2021届中考数学专题：二次函数动点问题(12道压轴题解析与点评)
2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析一、二次函数1．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，解得：x＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w，根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．3．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（113+，0）、N1（13，﹣1）；M2（113+，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m），代入所设解析式求解可得；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴点C的坐标为（0，3），将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：203a a cc++=⎧⎨=⎩，解得：13ac=-⎧⎨=⎩，∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以点G的坐标为（1，4）；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，∵△A′B′G′为等边三角形，∴33，则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（13），将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：24043m k k m⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1104m k =⎧⎨=⎩（舍），2231m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴k=1； （3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2），∴PQ=OA=1，∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角， ∴△AOQ ≌△PQN ，如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，则∠QHN=∠OMQ=90°， 又∵△AOQ ≌△PQN ，∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，∴∠MOQ=∠HQN ，∴△OQM ≌△QNH （AAS ）， ∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1， 解得：x=1132± 当113+HN=QM=﹣x 2131-M 113+，0）， ∴点N 113+131-1131）； 或（1132+﹣1312，﹣1），即（1，﹣1）； 如图3，同理可得△OQM≌△PNH，∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；综上点M1113+0）、N1131）；M2113+0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.4．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a （x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求PDDD'的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1； ②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩…； （3）h ＝±3【解析】【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值．【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中，得：0＝a （0﹣2）2﹣2，解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭， 2222322m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EG EG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG2212242222m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…； （3）如图3，∵OADD ′为菱形∴AD ＝AO ＝DD ′＝4，∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．5．如图1，已知抛物线y ＝ax 2+bx+3(a≠0)与x 轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如图2，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，53）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）63 8，315,24E⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M 的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．③当CM＝C P时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩． ∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）如答图1，∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3，∴其对称轴为x ＝22-＝﹣1， ∴设P 点坐标为（﹣1，a ），当x ＝0时，y ＝3，∴C （0，3），M （﹣1，0）∴当CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得a ＝53， ∴P 点坐标为：P 1（﹣1，53）； ∴当CM ＝PM 时，（﹣1）2+32＝a 2，解得a ＝±10，∴P 点坐标为：P 2（﹣1，10）或P 3（﹣1，﹣10）；∴当CM ＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a ）2，解得a ＝6， ∴P 点坐标为：P 4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P ，其坐标为P （﹣1，10）或P （﹣1，﹣10）或P （﹣1，6）或P （﹣1，53）； （3）存在，Q （﹣1，2），理由如下：如答图2，点C （0，3）关于对称轴x ＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q ．设直线AC′函数关系式为：y ＝kx+t （k≠0）．将点A （1，0），C′（﹣2，3）代入，得023k t k t +=⎧⎨-+=⎩， 解得11k t =-⎧⎨=⎩， 所以，直线AC′函数关系式为：y ＝﹣x+1．将x ＝﹣1代入，得y ＝2，即：Q （﹣1，2）；（4）过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，设E （a ，﹣a 2﹣2a+3）（﹣3＜a ＜0）∴EF ＝﹣a 2﹣2a+3，BF ＝a+3，OF ＝﹣a∴S 四边形BOCE ＝12BF•EF+12（OC+EF ）•OF ＝12（a+3）•（﹣a 2﹣2a+3）+12（﹣a 2﹣2a+6）•（﹣a ） ＝﹣32a 2﹣92a+92＝﹣32（a+32）2+638， ∴当a ＝﹣32时，S 四边形BOCE 最大，且最大值为638． 此时，点E 坐标为（﹣32 ，154）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．6．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线223433y x =-+“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =-+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=； 联立两解析式求交点2234323332323y=y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，3B （1,0）；（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=23∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F 点的横坐标为0或-2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0，233），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=32343，即E 的纵坐标为43∴ E （-1，-433）； 当F 点的横坐标为-2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去；②当AC 为平行四边形的对角线时，∵ C （-3,0），且A （-2，23），∴线段AC 的中点坐标为（-2.5， 3），设E （-1，t ），F （x ，y ），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t ，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3， ∴E （-1，43-），F （-4，103）； 综上可知存在满足条件的点F ，此时E （-1，-43）、（0，23）或E （-1，43-3），F （-4，1033）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题7．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y1 3 =x2﹣3；（3）M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．【解析】【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：390ba b=-⎧⎨+=⎩，解得：133ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y13=x2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC ＝45°+15°＝60°，∴OD ＝OC•tan30°=设DC 为y ＝kx ﹣3，0），可得：k =联立两个方程可得：23133y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：1212036x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（6）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°，∴OE ＝OC •tan60°＝设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（0）可得：k 3=，联立两个方程可得：23133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：1212032x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 2，﹣2）．综上所述M 的坐标为（，6，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．8．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线29y ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（33 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的3，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =3x =33∴点A 30），B （330），∴抛物线的对称轴为x 3（2）∵OA 3OC =3，∴tan ∠CAO 3∴∠CAO =60°． ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO 3=1，∴点D 的坐标为（0，1）． 设点P 3a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2．当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 30）． 当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 3，﹣4）． 综上所述，点P 3034）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：330m +=，解得：m 3∴直线AC 的解析式为33y x =+．设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k -，0），∴AN =13k-+=31k k -． 将33y x =+与y =kx +1联立解得：x =23k -，∴点M 的横坐标为23k -． 过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =233k +-．∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG =233k +-=2323k k --，∴11AM AN +=323231k k k -+-- =33232k k --=3(31)2(31)k k -- =3． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和点C （0，4），交x 轴正半轴于点B ，连接AC ，点E 是线段OB 上一动点（不与点O ，B 重合），以OE 为边在x 轴上方作正方形OEFG ，连接FB ，将线段FB 绕点F 逆时针旋转90°，得到线段FP ，过点P 作PH ∥y 轴，PH 交抛物线于点H ，设点E （a ，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）若△AOC 与△FEB 相似，求a 的值．（3）当PH ＝2时，求点P 的坐标．【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）a ＝165或45；（3）点P 的坐标为（2，4）或（1，4）3+17，4）． 【解析】【详解】（1）点C（0，4），则c＝4，二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）tan∠ACO＝AOCO＝14，△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝14或4，∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，则144aa=-或44aa=-，解得：a＝165或45；（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；分别延长CF、HP交于点N，∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，∴∠FPN＝∠NFB，∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，∴△PNF≌△BEF（AAS），∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4），∵PH＝2，即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，解得：a＝1或12317+317-故：点P的坐标为（2，4）或（1，43+17，4）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．10．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示： (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】 【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM ==得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值 【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm (2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v= 在B 点相遇得到方程152.5v=∴5=7.515=2.5 vv⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得23=5vv⎧=⎪⎨⎪⎩∵在边BC上相遇，且不包含C点∴2/6/3cm s v cm s≤＜②如下图12()PAD CDM ABM NABCDS S S S S S∆∆∆+=---（N）矩形()()5152525751022x x⨯-⨯-=---=15过M点做MH⊥AC，则125MH CM==∴112152S MH AP x=⋅=-+∴22S x=()122152S S x x⋅=-+⋅=2430x x-+=215225444x⎛⎫--+⎪⎝⎭因为152.57.54＜＜，所以当154x=时，12S S⋅取最大值2254.【点睛】本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x 表示出S1和S211．