数学建模 初等数学方法建模
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数学建模第二章初等方法建模
Mathematical Modeling
第二章 初等方法建模
2.1 比例分析模型
2.2
2.3
代数模型
简单优化模型
节水洗衣机
2.4
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling
2.1
比例分析模型
2.1.1
包装成本问题
2.1.2
划艇比赛成绩
Department of Mathematics
d hW kS m
其中 S 是表面积， h 0, k 0, m 0 均为常数，
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎
与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平 方成正比，
即v l , s l
3
2
所以S l 2/3. 由于v W , 有S W 2/3
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。
a W , b fW g ( f 0, g 0) c W , d hW kS m 于是每克的批发成本是
（5）
本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
Mathematical Modeling
第二章 初等方法建模
2.1 比例分析模型
2.2
2.3
代数模型
简单优化模型
节水洗衣机
2.4
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2.1
比例分析模型
2.1.1
包装成本问题
2.1.2
划艇比赛成绩
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d hW kS m
其中 S 是表面积， h 0, k 0, m 0 均为常数，
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2.1.1 包装成本问题
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模型分析与建立
6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎
与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平 方成正比，
即v l , s l
3
2
所以S l 2/3. 由于v W , 有S W 2/3
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HUST
2.1.1 包装成本问题
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模型分析与建立
现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。
a W , b fW g ( f 0, g 0) c W , d hW kS m 于是每克的批发成本是
（5）
本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。
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森林管理问题
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3初等数学方法建模
3.3
实物交换
甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要， 问 甲有物品 乙有物品 双方为满足更高的需要， 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 题 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 分别表示甲(乙 占有 用x,y分别表示甲 乙)占有 分别表示甲 X,Y的数量。设交换前甲占 的数量。 的数量 有X的数量为 0, 乙占有Y的 的数量为x 乙占有 的 的数量为 数量为y 作图： 数量为 0, 作图： y yo
2
d = d1 + d 2
d 1 = t1 v
d 2 = kv
d = t1 v + kv 2
d = t1v + kv 2 模型
参数估计
居然同录音机问题的数学模型一样! 居然同录音机问题的数学模型一样
反应时间 t1的经验估计值为 的经验估计值为0.75秒 秒 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
为了在表决提案时避免可能出现10：10的平局，再设一个席 位。 21个席位的分配结果 21个席位的分配结果 系别 人数 甲 乙 丙 103 63 34 所占比例 分配方案 席位数 11 7 3
103/200=51.5% 51.5 %21 =10.815 63/200=31.5% 31.5%21=6.615 34/200=17.0% 17.0%21=3.570
车速 (英里 小时 英里/小时 英尺/秒 英里 小时) (英尺 秒) 英尺 20 30 40 50 60 70 80 29.3 44.0 58.7 73.3 88.0 102.7 117.3
最小二乘法 k=0.0255
计算刹车距离、 计算刹车距离、刹车时间
模 型 d = t1v + kv = 0.75v + 0.0255v
“数学建模”课程简介及教学大纲
“数学建模”课程简介及教学大纲课程代码：112010131课程名称：数学建模课程类别：专业基础课总学时/学分：72/4开课学期：第五学期适用对象：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业先修课程：数学分析、高等代数、概率统计内容简介：本课程主要通过各个领域中的实例介绍各种数学方法建模，主要包括：初等数学方法与实验；Matlab、Lingo的使用；微分法建模与实验；微分方程建模与实验；差分法建模与实验；优化方法建模与实验；离散方法建模与实验；随机方法建模与实验。
一、课程性质、目的和任务1．性质：数学与应用数学、信息与计算科学专业必修课。
