2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3课件：第1章 计数原理1.2.2 第一课时
题型三 组合数的性质 (1)化简 C37＋C47＋C58＋C69＝________.
(2)已知 Cx1－2 2＝C21x2－4，则 x 的值为________． 【思路探索】 利用组合的性质求解．
【解析】 (1)∵C37＋C47＝C48. ∴C37＋C47＋C58＋C69＝C48＋C58＋C69＝C59＋C69＝C610＝210. (2)由 Cx1－2 2＝C21x2－4得 x－2＝2x－4 或 x－2＝12－2x＋4， 即 x＝2 或 x＝6.又 x∈N*，且 0≤x－2≤12,0≤2x－4≤12， ∴x＝2 或 x＝6 符合题意． 【答案】 (1)210 (2)2 或 6
nn－1n－2…n－m＋1
n！
___________m__！_____________＝__m__！__n_－__m__！_.
2．组合数的性质
性质 1：Cnm＝__C__nn_－_m____； 性质 2：Cnm＋1＝__C_nm_＋__C__mn _－_1 ___.
重点难点突破
解剖难点 探究提高
组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二 是“合成一组”，与元素的顺序无关．排列与组合的相同点 是从 n 个不同元素中任取 m 个元素，不同点是组合是“不管 元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序 排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取 出的元素有无顺序．
第一章 计数原理
1．2 排列与组合 1．2.2 组 合
第一课时 组合与组合数公式
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1．理解组合的意义，能写出一些简单问题的组合． 2．能够正确认识排列与组合的区别． 3．掌握组合数公式，能用组合数公式及其性质进行计 算、化简．
‖知识梳理‖ 1．一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 _合__成_一__组____，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组 合．从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合 的个数，即___组__合_数____，用符号___C_mn_表示，其中 Cnm＝
字母的可用阶乘计算，在计算时注意 m≤n，当 m>n2时，可 用公式 Cnm＝Cnn－m进行计算.
(2019·重庆八中高二质检)若 C2n＝
21，则3！nn！－3！的值为(
)
A．6
B．7
C．35
D．20
解析：因为 C2n＝nn2－1＝21，解得 n＝7，
所以3！nn！－3！＝3！7！4！＝35.
答案：C
解析：不同的选法有 C47＝35 种，故选 A.
答案：A
4．若 A3m＝6C4m，则 m＝( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：由 A3m＝6C4m可化为
m(m－1)(m－2)＝6·mm－14m！－2m－3，
化简得，m－4 3＝1，解得 m＝7.
答案：C
5．解不等式C14n－C15n<C26n. 解：依题意，n≥6 且 n∈N*， 由C14n－C15n<C26n， 得4！nn！－4！－5！nn！－5！<2·6！nn！－6！， ∴(n－4)(n－5)－5(n－5)<2×6×5， 即 n2－14n－15<0，解得－1<n<15， 结合 n 的取值范围，可得 n＝6、7、8、9、10、11、12、 13、14.
组合数的两个性质，性质 1 反映了组合数的对称性，在 m>n2时，通常不直接计算 Cmn ，而改为 Cnn－m；对于性质 2，Cmn＋1 ＝Cnm＋Cmn －1要会正用、逆用、变形用．
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 组合的概念及其应用
判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从集合 A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到 的和共有多少个？ (2)从集合 A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到 的商共有多少个？ (3)从 a，b，c，d 这四名同学中任取两名同学去参加某 一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发电子邮件，共写了多少个电子邮件？
【思路探索】 根据排列、组合的概念解题，关键看问 题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关 的是组合问题．
【解】 (1)从集合 A 中取出两个数后，改变两个数的顺 序，其和不变．因此此问题只与取出的元素有关，与元素的 顺序无关，故是组合问题．
(2)从集合 A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的 位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是 排列问题．
[名 师 点 拨] 组合数的性质 Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1，其公式特点是等号右边 两式的下标比左边少 1，上标一个与左边的上标相等，另一 个比左边的上标少 1，它主要用于组合数的化简.
