专题05 因式分解(教师版) 备战2020中考数学复习点拨34讲

专题05 因式分解

1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.

2.分解因式的一般方法：

（1）提公共因式法.

（2）运用公式法.

①平方差公式：()()

22

a b a b a b

-=+-

②完全平方公式：()2

22

2

a a

b b a b

±+=±

（3）十字相乘法。利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

①对于二次三项式2x bx c

++，若存在

pq c

p q b

=

⎧

⎨

+=

⎩

，则()()

2

x bx c x p x q

++=++

②首项系数不为1的十字相乘法

在二次三项式2

ax bx c

++(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即

12

a a a

=，常数

项c可以分解成两个因数之积，即

12

c c c

=，把

1212

a a c c

，，，排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到

1221

a c a c

+，若它正好等于二次三项式2

ax bx c

++的一次项系数b，

即

1221

a c a c b

+=，那么二次三项式就可以分解为两个因式

11

a x c

+与

22

a x c

+之积，即()()

2

1122

ax bx c a x c a x c

++=++.

（4）分组分解法

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

3.分解因式的步骤：

专题知识回顾

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法;

(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ),完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.

【例题1】（2019•江苏无锡）分解因式4x 2－y 2的结果是（ ）

A ．（4x +y ）（4x ﹣y ）

B ．4（x +y ）（x ﹣y ）

C ．（2x +y ）（2x ﹣y ）

D ．2（x +y ）（x ﹣y ）

【答案】C

【解析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式得出答案． 4x 2－y 2＝（2x ）2－y 2 =（2x +y ）（2x ﹣y ）．

【例题2】（2019贵州省毕节市） 分解因式：x 4﹣16＝ ．

【答案】（x 2+4）（x +2）（x ﹣2）．

【解析】运用公式法．

x 4﹣16＝（x 2+4）（x 2﹣4）＝（x 2+4）（x +2）（x ﹣2）．

【例题3】（2019广东深圳）分解因式：ab 2－a=____________．

【答案】a （b+1）（b －1）

【解析】提公因式法与公式法的综合运用

原式=a （b 2－1）=a （b+1）（b －1）．

【例题4】（2019黑龙江哈尔滨）分解因式：22396ab b a a +-= ．

【答案】a （a ﹣3b ）2．

【解析】先提取公因式，再用完全平方公式。

a 3﹣6a 2

b +9ab 2

＝a （a 2﹣6ab +9b 2）

＝a （a ﹣3b ）2． 专题典型题考法及解析

【例题5】（经典题）把下列各式分解因式：

（1）1522--x x ； （2）2

265y xy x +-． 【答案】见解析。

【解析】（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数。

2215(3)(5)x x x x --=+-

（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项2

6y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数． 2256(2)(3)x xy y x y x y -+=--

【例题6】（2019山东东营）因式分解：x （x －3）－x+3=____________．

【答案】（x －3）（x －1）

【解析】分组分解法

x （x －3）－x+3= x （x －3）－（x －3）=（x －3）（x －1）．

【例题7】（2019湖北咸宁）若整式x 2+my 2（m 为常数，且m ≠0）能在有理数范围内分解因式，则m 的值可以多少（写一个即可）．

【答案】﹣1

【解析】令m ＝﹣1，整式为x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）．故答案为：﹣1（答案不唯一）．

只要m 取负值，其绝对值一个有理数的平方数即可。比如：m=-4，-9，-16，-25等。

【例题8】（经典题）把ab ﹣a ﹣b+1分解因式。

【答案】（b ﹣1）（a ﹣1）．

【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题可采用两两分组的方法，一、三，二、四或一、二，三、四分组均可，然后再用提取公因式法进行二次分解。

ab ﹣a ﹣b+1=（ab ﹣a ）﹣（b ﹣1）=a （b ﹣1）﹣（b ﹣1）=（b ﹣1）（a ﹣1）．