x ＞0，利用导数判断函数的单调性，从而判断命题的真假性；【详解】命题①如图在单位圆x2+y2＝1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，故命题①正确；命题②“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q都为真或p、q一真一假，所以不一定有“p且q为真”.所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；命题③由幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，22），所以2α＝22，所以α＝﹣12，所以幂函数为f （x）＝12x，所以f（4）＝12，所以命题③正确；命题④若x+lnx＞1，则x﹣1+lnx＞0，设f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，∴'11()1xf xx x+=+=＞0恒成立，∴f（x）（0，+∞）上单调递增，且f（1）＝0，∴f（x）＞0时x＞1，即x+lnx＞1时x＞1，所以命题④正确.故选C【点睛】本题考查命题的真假判断，充分不必要条件，幂函数，构造函数，利用导数判断函数的单调性，考查学生的计算能力，知识综合性强，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒10粒豆子，10粒中有6粒落在阴影区域，则阴影区域的面积约为__________．【答案】125.分析：利用几何概型的概率公式进行求解.解析：正方形中随机撒一粒豆子， 它落在阴影区域内的概率S 35P S ==阴影正方形， ∴312455S =⨯=阴影． 点睛：本题考查几何概型的应用，处理几何概型问题的关键在于合理选择几何模型（长度、角度、面积和体积等），一般原则是“一个变量考虑长度、两个变量考虑面积、三个变量考虑体积）.14.通常，满分为100分的试卷，60分为及格线，若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[24,36),[36,48),,[84,96]⋯分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面分采用“开方乘以10取整”的方式进行换算以提高及格率（实数a 的取整等于不超过a 的最大整数），如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为__________．【答案】0.82.【解析】【分析】通过题设中的频率分布直方图可计算不进行换算前36分以上（含36分）的学生的频率，此频率就是换算后的及格率．【详解】先考虑不进行换算前36分以上（含36分）的学生的频率，该频率为10.015120.82-⨯=，换算后，原来36分以上（含36分）的学生都算及格，故这次测试的及格率将变为0.82．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．15.已知向量a b r r ，的夹角为60︒，且||1,||2a b ==r r ，则(2)=a a b ⋅+r r r ________.【答案】3【解析】运用向量的数量积的定义可得⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，再利用向量的平方即为模的平方，计算可得答案.【详解】解：⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，相对简单.16.若方程sin x x c -=有实数解，则c 的取值范围是____.【答案】[2,2]-【解析】【分析】关于x 的方程sin x x ＝c 有解，即c ＝sin x x ＝2sin （x-3π）有解，结合正弦函数的值域可得c 的范围． 【详解】解：关于x 的方程sin x ＝c 有解， 即c ＝sin cos x ＝2sin （x-3π）有解， 由于x 为实数，则2sin （x-3π）∈[﹣2，2]， 故有﹣2≤c ≤2【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式、正弦函数的值域，属于中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =. (1)求B 的大小．(2)若a =，5c =，求b .【答案】(1) 6B π=(2) b =【解析】【分析】（1）根据正弦定理sin sin a b A B=可解得角B ；（2）由余弦定理，将已知代入，可得b ． 【详解】解：（1）由2sin a b A =，得sin 2sin sin A B A =，又因B 为锐角，解得6B π=．(2)由题得2222cos 272525524572b ac ac B =+-=+-⨯⨯=-=，解得b =． 【点睛】本题考查正，余弦定理解三角形，属于基础题．18.已知等差数列{}n a 中，17a =-，315S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）29n a n =-（2）(8)n S n n =-【解析】【分析】 （1）先设等差数列的公差为d ，根据题中条件求出公差，即可得出通项公式；（2）根据前n 项和公式，即可求出结果.【详解】（1）依题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为32315S a ==-，所以25a =-，又17a =-，所以公差2d =，所以1(1)n a a n d =+-=72(1)29n n -+-=-．（2）由（1）知17a =-，2d =， 所以1(1)2n n n S na d -=+=(1)72(8)2n n n n n --+⨯=- 【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式与前n 项和公式即可，属于基础题型.19.命题p ：方程230x x m -+=有实数解，命题q ：方程22192x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆． (1) 若命题p 为真，求m 的取值范围；(2) 若命题p q ∧为真，求m 的取值范围．【答案】（1）94m ≤.（2）924m <≤ 【解析】【分析】 （1）原题转化为方程230x x m -+=有实数解，23)40m ∆=--≥（；（2）p q ∧为真，即每个命题都为真，根据第一问得到参数范围，进而得到结果.【详解】（1）∵230x x m -+=有实数解，∴293)40,4m m （∆=--≥∴≤ （2）∵椭椭圆焦点在x 轴上,所以902092m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，∴1122m <<∵p q ∧为真，119224m m ∴<<≤且，924m ∴<≤. 【点睛】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p 且q 真，则p 真，q 也真；若p 或q 真，则p ，q 至少有一个真；若p 且q 假，则p ，q 至少有一个假．（2）可把“p 或q”为真命题转化为并集的运算；把“p 且q”为真命题转化为交集的运算．20.已知直线l 过点M （﹣3，3），圆()22:40C x y y m m R +++=∈． （Ⅰ）求圆C 的圆心坐标及直线l 截圆C 弦长最长时直线l 的方程； （Ⅱ）若过点M 直线与圆C 恒有公共点，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）（0，-2），5360x y ++=;（Ⅱ）30m ≤-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用直径为最长弦；（Ⅱ）利用点与圆的位置关系． 【详解】（Ⅰ）圆C 方程标准化为：()22x y 24m ++=- ∴圆心C 的坐标为（0，﹣2） 直线l 截圆C 弦长最长，即l 过圆心， 故此时l 的方程为：()()()y 232x 030----=---，整理得：5x 3y 60++=；（Ⅱ）若过点M 的直线与圆C 恒有公共点， 则点M 在圆上或圆内， ∴()223343m 0-++⨯+≤， 得m 30≤-．【点睛】此题考查了直线与圆，点与圆的位置关系,属于基础题. 21.已知函数()22xf x x =+．()1判断并证明()f x 在[]0,1上的单调性； ()2若[]1,2x ∈-，求()f x 的值域．【答案】()1见解析，()12.3⎡-⎢⎣⎦【解析】 【分析】()1根据函数的单调性的定义证明即可；()2根据函数的单调性，求出函数的值域即可．【详解】解：()()1f x 在[]0,1上单调递增函数，证明如下： 任取1201x x ≤<≤，则()()()()()()()()()()22122112121212222222121212222222222x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++因为1201x x ≤<≤，所以120x x -<，1201x x ≤≤，1220x x ->，221220,20x x +>+>，()()120f x f x ∴-<，()f x ∴在[]0,1上是增函数因为12x x <，所以，()()120f x f x ∴-<， ()f x ∴在[]0,1上是增函数．()[]21,2x ∈-Q ，又()f x在⎡-⎣上递增，在⎤⎦上递减， ()1()1,()3min max f x f f x f∴=-=-==， ()f x ∴的值域为1,.34⎡-⎢⎣⎦【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查求函数的最值，是一道中档题． 22.已知函数()()217g x x m x m =--+-.（1）若函数()g x 在[]2,4上具有单调性，求实数m 的取值范围；（2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）5m ≤或9m ≥；（2）1m ≥-【解析】 【分析】（1）求出函数图象的对称轴，根据二次函数的单调性求出m 的范围即可； （2）问题转化为2(1)20x m x m -+++>对任意[1,1]x ∈-恒成立，设2()(1)2h x x m x m =-+++，求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的范围，求出m 的范围即可.【详解】(1)()g x 的对称轴的方程为12m x -=，若函数()g x 在[]2,4上具有单调性， 所以122m -≤或142m -≥，所以实数m 的取值范围是5m ≤或9m ≥. （2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，则()21729x m x m x --+->-在[]1,1-上恒成立，即()2120x m x m -+++>在[]1,1-上恒成立，设()()212f x x m x m =-+++，则()min 0f x >，当112m -≤-，即3m ≤-时，()()min 1240f x f m =-=+>，此时m 无解， 当1112m --<<，即31m -<<时，()2min 11702424m m f x f m +⎛⎫==-++> ⎪⎝⎭，此时11m -<<， 当112m -≥，即1m ≥时，()()min 120f x f ==>，此时1m ≥，综上1m ≥-【点睛】该题考查的是有关二次函数的问题，在解题的过程中，需要对二次函数的性质比较熟悉，再者要注意单调包括单调增和单调减，另外图像落在直线的下方的等价转化，恒成立问题要向最值靠拢。
吉林省长春市2018-2019高二下学期期中考试数学(理)试卷【附答案】
