数学总复习之数学思想第2讲《分类讨论》
人教A版高考数学(文)复习课件 专题 数学思想方法第1部分专题7第2讲
设 lg(log210)＝t，则 lg(lg2)＝－t.由条件可知 f(t)＝5，即 f(t)＝ at3＋bsin t＋4＝5，所以 at3＋bsin t＝1，所以 f(－t)＝－at3－bsin
t＋4＝－1＋4＝3.
答案 C
规律方法 复杂的数学问题常用换元法实现化归与转化，运用 “换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，或者把较复杂 的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
▪分类讨论的常见类型：
▪(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身 就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、 对数函数等．
▪(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论： 有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同 的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公 式、函数的单调性等．
▪(3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶 次方根非负，对数的底数与真数的限制，方程 (不等式)的运算与根的大小比较，含参数的取 值不同会导致所得结果不同等．
3a1＋3d＝6， 8a1＋28d＝－4，
解得ad1＝＝－3，1.
故 an＝3－(n－1)＝4－n.
(2)由(1)可得 bn＝n·qn－1，于是 Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1. 若 q≠1，将上式两边同乘 q，得 qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn. 两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1 ＝nqn－qqn－－11＝nqn＋1－qn－＋11qn＋1. 于是，Sn＝nqn＋1－q－n＋112qn＋1. 若 q＝1，则 Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn2＋1.
▪历年高考中，化归与转化思想无处不在，我们 要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于 提高解决数学问题的应变能力，提高思维能力 和技能、技巧.
2012年中考数学思想方法专题讲座——分类讨论
中考数学思想方法专题讲座——分类讨论在数学中，当被研究的问题存在多种情况，不能一概而论时，就需要按照可能出现的各种情况分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法叫分类讨论思想，它不仅是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略．在研究问题时，要认真审题，思考全面，根据其数量差异或位置差异进行分类，注意分类应不重不漏，从而得到完美答案.一、分类讨论应遵循的原则： 1、分类应按同一标准进行； 2、分类讨论应逐级进行； 3、分类应当不重复，不遗漏。
二、分类讨论的主要因素：1、题设本身为分类定义；2、部分性质、公式在不同条件下有不同的结论；3、部分定义、定理、公式和法则本身有范围或条件限制；4、题目的条件或结论不唯一时；5、含参数（字母系数）时，须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论；6、推理过程中，未知量的值，图形的位置或形状不确定。
三、分类类讨论的步骤：1、确定分类对象；2、进行合理分类；3、逐类讨论，分级进行；4、归纳并作出结论。
四、分类讨论的几种类型：类型一、与数与式有关的分类讨论热点1.在实数中带有绝对值号，二次根式的化简中，应注意讨论绝对值号内的数、被开方数中的字母的正负性，()()a aaa a≥==-⎧⎪⎨⎪⎩例1. =+==||，则5，3||若2baba。
分析：因b b2=||，故原题可转化为绝对值的问题进行讨论。
解：∵3||=a；∴x= ，∵b b2=||=5；∴x= ，，8|53|||时，5，3当=+=+==baba，2|5-3|||时，5-，3当==+==baba，2|53-|||时，5，3-当=+=+==baba，8|5-3-|||时，5-，3-当==+==baba故应填。
小结:二次根式的化简往往可转化为与绝对值相关的问题。
而去绝对值时一般要根据绝对值的概念进行分类讨论。
【练习】 1. 化简：①︱x︳=②=2. 已知│x│= 4,│y│=12，且xy<0，则xy= ．【点评】由xy<0知x，y异与应分x>0，y<0，及x<0，y>0两类．3．若||3,||2,,( )a b a b a b==>+=且则A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－14．在数轴上，到－2的点的距离为3的点表示的数是．热点2：与函数及图象有关的分类讨论一次函数的增减性(k有正负之分)：【例1】已知直线y＝kx＋3与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值等于．【例2】若一次函数当自变量x的取值范围是-1≤x≤3时，函数y的范围为-2≤y≤6，•则此函数的解析式为．