《二次函数y=ax^2的图象和性质》参考课件
下面是两个同学画的 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图象,你认为他们的作 图正确吗?为什么?
y
从图象可以看出,二次函数y=x2和 y=－x2的图象都是一条曲线，这 条曲线叫做抛物线
y=x2
o
y=x2的图象叫做抛物线y=x2 y=－x2的图象叫做抛物线y=－x2
y
x
1，实际上，二次函数的图象都 是抛物线，它们的开口向上或者 向下，一般地，二次函数 y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线 y=ax2+bx+c
o x
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 , （ 0， 0） 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，
y随着x的增大而增大；在 对称轴的左 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 线y=2x2在x轴的
3
0
时，
函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 上 方（除顶点外）。 增大而增大 ；当x>0时，y随着x （2）抛物线 y 2 x 2 在x轴的 下 方（除顶点外），当x
解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 x … -3 -2 -1 0 y … 9 4 1 0
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 1
y
2 4
3 … 9 …
ห้องสมุดไป่ตู้
y=x2
根据表中x,y的数值 在坐标平面中描点 (x,y),再用平滑曲线顺 次连接各点,就得到 y=x2的图象.
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
请画函数y=－x2的图象
解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
1 y -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 2 y= － x -7 -8 -9 -10
y o y=－x2
x
x
1 2 例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 2 x 和y=2x2的图象 解:(1)列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … 1 2 … y= x 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
(2)描点 (3)连线
2
x
…
-2
-1.5 y
-1
-0.5
x
x
1 2 y=－ 2x
y=－2x2 y=x2 1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴。
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），
它的开口向上，并且向上无限伸展；a越大，抛物线的开 口越小,当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点 外），它的开口向下，并且向下无限伸展。a越大，抛物 线的开口越大。
3
9 2
4 -8
… …
0
x
y= -2x2
…
…
-2
-8
-1.5 -1
9 2
-0.5
1 2
0
0
0.5
1
-2
1.5
9 2
2
-8
…
…
-2
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 1 2 -9 y=－ x 2 2 -10 y=－2x
y ax
2
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
一次函数的图像是一条直线,二次函数的图象是 什么形状呢?通常怎样画一个函数的图象?
画函数y=x2的图象
y ax
2
当a>0时，在对称轴的 左侧x＜0，y随着x的增大而 减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧x＞0，y随着x的增大而 增大。
当a<0时，在对称轴的 左侧x ＜ 0，y随着x的 增大而增大。
y ax
2
当a<0时，在对称轴的 右侧x ＞ 0，y随着x的增大而 减小。
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 a ＞0
O O
a＜0
开口
对称轴 顶点 增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小 y轴 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最低点
当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而减小
顶点是最高点
当x＜0时，y随x的增大而增大 当x＞0时，y随x的增大而减小
思考：在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？ 一般地，抛物线y=ax2 与抛物线y= -ax2呢？ 答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对称，又关于原点对称。抛物线y=ax2 与抛物线y= -ax2也有同样的关系。
函数y=－1 x2,y=－2x2的图象与y=-x2的图 2 象相比,有什么共同点和不同点? 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴， 共同点: 顶点是抛物线的最高点 除顶点外,图象都在x轴下方
不同点: 开口大小不同
1 y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
o
x
y=－x2
y
从图象可以看出,二次函数y=x2 和y=－x2的图象都是轴对称图形,y 轴是它们的对称轴.
o
y=x2
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点. 抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点. 2，实际上，每条抛物线都有对称轴， 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的 顶点。顶点是抛物线的最低点或最高 点
〈0时，y随着x的
的 增大而减小 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值
是
0
，当x
0时，y<0.
P41 T3、4
x
1 2 y=－ x 2
y=－2x2
y=x2
y= 2x2
y
y=x2 y= 0.5x2
二次函数y=ax2的性质
y 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 o 1 2 3 4 5 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
y x2 y ax 2
y x2
y ax 2
耐心填一填
1、函数y=4x2的图象的开口 向上 ,对称 轴是 y轴,顶点是 (0,0) ; 2、函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴 (0,0) 是 y轴 , 顶点是 ___ 顶点是抛物线的最 高 点
y轴 顶 3函数y= 3 x2的图象的开口 向上 对称轴是 点是(0,0) ;顶点是抛物线的最 低 点 4、函数y= －0.2x2的图象的开口向下,
对称轴是___, y轴 顶点是(0,0);
观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的 是( A ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等; (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. y (D) 对任意实数x,都有y＞0.
