数学建模 初等数学方法建模
数学建模第二章初等方法建模
第二章 初等方法建模
2.1 比例分析模型
2.2
2.3
代数模型
简单优化模型
节水洗衣机
2.4
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling
2.1
比例分析模型
2.1.1
包装成本问题
2.1.2
划艇比赛成绩
Department of Mathematics
d hW kS m
其中 S 是表面积， h 0, k 0, m 0 均为常数，
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎
与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平 方成正比，
即v l , s l
3
2
所以S l 2/3. 由于v W , 有S W 2/3
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。
a W , b fW g ( f 0, g 0) c W , d hW kS m 于是每克的批发成本是
（5）
本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
Mathematical Modeling
3初等数学方法建模
3.3
实物交换
甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要， 问 甲有物品 乙有物品 双方为满足更高的需要， 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 题 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 分别表示甲(乙 占有 用x,y分别表示甲 乙)占有 分别表示甲 X,Y的数量。设交换前甲占 的数量。 的数量 有X的数量为 0, 乙占有Y的 的数量为x 乙占有 的 的数量为 数量为y 作图： 数量为 0, 作图： y yo
2
d = d1 + d 2
d 1 = t1 v
d 2 = kv
d = t1 v + kv 2
d = t1v + kv 2 模型
参数估计
居然同录音机问题的数学模型一样! 居然同录音机问题的数学模型一样
反应时间 t1的经验估计值为 的经验估计值为0.75秒 秒 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
为了在表决提案时避免可能出现10：10的平局，再设一个席 位。 21个席位的分配结果 21个席位的分配结果 系别 人数 甲 乙 丙 103 63 34 所占比例 分配方案 席位数 11 7 3
103/200=51.5% 51.5 %21 =10.815 63/200=31.5% 31.5%21=6.615 34/200=17.0% 17.0%21=3.570
车速 (英里 小时 英里/小时 英尺/秒 英里 小时) (英尺 秒) 英尺 20 30 40 50 60 70 80 29.3 44.0 58.7 73.3 88.0 102.7 117.3
最小二乘法 k=0.0255
计算刹车距离、 计算刹车距离、刹车时间
模 型 d = t1v + kv = 0.75v + 0.0255v
“数学建模”课程简介及教学大纲
“数学建模”课程简介及教学大纲课程代码：112010131课程名称：数学建模课程类别：专业基础课总学时/学分：72/4开课学期：第五学期适用对象：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业先修课程：数学分析、高等代数、概率统计内容简介：本课程主要通过各个领域中的实例介绍各种数学方法建模，主要包括：初等数学方法与实验；Matlab、Lingo的使用；微分法建模与实验；微分方程建模与实验；差分法建模与实验；优化方法建模与实验；离散方法建模与实验；随机方法建模与实验。
一、课程性质、目的和任务1．性质：数学与应用数学、信息与计算科学专业必修课。
数学建模是将实际问题依其自身的特点和规律，经过去粗取精、去伪存真、抓住主要矛盾，进行抽象简化和合理假设，用数学的语言和方法转化为数学问题，然后选择适当的数学方法和工具，给予数学的分析与解答，再将所给出的结果返回到所论的实际问题中去进行检验，符合实际则数学建模成功，否则再从头开始，如此反复多次，直至通过实践检验为止。
数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁,•数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。
本课程通过大量实例介绍数学建模的全过程。
2．目的：通过向学生展示各种不同实际领域中的数学问题和数学建模方法，通过对一系列来自不同领域的实际问题的提出、分析、建模和求解的学习与训练，激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，开拓知识面，培养创新精神，提高学生分析问题、解决问题和计算机应用的能力。
3. 任务：本课程旨在通过建模训练培养：（1）学生用数学工具分析解决实际问题的意识并逐步提高其洞察能力。
（2）学生用数学思想和方法综合分析实际问题的能力。
（3）学生的联想能力。
（4）学生熟练地使用计算机和数学软件包的能力。
即培养学生的建模能力和解决实际问题的能力。
二、课程教学内容及要求第一章绪论：1、数学建模的意义；2、数学建模的方法和步骤；数学模型的分类。
数学建模 初等数学方法建模
1.1 鸽笼原理