0,0,k y xk y xy kx b⎧⎪⎨⎪⎩=+时随的增大而增大时随的增大而减小热点3：不等式中的分类讨论在根据不等式的基本性质解不等式时，当遇到含字母系数的一元一次不等式时，要根据系数的正负性，决定不等号的方向变化，此时需要讨论其正负性；在分式的值大于零或小于零时计算分式中某字母的取值范围，也要讨论分子分母的正负性，以此建立不等式或不等式组求解．【例1】不等式mx >n (m 、n 是常数且m ≠0)的解是 ．思路分析：x 前的系数m 的正负性不确定，故要对其讨论，再依据不等式基本性质求x 的取值．【例2】已知分式4－x 2x －3的值为负数，则x 的取值范围是 ． 思路分析：欲求x 的取值范围，需要建立关于x 的不等式(组)，由“两数相除，异号得负”知4－x 与2x －3异号，因此得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x >02x －3<0或⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x <02x －3>0.分别解这两个不等式组即可．【练习】1．关于x 的一元一次不等式(2m ＋3)x >2m ＋3的解是 ．解析：分2m ＋3>0和2m ＋3<0两种情况讨论．2．若分式2x ＋3x －1的值大于零，则x 的取值范围是 ． 3.解不等式 (a +1)x ＞a 2-1.热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。
2020年高考数学二轮复习总领复习之第2讲 解题有道——四大数学思想
应用1 数形结合思想在函数与方程中的应用 【例4】 (1)记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间
[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的最大值为( )
A.5
B.6
C.8
D.10
(2)(2019·石家庄模拟)已知函数 f(x)＝elnx，x，x≤x>00，， g(x)＝f(x)＋x＋a.若 g(x)存在 2 个零点，
10
应用2 函数与方程思想在数列中的应用 【例2】 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S5＝0，S6＝3.
(1)求数列{an}的前nБайду номын сангаас和Sn； (2)求nSn的最小值. 解 (1)∵S4＝－2，S5＝0，S6＝3， ∴a5＝S5－S4＝2，a6＝S6－S5＝3， 又{an}是等差数列，则公差d＝a6－a5＝1， 由于 S5＝5（a12＋a5）＝0，所以 a1＝－2，故 Sn＝－2n＋n（n－ 2 1）＝n2－2 5n.
2
类型一 函数与方程思想 函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画 数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征， 建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知 量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是 相互联系、互为所用的.
12
探究提高 1.本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(2)问利用数列前n项和公式 求出nSn，构造函数，运用单调性求最值. 2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n项和 公式即为相应的解析式，但要注意数列问题中n的取值为正整数，涉及的函数具有离 散性特点.
第63课 第二轮总复习(2)分类讨论思想
1 2
，现有 a(a＞0)桶水，可以清洗一次。也可以把水平均分 2 份后清洗两
次，试问哪种方；案上残留的农药比较少？说明理由
3.田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌个有等级为上、中、下 的三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，有一天，齐王要与田忌塞马，双 方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌 似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、 下等马要强………… （1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能 取胜？ （2）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随即出阵比赛，田忌获胜的 概率是多少？（要求写双方对阵的所有情况）
见学案
4
(2)已知矩形的长大于宽的 2 倍，周长为 12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形 分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于
1 ， 2
设梯形的面积为 S，梯形中较短的底的长为 x，试写出梯形面积 S 关于 x 的函数关 系式，并指出自变量 x 的取值范围．
布置作业 教后记
（4）一次函数 y=kx+b 的自变量取值范围是-3 小于等于 x 小于等于 6，相应函数值的取 值范围是-5 小于等于 y 小于等于 2。则这个一次函数的解析式为＿＿＿＿ 5.选择： （1）若 x2+4(m-2)x+16 是完全平方式，则 m 等于（ ） A.6 B. 4 C. 0 D. 4 或 0 （2）若圆 O 所在平面内的一点 P 到圆 O 上的点的最大距离为 a,最小距离为 b(a＞b)， 则此圆的半径为（ ） A.
