N维向量的外积
线性代数 2.1n维向量及其运算
维空间， 维向量也有同样的定义 维向量也有同样的定义。 在n维空间，n维向量也有同样的定义。 维空间
2010-10-16
几何与代数 数学系
9
2.1.3
n维向量的内积 维向量的内积
α 定义2-1-4 向量的内积：设 = ( a1 , a2 , , an ) 和 定义 维向量， β = ( b1 , b2 , , bn ) 是n 维向量，则 α 和 β 的内积记作： 的内积记作：(α， β ) 即：
中的数， 数乘运算：设 k为数域 p 中的数，向量
( ka1,ka2,,kan )
称为向量
数量乘积。 与数 k 的数量乘积。记为
α = ( a1,a2,,an ) kα
数乘运算满足下列四条规则： 数乘运算满足下列四条规则：
50 1 α = α 6 k ( l α ) = ( kl )α
0
7
0
(k + l )α
( 2) ( 3)
(kα , β ) = k (α , β ); (α + β ,γ ) = (α ,γ ) + ( β ,γ );
(4)(α ,α ) ≥ 0, (α ,α ) = 0当且仅当 α = 0.
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几何与代数 数学系
11
定义2-1-5: 定义
2 2 2 α = ( a1 , a 2 ,, a n ), 数值 a1 + a 2 + + a n
称为向量α的长度或范数或模, 记为 α 。 (1) : α = 0 α = 0 α ≠ 0 α > 0
(2) : kα = k α (3) : α + β ≤ α + β
即向量的长度具有非负性： 向量的长度具有非负性：
向量外积的计算公式
向量外积的计算公式
向量的外积，也称为叉积，是一种用来计算两个三维向量之间的新向量的方法。
假设有两个三维向量a和b，它们的外积记作
a×b，计算公式如下：
a ×
b = (a2b3 a3b2, a3b1 a1b3, a1b2 a2b1)。
其中，a1、a2、a3分别代表向量a的三个分量，b1、b2、b3分别代表向量b的三个分量。
通过这个公式，我们可以计算出向量a 和向量b的外积，得到一个新的向量，这个新向量垂直于原来的两个向量，其大小由这两个向量和夹角决定。
外积的方向遵循右手定则，即如果你用右手的四指从向量a转向向量b，那么大拇指所指的方向就是外积的方向。
外积的计算公式可以帮助我们求解两个向量之间的夹角、平行四边形的面积、以及在物理学中的力矩等问题。
这个公式在三维几何和物理学中有着广泛的应用，能够帮助我们理解和描述空间中向量的关系和性质。
除了上述的计算公式，还可以使用行列式的方法来计算向量的
外积，这种方法同样能够得到相同的结果。
总之，向量的外积是一个重要的数学工具，在物理学、工程学和计算机图形学等领域都有着重要的应用价值。
数学向量的运算知识点总结
数学向量的运算知识点总结一、向量的基本概念首先，我们来回顾一下向量的基本概念。
向量是一个具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在数学上，一般用坐标表示一个向量，比如在二维空间中，一个向量可以表示成(x, y)，表示向量在x轴和y轴上的分量，而在三维空间中，一个向量可以表示成(x, y, z)，表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
向量的加法、减法、数量乘法等运算可以通过分量的运算来完成，这些运算规则将在后面详细介绍。
二、向量的加法和减法向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量的操作，减法则是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的加法和减法都是分量相加和分量相减的操作。
比如，对于两个二维向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2)，它们的加法和减法可以表示为：A+B = (x1+x2, y1+y2)A-B = (x1-x2, y1-y2)在三维空间中，向量的加法和减法同样可以通过分量相加和分量相减来完成。
向量的加法和减法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
三、数量乘法数量乘法是指一个向量乘以一个标量得到一个新的向量的操作。
比如，对于一个二维向量A=(x, y)和一个标量k，它们的数量乘法可以表示为：kA=(kx, ky)这里k是一个实数。
数量乘法有分配律和结合律，即k(A+B)=kA+kB，(k+m)A=kA+mA。
四、内积内积又称点积，是两个向量相乘得到一个标量的操作。
对于两个n维向量A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)，它们的内积可以表示为：A•B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积有交换律和分配律，即A•B=B•A，A•(B+C)=A•B+A•C。
内积可以用来求向量的夹角和判断向量的正交性。
五、外积外积又称叉积，是两个向量相乘得到一个新的向量的操作。
3.4 n维向量及其运算
( 2)
方程组( 2)的向量形式 : x1 β 1 + x 2 β 2 + + xn β n = 0
a11 a12 ... a1n a a22 ... a2n 21 A= .......... .......... . .......... a am2 ... amn m1
A的每一行是一个n维行向量 的每一行是一个 α1 = (a11, a12, ..., a1n )
(1)
a11 a12 ... a1n a a ... a 21 2 AX = ..........22 ..........n .......... . m1 am2 ... amn a
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn ....................................... am 1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn
a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n xn = 0
a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn = 0 ...........................................
am1x1 + am 2 x 2 + ... + amn xn = 0
例1
0, 5 α = (1, 2,), β = ( 2,4,3,2)
(1)求2( 3α 2 β ); ( 2)3α 2(γ β ) = 0, 求γ. 解 (1)2( 3α 2 β ) = 6α 4 β 0, 30 = (6, 12, ) (8,16,12,8) 16 22 = ( 2, , 24, ) 1 ( 2)2(γ β ) = 3α = [( 3 , 0 , 6 ,15 + ( 4 , 8 , 6 , 4 )]
2.1n维向量及其运算
与直角坐标系中的单位坐标矢量相当。
四. n维向量的线性运算性质
与矩阵的线性运算性质相同（P4）
五. 线性组合(linear combination)
n维向量: 1, 2, …, s
数(scalars): k1, k2, …, ks
线性组合: k11+k22+…+kss
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
六. 线性表示(linear representation)
向量组是
1
=
-2
，
2
=
0
0 2
解：(1)经过观察可知，=a11 a21 L ann
组合系数就是 的各个分量。故 可以由
1,2 L n 线性表示。
(2) 设 xa1 ya2 za3 根据它们分量之间
的关系，得方程组
x yz 1 2x 2z 1 2y 1
容易求得这个方程组的解为，
n维向量: , 1, 2, …, s
若存在常数: k1, k2, …, ks使得
= k11+k22+…+kss
则称能由向量组1, 2, …, s线性表示 ( can be linearly represented by 1, …)
第二章 n维列向量
例如 n维基本单位向量组
§2.1 n维向量及其运算
1
0
0
1 = 0 , 2 = 1 , …, n = 0 .
… … …
0
0
1
standard/natural basis of Rn
第二章 n维列向量
任何一个n维向量
a1
= a2
§2.1 n维向量及其运算
N维向量的外积
若向量a叉乘向量b得c,由向量积得性质,ｃ就是一个垂直于a,b得向量,则ﻫ1、若a,ｂ就是二维得,则(一般)不可能存在３个二维向量互相垂直ﻫ2、若a,b就是四维或更高维得,则又至少有两个向量与a,ｂ互相垂直对于1,c就是不可定义得，对于2,c得定义似乎就是歧义得(?）ﻫQ0、所以,向量积只存在于三维向量中？其实想起这个事就是想用向量积算面积得,于就是有下面得问题:Ｑ１、对于两个n维向量,就是否存在一个关于坐标得运算，其结果就是这两向量所夹平行四边形得面积？或者类似于向量积,其结果就是个向量而其模就是面积?自然得,三维里面还有个混合积得东西,这东西在高数书里使用行列式定义得,三个三维向量算行列式没问题,三个四维向量就bug了、、、于就是有Q2、对于三个n维向量,就是否存在一个关于坐标得运算,其结果就是这三个向量所夹平行六面体得体积?类似得,可以发散成下面这个很泛化得问题ﻫQ3、n维空间中得m个向量可唯一确定一个m 维超"立方"体,如何通过这些向量得坐标计算超＂立方"体得体积？（显然不一定立方，但也不知道怎么称呼、、、)假定您学过线性代数,不然没法讲……向量积有很多名字,比如说叉积、外积。
它得推广也有很多种。
不过,要回答您这个问题，我们还就是用外积这个名字吧。
为什么不用向量积这个名字呢？向量得模表示得就是一个长度，两个向量得外积得模表示得却就是一个面积。
虽然我们习惯了,但细想起来这还就是有点不自然得。
而且,如果把两个向量得外积当作一个向量得话，这个向量就是依赖于坐标系得。
也就就是说，它在坐标变换下不能保持不变。
这实在不就是什么好得性质。
从物理学得角度来瞧,它们得量纲也就是不同得。
也就就是说,我们应该把它们区分开来瞧，把向量与向量得外积瞧成就是不同得东西;至少瞧成就是不同得空间中得向量。
那么,应该把向量得外积瞧作就是什么东西呢?考虑三维空间里得一组基,它们对应于３条坐标轴。
向量叉乘CrossProduct
向量叉乘(Cross_Product) 向量叉乘，或称为向量外积、向量交积，是一种在向量空间中定义的一种二元运算。
对于在三维空间中的两个向量a和b，它们的叉乘结果，记作a× b，是一个新的向量。
这个新的向量的方向垂直于a和b的平面，而其长度等于a 和b的模（或长度）的乘积与它们之间角度的正弦的乘积。
在数学上，两个三维向量的叉乘可以通过以下步骤进行计算：1.首先，将两个向量a和b表示为三个实数坐标的数组或矩阵：a = [a1,a2, a3] 和b = [b1, b2, b3]。
