高中数学数形结合
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数形结合
实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()x y -+-=21422
一、联想图形的交点
例1. 已知,则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 1个或2
个或3个
分析:
判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数,画y a y x x a ==|||log |出两个函数图象,
易知两图象只有两个交点,故方程有2个实根,选(B )。
例2. 解不等式x x +>2
令,,则不等式的解,就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+
在的上方的那段对应的横坐标,y x 2=如下图,不等式的解集为{|}
x x x x A B ≤<而可由,解得,,,x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22
练习:设定义域为R 函数⎩⎨⎧=≠-=1
01 1lg )(x x x x f ,则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是( )
0,0. 0,0. 0,0. 0,0.=≥=<<>> 二、联想绝对值的几何意义 例1、已知0>c ,设P :函数x c y =在R 上单调递减,Q :不等式12>++c x x 的解集为R ,如果P 与Q 有且仅有一个正确,试求c 的范围。 因为不等式12>++c x x 的几何意义为:在数轴上求一点)(x P ,使P 到)2(),0(c B A 的距离之和的最小值大于1,而P 到AB 二点的最短距离为12>=c AB ,即21>c 而P :函数x c y =在R 上单调递减,即1 ∴由题意可得:12 10≥≤ 例1、已知关于x 的方程m x x =+-542有四个不相等的实根, 则实数m 的取值范围为 分析:直接求解,繁难!。由方程联想二次函数进行数形结合,以数助形,则简洁明了。 设m y x x y =+-=221,54。又1y 为偶函数,由图可知51< 四、联想反函数的性质 例1、方程3log ,322=+=+x x x x 的实根分别为21,x x ,则21x x += 解:令x y x y y x -===3,log ,23221 21,y y 互为反函数,其图象关于x y =对称,设)3,(),3,(2211x x B x x A --213x x -=∴ 即321=+x x 六、联想斜率公式 例1. 求函数的值域。y x x =+-sin cos 22 y x x y y y x x = +-=--sin cos 222121 的形式类似于斜率公式 y x x P P x x = +--sin cos ()(cos sin )22 220表示过两点,,,的直线斜率 221P x y +=由于点在单位圆上,如图, 显然,k y k P A P B 00≤≤ 设过的圆的切线方程为P y k x 022+=-() 则有,解得±|| 22114732k k k ++==-即,k k P A P B 00473473 =--=-+ ∴--≤≤-+473473y ∴函数值域为,[]---+473473 例2、实系数方程022=++b ax x 的一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求1 2--a b 的取值范围。 解:数形结合由 12--a b 的结构特征,联想二次函数性质及12--a b 的几何意义来求解,以形助数,则简洁明了。 令b ax x x f 2)(2++=,则由已知有⎪⎩ ⎪⎨⎧><>0)2(0)1(0)0(f f f 得到⎪⎩⎪⎨⎧>++<++>020210b a b a b 这个二元一次不等式组的解为ABC ∆内的点),(b a 的集合由12--a b 的几何意义为过点),(b a 和点)2,1(D 的直线的斜率 由此可以看出:11241=<--<=BD AD k a b k 即12--a b 的取值范围是)1,41(。 练习:如果实数、满足,则的最大值为x y x y y x ()( )-+=2322 答案D A B C D (1) 233323 五、联想两点间的距离公式 例1、设b a R b a x x f ≠∈+=且,,1)(2,求证:b a b f a f -<-)()( 解:,b a ≠ 不妨设b a >,构造如图的OAP Rt ∆,其中 b OB a OA OP ===,,1 则b a AB b f b PB a f a PA -==+==+=),(1),(122 在OAP Rt ∆中,有AB PB PA <-∴b a b f a f -<-)()( 六、联想点到直线的距离公式 例1、已知P 是直线0843=++y x 上的动点,PB PA ,是012222=+--+y x y x 的两条切线,B A ,是切点,C 是圆心,求四边形PACB 面积的最小值。 解:12 1222-==⋅⋅⋅==∆PC PA AC PA S S PAC PACB 要使面积最小,只需PC 最小,即定点C 到定直线上动点P 距离