求证：Cnm＋2＝Cnm＋2Cnm－1＋Cnm－2. 证明：由组合数的性质 Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1可知，右边＝(Cnm ＋Cmn－1)＋(Cnm－1＋Cnm－2)＝Cnm＋1＋Cnm－＋11＝Cnm＋2＝左边．右边＝左 边，所以原式成立.
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1．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A．从 3 个不同的小球中，取出 2 个排成一列 B．老师排桌次时将甲、乙安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从 100 名幸运观众中选出 2 名幸运之星 D．从 10 位司机中选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 解析：从 100 名幸运观众中选出 2 名幸运之星，与顺序 无关，属于组合问题． 答案：C
(1)把当日动物园的 4 张门票分给 5 个人，每人至多分一 张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
(2)从 2、3、5、7、11 这 5 个质数中，每次取 2 个数分 别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分 数？
(3)某人射击 8 枪，击中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连 中，则不同的结果有多少种？
(2)由题意得338n－ ≤n2≤ 1＋3nn， ， 得129≤n≤221，又 n∈N*， ∴n＝10. 故 C33n8－n＋C32n1＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C131＝ 30×2 29＋31＝466.
[名 师 点 拨]
在使用组合数公式
C
m n
＝
nn－1…n－m＋1 m！
＝
m！nn！ －m！时，涉及具体数字的可以用展开式计算，涉及
2．若 C8x＝C38，则 x 的值为( )
A．13
B．5
C．5 或 3
D．8
解析：由 C8x＝C38知 x＝3 或 x＋3＝8，∴x＝3 或 x＝5.
答案：C
3．从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，
则不同的选法共有( )
A．35 种
B．840 种
C．420 种
D．70 种
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(3)由于从 4 名同学中取出的两名同学参加的同一项活 动，没有顺序，因此是组合问题．
(4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别 的，与顺序有关，是排列问题．
[名 师 点 拨] 区分排列与组合的关键是看取出元素之后，在安排这些 元素时，是否与顺序有关，“有序”则为排列，无序则为组 合.
判断下列问题是排列问题还是组 合问题：
(3)是组合问题，击中的 4 枪是相同的，不同的结果取决 于第几枪击中．
(4)是排列问题，例如选中甲、乙 2 人，甲去 A 乡镇和甲 去 B 乡镇是不同的，所以与顺序有关．
题型二 有关组合数的计算问题
计算下列各式的值： (1)C610－C37A33； (2)C338n－n＋C32n1＋n. 【思路探索】 利用组合数公式进行计算． 【解】 (1)C610－C37A33 ＝C410－C37A33＝140××39××28××17－7×6×5 ＝210－210＝0.
(4)从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名分别去参加两个乡 镇的社会调查，有多少种不同的安排？
解：(1)是组合问题，4 张票是相同的(都是当日动物园的 门票)，不同的分配方法取决于 5 人中选择哪 4 个人，这与顺 序无关．
(2)是排列问题，例如选取 3、5,3 作分子，5 作分母时为 35，3 作分母，5 作分子时为53，这是不同的．
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2019-2020学年人教A版数学选修2-3培优教程课件：第一章 计数原理 1.2 1.2.1 第1
答案
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 二十九 分。
探究3 与排列数有关的运算 例 3 (1)计算：4AA4888－＋A2A59 58； (2)解方程 3Ax8＝4Ax9－1； (3)解不等式 A9x>6Ax9－2，其中 x≥3，x∈N*； (4)若 n∈N，将(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示．
相同．
第三页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
知识点 排列数及排列数公式
1．排列数的定义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 □01 所有不同排列的个数 ，叫
做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn 表示．
2．排列数公式 (1)乘积形式：Amn ＝
□02 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(这里 n，m∈N*且 m≤n)
(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为 A、B，两名老师分别为 M、N，此问题可分两类：
由此可知所有可能的站法为 AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA， BNMA，BAMN，BANM，共 8 种．
答案
第十八页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
拓展提升 用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列 中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复 和遗漏．
(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从 5 个数中取 3 个数，与 顺序无关；若这 3 个数组成不同的三位数，则与顺序有关．
答案
第十五页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
探究2 简单的排列问题 例 2 写出下列问题的所有排列： (1)北京、广州、南京、天津 4 个城市相互通航，应该有多少种机票？ (2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能 的站法，并回答共有多少种？
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 二十九 分。
探究3 与排列数有关的运算 例 3 (1)计算：4AA4888－＋A2A59 58； (2)解方程 3Ax8＝4Ax9－1； (3)解不等式 A9x>6Ax9－2，其中 x≥3，x∈N*； (4)若 n∈N，将(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示．
相同．
第三页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
知识点 排列数及排列数公式
1．排列数的定义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 □01 所有不同排列的个数 ，叫
