学高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题

学高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和

不等问题

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数列和不等问题（教师版）

一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）

例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=

n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2

1

12

12224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，

所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以

12-=n a n

（2）)1

21

121(21)12)(12(111+--=+-==

+n n n n a a b n n n ，所以 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,1412

2333n n n S a +=-⨯+，

1,2,3,

n =

（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n

n n

T S =，1,2,3,

n =，证明：132

n

i i T =<

∑. 解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+2

3

所以a 1=2

再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +2

3

, n=2,3，4,…

将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－1

3

×(2n+1－2n ),n=2,3, …

整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将a n =4n

－2n

代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1

+ 23 = 13

×(2n+1－1)(2n+1－2)

= 2

3

×(2n+1－1)(2n －1)

T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1

)

所以, 1

n

i i T =∑= 321(n i =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-) < 32

二．先放缩再求和

1．放缩后成等比数列，再求和

例2．等比数列{}n a 中，11

2

a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．

设n n n a a b -=12

，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：1

3n T <．

解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比981

2

a q a =

=-． ∴n n a )2

1

(-=． n

n n n

n n b 2

31

)2(41)2

1(141⋅≤--=

--=

． （利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想）

∴n n b b b B ++=2131)211(31211)

21

1(213123123123122<-=--⋅

=⋅++⋅+⋅≤n n ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈

（I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{}n b 满足12111

*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈，证明：数列{}n b 是等差数

列；

（Ⅲ）证明：*122311...()232

n n a a a n n

n N a a a +-<+++<∈.

（I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈

112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列

12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈

（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-

即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++= ③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=

即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列

（III ）证明：

1121211

,1,2,...,,1212

2(2)2

k k k k k k a k n a ++--==<=-- 2．放缩后为“差比”数列，再求和 例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()2

1(1 =+

=+n a n

a n n n ．求证：1

121

3-++-

≥>n n n n a a 证明：因为n n

n a n

a )21(1+

=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ，