初中数学二次函数难题汇编含答案

初中数学二次函数难题汇编含答案

一、选择题

1．已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数()()39m x x y =++及

()()26y n x x =--图象，将二次函数()()39m x x y =++的图象按下列哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（ ）

A ．向左平移2个单位长度

B ．向右平移2个单位长度

C ．向左平移10个单位长度

D ．向右平移10个单位长度

【答案】D

【解析】

【分析】

将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离．

【详解】

解：∵y ＝m （x ＋3）（x ＋9）＝mx 2＋12mx ＋27m ，y ＝n （x －2）（x －6）＝nx 2－8nx ＋12n ，

∴二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的对称轴为直线x ＝－6，二次函数y ＝n （x －2）（x －6）的对称轴为直线x ＝4，

∵4－（－6）＝10，

∴将二次函数y ＝m （x ＋3）（x ＋9）的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．

2．如图，二次函数()2

00y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：

①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()2

00ax bx c a ++=≠有一个根为1a

-，其中正确的结论个数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C

【解析】

【分析】

由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1a 代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案.

【详解】

由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣2b a

＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣

1a ，把﹣1a 代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0， 即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.

3．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc ＜0；②2a +b ＝0；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D

【解析】

【分析】 根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定解答．

【详解】

①由抛物线的对称轴可知：﹣

＞0，

∴ab ＜0，

∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上，

∴c ＞0，

∴abc ＜0，故①正确；

②∵﹣＝1，

∴b ＝﹣2a ，

∴2a +b ＝0，故②正确．

③∵（0，c ）关于直线x ＝1的对称点为（2，c ），

而x ＝0时，y ＝c ＞0，

∴x ＝2时，y ＝c ＞0，

∴y ＝4a +2b +c ＞0，故③正确；

④由图象可知：△＞0，

∴b 2﹣4ac ＞0，故②正确；

故选：D ．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．

4．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a -b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】

【分析】 利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a

=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到2

44ac b a

=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．

【详解】

∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．

∴当x=-1时，y ＞0，

即a-b+c ＞0，所以①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a

=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；

∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a

-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；

∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，

∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，

∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．

故选C ．

【点睛】

本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.

5．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ?的面积为2

cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】

分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项．

【详解】

解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，

AB 2=42+（6-3）2，

解得，AB=5cm ．

下面分三种情况讨论:

当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==g

g g ,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =

?=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2

??=; 当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()21

1226,2y t t t t =?-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B ．

故选：B ．

【点睛】

此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.

6．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x

=在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】

【分析】

直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．

【详解】

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，

∴a＜0，

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，

∴c=0，

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴在y轴左侧，

∴a，b同号，

∴b＜0，

∴一次函数y=ax+c，图象经过第二、四象限，

反比例函数y=b

x

图象分布在第二、四象限，

故选D．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．

7．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S （cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）

A．B．

C．D．

【解析】

试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣

t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线

开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．

解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF

=4?4﹣?4?（4﹣t）﹣?4?（4﹣t）﹣?t?t

=﹣t2+4t

=﹣（t﹣4）2+8；

当4＜t≤8时，S=?（8﹣t）2=（t﹣8）2．

故选D．

考点：动点问题的函数图象．

8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】

【分析】

由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，

对称轴x=﹣＝1，故b＜0，bc＜0，即可判断一次函数y＝x+bc的图象.

【详解】

①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＜0，故正确；

②方程ax2+bx+c＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确；

③当x＜2时，由图象知：y随x的增大而减小，故错误；

④由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，x=﹣＝1＞0，∴b＜0，

∴bc ＜0，∴一次函数y ＝x +bc 的图象一定过第一、三、四象限，故正确；

故正确的共有3个，

故选：C ．

【点睛】

此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.

9．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）

A ．0＜t ＜5

B ．﹣4≤t ＜5

C ．﹣4≤t ＜0

D ．t ≥﹣4

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解；

【详解】

解：∵对称轴为直线x ＝2，

∴b ＝﹣4，

∴y ＝x 2﹣4x ，

关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4，

∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5，

∴﹣4≤t ＜5；

故选：B ．

【点睛】

本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．

10．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．

A ．①②④

B ．②③④

C ．③④⑤

D ．①③⑤

【答案】C

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；

②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；

∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a -

>0， 又∵a>0，

∴b<0；

由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，

∴c<0，

故abc>0，故②错误；

③结合图象得出x=?1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a?b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2?4ac>0，故④正确；

⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12

则2a=?2b ，故⑤正确；

故正确的有：③④⑤．

故选：C

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．

11．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( )

A ．a +c ＝0

B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2

C ．当函数在x ＜110

时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜

2a 【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．

【详解】

解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，

∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，

∴a +c ＝0，b ＝﹣2，

∴A 正确；

∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，

∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，

∴△＝4+4a 2＞0，

∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，

∵x 1+x 2＝2a ，x 1x 2＝﹣1， ∴|x 1﹣x 2|＝2211a

＞2， ∴B 正确；

二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣

2b a ＝1a ， 当a ＞0时，不能判定x ＜

110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；

∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，

∴m +n ＜0，

2a ＞0， ∴m +n ＜2a

； ∴D 正确，

故选：C ．

【点睛】

本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

12．如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）

A 5

B 453

C ．3

D ．4

【答案】A

【分析】

【详解】

过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，

∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ，

∴BF ∥DE ∥CM ．

∵OD=AD=3，DE ⊥OA ，

∴OE=EA=12OA=2． 由勾股定理得：DE=5． 设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，

∵BF ∥DE ∥CM ，

∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ．

∴BF OF CM AM DE OE DE AE ==，，即x 2x 2255

-==，，解得：()52x 5BF ?x CM 22

-==，． ∴BF+CM=5．

故选A ．

13．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ????-- ? ?????