0
0.5
1
1.5
2 …
y=2x2 … 8
4.5 2 0.5
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
0 0.5 2 4.5 8 …
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
1 2 函数y= 2 x ,y=2x2的图象与函数y=x2的 图象相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线 的最低点，对称轴是y轴， 除顶点外,图象都在x轴上方 不同点: 开口大小不同
y= 2x2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
y=x2 y= 0.5x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
在同一直角坐标系中画出函数y=－1 x2和y=－2x2的图象
2
x
1 y=- x2 2
… …
-4 -8
-3
9 2
-2 -2
-1
1 2
0
1
1 2
1 2
2 -2
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y=ax平方的图像性质 ppt课件
9
各点，就得到y = x2 的图象．
6
3
ppt课件
－3
3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地， 二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
线有什么共同点和不同点．
的图象，并考虑这些抛物
你画出的图象与图中相同吗？
ppt课件
8
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
4 ·· ··－8x·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··
y 2x2 · －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
··
··
·
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于y轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
－4 －2 －2 －4
－6
ppt课件
－8
y x2
24
y1x 2
y 2x2 9
．巩固练习
抛物线 y 2 x 2 ，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而
3
增大 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 减小．
9 6 3
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0， 0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 二次函数y=ax2的图象和性质
1
2
3
4
5
6
7
6.已知A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-
1 2
x2的图象上,
则y1,y2,y3的大小关系是
.
y3<y2<y1
关闭
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
7.已知函数y=ax2(a≠0)的图象与函数y=2x-3的图象交于点(1,b). (1)试求a和b的值; (2)求函数y=ax2的解析式,并求其图象的顶点坐标和对称轴; (3)x取何值时,二次函数y=ax2中的y值随x值的增大而增大? (4)求抛物线与过点(0,-2)且与x轴平行的直线的两个交点与顶点构 成的三角形的面积.
C
关闭
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
2.若点M(m,n)(mn≠0)在二次函数y=ax2(a≠0)的图象上,则下列坐标 表示的点也在该抛物线上的是( ) A.(-m,n) B.(n,m) C.(m2,n2) D.(m,-n)
关闭
A
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
3.已知物体从空中自由下落过程中,下落高度h关于时间t的函数解
互动课堂理解
2.二次函数y=ax2(a≠0)的性质 【例2】 已知函数y=ax2(a>0)的图象上有A(2,y1),B(3,y2),C(-1,y3) 三个点,试比较y1,y2,y3的大小. 分析:要比较y1,y2,y3的大小,可直接求出y1,y2,y3的值进行比较,也可 以先判断各点是否在对称轴的同一侧,再利用二次函数的性质进行 比较. 解法一由题意知,y1=4a,y2=9a,y3=a. 又a>0,故y2>y1>y3. 解法二因为抛物线y=ax2(a>0)的对称轴是y轴,点C(-1,y3)在函数 y=ax2(a>0)的图象上,所以点(1,y3)也在该抛物线上.因为a>0,所以当 x>0时,y随x的增大而增大.又因为3>2>1,所以y2>y1>y3.
二次函数y=ax^2的图象和性质课件
(3) 连线
还记得如何用 描点法画一个函数 的图像吗?
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y),再 用平滑曲线顺次连接各 点,就得到y=x2的图像.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y
y=x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
请画函数y=－x2的图像
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
1 y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 2 y= － x -7 -8 -9 -10
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都 是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在 y y 空中所经过的路线. o x 这样的曲线叫做抛物线.
当x=0时,最大值为0
画出函数y=x2、y=2x2、y=
1 2
x2的图象：
顶点坐标
y=2x2
y=x2 y= 2 x2
1
a>0，开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同
只是开口 大小不同 二次项系数越大， 开口越小 顶点都是原点(0,0)
画出函数y=-x2、y=-2x2、y=-
1 2
x2的图象：
是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外)，顶点是它的最 低点，开口向上，并且向上 无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小， 最小值是0.