鸽笼原理又称为抽屉原理，把 N 个苹果放入 n(n N) 个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果。 问题 1：如果有 N 个人，其中每个人至多认识这群人中的 n(n N) 个人（不包括自己），则至少有两
个人所认识的人数相等。
分析：我们按认识人的个数，将 N 个人分为 0,1,2, n 类，其中 k(0 k n) 类，表示认识 k 个人，这 样形成 n 1 个“鸽笼”。若 n N 1 ，则 N 个人分成不超过 N 1 类，必有两人属于一类，也即有 两个人所认识的人数相等；若 n N 1 ，此时注意到 0 类和 N 类必有一个为空集，所以不空的“鸽笼” 至多为 N 1个，也有结论成立
初等数学方法建模
第二章 初等数学方法建模
现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方 法，即可求解，我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析 等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三，开拓思路，提高分析, 解决实际问 题的能力。
问题 2：在一个边长为1的正三角形内最多能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大于 0.5 . 分析：边长为 1 的正三角形 ABC ，分别以 A, B,C 为中心， 0.5 为半径圆弧，将三角形分为四个部 分（如图 1-1 ），则四部分中任一部分内两点距离都小于 0.5 ，由鸽笼原理知道，在三角形内最多能找四 个点，使彼此间距离大于 0.5 ，且确实可找到如 A, B,C 及三角形中心四个点。
图 1—1
问题 3：能否在 88 的方格表 ABCD 的各个空格中，分别填写1,2,3 这三个数中的任一个，使得每行，
几种初等数学模型方法
简单的几何模型
数学模型中有一种几何模型，这类模型 的建立往往通过初等方法来实现。
数学建模中几种简单的数学方法 实验观测、抽象分析、鸽笼原理、 估算方法、奇偶校验法、转化处理
黄冈职业技术学院
1 观测实验和抽象分析
欧拉多面体问题: 一般凸多面体的面数 F、顶点数V和边数E之间有何关系？
黄冈职业技术学院
五面体图形
F=5,V=5,E=8
F= 5,V= 6,E=9
黄冈职业技术学院
六面体图形
F=6,V=8,E=12
F=6,V=6,E=10
黄冈职业技术学院
七面体图形
F=7,V=7,E=12
F=7,V=10,E=15
黄冈职业技术学院
观察法、抽象分析的说明
（1）用观察、归纳法发现数学定理（建立模 型）是一种重要而常用方法。数学需要观察， 还需要实验（欧拉）。 （2）观察法得到的结果需要严格证明，否 则猜想会铸成错误。例如17世纪费马（16012n 1655）对公式 f 2 1
分别简化为
( x1 x3 ) , ( x2 x4 ) , ( x3 x1 ) , ( x4 x2 ) .
第三次操作后得到的 4 枚棋子可表示为
( x1 x3 ) ( x2 x4 ) , ( x2 x4 ) ( x3 x1 ) , ( x3 x1 ) ( x4 x2 ) , ( x4 x2 ) ( x1 x3 )
黄冈职业技术学院
奇偶检验法的思考题
思考题1 设一所监狱有64间囚室，其排列 类似8×8棋盘，看守长告诉关押在一个 角落里的囚犯，只要他能够不重复地通 过每间囚室到达对角的囚室（所有相邻 囚室间都有门相通），他将被释放 。问 囚犯能获得自由吗？如果囚室为8×9的 排列共72间，将会出现什么情况？
数学建模：初等分析建模法
3.写出量纲矩阵
(f) (l) (h) (v) (ρ) (μ) (g)
1 1 1 1 3 1 1 (L)
A37
1
00
0
1
1
0
(
M
)
2 0 0 1 0 1 2 (T )
4.求解齐次线性方程组 AY=0,因Rank (A)=r=3
方程有m－r=7－3=4个基本解, 可取为
Y1 (0 Y2 (0 Y3 (0
下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量 之间的关系.
1.航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为
Ф(f, l, h, v,ρ,μ, g)=0
(8)
2.这是力学问题,基本量纲选为L、M、T, 各物理量的量纲表示为
[ f ] LMT 2 , [t] L, h L v LT 1, L3M , L1MT 1, g LT 2 ,
2. 合理选择基本量纲 一般，在力学中选取L、M、T即可, 热学问题 加上温度量纲Θ，电学问题加上电量量纲Q).
3. 应根据特定的建模目的恰当地构造基本解.
量纲分析建模方法有如下优缺点:
1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法， 可以得到用其他复杂方法难以得到的结果.
2. 可将无关的物理量去掉. 3.可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量. 4. 方法有局限性，PI定理中的等价方程F(·)=0, 仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量.
L3M 1T 2
部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如
［角度］=LL—1=L0
尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).