2.然后，计算以下三个标量的值：o s1 = a2b3 - a3b2o s2 = a3b1 - a1b3o s3 = a1b2 - a2b13.最后，将这三个标量 s1、s2 和 s3 合并成一个新的向量，其坐标为 (s1,s2, s3)。
这就是向量a和b的叉乘结果，记作a× b。
值得注意的是，两个向量的叉乘结果是一个新的向量，其方向与原向量的两两垂直。
这是因为，从几何上看，两个向量的叉乘可以看作是它们构成的平行四边形的面积。
当两个向量垂直时，它们的叉乘为零向量。
叉乘的定义可以推广到更高维度的向量空间。
在 n 维空间中，两个向量的叉乘是一个有 n-1 个零和一个非零元素的新向量，其方向与原向量的两两垂直。
这个非零元素的位置和数值与两个向量的相对位置有关。
叉乘在物理学和工程学中有很多应用。
例如，在三维空间中，一个向量的叉乘可以用来计算与其垂直的力或速度。
在电子工程中，叉乘可以用来计算向量的旋转量或转动量。
这些应用的共同点是它们都需要一个向量与另一个向量的垂直关系，而这种关系可以通过叉乘来获得。
此外，要注意的是向量叉乘和点积（Dot product）是不同的。
点积只考虑两个向量的长度和它们之间的角度，而叉乘则只考虑两个向量的相对位置和方向。
点积的结果是一个标量，而叉乘的结果是一个向量。
尽管它们的数学表达形式有些相似，但它们有着不同的物理意义和应用。
向量外积_精品文档
向量外积概述向量外积，也称为向量叉乘或向量叉积，是指在三维空间中两个向量之间进行的一种运算。
它的结果是一个新的向量，它与原始向量都垂直，并且满足右手法则。
向量外积在物理学、工程学和计算机图形学等领域中经常被使用，具有重要的实际应用价值。
定义向量外积是两个向量叉乘的结果。
如果有两个向量A和B，它们的向量外积可以表示为A × B。
向量外积的结果是一个新的向量，其大小由原始向量的长度和两个向量之间的夹角决定。
计算方式给定两个三维坐标的向量A = (a1, a2, a3)和B = (b1, b2, b3)，它们的向量外积可以通过以下公式计算得出：A ×B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)这个公式的计算结果是一个新的三维向量。
其中，第一个分量表示新向量在x轴上的分量，第二个分量表示新向量在y轴上的分量，第三个分量表示新向量在z轴上的分量。
性质向量外积具有一些重要的性质，如下：1. 右手法则：向量外积满足右手法则，即新向量的方向与原始向量A和B的方向垂直，并且满足右手螺旋定则。
2. 大小和夹角：向量外积的大小等于原始向量A和B的大小乘以它们之间夹角的正弦值。
换句话说，|A × B| = |A| |B| sin(θ)，其中|A|和|B|表示向量A和B的长度，θ表示它们之间的夹角。
3. 交换律：向量外积满足交换律，即A × B = -B × A。
这意味着向量外积的结果与向量的顺序无关，只与向量的方向和夹角有关。
4. 平行性：如果两个向量A和B平行，它们的向量外积为零向量，即A × B = 0。
应用向量外积在许多领域中具有广泛的应用，包括物理学、工程学和计算机图形学等。
在物理学中，向量外积可用于计算磁场的叉乘力、角动量和力矩等物理量。
它在电磁学中尤为重要，用于描述电流产生的磁场和磁场对电荷的力的作用。
在工程学中，向量外积经常被用于计算力矩和扭矩，以及描述物体绕轴旋转的运动。
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若向量a叉乘向量b得c，由向量积的性质，c是一个垂直于a,b的向量，则
1、若a,b是二维的，则(一般)不可能存在3个二维向量互相垂直
2、若a,b是四维或更高维的，则又至少有两个向量与a,b互相垂直
对于1，c是不可定义的，对于2，c得定义似乎是歧义的(?)
Q0. 所以，向量积只存在于三维向量中？
其实想起这个事是想用向量积算面积的，于是有下面的问题：
Q1. 对于两个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这两向量所夹平行四边形的面积？或者类似于向量积，其结果是个向量而其模是面积？
自然的，三维里面还有个混合积的东西，这东西在高数书里使用行列式定义的，三个三维向量算行列式没问题，三个四维向量就bug了...于是有
Q2.对于三个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这三个向量所夹平行六面体的体积？
类似的，可以发散成下面这个很泛化的问题
Q3. n维空间中的m个向量可唯一确定一个m维超"立方"体，如何通过这些向量的坐标计算超"立方"体的体积？(显然不一定立方，但也不知道怎么称呼...)
