工程力学课件-第10章动载荷 (1)

T

1 2
P g
v2

Ph
Kd 1
1
2T P st
1
1 2h st
注意：Δst为冲击点处的静位移
非冲击点
A
B
C
D
Bst
Cst
冲击点
Kd
d st
d st
式中的Δd、Δst不一定是冲击点处的位移，可以是任意 点处的位移。
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
Kd 1
簧的变形能Vεd ,即
其中 T 0 V P(h d )
P(h

d)

1 2
Fd
d
Vεd

1 2
Fd d
T
Δd
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形

2 d
2st d

2T P
st
0
解得：
d st 1
1
2T P st

动荷系数：
kd

EI
2
(
2

cos
)(1
cos
)d
0

PR3 EI
2 8 4
0.149
PR3 EI
0.00186mm
2．计算Kd和动应力
Kd 1
1 2h st
1
1
2 20 0.00186
148
d max Kd st
148 0.657 97MPa
解超静定 静定基选择如图所示
11


2 0
1 EI
( Rd )


R
2EI
1P

2 0
PR(1 cos
2EI
)
(Rd
)

(
2)PR2 4EI

R
2 EI
X 1 (
2) PR 2 4 EI
0
X1

2 2
PR
求最大弯矩
M max


PR 2
(1
cos )
X1


PR 2
Hale Waihona Puke 22PR
PR

st

M max W

PR / bh2
6

6 50110
40 202

0.657MPa
求冲击点的静位移
用单位载荷法
st
2
2 0
PR 2
(1

cos
)

EI
X1
R(1 cos)(Rd)
PR 3
st

M W

Q(l W
l1
)
5．最大冲击应力
d


W
3EI l Q g
例：在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮，与飞轮相比,轴 的质量可以忽略不计.轴的另一端A装有刹车离合器。飞轮的 转速为n=100r/min，转动惯量Ix=0.5kN·m·s2。轴的直径 d=100mm。AB轴在A端突然刹车(即A端突然停止转动)。求 轴内最大动应力。设G=80GPa,轴长l=1m。
1.96 10-4
max

T Wp

0.524 103 1.96 104

2.67(MPa)
Mf
α
Md
问题:A端突然刹车 （即突然停止转动） 轴内的最大动应力？
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
一、冲击问题：
重锤打桩
高速飞轮突然刹车 钉钉子
⒈特点：a→∞，Δt→0，速度变化非常大→冲击
注意：冲击问题与 （a=常数）问题的 区别？
解： 1．能量守恒 T+V=Ud
1 2
I x 2

T d2 l 2GI p
2．求动应力：
Td
I x GI p l
d max

Td Wt

I xGI p Wt2l
圆轴：
Ip Wt 2

d 4
32
(1d63 )2
22
d 2 A
一、基本概念 1、静载荷：a=0
动载荷： a≠0
§10-1 概述
1.惯性力 2.冲击荷载 3.振动问题 4.交变应力
2、实验表明：
当σ≤σP时，动载荷下的弹性模量E、σP、σe、σs、σ
b、[σ]等机械性质与静载一样，静载荷下的应力应变线 性关系――胡克定律在动载荷下仍然成立
动载荷的计算与静载荷的计算方法一样
4
d max
2GI x Al
Al为体积
d max

10
3
280109 0.5103
1 (50 103 )2
1057 106 Pa 1057MPa
注意比较：若刹车时使轴在10秒 内均匀减速停止转动时的动应力：
d max 2.67MPa
例：如图所示重物Q自高度H处下落，截面为矩形， 高为h,宽为b,试求梁内的最大正应力。(不计梁内轴 力)。
d st
1
1
2T P st
d Kd st , Fd Kd P, d Kd st
注意：这里Fd、Δd、σd 是指受冲杆件到达最大变形位置，
冲击物速度等于零时的瞬时载荷、变形和应力，是冲击过程
中的最大值
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
3、自由落体冲击：
v2 2gh
例题1
在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮,与飞轮相比,轴的质量可以 忽略不计.轴的另一端A装有刹车离合器。飞轮的转速为 n=100r/min，转动惯量为Ix=0.5kN·m·s2。轴的直径d=100mm。 刹车时使轴在10秒内均匀减速停止转动。求轴内最大动应力。
解： 1．计算惯性力矩
Mf
0

n
动荷系数
d kd st
F
F
q
§10-2 动静法的应用
强度条件 d max kd st max [ ]
讨论： 1．一般Kd≥1, 动载荷的工作应力比静载荷的工作 应力要大 2．a=c的动载荷问题的解法与静载荷问题的解法 一样，动应力与静应力相差Kd倍
3．变形:δd=Kdδst
30


100 30

10
3
(rad / s)


1 0
t

0

10
3
10



3
(rad
/
s2
)
α
Md
Md

Ix
0.5(3)

0.5
3
(kN m)
例题1
2．轴的扭矩
T

Md

0.5
3
(kN
m)
0.524(kN m)
3．横截面的应力
Wp


16
(100 103 )3
§10-2 动静法的应用
二、等角速转动构件内的动应力分析
例：如图薄圆环以匀角速度ω绕通过圆心且垂直于纸面的 轴旋转，D>>t,比重ρ，求圆环横截面A上的正应力
qd

rO
y
qd
d
O
FNd
FNd
解： 向心加速度：
an

D 2
2
qd

A an

A
2
D

2
§10-2 动静法的应用
2FNd
2、提高构件抗冲击能力的措施： 增大静变形但要避免增大静应力
总结： 解题的关键：求Kd→ △ st（冲击点） 求σd→σst ,△ d→ △ st
自由落体冲击：
Kd 1
1 2h st
水平冲击：
Kd
v2 g st
加弹簧 加垫片
例题2
重量为P的重物自高度h下落冲击于梁上的C点，设梁的E、I及 抗弯截面模量W皆为已知量。试求梁内最大正应力及梁的跨度 中点的挠度。
三、 水平冲击：
T V Ud
V 0
T

1 2
P g
v2
vP l
线性关系
d st

d st

Fd P
Kd
Ud

1 2
Fd
d

1 2
2d st
P
1 2
P g
v2

1 2

2 d
st
P
d
v2 g st st
Kd
v2 g st
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
1 2h st
P
A
B
C
D
Bst
Cst
强度条件: d max K d st max [ ]
讨论:⑴△st的物理意义:以冲物的重量P作为静载,沿冲击 方向作用在冲击点时,被冲击物在冲击点处沿冲击方向的 静变形
⑵当h=0时,Kd=2,即突加载荷的应力和变形是静载的两倍
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
解： 1．计算静位移及静应力
st (cy)

4Pa3 3EI
st (cx)

Pa3 2EI
h
st

Pa W
2．动荷系数Kd
Kd 1
1

3EIH 2Pa3
3．动应力及动位移
d max K d st (1
1
3EIH 2Pa3