量纲独立于单位
三. 量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量 纲一致的,即有
数学建模之初等模型
且
tn (n 1)T
S
0 n
(n
1)( L
D)
另外，汽车不会永远加速前进。我们设汽车在加速到某个给定速度 v*
后匀速前进，则加速的时间是
t* v * / a tn
综合上面的分析得到
Sn (0)
Sn
(t
)
Sn
(0)
Sn
(0)
a 2
(t
a 2
(tn
L1 v
L2 v
t2
(ni
1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
(ni 1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
向左疏散的总时间 Tl (x) 就是最后一个人离开的时间。 如果共l个房间，则
Tl (x) ~tl (xd l1 Li ) / v i 1
其中x是第i个 房间向左疏散的人数。 类似可以求出向右疏散的总时间Tr (nl 1 x) 。 求x使得
Tl (x) Tr (nl 1 x)
即得到疏散方案。
思考题： （1）对多层的楼房的疏散问题应如何分析？ （2）疏散时人与人之间的间距多大较好？
先考虑向左疏散的人用了多少时间。
设疏散队列中人与人间隔是d，行进速度v，房宽为 L1, L2,, Lm 。第i个 房间第一个人到门口的时间tis为 ，则第k个房间的人向左疏散的时间为
1
v
k i1
Li
nkd
tk
s
k l
问题：多个教室的学生可能出现重叠！
数学建模初等模型
数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。
在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。
常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。
线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。
指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。
多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。
使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。
通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。
初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。
它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。
但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。
总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。
它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。
但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。
数学建模---初等模型
1）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内容）
2）建模过程中常用的数学方法(微积分、代数、概率外)， 主要有：计算方法(如数值微分和积分、微分方程数值解、 代数方程组解法)，优化方法(如线性、非线性规划)，数 理统计(如假设检验、回归分析)，图论(如最短路) ,组合 数学,排队论等。 只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系 （如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决 哪些问题），以及用它们建立模型的方法，基本上不 必涉及模型的求解。
二、双层玻璃窗的功效
问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 题 玻璃窗相比，减少多少热量损失 假 设 T1,T2不变，热传导过程处于稳态 建 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量
T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 材料均匀，热传导系数为常数
室 内 T1 室 内 T1 d l 墙 室 外 T2 d 室 外 T2
初等模型
一、选举中的席位分配 二、双层玻璃窗的功效
三、汽车刹车距离
四、划艇比赛的成绩 五、实物交换 六、核军备竞赛 七、启帆远航
一、选举中的席位分配
（一）比例代表制 例：有A、B、C、D四个政党，代表50万选民，各 政党的选民数为： A党：199,000 B党：127,500 C党：124,000 D党： 49,500 要选出5名代表： A党：2席 B党：1席 C党：1席 D党：0席 缺少1席，如何分配这最后一席呢？
2、洪德(dHondt)规则
分配办法是：把各党代表的选民数分别被1、2、3、… 除，按所有商数的大小排序，席位按此次序分配。由于A 党代表的选民数的三分之一比D党代表的选民的人数还多， 那么给A党3席、给D党0席也是合理的。
初等方法建模
第二章 初等方法建模有些模型的建立采用的数学方法十分简单，我们将这些模型称为初等建模.用简单的数学方法建模，容易被更多的人理解、接受和采用，也就有更为广泛的应用价值.所谓图解法，量纲分析方法，比例法，初等代数方法等都是初等方法建模常用的方法.2.1 建模的初等方法2.1.1 函数概念函数（function ）概念是建模中最常用的数学概念之一，它用来表示或刻画两个量或多个量之间的依赖关系.用数学的术语说，对于某个数集D 中的任意一个元素x ，都存在一个实数y 与之对应，这种对应关系被称为(一元)函数，用)(x f y =来表示.在建模中，对函数概念的灵活运用会达到意想不到的结果.如果变量y 随着变量x 的增大而增大，那么反映在函数关系)(x f y =中则说明该函数是单调递增的.反过来，若变量y 随着变量x 的增大而减小，那么反映在函数关系)(x f y =中则说明该函数是单调递减的.一个连续函数可以用一条连续的曲线来描述，这条曲线叫做函数的图像(graph ).