算法合集之《左偏树的特点及其应用》-讲义
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8个节点的左偏树的最大 距离：log(8+1) -1 = 2
最右路径长度即 为左偏树的距离
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作
左偏树支持下面这些操作：
– MakeNull —— 初始化一棵空的左偏树 – Merge —— 合并两棵左偏树 – Insert —— 插入一个新节点 – Min —— 取得最小节点 – DeleteMin —— 删除最小节点 – Delete —— 删除任意已知节点 – Decrease —— 减小一个节点的键值
合并操作都是一直沿着两棵左偏树的最 右路径进行的。
一棵N个节点的左偏树，最右路径上最 多有 log(N+1) 个节点。
因此，合并操作的时间复杂度为： O(log N1 + log N2) = O(log N)
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Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 插入
插入一个新节点
End Function
9
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (3, 6)
31
62
10 1
80
源自文库
12 1
71
17 0
18 0 24 0
37 0 18 0
26 0
10
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (3, 6)
16
0 10
3? 62
12
7
18
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8
37
17
18
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左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (3, 6)
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31
10 0
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7
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8
37
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Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
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Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的定义 —— 左偏性质
定义一棵左偏树中的外节点(External Node) 为 左子树或右子树为空的节点。
定义节点 i 的距离(dist(i)) 为节点 i 到它的后代 中，最近的外节点所经过的边数。
任意节点的左子节点的距离不小于右子节点的 距离（左偏性质）。
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7?
0 37
81
17
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Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (8, 6) Merge (3, 6)
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62
12 1
71
18
24
8
37
17
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Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
例题：数字序列
给定一个整数序列 a1 , a2 , … , an，求一 个不下降序列 b1≤b2≤…≤bn，使得数列 {ai} 和 {bi} 的各项之差的绝对值之和 |a1 b1| + |a2 - b2| + … + |an - bn| 最小。
算法合集之《左偏 树的特点及其应用》
精品
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的定义
左偏树(Leftist Tree)是一种可并堆(Mergeable Heap) ，它除了支持优先队列的三个基本操作 （插入，删除，取最小节点），还支持一个很 特殊的操作——合并操作。
左偏树是一棵堆有序(Heap Ordered)二叉树。 左偏树满足左偏性质(Leftist Property)。
– 把待插入节点作为一棵单节点左偏树 – 合并两棵左偏树 – 时间复杂度：O(log N)
Merge
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左偏树的操作 —— 删除
删除最小节点
– 删除根节点 – 合并左右子树 – 时间复杂度：O(log N)
Merge
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Winter Camp 2005 演示稿
a merge
L1
R’
R1
先将T1的右子
b
树与T2合并
L2
R2
7
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
合并操作是递归进行的
a
dist(R’) > dist(L1)
L1
R’
a
R’
L1
合并后的右子 树距离可能大 于左子树距离
交换左右子树 并更新根节点
距离
8
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (8,18) Merge (8, 7) Merge (8, 6) Merge (3, 6)
8
17
NULL
18
26
13
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (8, 7) Merge (8, 6) Merge (3, 6)
5
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
合并操作是递归进行的
merge T1 a
L1
R1
T2 b
a
a<b L1
先将T1的右子 树与T2合并
L2
R2
6
合并T1和T2两 棵左偏树
merge
R1 b
L2
R2
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
合并操作是递归进行的
Merge (8, 6) Merge (3, 6)
11
8 17 26
6
12
18
24
7
37
18
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (8, 7) Merge (8, 6) Merge (3, 6)
8 17 26
12
7
37
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Winter Camp 2005 演示稿
由左偏性质可知，一个节点的距离等于以该节 点为根的子树最右路径的长度。
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Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的性质
定理：若一棵左偏树有N个节点，则该左偏树 的距离不超过 log(N+1) -1。
A2
B1
C1
D0 E 0 H0
F0 G0
4
最右路径: A－C－G 最右路径节点数 = 3 距离 = 2
左偏树的操作 —— 合并
合并操作的代码如下：