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
二次函数y=ax2的图像与性质》课件
0时，y<0.
记 r 为圆的半径，S 为该圆的面 积，有面积公式S=πr2，表明S是r的 函数. (1)当半径r分别为2、2.5、3时，求圆 的 面积S（π取3.14）； (2)画出函数S=πr2的图象.
函数S=πr2 的图象: 注意r≥0的条件.
已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
2 二次函数y=ax 的图象和性质
复习回顾
函数的图象的意义：
一般地，对于一个函数，如果把 自变量与函数的每对对应值分别作为 点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面 内由这些点组成的图形就是这个函数 的图象。
函数图象的画法：
组卷网
1、列表
2、描点 3、连线
列出自变量与函数的对应值表。 注意：自变量的值必须满足取值范围.
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线 的最高点，对称轴是 y 轴 在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。 在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。 不同点: 开口大小不同;
1
-3 -2 -1 0 -1
y
1 2 3 x
1 2 y x 2
-2 -3 -4 -5
y x2 a 越大， 抛物线的开口越大．
2
…
y=－x2
-４ -2.25
-2.25 -４ …
-１.１２５
…
-2
-１.１２５
-2
…
y=－2x2
… -８
-4. 5
-２
-０ . ５ ０
-０ . ５
-２
-4. 5
-８ …
1
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
新苏科版九年级数学下册《5章 二次函数 5.2 二次函数的图像和性质 y=ax^2+k、y=a(x+m)^2的图像》课件_8
增 减 性
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
最值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的, |a|越大,抛
物线的开口就越小.
探索函数y=ax²+k与y=a(x+m)² （a≠0）的图像和性质
单位得到函数y ＝ 2(x－3)2的图像．
2．二次函数y ＝ －3(x＋4)2的图像开口向下 ， 由抛物线y ＝ －3x2向 左 平移 4 个单位得到的， 当x ＝ -4 时，y有最 大 值，是 0 ． 3．将二次函数y ＝6x2的图像向右平移1个单位后得到函数 __y_＝_6_（_x_-_1）2的图像，其顶点坐标是（1，0），当x >1 时，y随x 的增大而增大；当x_<_1_时，y随x的增大而减小．
请填空：
（1）抛物线y=-3x2+5的开口 向下，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。 （2）抛物线y=7x2-3的开口 向上，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
5.2 二次函数的图像和性质(3)
这一节课我们一起学习了哪些知识和方法？ 你还有什么疑问吗？ 你认为还有继续探索的问题吗？
向上
(0 ,c)
y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。
人教版九年级数学上册第22章：二次函数y=ax2的图象和性质
RJ九(上) 教学课件
第二十二章 二次函数
22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质
学习目标
1．知道二次函数的图象是一条抛物线. 2．会画二次函数y=ax2的图象.（难点） 3．掌握二次函数y=ax2的性质,并会灵活应用．（重点）
复习引入
1.一次函数的图象是一条 直线 . 2.通常怎样画一个函数的图象？
1.函数y=2x2的图象的开口 向上 ,
对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ;
在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
随堂即练
y
O
x
2.函数y=－3x2的图象的开口 向下, 对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 增大 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 减小 .
新课讲解
(2)解：∵点B的坐标为（2,0）, ∴当x＝2时,y＝2×22＝8. ∴点C的坐标为（2,8）,BC=8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形,且y轴为它
们的对称轴, ∴OA＝OB, ∴在长方形ABCD内,左边阴影部分面积等于右边
空白部分面积,∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
方法归纳
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称,因此左右两部 分折叠可以重合,在二次函数比较大小中,我们根据图象 中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或 全部为降),根据图象中函数值高低去比较；对于求不规 则的图形面积,采用等面积割补法,将不规则图形转化为 规则图形以方便求解．
Байду номын сангаас
观察思考
新课讲解
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
第二十二章 二次函数
22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质
学习目标
1．知道二次函数的图象是一条抛物线. 2．会画二次函数y=ax2的图象.（难点） 3．掌握二次函数y=ax2的性质,并会灵活应用．（重点）
复习引入
1.一次函数的图象是一条 直线 . 2.通常怎样画一个函数的图象？
1.函数y=2x2的图象的开口 向上 ,
对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ;
在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
随堂即练
y
O
x
2.函数y=－3x2的图象的开口 向下, 对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 增大 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 减小 .