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为45+41或5-41②点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-15x+b，把E（12，-52）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255y xy x-⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+62x，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得253005a cc++=⎧⎨=-⎩，解得15ab=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），∵B（5，0），C（0，﹣5），∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM⊥BC，∴△AMB为等腰直角三角形，∴AM=2AB=2×4=22，∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，∴PQ=AM=22，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，∴222=4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），当P点在直线BC上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+41，m2=5-41，综上所述，P点的横坐标为4或5+412或5-412；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+ 62x∴x=236，∴M2（236，﹣76）.综上所述，点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．12．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y 轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A ，B 两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC 于点D，求△DMH周长的最大值．【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC 中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH周长的最大值为．考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想13．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点A(3,-3) 和B(33,0)，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D ，连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）21332y x x =-；（2）P 点坐标为（383,- 43）；（3）Q 点坐标（30）或（315） 【解析】 【分析】（1）把A 与B 坐标代入抛物线解析式求出a 与b 的值，即可确定出解析式；（2）设P 坐标为2133,2x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，表示出AD 与PD ，由相似分两种情况得比例求出x 的值，即可确定出P 坐标；（3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可． 【详解】（1）把3A 3)-和点(33B 0)代入抛物线得：33327330a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，解得：12a =，33b =， 则抛物线解析式为21332y x x =-；（2）当P 在直线AD 上方时，设P坐标为21,2x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则有AD x =21322PD x x =-+， 当OCA ADP ∆∆∽时，OC CA AD DP ==，整理得：23186x -+=-，即23240x -+=，解得：6x =，即3x =或x =此时P 4)3-；当OCA PDA ∆∆∽时，OC CA PD AD ==，296x x -+=-2120x -+=，解得：x =x =此时P 6)；当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ∆∆∽； 当P 在直线AD 下方时，同理可得：P的坐标为10)3-，综上，P的坐标为，4)3-或6)或10)3-或()0,0；（3）在Rt AOC ∆中，3OC =，AC =根据勾股定理得：OA =Q 11··22OC AC OA h =， 32h ∴=，132AOC AOQ S S ∆∆==Q ， AOQ ∴∆边OA 上的高为92， 过O 作OM OA ⊥，截取92OM =，过M 作//MN OA ，交y 轴于点N ，如图所示：在Rt OMN ∆中，29ON OM ==，即()0,9N ， 过M 作MH x ⊥轴，在Rt OMH ∆中，1924MH OM ==，393OH OM ==，即93(M ，9)4， 设直线MN 解析式为9y kx =+，把M 坐标代入得：99394k =+，即3k =-，即39y x =-+， 联立得：23913322y x y x x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩，解得：330x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2315x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，即(33Q ，0)或(23-，15)，则抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，此时点Q 的坐标为(33，0)或(23-，15)．【点睛】二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．14．抛物线，若a ，b ，c 满足b=a+c ，则称抛物线为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线必过x 轴上的一个定点A ；（2）已知“恒定”抛物线的顶点为P ，与x 轴另一个交点为B ，是否存在以Q 为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线，使得以PA ，CQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见试题解析；（2），或．【解析】试题分析：（1）由“恒定”抛物线的定义，即可得出抛物线恒过定点（﹣1，0）；（2）求出抛物线的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在两种情况：①作QM⊥AC于M，则QM=OP=，证明Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出点Q的坐标，设抛物线的解析式为，把点A坐标代入求出a的值即可；②顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为，把点C坐标代入求出a的值即可．试题解析：（1）由“恒定”抛物线，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵抛物线，当x=﹣1时，y=0，∴“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A（﹣1，0）；（2）存在；理由如下：∵“恒定”抛物线，当y=0时，，解得：x=±1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0时，y=，∴顶点P的坐标为（0，），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在两种情况：①如图1所示：作QM⊥AC于M，则QM=OP=，∠QMC=90°=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，∵CQ=PA，QM=OP，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵点A和点C是抛物线上的对称点，∴AM=MC=1，∴点Q的坐标为（﹣2，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点A（﹣1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：，即；②如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，∴点C坐标为（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，∵∠OQC=∠OPA，∠COQ=∠AOP，CQ=PA，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴点Q坐标为（0，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点C（1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：；综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：，或．。
2021中考数学真题分类专题14 二次函数解答压轴题(共32题含解析)
专题14二次函数解答压轴题（共32题）一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上． （1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点．（1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为52x =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值： x … 1- 0 1 2 3 …y 03 4 3 0 … （1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值； （3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：直线1y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 为直线AB 上一动点，连接OC ，AOC ∠为锐角，在OC 上方以OC 为边作正方形OCDE ，连接BE ，设BE t =． （1）如图1，当点C 在线段AB 上时，判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）真接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；（3）若tan AOC k ∠=，经过点A 的抛物线()20y ax bx c a =++>顶点为P ，且有6320a b c ++=，POA 的面积为12k ．当2t =时，求抛物线的解析式．9．（2021·四川资阳市·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．5D N CN '+的值最小时，求MN 的长． 10．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y （元）与购进数量x （千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z （元/千克）与一天销售数量x （千克）的关系为112100z x =-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w （元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）11．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标． 12．（2021·湖北十堰市·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．13．（2021·四川达州市·中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？14．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表： 进货批次 A 型水杯（个） B 型水杯（个） 总费用（元）一100 200 8000 二 200 300 13000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？15．（2021·湖北黄冈市·中考真题）已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ⊥于点D ，当n 为何值时，PDG BNG ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB ∠=______；①当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．16．（2021·湖北黄冈市·中考真题）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x （单位：元/件），月销售量为y （单位：万件）．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a 的值．17．（2021·新疆中考真题）已知抛物线223(0)y ax ax a =-+≠． （1）求抛物线的对称轴；（2）把抛物线沿y 轴向下平移3a 个单位，若抛物线的顶点落在x 轴上，求a 的值；（3）设点()1,P a y ，()22,Q y 在抛物线上，若12y y >，求a 的取值范围．18．（2021·湖南长沙市·中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点()1,A r 与点(),4B s 是关于x 的“T 函数”()()240,0,0,.x x y tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≥≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =______，s =______，t =______（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2y ax bx c =++（0a >，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:l y mx n =+（0m ≠，0n >，且m ，n 是常数）交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，当1x ，2x 满足()11211x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．19．（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2021·陕西中考真题）已知抛物线228y x x =-++与x 轴交于点A 、B （其中A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点B 、C 的坐标；（2）设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似且PC 与PO 是对应边？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，0a ≠）．（1）若该函数的图象经过()1,0和()2,1两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．（2）写出一组a ，b 的值，使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知1a b ==，当,x p q =（p ，q 是实数，p q ≠）时，该函数对应的函数值分别为P ，Q ．若2p q +=，求证6P Q +>．22．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A ，PD ，求PAD △面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线24(0)y ax bx a =+-≠沿射线AD 平移42得到新的抛物线1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 23．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，与y 轴交于C （0，－3），对称轴为直线1x =-，直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ．（1）求抛物线的解析式和m 的值；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与①AOD 相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y ＝1上有M 、N 两点（M 在N 的左侧），且MN ＝2，若将线段MN 在直线y ＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN 的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．24．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点 （1）求证：①ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE +BF 的最大值；①点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．25．（2021·云南中考真题）已知抛物线22y x bxc 经过点()0,2-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线22yx bxc 与x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，97539521601r r r r r m r r +-++-=+-． （1）求b 、c 的值：（2）求证：2242160r r r -+=；（3）以下结论：1,1,1m m m <=>，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．26．（2021·山东泰安市·中考真题）二次函数2()40y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式； （3）请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由． 27．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，抛物线()223(69)y mx m x m =++-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，请直接写出点P 的坐标； （3）Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．28．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ①AB ，垂足为D ，PE ①x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当①PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和①PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．29．（2021·浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几； （2）若该景区仅有,A B 两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示： 购票方式 甲乙丙可游玩景点 ABA 和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；①问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？30．（2021·湖北武汉市·中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品，A 原料的单价是B 原料单价的1.5倍，若用900元收购A 原料会比用900元收购B 原料少100kg ．生产该产品每盒需要A 原料2kg 和B 原料4kg ，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x 元（x 是整数），每天的利润是w 元，求w 关于x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a 元（a 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．31．（2021·四川乐山市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，且经过点30,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若二次函数2y ax bx c =++在13x ≤≤时，y 的最大值为1，求a 的值；（3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段A B ''．若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，求a 的取值范围．32．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △104，求此抛物线的解析式； （3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】 专题14二次函数解答压轴题 试题解析（共32题）一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上．（1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由． 【答案】（1）1x =-；（2）213y y y <<，理由见解析 【分析】（1）由题意易得点()1,3和点()3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当0,0m n <>时和当0,0m n ><时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可． 【详解】解：（1）当3,15m n ==时，则有点()1,3和点()3,15，代入二次函数()20y ax bx a =+>得：39315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ①抛物线解析式为22y x x =+， ①抛物线的对称轴为12bx a=-=-； （2）由题意得：抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，则由0mn <可得：①当0,0m n ><时，由抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0可得此时的抛物线开口向下，即0a <，与0a >矛盾； ①当0,0m n <>时，①抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，①此时抛物线的对称轴的范围为1322x <<，①点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上， ①它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为()3513571,2,4222222x x x <--<<-<<-<， ①0a >，开口向上，①由抛物线的性质可知离对称轴越近越小， ①213y y y <<． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点．（1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1b =-；（2）1；（3）0a <或45a >． 【分析】（1）将点()()2,1,2,3--代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得； （3）分0a <和0a >两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：（1）将点()()2,1,2,3--代入2y ax bx c =++得：421423a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩，两式相减得：44b -=， 解得1b =-；（2）由题意得：0a ≠，由（1）得：2211()24y ax x c a x c a a=-+=-+-， 则此函数的顶点的纵坐标为14c a-， 将点()2,3-代入2y ax x c =-+得：423a c -+=-，解得41a c -=+， 则1141c c a c -=++，下面证明对于任意的两个正数00,x y ，都有00x y +≥2000(0x x y -=+-≥，00x y ∴+≥00x y =时，等号成立）， 当1c >-时，10c +>，则11111111c c c c +=++-≥=++（当且仅当111c c +=+，即0c 时，等号成立）， 即114c a-≥， 故当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由423a c -+=-得：41c a =--，则二次函数的解析式为241(0)y ax x a a =---≠，由题意，分以下两种情况：①如图，当0a <时，则当1x =-时，0y >；当3x =时，0y <，即141093410a a a a +-->⎧⎨---<⎩， 解得0a <；①如图，当0a >时，当1x =-时，14130y a a a =+--=-<，∴当3x =时，93410y a a =--->， 解得45a >， 综上，a 的取值范围为0a <或45a >． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．【答案】（1）1a =；（2）12y y >，见解析；（3【分析】（1）根据对称轴2b x a=-，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出1x =±再表示出1(1)|AB =-，12CD x x =-=3=即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：212x a-=-= 1a（2）抛物线对称轴为直线1x =，且10a =>∴当1x <时，y 随x 的增大而减小，当1x >时，y 随x 的增大而增大．∴当111x -<<时，y 1随x 1的增大而减小，1x =-时，4y =，0x =时，1y =114y ∴<<同理：212x <<时，y 2随x 2的增大而增大1x =时，0y =．2x =时，1y =201y ∴<<12y y ∴>（3）令221x x m -+=22(1)0x x m -+-=2(2)41(1)m ∆=--⋅⋅-4m =1x ∴==11x ∴=21x =|1(1)|AB ∴=-=令23(1)x m -= 2(1)3m x ∴-=113x ∴=+213x =-+ 12CD x x ∴=-=AB CD ∴==∴AB 与CD【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．【答案】（1）24y x =+；（2）26【分析】（1）确定B 点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深 CD ′ 与杯高 OD ′ 之比为0.6，求出OD ′ ，接着利用抛物线解析式求出B '或A '横坐标即可完成求解．【详解】解：（1）设24y ax =+，①杯口直径 AB =4 ，杯高 DO =8 ，①()2,8B将2x =，8y =代入，得1a =，24y x ∴=+．（2）0.6CD OD ''=， 0.64CD CD '∴=+'， 6CD ∴'=，10OD '=，当10y =时，2104x =+，1x =2x =A B ∴''=即杯口直径A B ''的长为【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-+；（3）EM MP PB ++存在最小值，1+，此时点M 的坐标为51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】 （1）由题意易得5AD AB ==，进而可得()4,0A -，则有()10B ,，然后把点B 、D 代入求解即可； （2）设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当BF BE =时，①当EF BE =时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM 、DM ，由题意易得DM =EM ，四边形BOMP 是平行四边形，进而可得OM =BP ，则有1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，则有当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，然后问题可求解．【详解】解：（1）①四边形ABCD 为正方形，()4,5D -，①5AD AB ==，()4,0A -，①4AO =，①OB =1，①()10B ,， 把点B 、D 坐标代入得：164510b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩， ①抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）由（1）可得()10B ,，抛物线解析式为223y x x =+-，则有抛物线的对称轴为直线1x =-， ①点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，①()2,5E ，①由两点距离公式可得()()222120526BE =-+-=，设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当BF BE =时，如图所示：①由两点距离公式可得22BF BE =，即()()2211026a ++-=，解得：a =①点F 的坐标为(-或(1,-；①当EF BE =时，如图所示：①由两点距离公式可得22EF BE =，即()()2221526a ++-=，解得：5a =±①点F 的坐标为(1,5--或(1,5-；综上所述：当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-； （3）由题意可得如图所示：连接OM 、DM ，由（2）可知点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，()10B ,， ①1OB =，DM =EM ，①过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，①1,//PM OB PM OB ==，①四边形BOMP 是平行四边形，①OM =BP ，①1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，①当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，此时OD 与抛物线对称轴的交点为M ，如图所示：①()4,5D -，①OD ==①1DM MO ++1，即EM MP PB ++1+， 设线段OD 的解析式为y kx =，代入点D 的坐标得：54k =-， ①线段OD 的解析式为54y x =-， ①51,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为52x =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）254y x x =-+；（2）四边形OCPQ 是平行四边形，理由见详解；（3）（0，258）或（0，1）或（0，-1） 【分析】（1）设抛物线(1)(4)y a x x =--，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），得到PQ =()224x --+，从而求出线段PQ 长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q 作QM ①y 轴，过点Q 作QN ①y 轴，过点E 作EN ①x 轴，交于点N ，推出MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，从而得MQ NEMD NQ=，进而求出E （5，4），设F （0，y ），分三种情况讨论，即可求解．。
2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习及答案解析
2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习及答案解析一、二次函数1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．已知，点M 为二次函数y ＝﹣（x ﹣b ）2+4b +1图象的顶点，直线y ＝mx +5分别交x 轴正半轴，y 轴于点A ，B ．（1）判断顶点M 是否在直线y ＝4x +1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A ，B ，且mx +5＞﹣（x ﹣b ）2+4b +1，根据图象，写出x 的取值范围．（3）如图2，点A 坐标为（5，0），点M 在△AOB 内，若点C （14，y 1），D （34，y 2）都在二次函数图象上，试比较y 1与y 2的大小．【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【解析】【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，∴M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，∴点M在直线y＝4x+1上；（2）如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴A（5，0）．由图象，得当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）如图2，∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，A（5，0），B（0，5）得直线AB的解析式为y＝﹣x+5，联立EF，AB得方程组415 y xy x=+⎧⎨=-+⎩，解得45215 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点E（45，215），F（0，1）．点M在△AOB内，1＜4b+1＜215，∴0＜b＜45．当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣14＝34﹣b，∴b＝12，且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，综上：①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．4．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB∆为直角三角形；(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t tSt t t⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩.【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标．（2）分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形．（3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：①当0＜t≤32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上， ∴()2011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()214y x =--+， 令0x =，得3y =，∴()0,3C ；令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=； 在Rt CND ∆中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=； 在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.∵222BC CD BD +=，∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，∵()()3,0,0,3B C ，∴303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得1,3k b =-=，∴3y x =-+，直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++； 设直线BD 的解析式为y mx n =+，∵()()3,0,1,4B D ，∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2,6m n =-=， ∴26y x =-+.