Function Merge(A, B) If A = NULL Then return B If B = NULL Then return A If key(B) < key(A) Then swap(A, B) right(A) ← Merge(right(A), B) If dist(right(A)) > dist(left(A)) Then swap(left(A), right(A)) If right(A) = NULL Then dist(A) ← 0 Else dist(A) ← dist(right(A)) + 1 return A
最右路径长度即 为左偏树的距离
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作
左偏树支持下面这些操作：
– MakeNull —— 初始化一棵空的左偏树 – Merge —— 合并两棵左偏树 – Insert —— 插入一个新节点 – Min —— 取得最小节点 – DeleteMin —— 删除最小节点 – Delete —— 删除任意已知节点 – Decrease —— 减小一个节点的键值
合并操作都是一直沿着两棵左偏树的最 右路径进行的。
一棵N个节点的左偏树，最右路径上最 多有 log(N+1) 个节点。
因此，合并操作的时间复杂度为： O(log N1 + log N2) = O(log N)
18
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 插入
插入一个新节点
End Function
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Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (3, 6)
31
62
10 1
80
源自文库
12 1
71
17 0
18 0 24 0
37 0 18 0
26 0
10
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (3, 6)
16
0 10
3? 62
12
7
18
24
8
37
17
18
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Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (3, 6)
26
31
10 0
12
7
18
24
8
37
17
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Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
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Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的定义 —— 左偏性质
定义一棵左偏树中的外节点(External Node) 为 左子树或右子树为空的节点。
定义节点 i 的距离(dist(i)) 为节点 i 到它的后代 中，最近的外节点所经过的边数。
任意节点的左子节点的距离不小于右子节点的 距离（左偏性质）。
14
7?
0 37
81
17
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26
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (8, 6) Merge (3, 6)
15
62
12 1
71
18
24
8
37
17
18
26
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
例题：数字序列
给定一个整数序列 a1 , a2 , … , an，求一 个不下降序列 b1≤b2≤…≤bn，使得数列 {ai} 和 {bi} 的各项之差的绝对值之和 |a1 b1| + |a2 - b2| + … + |an - bn| 最小。
算法合集之《左偏 树的特点及其应用》
精品
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的定义
左偏树(Leftist Tree)是一种可并堆(Mergeable Heap) ，它除了支持优先队列的三个基本操作 （插入，删除，取最小节点），还支持一个很 特殊的操作——合并操作。
左偏树是一棵堆有序(Heap Ordered)二叉树。 左偏树满足左偏性质(Leftist Property)。
– 把待插入节点作为一棵单节点左偏树 – 合并两棵左偏树 – 时间复杂度：O(log N)
Merge
19
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 删除
删除最小节点
– 删除根节点 – 合并左右子树 – 时间复杂度：O(log N)
Merge
20
Winter Camp 2005 演示稿
a merge
L1
R’
R1
先将T1的右子
b
树与T2合并
L2
R2
7
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
合并操作是递归进行的
a
dist(R’) > dist(L1)
L1
R’
a
R’
L1
合并后的右子 树距离可能大 于左子树距离
交换左右子树 并更新根节点
距离
8
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (8,18) Merge (8, 7) Merge (8, 6) Merge (3, 6)
8
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NULL
18
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左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (8, 7) Merge (8, 6) Merge (3, 6)
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Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
合并操作是递归进行的
merge T1 a
L1
R1
T2 b
a
a<b L1
先将T1的右子 树与T2合并
L2
R2
6
合并T1和T2两 棵左偏树
merge
R1 b
L2
R2
Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
合并操作是递归进行的
Merge (8, 6) Merge (3, 6)
11
8 17 26
6
12
18
24
7
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Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (8, 7) Merge (8, 6) Merge (3, 6)
8 17 26
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Winter Camp 2005 演示稿
由左偏性质可知，一个节点的距离等于以该节 点为根的子树最右路径的长度。
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Winter Camp 2005 演示稿
左偏树的性质
定理：若一棵左偏树有N个节点，则该左偏树 的距离不超过 log(N+1) -1。
A2
B1
C1
D0 E 0 H0
F0 G0
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最右路径: A－C－G 最右路径节点数 = 3 距离 = 2
左偏树的操作 —— 合并
合并操作的代码如下：
Function Merge(A, B) If A = NULL Then return B If B = NULL Then return A If key(B) < key(A) Then swap(A, B) right(A) ← Merge(right(A), B) If dist(right(A)) > dist(left(A)) Then swap(left(A), right(A)) If right(A) = NULL Then dist(A) ← 0 Else dist(A) ← dist(right(A)) + 1 return A