B C
8.依法纳税是每个公民应尽的义务，从 2006 年 1 月 1 日起，个所得税的起征点从 800 元提到 1600 元。 月工资个人所得税税率表(与修改前一样): (1)某同学父亲 2006 年 10 月工资是 全月应纳税所得额 税率(%) 3000 元（未纳税） ，问他要纳税多 不超过 500 元的部分 5 少？ 超过 500 元至 2000 元的部分 10 (2)某人 2006 年 8 月纳税 150.1 元，那 超过 2000 元至 5000 元的部分 15 么此人本月的工资（未纳税）是多 …… …… 少元？此所得税法修改前少纳税多 少元？ (3)已知某人 2006 年 9 月激纳个人所得税 a（0＜a＜200）元,求此人本月工资（未纳税） 是多少元？
第2讲 分类讨论、转化与化归思想
由于 2x＞0，所以 2a－1＝－1 无解． ②若 a＞1，则 f(a)＝－log2(a＋1)＝－3， 解得 a＋1＝8，a＝7， 所以 f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74. 综上所述，f(6－a)＝－74. 答案：(1)－63 (2)A
应用 2 由图形位置或形状引起的分类讨论 【例 2】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)设 A，B 是椭圆 C：x32＋ my2＝1 长轴的两个端点．若 C 上存在点 M 满足∠AMB＝ 120°，则 m 的取值范围是( ) A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0， 3 ]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0， 3 ]∪[4，＋∞)
[变式训练] 已知函数 f(x)＝mx2－x＋ln x．若在函 数 f(x)的定义域内存在区间 D，使得该函数在区间 D 上为 减函数，则实数 m 的取值范围为________．
解析：f′(x)＝2mx－1＋1x＝2mx2－x x＋1， 即 2mx2－x＋1＜0 在(0，＋∞)上有解． 当 m≤0 时显然成立； 当 m＞0 时，由于函数 y＝2mx2－x＋1 的图象的对称 轴 x＝41m＞0，故需且只需 Δ＞0，即 1－8m＞0，故 m＜18.
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)， 所以 an＝2an－1(n≥2)． 因此数列{an}是以－1 为首项，以 2 为公比的等比数 列． 则 an＝－2n－1，a6＝－25＝－32. 所以 S6＝2a6＋1＝2×(－32)＋1＝－63. (2)①若 a≤1，则 f(a)＝2a－1－2＝－3， 整理得 2a－1＝－1.
第2讲 分类讨论、转化与化归思想
第2讲 分类讨论、转化与化归思想
应用 1 正与反、常量与变量的转化 【例 1】 (1)设 y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若 t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则 x 的取值范围是 ________________． (2)若对于任意 t∈[1，2]，函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2 －2x 在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范 围是________________． 解析：(1)设 y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1， 则 f(t)是一次函数，当 t∈[－2，2]时，f(t)＞0 恒成立，
高考数学文(二轮复习)课件《分类讨论思想》
由图形或图象引发的分类讨论
[试题调研] x＋y－2≥0， (2014· 北京高考)若x，y满足kx－y＋2≥0， y≥0， )
[例2]
且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( A．2 B．－2 1 C.2
1 D．－2
[思路方法]
线性约束条件中含有参数，k的取值会对可行
域产生影响，因此解题时要注意对k的分类讨论．可将k分为 k>0，k<－1，k＝－1与－1<k<0等情况讨论求解．
或0<x≤4，即不等式f(x)≥－2的解集为
1 －∞，－ ∪(0,4]，故选率、指数 函数、对数函数等．与这样的数学概念有关的问题往往需要根 据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题． (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必 须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决 定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
[回访名题] (1)(2013· 辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△ OAB为直角三角形，则必有( A．b＝a3 1 B．b＝a ＋a
两式相减，得 (q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－„－qn－1
n n＋1 n q － 1 nq － n ＋ 1 q ＋1 n ＝nq － ＝ . q－1 q－1
nqn＋1－n＋1qn＋1 于是，Sn＝ . q－12 nn＋1 若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋„＋n＝ 2 . nn＋1 q＝1， 2 所以Sn＝ n＋1 n nq －n＋1q ＋1 q≠1. 2 q － 1