连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中：(1)当302t <≤时，如答图2所示：设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t =-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t =-⎧⎨=⎩， ∴()3,2F t t -.111222QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时，如答图3所示：设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J . ∵CQ t =，∴KQ t =，3PK PB t ==-.直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.1122PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.5．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得45215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E ，(0,1)F ∵点M 在AOB ∆内，∴405b <<当点,C D 关于抛物线对称轴（直线x b =）对称时，1344b b -=-，∴12b =且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线41y x =+上 综上：①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y <.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.6．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ⎛⎫⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【解析】 【分析】（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF2EH EF==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标 【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4， 得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩解得a ＝43-，b ＝83， ∴抛物线的解析式248433y x x =-++； （2）22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴D 的横坐标为1，由（1）可得C （0，4）， ∵B （3，0）， ∴直线BC ：4y 43x =-+ ∵DA ＝DB ，△DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ， 连接BC ，与对称轴交于点D ，此时CD+BD 最小， ∵AC 为定值，∴此时△DAC 的周长， 当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83， ∴D （1，83）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，∴△ABF ∽△EHF ， ∵AF ：FE ＝2：1，∴AB AF2EH EF ==， ∵AB ＝4， ∴EH ＝2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ， ∴y E ＝y H ，∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2，y ＝163或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4） ∴AB ＝4，OC ＝4，点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4， ∴BN ＝4，∵△PBN 是等腰三角形， ①BP ＝BC 时，若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1， ∴P 1（﹣1，0），若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7， ∴P 2（7，0）；②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴， △NHB ∽△COB ，∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165，BH ＝45BC ＝125， ∴PH ＝BH ＝125， BP ＝245， ∴OP ＝BP ﹣OB ＝249355-=， ∴P 3（﹣95，0）； ③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ， ∴△NOB ∽△PKB ，∴PB BKBN OB= ∴PB ＝83，∴OP ＝OB ﹣PB ＝3﹣83＝13P 4（13，0） 综上，当△PBN 是等腰三角形时，点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D 点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键7．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ). (1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式； (2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34m ≤-， 求a 的取值范围. 【答案】（1）11b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161393a -≤≤- 【解析】 【分析】（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2y ax bx c =++，可得22(1)(1)a m b m c aam bm c b⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得214a m m=+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.【详解】解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b ) 由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得11b c =⎧⎨=⎩ (2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②①－②得，2am b b +=-，∴b am =- 把b am =-代入②，得c am =-(3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=0a <Q ，22141,4am am a m m∴+=∴=+把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-34m Q ≤-，314m ∴-≤≤-224(2)4m m m +=+-Q ，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大2393416m m ∴-≤+≤-216113943m m ∴-≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.8．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”． (1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）． 【解析】分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；（2）根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-，由此可得出结论；（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形， 由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122b b =⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：22y x =-，令y =0，得：x=，∴ S=122⨯=12x x ；（3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）； 当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2122b b =⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0），则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）． ②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）． 综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．9．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =34S △AOC ，得到S △BCD =92，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案. 【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6， ∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=，设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154，当点N 的纵坐标为154时，如点N 2，此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x =-=+ ∴315(114,)4N +-，415(114,)4N --， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，∵115(1,)4N -，D(3，154)，∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.10．在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线y=﹣12x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0）和点B （0，52），顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长；（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）∵y=﹣12（x﹣2）2+92，∴C（2，92），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，92﹣t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（2+t，92﹣t），把P（2+t，92﹣t）代入y=﹣12x2+2x+52得﹣12（2+t）2+2（2+t）+52=92﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4，92），D点坐标为（2，52），∵抛物线平移，使其顶点C（2，92）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E，∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M点坐标为（0，72）；当m＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M点坐标为（0，﹣72）；综上所述，M点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.11．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。
2020-2021中考数学与二次函数有关的压轴题含详细答案
2020-2021中考数学与二次函数有关的压轴题含详细答案一、二次函数1．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3,4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC 于点N．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）2085或20 13．【解析】（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x －1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），∵抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2＋4，代入点C （3, 0），可得a ＝－1．∴y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3．（2）∵P （112t +，４）， 将112x t =+代入抛物线的解析式，y ＝－（x －1）2＋4＝2144t -， ∴M （112t +，2144t -）， 设直线AC 的解析式为，将A （１,４），C （３,０）代入，得：， 将112x t =+代入得， ∴N （112t +，）， ∴MN， ∴， ∴当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1．（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，∵Ｎ（112t +，），P （112t +，４）， ∴P Ｎ＝４—（）＝＝CQ ，又∵PN ∥CQ ， ∴四边形PNCQ 为平行四边形，∴当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形，PQ 2＝PD 2+DQ 2 ＝，∴， 整理，得240800t t -+=．解得12085t =-，22085t =+②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时， NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形，NQ 2＝CQ 2，得：．整理，得213728000t t -+=．()()1320400t t --=．所以12013t =，（舍去）．“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.2．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。
2020-2021中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)及答案解析
2020-2021中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)及答案解析一、二次函数1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.2．如图1，对称轴为直线x =1的抛物线y =12x 2+bx +c ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且点A 坐标为(-1，0).又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，点C 与坐标原点O 关于该对称轴成轴对称. （1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式； （2）当 AE ：EP =1：4 时，求点 E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D 、C′B ，求 C ′B+23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋2 3C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AE AP =AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP =AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3+＝973．∵423'23OMOC==，'23OCOD=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCC D=，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论： ①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m 10，即点C 坐标为：（10，0）或（﹣10，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5222±，即：点C 坐标为（5222+，0）或（5﹣220）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222±，0）或（9710，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125=，故函数的表达式为：y125=x﹣3，设点P坐标为（m，12 5m2485-m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12=•PH•x B52=（125-m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m--+，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752．答：△PAB的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润． 【解析】 【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解； （2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润． 【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k bk b =+⎧⎨=+⎩， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩，即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大， 则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6）， ∵﹣20＜0，故w 有最大值， 当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190， 50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完； 设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ， 由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13， w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6）， 当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.5．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x 元． （1）写出销售量y （件）和获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）y ＝﹣10x+1000；w=﹣10x 2+1300x ﹣30000 （2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【解析】 【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y ＝600﹣10（x ﹣40），再利用w= y•（x ﹣30）即可表示出w 与x 之间的关系式；（2）先将w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x ＝46时有最大值，代入求值即可解题. 【详解】 解：（1）依题意，易得销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系：y ＝600﹣10（x ﹣40）＝﹣10x+1000获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系为：w ＝y•（x ﹣30）＝（1000﹣10x ）（x ﹣30）＝﹣10x 2+1300x ﹣30000（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46 w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000＝﹣10（x ﹣65）2+12250 ∵a ＝﹣10＜0，对称轴x ＝65 ∴当44≤x≤46时，y 随x 的增大而增大 ∴当x ＝46时，w 最大值＝8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.6．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ． （1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y1 3 =x2﹣3；（3）M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．【解析】【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：390ba b=-⎧⎨+=⎩，解得：133ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y13=x2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC ＝45°+15°＝60°， ∴OD ＝OC•tan30°=设DC 为y ＝kx ﹣3，0），可得：k =联立两个方程可得：23133y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：1212036x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（6）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ， 则∠OEC ＝45°-15°＝30°， ∴OE ＝OC •tan60°＝设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（0）可得：k 3=，联立两个方程可得：23133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：1212032x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 2，﹣2）．综上所述M 的坐标为（，6，﹣2）． 【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．7．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩， 解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ，∴PC PB PF PE =． ∴∠FPC=∠EPB ．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP ⊥PE ．（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．∵CF=3BE=18﹣3a ，∴OF=20﹣3a ．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．8．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标；（3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩ 解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴BC=32，点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC ﹣OC=32﹣3∴P 1（0，3+32），P 2（0，3﹣32）；②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，则DN=2t ，∴S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣1）2+1，当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．9．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =②92155n <<. 【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，275），可求DA=2，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，；当PQ 与AB 不平行时，②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DN=245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ；故答案为()2,9；（2）对称轴2x =， 9(2,)5C ∴， 由已知可求5(,0)2A -， 点A 关于2x =对称点为13(,0)2， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， (5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，2DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQ DAB ∆∆:，DAC DPN ∆∆Q :，DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆:，DNQ DCA ∴∆∆:，DP DN DB DC∴=，DP ∴=综上所述DP =②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DN DA DC∴=，245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<； 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．10．已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数)．(1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)523a ≤<． 【解析】【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；(2) 先由二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程26330x x a -++=有两个不相等的实数根，由此可得2a <，再根据二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，也就是说二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，将x=4代入求得a 的取值范围，由此即可求得答案.【详解】(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线2x =；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④当2x <时，y 随x 的增大而减小；⑤当2x =时，函数有最小值；(2)∵二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴243221x x a x -++=-，即26330x x a -++=，364(33)12240a a ∆=-+=-+>，解得2a <，∵二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出二次函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53a ≥， ∴当二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点时， a 的取值范围为523a ≤<． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x 轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.11．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ．（1）求b 、c 的值；（2）如图1，点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE=2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内以点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR①求证：PG=RQ ；②求PA+PC+PG 的最小值，并求出当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标．【答案】（1）b=﹣2，c=3；（2）M （125-，5125）；（3）①证明见解析；②PA+PC+PG的最小值为P 的坐标（﹣919，19）． 【解析】试题分析：（1）把A （﹣3，0），B （0，3）代入抛物线2y x bx c =-++即可解决问题．（2）首先求出A 、C 、D 坐标，根据BE=2ED ，求出点E 坐标，求出直线CE ，利用方程组求交点坐标M ．（3）①欲证明PG=QR ，只要证明△QAR ≌△GAP 即可．②当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ，由sin ∠ACM=AM AC =NQ QC求出AM ，CM ，利用等边三角形性质求出AP 、PM 、PC ，由此即可解决问题．试题解析：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣3，0），B （0，3），∵抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，∴3{930c b c =--+=，解得：2{3b c =-=，∴b=﹣2，c=3． （2），对于抛物线223y x x =--+，令y=0，则2230x x --+=，解得x=﹣3或1，∴点C 坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D 坐标（﹣1，0），∵BE=2ED ，∴点E 坐标（23-，1），设直线CE 为y=kx+b ，把E 、C 代入得到：21{30k b k b -+=+=，解得：35{35k b =-=，∴直线CE 为3355y x =-+，由233{5523y x y x x =-+=--+，解得10x y =⎧⎨=⎩或125{5125x y =-=，∴点M 坐标（125-，5125）． （3）①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP=AR ，AQ=AG ，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP ，在△QAR 和△GAP 中，∵AQ=AG ，∠QAR=∠GAP ，AR=AP ，∴△QAR ≌△GAP ，∴QR=PG ．②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC ，∴当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q 坐标（﹣6，RT △QCN 中，QN=CN=7，∠QNC=90°，∴，∵sin ∠ACM=AM AC =NQ QC ，∴AM=65719，∵△APR 是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR ，cos30°=AM AP ，∴AP=1219，PM=RM=619，∴MC=22AC AM -=1419，∴PC=CM ﹣PM=819，∵PK CP CK QN CQ CN ==，∴CK=2819，PK=123，∴OK=CK ﹣CO=919，∴点P 坐标（﹣919，12319），∴PA+PC+PG 的最小值为219，此时点P 的坐标（﹣919，12319）．考点：二次函数综合题；旋转的性质；最值问题；压轴题．12．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax 2+bx+4过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP =t （0＜t ＜10）．（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE =∠OCD ？ （3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．【答案】（1）B （10，4），C （0，4），215463y x x =-++；（2）3；（3）103或 203. 【解析】试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C 点坐标，由矩形的性质可求得B 点坐标，由B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P （t ，4），则可表示出E 点坐标，从而可表示出PB 、PE 的长，由条件可证得△PBE ∽△OCD ，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则可证得△COQ ∽△QAB ，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt △BCQ 中可求得BQ 、CQ ，则可用t 分别表示出PM 和PN ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值． 试题解析：解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4， ∴C （0，4），∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0）， ∴B （10，4），把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得10010444240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1653a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为y ＝16-x 2＋53x ＋4； （2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-t 2＋53t ＋4）， ∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋53t ， ∵∠BPE ＝∠COD ＝90°， 当∠PBE ＝∠OCD 时， 则△PBE ∽△OCD ，∴PE PBOD OC=，即BP •OD ＝CO •PE ， ∴2（10﹣t ）＝4（16-t 2＋53t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去）， ∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ； 当∠PBE ＝∠CDO 时， 则△PBE ∽△ODC ，∴PE PBOC OD=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-t 2＋53t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去） 综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ， ∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°， ∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°， ∴∠OCQ ＝∠AQB ， ∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ， ∴CO OQAQ AB=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8， ①当m ＝2时，CQ ＝22OC OQ +＝25，BQ ＝22AQ AB +＝45，∴sin ∠BCQ ＝BQ BC ＝25，sin ∠CBQ ＝CQ BC＝5，∴PM ＝PC •sin ∠PCQ ＝25t ，PN ＝PB •sin ∠CBQ ＝5（10﹣t ）， ∴25t ＝5（10﹣t ），解得t ＝103， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝203， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为103或203． 点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE ∽△OCD 是解题的关键，在（3）中利用Rt △COQ ∽Rt △QAB 求得CQ 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．13．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象与x 轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）243y x x =-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t 的值为1或4．【解析】 【分析】（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形； （3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）将()1,0A 、()3,0B 代入23y ax bx =++，得：309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：()224321y x x x Q =-+=--， ∴顶点D 的坐标为()2,1-．当0x =时，2433y x x =-+=，∴点C 的坐标为()0,3． Q 点B 的坐标为()3,0，BC ∴==，BD ==，CD ==22220BC BD CD +==Q ，90CBD ∴∠=︒，BCD ∴∆为直角三角形．（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠， 将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：303k c c +=⎧⎨=⎩，解得：13k c =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2343y x ty x x =-++⎧⎨=-+⎩，解得：1132x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点M的坐标为，点N的坐标为，32)2t ++．Q 点A 的坐标为()1,0，(22223321057122t AM t t t ⎛⎫⎛⎫+-∴=-+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(22223321057122t AN t t t ⎛⎫⎛⎫-++=-+-=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222188MN t =+=+⎝⎭⎝⎭． AMN ∆Q 为直角三角形， ∴分三种情况考虑：①当90MAN ∠=︒时，有222AM AN MN +=，即((22571571188t t t t t t t ++-+++++=+，整理，得：220t t +-=，解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）； ②当90AMN ∠=︒时，有222AM MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t ++-++=++++，整理，得：2280t t --=，解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）； ③当90ANM ∠=︒时，有222AN MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t +++++=++-+，10t ++=．0t >Q ，∴该方程无解（或解均为增解）．∆为直角三角形时，t的值为1或4．综上所述：当AMN【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑．14．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点的直线的表达式为．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；（2）如图①，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于，交抛物线于，作∥轴，交直线于点，四边形为矩形．设矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求为何值时周长最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图① 图②【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；当m=-时，最大值L=9；（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．【解析】试题分析：（1）由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；（2）由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形DEFG的周长L，利用二次函数的性质可求得最大值；（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点．试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3）抛物线y=-x2+bx+c经过A（-3,0 ），B（0,3），所以，,∴，所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,所以，顶点坐标为C（-1,4）．（2）因为D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）．因为E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．由题意可知，AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，∴DE=EF．L=4DE=-4m2-12m．L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．∵a=-4<0,∴二次函数有最大值当m=-时，最大值L=9．（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形．15．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（13），点B（3，﹣3），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点C的坐标．【答案】（1）2235333y x x =-+；（2）t＞4；（3）∠BOC =60°，C （32，3） 【解析】分析：（1）将已知点坐标代入y=ax 2+bx ，求出a 、b 的值即可； （2）利用抛物线增减性可解问题；（3）观察图形，点A ，点B 到直线OC 的距离之和小于等于AB ；同时用点A （1，3），点B （3，﹣3）求出相关角度．详解：（1）把点A （1，3），点B （3，﹣3）分别代入y=ax 2+bx 得3=393a b a b ⎧+⎪⎨-=+⎪⎩，解得2353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=﹣22353x x + （2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=54， 当x ＞54时，y 随x 的增大而减小， ∴当t ＞4时，n ＜m ．（3）如图，设抛物线交x 轴于点F ，分别过点A 、B 作AD ⊥OC 于点D ，BE ⊥OC 于点E∵AC≥AD ，BC≥BE ， ∴AD+BE≤AC+BE=AB ，∴当OC ⊥AB 时，点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大． ∵A（1B （3 ∴∠AOF=60°，∠BOF=30°， ∴∠AOB=90°， ∴∠ABO=30°．当OC ⊥AB 时，∠BOC=60°，点C 坐标为（32 点睛：本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．。
中考数学二次函数压轴题汇编附答案解析
2021 中考数学押题--有关二次函数压轴题汇编含答案（100 道）y=﹣x 2+bx+c 经过点 A ，B ．（1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M （m ，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P ，N ．①点 M 在线段 OA 上运动，若以 B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点 M 的坐标；②点 M 在 x 轴上自由运动，若三个点 M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称 M ，P ，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得 M ，P ，N 三点成为“共谐点”的 m 的值．2．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ：y=ax 2+bx+c 与 x 轴相交于 A ，B 两点，顶点为 D （0，4），AB=4，设点 F （m ，0）是 x 轴的正半轴上一点，将抛物线 C 绕点 F 旋转 180°，得到新的抛物线 C′．（1）求抛物线 C 的函数表达式；（2）若抛物线 C′与抛物线 C 在 y 轴的右侧有两个不同的公共点，求 m 的取值范围．（3）如图 2，P 是第一象限内抛物线 C 上一点，它到两坐标轴的距离相等， 点 P 在抛物线 C′上的对应点 P′，设 M 是 C 上的动点，N 是 C′上的动点， 试探究四边形 PMP′N 能否成为正方形？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由．3．在平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M ，给出如下的定义：若在图形 M 上存在一点 Q ，使得 P 、Q 两点间的距离小于或等于 1，则称 P 为图形 M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为 2 时，①在点 P 1（，0），P 2（，），P 3（，0）中，⊙O 的关联点是 ．②点 P 在直线 y=﹣x 上，若 P 为⊙O 的关联点，求点 P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，直线 y=﹣x+1 与 x 轴、y 轴交于点 A 、B ．若线段 AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心 C 的横坐标的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=﹣x 2+ax+b 交 x 轴于 A （1，0），B （3，0）两点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 BP 与 y 轴相交1 2于点 C ．（1）求抛物线 y=﹣x 2+ax+b 的解析式；（2）当点 P 是线段 BC 的中点时，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，求 sin∠OCB 的值．5．如图，抛物线 y=﹣x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B ，与 y 轴交于点 C ， 点 B 坐标为（6，0），点 C 坐标为（0，6），点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E ，连接 BD ．（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE 时，求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MN∥x 轴与抛物线交于点 N ，点 P 在 x 轴上，点 Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ ，请写出点 Q 的坐标．6．已知抛物线 y=x 2+bx ﹣3（b 是常数）经过点 A （﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P （m ，t ）为抛物线上的一个动点，P 关于原点的对称点为 P'． ①当点 P'落在该抛物线上时，求 m 的值；②当点 P'落在第二象限内，P'A 2 取得最小值时，求 m 的值．7．在同一直角坐标系中，抛物线 C ：y=ax 2﹣2x ﹣3 与抛物线 C ：y=x 2+mx+n 关于 y 轴对称，C 2 与 x 轴交于 A 、B 两点，其中点 A 在点 B 的左侧．（1）求抛物线 C 1，C 2 的函数表达式；（2）求 A 、B 两点的坐标；（3）在抛物线 C 1 上是否存在一点 P ，在抛物线 C 2 上是否存在一点 Q ，使得以AB 为边，且以 A 、B 、P 、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知函数 y=﹣x 2+（m ﹣1）x+m （m 为常数）．（1）该函数的图象与 x 轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1 或 2 （2）求证：不论 m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 y=（x+1）2 的图象上．（3）当﹣2≤m≤3 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．9．已知直线 y=2x+m 与抛物线 y=ax 2+ax+b 有一个公共点 M （1，0），且 a ＜b ． （Ⅰ）求抛物线顶点 Q 的坐标（用含 a 的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为 N ．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段 MN 长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN 面积的最小值．10．在平面直角坐标系中，设二次函数 y 1=（x+a ）（x ﹣a ﹣1），其中 a≠0．（1）若函数 y 1 的图象经过点（1，﹣2），求函数 y 1 的表达式；（2）若一次函数 y 2=ax+b 的图象与 y 1 的图象经过 x 轴上同一点，探究实数 a ，b 满足的关系式；（3）已知点 P （x 0，m ）和 Q （1，n ）在函数 y 1 的图象上，若 m ＜n ，求 x 0 的取值范围．11．定义：如图 1，抛物线 y=ax 2+bx+c （a≠0）与 x 轴交于 A ，B 两点，点 P 在该抛物线上（P 点与 A 、B 两点不重合），如果△ABP 的三边满足 AP 2+BP 2=AB 2， 则称点 P 为抛物线 y=ax 2+bx+c （a≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线 y=﹣x 2+1 的勾股点的坐标．（2）如图 2，已知抛物线 C ：y=ax 2+bx （a≠0）与 x 轴交于 A ，B 两点，点 P （1，）是抛物线 C 的勾股点，求抛物线 C 的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点 Q 在抛物线 C 上，求满足条件 S △ABQ =S △ABP 的 Q 点（异于点 P ）的坐标．12．如图，二次函数 y=x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于 点 C ，OB=OC ．点 D 在函数图象上，CD∥x 轴，且 CD=2，直线 l 是抛物线的对 称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求 b 、c 的值；13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x 2﹣（2）如图①，连接 BE ，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F'恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标； （3）如图②，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M ， 与抛物线交于点 N ．试问：抛物线上是否存在点 Q ，使得△PQN 与△APM 的面积相等，且线段 NQ 的长度最小？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在， 说明理由． x ﹣ 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ，对称轴与 x 轴交于点 D ，点 E （4，n ）在抛物线上．（1）求直线 AE 的解析式；（2）点 P 为直线 CE 下方抛物线上的一点，连接 PC ，PE ．当△PCE 的面积最大时，连接 CD ，CB ，点 K 是线段 CB 的中点，点 M 是 CP 上的一点，点 N 是 CD 上的一点，求 KM+MN+NK 的最小值；（3）点 G 是线段 CE 的中点，将抛物线 y= x 2﹣ x ﹣ 沿 x 轴正方向平 移得到新抛物线 y′，y′经过点 D ，y′的顶点为点 F ．在新抛物线 y′的对称轴上，是否存在点 Q ，使得△FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线 y=ax 2+bx+2 经过点 A （﹣1，0），B （4，0），交 y 轴于点 C ；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D 使 S △ABC =S △ABD ？若存在请直接给出点 D 坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转 45°，与抛物线交于另一点 E ，求 BE 的长．15．如图，直线 y=kx+b （k 、b 为常数）分别与 x 轴、y 轴交于点 A （﹣4，0）、 B （0，3），抛物线 y=﹣x 2+2x+1 与 y 轴交于点 C ．（1）求直线 y=kx+b 的函数解析式；（2）若点 P （x ，y ）是抛物线 y=﹣x 2+2x+1 上的任意一点，设点 P 到直线 AB 的距离为 d ，求 d 关于 x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点 P 的坐标；（3）若点 E 在抛物线 y=﹣x 2+2x+1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB 上移动， 求 CE+EF 的最小值．