做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn 表示．
2．排列数公式 (1)乘积形式：Amn ＝
□02 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(这里 n，m∈N*且 m≤n)
(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为 A、B，两名老师分别为 M、N，此问题可分两类：
由此可知所有可能的站法为 AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA， BNMA，BAMN，BANM，共 8 种．
答案
第十八页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
拓展提升 用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列 中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复 和遗漏．
(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从 5 个数中取 3 个数，与 顺序无关；若这 3 个数组成不同的三位数，则与顺序有关．
答案
第十五页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
探究2 简单的排列问题 例 2 写出下列问题的所有排列： (1)北京、广州、南京、天津 4 个城市相互通航，应该有多少种机票？ (2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能 的站法，并回答共有多少种？
2019-2020学年人教A版数学选修2-3培优教程课件：第一章 计数原理 1.2 1.2.2 第2
(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 C62C24C22种方法，这个过程可以分两 步完成：第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法；第二步再将这三份分 给甲、乙、丙三名同学有 A33种方法．根据分步乘法计数原理可得：C62C24C22＝ xA33，所以 x＝C26AC4233C22＝15.因此分为三份，每份两本一共有 15 种方法．
第2课时 组合的综合应用
第一页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
课前自主预习
第二页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
知识点 排列与组合的联系和区别
排列与组合的共同点都是“从 n 个不同元素中，任取 m 个元素”，如果
交换两个元素的位置对结果产生影响，就是 □01 排列问题 ；反之，如果交
换两个元素的位置对结果没有影响，就是
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 二十九 分。
[解] (1)先从 6 本书中选 2 本给甲，有 C62种选法；再从其余的 4 本中选 2 本给乙，有 C24种选法；最后从余下的 2 本书中选 2 本给丙，有 C22种选法； 所以分给甲、乙、丙三人，每人 2 本，共有 C26C24C22＝90 种方法．
答案
第十七页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
拓展提升 (1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方 法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻 找一个组合的模型加以处理． (2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等 情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法． (3)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面 及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何 问题抽象成组合问题来解决．
第2课时 组合的综合应用
第一页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
课前自主预习
第二页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
知识点 排列与组合的联系和区别
排列与组合的共同点都是“从 n 个不同元素中，任取 m 个元素”，如果
交换两个元素的位置对结果产生影响，就是 □01 排列问题 ；反之，如果交
换两个元素的位置对结果没有影响，就是
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 二十九 分。
[解] (1)先从 6 本书中选 2 本给甲，有 C62种选法；再从其余的 4 本中选 2 本给乙，有 C24种选法；最后从余下的 2 本书中选 2 本给丙，有 C22种选法； 所以分给甲、乙、丙三人，每人 2 本，共有 C26C24C22＝90 种方法．
答案
第十七页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
拓展提升 (1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方 法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻 找一个组合的模型加以处理． (2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等 情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法． (3)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面 及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何 问题抽象成组合问题来解决．
2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.2.2组合第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3
若 C2n＝10，则 n 的值为( 9 名学生中选出 3 名参加“希望英语”口语比赛，不同选法
有( )
A．504 种
B．729 种
C．84 种
D．27 种
答案：C
计算 C37＋C47＋C58＋C69＝________. 答案：210
甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等， 则车票票价有________种. 解析：车票的票价有 C23＝3(种). 答案：3
合应用题
核心素养 数学抽象
数学运算
逻辑推理、 数学运算
问题导学 预习教材 P21～P24 的内容，并思考下列问题： 1.组合的概念是什么？ 2.什么是组合数？组合数公式是什么？ 3.组合数有哪些性质？
1.组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素_合__成___一__组__，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
第五类：若 3 人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌， 共有 2C23C11C25C35＝600(种). 第六类：若 3 人中只有一人唱歌，又有一人跳舞有 C13C12C35C35＝ 600(种). 由分类加法计数原理得不同选法共有 25＋50＋300＋300＋600＋ 600＝1 875(种).
