2021学年高中数学8.3.2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积学案含解析人教A版必修二.doc

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

[目标] 1.会求圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积；2.会求圆柱、圆锥、圆台的侧面积；

3.了解球的体积和表面积公式．

[重点] 求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积．

[难点] 圆台的侧面积和体积．

要点整合夯基础

知识点一圆柱、圆锥、圆台、球的表面积

[填一填]

1．圆柱的表面积

(1)侧面展开图：圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长．

(2)面积：若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝2πrl，表面积S表＝2πr(l＋r)．

2．圆锥的表面积

(1)侧面展开图：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．

(2)面积：若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝πrl，表面积S表＝πr(l ＋r)．

3．圆台的表面积

(1)侧面展开图：圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到．

(2)面积：圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，则侧面积S侧＝π(r＋r′)l，表面积S表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)．

4．球的表面积

若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.

[答一答]

1．圆锥的侧面展开图为一扇形，怎样根据扇形圆心角度数α°推导出母线l与底面半径r 的关系？

提示：圆锥侧面展开图中扇形弧长为圆锥底面周长，而扇形弧长又是以l 为半径圆周长的α°360°，于是有α°360°·2πl ＝2πr ，即r ＝α°360°

l . 知识点二 圆柱、圆锥、圆台、球的体积

[填一填]

1．圆柱的体积

(1)圆柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．

(2)若圆柱的底面半径为r ，高为h ，其体积V ＝πr 2h .

2．圆锥的体积

(1)圆锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．

(2)若圆锥的底面半径为r ，高为h ，其体积V ＝13

πr 2h . 3．圆台的体积

若圆台的上、下底面半径分别为r ′、r ，高为h ，其体积V ＝13

πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)．

4．球的体积

若球的半径为R ，那么它的体积V ＝43

πR 3. [答一答]

2．用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在球的轴截面图形中，展示截面图与球体之间的内在联系．

提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如下图所示．若球的半径为R ，截面圆的半径为r ，OO ′＝d .在Rt △OO ′C 中，OC 2＝OO ′2＋O ′C 2，即R 2＝r 2＋d 2.

典例讲练破题型

类型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算

[例1] (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3 B.128π3

C ．64π

D ．1282π (2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm 、20 cm ，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________

cm 2.(结果中保留π)

[分析] (1)利用圆锥的轴截面得到圆锥的底面半径和高，进而求其体积；(2)利用圆弧与圆心角及半径的关系得到圆台的母线长，再利用表面积公式进行求解．

[解析] (1)设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，

∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，

∴2r ＝l 2＋l 2，即l ＝2r ，

由题意得，侧面积S 侧＝πrl ＝2πr 2＝162π，

解得r ＝4，∴l ＝42，

圆锥的高h ＝l 2－r 2＝4，

∴圆锥的体积V ＝13Sh ＝13×π×42×4＝64π3

.故选A. (2)如图所示，设圆台的上底面周长为c cm ，