算法合集之《从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法》
网络流算法——精选推荐
⽹络流算法2018-03-13 19:02:13在图论中，⽹络流（英语：Network flow）是指在⼀个每条边都有容量（capacity）的有向图分配流，使⼀条边的流量不会超过它的容量。
通常在运筹学中，有向图称为⽹络。
顶点称为节点（node）⽽边称为弧（arc）。
⼀道流必须匹配⼀个结点的进出的流量相同的限制，除⾮这是⼀个源点（source）──有较多向外的流，或是⼀个汇点（sink）──有较多向内的流。
⼀个⽹络可以⽤来模拟道路系统的交通量、管中的液体、电路中的电流或类似⼀些东西在⼀个结点的⽹络中游动的任何事物。
⼀、最⼤流最⼩割定理最⼤流最⼩割定理提供了对于⼀个⽹络流，从源点到⽬标点的最⼤的流量等于最⼩割的每⼀条边的和。
这个定理说明，当⽹络达到最⼤流时，会有⼀个割集，这个割集中的所有边都达到饱和状态。
这等价于在⽹络中再也找不到⼀个从s到t的增⼴路径。
因为只要能找到⼀条增⼴路径，这条增⼴路径肯定要经过最⼩割集中的⼀条边，否则这个割集就不能称之为割集了。
既然这个割集中所有的边都饱和了，因此也就不会存在这样的增⼴路径了。
这个定理的意义在于给我们指明了⽅向：任何算法，只要最后能达到“再也找不到⼀条增⼴路径”，就可以说明这个算法最后达到了最⼤流。
⼆、最⼤流问题在优化理论中,最⼤流问题涉及到在⼀个单源点、单汇点的⽹络流中找到⼀条最⼤的流。
最⼤流问题可以被看作是⼀个更复杂的⽹络流问题（如循环问题（circulation problem））的特殊情况,。
s-t流（从源点s到汇点t）的最⼤值等于s-t割的最⼩容量，这被称为最⼤流最⼩割定理。
下⾯举例来说明这个问题：问题描述：给定⼀个有向图G=(V,E)，把图中的边看作管道，每条边上有⼀个权值，表⽰该管道的流量上限。
给定源点s和汇点t，现在假设在s处有⼀个⽔源，t处有⼀个蓄⽔池，问从s到t的最⼤⽔流量是多少。
这个问题有如下的⼀些限制：容量限制：也就是在每条通路上的流量都不能超过其capacity。
数学建模中的网络流问题与算法
数学建模中的网络流问题与算法数学建模是一种将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法求解的过程。
在实际问题中，常常需要解决网络流问题，即在网络中如何最大化或最小化流量的分配问题。
网络流算法是解决网络流问题的重要工具。
本文将分析网络流问题的基本概念和应用，并介绍常用的网络流算法。
一、网络流问题的基本概念1.网络流模型网络流模型是指将实际问题转化为图中节点和边的组合，并进行流量分配的问题。
其中，节点表示供给和需求单位，边表示可以流动的路径。
网络流模型常用于物流、运输、通信等领域的问题求解。
2.流量网络流问题中的流量表示在网络中通过路径的物理量。
流量可以是货物的数量、电信系统中数据的传输速率等。
流量可以是有向的或无向的，有时还会带有容量的限制。
3.割在网络中，将节点集划分为两个互不相交的子集，这个划分称为割。
割可以用来描述流量限制或流量约束。
在最小割问题中，割的容量描述了限制在网络中流量的最小边数。
二、网络流问题的应用1.最大流问题最大流问题是网络流问题中的一种，目标是在网络中从源节点到汇节点找到可行的最大流量。
最大流算法可以用于求解交通流优化问题、工作调度等。
2.最小割问题最小割问题是网络流问题中的另一种形式，目标是在网络中找到一个割，使得割的边数最小。
最小割算法可以用于求解电力系统分析、路网规划等问题。
3.多组源汇问题多组源汇问题是一种特殊的网络流问题，可以有多个源节点和汇节点，并且在每个节点之间还有容量限制。
多组源汇问题在物流调度、通信网络优化等领域有广泛应用。
三、常用的网络流算法1.最大流算法常用的最大流算法有Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法和Dinic算法等。
这些算法利用增广路径或增广路进行迭代，直到无法找到增广路径为止。
2.最小割算法最小割算法有Ford-Fulkerson算法和推进-重贴算法等。