数学建模是将实际问题依其自身的特点和规律，经过去粗取精、去伪存真、抓住主要矛盾，进行抽象简化和合理假设，用数学的语言和方法转化为数学问题，然后选择适当的数学方法和工具，给予数学的分析与解答，再将所给出的结果返回到所论的实际问题中去进行检验，符合实际则数学建模成功，否则再从头开始，如此反复多次，直至通过实践检验为止。
数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁,•数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。
本课程通过大量实例介绍数学建模的全过程。
2．目的：通过向学生展示各种不同实际领域中的数学问题和数学建模方法，通过对一系列来自不同领域的实际问题的提出、分析、建模和求解的学习与训练，激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，开拓知识面，培养创新精神，提高学生分析问题、解决问题和计算机应用的能力。
3. 任务：本课程旨在通过建模训练培养：（1）学生用数学工具分析解决实际问题的意识并逐步提高其洞察能力。
（2）学生用数学思想和方法综合分析实际问题的能力。
（3）学生的联想能力。
（4）学生熟练地使用计算机和数学软件包的能力。
即培养学生的建模能力和解决实际问题的能力。
二、课程教学内容及要求第一章绪论：1、数学建模的意义；2、数学建模的方法和步骤；数学模型的分类。
数学建模 初等数学方法建模
第一节 有关自然数的几个模型
1.1 鸽笼原理
鸽笼原理又称为抽屉原理，把 N 个苹果放入 n(n N) 个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果。 问题 1：如果有 N 个人，其中每个人至多认识这群人中的 n(n N) 个人（不包括自己），则至少有两
个人所认识的人数相等。
分析：我们按认识人的个数，将 N 个人分为 0,1,2, n 类，其中 k(0 k n) 类，表示认识 k 个人，这 样形成 n 1 个“鸽笼”。若 n N 1 ，则 N 个人分成不超过 N 1 类，必有两人属于一类，也即有 两个人所认识的人数相等；若 n N 1 ，此时注意到 0 类和 N 类必有一个为空集，所以不空的“鸽笼” 至多为 N 1个，也有结论成立
初等数学方法建模
第二章 初等数学方法建模
现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方 法，即可求解，我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析 等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三，开拓思路，提高分析, 解决实际问 题的能力。
问题 2：在一个边长为1的正三角形内最多能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大于 0.5 . 分析：边长为 1 的正三角形 ABC ，分别以 A, B,C 为中心， 0.5 为半径圆弧，将三角形分为四个部 分（如图 1-1 ），则四部分中任一部分内两点距离都小于 0.5 ，由鸽笼原理知道，在三角形内最多能找四 个点，使彼此间距离大于 0.5 ，且确实可找到如 A, B,C 及三角形中心四个点。
图 1—1
问题 3：能否在 88 的方格表 ABCD 的各个空格中，分别填写1,2,3 这三个数中的任一个，使得每行，
1.1 鸽笼原理
鸽笼原理又称为抽屉原理，把 N 个苹果放入 n(n N) 个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果。 问题 1：如果有 N 个人，其中每个人至多认识这群人中的 n(n N) 个人（不包括自己），则至少有两
个人所认识的人数相等。
分析：我们按认识人的个数，将 N 个人分为 0,1,2, n 类，其中 k(0 k n) 类，表示认识 k 个人，这 样形成 n 1 个“鸽笼”。若 n N 1 ，则 N 个人分成不超过 N 1 类，必有两人属于一类，也即有 两个人所认识的人数相等；若 n N 1 ，此时注意到 0 类和 N 类必有一个为空集，所以不空的“鸽笼” 至多为 N 1个，也有结论成立
初等数学方法建模
第二章 初等数学方法建模
现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方 法，即可求解，我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析 等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三，开拓思路，提高分析, 解决实际问 题的能力。
问题 2：在一个边长为1的正三角形内最多能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大于 0.5 . 分析：边长为 1 的正三角形 ABC ，分别以 A, B,C 为中心， 0.5 为半径圆弧，将三角形分为四个部 分（如图 1-1 ），则四部分中任一部分内两点距离都小于 0.5 ，由鸽笼原理知道，在三角形内最多能找四 个点，使彼此间距离大于 0.5 ，且确实可找到如 A, B,C 及三角形中心四个点。
图 1—1
问题 3：能否在 88 的方格表 ABCD 的各个空格中，分别填写1,2,3 这三个数中的任一个，使得每行，
几种初等数学模型方法
黄冈职业技术学院
简单的几何模型
数学模型中有一种几何模型，这类模型 的建立往往通过初等方法来实现。
数学建模中几种简单的数学方法 实验观测、抽象分析、鸽笼原理、 估算方法、奇偶校验法、转化处理
黄冈职业技术学院
1 观测实验和抽象分析
欧拉多面体问题: 一般凸多面体的面数 F、顶点数V和边数E之间有何关系？
黄冈职业技术学院
五面体图形
F=5,V=5,E=8
F= 5,V= 6,E=9
黄冈职业技术学院
六面体图形
F=6,V=8,E=12
F=6,V=6,E=10
黄冈职业技术学院
七面体图形
F=7,V=7,E=12
F=7,V=10,E=15
黄冈职业技术学院
观察法、抽象分析的说明
（1）用观察、归纳法发现数学定理（建立模 型）是一种重要而常用方法。数学需要观察， 还需要实验（欧拉）。 （2）观察法得到的结果需要严格证明，否 则猜想会铸成错误。例如17世纪费马（16012n 1655）对公式 f 2 1
分别简化为
( x1 x3 ) , ( x2 x4 ) , ( x3 x1 ) , ( x4 x2 ) .