16．如图，已知二次函数 y=x 2﹣4 的图象与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于点C，⊙C的半径为，P 为⊙C上一动点．（1）点B，C 的坐标分别为B（），C（）；（2）是否存在点 P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E 为PB 的中点，连接OE，则OE 的最大值= ．17．已知点 A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线 y=ax2+bx 上（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，点 F 的坐标为（0，m）（m＞2），直线 AF 交抛物线于另一点 G，过点 G 作x 轴的垂线，垂足为 H．设抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图 2，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于C、D 两点．点 P 从点C 出发，沿射线 CD 方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点 Q 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1 个单位长度．点M 是直线PQ 与抛物线的一个交点，当运动到 t 秒时，QM=2PM，直接写出 t 的值．18．已知直线 y=kx+b 与抛物线 y=ax2（a＞0）相交于 A、B 两点（点A 在点B 的左侧），与 y 轴正半轴相交于点 C，过点 A 作AD⊥x轴，垂足为 D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x 轴，AB=2，求 a 的值；（2）若∠AOB=90°，点 A 的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点 B 的坐标；（3）延长 AD、BO 相交于点 E，求证：DE=CO．19．如图，抛物线 y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x 轴交于 A，B 两点（点B 在点A 左侧），与y 轴交于点 C，点D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 OD、BD、AC、AD，延长 AD 交y 轴于点 E．（1）若△OAC 为等腰直角三角形，求 m 的值；（2）若对任意 m＞0，C、E 两点总关于原点对称，求点 D 的坐标（用含 m 的式子表示）；0 0 0 （3）当点 D 运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点 D 为线段 AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点 P （x ，y ）总有 n+≥﹣4 my 2﹣12y 0﹣50 成立，求实数 n 的最小值．20．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，抛物线 y=﹣x 2+bx+c 经过 A 、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点，①连接 BC 、CD ，设直线 BD 交线段 AC 于点 E ，△CDE 的面积为 S 1，△BCE 的面积为 S 2，求的最大值；②过点 D 作 DF⊥AC，垂足为点 F ，连接 CD ，是否存在点 D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的 2 倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax 2+bx+c 的开口向上，且经过点 A （0，）（1）若此抛物线经过点 B （2，﹣），且与 x 轴相交于点 E ，F ．①填空：b=（用含 a 的代数式表示）；②当 EF 2 的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若 a=，当 0≤x≤1，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 3 时，求 b 的值．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2+bx+1 交 y 轴于点 A ，交 x 轴 正半轴于点 B （4，0），与过 A 点的直线相交于另一点 D （3，），过点 D 作 DC⊥x 轴，垂足为 C ．2 1 （1）求抛物线的表达式；（2）点 P 在线段 OC 上（不与点 O 、C 重合），过 P 作 P N⊥x 轴，交直线 AD 于 M ，交抛物线于点 N ，连接 CM ，求△PCM 面积的最大值；（3）若 P 是 x 轴正半轴上的一动点，设 OP 的长为 t ，是否存在 t ，使以点 M 、C 、D 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 t 的值；若不存在， 请说明理由．23．如图，抛物线 y=ax 2+bx ﹣3 经过点 A （2，﹣3），与 x 轴负半轴交于点 B ，与 y 轴交于点 C ，且 OC=3OB ．（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 在 y 轴上，且∠BDO=∠BAC，求点 D 的坐标；（3）点 M 在抛物线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 A ，B ，M ， N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由．24．已知函数 y=mx 2﹣（2m ﹣5）x+m ﹣2 的图象与 x 轴有两个公共点．（1）求 m 的取值范围，并写出当 m 取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为 C 1．①当 n≤x≤﹣1 时，y 的取值范围是 1≤y≤﹣3n ，求 n 的值； ②函数 C ：y=m （x ﹣h ）2+k 的图象由函数 C 的图象平移得到，其顶点 P 落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数 C 1 的图象顶点为 M ，求点 P 与点 M 距离最大时函数 C 2 的解析式．25．如图，抛物线 y=x 2+ x+c 与 x 轴的负半轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ， 连结 AB ，点 C （6，）在抛物线上，直线 AC 与 y 轴交于点 D ．（1）求 c 的值及直线 AC 的函数表达式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上，点 Q 在 y 轴正半轴上，连结 PQ 与直线 AC 交于点 M ，连结 MO 并延长交 AB 于点 N ，若 M 为 PQ 的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点 M 的横坐标为 m ，求 AN 的长（用含 m 的代数式表示）．26．如图，过抛物线 y=x 2﹣2x 上一点 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 B ，交 y 轴于点 C ，已知点 A 的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点 B 的坐标；（2）在 AB 上任取一点 P ，连结 OP ，作点 C 关于直线 OP 的对称点 D ；①连结 BD，求 BD 的最小值；②当点 D 落在抛物线的对称轴上，且在 x 轴上方时，求直线 PD 的函数表达式．27．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1 与抛物线交于B，D 两点，以BD 为直径作圆，圆心为点 C，圆 C 与直线 m 交于对称轴右侧的点 M（t，1），直线 m 上每一点的纵坐标都等于 1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆 C 与 x 轴相切；（3）过点 B 作BE⊥m，垂足为 E，再过点 D 作DF⊥m，垂足为 F，求BE：MF 的值．28．平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 的横坐标分别为 a、a+2，二次函数 y= ﹣x2+（m﹣2）x+2m 的图象经过点 A、B，且a、m 满足2a﹣m=d（d 为常数）．（1）若一次函数 y=kx+b 的图象经过 A、B 两点．1①当 a=1、d=﹣1 时，求 k 的值；②若 y随 x 的增大而减小，求 d 的取值范围；1（2）当 d=﹣4 且a≠﹣2、a≠﹣4 时，判断直线 AB 与x 轴的位置关系，并说明理由；（3）点 A、B 的位置随着 a 的变化而变化，设点 A、B 运动的路线与 y 轴分别相交于点 C、D，线段 CD 的长度会发生变化吗？如果不变，求出 CD 的长；如果变化，请说明理由．29．如图，抛物线y=﹣x2+ x+3 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），与 y 轴交于点 C，连接 AC、BC．点 P 沿AC 以每秒 1 个单位长度的速度由点 A 向点 C 运动，同时，点 Q 沿 BO 以每秒 2 个单位长度的速度由点 B向点 O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接 PQ．过点Q 作QD⊥x轴，与抛物线交于点 D，与 BC 交于点 E，连接 PD，与 BC 交于点F．设点 P 的运动时间为 t 秒（t＞0）．（1）求直线 BC 的函数表达式；（2）①直接写出 P，D 两点的坐标（用含 t 的代数式表示，结果需化简）②在点 P、Q 运动的过程中，当 PQ=PD 时，求 t 的值；（3）试探究在点 P，Q 运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点 F 为 PD 的中点？若存在，请直接写出此时 t 的值与点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2﹣2x﹣3 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），将该抛物线位于 x 轴上方曲线记作 M，将该抛物线位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折，翻折后所得曲线记作 N，曲线 N 交y 轴于点C，连接 AC、BC．（1）求曲线 N 所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC 外接圆的半径；（3）点 P 为曲线 M 或曲线 N 上的一动点，点 Q 为x 轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 Q 的坐标．31．如图，是将抛物线 y=﹣x2 平移后得到的抛物线，其对称轴为 x=1，与 x 轴的一个交点为 A（﹣1，0），另一个交点为 B，与y 轴的交点为 C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 N 为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点 N 的坐标；（3）点P 是抛物线上一点，点Q 是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ 为平行四边形，这样的点 P、Q 是否存在？若存在，分别求出点 P、Q 的坐标；若不存在，说明理由．32．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点 A（3，0），B（4，1），且与 y 轴交于点 C，连接 AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC 的形状；若△ABC 的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心 M 的坐标；（3）若将抛物线沿射线 BA 方向平移，平移后点 A、B、C 的对应点分别记为点 A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．33．抛物线 y=4x 2﹣2ax+b 与 x 轴相交于 A （x 1，0），B （x 2，0）（0＜x 1＜x 2）两点，与 y 轴交于点 C ．（1）设 AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点 D 为直线 BC 下方抛物线上一动点，当△BCD 的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）是否存在整数 a ，b 使得 1＜x 1＜2 和 1＜x 2＜2 同时成立，请证明你的结论．34．如图，已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过 A （﹣1，0）、B （4， 0）、C （0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点 D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CA O （O 是坐标原点）， 求点 D 的坐标；（3）点 P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接 PA 分别交 BC 、 y 轴于点 E 、F ，若△PEB、△CEF 的面积分别为 S 1、S 2，求 S 1﹣S 2 的最大值．35．如图 1，抛物线 y=ax 2+bx+c 经过平行四边形 ABCD 的顶点 A （0，3）、B （﹣1，0）、D （2，3），抛物线与 x 轴的另一交点为 E ．经过点 E 的直线 l 将平行四边形 ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点 F ．点 P 为直线 l 上方抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 t ．（1）求抛物线的解析式；（2）当 t 何值时，△PFE 的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点 P 使△PAE 为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在， 说明理由．36．如图，某日的钱塘江观潮信息如图：按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离 s （千米）与时间 t （分钟）的函数关系用图 3 表示，其中：“11：40 时甲地‘交叉潮’ 的潮头离乙地 12 千米”记为点 A （0，12），点 B 坐标为（m ，0），曲线 BC 可 用二次函数 s=t 2+bt+c （b ，c 是常数）刻画．（1）求 m 的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11：59 时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以 0.48 千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为 0.48 千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头 1.8 千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+（t﹣30），v是加速前的速度）．37．如图 1，抛物线 y=ax2+bx+2 与x 轴交于 A，B 两点，与y 轴交于点 C，AB=4，矩形 OBDC 的边CD=1，延长 DC 交抛物线于点 E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图 2，点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 EO 于点 G，作PH⊥EO，垂足为 H．设 PH 的长为 l，点 P 的横坐标为 m，求 l 与 m 的函数关系式（不必写出 m 的取值范围），并求出 l 的最大值；（3）如果点 N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 M，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与直线 AB 交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6 交y 轴于点C．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF⊥x轴交AC 于点 F，交抛物线于点 G．（1）求抛物线 y=﹣x2+bx+c 的表达式；（2）连接 GB，EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标；（3）①在 y 轴上存在一点 H，连接 EH，HF，当点 E 运动到什么位置时，以 A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E，H 的坐标；②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为⊙E上一动点，求AM+CM 它的最小值．39．抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3 相交于C、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方，直线PM∥y轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M、N．①连结 PC、PD，如图 1，在点 P 运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结 PB，过点 C 作CQ⊥PM，垂足为点 Q，如图 2，是否存在点 P，使得△CNQ 与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由．40．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x 轴的另一个交点为A，则a= ．【操作】将图①中抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴折叠到 x 轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为 G，如图②．直接写出图象 G 对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点 B（0，1）作直线 l 平行于 x 轴，与图象 G 的交点从左至右依次为点 C，D，E，F，如图③．