是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【解析】

【分析】

由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断．

【详解】

解：∵抛物线开口向下，

∴a ＜0， ∵抛物线的对称轴为直线12b x a

=-

= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，

∴abc ＜0，所以①错误；

∵b=-2a ，

∴2a+b=0，所以②正确；

∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），

∴当x=3时，y=0，

∴930a b c ++=，所以③错误；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下，

∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大 ∵103132

-<-< 点13,2y ??- ???

到对称轴的距离比点210,3y ??- ??? 对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确．

故选B ．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．

14．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线

11

22

y x

=+上，

若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）

A．a≤﹣2 B．a＜9

8

C．1≤a＜

9

8

或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜

9

8

【答案】C

【解析】

【分析】

分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】

∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，

∴令11

22

x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0

∴△＝9﹣8a＞0

∴a＜9 8

①当a＜0时，

110

111 a

a

++≤?

?

-+≤?

解得：a≤﹣2∴a≤﹣2

②当a＞0时，

110

111 a

a

++≥?

?

-+≥?

解得：a≥1

∴1≤a＜9 8

综上所述：1≤a＜9

8

或a≤﹣2

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的

坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

15．如图，已知将抛物线21y x =-沿x 轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”）.现将抛物线()()2

120y a x a =++<沿x 轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a 的取值范围是（ ）

A ．1a ≤-

B ．12a ≤-

C ．112a -<≤

D ．112

a -≤<- 【答案】D

【解析】

【分析】 画出图象，利用图象可得m 的取值范围

【详解】

解：

∵ ()()2

120y a x a =++<

∴该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线x=-1.

∴点(-1,2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意，

将(0，1)代入()()2

120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1.

将(1, 0)代入()()2120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2 ∵有11个整点， ∴点(0，-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意.

综上可知:当1-1a<-

2

≤ 时，点(-1，2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1，-1)、点(-1，-2)、点(-2, 0)、(0，0)、点(0，-1)、点(-2，-1)、点(-2，1)、点(0, 1)，共有11个整点符合题意, 故选: D.

【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.

16．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）

A ．t ＞﹣5

B ．﹣5＜t ＜3

C ．3＜t≤4

D ．﹣5＜t≤4

【答案】D

【解析】

【分析】 先根据对称轴x=2求得m 的值，然后求得x=1和x=5时y 的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4．

【详解】

∵抛物线的对称轴为x ＝2，

∴22

m -=-，m=4 如图，关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标

当x=1时，y=3，

当x=5时，y=﹣5，

由图象可知关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解， 则直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，

∴﹣5＜t≤4．

故选：D ．

【点睛】

本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x 轴(或某直线)有交点．

17．已知抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a ，则抛物线的顶点不可能在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 【答案】D

【解析】

【分析】

求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．

【详解】

抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a 的顶点的横坐标为：x ＝﹣

212a +＝﹣a ﹣12， 纵坐标为：y ＝()()

224214a a a --+＝﹣2a ﹣14

， ∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y ＝2x +

34

， ∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，

故选：D ．

【点睛】 本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．

18．平移抛物线2:L y x =得到抛物线L '，使得抛物线L '的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L '上，下列的平移中，不能得到满足条件的抛物线L '的是（ ）

A ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位

B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C ．向左平移32个单位，再向下平移92

个单位 D ．向左平移3个单位，再向下平移9个单位

【答案】D

【解析】

【分析】

通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式，再判断原点是否在该抛物线上即可．

【详解】

解：由A 选项可得L '为：2(1)2y x =--，

则顶点为（1，-2），顶点（1，-2）关于原点的对称点为（-1，2），

当x ＝-1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故A 选项不符合题意；

由B 选项可得L '为：2(1)2y x =+-，

则顶点为（-1，-2），顶点（-1，-2）关于原点的对称点为（1，2），

当x ＝1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故B 选项不符合题意；

由C 选项可得L '为：239()22y x =+-

， 则顶点为（-

32，-92），顶点（-32，-92）关于原点的对称点为（32，92）， 当x ＝32时，y ＝92，则对称点在该函数图像上，故C 选项不符合题意； 由D 选项可得L '为：2(3)9y x =+-，

则顶点为（-3，-9），顶点（-3，-9）关于原点的对称点为（3，9），

当x ＝3时，y ＝27≠9，则对称点不在该函数图像上，故D 选项符合题意；

故选：D ．

【点睛】

本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．

19．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（ ）

A ．2

B ．4

C ．3

D ．3【答案】C

【解析】

【分析】 点P 、Q 的速度比为33x ＝2，y ＝3P 、Q 运动的速度，即可求解．

【详解】

解：设AB ＝a ，∠C ＝30°，则AC ＝2a ，BC 3a ，

设P 、Q 同时到达的时间为T ，

则点P的速度为3a

T

，点Q的速度为

3a

T

，故点P、Q的速度比为3：3，

故设点P、Q的速度分别为：3v、3v，

由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×3v＝23v，

y＝1

2

?AB×BQ＝

1

2

?6v×23v＝63，解得：v＝1，

故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a，

则AC＝12，BC＝63，

如图当点P在AC的中点时，PC＝6，

此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，

PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×1

2

＝3，同理CH＝33，则HQ＝CH﹣CQ＝33﹣23＝

3，

PQ＝22

PH HQ

+＝39

+＝23，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

20．如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：①；②；③.其中，正确结论的个数是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．

【详解】

解：根据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，

∴, 故③错误；

∵.

∴B（-c，0）

∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0）和B（-c，0）两点，

∴， ac2-bc+c=0

∴，ac-b+1=0，

∴，故②正确；

∴，b=ac+1

∴,

∴2b-c=2，故①正确；

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．