第三次操作后得到的 4 枚棋子可表示为
( x1 x3 ) ( x2 x4 ) , ( x2 x4 ) ( x3 x1 ) , ( x3 x1 ) ( x4 x2 ) , ( x4 x2 ) ( x1 x3 )
黄冈职业技术学院
奇偶检验法的思考题
思考题1 设一所监狱有64间囚室，其排列 类似8×8棋盘，看守长告诉关押在一个 角落里的囚犯，只要他能够不重复地通 过每间囚室到达对角的囚室（所有相邻 囚室间都有门相通），他将被释放 。问 囚犯能获得自由吗？如果囚室为8×9的 排列共72间，将会出现什么情况？
简单的几何模型
数学模型中有一种几何模型，这类模型 的建立往往通过初等方法来实现。
数学建模中几种简单的数学方法 实验观测、抽象分析、鸽笼原理、 估算方法、奇偶校验法、转化处理
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1 观测实验和抽象分析
欧拉多面体问题: 一般凸多面体的面数 F、顶点数V和边数E之间有何关系？
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五面体图形
F=5,V=5,E=8
F= 5,V= 6,E=9
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六面体图形
F=6,V=8,E=12
F=6,V=6,E=10
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七面体图形
F=7,V=7,E=12
F=7,V=10,E=15
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观察法、抽象分析的说明
（1）用观察、归纳法发现数学定理（建立模 型）是一种重要而常用方法。数学需要观察， 还需要实验（欧拉）。 （2）观察法得到的结果需要严格证明，否 则猜想会铸成错误。例如17世纪费马（16012n 1655）对公式 f 2 1
分别简化为
( x1 x3 ) , ( x2 x4 ) , ( x3 x1 ) , ( x4 x2 ) .
第三次操作后得到的 4 枚棋子可表示为
( x1 x3 ) ( x2 x4 ) , ( x2 x4 ) ( x3 x1 ) , ( x3 x1 ) ( x4 x2 ) , ( x4 x2 ) ( x1 x3 )
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奇偶检验法的思考题
思考题1 设一所监狱有64间囚室，其排列 类似8×8棋盘，看守长告诉关押在一个 角落里的囚犯，只要他能够不重复地通 过每间囚室到达对角的囚室（所有相邻 囚室间都有门相通），他将被释放 。问 囚犯能获得自由吗？如果囚室为8×9的 排列共72间，将会出现什么情况？
数学建模：初等分析建模法
3.写出量纲矩阵
(f) (l) (h) (v) (ρ) (μ) (g)
1 1 1 1 3 1 1 (L)
A37
1
00
0
1
1
0
(
M
)
2 0 0 1 0 1 2 (T )
4.求解齐次线性方程组 AY=0,因Rank (A)=r=3
方程有m－r=7－3=4个基本解, 可取为
Y1 (0 Y2 (0 Y3 (0
下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量 之间的关系.
1.航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为
Ф(f, l, h, v,ρ,μ, g)=0
(8)
2.这是力学问题,基本量纲选为L、M、T, 各物理量的量纲表示为
[ f ] LMT 2 , [t] L, h L v LT 1, L3M , L1MT 1, g LT 2 ,
2. 合理选择基本量纲 一般，在力学中选取L、M、T即可, 热学问题 加上温度量纲Θ，电学问题加上电量量纲Q).