九台区师范高中、实验高中2018-2019学年度第二学期期中考试高二理科数学试题注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.全部答案在答题卡上完成，否则无效.交卷时只交答题卡.3.答题时间为120分钟；试卷满分为150分.第Ⅰ卷(选择题）一、选择（每小题5分，共60分）1．下列导数运算正确的是（）A ．B ．C ．D ．2．dxx⎰-224（）A．πB．π2C．2 D．13．“指数函数是减函数，是指数函数，所以是减函数”上述推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都不是4．用反证法证明命题：“若实数，满足，则，全为0”，其反设正确的是（）A．，至少有一个为0 B．，至少有一个不为0C．，全不为0 D．，全为05．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为（）A．20 B．30 C．60 D．1206．6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为( )A．18 B．72 C．36 D．1447．若复数，则z的共轭复数（）A．B．C．D．8．设袋中有大小相同的80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（）A.10100610480CCCB.10100410680CCCC.10100620480CCCD.10100420680CCC9．点的直角坐标为，则点的极坐标可以为（）A ．B ．C ．D ．10．若圆的方程为 (θ为参数)，直线的方程为 (t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定11.袋中有大小相同的3个红球、7个白球，从中不放回地依次摸出两球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是（ ）A.51B.31C.83D.7312．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．()()+∞-,20,2Y 第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．在的展开式中的系数为_____.14．设随机变量X 的分布列P(X=i)=ik2(i=1,2,3),则P(X 2≥)=_______15．参数方程（是参数）对应的普通方程是_____________.16．从1~7七个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数不相邻、三个奇数也不相邻的五位数有____________个. 三、解答题（共6个题，共70分） 17．（10分）已知和都是实数．（1 ）求复数； （2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．18．（12分）甲乙两名射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： （1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率。
2018-2019学年吉林省长春汽车经开三中高二下学期期中考试数学（理）试题
汽车三中2018--2019学年高二下学期期中考试数学 (理科) 试卷满 分： 150分 考试时间：120分钟注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 2 页， 答题前，考生须将自己的姓名、班级、考号写在答题卡指定的位置上。
考试结束，只上交答题卡。
2． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上。
非选择题须使用蓝、黑色字迹的笔在答题卡上书写。
第Ⅰ卷（选择题）一、 选择题：（共12小题，每小题5分，共计60分）1. 已知50个乒乓球中，45个为合格品，5个次品，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品 的概率为( )A.C 35C 350B.C 15＋C 25＋C 33C 350 C ．1－C 345C 350D.C 15C 245＋C 25C 145C 3502. 教育局派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考情况，要求每个学校至少一名， 则不同的分配方案种数为（ ）A. 72B. 36C. 48D. 1443. 在10支铅笔中，有8只正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下， 第二次抽的是正品的概率是( )A. 89B. 845C. 15D.454.某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则()3P ξ==（ ） A ．22313C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．22331C 44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ．21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭5.已知P (X ＝1)＝0.4，P (X ＝2)＝0.2，P (X ＝3)＝0.4，则E (X )和D (X )的值分别为( ) A ．1和0 B ．1和1.8 C ．2和2 D ．2和0.86．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是( )7.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是( )A.13B. 29 C.49D.8278.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^=9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元9.一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分数据如图，则本次考试中优秀者(80分以上)的人数为( )A ．4B ． 5C ．6D ． 710.若二项式nxx )2(2-的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为（ ）A. B.C.160D.24011．二项式nxx )11(53+展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是( )A ．330B ．462C ．680D ．79012．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（ ）A ．516B ．532C ．16D ．以上都不对第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：（共4小题，每小题5分，共计20分）13. 已知X ～N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤2)＝0.6，则P (X >2)等于________.14.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有________.15. 设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________.16. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)． ①P(B)＝25； ②P(B|A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22每小题12分，共计70分） 17. （本小题满分10分）已知某中学高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按800003,002,001 进行编号． （1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54（2）抽的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有2018442++=人，若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a b ，的值．（3）将108a b ≥，≥的a b ，表示成有序数对()a b ，，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对()a b ，的概率．18. （本小题满分12分）第16届亚运会在中国广州举行，在安全保障方面，警方从武警训练基地挑选防暴警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A 、B 、C 、D )拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响． (1)求A 能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望． 19.（本小题满分12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具,对某城市年龄在20岁至60岁的微信用户进行有关调查发现,有13的用户平均每天使用微信时间不超过1小时,其他人都在1小时以上;若将这些微信用户按年龄分成青年人(20岁至40岁)和中年人(40岁至60岁)两个阶段,那么其中34是青年人;若规定 平均每天使用微信时间在1小时以上为经常使用微信,经常使用微信的用户中有23是青年人.(1) 现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方法选取容量为180的一个样本,假设该样本有关数据与调查结果完全相同,列出2×2列联表.(2)由列表中的数据,能否判断在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“经常使用微信与年龄有关”?(3)从该城市微信用户中任取3人,其中经常使用微信的中年人人数为X,求出X 的期望.附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20. （本小题满分12分）甲乙两队参加某知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分｡假设甲队中每人答对的概率均为32,乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示乙队的总得分. (1)求随机变量ξ的分布列和数学期望;(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分” 这一事件,求)|(A B P ｡ 21.（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他 们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数， 得到如下资料：日期 12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x (℃) 10 11 13 12 8 发芽数Y (颗)2325302616方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据， 求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为 得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？(参考公式: 1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑) ∑3i ＝1x i y i ＝977，∑3i ＝1x 2i ＝434， 22. （本小题满分12分）P （）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．答案1、答案：C解析：间接法．出现次品的对立面为取出的3个均为正品，取出3个均为正品的概率为C 345C 350，所以出现次品的概率为1－C 345C 350.2、答案：B3、答案：A解析：设A ，B 分别表示“第一次、第二次抽得正品”，则A B 表示“第一次抽得次品第二次抽得正品”．∴P (B |A )＝P A B PA＝2×810×9210＝89.4、答案：C解析： ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是⎝⎛⎭⎫142×34，故选C ．5、答案：D解析：X 的分布列为：X 1 2 3 P0.40.20.4从而由D (X )，E (X )的定义可求．6、答案：D解析：在四幅图中，D 图中两个阴影条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强。
2018-2019学年高二第二学期期中测评考试理科数学答案
≠m2-5m+6=0，
17. 解：（1）由 z 为纯虚数得
解得 m=2． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5 分
m2-8m+15≠0，
（2）复数 z－8i=（m2-5m+6）+（m2-8m+7）i，因为复数 z－8i 位于第四象限，
≠m2-5m+6＞0，
所以
解得 1＜m＜2 或 3＜m＜7.故 m 的取值范围为（1，2）∪（3，7）. !!!!!!!!!!! 10 分
a a 故函数 g（x）的最大值为 g
1 a
=-2lna+
1 a
-1．
高二理科数学试题答案 第 4 页（共 5 页）
由题意得需 g
1 a
=-2lna+
1 a
-1≤0，
令
h（a）=-2lna+
1 a
-1，∵h（a）在（0，+∞）上单调递减，又 ∵h（1）=0，
∴ 当 a≥1 时，h（a）≤0 恒成立，∴ 实数 a 的取值范围为［1，+∞）． !!!!!!!!!!!!!!!!! 12 分
12. C 【解析】f（ 1 x）=f ′（x）=cosx－e－x+2018x2017， f（ 2 x）=f ′（ 1 x）=－sinx+e－x+2018×2017x2016， f（ 3 x）=f ′（ 2 x）=－cosx－e－x+2018×2017×2016x2015， f（ 4 x）=f ′（ 3 x）=sinx+e－x+2018×2017×2016×2015x2014， …