阶乘式
n！ Cnm＝_m_！__（__n_－__m__）__！__
Cnm＝_C_nn_－_m_，Cmn＋1＝_C_mn__＋__C_nm_－_1_
①n，m∈N*且 m≤n；②规定 C0n＝1
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从 a1，a2，a3 三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所 有组合的个数为 C23.( √ ) (2)从 1，3，5，7 中任取两个数相乘可得 C24个积．( √ ) (3)C35＝5×4×3＝60.( × ) (4)C22 001167＝C12 017＝2 017.( √ )
2019-2020学年人教A版高中数学选修2-3课件：第1章 计数原理1.2.2(2)
第一章
计数原理
1.2 排列与组合 1.2.2 组合(二)
课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
课前教材预案
要点 求解组合问题的常用方法
• 常用的方法分直接法与间接法两大类．所谓直接法，就是利 用分类或者分步计数原理，准确地分类或者分步，直接计算 出结果；所谓的间接法，则是采用迂回战术，先求出不受限 制条件下的组合数，再减去不符合题意的组合数的方法．
第一类，这 4 人全部入选，另一组 4 人由余下的 8 人中任选 4 人组成，有 C44C48＝70 种方法；
第二类，这 4 人中恰有 3 人入选日语翻译小组，必 有 1 名“双面手”入选日语翻译小组，有 C34C12C47＝280 种方法；
第三类，这 4 人中恰有 2 人入选日语翻译小组，必 有 2 名“双面手”都入选日语翻译小组，有 C24C22C46＝90 种方法；
• 【例题2】 车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工， 另外2名既能做钳工又能做车工，从中选出4名钳工4名车工， 问有多少种不同方法？
• 思维导引：可以从“既会钳工又会车工”的2名工人考虑分 类求解，也可以从“只会钳工”的5名工人考虑分类求解．
解析 方法一 以“既会钳工又会车工”的 2 人(记 为 A，B)来考虑分类，A，B 都不在内，有选法 C45C44＝5 种；A，B 都在内时又分“都做钳工”“都做车工”“一 个做钳工一个做车工”三类，合计有选法 C22C25C44＋C22C45 C24＋A22C35C34＝120 种；A，B 仅有一人在内，又有“做钳 工”和“做车工”两种选择，此时有选法 C12C35C44＋C12C45 C34＝60 种．由分类加法计数原理，合计共有不同的选法 185 种．
第三类：共线的 4 个点中没有点为三角形的顶点， 共有 C38＝56 个不同的三角形．
计数原理
1.2 排列与组合 1.2.2 组合(二)
课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
课前教材预案
要点 求解组合问题的常用方法
• 常用的方法分直接法与间接法两大类．所谓直接法，就是利 用分类或者分步计数原理，准确地分类或者分步，直接计算 出结果；所谓的间接法，则是采用迂回战术，先求出不受限 制条件下的组合数，再减去不符合题意的组合数的方法．
第一类，这 4 人全部入选，另一组 4 人由余下的 8 人中任选 4 人组成，有 C44C48＝70 种方法；
第二类，这 4 人中恰有 3 人入选日语翻译小组，必 有 1 名“双面手”入选日语翻译小组，有 C34C12C47＝280 种方法；
第三类，这 4 人中恰有 2 人入选日语翻译小组，必 有 2 名“双面手”都入选日语翻译小组，有 C24C22C46＝90 种方法；
• 【例题2】 车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工， 另外2名既能做钳工又能做车工，从中选出4名钳工4名车工， 问有多少种不同方法？
• 思维导引：可以从“既会钳工又会车工”的2名工人考虑分 类求解，也可以从“只会钳工”的5名工人考虑分类求解．
解析 方法一 以“既会钳工又会车工”的 2 人(记 为 A，B)来考虑分类，A，B 都不在内，有选法 C45C44＝5 种；A，B 都在内时又分“都做钳工”“都做车工”“一 个做钳工一个做车工”三类，合计有选法 C22C25C44＋C22C45 C24＋A22C35C34＝120 种；A，B 仅有一人在内，又有“做钳 工”和“做车工”两种选择，此时有选法 C12C35C44＋C12C45 C34＝60 种．由分类加法计数原理，合计共有不同的选法 185 种．
第三类：共线的 4 个点中没有点为三角形的顶点， 共有 C38＝56 个不同的三角形．
人教新课标A版高中数学选修2-3课件 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 第1课时 排列
－n)…(69－n)＝A1659－n； (2)2AA5888－＋A7A95 84 ＝8×27× ×86× ×75× ×64× ×53× ×42＋ ×71× －89× ×78× ×67× ×56×5 ＝88××77××66××55××((284＋－79))＝1；
(3)根据原方程，x 应满足2x≥x＋31，≥x∈4，N* 解得 x≥3， x∈N*.根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x －2)＝140x·(x－1)·(x－2)．因为 x≥3，两边同除以 4x(x－ 1)，得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)．即 4x2－35x＋69＝0，解 得 x＝3 或 x＝534(因为 x 为整数，所以应舍去)．所以原方 程的解为 x＝3.
作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不
是排列问题，做除法是排列问题．“入座”问题同“排队”，
与顺序有关，故选 3 个座位安排三位客人是排列问题，若方 程ax22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小一定；在双曲线ax22－by22＝1 中，不管 a>b 还是 a<b， 方程ax22－by22＝1 均表示焦点在 x 轴上的双曲线，且是不同的 双曲线，故这是排列问题．
❖ 下列问题是排列问题吗？
❖ (1) 从 5 个 人 中 选 取 两 个 人 去 完 成 某 项 工 作．
❖ (2)从5个人中选取两个人担任正副组长．
❖ [解析] (1)不是 甲和乙去，与乙和甲去 完成这项工作是同一种选法．
❖ (2)是 甲担任组长、乙担任副组长，与甲 担任副组长、乙担任组长是不同选法.
❖ [例3] (1)8个人排成一排，共有多少种不 同的排法？(2)8个人排成两排 ，前后两排 各4人共有多少种不同的排法？(3)8个人排 成两排，前排3人，后排5人，共有多少种 不同有 A88种不同的排法；(2)8 人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其 排列数等于 8 人排成一排的排列数，也可以分步进行，第一 步：从 8 人中任选 4 人放在前排共有 A84种排法，第二步：剩 下的 4 人放在后排共有 A44种排法，由分步乘法计数原理知共 有 A84×A44＝A88种排法．(3)同(2)．
(3)根据原方程，x 应满足2x≥x＋31，≥x∈4，N* 解得 x≥3， x∈N*.根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x －2)＝140x·(x－1)·(x－2)．因为 x≥3，两边同除以 4x(x－ 1)，得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)．即 4x2－35x＋69＝0，解 得 x＝3 或 x＝534(因为 x 为整数，所以应舍去)．所以原方 程的解为 x＝3.
作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不
是排列问题，做除法是排列问题．“入座”问题同“排队”，
与顺序有关，故选 3 个座位安排三位客人是排列问题，若方 程ax22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小一定；在双曲线ax22－by22＝1 中，不管 a>b 还是 a<b， 方程ax22－by22＝1 均表示焦点在 x 轴上的双曲线，且是不同的 双曲线，故这是排列问题．
❖ 下列问题是排列问题吗？
❖ (1) 从 5 个 人 中 选 取 两 个 人 去 完 成 某 项 工 作．
❖ (2)从5个人中选取两个人担任正副组长．
❖ [解析] (1)不是 甲和乙去，与乙和甲去 完成这项工作是同一种选法．
❖ (2)是 甲担任组长、乙担任副组长，与甲 担任副组长、乙担任组长是不同选法.
❖ [例3] (1)8个人排成一排，共有多少种不 同的排法？(2)8个人排成两排 ，前后两排 各4人共有多少种不同的排法？(3)8个人排 成两排，前排3人，后排5人，共有多少种 不同有 A88种不同的排法；(2)8 人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其 排列数等于 8 人排成一排的排列数，也可以分步进行，第一 步：从 8 人中任选 4 人放在前排共有 A84种排法，第二步：剩 下的 4 人放在后排共有 A44种排法，由分步乘法计数原理知共 有 A84×A44＝A88种排法．(3)同(2)．
2019-2020学年人教A版数学选修2-3培优教程课件：第一章 计数原理 1.2 1.2.1 第2
答案
第十一页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
解法二：(位置分析法)第一步从甲以外的 8 人中任选 2 人站在首、尾位置， 有 A82种排法；第二步排其余 7 人，有 A77种排法．由分步乘法计数原理知，共 有 A77·A82＝282240 种排法．
解法三：(间接法)5 名男生，4 名女生排成一排，共有 A99种排法，其中甲 站排头的排法有 A88种，甲站排尾的排法有 A88种．
由分步乘法计数原理知，共有 A55·A64＝43200 种排法．
答案
第十三页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
拓展提升 排队问题的解答策略
(1)“排队”问题与“排数”问题有些类似，主要是从特殊位置或特殊元 素两个方面考虑，当正面考虑情况复杂时，可考虑用间接法；
(2)直接法解题一般采用元素分析法和位置分析法，要注意分类时不重不 漏，分步要连续、独立；间接法要注意不符合条件的情形，做到不重不漏；
第十页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
[解] (1)只要从 5 名男生，4 名女生中任选 3 人排列即可． 所以共有 A93＝9×8×7＝504 种排法． (2)解法一：(元素分析法)甲是特殊元素，第一步甲站在中间 7 个位置中 的任意一个上，有 A17种排法；第二步其余 8 人站在剩余 8 个位置上，有 A88种 排法． 由分步乘法计数原理知，共有 A71·A88＝282240 种排法．
答案
第十九页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
探究2 数字问题 例 2 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数 字的数？ (1)六位数且是奇数； (2)个位上的数字不是 5 的六位数； (3)不大于 4310 的四位数且是偶数．
第二十页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
第十一页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
解法二：(位置分析法)第一步从甲以外的 8 人中任选 2 人站在首、尾位置， 有 A82种排法；第二步排其余 7 人，有 A77种排法．由分步乘法计数原理知，共 有 A77·A82＝282240 种排法．
解法三：(间接法)5 名男生，4 名女生排成一排，共有 A99种排法，其中甲 站排头的排法有 A88种，甲站排尾的排法有 A88种．
由分步乘法计数原理知，共有 A55·A64＝43200 种排法．
答案
第十三页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
拓展提升 排队问题的解答策略
(1)“排队”问题与“排数”问题有些类似，主要是从特殊位置或特殊元 素两个方面考虑，当正面考虑情况复杂时，可考虑用间接法；
(2)直接法解题一般采用元素分析法和位置分析法，要注意分类时不重不 漏，分步要连续、独立；间接法要注意不符合条件的情形，做到不重不漏；
第十页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
[解] (1)只要从 5 名男生，4 名女生中任选 3 人排列即可． 所以共有 A93＝9×8×7＝504 种排法． (2)解法一：(元素分析法)甲是特殊元素，第一步甲站在中间 7 个位置中 的任意一个上，有 A17种排法；第二步其余 8 人站在剩余 8 个位置上，有 A88种 排法． 由分步乘法计数原理知，共有 A71·A88＝282240 种排法．
答案
第十九页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
探究2 数字问题 例 2 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数 字的数？ (1)六位数且是奇数； (2)个位上的数字不是 5 的六位数； (3)不大于 4310 的四位数且是偶数．
第二十页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
2019-2020学年选修2-3人教A版数学课件：第1章 计数原理 1.2.2 第1课时
第六页，编辑于星期日：点 一分。
2．组合数公式及其性质
nn－1n－2…n－m＋1
n！
(1)公式：Cmn ＝____________m_！_________________＝__m_！___n_－__m__！__．
(2)性质：Cmn ＝__C_nn_－_m__，Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1．
(3)规定：C0n＝___1__．
第三十一页，编辑于星期日：点 一分。
[正解] 依题意，m 的取值范围是{m|0≤m≤5，m∈N*}． 原等式化为m！55－ ！m！－m！66－ ！m！＝7×m1！0×77－！m！，化简得 m2－23m ＋42＝0，解得 m＝21 或 m＝2.因为 0≤m≤5，m∈N*，所以 m＝21 应舍去，所 以 m＝2． [点评] 应用组合数公式 Cmn 时要注意 m、n∈N*，m≤n；由 Cmn ＝Cpn列关系式 时应有 m＝p 或 m＋p＝n；逆用公式 Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1可以将较复杂的下标连续变 化的组合数和式化简，要注意用准公式．
第七页，编辑于星期日：点 一分。
1．下面几个问题是组ຫໍສະໝຸດ 问题的有( C)①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种
不同的选法？
②从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有多少种不同的选法？
③有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？
④某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少
第二十一页，编辑于星期日：点 一分。
〔跟踪练习 2〕 (1)计算：C410－C37·A33； (2)求 C338n－n＋C32n1＋n的值． [解析] (1)原式＝C410－A37＝140××39××28××17－7×6×5＝210－210＝0． (2)∵338n－≤n2≤1＋3nn ，∴9.5≤n≤10.5， ∵n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C32n1＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C131 ＝302××219＋31＝466．
2．组合数公式及其性质
nn－1n－2…n－m＋1
n！
(1)公式：Cmn ＝____________m_！_________________＝__m_！___n_－__m__！__．
(2)性质：Cmn ＝__C_nn_－_m__，Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1．
(3)规定：C0n＝___1__．
第三十一页，编辑于星期日：点 一分。
[正解] 依题意，m 的取值范围是{m|0≤m≤5，m∈N*}． 原等式化为m！55－ ！m！－m！66－ ！m！＝7×m1！0×77－！m！，化简得 m2－23m ＋42＝0，解得 m＝21 或 m＝2.因为 0≤m≤5，m∈N*，所以 m＝21 应舍去，所 以 m＝2． [点评] 应用组合数公式 Cmn 时要注意 m、n∈N*，m≤n；由 Cmn ＝Cpn列关系式 时应有 m＝p 或 m＋p＝n；逆用公式 Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1可以将较复杂的下标连续变 化的组合数和式化简，要注意用准公式．
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1．下面几个问题是组ຫໍສະໝຸດ 问题的有( C)①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种
不同的选法？
②从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有多少种不同的选法？
③有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？
④某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少
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〔跟踪练习 2〕 (1)计算：C410－C37·A33； (2)求 C338n－n＋C32n1＋n的值． [解析] (1)原式＝C410－A37＝140××39××28××17－7×6×5＝210－210＝0． (2)∵338n－≤n2≤1＋3nn ，∴9.5≤n≤10.5， ∵n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C32n1＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C131 ＝302××219＋31＝466．
2019-2020学年人教A版数学选修2-3培优教程课件：第一章 计数原理 1.2 1.2.2 第1
知识点 组合与组合数公式
第四页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”， 表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从 n 个不同元素中任取 m 个 元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按 照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出 的元素有无顺序．
第二十七页，编辑于星期六：二十三点 二十九 分。
[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试，学校要 从中选出 5 人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选 5 人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加．
答案
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 二十九 分。
(2)①原式＝C38＋C2100×1＝83××72××61＋1020××199 ＝56＋4950＝5006. ②原式＝2(C50＋C15＋C25)＝2(C16＋C25)＝2×6＋52××41＝32. ③原式＝C1n＋1·Cn1＝(n＋1)n＝n2＋n.
第1课时 组合与组合数公式
第一页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
课前自主预习
第二页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
知识点 组合的定义 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 同元素中取出 m 个元素的一个组合．
□01 合成一组
，叫做从 n 个不
第三页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
第十三页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从集合 A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少 个？ (2)从集合 A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少 个？ (3)从 a，b，c，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多 少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？