新课讲解
(2)解：∵点B的坐标为（2,0）, ∴当x＝2时,y＝2×22＝8. ∴点C的坐标为（2,8）,BC=8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形,且y轴为它
们的对称轴, ∴OA＝OB, ∴在长方形ABCD内,左边阴影部分面积等于右边
空白部分面积,∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
方法归纳
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称,因此左右两部 分折叠可以重合,在二次函数比较大小中,我们根据图象 中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或 全部为降),根据图象中函数值高低去比较；对于求不规 则的图形面积,采用等面积割补法,将不规则图形转化为 规则图形以方便求解．
Байду номын сангаас
观察思考
新课讲解
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
二次函数y=ax2的图象和性质ppt课件
4.函数y= －0.2x2的图象的开口 向下,对称轴是_y_轴_,顶 点是 (0,0) ;
典例精析
例1已知 y =(m+1)x m2+m 是二次函数,且其图象开口向 上,求m的值和函数解析式
m+1>0 ① 解: 依题意有:
m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
y -4 -2 0 2 4 x
-3 -6 -9
议一议
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次
函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
y
1.y＝x2是一条抛物线;
y=x2
2.图象开口向上;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
o
x
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.
y 1 x2 2
···
-8
-4.5 -2
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· -8 -4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
思考2
从二次函数 y 1 x2, y x2 , y 2x2
（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4）， 点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关 于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二 次函数y=－x2的图象上吗？
当x=－2时，y=x2=4， 所以C点在二次函数y=x2的图象上； 当x=2时，y=－x2=－4， 所以B点在二次函数y=－x2的图象上； 当x=－2时，y=－x2=－4， 所以D点在二次函数y=－x2的图象上．
典例精析
例1已知 y =(m+1)x m2+m 是二次函数,且其图象开口向 上,求m的值和函数解析式
m+1>0 ① 解: 依题意有:
m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
y -4 -2 0 2 4 x
-3 -6 -9
议一议
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次
函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
y
1.y＝x2是一条抛物线;
y=x2
2.图象开口向上;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
o
x
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.
y 1 x2 2
···
-8
-4.5 -2
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· -8 -4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
思考2
从二次函数 y 1 x2, y x2 , y 2x2
（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4）， 点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关 于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二 次函数y=－x2的图象上吗？
当x=－2时，y=x2=4， 所以C点在二次函数y=x2的图象上； 当x=2时，y=－x2=－4， 所以B点在二次函数y=－x2的图象上； 当x=－2时，y=－x2=－4， 所以D点在二次函数y=－x2的图象上．
教学课件九年级数学下册第27.2二次函数的图象与性质1二次函数y=ax2的图象与性质
知识点 1 二次函数y=ax2的图象 【例1】在同一坐标系中,画出下列函数的图象． (1) y 1 x2. (2)y=2x2.
2
(3) y 1 x2. (4)y=-2x2．
2
【思路点拨】在数字0的两边各取一些左右对称的数字进行
列表，然后根据列表描点连线，画出函数的图象.
【自主解答】列表：
x
4.写出一个开口向下的二次函数的关系式________. 【解析】二次函数的图象开口向下, 则二次项系数为负,即a<0,所以答案不唯一.如满足条件的二 次函数的关系式为y=-x2. 答案:y=-x2(答案不唯一)
5.二次函数y=(3m+6)x2的图象在三、四象限,求m的取值范围, 并说明当x取何值时,y随x的增大而增大. 【解析】因为二次函数y=(3m+6)x2的图象在三、四象限,所 以3m+6<0,所以m<-2,所以当x<0时,y随x的增大而增大.
4
【解析】列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y 1 x2 4
…
-4
9 4
-1
1 4
0 1 -1 9 -4
4
4
…
描点连线，如图所示：
题组二：二次函数y=ax2的性质
1.（2012·龙岩中考）下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的
增大而增大的有( )
①y=x;②y=-2x+1;③ y 1 ; ④y=3x2．
y 1 x2 2
y 1 x2 2
y=2x2
y=-2x2
…
-3
-2
-1 0
…
4.5
_2_
_0_._5_ 0
…