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数 的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图 象、指数函数图象、对数函数图象等． (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问 题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对 不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
分类讨论的数学思想
分类讨论的数学思想衡东县实验中学 戴智伟我们在解决某些数学问题时,由于对问题所给对象不能进行统一研究,需要对所研究的数学对象进行分类,然后逐类讨论,得出每一类的结论,从而使整个问题得到解答,这就是分类讨论的数学思想.分类讨论是数学中的一种重要的数学思想,分类讨论贯穿于教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性,也是近几年来高考中年年必考的一种数学思想.● ●如何进行分类讨论先看下面一个例子：【例1】 解关于x 的不等式:12|1log |2->-a x a.【分析】涉及到对数问题,首先要保证真数x 满足0>x ,在此基础上,考虑到不等式左边是一个代数式的绝对值(是一个非负实数),因而要考虑是否去掉绝对值符号.若要去掉绝对值符号,那么,应如何去掉绝对值符号呢?需要考虑右边代数式21a -为正数、零、负数不同情况.再在不等式右边为正数的情况下,去掉绝对值符号,得到两个不等式组(因210a -≤时,得到一个与a 无为关的不等式).解这两个不等式组时，需要考虑对数的底数与1的大小关系.解:显然0>x ,1,0≠>a a .︒1当012<-a 即210<<a 时,原不等式的解显然为0>x ;︒2当012=-a 即21=a 时,原不等式变为1log 0|1log |221221<⇔>-x x 或1log 221>x1log 21-<⇔x 或1log 121<<-x 或1log 21>x 210<<⇔x 或221<<x 或2>x ;︒3当012>-a 即21>a 且1≠a 时,原不等式变为⎩⎨⎧->->-121log 01log 22a x x a a或 ⇔⎩⎨⎧-<-<-121log 01log 22a x x a a x a 2log I)(2a >或II)(22log 2a x a -<. ①当121<<a 时,不等式(I )的解为a a x 20<<,不等式(Ⅱ)的解为aaax a2222---<<;②当1>a 时,不等式(I )的解为aa x 20-<<或aax 2>,不等式(Ⅱ)无解.综合︒1、︒2、︒3得: 当210<<a 时,原不等式的解集为}0|{>x x ;当21=a 时,原不等式的解集为210|{<<x x 或221<<x 或}2>x ;当121<<a 时,原不等式的解集为|{x aax 20<<或}2222aaax a---<<;当1>a 时,原不等式的解集为a a x x 20|{-<<或}2a a x >.上面的例子说明了为什么要进行分类讨论,同时又给出了运用分类讨论思想解题的一般步骤.● ●运用分类讨论的数学思想解题的一般步骤：第一步,根据解题需要(即分类的动机),确定要讨论的数学对象。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学总复习之数学思想第2讲《分类讨论》
题型一 根据数学概念分类讨论
【例题1】在△ABC 中，已知sin B ＝154，a ＝6，b ＝8，求边c 的长．．
题型二 根据公式、定理、性质的条件分类讨论
【例题2】数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则其通项n a ＝ ．
题型三 根据变量或参数的取值情况分类讨论
【例题3】解关于x 的不等式01)1(2
<++-x a ax .
题型四 根据图形位置或形状变化分类讨论
【例题4】在△ABC 中，AB =（2，3），AC =（1,k ），若△ABC 是Rt △，求k 的值.
1． 等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是
( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或12
2．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数
k 组成的集合中所有元素的和与积分别为 ( )
A ．－112，0 B.112，－112 C.112，0 D.14，－112
3．一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ）
A. x y +-=70
B. 250x y -=
C. x y x y +-=-=70250或
D. x y y x ++=-=70250或
4．不等式2
(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( )
A ．(－∞，2]
B ．[－2,2]
C ．(－2,2]
D ．(－∞，－2) 5．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是 ．
6．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是 ．
7．已知a ∈R ,若关于x 的方程2104
x x a a ++-
+=有实根,求a 的取值范围．
8． 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .。