2020届江西省吉安市高三上学期期末数学(理)试题
绝密★启用前 2020届江西省吉安市高三上学期期末数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合{}2|10A x x =-=，1|01x B x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R A C B =I （ ） A ．[1,1]- B ．{}1- C ．{1} D ．{1,1}- 2．若数列{}n a 的前n 项和1n n S n =+，则3a =（ ） A ．1 B ．34 C ．14 D ．112 3．已知1m >，12log a m =，12m b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12c m =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．b c a << 4．若实数x ，y 满足约束条件22020x y y x y +-≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．0 5．下列函数既是奇函数且又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．2y x x =+ B ．ln y x x = C ．33y x x =- D ．33sin 2y x x =- 6．若角α满足sin 2cos 1αα-=，则tan2α=（ ）……○…………题※※……○…………A．0B．0或247C．247D．0或24257．在边长为3的等边ABC∆中，点E满足2AE EC=u u u r u u u r，则BE BA⋅=u u u r u u u r（）A．9B．152C．6D．2748．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．9B．92C．6D．39．已知等差数列{}n a满足1816a a+=-，103a=，设数列{}n a的前n项和为n T，则16T=（）A．32B．28C．128D．010．椭圆C的焦点为1(,0)F c-，2(,0)F c(0)c>，过2F与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，点A关于坐标原点的对称点为B，且1120AF B∠=︒，1F ABS∆=则椭圆方程为（）A．22143x y+=B．2213xy+=C．22132x y+=D．2212xy+=11．已知函数2()log1f x x=-，若方程()f x a=(0)a>的4个不同实根从小到大依次为1x，2x，3x，4x，有以下三个结论：①142x x+=且232x x+=；②当1a=时，12111x x+=且34111x x+=；③2134x xx x+=．其中正确的结论个数为（）A．0B．1C．2D．312．如图，三棱锥P ABC-的体积为24，又90PBC ABC∠=∠=︒，3BC=，4AB=，PB=，且二面角P BC A--为锐角，则该三棱锥的外接球的表面积为（）………线…………○……………线…………○……A ．169πB ．144πC ．185πD ．80π 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．设复数z 满足1||z z i -=+，则z 在复平面内对应的点(),Z x y 的轨迹方程为________. 14．函数()(cos 1)4f x x a x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在2x π=处的切线与直线10x y -+=垂直，则该切线在y 轴上的截距为_______________. 15．已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点为(),0F c ，其中一条渐近线与圆222()a c y x +=-相交于M ，N 两点，当FMN ∆为直角三角形时，该双曲线的离心率为_______________． 16．刚上班不久的小明于10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价6000元的手机，约定从下月5日开始，每月5日按等额本息（每期以相同的额度偿还本金和利息）还款a 元，1年还清；其中月利率为0.5%，则小明每月还款数a =___________元（精确到个位）.（参考数据：111.005 1.056≈；121.005 1.062≈；131.005 1.067≈）三、解答题 17．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =-r ，……○…………线…题※※……○…………线…（1）求角C的大小；（2）若c=ABC∆的周长的取值范围.18．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1AA⊥平面ABC，11AC BC AA===，AC BC⊥，且D，E，F分别为棱AB，BC，AC的中点.（1）证明：直线1A F与1B E共面；并求其所成角的余弦值；（2）在棱1C C上是否存在点M，使得DM⊥平面11A B EF，若存在，求1CMC C的值；若不存在，请说明理由.19．已知动圆过定点()0,4M，且在x轴上截得的弦长为8.（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）过点M斜率为k()0k>的直线交轨迹C于A，B两点，当12AM MB=u u u u r u u u r时，求AB.20．数列{}n a是首项为1，公差不为0的等差数列，且1a，2a，5a成等比数列；数列{}n b的前n项和为n S，且12b=，1213n nS S+=+()*n∈N.（1）求n a，n b；（2）若n n nc a b=⋅，且数列{}n c的前n项和为n T，证明：9nT<.21．已知函数()(ln1)axf x x x e=--，其中0a≥.（1）当1a=时，求()f x的单调区间；（2）当函数()f x在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有且只有2个极值点时，求a的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程21xy⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2(53cos 2)8ρθ-=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值. 23．已知a ，b ，c 为正数，且满足1a b c ++=.证明： （1）13ab bc ac ++≤； （2）11110a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥参考答案1．C【解析】【分析】首先解不等式求出集合A ，B 的范围，然后利用集合的运算求解即可.【详解】因为2101x x-=??，故集合{1,1}A =-， 因为10(,1](1,)1x x x +≥⇒∈-∞-⋃+∞-， 故集合(,1](1,)B =-∞-⋃+∞，则R (1,1]B C =-，故(C ){1}R A B =I .故选：C .【点睛】本题考查了不等式的计算，集合补集与交集的混合运算，属于基础题.2．D【解析】【分析】利用n a 与n S 的关系直接求解出3a 即可.【详解】 由题知3323214312a S S -==-=. 故选：D .【点睛】本题考查了已知数列n S 求数列n a ，属于基础题. 已知数列n S 求数列n a 时一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解. 3．A【解析】【分析】分别求出1m >时a ，b ，c 的范围，再根据a ，b ，c 的大小得到选项.【详解】当1m >时，由对应函数的单调性可知，1122log log 10a m =<=， 1112212m b ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=且201mb ⎛⎫= ⎪⎭>⎝， 121c m =>，排序得a b c <<.故选：A .【点睛】本题考查了利用函数单调性比较函数值的大小，属于基础题.4．A【解析】【分析】根据题中线性约束条件绘制出可行域，再利用目标函数求解z 的最大值即可.【详解】约束条件表示的平面区域如图所示，是由原点O ，()2,0A ，24,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭围成的三角形区域（包括边界）， 可知当目标函数3z x y =+平移到A 点时，z 有最大值，最大值为3206z =⨯+=.故选：A .【点睛】本题考查了二元一次不等式组所表示的平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题. 5．D【解析】【分析】逐一分析对应选项的奇偶性和区间(0,)+∞上单调性即可.【详解】由题知A 选项中2y x x =+为非奇非偶函数，故A 选项不正确，B 选项中ln y x x =为非奇非偶函数，故B 选项不正确，C 选项中33y x x =-是奇函数，求导得233y x '=-，当0y '≥时有1x ≥或1x ≤-，故33y x x =-在()0,∞+上不单调递增，故C 选项不正确， D 选项中33sin 2y x x =-是奇函数， 求导得2333sin cos (1sin 2sin )22y x x x x '=-⋅=-⋅， 又1sin 21x -≤≤，1sin 1x -≤≤，故0y '≥恒成立，满足在()0,∞+上单调递增，故D 选项正确.故选：D .【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，函数单调区间的求解，属于基础题.6．B【解析】【分析】先根据sin 2cos 1αα-=求出tan α的值，再根据正切二倍角公式求解tan2α.【详解】将sin 2cos 1αα-=两边平方得22sin 4sin cos 4cos 1αααα-⋅+=，又22sin cos 1αα+=，化简得cos (4sin 3cos )0ααα⋅-=，当cos 0α=时，sin 1α=，此时22k παπ=+()k ∈Z ，则tan 2tan(4)0k αππ=+=，当4sin 3cos 0αα-=时，即3tan 4α=， 由倍角公式得2322tan 244tan 291tan 7116ααα⨯===--， 综上，满足条件的tan 20α=或247. 故选：B.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，正切的二倍角公式，属于基础题. 7．C【解析】【分析】首先根据平面向量基本定理把BE u u u r 分解为BA u u u r 和BC uuu r，再进行向量的数量积运算即可.【详解】 由2AE EC =u u u r u u u r ，得2()BE BA BC BE -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即1233BE BA BC =+u u u r u u u r u u u r ， 则212123333cos6063333BE BA BA BA BC ⋅=+⋅=⨯⨯+⨯⨯⨯︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：C.【点睛】本题考查了平面向量基本定理，向量数量积的运算，属于基础题. 注意在向量分解时，往往要把向量分解到已知夹角的方向上.8．B【解析】【分析】首先根据三视图还原几何体，再根据三棱锥的体积公式求解即可.【详解】由题中三视图还原几何体，可得边长为3的正方体中，由四个顶点A 、B 、C 、D 构成的三棱锥，如图所示，可知三棱锥高3h =， 三棱锥底面积193322ABC S =⨯⨯=V ， 故三棱锥体积119933322ABC V S h =⋅=⨯⨯=V . 故选：B .【点睛】 本题考查了通过三视图还原几何体，三棱锥的体积公式，属于一般题.9．C【解析】【分析】首先根据题中条件求出数列{}n a 的通项公式，前n 项和公式，然后再求出数列{}n a 的前n 项和n T 即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，因为1816a a +=-，103a =，所以12716a d +=-，193a d +=，解得115a =-，2d =，故217n a n =-，216n S n n =-，易知当8n ≤时0n a <，当9n ≥时0n a >，则8,82,9n n nS n T S S n -≤⎧=⎨-≥⎩， ()222161682161628168128T S S =-=---⨯=.故选：C .【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，含绝对值的等差数列前n 项和，属于基础题.10．C【解析】【分析】根据1F AB S ∆=1120AF B ∠=︒，过2F 与x 轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A 点，列方程求解椭圆方程基本量a ，b ，c 即可. 【详解】由题意设椭圆C 的方程：22221x y a b+=(0)a b >>， 连结2BF ，由椭圆的对称性易得四边形12AF BF 为平行四边形，由1120AF B ∠=︒得2160F AF ∠=︒，又212AF F F ⊥， 设21AF BF m ==，则12F F =，12AF m =，又11121122F AB S BF F F m ∆=⋅⋅=⨯=，解得3m =，又由1222c F F ===，1223a AF AF m =+==，解得1c =，a =b ==则椭圆C 的方程为22132x y +=. 故选：C .【点睛】本题考查了椭圆的标准方程求解及椭圆的简单几何性质，属于一般题.在求解椭圆标准方程时，关键是求解基本量a ，b ，c .11．D【解析】【分析】 绘制出函数2()log 1f x x =-与x a =有四个交点的图像，然后依次判断三个结论的对错即可.【详解】 由题绘制函数2()log 1f x x =-如图所示，可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，又1234x x x x <<<，可得142x x +=且232x x +=，故结论①正确，当1a =时，由2log 11x -=解得2log |1|1x -=±，即|1|2x -=或12，解得11x =-，212x =，332x =，43x =， 此时12111x x +=和34111x x +=均成立， 故结论②正确，由图可知1234012x x x x <<<<<<，则由()()34f x f x =得()()2324log 1log 1x x --=-，解得()()34111x x --=，即34111x x +=， 同理可得12111x x +=， 由①有14442x x x x +=，23332x x x x +=， 则231421343434341122222x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+++=+=+=++= ⎪⎝⎭， 解得21340x x x x +=， 则结论③正确.故选：D .【点睛】本题主要考查了函数图像的绘制，方程根与函数图像交点横坐标之间的关系，属于中档题. 12．A【解析】【分析】首先根据题中条件可以求出三棱锥各边长，然后证出PA ⊥平面ABC ，则可以找出外接球球心，求出半径，最后利用球体表面积公式求出答案即可.【详解】因90PBC ABC ∠=∠=︒，所以BC ⊥平面PAB ，且PBA ∠为二面角P BC A --的平面角，又3BC =，4AB =，PB =，由勾股定理可得13PC =，5AC =，因为1sin 2PAB S PB AB PBA PBA ∆⋅=⋅∠=∠，所以三棱锥的体积1132433PAB V S BC PBA ∆=⋅=⨯∠⨯=，解得sin 10PBA ∠=，又PBA ∠为锐角，所以cos 10PBA ∠=， 在PAB ∆中，由余弦定理得21601624144PA =+-⨯⨯=， 即12PA =，则222PB PA AB =+，故PA AB ⊥，由BC ⊥平面PAB 得BC PA ⊥，故PA ⊥平面ABC ，即PA AC ⊥，取PC 中点O ，在直角PAC ∆和直角PBC ∆中，易得OP OC OA OB ===，故O 为外接球球心， 外接圆半径11322R PC ==， 故外接球的表面积24169S R ππ==.故选：A .【点睛】本题主要考查了利用三棱锥的几何性质求解外接球的表面积，这类题的关键是找出外接球的半径，属于中档题.13．0x y +=【解析】【分析】根据z 在复平面内对应的点为(),Z x y ，代入1||z z i -=+整理即可求出轨迹方程.【详解】由题知z x yi =+，所以|1|||z z i -=+⇒=化简得0x y +=即为点(),Z x y 的轨迹方程.故答案为：0x y +=.【点睛】本题考查了复数模的求解，求点的轨迹方程，属于基础题.14．12π- 【解析】【分析】 首先求出函数在2x π=处的切线斜率，再根据切线与直线10x y -+=垂直求出a ，求出切线方程，根据切线方程即可求出切线在y 轴上的截距.【详解】因()sin 4f x x a x π⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭， 由题意得112f a π⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭， 解得2a =， 又112f a π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 则()f x 在2x π=处的切线方程为12y x π⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 令0x =得12y π=-，则该切线在y 轴上的截距为12π-.故答案为：12π-. 【点睛】 本题考查了根据函数导数求解函数在某点处的切线方程，属于基础题.15【解析】【分析】根据题中双曲线与圆的几何性质，求解双曲线基本量a ，b ，c 的比例关系，即可求出离心率e .【详解】由圆的性质易知||||FM FN a ==，则FMN ∆为等腰直角三角形，不妨取双曲线的一条渐近线:0l bx ay -=，设MN 中点为P ，则||2FP a =，因为||FP =， 则||FP b =，即||2FP a b ==，22212a c a =-，解得离心率c e a =.【点睛】 本题主要考查了双曲线离心率的求解，属于一般题.注意，在双曲线中，焦点到双曲线渐近线的距离为b ，记住这个结论可以帮助解题. 16．514【解析】【分析】根据题中条件，小明需要12个月还清贷款，即在第12个月的时候小明的欠款为零元，列方程求解，即可求出每月还款数.【详解】由题知小明第1次还款a 元后，还欠本金及利息为6000(10.5%)a +-元，第2次还款a 元后，还欠本金及利息为：26000(10.5%)(10.5%)a a +-+-元，第3次还款a 元后，还欠本金及利息为：326000(10.5%)(10.5%)(10.5%)a a a +-+-+-元，以此类推则第12次还款a 元后，还欠本金及利息为：12116000(10.5%)(10.5%)(10.5%)a a a +-+--+-L 元，此时已全部还清，则12116000(10.5%)(10.5%)(10.5%)0a a a +-+--+-=L ， 即12121(10.5%)6000(10.5%)1(10.5%)a ⎡⎤-+⎣⎦+=-+， 解得121260000.005 1.0051.0051a ⨯⨯=-30 1.0625140.062⨯≈≈元. 故答案为：514.【点睛】本题考查了利用等比数列解决实际问题的能力，属于一般题.17．（1）23C π∠=；（2）(+. 【解析】【分析】（1）根据向量平行列出方程，再利用正弦定理进行边角转化，然后求出角C 的大小；（2）根据余弦定理求出+a b 的取值范围，再根据三角形边的几何性质求出周长的取值范围.【详解】（1）由//m n r r得22cos 2cos cos a C c A C b +=-， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==， 得2cos (sin cos sin cos )sin C A C C A B +=-，即2cos sin()sin C A C B +=-，因为在三角形中sin()sin 0A C B +=≠， 则1cos 2C =-， 又(0,)C π∠∈， 故23C π∠=； （2）在ABC ∆中，因c =23C π∠=， 由余弦定理得2223c a b ab =++=， 即22()332a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号， 解得2a b +≤，又由三角形性质得a b c +>=2a b <+≤，则2a b c <++≤+即ABC ∆的周长的取值范围为(+.【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理的应用，结合考查了两向量平行，属于一般题.第二问属于典型的已知三角形一角和该角所对边的问题，可以利用圆中弦所对圆周角相等的这个几何性质求出三角形边长范围.18．（1）证明见解析，45；（2）存在，114CM C C =，理由见解析.【解析】【分析】（1）证明直线1A F 与1B E 共面只需证明出EF 与11A B 平行即可，然后再通过余弦定理求出两直线所成角的余弦值；（2）建立直角坐标系，求出DM u u u u r ，利用线面垂直条件证明114CM C C =即可. 【详解】（1）证明：E Q ，F 分别是BC ，AC 的中点， //EF AB ∴，由棱柱性质易得11//A B AB ，11//EF A B ∴，E ∴，F ，1A ，1B 四点共面，即直线1A F 与1B E 共面得证，取11A B 中点为H ，连结EH ，易知四边形1EFA H 为平行四边形， 故1//A F HE ，则1HEB ∠为直线1A F 与1B E 所成角， 1AC BC ==Q ，AC BC ⊥，11AB A B ∴==在1HEB ∆中，111122HB A B ==，11HE A F B E ====15514cos 5HEB +-∴∠==， 即直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为45； （2）由题意，直线AC ，BC ，1CC 两两相互垂直，如图所示建立直角坐标系，C 为坐标原点，有(0,0,0)C ，1(0,0,1)C ，1(0,1,1)A ，1(1,0,1)B ，10,,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(0,0,)M m ，(01)m ≤≤，则11(1,1,0)A B =-u u u u r ，110,,12A F ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ， 11,,22DM m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，要使DM ⊥平面11A B EF ，则11100DM A B DM A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ， 即111(1)00221110(1)0222m m ⎧⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⨯-+-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得1[0,1]4m =∈，即114CM C C =， 故在棱1C C 上存在点M ， 使得DM ⊥平面11A B EF ，且114CM C C =. 【点睛】本题主要考查了线线平行，余弦定理，空间直角坐标系中向量相互垂直的表示，属于一般题.19．（1）28x y =；（2）【解析】【分析】（1）设动圆圆心为(),x y ，根据题中条件列关于x ，y 的方程，求出x ，y 的关系式即可；（2）根据题中条件求出A ，B 两点坐标，结合斜率k ，即可求出AB . 【详解】（1）由题意设动圆圆心为(),x y ，半径为r ，则r =，又动圆在x 轴上截得的弦长为8， 所以圆心到x 轴的距离为y ，则r =r ==化简得28x y =，即轨迹C 的方程为：28x y =；（2）由题意，设:4AB y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立248y kx x y=+⎧⎨=⎩得28320x kx --=，由题意，判别式2641280k ∆=+>， 且128x x k +=，1232x x =-，由12AM MB =u u u u r u u u r可得212x x =-，代入解得1218016x k x =-<⎧⎨=⎩则14x =-，28x =，12k =，故12||AB x x =-48|=--=【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线所交弦长的求解，属于中档题. 注意在求解轨迹方程时，常用的方法是求谁设谁，再利用题中条件找出x ，y 的关系.20．（1）21n a n =-，22,112,233n n n b n -=⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据1a ，2a ，5a 成等比数列，求出等差数列{}n a 的公差，即可求出n a ，根据n S 与n b 的关系求出n b ；（2）利用错位相减法求出n T ，然后再证明9n T <. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ()0d ≠，由1a ，2a ，5a 成等比数列得2(1)1(14)d d +=⨯+，解得0d =（舍去）或2d =， 则21n a n =-，因12b =，1213n n S S +=+， 当1n =时，121213b b b +=+，解得213b =，当2n ≥时，1312n n S S -+=，有()1123n n n n S S S S +--=-，即123n n b b +=(2)n ≥又2123b b ≠，则22,112,233n n n b n -=⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）由（1）得22,1212,233n n n c n n -=⎧⎪=⎨-⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则32352232212213333333n n n n n T ----⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭L ，两边乘以23，得221242522322121333333333n n n n n T ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，两式相减，得221142222212333333333n n n n T --⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ， 22122133152122333313n n n n T --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-⋅ ⎪⎝⎭-， 112523333n n n T -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，整理得129(25)3n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，所以129(25)93n n T n -⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭得证.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，等比数列的通项公式的求解，利用错位相减法求差比数列的前n 项和，属于中档题. （1）在利用n S 求n b 时，要注意分段；（2）等差乘等比的数列常称为差比数列，主要利用错位相减法求差比数列的前n 项和. 21．（1）函数()f x 在()0,1单调递减，(1,)+∞单调递增；（2）2,2ln 21⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭.【解析】 【分析】（1）代入1a =，对()f x 求导，根据导数正负判断函数的单调区间； （2）函数在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭有且只有两个极值点，即函数()f x 的导数在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有且只有两个零点，然后对a 分类讨论，取满足条件的a 的取值，即可求出a 的取值范围. 【详解】（1）易知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当1a =时，1()ln x f x x x e x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，又0x e >， 设1()ln g x x x x=--， 则()22211110x x g x x x x-+'=+-=>恒成立， ()g x ∴在()0,+?单调递增，又(1)0g =，则当01x <<时()0g x <， 当1x >时()0gx >，即函数()f x 在()0,1单调递减，(1,)+∞单调递增；（2）由1()(ln 1)1axf x a x x e x ⎡⎤'=--+-⎢⎥⎣⎦， 可得0>ax e ，且()01f '=， 设1()(ln 1)1h x a x x x=--+-， 即(1)0h =，又222111()1ax ax h x a x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭， ①当0a =时，21()0h x x '=>，即()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 则当112x <<时()0h x <，当1x >时()0h x >， 即()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且只有1个极值点1x =，故不满足题意， 当0a ≠时，2()010h x ax ax '=⇔-+=，此时24a a ∆=-，②当04a <≤时，有0∆≤，此时()0h x '>在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭恒成立， 同①可得()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且只有1个极值点1x =， 故也不满足题意， ③当4a >时，有>0∆，设210ax ax -+=的两根为1x ，2x ()12x x <， 则有121x x =+，1210x x a=>， 故121012x x <<<<， 则()0h x '<时212x x <<，()0h x '>时2x x >， 即函数()h x 在21,2x ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，()2,x +∞单调递增， 又()10h =，故()20h x <，11ln 2122h a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1ln 2102a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，即242ln 21a <≤-时，()h x 在21,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点， 又在()2,x +∞单调递增，()10h = 即()f x 在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有且只有1个极值点1x =， 故不满足题意， 当1ln 2102a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即22ln 21a >-时， 则021,2x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00h x =， 且当012x x <<时()0h x >， 当01x x <<时()0h x <，当1x >时()0h x >， 即此时()f x 在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有且只有2个极值点， 极值点为1x =和0x x =， 故满足题意，综上可得，符合条件的a 的取值范围为2,2ln 21⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭.【点睛】本题综合考查了利用函数导数研究函数单调性和极值，利用区间内极值点个数求参数，属于难题.（1）在求解函数单调区间时，若函数的导函数单调，则要注意找导函数的零点； （2）对于分类讨论问题要有序的进行分类讨论，可以避免讨论的重复和缺失.22．（1）240x y --=，2214x y +=；（2）5. 【解析】 【分析】（1）直线l 方程消去参数即可求得直线l 的普通方程，曲线C 的方程根据直角坐标与极坐标的转化关系即可求得曲线C 的直角坐标方程；（2）根据点到直线的距离公式，然后代入曲线的参数方程形式，即可求出答案. 【详解】（1）由直线l 的参数方程消参数t ，有222(1)x y =+=++， 即l 的普通方程为240x y --=， 由2(53cos 2)8ρθ-=， 得()222253cos sin 8ρρθθ--=，则()22225338x yxy +-+=，化简得221 4xy+=；（2）由（1）可设C的参数方程为2cossinxyαα=⎧⎨=⎩（α为参数），则C上的点到l距离d=整理得45dπα⎛⎫-+⎪=≥故当4πα=-时，即C上的点⎭到直线l距离最小，.【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，曲线的极坐标方程，椭圆的参数方程，属于一般题. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据分析法，结合不等式关系中222a bab+≥，222b cbc+≥，222a cac+≥，即可证明不等式成立；（2）根据题中条件，直接构造基本不等式进行证明即可.【详解】（1）1a b c++=Q，2222()2221a b c a b c ab bc ac∴++=+++++=，又由均值不等式，得222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，则222222222222a b b c a c a b c ab bc ac +++++=++≥++，3()1ab bc ac ∴++≤，即13ab bc ac ++≤得证； （2）a Q ，b ，0c >，1a b c ++=，1a ∴，1b ，10c>， 则1111a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4b a c a b c a b a c c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又由均值不等式得2b a a b +≥=， 同理可得2c a a c+≥，2b cc b +≥，则1114610a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当13a b c ===时等号成立，得证. 【点睛】本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题.。
江西省吉安市青原山中学高三数学理上学期期末试题含解析
江西省吉安市青原山中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若i为虚数单位，则（）A. B. C. D.参考答案：A.试题立意：本小题考查复数的概念和乘除运算等基础知识；考查考生的运算求解能力.2. 已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=（）A．B． 7 C． 6 D．参考答案：A略3. 由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】作出对应的平面区域，根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论．【解答】解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x≥1，在x﹣y+1=0的上方，则x﹣y+1≤0，在x+y﹣5=0的下方，则x+y﹣5≤0，则用不等式组表示为，故选：A．4. 函数的大致图象是参考答案：D略5. 函数的零点一定位于的区间是( )A． B． C． D．参考答案：B略6. 在复平面内，复数z=i（1+2i）的共轭复数( )A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；函数思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法化简复数为a+bi的形式，即可求解本题．【解答】解：复数z=i（1+2i）=﹣2+i．复数z=i（1+2i）的共轭复数：﹣2﹣i．故选：B．【点评】本题考查是的基本概念，复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．7. 若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是A．[ 0，2] B.(0，2) C. [0，2) D. (0，2]参考答案：D略8. 在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．56参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式中恰好第5项的二项式系数最大，得出n的值，再利用展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数即可．【解答】解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，∴展开式中第5项是中间项，共有9项，∴n=8；展开式的通项公式为T r+1=?x8﹣r?=（﹣1）r??x8﹣2r，令8﹣2r=2，得r=3，∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）3?=﹣56．故选：C．9. 据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n（n为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（）A. 2盏B. 3盏C. 26盏D. 27盏参考答案：C分析：每次灯的个数成等差数列，设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏，利用等差数列求和公式列方程可得详解：设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏，，，，，，，，，（盏），所以最下面一层有灯，（盏），故选C.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.10. 如右图，一个直径为l 的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是（ ）参考答案： A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.函数的最小值为 .参考答案：答案：12. 若实数x ，y 满足条件则的最大值为__________．参考答案：5. 【分析】作出可行域和目标函数图象，找到最值点，代入目标函数，求出最大值. 【详解】作出可行域及如图，平移直线可知在点A 处目标函数取到最大值，联立可得,代入可得.【点睛】本题主要考查线性规划，求解线性规划问题时，准确作出可行域是求解关键，侧重考查直观想象的核心素养.13. 已知(为自然对数的底数),函数,则__________.参考答案：7 略14. 如图所示, C 是半圆弧x 2+y 2=1(y ≥0)上一点, 连接AC 并延长至D, 使|CD|=|CB|, 则当C 点在半圆弧上从B 点移动至A 点时,D 点的轨迹是_______的一部分，D 点所经过的路程为 .参考答案：圆，解：设点（其中D点不与A、B两点重合），连接BD，设直线BD的倾斜角为，直线AD的倾斜角为。
2020年江西省吉安市城关中学高三数学理期末试题含解析
2020年江西省吉安市城关中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知上的增函数，那么a的取值范围是（）A．（1，+） B．（－，3） C． D．（1，3）参考答案：答案：C2. 在平行四边形中，，的延长线与交于点．若，，则（）A．B．C．D．参考答案：B3. 函数f（x）=k﹣（k＞0）有且仅有两个不同的零点θ，φ（θ＞φ），则以下有关两零点关系的结论正确的是（）A．sinφ=φcosθB．sinφ=﹣φcosθC．sinθ=θcosφD．sinθ=﹣θcosφ参考答案：D【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意构造函数y1=sin|x|，y2=kx，然后分别做出两个函数的图象，利用图象和导数求出切点的坐标以及斜率，即可得到选项．【解答】解：依题意可知x不能等于0．令y1=sin|x|，y2=kx，显然函数y1为偶函数，y2=kx为奇函数，故θ，φ为绝对值最小的两个非零零点．然后分别做出两个函数的图象．由题意可得y2与y1仅有两个交点，且φ是y1和y2相切的点的横坐标，即点（φ，sin|φ|）为切点，φ∈（﹣，﹣π），故sin|φ|=﹣sinφ．因为（﹣sinφ）′=﹣cosφ，所以切线的斜率k=﹣cosφ．再根据切线的斜率为 k==，∴﹣cosφ=，即sinθ=﹣θcosφ，故选：D．4. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2)，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：D5. 设O为坐标原点，动点满足，则的最小值是A． B．— C． D．－参考答案：D6. 已知，其中，e为自然对数的底数，则在的展开式中的系数是（）A．240 B．80 C．D．参考答案：B由积分可得，所以展开式中通项可写为，当r=2,t=0时，N=-80,当r=3,t=1时，N=160,所以的系数为80，选B.7. 一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D考点：古典概型试题解析：因为所以，故答案为：D8. 下列说法中，正确的是（）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题C．命题“，”的否定是：“，”D．已知，则“”是“”的充分不必要条件参考答案：C9. 若与都是非零向量，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C10. 若复数是纯虚数，则实数的值为A．0或2 B．2 C．0 D．1或2参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.点P（－1，－3）在双曲线的左准线上，过点P且方向为的光线经直线y=2反射后通过双曲线的左焦点，则此双曲线的离心率为。
2020-2021学年江西省吉安市第三中学高三数学理期末试题含解析
2020-2021学年江西省吉安市第三中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，AB=3，AC=2，，则( )A. B. C. D.参考答案：C2. 已知函数有两个零点，则有A． B． C． D．参考答案：D3. 已知集合，R是实数集，( )A.B.RC.D.参考答案：A4. 若，则的值为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D 5. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别表示三棱锥M﹣PAB，M﹣PBC，M﹣PAC的体积，若f（M）=（1，x，4y），且+≥8恒成立，则正实数a的最小值是（）A．2﹣B．C．D．6﹣4参考答案：C【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于a的不等关系，解之即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=2．∴V P﹣ABC=×3×2×2=2=1+x+4y，即x+4y=1，∵+≥8恒成立，∴+=（+）（x+4y）=1+≥1+4a+4≥8，解得a≥∴正实数a的最小值为．【点评】本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题．6. 执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的为（）（A）（B）或（C）（D）参考答案：D程序框图表示，所以，解得：，，解集为空，所以，故选D.7. 函数f（x）=的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：A考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除C、D，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，从而得到答案A．解答：解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x）=，==f（x），∴f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数，．∴其图象关于y轴对称，可排除C，D；又当x→0时，cos（πx）→1，x2→0，∴f（x）→+∞．故可排除B；而A均满足以上分析．故选A．点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．8. 有4名优秀学生A、B、C、D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A 生不去甲学校，则不同的保送方案有A．24种B．30种C．36种D．48种A 略9. 已知角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转后经过点(3,4)，则A ．B ．C ．D ．参考答案：10. 已知均为非零向量，则“”是“”的（ ）A ．必要充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件参考答案：二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设a=dx ，则二项式（x+）（2x ﹣）5的展开式中的常数项是 ．参考答案：120【考点】DC ：二项式定理的应用；61：变化的快慢与变化率．【分析】求定积分得到a 的值，再利用二项式定理把（2x ﹣） 5 展开，可得（x+）（2x ﹣）5的展开式中的常数项． 【解答】解：∵a=dx=lnx=2，则二项式（x+）（2x ﹣）5=（x+）（2x ﹣）5=（x+）?（?（2x ）5+?（2x ）4?（﹣）+?（2x ）3?+?（2x ）2?+?（2x ）?+（﹣）5，=（x+）?（32x 5﹣80x 3+80x ﹣40?+10?﹣），故展开式中的常数项为﹣40+2?80=120， 故答案为：120．12. 函数的最小值为 .参考答案： 313. 在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 ▲参考答案：由题意知所以有两边平方得到，即两边同除以得到，解得，即14. 若x ，y 满足约束条件，则z=x+3y 的最大值为 ．参考答案： 4【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式．【分析】先画出满足条件的平面区域，求出A 的坐标，结合图象求出z 的最大值即可．【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：由，解得A （1，1）而z=x+3y 可化为y=﹣x+，由图象得直线过A （1，1）时z 最大，z 的最大值是4， 故答案为：4．【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．15. 设x ，y 满足约束条件，向量，且a ∥b ，则m 的最小值为 ；参考答案：-6 略16. 若在由正整数构成的无穷数列中，对任意的正整数n ，都有，且对任意的正整数k ，该数列中恰有2k-1个k ，则参考答案：4517. 已知为偶函数，当时，，则满足的实数 的个数有________个参考答案：8 略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年江西省吉安市高三(上)期末理科数学试卷及答案详解与点睛(16页)
2019-2020学年江西省吉安市高三（上）期末理科数学试卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣1，1]B．{﹣1}C．{1}D．{﹣1，1}2．（5分）若数列{a n}的前n项和，则a3＝（）A．1B．C．D．3．（5分）已知m＞1，，，，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．6B．3C．2D．05．（5分）下列函数既是奇函数且又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x2+x B．y＝xlnxC．y＝x3﹣3x D．6．（5分）若角α满足sinα﹣2cosα＝1，则tan2α＝（）A．0B．0或C．D．0或7．（5分）在边长为3的等边△ABC中，点E满足，则＝（）A．9B．C．6D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．9B．C．6D．39．（5分）已知等差数列{a n}满足a1+a8＝﹣16，a10＝3，设数列{|a n|}的前n项和为T n，则T16＝（）A．32B．28C．128D．010．（5分）椭圆C的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），过F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，，则椭圆方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝|log2|x﹣1||，若方程f（x）＝a（a＞0）的4个不同实根从小到大依次为x1，x2，x3，x4，有以下三个结论：①x1+x4＝2且x2+x3＝2；②当a＝1时，+＝1且；③．其中正确的结论个数为（）A．0B．1C．2D．312．（5分）如图，三棱锥P﹣ABC的体积为24，又∠PBC＝∠ABC＝90°，BC＝3，AB＝4，，且二面角P﹣BC﹣A为锐角，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．169πB．144πC．185πD．80π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设复数z满足|z﹣1|＝|z+i|，则z在复平面内对应的点Z（x，y）的轨迹方程为．14．（5分）函数f（x）＝在x＝处的切线与直线x﹣y+1＝0垂直，则该切线在y轴上的截距为．15．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），其中一条渐近线与圆（x﹣c）2+y2＝a2相交于M，N两点，当△FMN为直角三角形时，该双曲线的离心率为．16．（5分）刚上班不久的小明于10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价6000元的手机，约定从下月5日开始，每月5日按等额本息每期以相同的额度偿还本金和利息）还款a元，1年还清；其中月利率为0.5%，则小明每月还款数a＝．元（精确到个位）．（参考数据：1.00511≈1.056；1.00512≈1.062；1.00513≈1.067）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量，，且．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若c＝，求△ABC的周长的取值范围．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝1，AC⊥BC，且D，E，F分别为棱AB，BC，AC的中点．（Ⅰ）证明：直线A1F与B1E共面；并求其所成角的余弦值；（Ⅱ）在棱C1C上是否存在点M，使得DM⊥平面A1B1EF，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知动圆过定点M（0，4），且在x轴上截得的弦长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点M斜率为k（k＞0）的直线交轨迹C于A，B两点，当时，求|AB|．20．（12分）数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列；数列{b n}的前n项和为S n，且b1＝2，（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，b n；（Ⅱ）若c n＝a n•b n，且数列{c n}的前n项和为T n，证明：T n＜9．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣lnx﹣1）•e ax，其中a≥0．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当函数f（x）在区间上有且只有2个极值点时，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（5﹣3cos2θ）＝8．（Ⅰ）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（Ⅱ）求C上的点到l距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（Ⅰ）ab+bc+ac≤；（Ⅱ）（a+）+（b+）+（c+）≥10．2019-2020学年江西省吉安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】先对A，B集合中的等式和不等式分别进行求解，然后表示∁R B，再与集合A求交集即可．【解答】解：集合A＝{﹣1，1}；集合B＝（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），则∁R B＝（﹣1，1]，故A∩（∁R B）＝{1}．故选：C．2．【分析】直接利用数列的递推关系式的应用求出结果．【解答】解：由数列{a n}的前n项和，所以a3＝S3﹣S2＝，故选：D．3．【分析】利用指数函数、对数函数幂函数的单调性即可得出．【解答】解：当m＞1时，由对应函数的性质可知a＜0，0＜b＜1，c＞1，则a＜b＜c成立．故选：A．4．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可的得到结论．【解答】解：约束条件表示的平面区域如图所示，是由原点O，A（2，0），B（，）围成的三角形区域（包括边界），由线性规划可得当直线z＝3x+y平移到A点时，目标函数z＝3x+y有最大值，且最大值为6，故选：A．5．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2+x，是二次函数，其对称轴为x＝﹣，是非奇非偶函数，不符合题意；对于B，y＝xlnx，其定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数，不符合题意；对于C，y＝x3﹣3x，是奇函数，其导数y′＝3x2﹣3，易得在区间（0，1）上，y′＜0，函数y＝x3﹣3x 是减函数，不符合题意；对于D，y＝x﹣sin3x，是奇函数，其导数y′＝﹣3sin2x cos x＝（1﹣sin2x sin x），易得在区间（0，+∞）上，y′＞0，函数y＝x﹣sin3x是增函数，符合题意；故选：D．6．【分析】先把已知等式两边平方，结合同角基本关系可求tanα，然后结合二倍角的正切公式即可求解．【解答】解：将sinα﹣2cosα＝1两边平方得sin2α﹣4sinαcosα+4cos2α＝1，即cosα（4sinα﹣3cosα）＝0，当cosα＝0时，sinα＝1，此时，k∈z，则tan2α＝0；当4sinα﹣3cosα＝0，即tan，由倍角公式得tan2α＝＝＝；综上，tan2α＝0或tan2α＝．故选：B．7．【分析】由得＝2（﹣），即＝+，代入即可求解【解答】解：由得＝2（﹣），即＝+，则＝+•＝×3×3+×3×3×cos60°＝6．故选：C．8．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【解答】解：由三视图还原几何体，可得该几何体可看成如图所示的边长为3的正方体的四个顶点A、B、C、D构成的三棱锥，则其体积V＝．如图所示：故选：B．9．【分析】设公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再讨论数列的项的符号，由等差数列的求和公式可得所求和．【解答】解：设公差为d，由a1+a8＝﹣16，a10＝3，可得2a1+7d＝﹣16，a1+9d＝3，解得a1＝﹣15，d＝2，故a n＝﹣15+2（n﹣1）＝2n﹣17，易知当n≤8时，a n＜0，当n≥9时，a n＞0，且a8＝﹣1，a9＝1，则T16＝﹣（a1+a2+…+a8）+（a9+a10+…+a16）＝﹣×8×（﹣15﹣1）+×8×（1+15）＝128．故选：C．10．【分析点睛】由题意设椭圆的方程，连接连结BF2，由椭圆的对称性易得四边形AF1BF2为平行四边形，再由所给的角及面积求出a，b，c，进而求出椭圆的方程．【解答】解：由题意设椭圆C的方程：+＝1，（a＞b＞0），连结BF2，由椭圆的对称性易得四边形AF1BF2为平行四边形，由∠AF1B＝120°得∠F2AF1＝60°，又AF2⊥F1F2，设|AF2|＝+BF1|＝m，则|F1F2|＝m，|AF1|＝2m，又S＝＝＝，解得m＝，又由2c＝|F1F2|＝m＝2，2a＝|AF1|+|AF2|＝3m＝2，解得c＝1，a＝，b2＝a2﹣c2＝2，则椭圆C的方程为：．故选：C．11．【分析】根据题意画出函数f（x）的图象，结合图象与性质，分别判断题目中的命题是否正确．【解答】解：如图所示，可知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称；又x1＜x2＜x3＜x4，可得x1+x4＝2且x2+x3＝2，所以①正确；当a＝1时，由|log2|x﹣1||＝1，解得log2|x﹣1|＝±1，即|x﹣1|＝2或|x﹣1|＝，解得x1＝﹣1，x2＝，x3＝，x4＝3；此时+＝1和+＝1均成立，所以②正确；由图可知x1＜0＜x2＜1＜x3＜2＜x4，则由f（x3）＝f（x4）得﹣log2（x3﹣1）＝log2（x4﹣1），解得（x3﹣1）（x4﹣1）＝1，即+＝1（同理也可得+＝1）；由①得＝，＝，则2（+）＝+＝+＝+1++1＝2，解得+＝0，所以③正确．综上知，正确的命题序号是①②③，共3个．故选：D．12．【分析】由题意可得二面角的平面角，再由题知的棱长求出P A⊥面ABC，取PC的中点O，计算可得O为外接球的球心进而可得球的半径，求出球的表面积．【解答】解：因∠PBC＝∠ABC＝90°，所以BC⊥平面P AB，且∠P AB为二面角P﹣BC﹣A的平面角，又BC＝3，AB＝4 PB＝4，由勾股定理可得PC＝13，AC＝5，由三棱锥的体积V＝S△P AB•BC＝sin∠PBA•BC＝8sin ∠PBA＝24，解得sin∠PBA＝，又∠PBA为锐角，所以cos∠PBA＝，在△P AB中，由余弦定理得P A2＝160+16﹣2××＝144，即P A＝12，则PB2＝P A2+AB2，故P A⊥AB，由BC⊥平面P AB，得BC⊥P A，故P A⊥平面ABC，即P A⊥AC，取PC中点O，在直角三角形△P AC和直角三角形△PBC中，易得OP＝OC＝OA＝OB，故O为外接球球心，外接圆半径R＝PC＝，故外接球的表面积S＝4πR2＝169π．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】由题意，z＝x+yi，代入|z﹣1|＝|z+i|，整理得答案．【解答】解：由题意，z＝x+yi，又|z﹣1|＝|z+i|，得，化简得x+y＝0．故答案为：x+y＝0．14．【分析】由题意得f′（）＝1﹣a＝﹣1，可求得a＝2，又f（）＝1﹣a＝﹣1，可得f（x）在x ＝处的切线方程，令x＝0可得该切线在y轴上的截距．【解答】解：因f′（x）＝cos（x﹣）﹣a sin x，由题意得f′（）＝1﹣a＝﹣1，解得a＝2，又f（）＝1﹣a＝﹣1，则f（x）在x＝处的切线方程为y+1＝﹣（x﹣），令x＝0得y＝﹣1，则该切线在y轴上的截距为﹣1．故答案为：﹣1．15．【分析点睛】根据点到直线的距离公式，及直角三角形的性质，求得，根据双曲线的离心率公式即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由圆的性质易知|FM|＝|FN|＝a，则△FMN为等腰直角三角形，不妨取双曲线的一条渐近线l：bx﹣ay＝0，设MN中点为P，则，，则|PF|＝b，即，所以双曲线的离心率，故答案为：．16．【分析】由题意，第12 次还款a元后，还欠本金及利息为6000（1+0.5%）12﹣a（1+0.5%）11﹣a（1+0.5%）10﹣……﹣a（1+0.5%）﹣a元，此时已全部还清，则6000（1+0.5%）12﹣a（1+0.5%）11﹣a（1+0.5%）10﹣……﹣a（1+0.5%）﹣a＝0，再利用等比数列前n项和公式解出a的值即可，【解答点睛】解：由题意，小明第1次还款a元后，还欠本金及利息为6000（1+0.5%）﹣a元；第2次还款a元后，还欠本金及利息为6000（1+0.5%）2﹣a（1+0.5%）﹣a元；第3 次还款a元后，还欠本金及利息为6000（1+0.5%）3﹣a（1+0.5%）2﹣a（1+0.5%）﹣a元；……则第12 次还款a元后，还欠本金及利息为6000（1+0.5%）12﹣a（1+0.5%）11﹣a（1+0.5%）10﹣……﹣a（1+0.5%）﹣a元；此时已全部还清，则6000（1+0.5%）12﹣a（1+0.5%）11﹣a（1+0.5%）10﹣……﹣a（1+0.5%）﹣a＝0，即6000（1+0.5%）12＝，解得a＝≈514 元．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【分析】（I）利用平面向量的坐标运算，正弦定理，两角和的正弦函数公式可求cos C＝﹣，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可求得a+b≤2，利用三角形两边之和大于第三边可求得a+b＞c＝，进而得解．【解答】解：（I）由，得2a cos2C+2c cos A cos C＝﹣b，由正弦定理，得2cos C（sin A cos C+sin C cos A）＝﹣sin B，即2cos C sin（A+C）＝﹣sin B，在三角形中sin（A+C）＝sin B≠0，则cos C＝﹣，又C∈（0，π），故C＝．（Ⅱ）在△ABC中，因c＝，C＝，由余弦定理得c2＝a2+b2+ab＝3，即（a+b）2＝3+ab≤3+（）2，（当且仅当a＝b时取“＝”）解得a+b≤2，又由三角形性质易得a+b＞c＝，故a+b≤2，则2＜a+b+c≤2+，即△ABC的周长的取值范围为（2，2+]．18．【分析】（Ⅰ）推导出EF∥AB，A1B1∥AB，EF∥A1B1，由此能证明直线A1F与B1E共面；取A1B1中点为H，连结EH，由题意知四边形EF A1H为平行四边形，故A1F∥HE，则∠HEB1为直线A1F与B1E所成角，由此能求出直线A1F与B1E所成角的余弦值．（Ⅱ）以C为坐标原点，分别以CB，CA，CC1的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在棱C1C上存在点M，使得DM⊥平面A1B1EF，＝．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵E，F分别是BC，AC的中点，∴EF∥AB，由棱柱性质易得A1B1∥AB，∴EF∥A1B1，∴E，F，A1，B1四点共面，即直线A1F与B1E共面得证．取A1B1中点为H，连结EH，由题意知四边形EF A1H为平行四边形，故A1F∥HE，则∠HEB1为直线A1F与B1E所成角，∵AC＝BC＝1，AC⊥BC，∴AB＝A1B1＝，在△HEB1中，＝，HE＝＝，∴cos∠HEB1＝＝，即直线A1F与B1E所成角的余弦值为．（Ⅱ）解：由题意，直线AC，BC，CC1两两相互垂直，如图，以C为坐标原点，分别以CB，CA，CC1的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，C（0，0，0），C1（0，0，1），A1（0，1，1），B1（1，0，1），F（0，），D（，0），设M（0，0，m），（0≤m≤1，＝（1，﹣1，0），＝（0，﹣），＝（﹣，m），要使DM⊥平面A1B1EF，则，即，解得m＝∈[0，1]，即＝故在棱C1C上存在点M，使得DM⊥平面A1B1EF，＝．19．【分析】（Ⅰ）由题意动圆过的点的坐标及在x轴的弦长可得轨迹方程；（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由向量之间的关系求出AB的横坐标，进而求出弦长AB【解答】解：（1）由题意设动圆圆心为（x，y），半径为r，则r＝，又动圆在x轴上截得的弦长为8，所以圆心到x轴的距离为|y|，则r＝＝，化简得x2＝8y．即轨迹C的方程为：x2＝8y．（Ⅱ）由题意，设AB：y＝kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），联立得x2﹣8kx﹣32＝0，由题意，判别式△＝64k2+128＞0，且x1+x2＝8k，x1x2＝﹣32，由AM＝，可得x2＝﹣2x1代入解得x1＝﹣4，x2＝8，k＝，故|AB|＝|x1﹣x2|＝|﹣4﹣8|＝6．20．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d≠0），由已知列式求得d，则等差数列的通项公式可求．再由数列递推式求得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，然后利用错位相减法求数列{c n}的前n项和为T n，即可证明T n＜9．【解答】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d≠0），由a1，a2，a5成等比数列，得（1+d）2＝1×（1+4d），解得d＝0（舍去）或d＝2．则a n＝2n﹣1．∵b1＝2，，当n＝1时，，解得；当n≥2时，，有，即（n≥2），又，则；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．则，两边乘以，得．两式相减得＝＝．∴＜9得证．21．【分析】（I）把a＝1代入，构造函数g（x），根据单调性判断即可；（II）由f'（x）＝[a（x﹣lnx﹣1）+1﹣]e ax，其中e ax＞0，且f'（x）＝0，设h（x）＝a（x﹣lnx﹣1）+1﹣，对h'（x）分类讨论，判断h（x）的零点，进而判断f（x）的极值点，得出结论．【解答】解：（I）易知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a＝1时，f'（x）＝（x﹣﹣lnx）e x，又e x＞0，设g（x）＝，则g'（x）＝1+恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调递增，又g（1）＝0，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；故函数f（x）在（0，1）单调递减；（1，+∞）单调递增；（Ⅱ）由f'（x）＝[a（x﹣lnx﹣1）+1﹣]e ax，其中e ax＞0，且f'（x）＝0，设h（x）＝a（x﹣lnx﹣1）+1﹣，即h（1）＝0，又h'（x）＝a（1﹣）+＝，①当a＝0时，h'（x）＞0，h（x）在（）单调递增，所以x∈（，+∞）时h（x）＜0，当x∈（1，+∞）时h（x）＞0；即f（x）在区间上有且只有1个极值点x＝1，故不满足题意；②当a≠0时，h'（x）＝0，得ax2﹣ax+1＝0，△＝a2﹣4a，当0＜a≤4时，△≤0，此时h'（x）＞0在（，+∞）恒成立，h（x）递增，不可能有两个极值点，故也不满足题意．当a＞4时，△＞0，设ax2﹣ax+1＝0的两根为m，n（m＜n），由m+n＝1，mn＝＞0，得0＜m＜＜n＜1，则x∈（，n）时，h'（x）＜0，h（x）递减；x∈（n，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增又h（1）＝0，故h（n）＜h（1）＝0，h（）＝a（ln2﹣）﹣1，（i）当a（ln2﹣）﹣1≤0，即4＜a≤时，则x∈（，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；即f（x）在区间（，+∞）上有且只有1个极值点x＝1，故不满足题意．（ii）当a（ln2﹣）﹣1＞0，即a＞时，因为x∈（，n）时，h（x）递减，h（n）＜0，故存在x0∈（，n）使得h（x0）＝0，当x∈（，x0）时，h（x）＞0，f（x）递增；当x∈（x0，1）时，h（x）＜0，f（x）递减；当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，f（x）递增；此时f（x）有且只有2个极值点x＝1和x＝x0，故满足题意；综上可得，符合条件的a的取值范围为（，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程（t为参数）．转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣4＝0．由曲线C的极坐标方程为ρ2（5﹣3cos2θ）＝8．转换为直角坐标方程为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设C的参数方程为（α为参数）．则C上的点到l距离为d＝．当时，C（）到直线l的距离取得最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）运用重要不等式和三个数的完全平方公式，可得证明；（Ⅱ）由1＝a+b+c代入，结合基本不等式，以及累加法，结合不等式的性质可得证明．【解答】证明：（Ⅰ）a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，则（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，又由均值不等式得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，即有3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ac≤得证．（Ⅱ）a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，可得＞0，＞0，＞0，则（a+）+（b+）+（c+）＝1+++＝4+（+）+（+）+（+），又由均值不等式得+≥2＝2，同理可得+≥2，+≥2，则（a+）+（b+）+（c+）≥4+6＝10得证．（当且仅当a＝b＝c＝时等号成立）。
2019-2020学年江西省吉安市泰和中学高三数学理上学期期末试卷含解析
2019-2020学年江西省吉安市泰和中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设,则下列不等式中恒成立的是 ( )A． B． C． D．参考答案：A略2. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰.如果甲乙2机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）种A.12 B.18 C.24 D.48参考答案：C3. 等于A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.-sin2-cos2D.sin2-cos2参考答案：D略4. 将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为（）A．18 B．30 C．36 D．48参考答案：答案：B解析：分两步：（1）先排，=2，有2种；=3有2种；=4有1种，共有5种；（2）再排，共有种，故不同的排列方法种数为5×6=30，选B5. 一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为( )A． B．C． D．参考答案：知识点：三视图G2D解析：由三视图可知该几何体为正方体截取一个角之后剩余的部分，如图，所以其体积为，则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是判断原几何体形状，可在熟悉的几何体的三视图基础上进行解答.6. 设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形参考答案：A略7. 双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．参考答案：C8. 已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A9. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A． B．C．D．参考答案：A10. 已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）A．30 B．45 C．90D．186参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）= ．参考答案：0.3【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】本题考查正态分布曲线的性质，随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），利用P （﹣2≤ξ≤2）=0.4，答案易得．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），P（﹣2≤ξ≤2）=0.4，∴P（ξ＞2）= =0.3，故答案为：0.3．12. 用0.618法确定试点，则经过次试验后，存优范围缩小为原来的倍.参考答案：513. 已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为．参考答案：2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A，B和C点坐标，利用中点坐标公式求得M点坐标，由又BM∥y轴，则b=，由|BM|=2，即可求得a﹣c=2，由三角形的面积公式可知S△ABC=2S△ABM，代入即可求得△ABC的面积．【解答】解：根据题意设A（a，a2），B（b，b2），C（c，c2），不妨设a＞c，∵M为边AC的中点，∴M（，），又BM∥y轴，则b=，故丨BM丨=丨﹣丨==2，∴（a﹣c）2=8，即a﹣c=2，作AH⊥BM交BM的延长线于H．∴S△ABC=2S△ABM=2××丨BM丨丨AH丨=2丨a﹣b丨=2丨a﹣丨=a﹣c=2，△ABC的面积2．故答案为：2．14. 甲、乙等五名志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，则的数学期望为．参考答案：15. 已知向量、满足，则 .参考答案：516. 若函数的图象过定点，则= .参考答案：2略17. 若从区间（为自然对数的底数，）内随机选取两个数，则这两个数之积小于的概率为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年江西省吉安市永新第三中学高三数学理上学期期末试题含解析
2020年江西省吉安市永新第三中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数在复平面内对应的值点在第四象限，则（）A. B. C. 1 D.参考答案：A【分析】先根据已知求出，再逐步求得解.【详解】由题意可得解得.又∵，∴，∴，∴.故选：【点睛】本题主要考查复数的几何意义，考查复数的除法运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2. 已知点在不等式组表示的平面区域内，则实数m的取值范围是（）A．B． C.D．[－5,1]参考答案：C作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，且点，又因为点在不等式组的平面区域内，所以实数的取值范围是，故选C．3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．3参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A ﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故选：B．4. 已知,则与的夹角为（A）（B）（C）（D）参考答案：C5. 定义在R上的奇函数A. B.2 C. D.参考答案：A6. 若,则函数的两个零点分别位于( )A.和内B.和内C.和内D.和内参考答案：略7. 函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的递减区间是()A. B. C. D.参考答案：D略8. 设集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：B【知识点】交集的基本运算.A1由题意得：，同理：，所以，故选B。
【思路点拨】先根据题意求出集合、后再求即可。
江西省吉安市高三数学上学期期末教学质量测试题 理
吉安市高三上学期期末教学质量评价数学试卷（理科）本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，第I卷1至2页，第II卷3至4页，满分150分，考试时间为120分钟.请在答题卡上答题，在试卷上作答无效.第I卷(选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题,满分60分.每小题5分,每小题给出四个选项,只有一个是符合题目要求的）1.已知，其中为虚数单位，那么实数a的值为A.-B.- .C.-D.12.设向量，则下列结论中正确的是A. B. C. D.3.已知数列是等差数列，，其前10项和，则公差d=A. B. C. D.4.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产品x(吨〉与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据,求出y关于X的线性回归方程为，那么表中t的值为X 345 6y 2.5t4 4.5A.4.5B.3.5C.3.15D.35.若双曲线（c>a>0)的一条渐近线的倾斜角为•-，则-的最小值为A. 1B.2 C, D.6 的展开式中含项的系数是A.B.C.D.7.已知函数，命题P:存在.使，则“命题P是假命题”是“a.< 5"的A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件8.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是A.-lB.lC.2D.9.已知向暈，向量满足条件，则k的取值范围是A.[-4,-l]B.[-1,0] .C.[-4,0]D.[-6，2]10.2位男生和3位女生站成一排照相,若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位相邻，则不同的排法种数是A.36 .B.42C.48D.6011.已知曲线方程.，若对任意实数m，直线都不是曲线的切线，则a的取值范围是A, BC. D.12.巳知椭圆的长轴长为6，短轴长为，焦点为厂12卞为椭圆上异于长轴端点的任一点，的内心为M，过M作平行于长轴的直线交于A、B两点，则A. B. C. D.第II卷(非选择题,共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分,共16分.）13.函数的零点位于区间I，则n=______.14.某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某中学随机抽出20名15至化周岁的男生，将它们的身高和体重制成2 X 2列联表，根据列联表的数据，可以有______%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系(计算公式:超重不超重合计偏高415不偏高312 15合计7132015.请阅读下列材料:若两个正实数满足，那么.证明：构造函数.因为对一切实数X,恒有，所以，从而得，所以—..类比上述证明方法，若n个正实数满足，你能得到的结论为__________________16.已知函数，且是它的最大值(其中a，b为常数且），给出下列命题：①为偶函数;②函数的图象关于点（）对称；③是函数的最小值;④函数的图象在y轴右侧与直线的交点按横坐标从小到大依次记为则.其中真命题的是______________________________.(写出所有正确命题的序号）三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)集合M是由同时具备下列性质的函数组成的：①函数的定义域是；②函数的值域是；③函数在上是增函数.试分别探究下列两小题：(1)判断函数及是否属于集合M?并简要说明理由；(2)就(1)中的，当时,比较与的大小.18.(本小题满分12分)如图，A、B是单位圆O按逆时针方向排列的两点,C是圆O与X轴正半轴的交点，A点的坐标为■，记..(1)求.-的值；（2)求]的值.19.(本小题满分12分)四枚不同的金属纪念币A、B、C、D投掷时，A、B两枚正面向上的概率分别为，别两枚C、D(假设为非均匀硬币)正面向上的概率分别为.这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数.(1)若A,B出现一正一反与C、D出现两正的概率相等，求a的值;(2)求的分布列及数学期望(用a表示).20.(本小题满分12分)已知函数，其中(1)若，且函数有零点，证明：(2)设函数在区间(0，2)内无极值点,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)圆心在X轴上的过点(4，2)和点(6,0).(1)求的方程;(2)P为上：的一个动点，由P向引两条^]线PA，PB分别与y轴交于S，T两点，求线段ST长的取值范围.22.(本小题满分14分)已知曲线C:，过作y轴的平行线交曲线C于Q1，过Q1作曲线C的切线与X轴交于P2，过P2作与y轴平行的直线交曲线C于Q2,照此下去，得到点列和，设(1)求数列的通项；(2)求曲线C与它在点处的切线，以及直线所围成的平面图形的面积；(3)求证：- 7 -。
20-20学年江西省吉安市高三上学期期末数学复习卷 (有解析)
20-20学年江西省吉安市高三上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−3<x <1}，B ={x|x ≤−1}则A ∩(C R B)=( )A. [−1,1)B. (−1,1)C. (−1,1]D. [−l,1)2. 设复数z =1−3i 2+i，则|z|=( )A. √3B. √2C. 2D. 13. 若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13，则a 6=( )A. 64B. −64C. 32D. −324. 设a =log 213，b =(12)3，c =312，则( )A. c <b <aB. a <b <cC. c <a <bD. b <a <c5. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的是( )A. y =(12)−xB. y =sinx 2C. y =x|x|D. y =ln|x|6. 已知角α满足sinα+cosα=13，则sin 2(π4−α)=( )A. 118B. 718C. 1718D. 497. 设等边△ABC 边长为6，若BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. −6√21 B. 6√21 C. −18 D. 188. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为( )A. 4B. 2√3C. 2√2D. 2√59. 函数f(x)=2sin x −2sin xcosx 在[0,2π]的零点个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 510.若圆x2+y2−4x−4y−10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2√2，则直线l的斜率的取值范围是()A. [2−√3,1]B. [√33,√3]C. [2−√3,2+√3]D. [0,+∞)11.△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p⃗=(sinB,a+c)，q⃗=(sinC−sinA,b−a).若∃λ∈R，使p⃗=λq⃗，则角C的大小为()A. π6B. 2π3C. π3D. π212.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为()A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．14.设F1，F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|=√6|OP|，则C的离心率为___________．15.已知等差数列｛a n｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于______．16.如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，则PC与平面PAB所成角的正切值为_____________三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n−3．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=log3a2n−1，数列{1b n⋅b n+1}的前n项和为T n，求证：13≤T n<12．18. 在如图所示的多面体ABCDE 中，已知AB//DE ，AB ⊥AD ，△ACD 是正三角形，AD =DE =2AB =2，BC =√5，F 是CD 的中点． (1)求证：AF//平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (3)求D 到平面BCE 的距离．19. 已知函数f(x)=2sin(ωx −π6)，(ω>0,x ∈R)的最小正周期为2π．(1)求f(0)的值；(2)若cosθ=−35，θ∈(π2,π)，求f(θ+π3).20. 已知抛物线C ：y 2=2px(P >0)的焦点到直线l ：y =2x +2的距离为4√55．(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 为坐标原点，A(1,−2)，是否存在平行于OA 的直线l′，使得直线l′与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l′的距离等于√55？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．21. 已知函数f(x)=(x −a −1)e x−1，a >0．(1)当a =1时，求y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； (2)设函数g(x)=f(x)+alnx −x ，求g(x)的极值点．22. 在直角坐标系xOy 中直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．23.已知a，b都是大于零的实数．(1)证明：a2b +b2a≥a+b；(2)若a>b，证明：a2+ab3+1a(a−b)>4．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查集合的混合运算，属于简单题． 解：C R B ={x|x >−1}，A ∩(C R B)= (−1,1)， 故选B ．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 解：∵z =1−3i 2+i =(1−3i)(2−i)(2+i)(2−i)=−1−7i 5=−15−75i ，∴|z|=√(−15)2+(−75)2=√2． 故选B ．3.答案：C解析：解：数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13①， 则S n−1=23a n−1+13②， ①−②得：a n =23a n −23a n−1， 所以：a nan−1=2(常数)，当n =1时，s 1=23a 1+13=a 1， 解得：a 1=1所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列． 则：a n =1⋅2n−1=2n−1． 所以：a 6=26−1=32． 故选：C ．直接利用递推关系式求出数列的通项公式．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．4.答案：B解析：解：a=log213<0，b=(12)3∈(0,1)，c=312>1，∴c>b>a．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：D解析：解：对于A，y=(12)−x是非奇非偶函数，是单调增函数，所以A不正确；对于B，y=sinx2，函数是偶函数，在定义域范围内不是单调函数，所以B不正确；对于C，y=x|x|是奇函数，所以C不正确；对于D，y=ln|x|是偶函数，在(0,+∞)单调递增函数，所以D正确；故选：D．判断函数的奇偶性以及函数的单调性推出结果即可．本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，基本知识的考查．6.答案：C解析：本题考查同角三角关系式，考查两角和与差的三角函数，考查三角函数的化简与求值，属基础题．因为，所以，，，代入求值即可．解：因为，所以，，=12(1+89)=1718． 故选C ．7.答案：C解析：解：∵等边△ABC 边长为6，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×(13×36−36−23×6×6×12)=−18． 故选：C ．根据题意得出BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，运用数量积求解即可． 本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，属于中档题，关键是分解向量．8.答案：C解析：本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的棱长的求法及应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．首先把三视图转换为几何体，进一步求出结果． 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：最长的棱长为AB =√22+22=2√2． 故选：C ．9.答案：B解析：本题考查求三角函数的零点个数，属于基础题．化简f(x)=2sinx(1−cosx)=0，得sinx=0或cosx=1，分别求解即可得出结果．解：令f(x)=2sinx−sin2x=2sinx−2sinxcosx=2sinx(1−cosx)=0，得sinx=0或cosx=1．∵x∈[0,2π]，由sinx=0可得x=0，π或2π；由cosx=1可得x=0或2π，∴x=0，π或2π，∴f(x)在[0,2π]上的零点个数为3．故选：B．10.答案：C解析：本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．求出圆心为C(2,2)、半径r=3√2，根据圆的性质可得：当圆上至少有三个不同的点到直线l的距离为2√2时，圆心到直线的距离应小于或等于√2，由此利用点到直线的距离公式和直线的斜率公式加以计算，即可得到直线l的倾斜角的取值范围．解：圆x2+y2−4x−4y−10=0化简为标准方程，可得(x−2)2+(y−2)2=18，∴圆心坐标为C(2,2)，半径r=3√2，∵在圆上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2√2，∴圆心到直线的距离d≤3√2−2√2=√2，由点到直线的距离公式，得22≤√2，整理得a2+b2+4ab⩽0，∵b≠0∴(−ab )2−4(−ab)+1≤0，解之得−ab ∈[2−√3,2+√3]∴直线l:ax +by =0的斜率k =−ab ∈[2−√3,2+√3]． 故选C ．11.答案：C解析：解：∵∃λ使得p⃗ =λq ⃗ ，∴p ⃗ //q ⃗ ． ∴(a +c)(sinC −sinA)−(b −a)sinB =0．由正弦定理可得：(a +c)(c −a)−(b −a)b =0，化为c 2−a 2−b 2+ab =0， 由余弦定理可得：cosC =a 2+b 2−c 22ab=12．∵C ∈(0,π)，∴C =π3． 故选：C ．由于∃λ使得p⃗ =λq ⃗ ，可得p ⃗ //q ⃗ .于是(a +c)(sinC −sinA)−(b −a)sinB =0.利用正弦定理可得：(a +c)(c −a)−(b −a)b =0，再利用余弦定理即可得出． 本题考查了向量共线定理、正弦定理和余弦定理，属于中档题．12.答案：B解析：本题考查了椭圆的性质，属中档题．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a =√3，b =√2，可得椭圆的方程． 解：∵|AF 2|=2|BF 2|，∴|AB|=3|BF 2|， 又|AB|=|BF 1|，∴|BF 1|=3|BF 2|， 又|BF 1|+|BF 2|=2a ，∴|BF 2|=a2， ∴|AF 2|=|AF 1|=a ，|BF 1|=32a ， 在Rt △AF 2O 中，cos∠AF 2O =1a ，在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠BF 2F 1=4+(a 2)2−(32a)22×2×a2，根据cos∠AF 2O +cos∠BF 2F 1=0，可得1a+4−2a 22a=0，解得a 2=3，∴a =√3．b 2=a 2−c 2=3−1=2．所以椭圆C 的方程为：x 23+y 22=1．故选B ． 13.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)， 所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72．故答案为：−72． 14.答案：√3解析：本题考查双曲线的离心率的求法，属于中档题．注意运用双曲线的交点到渐近线的距离为b ，再利用余弦定理求b ，c ，a 的关系．解：由已知得|PF 2|=b,|OF 2|=c ，则|OP|=a ．在中，，在△PF 1F 2中，=b 2+4c 2−(√6a)22b·2c =bc ， 化简得b 2+4c 2−6a 2=4b 2，则c2=3a2，故e=√3．故答案为√3．15.答案：−6解析：此题考查了等差数列的通项公式，以及等比数列的性质，熟练掌握通项公式及性质是解本题的关键．由公差d的值为2，根据等差数列的通项公式分别表示出a3和a4，由a1，a3，a4成等比数列，利用等比数列的性质列出关于首项a1的值，再由公差d的值，利用等差数列的通项公式即可求出a2的值．解：由等差数列{a n}的公差为2，得到a3=a1+4，a4=a1+6，又a1，a3，a4成等比数列，∴(a1+4)2=a1⋅(a1+6)，解得：a1=−8，则a2=a1+d=−8+2=−6．故答案为−6．16.答案：√22解析：本题考查线面角的求解及线面垂直的判定，由已知可得BC⊥平面PAB，则∠CPB为PC与平面PAB 所成角，求出它的正切即可求解．解：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，所以∠CPB为PC与平面PAB所成角，又PA=AB=2，PA⊥AB，所以PB =2√2， 所以． 故答案为√22． 17.答案：解：(Ⅰ)2S n =3a n −3，可得2a 1=2S 1=3a 1−3，解得a 1=3，n ≥2时，2S n−1=3a n−1−3，相减可得2a n =2S n −2S n−1=3a n −3−3a n−1+3，化为a n =3a n−1，则an a n−1=3，故数列{a n }为公比为3的等比数列， 经验证，n =1也符合，可得a n =3⋅3n−1=3n ；故a n =3n(Ⅱ)证明：b n =log 3a 2n−1=log 332n−1=2n −1，可得1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，即前n 项和为T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12−12(2n+1)，由{T n }为递增数列，可得T n ≥T 1=13，且T n <12，可得13≤T n <12．解析：本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和和数列的单调性，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)求得首项，n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求； (Ⅱ)求得b n =log 332n−1=2n −1，可得1bn b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，由数列的裂项相消求和和数列的单调性，即可得证． 18.答案：证明：(Ⅰ)取CE 的中点M ，连接BM ，MF ，∵F为CD的中点，∴MF−//12ED，又AB−//̲12ED，∴MF−//AB，四边形ABMF为平行四边形，∴MB//AF，∵MF⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，∴AF//平面BCE．(Ⅱ)∵△ACD是正三角形，∴AC=AD=CD=2，在△ABC中，AB=1，AC=2，BC=√5，∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC，∴DE⊥AC，又DE⊥AD，AC∩AD=A∴DE⊥平面ACD∴DE⊥AF，又AF⊥CD，由(Ⅰ)得BM//AF∴DE⊥BM，BM⊥CD，DE∩CD=D∴BM⊥平面CDE，BM⊂平面BCE∴平面BCE⊥平面CDE解：(Ⅲ)连接DM，由于DE=DC，∴DM⊥CE，由(Ⅱ)知，平面BCE⊥平面CDE，∴DM⊥平面BCE，∴DM为D到平面BCE的距离，DM=√2，∴D到平面BCE的距离为√2．解析：(Ⅰ)取CE的中点M，连接BM，MF，推导出四边形ABMF为平行四边形，从而MB//AF，由此能证明AF//平面BCE．(Ⅱ)推导出AB⊥AC，DE⊥AC，DE⊥AD，从而DE⊥平面ACD，进而DE⊥AF，又AF⊥CD，DE⊥BM，从而BM⊥平面CDE，由此能证明平面BCE⊥平面CDE．(Ⅲ)连接DM，则DM⊥CE，从而DM⊥平面BCE，由此能求出D到平面BCE的距离．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(1)∵函数f(x)=2sin(ωx−π6)，(ω>0,x∈R)的最小正周期为2π，∴T =2πω=2π，得ω=1 ，∴f(x)=2sin(x −π6)，∴f(0)=2sin(−π6)=−2×12=−1， (2)∵cosθ=−35，θ∈(π2,π)，∴sinθ=√1−cos 2θ=45， ∴f(θ+π3)=2sin(θ+π3−π6)=2sin(θ+π6)=2sinθcos π6+2cosθsin π6 ，=2×45×√32+2(−35)×12=4√3−35．解析：(1)根据函数的周期性求出ω，然后即可求f(0)的值；(2)根据条件cosθ=−35，θ∈(π2,π)，求出sinθ，然后利用公式求f(θ+π3).本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的周期性先求出ω=1是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和和差的正弦公式． 20.答案：解：(1)抛物线的焦点为(P 2,0)，d =√5=4√55，得p =2，p =−6(舍去)；∴抛物线C 的方程为y 2=4x …(4分) (2)假设存在符合题意的直线l′其方程为y =−2x +t由{y =−2x +t y 2=4x得y 2+2y −2t =0 ∵直线l′与抛物线C 有公共点，∴△=4+8t ≥0解得t ≥−12此外，由直线OA 与l′的距离d 1=√55可得√5=√5 解得t =±12因为−1∉[12,+∞),1∈[−12,+∞)所以符合题意的直线l′存在，其方程为2x +y −1=0…(12分)解析：(1)抛物线的焦点为(P 2,0)，焦点到直线l ：y =2x +2的距离，求解p ；得到抛物线方程．(2)假设存在符合题意的直线l′其方程为y =−2x +t ，由{y =−2x +t y 2=4x得y 2+2y −2t =0，然后转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力． 21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=(x −2)e x−1，∴f ′(x)=(x −1)e x−1，∴k =f ′(2)=e ，∵f(2)=0，∴y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y =e(x −2)；(2)g(x)=f(x)+alnx −x=(x −a −1)e x−1+alnx −x ，x >0，∴g ′(x)=(x −a)e x−1+a x −1，x >0，由g ′(x)=(x −a)e x−1−x−a x =(x −a)(e x−1−1x )=0，可得x =1或x =a ，当0<a <1时，可得g(x)在(0,a)单调递增，在(a,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，可得g(x)在x =a 处取得极大值，在x =1处取得极小值；当a =1处，g(x)单调递增，无极值；当a >1时，可得g(x)在(0,1)单调递增，在(1,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增，可得g(x)在x =1处取得极大值，在x =a 处取得极小值．解析：本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的极值，属于中档题．(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；(2)求得g(x)的解析式，求得导数，令g ′(x)=0，解方程可得x =1，x =a ，讨论0<a <1，a =1，a >1，可得单调性，即可得到极值点．22.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为x −y +1=0．曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ，整理得(ρcosθ)2=2ρsinθ，转换为直角坐标方程为x 2=2y ．(2)把直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t ，代入x 2=2y ，得到：(√22t −1)2=2×√22t ， 整理得12t 2−2√2t +1=0，即：t 2−4√2t +2=0，故t 1+t 2=4√2，t 1t 2=2，所以：|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√6．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：(1)∵a ，b 都是大于零的实数，∴a 2b +b ⩾2a,b 2a +a ⩾2b ， 两式相加得a 2b +b 2a ≥a +b ，当且仅当a =b 时取等号． ∴a 2b +b 2a ≥a +b ．(2)由(1)知a 2⩾b(a +b −b 2a )=ab +b 2(a−b)a ∵a >b ，∴a 2+a b 3+1a(a−b)⩾ab +b 2(a−b)a +ab 3+1a(a−b) =(ab +ab 3)+[b 2(a−b)a+1a(a−b)]⩾2a b +2b a >4，当且仅当a =2，b =1时等号成立， ∴a >b 时，a 2+a b 3+1a(a−b)>4．解析：(1)根据a ，b 都是大于零的实数，利用基本不等式得到a 2b +b ⩾2a,b 2a +a ⩾2b ，两式相加即可证明a 2b +b 2a≥a +b 成立； (2)由(1)知a 2⩾b(a +b −b 2a )=ab +b 2(a−b)a ，然后结合a >b ，利用基本不等式即可证明a 2+a b 3+1a(a−b)>4成立．本题考查了利用基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．。
2020-2021学年江西省吉安市上模中学高三数学理期末试卷含解析
2020-2021学年江西省吉安市上模中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是，则判断框内应填入的条件是参考答案：C略2. 如图所示程序框图的输出的所有都在函数（）A、y＝x＋1的图象上B、y＝2x的图象上C、y＝的图象上D、y＝的图象上参考答案：D依程序框图可知输出的点为（1,1）、（2,2）、（3,4）、（4,8），结合选项可知选D. 3. 在△ABC中，是的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C略4. ，则A.12B.4C.-12 D.-4参考答案：B5. 已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，有下列四个命题①若，则②若③若④若其中正确命题的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个参考答案：D略6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16π﹣B．16π﹣C．8π﹣D．8π﹣参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V=﹣=8π﹣．故选：D．7. 三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A． 0.76＜log0.76＜60.7 B． 0.76＜60.7＜log0.76C． log0.76＜60.7＜0.76 D． log0.76＜0.76＜60.7参考答案：D考点：指数函数单调性的应用．专题：计算题；转化思想．分析：由对数函数的图象和性质，可得到log0.76＜0，再指数函数的图象和性质，可得0.76＜1，60.7＞1从而得到结论．解答：解：由对数函数y=log0.7x的图象和性质可知：log0.76＜0由指数函数y=0.7x，y=6x的图象和性质可知0.76＜1，60.7＞1∴log0.76＜0.76＜60.7故选D点评：本题主要考查指数函数，对数函数的图象和性质，在比较大小中往往转化为函数的单调性或图象分面来解决．8. 下列命题正确的是( )A．若平面不平行于平面，则内不存在直线平行于平面B．若平面不垂直于平面，则内不存在直线垂直于平面C．若直线不平行于平面，则内不存在直线平行于直线D．若直线不垂直于甲面，则内不存在直线垂直于直线参考答案：B略9. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( )A． B．C． D．参考答案：D因为双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，所以c=1，又因为双曲线的离心率等于，所以，所以a= ,所以，所以该双曲线的方程为。
江西省吉安市七琴中学2020年高三数学理期末试题含解析
江西省吉安市七琴中学2020年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】3O：函数的图象．【专题】35 ：转化思想；44 ：数形结合法；51 ：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性以及单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：∵函数y=，则该函数为奇函数，故它的图象关于原点对称，故排除A、C．当x＞0时，函数为y=ln|x|，在（0，+∞）上单调递增，故排除D，故选：B．2. 从2012名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2012人中剔除12人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行. 则每人入选的概率 ( ) A．不全相等 B．都相等，且为C．均不相等 D．都相等，且为参考答案：B3. 如图，将边长为2的正方形ABCD沿PD、PC翻折至A、B两点重合，其中P是AB中点，在折成的三棱锥A（B）－PDC中，点Q在平面PDC内运动，且直线AQ与棱AP所成角为60o，则点Q运动的轨迹是A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线参考答案：D4. 己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由f（x+1）为奇函数，可得f（x）=﹣f（2﹣x）．由f（x）为偶函数可得f（x）=f（x+4），故 f（x）是以4为周期的函数．当8＜x≤9时，求得f（x）=f（x﹣8）=log2（x﹣8）．由log2（x﹣8）+2=﹣1得x的值．【解答】解：∵f（x+1）为奇函数，即f（x+1）=﹣f（﹣x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x）．当x∈（1，2）时，2﹣x∈（0，1），∴f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣log2（2﹣x）．又f（x）为偶函数，即f（x）=f（﹣x），于是f（﹣x）=﹣f（﹣x+2），即f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4），故 f（x）是以4为周期的函数．∵f（1）=0，∴当8＜x≤9时，0＜x﹣8≤1，f（x）=f（x﹣8）=log2（x﹣8）．由f（）=﹣1，f（x）+2=f（）可化为log2（x﹣8）+2=﹣1，得x=．故选：D．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．5. 已知{第一象限角}，{锐角}，{小于90°的角}，那么、、关系是（）A．B．C． D．参考答案：B6. 某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n=（）A. 12B. 16C. 24D. 32参考答案：C【分析】先求得总人数，然后根据总人数中“不喜欢的男性青年观众”所占的比例列方程，解方程求得抽取的人数.【详解】依题意，总人数为，其中“不喜欢的男性青年观众”有人，故，解得.所以本小题选C.【点睛】本小题主要考查分层抽样的有关计算，考查图表分析能力，属于基础题.7. （多选题）已知数列{a n}的前n项和为S n，，，数列的前n项和为T n，，则下列选项正确的为（）A. 数列是等差数列B. 数列是等比数列C. 数列{a n}的通项公式为D.参考答案：BCD【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，，由数列的裂项相消求和可得．【详解】解：由即，可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，又，可得，故错误，，，正确．故选：BCD．【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．8. 已知集合，则B中所含元素的个数为A.3B.6C.8D.10参考答案：D当时，。