乙 乙 4
4
5. B 【解析】 姨4-（x-2）2 dx表示以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆的上半部分的面积， 姨4-（x-2）2 dx=2π.故选 B.
吉林省长春市高二下学期数学期中考试试卷
吉林省长春市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共18题；共36分)1. （2分）设集合A={1,2,4}，B={2,6}，则A B等于（）A . ｛２｝B . ｛１，２，４，６｝C . ｛１，２，４｝D . ｛２，６｝2. （2分） (2018高一上·阜城月考) 直线经过原点和，则它的倾斜角是（）A . 45°B . 135°C . 45° 或135°D . −45°3. （2分）直线截圆得到的劣弧的弧长为（）A .B .C .D .4. （2分）已知{an}为等比数列，a4+a7=2,a5a6=-8，则a1+a10=（）A . 7B . 5C . -5D . -75. （2分）若，且，则下列不等式中一定成立的是（）A .B .C .D .6. （2分）按复利计算，存入一笔5万元的三年定期存款，年利率为4％，则3年后支取可获得利息为（）A . 万元B . 万元C . 万元D . 万元7. （2分）(2017·枣庄模拟) △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则S△ABC的最大值为（）A .B .C .D .8. （2分）四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=4,， AE,CF都与平面ABCD垂直，AE=2,CF=4，则四棱锥E-ABCD与F-ABCD公共部分的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）圆C的方程为，圆M的方程为，过圆C 上任意一点P作圆M的两条切线PE、PF ，切点分别为E、F ，则的最小值是（）A . 6B .C . 7D .10. （2分） (2018高一下·新乡期末) （）A . 1B . -1C .D .11. （2分）(2017·兰州模拟) 已知向量，满足| |=| |=2，•（﹣）=﹣2，则|2|=（）A . 2B . 2C . 4D . 812. （2分）设函数，，若数列是单调递减数列，则实数k的取值范围为（）A .B .C .D .13. （2分）过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .14. （2分） (2017高二上·静海期末) 条件；条件：直线与圆相切，则是的（）A . 充分必要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件15. （2分）(2016·湖南模拟) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 6πB .C . 3πD .16. （2分）已知不等式组所表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .17. （2分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A . 0B . 0或－C . －或－D . 0或－18. （2分） (2019高二上·南湖期中) 如图，在菱形中，，线段，的中点分别为．现将沿对角线翻折，使二面角的在大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .二、双空题 (共1题；共1分)19. （1分）对正整数n，设曲线y＝(2－x)xn在x＝3处的切线与y轴交点的纵坐标为an ，则数列在前n项和等于________．三、填空题 (共3题；共3分)20. （1分）(2017·赣州模拟) 已知向量 =（1，﹣2），⊥ ，|2 ﹣ |=5，则| |=________．21. （1分）椭圆的两焦点为，一直线过交椭圆于、，则△ 的周长为________．22. （1分）(2018·浙江学考) 若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是________.四、解答题 (共3题；共40分)23. （15分） (2016高一下·大连期中) 已知tan（π+α）=﹣，求下列各式的值．（1）；（2）sin2α﹣2sinαcosα+4cos2α24. （10分） (2018高三上·凌源期末) 已知椭圆的离心率为，且过点.过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，且 .（1）求椭圆的方程；（2）若点与点关于轴对称，且直线与轴交于点，求面积的最大值.25. （15分）(2013·安徽理) 设函数fn（x）=﹣1+x+ + +…+ （x∈R，n∈N+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[ ，1]，满足fn（xn）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．参考答案一、单选题 (共18题；共36分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、二、双空题 (共1题；共1分) 19-1、三、填空题 (共3题；共3分) 20-1、21-1、22-1、四、解答题 (共3题；共40分) 23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、第11 页共11 页。
吉林省长春市实验中学2019年高二第二学期期中考试理科数学试题及解析
期中数学试卷一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z 满足()33i z i +=-,则(z = ) 13 B.3C.4D.5【参考答案】D 【试题解析】 【分析】先由复数的四则运算求出z ,再由复数模的运算即可求出结果. 因为()33i z i +=-,所以()333334iz i i i i-=-=---=--, 所以()()22435z =-+-=.故选D本题主要考查复数的四则运算,以及复数模的运算,熟记公式即可求解,属于基础题型. 2.设集合{},,,,A a b c d e =,B A ⊆,已知a B ∈,且B 中含有3个元素,则集合B 有( ) A.26A 个B.24CC.33AD.35C【参考答案】B 【试题解析】B 中其他两个元素是从,,,b c d e 中选取的.由此可得.由题意∵a B ∈,且B 中只有3个元素,B A ⊆,∴集合B 的个数是24C . 故选:B.本题考查集合的包含关系,掌握子集的概念是解题关键.3.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击,设击中的概率分别为0.4,0.5,则恰有一人击中敌机的概率为( ) A.0.9 B.0.2 C.0.7 D.0.5【参考答案】D 【试题解析】根据题意结合互斥事件的概率公式、对立事件的概率公式进行求解即可设事件A 、B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机,则P (A )＝0.4,P (B )＝0.5,事件恰有一人击中敌机的概率为:()()()()()()()()[1()][1()](),P AB AB P AB P AB P A P B P A P B P A P B P A P B +=+=+=-+-代入求值得:()0.4(10.5)(10.4)0.50.5P AB AB +=⨯-+-⨯=. 故选D.本题考查了互斥事件和对立事件的概率公式,考查了数学阅读理解能力,属于基础题. 4.已知随机变量X 服从二项分布()X B 163，,则(2)P X ==( )A.80243B.13243C.4243D.316【参考答案】A 【试题解析】由二项分布的公式即可求得2X =时概率值.由二项分布公式:()24261280233243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选A.本题考查二项分布的公式,由题意代入公式即可求出.5.将甲、乙、丙等六位同学排成一排,且甲、乙在丙的两侧,则不同的排法种数共有( ) A.480种 B.360种 C.120种 D.240种【参考答案】D 【试题解析】先对六位同学全排列,再利用甲、乙在丙的两侧有两种情况,分为甲、丙、乙和乙、丙、甲,列式子即可.先将甲、乙、丙等六位同学排成一排,有66A 种,甲、乙在丙的两侧,分为甲、丙、乙和乙、丙、甲,则不同的排列方法有66332240A A ⨯=种.倍缩法:对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行全排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数.6.设随机变量x 服从正态分布N (2,9),若(1)(21)P x m P x m >-=<+,则m = A.23B.43C.53D.2【参考答案】B 【试题解析】(1)(21)P x m P x m >-=<+由正态分布性质可得1214223m m m -++=⇒=7.若随机变量ξ的分布列:那么E (5ξ+4)等于( ) A.15B.11C.2.2D.2.3【参考答案】A 【试题解析】由已知条件求出Eξ=2.2,再由E (5ξ+4)=5E (ξ)+4,能求出结果. 由已知,得:Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2, ∴E (5ξ+4)=5E (ξ)+4=5×2.2+4=15. 故选:A.本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题. 8.学校选派5位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这3所大学的自主招生考试,每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有 A.540种 B.240种C.180种D.150种【参考答案】D【试题解析】分析:按题意5人去三所学校,人数分配可能是1,1,3或1,2,2,因此可用分类加法原理求解.详解:由题意不同方法数有1223335425331502!C C C C A A +⨯=.故选D.:本题考查排列组合的综合应用,此类问题可以先分组再分配,分组时在1,2,2一组中要注意2,2分组属于均匀分组,因此组数为22422!C C ,不是2242C C ,否则就出错.9.已知在二项式n的展开式中,仅有第9项的二项式系数最大,则展开式中,有理项的项数是( ) A.1B.2C.3D.4【参考答案】C 【试题解析】由二项式系数最大项确定16n =,然后利用二项式展开式的通项公式即可求得有理项.二项式n的展开式中,仅有第9项的二项式系数最大,16n ∴=则()325166116162rrrr rr r T CC x--+⎛==- ⎝, 当3256rZ -∈时,1r T +为有理项, 016r ≤≤且r Z ∈,4,10,16r ∴=符合要求,所以有理项有3项,分别为5,11,17项. 故选:C本题考查了二项式系数和二项式展开式,属于中档题. 10.在一次独立性检验中得到如下列联表:A1A2总计B1200 800 1000B2180 a 180＋a总计380 800＋a 1180＋a若这两个分类变量A和B没有关系,则a的可能值是( )A.200B.720C.100D.180【参考答案】B【试题解析】令2k的观测值为零,解方程即得解.当a＝720时,k＝＝0,易知此时两个分类变量没有关系.故答案为B(1)本题主要考查2×2列联表,意在考查学生对知识的掌握水平和分析推理能力.(2)如果随机变量2k的观测值为零,则证明两个分类变量没有关系.如果|ad-bc|=0, 则证明两个分类变量没有关系.11.某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B､C､D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3､5､6､8､9中选择,其他号码只想在1､3､6､9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )A.180种B.360种C.720种D.960种【参考答案】D【试题解析】根据题意,依次分析牌照的第一个号码､第二个号码以及最后三个号码的选法数目,进而由分步计数原理计算可得答案.根据题意,车主第一个号码在数字3､5､6､8､9中选择,共5种选法,第二个号码只能从字母B､C､D中选择,有3种选法,剩下的3个号码在1､3､6､9中选择,每个号码有4种选法,则共有4×4×4=64种选法,则共有5×3×64=960种,故选:D.本题考查排列､组合的应用,需要注意汽车牌照号码中数字可以重复,故最后三位号码有4×4×4种选法,而不是A43种,属于基础题.12.某学校4位同学参加数学知识竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲､乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得30分,答错得﹣30分；选乙题答对得10分,答错得﹣10分.