定性分析问题时，可以根据函数是否具有某种特性（如单调性、凸凹性等）在坐标系中画一条抽象的曲线来表示两个量之间的关系即函数.最简单、最常用的函数是直线，它有如下的表示：b kx y += (2.1.1)其中k 是直线的倾斜程度，叫做斜率.当0>k 时，方程(2.1.1)表示的直线是单调递增的，即变量y 随着变量x 的增大而增大；当0<k 时，方程(2.1.1)表示的直线是单调递减的，即变量y 随着变量x 的增大而减小.参数b 的选取可以使得直线(2.1.1)过某一个预先给定的点.很多模型都是假定变量y 和变量x 有像(2.1.1)那样的函数关系的.稍微复杂一点的函数就是二次函数了，即c bx ax y ++=2(2.1.2)当假设变量y 和变量x 有像(2.1.1)那样的关系后得出的模型并不能较好的刻画现实问题时，人们会求助于比(2.1.1)稍微复杂一点的函数关系(2.1.2).方程(2.1.2)表示的二次函数在整个实数范围内不具有单调性，所以通常在使用时将自变量x 限制在某一范围内.例如，考虑)1(x cx y -=当5.00≤≤x 时，它是单调递增的函数；当15.0≤≤x 时，它是单调递减的函数.其图像见图2.1.当然，人们也会求助于其它函数来建立模型，例如xk y =，x e y = 等等.数学上称为基本初等函数的有五大类：有理函数、三角函数、反三角函数、指数函数和对数函数，而这五类函数进行有限次和、差、积、商以及复合、取反函数这些运算之后生成的函数称为初等函数.无论如何，对基本初等函数基本形态的全面了解，非常有助于构建好的模型.图2.1 函数y=2x(1-x)的图像图2.2 符号函数的图像另外几个常用的非初等函数的例子是：（1）符号函数（sign function ） 它的定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)sgn(x x x x .符号函数sgn 有一个跳跃间断点0=x ，其图像如图2.2所示.（2）Heaviside 阶跃函数（Heaviside step function ），又叫单位阶跃函数（unit step function ），它在信号处理、控制论等诸多领域都有着非常广泛的应用.利用符号函数sgn ，定义Heaviside 阶跃函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+=0,00,2/10,12)sgn(1)(x x x x x H . Heaviside 阶跃函数也被推广为下面形式： ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=0,00,0,1)(x x a x x H a .（3）Dirac δ函数（Dirac delta function ），也叫单位脉冲.⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(x x x δ δ函数有如下性质：（i ）⎰∞∞-=1)(dx x δ, （ii ）⎰∞∞-=)0()()(f dx x x f δ, （iii ） ⎰∞-=x x H ds s )()(δ.δ函数并非普通意义下的函数，它属于广义函数（distribution function ）的范畴.性质（iii ）表明，δ函数是Heavisde 阶跃函数的导数（当然，这里的导数也是广义导数）.2.1.2 函数的极值在建模中会经常遇到求某个函数的极值（extreme ）.根据数学分析的知识，一个光滑函数的极值在其导数为零的点上达到.一个可导函数)(x f 的导数是xx f x x f dx x df x f x ∆-∆+==→∆)()(lim )()('0.实际上，一般并不用上面的定义来计算导数.求导数要用到导数的基本性质、基本导数表以及反函数求导公式、复合函数求导的链式法则等.这些知识在任何一本数学分析或高等数学的书中都能找到.2.1.3 矩阵及其运算在线性代数中，矩阵（matrix ）是一个m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211. 其中数对),(n m 称为该矩阵的维数（dimension ）.当行数1=m 时，矩阵化为行向量（row vector ）；当列数1=n 时，矩阵化为列向量（column vector ）；当n m =时，我们称矩阵为方阵（square matrix ）.矩阵的特别之处在于它的乘法（multiplication ）运算.两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时才能做乘法运算（这叫相容性条件），例如，假设矩阵A 如上是m 行n 列的，矩阵B 是n 行s 列的，为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s b b b b b b b b b B 212222111211 则矩阵A 与矩阵B 是可以相乘的，它们的乘积是一个m 行s 列的矩阵，为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========n k ks mk n k k mk nk k mk n k ks k n k k k n k k k nk ks k n k k k nk k k b a b a b a b a b a b a b a b a b a AB 112111212211211121111 . 由于矩阵的上述乘法运算，所以如下的线性代数方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111可以写出比较紧凑的矩阵形式：b Ax =其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x x 21，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b b 21. 初等方法建模所需要的知识除过上面的一点高等数学内容外可能更多的是对问题本身的理解.深入理解问题是建立模型的基础，下面从实际例子来体会初等方法建模.2.2 核竞争模型自从核武器问世以来，核大国之间从未停止过竞争.人们自然十分担心，这样的竞争是否会永无止境地扩展下去，我们的世界是否会逐渐变成一个“核弹库”？现在让我们来定性地讨论这个问题.假设有甲乙两个国家，他们都感到需要持有某一最少数量的核弹头，以防止对方的“核讹诈”.双方的基本想法是：在遭到对方的突然袭击后，保证能用足够数量的核弹头幸存下来，以便给攻击者以报复性的“致命打击”.现假定甲、乙双方拥有的核弹头数分别为x 和y ．