3. 应根据特定的建模目的恰当地构造基本解.
量纲分析建模方法有如下优缺点:
1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法， 可以得到用其他复杂方法难以得到的结果.
2. 可将无关的物理量去掉. 3.可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量. 4. 方法有局限性，PI定理中的等价方程F(·)=0, 仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量.
L3M 1T 2
部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如
［角度］=LL—1=L0
尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).
量纲独立于单位
三. 量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量 纲一致的,即有
数学建模之初等模型
且
tn (n 1)T
S
0 n
(n
1)( L
D)
另外，汽车不会永远加速前进。我们设汽车在加速到某个给定速度 v*
后匀速前进，则加速的时间是
t* v * / a tn
综合上面的分析得到
Sn (0)
Sn
(t
)
Sn
(0)
Sn
(0)
a 2
(t
a 2
(tn
L1 v
L2 v
t2
(ni
1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
(ni 1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
向左疏散的总时间 Tl (x) 就是最后一个人离开的时间。 如果共l个房间，则
Tl (x) ~tl (xd l1 Li ) / v i 1
其中x是第i个 房间向左疏散的人数。 类似可以求出向右疏散的总时间Tr (nl 1 x) 。 求x使得
Tl (x) Tr (nl 1 x)
即得到疏散方案。
思考题： （1）对多层的楼房的疏散问题应如何分析？ （2）疏散时人与人之间的间距多大较好？
先考虑向左疏散的人用了多少时间。
设疏散队列中人与人间隔是d，行进速度v，房宽为 L1, L2,, Lm 。第i个 房间第一个人到门口的时间tis为 ，则第k个房间的人向左疏散的时间为
1
v
k i1
Li
nkd
tk
s
k l
问题：多个教室的学生可能出现重叠！
数学建模初等模型
数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。
在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。
常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。
线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。
指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。
多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。
使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。
通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。
初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。
它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。
但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。
总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。
它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。
但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。
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Q3
342 3 4
96.3
Q1最大，第20席给甲系
第21席
Q1
1032 1112
80.4,
Q2 ,
Q3 同上
Q3最大，第 21席给丙系
Q值方法 分配结果
甲系11席，乙系6席，丙系4 席
公平吗？
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。
p1/n1– p2/n2=5
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否! 若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
该席给Q值最大的一方 Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
第20席
Q1
1032 1011
96.4,
Q2
632 67
94.5,
p1 / n1 p2 / n2 p2 / n2
rA (n1, n2 )
~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应
类似地定义 rB(n1,n2)
使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一
2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少
“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
竞赛真题演练 竞赛真题解析
1.2 录像机计数器的用途
问 题
经试验，一盘标明180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了184分，计数
器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考 计数器读数是均匀增长的吗？
要求 不仅回答问题，而且建立计数器读数与
建模目的 建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）
模型建立
建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度
等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以
m
2 (r wi) vt
i 1
m kn
t wk 2 n 2 2rk n
v
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义
p22
p12
该席给A
n2 (n2 1) n1(n1 1) 否则, 该席给B
定义
Qi
pi2 ni (ni 1)
,
i 1,2, 该席给Q值较大的一方
推广到m方 分配席位
计算
Qi
pi2 , ni (ni 1)
i 1,2，, m
第一讲 初等模型
1.1 公平的席位分配 1.2 录像机计数器的用途 1.3 双层玻璃窗的功效 1.4 汽车刹车距离
1.1 公平的席位分配
问 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 题 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
录像带转过时间的关系。
观察 计数器读数增长越来越慢！
问题
0000 计数器
录像带 磁头
压轮
录像带运动
录像带运动方向 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢
录像带运动速度是常数
右轮转速不是常数
模型假设 • 录像带的运动速度是常数 v ； • 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； • 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； • 空右轮盘半径记作 r ； • 时间 t=0 时读数 n=0 .
“公平”分配方 法 人数 席位
A方 p1 n1 B方 p2 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
若增加为21席，又如何分配。
系别 学生 比例 20席的分配 21席的分配
比 例
人数 （%） 比例 结果
比例
结果
对 丙
加 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 系
惯 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 公
例 丙 34 17.0 3.4
4
3.570
3
平 吗
总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21
设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)，
ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm )
记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.