若4位同学的总分为0,则这4位同学不同得分情况的种数是( )A.24B.36C.40D.44【参考答案】D【试题解析】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类:①两人得30分,余下两人得﹣30分,②一人得30分,余下三人得﹣10分,③一人得﹣30分,余下三人得10分,④一人得30分,一人得﹣30分,一人得10分,一人得﹣10分,⑤两人得10分,余下两人得﹣10分,根据分类计数原理得到结果.由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类:(1)两人得30分,余下两人得﹣30分,有C42=6种情况；(2)一人得30分,余下三人得﹣10分,有4种情况；(3)一人得﹣30分,余下三人得10分,有4种情况；(4)一人得30分,一人得﹣30分,一人得10分,一人得﹣10分,有A43=24种情况；(5)两人得10分,余下两人得﹣10分,有C42=6种情况.根据分类计数原理得到共有6+4+4+24+6=44种情况.故选:D本题考查组合数公式的运用,注意组合与排列的不同,本题中,要注意各种情况间的关系,避免重复､遗漏,属于基础题.二､填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.计算:()273451234i i i i i +--++-+-=____________ . 【参考答案】16i 【试题解析】 由题意可得:()()()2734512342751334253137416.i i i i ii i i i i +--++-+-=+-++-=-+++-=14.编号为1,2,3,4,5的五个人,分别坐在编号为1,2,3,4,5的座位上,则恰有两个人的编号与其座位号分别相同的坐法种数为__________.(用数字作答) 【参考答案】20 【试题解析】根据题意,首先从5个号码中,选出两个号码,使其编号与座位号一致,由组合数公式可得情况数目,再分析其余的三个座位与人的编号不同的情况数目,易得第一个人有两种选择,另外两个人的位置确定,共有2种结果；由分步计数原理相乘得到结果. 解:由题意知本题是一个排列、组合及简单计数问题,恰有两个人的编号与座位号一致,则首先从5个号码中,选出两个号码,有C 52＝10种结果, 其余的三个座位与人的编号不同,则第一个人有两种选择,另外两个人的位置确定,共有2种结果,根据分步计数原理得到共有10×2＝20种结果, 故答案为20本题考查组合公式以及分步计数原理的运用,易错点为当两个相同的号码确定以后,其余的三个号码不同的排法共有2种结果.15.设a 为非零常数,已知(x 21x +)6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为2,则展开式中常数项等于_____. 【参考答案】240 【试题解析】根据(x 21x +)6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为2,令x =1得a =2,再利用展开式的通项公式,求出展开式中常数项.∵(x 21x +)6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为2,∴令x =1得()6212a ⋅-=,a =2或a =0(舍).又6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项()6216(2)0126r r r r T C x r -+=-=，，，，,6﹣2r 为偶数,故6﹣2r =﹣2即r =4. ∴2612()x x x x⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为446(2)240C -=. 故答案:240.本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查求展开式的各项系数和的常用方法是赋值法.16.①回归分析中,相关指数2R 的值越大,说明残差平方和越大；②对于相关系数r ,r 越接近1,相关程度越大,r 越接近0,相关程度越小； ③有一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 得到的回归直线方程为ˆybx a =+,那么直线ˆybx a =+必经过点(),x y ； ④2K 是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量,只对于两个分类变量适合； 以上几种说法正确的序号是__________. 【参考答案】②③④. 【试题解析】分析:根据回归直线方程与独立性检验的实际意义作出判断.详解:在回归分析中,相关指数越大,残差平方和越小,回归效果就越好,①错误； 在回归分析中,相关指数的绝对值越接近于1,相关程度就越大,②正确回归直线ˆybx a =+必经过样本中心点(),x y ,③正确； 2K 是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量,只对于两个分类变量适合,④正确.故答案为:②③④.:本题考查线性回归方程的意义和独立性检验的应用,本题解题的关键是正确理解线性回归方程与独立性检验的意义,属于基础题.三､解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 17.(选修4-4:坐标系与参数方程)已知直线l的参数方程为1{2x y =-+=(t 为参数),曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-,以极点为原点,极轴为x 轴正方向建立直角坐标系,点(1,0)M -,直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. (Ⅰ)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程； (Ⅱ)求线段MA 、MB 长度之积MA MB ⋅的值. 【参考答案】(Ⅰcos()14πθ+=-,2y x (Ⅱ)2【试题解析】试题分析:(Ⅰ)先消参数,将直线l 的参数方程化为普通方程:1x y -=-,再根据cos ,sin x y ρθρθ==将直线l 的方程化为极坐标方程:cos sin 1ρθρθ-=-,即cos()14πθ+=-；利用cos ,sin x y ρθρθ==将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程:2222222sin sin 1sin 1sin x y y y x y θρθρρθθ=⇒=⇒+-=⇒=--(Ⅱ)利用直线参数方程几何意义求线段MA 、MB 长度之积MA MB ⋅的值:将12{2x y t =-+=代入2yx得220t -+=,122MA MB t t ⋅==.试题【试题解答】(Ⅰ)直线lcos()14πθ+=-,曲线C 的普通方程为2yx ；(Ⅱ)将12{x y =-+=代入2yx得220t -+=,122MA MB t t ⋅==.考点:直线参数方程几何意义18.一台机器使用的时间较长,但还可以使用,它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点零件的多少,随机器的运转的速度而变化,下表为抽样试验的结果:(1)画散点图；(2)如果y 对x 有线性相关关系,求回归直线方程；(3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个,那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(参考数值:2551380,145iii i i x y x ⎫∑=∑=⎪⎭) 【参考答案】(1)散点图见解析.(2) 6.517.5y x =+.(3)机器的运转速度应控制11转/秒内. 【试题解析】(1)根据表格数据,可得散点图；(2)先求出横标和纵标的平均数,代入求系数b 的公式,利用最小二乘法得到系数,再根据公式求出a 的值,写出线性回归方程,得到结果.(3)允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个,即线性回归方程的预报值不大于89,写出不等式,解关于x 的一次不等式,得到要求的机器允许的转数. (1)散点图如图；(2)2555501380145i ii i i x y x y x ==∑=∑=，，，,∴138055506.517.5145555b a y b x -⨯⨯===-=-⨯⨯，,∴回归直线方程为: 6.517.5y x =+； (3)由y ≤89得6.5x +17.5≤89,解得x ≤11, ∴机器的运转速度应控制11转/秒内.本题考查线性回归分析,考查线性回归方程,考查线性回归方程的应用,考查不等式的解法,是一个综合题目,属于基础题.19.某车间在两天内,每天生产10件某产品,其中第一天､第二天分别生产了1件､2件次品,而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.(1)求两天全部通过检查的概率；(2)若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度,两天全不通过检查罚300元,通过1天,2天分别奖300元､900元.那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元？ 【参考答案】(1)15.(2)260(元) 【试题解析】(1)由题意分别可得第一､二天通过检查的概率,由独立事件的概率公式可得； (2)记所得奖金为ξ元,则ξ的取值为﹣300,300,900,分别求其概率可得数学期望. (1)随意抽取4件产品进行检查是随机事件,而第一天有9件正品,第二天有8件正品,第一天通过检查的概率为49141035C P C ==.第二天通过检查的概率为48241013C P C ==. 因为第一天､第二天检查是否通过是相互独立的, 所以两天全部通过检查的概率为312311535P PP ==⨯=. (2)记所得奖金为ξ元,则ξ的取值为﹣300,300,900 ,由题意可得()2243005315P ξ=-=⨯=； ()()32128311300900533515535P P ξξ==⨯+⨯===⨯=；.故48130030090026015155E ξ=-⨯+⨯+⨯=(元).本题考查离散型随机变量的期望的求解,涉及相互独立事件的概率公式,属中档题. 20.曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ 为参数),将曲线1C 上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,,得到曲线2C .以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线():cos 2sin 6l ρθθ-=. (1)求曲线2C 和直线l 的普通方程.(2)P 为曲线2C 上任意一点,求点P 到直线l 的距离的最值.【参考答案】(1) 22143x y +=,260x y --=.(2) 点P 到直线l的距离的最大值为最小值为5. 【试题解析】(1)先根据变换得到222:143x y C +=,再利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩把直线的极坐标方程改成直角方程.(2)利用2C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩设出动点P ,再利用点到直线的距离公式得到距离d的表达式后可得其最大值和最小值.(1)由题意可得2C 的参数方程为2cos 3sin xy θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ 为参数),即222:143x y C +=.直线():cos 2sin 6l ρθθ-=化为直角坐标方程为260x y --=.(2)设点()2cos ,3sin P θθ,由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为2cos 23sin 65d θθ--=64cos 64cos 3355ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==因为264cos 103πθ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭,故而min max 25,25d d ==. 一般地,当点在圆锥曲线运动变化时,我们可以用含参数的代数式表示动点的横纵坐标.比如,动点在椭圆22221x y a b +=,可设动点为()cos ,sin a b θθ,又如动点在双曲线22221x y a b-=,可设动点为1,tan cos a b θθ⎛⎫⎪⎝⎭. 21.