y x ,显然是整数，但由于它们数量很大，可以近似地当做实数来讨论，由此引起的相对误差是非常小的.同时.为了能给对方以“致命打击”，设甲、乙双方分别认为自己至少应保存下来0x 和0y 个核弹头.另外，为了讨论简单，假定所有弹头在进攻时具有同等的威力，在对方袭击时，也有相同的幸存率.显然，甲方为了自己的安全，其拥有的弹头数必然要随着乙方弹头数y 的增长而增长，因而存在一个单调增加函数)(y f ，当)(y f x ≥时，甲方才感到自己是安全的.同样道理，存在另一个单调增加函数)(x g ，当)(x g y ≥时，乙方才感到自己是安全的.我们将曲线)(y f x =称为甲方安全线，将曲线)(x g y =称为乙方安全线.我们用图形来描述上述情形.假定情况如图２.３所示，则必存在着双方都感到安全的区域（图中有点的部分），即核竞争的稳定区域，而两曲线的交点A 则为竞争的平衡点.现在首先碰到的最关键的问题是：事实情况是不是这样？即这样的稳定区域是否客观存在？是否会出现像图２.４描述的那样？另外一个人们关心的问题是：如果稳定区域存在，防卫能力的加强或进攻能力的加强对这种稳定有什么影响？现在，我们在一次打击不可能毁灭对方所有弹头的假设下进行讨论（否则就不存在竞争）.在此假设下可以证明稳定区域必定存在，即曲线)(y f x =和曲线)(x g y =必定相交.为此只需证明经过原点而斜率大于零的任一直线必然与两条曲线相交而最终进入客观存在的双方都感到安全的稳定区域.先证明直线)0(>=r rx y 必与)(y f x =相交而进入甲方安全区.事实上，无论r 多么大（rx y =的意义是乙方弹头数是甲方的r 倍），由于乙方的打击不可能摧毁甲方的所有核弹头，甲方每枚弹头的幸存率)(r p 总是大于零的（虽然可能很小）.那么，甲方只要拥有不少于{}0)(|min x r xp x x r ≥=枚弹头，即可认为自己是安全的，故rx y =必与)(y f x =相交而进入甲方安全区.同样道理，rx y =必与)(x g y =相交而进入乙方安全区，问题得证.下面来分析后一个问题.假如甲方加强了弹头的防御能力，弹头幸存率)(r p 增大，曲线)(y f x =将向左移动（0x 固定，如图2.5所示的虚线），而平衡点A 将移到B 处，双方的弹头数均可减少.假如甲方加强了对重要城市及要害部门的防卫，则乙方就会感到要给对方以致命打击必须拥有比0y 更多的弹头，例如需要*0y 个弹头.此时)(x g y =将上移，如图2.5所示的点曲线，而平衡点A 将移到C 处，甲乙双方为了自身的安全都将增加弹头的储备.在核竞争中要想占据和保持优势地位，制定正确的对策尤其重要，这里我们举一实例加以说明.20世纪60年代初期，苏联有人十分重视发展亿吨级（TNT ）氢弹，希望以加强弹头威力的方式在苏美核竞争中占据优势.与此同时，美方也在寻找对策，他们进行了多次模拟爆炸试验，以便确定爆炸威力与命中准确度对目标破坏力的影响大小.记k 为破坏力大小，它可根据破坏程度定量化.记x 为爆炸威力，y 为精确度（如距目标中心的距离）.根据试验结果，他们导出了一个经验公式：23/2yx k =. 由公式可以看出，若爆炸力提高到x x 8*=，则破坏力增大到k k 4*=（设y 不变）；若精确度提高8倍，即8/*y y =，则破坏力k k 64*=（设x 不变）.基于以上分析，美方采取了以提高精度为主要目标的对策.以后的事实证明，美国所采用的对策是正确的. 2.3 椅子能否放稳在我们周围的日常生活中，到处都会遇到数学问题，就看我们是否留心观察和善于联想.下面就是这样一个问题.四条长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，四条腿能否一定同时着地？初看起来这个问题与数学毫不相干，怎样才能把它抽象成一个数学问题呢？我们要建立一个简单而又巧妙的模型，来回答这个问题，在下面两个合理的假设下，问题的答案是肯定的.假设：（1）椅子的四条腿一样长，四条腿的最下端点（着地点）的连线构成一个正方形.（2）地面是数学上的光滑曲面，即沿任意方向，切面能连续移动.建模的关键在于恰当地寻找表示椅子位置的变量，并把要证明的“着地”这个结论归结为某个简单的数学关系式.假定椅子中心不动，四条腿着地点视为几何上的点，用A 、B 、C 、D 表示，将AC 、BD 连线看作x 轴、y 轴，建立如图2.6所示的坐标系.引入坐标系之后，将几何问题代数化，即用代数方法去研究这个几何问题.人们也习惯于，当一次放不平稳椅子时，总是转动一下椅子（这里假设椅子中心不动），因而将转动椅子联想到坐标轴的旋转.设θ为对角线AC 转动后与初始位置x 轴夹角，如果定义距离为椅子脚到地面的竖直长度.则“着地”就是椅子脚到地面的距离为零，由于椅子位于不同位置，椅子脚与地面距离不同，因而这个距离为θ的函数，设)(θf ―――表示A,C 两脚与地面距离之和；)(θg ―――表示B,D 两脚与地面距离之和.因为地面光滑，显然)(θf ，)(θg 连续，而椅子在任何位置总有三只脚可同时“着地”，即对任意的θ，)(θf 和)(θg 总有一个为零，有0)()(=*θθg f .不失一般性，设0)(=θg ，0)(>θf ，于是椅子问题抽象成如下数学问题：已知：)(θf ，)(θg 是θ的连续函数，0)0(=g ，0)0(>f ，且对任意的θ，)(θf 和)(θg 总有一个为零，即0)()(=*θθg f .求证：存在)2/,0(0πθ∈，使得0)()(00==θθg f . 证明：令)()()(θθθg f h -=，则0)0()0()0(>-=g f h .将椅子转动2/π，对角线互换，有0)0(=g 和0)0(>f ，有0)2/(=πf 和0)2/(>πg ，从而0)2/(<πh .而)(θh 在]2/,0[π上连续，由介值定理，必存在)2/,0(0πθ∈，使得0)(0=θh ，即)()(00θθg f =.又因为对任意的θ，有0)()(=*θθg f ，从而0)()(00=*θθg f .所以0)()(00==θθg f .即在0θ方向上四条腿能同时“着地”.2.4 供求问题社会对某种商品的需求可用曲线来表示.根据常识，当商品的价格（price ）上涨时，社会对商品的需求量（demand ）会下降，反之，当商品的价格下跌时，社会对商品的需求量会增长.这种关系反映在函数上是单调递减的，其图像是一条下降的曲线，如图2.7所示的曲线1D 和2D ．设)(Q P P =是需求曲线方程．令)('Q QP P dP dQ Q P e -=-= (2.4.1) e 称为需求弹性．需求弹性也可以近似表示为PP Q Q e //∆∆≈． (2.4.2)从(2.4.2)式中可以看出需求弹性的经济意义，即它表示商品价格上涨１％时，社会对商品需求下降的百分数.