这些算法通过不断削减割的容量来求解最小割问题。
3.二部图匹配算法二部图匹配算法可以看做是一种特殊的网络流算法。
算法设计与分析中的算法与网络流
算法设计与分析中的算法与网络流算法在计算机科学中扮演着重要的角色。
它们是解决问题的步骤和规则的有序集合，可以在计算机上自动执行。
在算法设计与分析的学习中，算法与网络流成为了一个重要的领域。
本文将探讨算法与网络流的关系以及在算法设计与分析中的应用。
一、算法与网络流的关系算法是解决问题的有序步骤，而网络流是一种用来描述物体、信息或能量在网络中传输的模型。
算法可以通过网络流来解决一系列相关问题，例如最短路径、最大流、最小割等。
网络流算法通过建立图模型，将问题转化为图中物体、信息或能量的流动问题，并使用各种技术和策略来解决。
二、网络流算法的应用1. 最短路径问题在网络中，最短路径算法可以用来找到两个节点之间最短路径的长度。
其中一个经典的算法是Dijkstra算法，它通过不断更新起始节点到其他节点的最短路径长度来求解。
另一个常用的算法是Floyd-Warshall算法，它通过动态规划的方式计算任意两个节点之间的最短路径长度。
2. 最大流问题最大流算法可以用来计算网络中从源节点到汇节点的最大流量。
其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法，它通过反复寻找增广路径来不断增加流量，直到达到最优解。
另一个常用的算法是Edmonds-Karp算法，它使用广度优先搜索来寻找增广路径。
3. 最小割问题最小割算法可以用来找到将图划分成两个部分的最小代价。
其中一个著名的算法是stoer-wagner算法，它通过不断合并最小割集合中的节点来计算最小割的大小。
4. 匹配问题匹配算法可以用来找到图中的最大匹配或完美匹配。
其中著名的算法是匈牙利算法，它通过构建交错树来寻找增广路径，从而不断增加匹配的大小。
三、算法设计与分析中的挑战在算法设计与分析中，我们需要考虑如何设计出高效的算法来解决问题。
然而，算法设计中的挑战在于如何权衡时间复杂度和空间复杂度。
某些算法可能会在时间上更高效，但却需要占用大量的空间。
相反，有些算法可能在空间上更高效，但却需要牺牲一些时间。
网络流EK算法讲解
网络流的Edmonds-Karp算法讲解（简称EK算法，时间复杂度为O(m^2n)）首先来看一下基本的网络流最大流模型。
有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点，通常规定为1号点。
另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点，通常规定为n号点。
每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常用c[I,j]表示,流量则通常是f[I,j]。
通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。
很显然的，流量<=容量。
而对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有”进入”他们的流量和等于所有从他本身”出去”的流量。
把源点比作工厂的话，问题就是求从工厂最大可以发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制，也就是，最大流。
比如这个图。
每条边旁边的数字表示它的容量。
下面我们来考虑如何求最大流。
首先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量)，那么就把这一组流量，或者说，这个流，称为一个可行流。
一个最简单的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。
我们就从这个零流开始考虑，假如有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，并且，这条路上的每一段都满足流量<容量，注意，是严格的<,而不是<=。