某校高二(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,如图所示:试根据图表中的信息解答下列问题:(1)求全班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数；(2)为快速了解学生的答题情况,老师按分层抽样的方法从位于[70,80),[80,90)和[90,100]分数段的试卷中抽取8份进行分析,再从中任选3人进行交流,求交流的学生中,成绩位于[70,80)分数段的人数X 的分布列和数学期望.【参考答案】(1)50,20；(2)158.【试题解析】解:(1)由茎叶图可知,分数在[50,60)上的频数为4,频率为0.008×10＝0.08,故全班的学生人数为40.08＝50.分数在[70,80)之间的频数等于50－(4＋14＋8＋4)＝20.(2)按分层抽样原理,三个分数段抽样数之比等于相应人数之比.又[70,80),[80,90)和[90,100]分数段人数之比等于5∶2∶1,由此可得抽出的样本中分数在[70,80)之间的有5人,分数在[80,90)之间的有2人,分数在[90,100]之间的有1人.从中任取3人,共有C83＝56种不同的结果.被抽中的成绩位于[70,80)分数段的学生人数X的所有取值为0,1,2,3.它们的概率分别是:P(X＝0)＝3356C＝156,P(X＝1)＝125356C C＝1556,P(X＝2)＝215356C C＝3056＝1528,P(X＝3)＝3556C＝1056＝528.∴X的分布列为∴X的数学期望为E(X)＝0×156＋1×1556＋2×1528＋3×528＝10556＝158.22.为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩,得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定80分以上为优分(含80分).(Ⅰ)(i)请根据图示,将2×2列联表补充完整；优分非优分总计男生女生总计50(ii)据此列联表判断,能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？(Ⅱ)将频率视作概率,从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩,求至少2名学生的成绩为优分的概率.附:()2P K k0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828.【参考答案】(I)(i)列联表见解析；(ii)在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关；(II)0.352. 【试题解析】试题分析:(I)列出列联表,根据公式计算卡方的值,比较可得到结论；(II)根据题意,得到随机变量X 服从二项分布(3,0.4)B ,即可求解其概率.试题【试题解答】(Ⅰ)根据图示,将2×2列联表补充完整如下: 优分 非优分 总计 男生 9 21 30 女生 11 9 20 总计 203050假设0H :该学科成绩与性别无关,2K 的观测值22()50(991121)3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯,因为3.125 2.706>,所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关. (Ⅱ)由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关, 因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率. 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中,优分人数为X , 则X 服从二项分布(3,0.4)B ,所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=.考点:频率分布直方图、茎叶图、n次独立重复试验、独立性检验.。
吉林省长春市实验中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
吉林省长春市实验中学2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知复数z 满足2z zi i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）B. 2C.2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】 整理得到21iz i-=+，根据模长的运算可求得结果.【详解】由2z zi i +=-得：21iz i -=+ 212i z i -∴===+ 本题正确选项：C【点睛】本题考查向量模长的求解，属于基础题.2.10名学生在一次数学考试中的成绩分别为如1x ，2x ，3x ，…，10x ，要研究这10名学生成绩的平均波动情况，则最能说明问题的是（ ） A. 频率 B. 平均数C. 独立性检验D. 方差【答案】D 【解析】分析：直接根据频率、平均数、独立性检验、方差的基本定义判断即可.详解：因为频率表示可能性大小，A 错；平均数表示平均水平的高低，B 错；独立性检验主要指两个变量相关的可能性大小，C 错；方差表示分散与集中程度以及波动性的大小， D 对，故选D.点睛：本题主要考查频率、平均数、独立性检验、方差的基本定义，属于简单题.3.某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（ ） A. 1818A 种 B. 2020A 种C. 231031810A A A 种D. 218218A A 种【答案】D 【解析】先排美国人和俄国人，方法数有22A 种，剩下18人任意排有88A 种，故共有2828A A ⋅种不通过的站法.4.某产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间的关系如下表，由此得到y 与x 的线性回归方程为6y x a =+$$，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（ ）A. -10B. 0C. 10D. 20【答案】C 【解析】 【分析】由已知求得,x y 的值，得到ˆa，求得线性回归方程，令5x =求得y 的值，由此可求解结论. 【详解】由题意，根据表格中的数据， 可得2456830406050705,5055x y ++++++++====，所以ˆ6506520ay x =-⨯=-⨯=，所以ˆ620y x =+， 取5x =，得ˆ652050y=⨯+=， 所以随机误差的效应（残差）为605010-=，故选C.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及残差的求法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.设曲线ln 1xy x =+在点(1,0)处的切线与直线10x ay -+=垂直，则a =（ ） A. 12-B. 12C. -2D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的求导运算得到导函数，根据题干所给的垂直关系，得到方程，进而求解.【详解】由题意得，2(ln )'(1)ln (1)''(1)x x x x y x +-+=+211ln (0)(1)xx x x +-=>+， ∵在点(1,0)处的切线与直线10x ay -+=垂直，∴2ln14a -=-，解得12a =-， 故选：A ．【点睛】这个题目考查了函数的求导法则，涉及到导数的几何意义的应用，属于基础题.6.用数学归纳法证明“211*43()n n n N -++∈能被13整除”的第二步中，当1n k =+时为了使用归纳假设，对21243k k +++变形正确的是（ ） A. 211116(43)133k k k -+++-⨯B. 24493k k ⨯+⨯C. 211211(43)15423k k k k -+-+++⨯+⨯ D. 211213(43)134k k k -+-+-⨯【答案】A 【解析】 试题分析：假设当，能被13整除， 当应化成形式，所以答案为A考点：数学归纳法7.函数()321212f x x x x =+-+的极大值为（ ）A. 3B.52D. 2【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数()(1)(32)f x x x '=+-，得出函数的单调性，再根据集合的定义，即可求解. 【详解】由题意，函数()321212f x x x x =+-+，则()232(1)(32)f x x x x x '=+-=+-， 令()0f x '>，即(1)(32)0x x +->，解得1x <-或23x >， 令()0f x '<，即(1)(32)0x x +-<，解得213x -<<， 即函数在2(,1),(,)3-∞-+∞上函数()f x 单调递增，在2(1,)3-上函数()f x 单调递减，所以当1x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值()512f -=，故选B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及求解函数的极值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系，以及极值的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，那么()|P A B =（ ） A.12 B.34C.25D. 38【答案】B 【解析】 【分析】确定421(),(),()151510P A P B P AB ===，再利用条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，可知421(),(),()151510P A P B P AB ===，利用条件概率的计算公式，可得1 ()310(|)2()415P ABP A BP B===，故选B.【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为（）A. 55B. 89C. 120D. 144【答案】A【解析】【分析】根据杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，找出规律，即可求出数列的第10项，得到答案.【详解】由题意，可知1234561,1,112,123,235,358a a a a a a===+==+==+==+=，789105813,81321,132134,213455a a a a=+==+==+==+=，故选A.【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中读懂题意，理清前后项的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.设sina xdxπ=⎰，则二项式51axx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的所有项系数和为（）A. 1B. 32C. 243D. 1024【答案】C【解析】 【分析】根据定积分求得2a =，得出二项式，再令1x =，即可求得展开式的所有项的系数和，得到答案.【详解】由题意，可得00sin cos |2a xdx x ππ==-=⎰，所以二项式为51(2)x x+，令1x =，可得二项式51(2)x x+展开式的所有项系数和为5(21)243+=，故选C.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，以及二项展开式的系数问题，其中解答中熟记定积分的计算，以及二项式的系数的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 A. 232 B. 252C. 472D. 484【答案】C 【解析】试题分析：3张卡片不能是同一种颜色，有两种情形：三种颜色或者两种颜色，如果是三种颜色，取法数为，如果是两种颜色，取法数为，所以取法总数为，故选C ．考点：分类加法原理与分步乘法原理．【名师点晴】（1）对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．（2）当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．12.函数()11sin x x f x ee a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. 20,π⎛⎫⎪⎝⎭B. 20,π⎛⎤⎥⎝⎦C. ()0,2D. (]0,2 【答案】B 【解析】 【分析】由函数()f x 存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ=与函数()11xx g x ee --=-只有唯一一个交点，画出()x ϕ与()g x 的大致图象，根据使得函数()x ϕ与函数()g x 只有唯一一个交点，得到()()11g ϕ''≥，即可求解. 