例如“美国中型汽车的需求弹性是２.５”，意思是说“中型汽车的价格上涨１％，结果将导致销售量下降２.5%”.若1>>e ，即价格的很小变化将引起需求量的相当大的变化，则称社会对商品的需求是弹性的.若1<<e ，即价格的变化对需求量的影响很小，则认为需求量是非常无弹性的.例如，生活中的必需品，无论价格如何变化，人们总是需求一定数量用来维持生活.无弹性需求曲线具有这样的性质：总收入若)(Q QP Q P TR =∙=是Q 的减函数，即当且仅当若1<e 时，Q P TR ∙=是Q 的减函数.例如，当某种商品生产过量时，商品泛滥于市场，使得生产者的总收入减少.那么，需求、总收入与边际收入之间有怎样的关系呢？设需求函数是线性函数是bQ a Q P -=)(.需求曲线、总收入及边际收入曲线如图2.8所示.因为bQ a Q P -=)(，所以总收入2)(bQ aQ Q QP TR -==边际收入bQ a dQdTR MR 2-==需求弹性 1-=bQ a e 当2a Q b<时，1>e ，边际收入为正值，总收入增加. 当2a Q b >时，情况正好相反. 因此在一般情况下需求弹性与产量是密切相关的.同样道理，某种商品的供给（supply ）也可用曲线来描述.图2.9给出了某种商品的供给曲线.横坐标Q 表示生产者生产商品的数量（quantity ），纵坐标P 表示商品的价格.设供给曲线方程为)(Q S P =，定义供给弹性)()('Q QS Q S e = 当0>e 时，供给曲线是上升的，即价格的上涨引起生产者的兴趣，生产者增加产量，以追求更大的利润，这时供给曲线称为弹性供给曲线.问题1 如何取得最大利润？设Q 为单位时间的产量，即生产水平.)(Q C 为单位时间生产Q 件产品所需总成本，MC 为边际成本，应有)('Q C MC =；AC 为平均成本，有QQ C AC )(=. 如果总成本曲线如图2.10所示，考虑成本与利润的关系.当10Q Q <<时，总成本曲线是凸的，当1Q Q >时，曲线是凹的.相应的边际成本曲线当10Q Q <<时，曲线下降，当1Q Q >时，曲线上升.也就是说，随着产品的大量投产，生产效率上升，当生产发展到较高的生产水平时，生产效率下降.如图2.11所示，边际成本曲线与平均成本曲线相交于平均成本曲线的极小值点2Q .生产者实行怎样的生产水平可以使生产获得最大得利润？利润)(Q C PQ -=π，令0=dQd π，得到)('Q C P =，即价格等于边际成本时，生产者所获利润最大.然而必须注意到应有)('2Q C P >，)('2Q C 是平均成本的最小值，否则，对于所有的Q ，有0)()(<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=Q Q C P Q Q C PQ π.显然，此时生产者宁愿停产，也不愿亏本经营.问题2 如何达到市场上的供需平衡？在自由竞争的市场经济中，考虑供需平衡问题.供给曲线与需求曲线的交点称为供需平衡点，如图 2.12中的M点.在供需平衡点M处，商品的供应价格等于需求价格，供给数量等于社会的需求量，这时市场经济处于平衡状态.然而在实际中，商品的价格是由市场调节的，生产者希望提供产品价格以追求更大利润，偏离平衡点.而价格的增加使社会对商品的需求量减少造成产品积压，这时生产者不得不降低产品价格，刺激消费者增加购买量.当市场经济出现供需不平衡的时候，能否通过调节价格的手段使之趋于平衡点？理论上可以分成如图2.13和图2.14两种情况.在图2.13中，供给曲线的斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值.在供需不平衡的点1A ，生产者下调产品价格，增加了消费者的购买量.由于价格的下降导致生产者减少产量，产量低于一定限度时，市场上商品紧缺，使得生产者又可以适当提高价格，在这一变化中，即M A A A →→→→ 321，最终达到市场平衡.在图2.14中，供给曲线的斜率的绝对值小于需求曲线斜率的绝对值，这时虽然调节价格但仍然不能达到平衡，市场趋于紊乱.消费者对市场不敏感，这是经济危机的先兆.那么，应该如何制定产品价格？下面给出简单的说明.例 设某种产品的价格为x ，)(x S 和)(x D 分别表示产品的供给函数和需求函数，设)(x S 和)(x D 都是线性函数，)(x S 和)(x D 的关系如图 2.15. M 点是供需平衡点，即*)(*)(x D x S =.假设βα+-=)()(x a x S ， βα+--=)()(x b x D ， 其中0,0>>b a ，S 和D 交与),(βαM . 当α=*x 时，β==*)(*)(x D x S .建模 把时间分为相等时段.设n x 是n t =时的产品价格，此时产品供应量依赖于1-=n t 时的产品价格，即)(1-n x S . 又n t =时，产品的需求量依赖于此时产品价格，即)(n x D . 要使市场上供需平衡，应有)()(1n n x D x S =-. 求解 根据(2.4.4) (2.4.5)和(2.4.6)，有βαβα+-=+--+)()(1n n x a x b ， 即α)(1b a ax bx n n +=++.上式可以通过递推方法求解，得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a b a b b a x b a x n n n 11)(0α， 即,...)2,1()(0=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n x b a x n n αα.(2.4.7) 若1<b a ，则当∞→n 时，α→n x ；反之， 若1>ba ，则当∞→n 时，n x 远离平衡点.量b a 恰好是供给曲线与需求曲线的斜率之比的绝对值.利用(2.4.7)可以合理制定产品n t =时的价格.2.5 遗传问题随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥秘，越来越注重遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，引起人们更多的注意.无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对确定了后代所表现的特征.本节将讨论常染色体遗传问题.2.5.1 常染色体遗传模型在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称基因型.如果我们所考虑的遗传是由两个基因A和a控制的，那么就有三种基因对，记为AA、Aa、aa.