假定你学过线性代数，不然没法讲……
向量积有很多名字，比如说叉积、外积。
它的推广也有很多种。
不过，要回答你这个问题，我们还是用外积这个名字吧。
为什么不用向量积这个名字呢？向量的模表示的是一个长度，两个向量的外积的模表示的却是一个面积。
虽然我们习惯了，但细想起来这还是有点不自然的。
而且，如果把两个向量的外积当作一个向量的话，这个向量是依赖于坐标系的。
也就是说，它在坐标变换下不能保持不变。
这实在不是什么好的性质。
从物理学的角度来看，它们的量纲也是不同的。
也就是说，我们应该把它们区分开来看，把向量与向量的外积看成是不同的东西；至少看成是不同的空间中的向量。
那么，应该把向量的外积看作是什么东西呢？
考虑三维空间里的一组基，它们对应于3条坐标轴。
两个向量的外积是一个“面积向量”，于是可以想象，如果把全体“面积向量”组成的线性空间记作的话，的基底可以取成对应于3个坐标平面（对，恰好也是3个）。
把这组基记为。
这里用了这个符号，这是外代数里表示外积的符号，叫做wedge，是楔子的意思，因此外积也叫楔积。
为了方便，我们还可以增加一些约定。
由一个向量和它自己张成的“平行四边形”（可以看成是退化的平行四边形）面积为0，于是可以约定
、、。
另一方面，在考虑物理等实际问题的时候定向是很重要的，从正面看过去的“面积”和从反面看过来的“面积”可以看成是相反的，所以可以约定：、、。
这样一来，我们已经定义好了对于三个基底这个
该怎么算。
于是，很容易把这个双线性地延拓成一个的运算。
比如说，对于
和，就等于
有没有发现这有结果看起来点熟悉？
如果把最后的
换成，换成，换成，这就是我们熟悉的“向量积”了。
但我们不换。
对于面积，我们有了。
于是很自然地想到，对于体积，我们也应该有个。
而且，它的一组基是。
也就是说，是一个一维的向量空间。
然后约定，对于，如果调换其中两项，得到的就是原来的乘以-1，比如说。
这样，如果中有两项是一样的，比
如说，那么调换这两项的次序，就有，于是它只能等于0。
这样，和前面类似，我们就可以定义三个向量的外积了。
经过验算（具体过程我就不写了）就会发现：三个向量的外积就是我们熟悉的混合积，当然还要乘上一个。
再看一遍前面的过程，就会发现“三”这个维数在这里并没有起到什么特别的作用，顶多是使得的维数和恰好一样。
于是，我们可以把这些东西推广到任意一个有限维的向量空间。
也就是说，对一个维的向量空间，取它的一组基。
这样，对，就可以取为由
张成的向量空间（这个空间是维的）。
然后约定，对（这里不要求
），如果调换其中两项，得到的东西等于原来的乘以-1。
然后就可以像前面那样那样定义个维向量的外积。
然后，这个外积（在这个维空间中）的模就是你所问的那个“体积”了。
特别地，在的时候，是个一维空间，个
维向量正好可以排成一个的方阵，这些向量外积正好相当于这个矩阵的行列式（具体的我也不算了）。
到目前为止已经回答了你的全部问题。
不过，中两个向量取了一下外积就到了里，中的东西再和中的东西取外积又到了里……这样总有点不方便。
于是我们可以把它们统一一下。
我们把实数域
当作一维的向量空间，就记作，约定它和其他东西的外积就等于数乘。
然后把自己记作。
然后取所有这些直和，得到
，记作。
它也是个向量空间。
除了向量空间的结构，这个东西上面还有一个外积运算。
我们把这个东西叫做外代数。
前面都是先选了上的一组基，然后才定义出这么一堆东西。
其实它们的定义也可以不依赖于基的选取，不过要先讲张量什么的，我这里就不介绍了。
外代数还有个叫“泛性质”的性质（这段看不懂就算了）：对任一个结合代数（这里说的“结合代数”指的是有某种形式的“乘法”运算，而且这个运算满足结合律的向量空间，下面就把这
个“乘法”记作）和任何一个线性映射，如果对中任一个元素都有
，那么就有唯一的一个代数同态，使得，这里是到的嵌入，也就是把等同于中的那个。
当然，向量积还有别的一些推广，不过我不是很了解，就不说了。
可以参考维基百科的Cross Product词条。
我这里只举一个跟你的问题关系不是很大的小例子：
考虑三阶反对称矩阵（也就是满足的矩阵）的全体。
这种矩阵一定长成
的形式，因此是一个三维的线性空间。
然后在上定义一种叫“李括号”的运算。
算算看，这样会得到什么东西？
就说这么多。
不说了。