那么，我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值del ta。
我们把这条路上每一段的流量都加上这个del ta，一定可以保证这个流依然是可行流，这是显然的。
这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而这条路就叫做增广路。
我们不断地从起点开始寻找增广路，每次都对其进行增广，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增广路为止。
网络流算法介绍与分析共91页文档
网络流算法介绍与分析
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
信息学奥赛网络流算法介绍与分析
信息学奥赛网络流算法介绍与分析网络流算法是指一类用于解决网络中最大流、最小割等问题的算法。
最大流问题是指在网络中找到从源节点到汇节点的最大流量，而最小割问题则是指在网络中找到一个割，使得源节点和汇节点之间的最小边权和。
网络流算法的核心思想是建立一个虚拟的可行流网络，然后通过不断调整网络中各个边的流量来达到最优解。
以下是三种常见的网络流算法介绍与分析。
1. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最经典的网络流算法之一，也是很多网络流算法的基础。
它通过不断寻找增广路径来求解最大流问题。
增广路径是指在残余网络中存在的一条从源节点到汇节点的路径，其各边的残余容量大于0。
通过不断增加该路径上的流量，直到找不到增广路径为止，就可以得到最大流量。
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度取决于增广路径的寻找方式，一般情况下为O(fE)，其中f为最大流量，E为网络中的边数。
2. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是基于Ford-Fulkerson算法的改进算法，它使用广度优先来寻找增广路径。
在每次寻找增广路径时，Edmonds-Karp算法总是选择路径上经过的边权最小的边作为增广路径中的瓶颈边。
这种选择策略保证了每次增加的流量都是最小的，从而使得算法的收敛速度更快。
Edmonds-Karp算法的时间复杂度为O(VE^2)，其中V为网络中的节点数，E为网络中的边数。
3. Dinic算法Dinic算法是一种快速求解最大流问题的算法，它基于分层残余网络的概念。
分层残余网络是指在残余网络上按照路径长度构建的一种分层结构。
Dinic算法首先通过BFS构建分层残余网络，然后使用DFS在分层残余网络上增广路径。
与Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法相比，Dinic算法避免了重复增广路径的情况，从而大大减少了算法的时间复杂度。
Dinic算法的时间复杂度为O(V^2E)，其中V为网络中的节点数，E 为网络中的边数。
网络流问题及其求解方法
网络流问题及其求解方法网络流问题是指在一个有向图中，给定网络的容量限制，找到从源点到汇点的最大流量。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，比如在运输、通信、电力等领域。
本文将介绍网络流问题以及几种常见的求解方法。
1. 网络流问题的定义网络流问题可以用有向图来表示。
图中的每条边具有一个容量，表示该边能够通过的最大流量。
同时，图中有一个源点，表示流量的起点，以及一个汇点，表示流量的终点。
问题的目标是找到从源点到汇点的最大流量。
2. 求解方法一：最短增广路径算法最短增广路径算法是一种基于广度优先搜索的方法。
算法的思想是在图中不断寻找增广路径，即从源点到汇点且每条边的流量都满足容量限制的路径。
然后通过增加路径上的流量来更新网络的流量，并继续寻找下一个增广路径。
直到找不到增广路径为止，即可得到最大流量。
3. 求解方法二：最大流-最小割定理最大流-最小割定理是网络流问题的一个重要性质。
该定理指出，网络的最大流量等于它的最小割。
最小割是指将网络分成两个部分，一部分包含源点，另一部分包含汇点，并且割边的总容量最小。
根据该定理，可以通过寻找最小割来求解网络流问题。
4. 求解方法三：Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种经典的求解网络流问题的方法。
该算法通过不断寻找增广路径来更新网络的流量，直到无法再找到增广路径为止。
算法的关键在于如何选择增广路径，一种常见的选择策略是使用深度优先搜索。
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度与最大流的大小有关，一般情况下为O(fE)，其中f为最大流量，E为图中边的数量。
总结：网络流问题是一个重要的优化问题，在实际应用中具有广泛的应用。
本文介绍了网络流问题的定义以及几种常见的求解方法，包括最短增广路径算法、最大流-最小割定理和Ford-Fulkerson算法。
这些算法都可以有效地求解网络流问题，并在实践中得到广泛应用。
通过研究网络流问题及其求解方法，可以为实际问题的建模和解决提供有力的工具。
算法合集之《浅谈网络流算法的应用》
例 一
赛车问题
问题描述
构 图
优 化
1、建立N个点代表阿P的N辆车，分别以1到N标号； 2、建立N个点代表阿Q的N辆车，分别以N+1到2N标号； 3、如果阿P的第I辆车能够跑赢阿Q的第J辆车，则加一条弧IN+J， 容量为1，表示两辆四驱车最多只能交手一次； 4、增加一个源点S，S与 1到N中的每一个结点I都连一条弧SI，容 量为阿P的第I辆车的寿命；
2、顶点i（1≤i≤n）到顶点i+n； 3、i+n（1≤i≤n）到t；
4、i+n(（1≤i<n-a）到i+a+1；
5、i+n(（1≤i<n-b）到i+b+1 且容量、费用、第2类弧的流量都是固定，所以只要用四个1..n的数 组分别存储剩下的四类弧的流量即可，这样只需要4*1000*2/1024≈8KB。
你的任务就是：合理的安排列车的进站与出站，使得车站的总获利最 大。
{如果列车a从第i车道离开时，列车b刚好到站（即Reach[a]+Stay[a] =Reach[b]），则它不能进入第i车道。}
例 二
列车调度
问题描述
构 图
优 化
例 二
列车调度
问题描述
构 图
优 化
例 二
列车调度
问题描述
构 图
优 化
引 言
浅谈网络流算法的应用
相信大家早已对网络流算法的轮廓以及解法都 进行了研究，这里只是我在平时做题过程中的一 些体会，主要针对它的应用范围、具体应用方法 以及诸多的优化技巧。 例 一 例 三 赛车问题 餐厅问题 例 二 例 四 列车调度 终极情报网
正 文
例 一
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从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法
福建师大附中江鹏
1. 引论
A. 对网络流算法的认识
网络流算法是一种高效实用的算法，相对于其它图论算法来说，模型更加复杂，编程复杂度也更高，但是它综合了图论中的其它一些算法（如最短路径），因而适用范围也更广，经常能够很好地解决一些搜索与动态规划无法解决的，看似NP的问题
B. 具体问题的应用
网络流在具体问题中的应用，最具挑战性的部分是模型的构造。
这没用现成的模式可以套用，需要对各种网络流的性质了如指掌（比如点有容量、容量有上下限、多重边等等），并且归纳总结一些经验，发挥我们的创造性。
2. 例题分析
【问题1】项目发展规划（Develop）
Macrosoft®公司准备制定一份未来的发展规划。
公司各部门提出的发展项目汇总成了一张规划表，该表包含了许多项目。
对于每个项目，规划表中都给出了它所需的投资或预计的盈利。
由于某些项目的实施必须依赖于其它项目的开发成果，所以如果要实施这个项目的话，它所依赖的项目也是必不可少的。
现在请你担任Macrosoft®公司的总裁，从这些项目中挑选出一部分，使你的公司获得最大的净利润。
●输入
输入文件包括项目的数量N，每个项目的预算Ci和它所依赖的项目集合Pi。
格式如下：第1行是N；
接下来的第i行每行表示第i个项目的信息。
每行的第一个数是Ci，正数表示盈利，负数表示投资。