例如，金鱼草是由两个遗传基因决定他的花的颜色，基因型是AA型的金鱼草开红花，Aa型的金鱼草开粉红色花，而aa型的开白色花.又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的.基因型是AA或Aa的人，眼睛为棕色，基因型为aa的人，眼睛为蓝色.理论认为，后代的基因型由父体与母体基因各等可能地继承一半而形成的.于是就有下面的后代各种基因型概率（表2.5.1）.表2.5.1 父体-母体基因型与后代基因型出现的概率例农场的植物园中某种植物的基因型为AA、Aa和aa.农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布如何？假设 （1）设n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中基因型为AA 、Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率.令)(n x为第n 代植物的基因型分布，即.][)(T n n nn c b a x = 当0=n 时，T c b a x ][000)0(=表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布），显然有.1000=++c b a（2）第1-n 代的分布与第n 代的分布关系是通过表2.5.1确定的.建模 根据假设（2），先考虑第n 代中的AA 型.由于第1-n 代的AA 型与AA 型结合，后代全部是AA 型，第1-n 代的Aa 型与AA 型结合，后代是AA 型的概率为1/2，而第1-n 代的aa 型与AA 型结合，后代不可能是AA 型.因此,2,1,0211111=⋅+⋅+⋅=---n c b a a n n n n (2.5.1)类似地可推出,2,1,2111=+⋅=--n c b b n n n (2.5.2),2,1,0==n c n (2.5.3)求解 将上面三式相加，可得.111---++=++n n n n n n c b a c b a利用递推和假设（1），可得.,2,1,0,1000 ==++=++n c b a c b a n n n将(2.5.1)- (2.5.3)写成矩阵的形式为：,,2,1,)1()( ==-n Mx xn n(2.5.4)其中.00012/1002/11⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=M由(2.5.4)递推可以得到.)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====-- (2.5.5)关系式(2.5.5)给出了第n 代的基因分布与初始分布的关系.为了更进一步分析第n 代的基因分布，我们利用对角化M 来计算n M .矩阵的对角化可以通过Matlab 语言的命令eig 来实现.下面Matlab 代码给出了矩阵的M 对角化.>> M=[1 1/2 0;0 1/2 1;0 0 0];>> format rat>> [P,D]=eig(M)P =1 -985/1393 881/21580 985/1393 -881/10790 0 881/2158D =1 0 0 0 1/2 0 0 0 0利用上面的结果，可知,1-=PDP M其中,00002/10001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D.002012158/881001079/8811393/98502158/8811393/985122121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k k k P 从而1100002/10001--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==P P P PD M nn n =.0002/12/102/112/11111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----n n n n 于是⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=--.0,2/2/,2/2/1100100nn n n n n n c c b b c b a (2.5.6)当∞→n 时，,02/1→n 从(2.5.6)式中可以得到,1→n a ,0→n b ,0→n c即在极限的情况下，培育的植物都是AA 型.2.5.2 常染色体隐性病模型现今世界上已经发现的遗传病将近4000种.在一般情况下，遗传疾病是与特殊的种族、部落及群体有关.例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间.患者经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源.假如我们能识别这些疾病的隐性患者，并且规定隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不会出现显性特征，不会受到疾病的折磨.现在考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者的概率.假设 （1）常染色体遗传的正常基因记为A ，不正常基因记为a ，并以AA ，Aa ，aa 分别表示正常人、隐性患者、显性患者的基因型.（2）设n n b a ,分别表示第n 代中基因型为AA ，Aa 占总人数的百分数，记[].,2,1,)( ==n b a x T n n n（3）为使每个儿童至少有一个正常的父亲或母亲，因此正常人或隐性患者必须与正常人结合，即两个隐性患者不能结合，其后代的基因型概率由表2.5.2给出.建模 由假设（3），从第1-n 代到第n 代基因型分布的变化取决于下面方程：,2111--+=n n n b a a .21011--+=n n n b a b 所以就有,,2,1,)1()( ==-n Mx x n n(2.5.7)其中 .2/102/11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=M 由(2.5.7)递推可以得到.)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====-- (2.5.8)关系式(2.5.8)给出了第n 代的基因分布与初始分布的关系.将M 对角化，即1-=PDP M ，其中,2/1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D ,1011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P .1P P =- 于是.2/2/110112/10011011000001)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-n n n n n b b b a x P PD x或者.,2,1,21,21100 =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n b b b a nn n n所以，当∞→n 时，,0,1→→n n b a 隐性患者逐渐消失.另外还知道.211-=n n b b 这说明每代隐性患者的概率是前一代隐性患者概率的一半.练习在常染色体遗传模型中，如果不选用基因型AA 的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么这种植物的任一代的三种基因型分布如何？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Q3
342 3 4
96.3
Q1最大，第20席给甲系
第21席
Q1
1032 1112
80.4,
Q2 ,
Q3 同上
Q3最大，第 21席给丙系
Q值方法 分配结果
甲系11席，乙系6席，丙系4 席
公平吗？
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。
p1/n1– p2/n2=5
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否! 若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
该席给Q值最大的一方 Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
第20席
Q1
1032 1011
96.4,
Q2
632 67
94.5,
p1 / n1 p2 / n2 p2 / n2
rA (n1, n2 )
~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应
类似地定义 rB(n1,n2)
使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一
2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少
“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
竞赛真题演练 竞赛真题解析
1.2 录像机计数器的用途
问 题
经试验，一盘标明180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了184分，计数
器读数从0000变到6061。
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为 4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考 计数器读数是均匀增长的吗？
要求 不仅回答问题，而且建立计数器读数与
建模目的 建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）
模型建立
建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度
等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以
m
2 (r wi) vt
i 1
m kn
t wk 2 n 2 2rk n
v
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义
p22
p12
该席给A
n2 (n2 1) n1(n1 1) 否则, 该席给B
定义
Qi
pi2 ni (ni 1)
,
i 1,2, 该席给Q值较大的一方
推广到m方 分配席位
计算
Qi
pi2 , ni (ni 1)
i 1,2，, m
第一讲 初等模型
1.1 公平的席位分配 1.2 录像机计数器的用途 1.3 双层玻璃窗的功效 1.4 汽车刹车距离
1.1 公平的席位分配
问 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 题 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
录像带转过时间的关系。
观察 计数器读数增长越来越慢！
问题
0000 计数器
录像带 磁头
压轮
录像带运动
录像带运动方向 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢
录像带运动速度是常数
右轮转速不是常数
模型假设 • 录像带的运动速度是常数 v ； • 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； • 录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； • 空右轮盘半径记作 r ； • 时间 t=0 时读数 n=0 .
“公平”分配方 法 人数 席位
A方 p1 n1 B方 p2 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
若增加为21席，又如何分配。
系别 学生 比例 20席的分配 21席的分配
比 例
人数 （%） 比例 结果
比例
结果
对 丙
加 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 系
惯 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 公
例 丙 34 17.0 3.4
4
3.570
3
平 吗
总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21
设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)，
ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm )
记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.