【详解】由题意，函数()11sin x x f x ee a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ=与函数()11xx g x e e --=-只有唯一一个交点，因为()()10,10g ϕ==，所以函数()sin x a x ϕπ=与函数()11xx g x e e --=-唯一交点为(1,0)，又因为()11xx g x ee --'=--，且110,0x x e e -->>，所以()0g x '<，即函数()11xx g x ee --=-在R 上单调递减函数，又因为()sin x a x ϕπ=是最小正周期为2，最大值为a 的正弦函数， 所以可得()sin x a x ϕπ=与函数()11xx g x ee --=-的大致图象，如图所示，所以要使得函数()sin x a x ϕπ=与函数()11xx g x e e --=-只有唯一一个焦点，则()()11g ϕ''≥，因为()cos x a x ϕππ'=，则()1a ϕπ'=-，()111112g e e --'=--=-，所以2a π-≥-，解得2a π≤，又因为0a >，所以实数a 的范围为2(0,]π，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，函数的单调性的应用，以及导数的应用，其中解答中把唯一零点转化为两个函数的交点问题，结合图象进行分析研究是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题．13.若随机变量()2,4X N :，已知()120.137P X <<=，则()3P X >=_____． 【答案】0.363 【解析】 【分析】根据随机变量服从正态分布()2,4N ，根据曲线的对称性，得到()3P X >的值，即可求解. 【详解】由题意，随机变量服从正态分布()2,4N ，所以图象关于2x =对称， 因为()120.137P X <<=， 根据曲线的对称性，可得()()1212120.13730.36322P X P X -<<-⨯>===.【点睛】本题主要考查了正态分布的对称性的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆周长为1C ，外接圆周长为2C ，则1212C C =.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球表面积为1S ，外接球表面积为2S ，则12S S =__________． 【答案】19【解析】分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是13，1219S S ∴=，故答案为19.点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.15.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为_______．【答案】516【解析】 【分析】从顶点到3总共有5个岔口，共有10种走法，每一岔口走法的概率都是12，二项分布的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从顶点到3的路线图单独画出来，如图所示，可得从顶点到3总共有2510C =种走法，其中每一岔口走法的概率都是12， 所以珠子从出口3出来的概率为25515()216P C =⋅=.【点睛】本题主要考查了二项分布的一个模型，其中解答中认真审题，合理利用二项分布的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16.已知不等式()10xe a e x b -+++≤恒成立，其中e 为自然常数，则1b a+的最大值为_____． 【答案】1e【解析】 【分析】先利用导数确定不等式恒成立条件，再利用导数确定1b a+的最大值. 【详解】令()()1()()1xxf x e a e x b f x e a e '=-+++∴=-+ 当0e a -≥时，()0,,()f x x f x '>→+∞→+∞，不满足条件； 当0e a -<时，()0ln()f x x a e '=⇒=--，当ln()x a e >--时()0,f x '<当ln()x a e <--时()0,f x '> 因此()(ln())1ln()10f x f a e a e b ≤--=---++≤，从而1ln()1,()b a e a e a a+-+≤> 令2ln()ln()1(),()()ea e a e a e g x a e g x a a ---+-'=>∴=再令21ln()0()e e y a e y a e a e a e-'=--∴=-<--- 所以当a e e ->时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'<-=∴<<=； 当0a e e <-<时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'>-=∴><=； 即max 1()(2)g x g e e ==，从而1b a+的最大值为1e .【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知函数()|1|||f x x x a =++-． （1）当2a =时，求不等式()5f x <的解集； （2）若()2f x ≥的解集为R ，求a 的取值范围．【答案】（1）-2,3（）；（2）13a a ≥≤-或【解析】 【分析】（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式可得min ()1f x a =+，从而得12a +≥或12a +≤-，进而可得解.【详解】（1）当2a =时，原不等式可化为1-12212535215x x x x x <-≤≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨-<<-<⎩⎩⎩或或解得()2,3x ∈- 所以不等式的解集为()2,3-（2）由题意可得min ()2f x ≥,1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+Q 当(1)()0x x a +-≤时取等号.min ()1f x a ∴=+12a +≥或12a +≤-， 即1a ≥或3a ≤-【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及绝对值三角不等式求最值，属于基础题.18.在直角坐标系xQy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,42sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. (1)把1C 的参数方程化为极坐标方程：(2)求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<.【答案】（1）24cos 8sin 160p p p θθ--+=；（2）1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛⎫⎪⎝⎭，和4π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先把曲线1C 化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程； （2）联立曲线1C 和曲线2C 的方程解得即可.【详解】(1)曲线1C 的直角坐标方程为：()()22244x y -+-=，即2248160x y x y +--+= . 1C ∴的参数方程化为极坐标方程为24cos 8sin 160p p p θθ--+=；(2)联立2481604p pcos psin p sin θθθ⎧--+=⎨=⎩可得：424p p ππθθ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或，1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和4π⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.19.2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如表是根据调查结果得到的22⨯列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为X，求X的分布列及数学期望．附参考公式及数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析；有99%的把握认为选择科目与性别有关．（2）分布列见解析；169EX=【解析】分析】（1）根据分层抽样，求得抽到男生、女生的人数，得到22⨯的列联表，求得2K 的值，即可得到结论；（2）求得这4名女生中选择地理的人数X 可为0,1,2,3,4，求得相应的概率，得到分布列，利用期望的公式计算，即可求解.【详解】（1）由题意，抽取到男生人数为550100551000⨯=，女生人数为450100451000⨯=， 所以22⨯列联表为：所以()22100452025108.129 6.63555457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为选择科目与性别有关．（2）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数X 可为0,1,2,3,4． 设事件X 发生概率为()P X ，则()454950126C P X C ===，()315449401126C C P X C ===，()225449602126C C PX C ===，()135449203126C C P X C ===，()444914126C P X C ===．所以X 的分布列为：期望4060201162341261261261269EX =+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查了独立性检验及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的计算，其中解答中认真审题，得出随机变量的取值，求得相应的概率，得出分布列，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.20.在同一直角坐标系中，经过伸缩变换12x xy y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩后，曲线C 的方程变为221x y ''+=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为3sinπρθ=（-）（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作l 的垂线l 0交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求11||||PA PB -的值. 【答案】（1）2214x y +=0y -+=（2）11||||PA PB -= 【解析】 【分析】（1）将变换公式代入221x y ''+=得，即可曲线C 的方程，利用极坐标与直角的互化公式，即可求解直线的直角坐标方程；（2）将直线l 0的参数方程代入曲线C的方程整理得27120t --=，利用根与系数的关系和直线的参数方程中参数的几何意义，即可求解11||||PA PB -的值. 【详解】（1）将12x x y y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩代入221x y ''+=得，曲线C 的方程为2214x y +=，由3sinπρθ=（-），得 33sin coscos sinππρθρθ-=把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式得直线l0y -+=.（2）因为直线l 的倾斜角为3π，所以其垂线l 0的倾斜角为56π， 则直线l 0的参数方程为51cos 650sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），即1212x y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C的方程整理得27120t --=，设A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2，由题意知10t >，20t <，则1212127t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，且247120∆=+⨯⨯>（，所以1212121111||||3t t PA PB t t t t +-=-==--. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用韦达定理和直线的参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为()01p p <<，且各个水果是否为不合格品相互独立． (Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为()f p ，求()f p 取最大值时p 的值0p ； (Ⅱ)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(Ⅰ)中确定的0p 作为p 的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a 元的赔偿费用()*a N∈．(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？【答案】(Ⅰ)0.2 (Ⅱ) (ⅰ) ()1514E X a =+ (ⅱ)8 【解析】 【分析】(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为()f p ，求得()()822101f p C p p =-，利用导数即可求解函数的单调性，进而求得函数的最值.(Ⅱ)由(Ⅰ)知0.2p =，(ⅰ)中，依题意知()70,0.2Y B ～，15X aY =+，进而利用公式，即可求解；(ⅱ)如果对余下的水果作检验，得这一箱水果所需要的检验费为120元，列出相应的不等式，判定即可得到结论.【详解】(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，则()()822101f p C p p =-，∴()()()()()8772210'218190115f p C p p p p p p ⎡⎤=---=--⎣⎦，由()'0f p ＝，得0.2p =.且当()00.2p ∈，时，()'0f p >；当()0.21p ∈，时，()'0f p <.∴()f p 的最大值点00.2p =. (Ⅱ)由(Ⅰ)知0.2p =，(ⅰ)令Y 表示余下的70个水果中的不合格数，依题意知()70,0.2Y B ～，10 1.515.X aY aY =⨯+=+∴()()()151515700.21514E X E aY aE Y a a =+=+=+⨯=+. (ⅱ)如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元， 由1514120a +>，得1057.514a >=，且*a N ∈， ∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测．【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的应用，以及二项分布的应用，其中解答中认真审题，分析试验过程，根据对立重复试验求得事件的概率，以及正确利用分布列的性质求解上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.22.已知函数2()ln (,)2m f x x nx x m n R =-+∈. （1）当1n m -=时，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数23()()2m g x f x x =-的两个零点分别为1212,()x x x x <，且1202x x x +=，求证：函数()g x 的图像在0x x =处的切线的斜率恒小于0. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间，（2）先求导数得函数()g x 的图像在0x x =处的切线的斜率，再根据零点将斜率转化为积的形式，利用导数研究因子单调性，进而根据最值确定符号即得结果. 【详解】（1）11(1)(1)()(1)mx x f x mx n mx m x x x--'=-+=-++=Q 所以当0m ≤时，()01f x x '=⇒=，所以增区间(0,1)，减区间(1,)+∞ 当01m <<时，1()01,1f x x x m'=⇒==>，所以增区间1(0,1),(,)m +∞，减区间1(1,)m ；当1m =时，()0f x '≥，所以增区间(0,)+∞，无减区间 当1m >时，1()01,1f x x x m'=⇒==<，所以增区间1(0,),(1,)m +∞，减区间1(,1)m（2）因为223()()ln 2m g x f x x mx nx x =-=-+， 所以1()2g x mx n x'=-+， 因此函数()g x 的图像在0x x =处的切线的斜率为001201212()2()g x mx n m x x n x x x '=-+=+-++ 因为函数()g x 的两个零点分别为1212,()x x x x <， 所以22111222ln =ln =0mx nx x mx nx x -+-+即221211(())()ln =0x m x x n x x x +--+， 所以22122121022112211122111ln2(1)2()211()[ln ][ln ]1x xx x x x x x g x x x x x x x x x x x x x x x --'=-+=-+=-+-+-+-+令212(1)()ln ,11x t h t t t t x -=-+=>+，则22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-+=-<++ 所以()(1)0h t h <=，从而00()g x '<.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数证明不等式，考查综合分析求解能力，属难题.。
吉林省实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
吉林省实验中学2018———2019学年度下学期高二年级数学学科期中考试试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.，则）A.【答案】A【解析】A.2.函数f(x)＝xcos x－sin x的导数为（）A. xsin xxcos x【答案】B【解析】【分析】根据导数的运算法则计算即可．【详解】函数f(x)＝x cos x﹣sin x cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x，故选：B．【点睛】本题考查了导数的基本运算法则和基本导数公式，属于基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入的a、b分别为5、2，则输出的n＝（）A. 2B. 3C. 4D.【答案】C【解析】当n=1n=2当n=3n=4时，点睛：本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4.若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为（）A. 0.5和0.25B. 0.5和0.75C. 1和0.25D. 1和0.75【答案】A【解析】【分析】先由随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，作出X的概率分布，然后再求E（X）和D（X）．【详解】∵X服从两点分布，∴X的概率分布为∴E（X）＝0×0.5+1×0.5＝0.5，D（X）＝0.52×0.5+（1﹣0.5）2×0.5＝0.25．故选：A．【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布，解题时要注意两点分布的性质和应用．5.已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=A. –4B. –2C. 4D. 2【答案】D【解析】2 D.【考点】函数的导数与极值点点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，时，，.6.概率是（）A. B. D. 1【答案】C【解析】【分析】记甲、乙通过听力测试分别为事件A、B，则有P（A P（B，所求的事件可表示为事件的独立性和互斥性可得答案．【详解】记甲、乙通过听力测试分别为事件A、B，则可得P（A P（B两人中有且只有一人能通过为事件故所求的概率为P P P（B）+P（A）P＝（故选：C．【点睛】本题考查相互独立事件发生的概率，涉及事件的互斥性，属于中档题．7.下表是关于x与y的一组数据，则y关于x）A. (2,2)B. (1.5,2)C. (1,2)D. (1.5,4)【答案】D【解析】【分析】根据所给的表格中的数据，求出横坐标和纵坐标的平均值，得到样本中心点，代入线性回归方程即可得到结果．，4，∴本组数据的样本中心点是（1.5，4），1.5，4）故选：D．【点睛】本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：础题.8.袋中有10个大小相同但编号不同的球，6个红球和4个白球，无放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为（）A. B. D.【解析】试题分析：先求出“第一次摸到红球”的概率为：，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是，再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为，根据条件概率公式，得：,故选D.考点：条件概率与独立事件.【易错点晴】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解.利用定义，分别求和，得.注意：事件与事件有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清的求法．属于中档题，看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键.9.已知m是实数，函数f (x)＝x2(x－m) f (x)的单调增区间是（）A.，＋∞)，＋∞)【答案】C【解析】因为f′(x)＝3x2－2mx，所以f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2.所以f′(x)＝3x2＋4x.由f′(x)＝3x2＋4x>0，解得x<x>0，即f(x)(0，＋∞)，故选C.故答案为：C10.函数 f(x)=(x2－2x)e x的大致图像是（）A. B. C. D.【答案】A试题分析：由f （x ）=0，解得x 2﹣2x=0，即x=0或x=2， ∴函数f （x ）有两个零点，∴A ，C 不正确． ∴f'（x ）=（x 2﹣2）e x ，由f'（x ）=（x 2﹣2）e x＞0，解得x ＞或x ＜﹣．由f'（x ）=（x 2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x ＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D 不成立，排除D ；故选：B 考点： 函数的图象．11.已知函数f(x)＝x (－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. [1，＋∞)B. (－∞，C. (0,1]D. (－∞，，＋∞)【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，由题意可得f ′（x ）≥0在（﹣∞，﹣12在（﹣∞，﹣1）上恒成立．运用二次函数的最值，求出右边的范围即可得到． 【详解】函数f （x ）＝f ′（x ）＝由于f （x ）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则f ′（x ）≥0在（﹣∞，﹣1）上恒成立． x 2在（﹣∞，﹣1）上恒成立．由于当x ＜﹣1时，x 2＞1， 1，解得，a ≥1或a ＜0．故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性的运用，考查运用导数判断单调性，以及不等式恒成立问题，转化为求函数最值或范围是解题的关键，属于基础题和易错题．12.定义在R的导函数为）A. B. D.【答案】A【解析】构造函数，因，故函数是单调递减函数，因为，所以，即应选答案A。
2018-2019学年吉林省长春高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版
绝密★启用前吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题评卷人得分一、单选题1．已知集合,,则=A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由交集运算直接求解即可【详解】由题故选：B【点睛】本题考查集合运算，准确计算是关键，是基础题2．设，则A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.详解：，则，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．下列函数中，在内单调递减的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】直接根据指数型函数的单调性判断出在R上递减，求得结果.【详解】由题，在R上递减，所以在内单调递减，故选A【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题. 4．命题“”的否定是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是，故选D【点睛】本题主要考查了全称命题的否定是特称命题，属于基础题.5．方程的解所在的区间是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由题意结合零点存在定理确定方程的解所在的区间即可.【详解】方程的解所在的区间即函数的零点所在的区间，由于：，，，，，结合函数零点存在定理可得函数零点所在区间为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】=，x=2代入得a的方程求解即可【详解】=,解a=4故选：D【点睛】本题考查切线方程，求导运算，直线平行，是基础题7．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图,若输入的分别为14，18，则输出的为A．0 B．2 C．4 D．14【答案】B【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a＝b＝2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【详解】模拟执行程序框图，可得a＝14，b＝18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．【点睛】本题主要考查了循环结构程序框图，准确计算是关键，属于基础题．8．若直线与圆相交于两点，则线段中点的坐标为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据题意，设AB的中点为M，由垂径定理可得直线OM与直线AB垂直，进而可得直线OM的方程为y x，据此可得M为直线AB与直线OM的交点，则有，解可得x、y的值，即可得答案．【详解】根据题意，设AB的中点为M，圆C：x2+y2＝4的圆心为O，（0，0），直线与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，则直线OM与直线AB垂直，则直线OM的方程为y x，M为直线AB与直线OM的交点，则有，解可得：，则M的坐标为（，）；故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．32B．C．D．8【答案】B【解析】【分析】根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，所以该四棱锥的体积为，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解. 10．是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于点，与抛物线的准线相交于点，若，则A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由题意，利用抛物线的定义，结合向量条件，求出A的纵坐标，即可得出结论．【详解】由题意，设A的纵坐标为m，则由抛物线的定义，可得，∴m，∴|F A|，|FB|＝6，∴|F A||FB|，故选：D．【点睛】本题考查抛物线的定义、向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．函数的图像大致为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．12．已知为定义在上的奇函数，，且对任意的，当时，，则不等式的解集为A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先明确函数的奇偶性与单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】∵为定义在上的奇函数，∴也为定义在上的奇函数，∵对任意的时，当时，∴为上的单调增函数，又为上的奇函数，∴在上单调递增，由可得即∴，即故选：C【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的性质，考查不等式的解法，是基础题．第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．已知矩形ABCD，AB= 4 ，BC =3，以A, B 为焦点，且过C, D 两点的双曲线的离心率为____________.【答案】【解析】【分析】根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.【详解】为焦点在双曲线上，则又本题正确结果：【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.14．已知函数的最小正周期为，若,则=____________.【答案】【解析】【分析】先求的解析式，再由得平方即可求解【详解】由题，故,,得, 则=故答案为【点睛】本题考查函数解析式求法，两角和的正弦及二倍角公式，考查同角三角函数基本关系，熟记公式准确计算是关键，是基础题15．若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________.【答案】【解析】试题分析：由得，记为点；由得，记为点；由得，记为点.分别将A，B，C的坐标代入，得，，，所以的最小值为．【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：（1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．16．正方体的棱长为，分别是的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为____________【答案】【解析】【分析】取A1D1中点G，BC中点P，CD中点H，连结GM、GN、MN、PE、PH、PF，推导出平面MNG∥平面PEFH，过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH，由此能求出过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积【详解】取A1D1中点G，BC中点P，CD中点H，连结GM、GN、MN、PE、PH、PF，∵MG∥EF，NG∥EP，MG∩NG＝G，EF∩EP＝E，∴平面MNG∥平面PEFH，∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH，∵PE＝2，EF，四边形PEFH是矩形，∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为：S矩形PEFH＝2．【点睛】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．评卷人得分三、解答题17．的内角对边分别为,已知,的面积为2，(1) 求的值；（2）求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系求sin B，再由面积公式得ac=（2）由余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，结合a+c的值即可求出b的值【详解】（1）∵cos B，B为三角形的内角，∴sin B，又S=2得ac=（2）∵a+c＝6，ac=，cos B，∴由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac＝4，得：b=2【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知是等差数列，是等比数列,且.(1) 求的通项公式；(2) 设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件求得等比数列的首项和公比，从而得到的首项和公差，从而得到其通项公式；（Ⅱ）首先求得数列的通项公式，结合其特点采用分组求和法求解试题解析：（Ⅰ）等比数列的公比,所以，设等差数列的公差为，因为，,所以，即，因此（II）由（I）知，，．因此．从而数列的前项和．考点：等差数列等比数列通项公式；数列分组求和19．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=1，, AB1与A1B 相交于点D，M为B1C1的中点 .（1）求证：CD⊥平面BDM；（2）求平面B1BD与平面CBD所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）先以CB为x轴，CC1为y轴，CA为z轴建立空间直角坐标系，然后分别确定点B、M、D的坐标，利用向量法证明CD⊥平面BDM．（2）求出平面BDC的法向量和平面B1BD的法向量，利用向量法能求出平面B1BD与平面CBD所成锐二面角余弦值．【详解】证明：（1）由题意知AC、BC、CC1两两垂直，则以CB为x轴，CC1为y轴，CA为z轴建立空间直角坐标系．∵CB，CC1＝AA1＝1，CA＝1，M为B1C1的中点．∴B（，0，0），M（，1，0），又∵点D是矩形AA1B1B的两条对角线的交点，∴D（，，），则（），（，1，0），（，），∴•，0，∴CD⊥BM，CD⊥BD，又BM∩BD＝B，∴CD⊥平面BDM．（2）由（1）（），（），设平面BDC的法向量（x，y，z），则，取y＝1，得（0，1，﹣1），B1（，1，0），（，），（0，1，0），设平面B1BD的法向量（a，b，c），则，取a＝1，得（1，0，），设平面B1BD与平面CBD所成锐二面角为θ，则cosθ．∴平面B1BD与平面CBD所成锐二面角的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.【答案】(1) (2)6【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.试题解析：(1)设动圆的半径为，由题意知从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点，从而轨迹的方程为.（2）设的方程为，联立，消去得，设点，有则，点到直线的距离为，点到直线的距离为，从而四边形的面积令，有，函数在上单调递增，有，故，即四边形面积的最大值为.21．设函数．（1）若函数在处的切线与垂直，求的值；（2）证明：当时，.【答案】（1）=1（2）见解析【解析】【分析】（1）得解a即可；（2），不等式证明转化为判断函数单调性得最小值即可证明【详解】（1），由题，∴a=1（2）.函数的定义域为，令，则所以当时，，当时，,所以的最小值为，当时，，所以，所以成立．【点睛】本题考查切线方程，导数与函数的最值，考查转化化归能力，是中档题22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的参数方程为(为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α 与C1，C2 各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．(1) 求曲线C1，C2的直角坐标方程(2) 设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．【答案】（1）C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1，（2）【解析】【分析】(1)令α＝0和α＝得a,b 值由参数方程与普通方程的互化求解得C1，C2的普通方程；（2）令α＝，得A1，B1的横坐标，利用对称性得A1，B1关于x轴对称，得四边形A1A2B2B1为等腰梯形，利用面积公式求解即可【详解】由题C1 的普通方程为x2＋y2＝1；C2的普通方程为当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.故C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1，（2）当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝. 当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用，直线与椭圆的交点问题，转化化归能力，是中档题23．已知函数.(1)若不等式的解集为,求实数的值；(2)在（1）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（I）将原不等式转化为，利用绝对值不等式的解法求得的范围，对比题目所给已知条件，可求得的值.（II）利用零点分段法将函数表示成分段函数的形式，由此求得的最小值，从而求得的取值范围.【详解】（I）由，得则，即故得。