剩下的数是项目i所依赖的项目的编号。
每行相邻的两个数之间用一个或多个空格隔开。
●输出
第1行是公司的最大净利润。
接着是获得最大净利润的项目选择方案。
若有多个方案，则输出挑选项目最少的一个方案。
每行一个数，表示选择的项目的编号，所有项目按从小到大的顺序输出。
●数据限制
0≤Ｎ≤1000
-1000000≤Ci≤1000000
●输入输出范例
Sample Input Sample Output
6
-4
1
2 2 -1 1 2 -
3 3 5 3
4 3 1 2 3 4 6
【分析解答】
1. 抽象原题（图论模型）
给定包含N 个顶点的有向图G =（V, E ），每个顶点代表一个项目，顶点有一权值Ci 表示项目的预算。
用有向边来表示项目间的依赖关系，从u 指向v 的有向边表示项目u 依赖于项目v 。
问题：求顶点集的一个子集V ’，满足对任意有向边〈u,v 〉∈E ，若u ∈V ’，则v ∈V ’，使得V ’中所有顶点的权值之和最大。
1 -1 5
-4 2 -3
2. 搜索
枚举V 的所有符合条件的子集，时间复杂度O(2n )，指数级。
无论如何剪枝优化，也摆脱不了非多项式。
3. 动态规划
本题的结构是有向无环图，而非树形结构，不适合动态规划。
如果一定要做，实质类似于搜索，由于状态数量众多，仍是指数级的时间复杂度。
4. 网络流
流网络的构造方法：
建立N 顶点代表N 个项目，另外增加源s 与汇t 。
若项目i 必须依赖于项目j ，则从顶点i 向顶点j 引一条容量为无穷大的弧。
对于每个项目i ，若它的预算C 为正（盈利），则从源s 向顶点i 引一条容量为C 的边；若它的预算C 为负（投资），则从顶点i 向汇t 引一条容量为-C 的边。
求这个网络的最小割（S, T ），设其容量C(S,T)＝F 。
设R 为所有盈利项目的预算之和（净利润上界），那么R-F 就是最大净利润；S 中的顶点就表示最优方案所选择的项目。
2 4
3 5 6 1
5 1
+∞ +∞ 1
+∞ +∞
3 +∞ +∞
2 4
最小割：S ＝{s,1,2,3,4,6}；T ＝{5,t}
C(S,T)＝5 净利润R- C(S,T)＝8－5＝3
证明算法的正确性：
● 建立项目选择方案与流网络的割（S,T ）的一一对应关系：
任意一个项目选择方案都可以对应网络中的一个割（S,T ），S={s}+{所有选择的项目}，T=V-S 。
对于任意一个不满足依赖关系的项目选择方案，其对应的割有以下特点：
存在一条容量为+∞弧〈u,v 〉，u 属于S 而v 属于T 。
这时割的容量是无穷大，显然不可能是网络的最小割。
● 对于任意一个割（S,T ），如果其对应一个符合条件的方案，它的净利润是R-C(S,T)。
导致实
际净利润小于上届R 的原因有：
1．未选取盈利项目i ，即顶点i 包含在T 中，那么存在一条从源s 至顶点i 的容量为Ci 的弧
2．选取投资项目i ，即顶点i 包含在S 中，那么存在一条从顶点i 至汇的容量为－Ci 的弧 C(S,T)就是上述两种弧的容量之和。
综上所述，割的容量越小，方案的净利润就越大。
● 最小割的求法：
根据最大流最小割定理，网络的最小割可以通过最大流的方法求得。
2 4
3 5 6 1 s
t
5, 3 1, 1
+∞,0 +∞,3 1,0
+∞,2 +∞,0
3,0 +∞,2 +∞,0
2,2 4,4
本题解题的关键在于流网络数学模型的建立。
本题建模的独到之处在于：以前的网络流问题通常使用流量表示解答方案，而本题使用割表示解答方案，并充分利用了割的性质，流只是求得最小割的手段。
这为我们开辟了一条构造网络流解决问题的新思路。
初看这个问题，要把它和网络流联系起来，有相当的难度。
必须熟练地掌握流网络的各种性质，经过反复的类比尝试，才能发现它们之间的共性。
【联想思考】
作为本题的一个衍生，给每个项目估计一个完成时间，并假设公司同时只能进行一个项目。
现在的问题是：如何选择一些能在给定时间内完成的项目，使得公司得到最大收益。
这个问题我至今还没有找到有效算法，希望有兴趣的同学来共同研究。
3. 编程技巧
◆ 数据结构：邻接表
◆ 直接表示原问题
优点：节省空间
缺点：编程复杂度大，不具有通用性
2 4
3 5 6 1 s
t。