求图象 G 在直线 l 上方的部分对应的函数 y 随x 增大而增大时 x 的取值范围．【应用】P 是图③中图象 G 上一点，其横坐标为 m，连接 PD，PE．直接写出△PDE 的面积不小于 1 时 m 的取值范围．1．如图1，经过原点O 的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x 轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线 y=x 交于点 B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点 C，满足以 B，O，C 为顶点的三角形的面积为 2，求点 C 的坐标；（3）如图 2，若点 M 在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点 P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c 的图象与坐标轴交于 A，B，C 三点，其中点 A 的坐标为（﹣3，0），点 B 的坐标为（4，0），连接 AC，BC．动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒．连接 PQ．（1）填空：b= ，c= ；（2）在点 P，Q 运动过程中，△APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 M，使△PQM是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 t；若不存在，请说明理由；1 1 1 （4）如图②，点 N 的坐标为（﹣，0），线段 PQ 的中点为 H ，连接 NH ，当 点 Q 关于直线 NH 的对称点 Q ′恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点 Q′的坐标．3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量 x 的一个值，当 x ＜0 时，它们对应的函数值互为相反数；当 x≥0 时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数 y=x ﹣1，它的相关函数为（1）已知点 A （﹣5，8）在一次函数 y=ax ﹣3 的相关函数的图象上，求 a 的值；（2）已知二次函数 y=﹣x 2+4x ﹣．①当点 B （m ，）在这个函数的相关函 数的图象上时，求 m 的值；②当﹣3≤x≤3 时，求函数 y=﹣x 2+4x ﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点 M ，N 的坐标分别为（﹣，1），（，1），连 结 MN ．直接写出线段 MN 与二次函数 y=﹣x 2+4x+n 的相关函数的图象有两个公共点时 n 的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A ，B 两点的坐标分别为（﹣4，0）， （4，0），C （m ，0）是线段 A B 上一点（与 A ，B 点不重合），抛物线 L ：y=ax 2+b x+c （a ＜0）经过点 A ，C ，顶点为 D ，抛物线 L ：y=ax 2+b x+c （a ＜0）经过点 C ，2 2 2 B ，顶点为 E ，AD ，BE 的延长线相交于点 F ．（1）若 a=﹣ ，m=﹣1，求抛物线 L 1，L 2 的解析式；（2）若 a=﹣1，AF⊥BF，求 m 的值；（3）是否存在这样的实数 a （a ＜0），无论 m 取何值，直线 AF 与 BF 都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 a 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线 y=ax 2﹣2ax ﹣9a 与坐标轴交于 A ，B ，C 三点，其中 C （0，3），∠BAC 的平分线 AE 交 y 轴于点 D ，交 BC 于点 E ，过点 D 的直线 l 与射线 AC ，AB 分别交于点 M ，N ．（1）直接写出 a 的值、点 A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点 P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点 P 的坐标；（3）证明：当直线 l 绕点 D 旋转时，+均为定值，并求出该定值．6．如图 1，矩形 OABC 的顶点 A ，C 的坐标分别为（4，0），（0，6），直线 AD 交 B C 于点 D ，tan∠OAD=2，抛物线 M ：y=ax 2+bx （a≠0）过 A ，D 两点．的表达式；（1）求点 D 的坐标和抛物线 M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件（2）点 P 是抛物线 M1的点 P 的坐标；的图象向下平移 m（m＞0）（3）如图 2，点 E（0，4），连接 AE，将抛物线 M1．个单位得到抛物线 M2①设点 D 平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线 AE 上时，求m 的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线 M与直线 AE 有两个交点，求 m 的取值范2围．7．如图，已知抛物线 y=ax2+2x+c 与y 轴交于点 A（0，6），与 x 轴交于点 B （6，0），点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点 P 移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点 P 的坐标；（3）当点 P 从 A 点出发沿线段 AB 上方的抛物线向终点 B 移动，在移动中，点 P 的横坐标以每秒 1 个单位长度的速度变动；与此同时点 M 以每秒 1 个单位长度的速度沿 AO 向终点 O 移动，点 P，M 移动到各自终点时停止．当两个动点移动 t 秒时，求四边形 PAMB 的面积 S 关于 t 的函数表达式，并求 t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？8．如图，直线y=﹣x+ 分别与x 轴、y 轴交于B、C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B 两点．（1）求 A、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 M 作MH⊥BC于点 H，作 MD ∥y 轴交 BC 于点 D，求△DMH 周长的最大值．9．如图，抛物线 y=ax2+bx﹣2 的对称轴是直线 x=1，与 x 轴交于 A，B 两点，与y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（﹣2，0），点 P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD⊥x轴于点 D，交直线 BC 于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点 P 在第一象限内，当 OD=4PE 时，求四边形 POBE 的面积；（3）在（2）的条件下，若点 M 为直线 BC 上一点，点 N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．理由． 【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】10．如图，抛物线 y=﹣x 2+bx+c 与 x 轴分别交于 A （﹣1，0），B （5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点 C ，作 CD 垂直 X 轴于点 D ，链接 AC ，且 AD=5，CD=8， 将 Rt△ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值；（3）在（2）的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上记为点 E ，点 P 是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点 Q ，使以点 B 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点 Q 的坐标；若不存在，请说明 11．如图，已知抛物线 y=ax 2+bx+c 过点 A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3），点 M 、N 为抛物线上的动点，过点 M 作 MD∥y 轴，交直线 BC 于点 D ，交 x 轴于点 E ．（1）求二次函数 y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点 N 作 NF⊥x 轴，垂足为点 F ，若四边形 MNFE 为正方形（此处限定点 M 在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN=90°，MD=MN ，求点 M 的横坐标．12．如图 1，已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的图象过 点 O （0，0）和点 A （4，0），函数图象最低点 M 的纵坐标为﹣，直线 l 的解析式为 y=x ． （1）求二次函数的解析式；（2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l′，l′与线段 OA 相交于点 B ，与 x 轴下方的抛物线相交于点 C ，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E ，把△BCE 沿直线 l′ 折叠，当点 E 恰好落在抛物线上点 E′时（图 2），求直线 l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与 y 轴交于点 N ，把△BON 绕点 O 逆时针旋转 135° 得到△B′ON′，P 为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点 P 的坐标．13．如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上，点 A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4 过点 B，C 两点，且与 x 轴的一个交点为 D（﹣2，0），点 P 是线段CB 上的动点，设 CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出 B、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点 P 作PE⊥BC，交抛物线于点 E，连接 BE，当 t 为何值时，∠PBE= ∠OCD？（3）点Q 是x 轴上的动点，过点 P 作PM∥BQ，交 CQ 于点M，作PN∥CQ，交BQ 于点 N，当四边形 PMQN 为正方形时，请求出 t 的值．14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点 O，且与 x 轴，y 轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P 三点，P 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D．（1）求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；=8S （3）设抛物线交 x 轴于A，B 两点，在抛物线上是否存在点 Q，使得S四边形OPMN，且△QAB∽△OBN 成立？若存在，请求出 Q 点的坐标；若不存在，请说△QAB明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 y 轴交与点C（0，3），与 x 轴交于 A、B 两点，点 B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为 x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 从A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 N 从B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为 S，点 M 运动时间为 t，试求 S 与t 的函数关系，并求 S 的最大值；（3）在点 M 运动过程中，是否存在某一时刻 t，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由．。
二次函数动点问题压轴题专题汇编（含答案）
二次函数动点问题压轴题专题汇编（含答案）二次函数的动态问题（动点）1.如图①，正方形ABCD 的顶点 A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求正方形ABCD 的边长．（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．（4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =∠的点P 有个．[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．()()01084A B ，，，，86FB FA ∴==，．10AB ∴=．（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒．又1010101AB =÷=，．P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．图①图②（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．GA AP FA AB ∴=，即610GA t=．35GA t ∴=．3105OG t ∴=-．4OQ t =+，()113410225S OQ OG t t ?∴==+- ??．即231920105S t t =-++． 19195323210b a -=-=-，且190103≤≤，∴当193t =时，S 有最大值．此时4763311051555GP t OG t ===-=，，∴点P 的坐标为7631155??，．（8分）方法二：当5t =时，1637922OG OQ S OG OQ ====，，．设所求函数关系式为220S at bt =++．抛物线过点()63102852?，，，，1001020286325520.2a b a b ++=??∴?++=??，31019.5a b ?=-??∴??=??，231920105S t t ∴=-++． 19195323210b a -=-=-，且190103≤≤，∴当193t =时，S 有最大值．此时7631155GP OG ==，，∴点P 的坐标为7631155??，．（4）2．[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
中考数学压轴题专项训练二次函数含解析
2021年中考数学压轴题专项训练《二次函数》1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），点B(3,0），与y轴交于点C．（1）求a，b的值；（2）若点P为直线BC上一点，点P到A,B两点的距离相等,将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标．解:（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A(﹣1，0），点B（3，0），∴，解得；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1)2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，C（3，0），∵点P到A，B两点的距离相等，∴点P在抛物线的对称轴x＝1上,∵B（3，0），C（0,3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，令x＝1,则y＝﹣1+3＝2，∴P（1，2），设平移后的新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+4，∵新抛物线经过点P，∴2＝﹣（1﹣h)2+4，解得h1＝1+，h2＝1﹣，∴新抛物线的顶点坐标为（1+，4）或（1﹣,4）．2．如图a,已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、C（0，2），与x轴的另一个交点为B．（1）求出抛物线的解析式．（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形B C′AC的形状．并证明你的结论．（3）如图a，在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在请说明理由．解：(1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得:b＝1，c＝2，故：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2;(2)四边形BC′AC为矩形．抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴的另一个交点为:（﹣1，0)由勾股定理求得：BC＝，AC＝2,又AB＝5，由勾股定理的逆定理可得:△ABC直角三角形，故∠BCA＝90°；已知，△ABC绕AB的中点M旋转180o得到△BAC′，则A、B互为对应点，由旋转的性质可得：BC＝AC'，AC＝BC’所以，四边形BC′AC为平行四边形，已证∠BCA＝90°,∴四边形BC′AC为矩形；(3）存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等，则点D与点C关于函数对称轴对称，故：点D的坐标为（3,2）．3．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．（1）求m的值；（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q 的坐标；（3)对于(2）中的Q点,在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设对称轴交x轴于点E，交对称轴于点D，函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式并解得:m＝﹣3,故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）tan∠ABQ＝3，点B（3,0），则AQ所在的直线为：y＝±3x（x﹣3）…②,联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2,故点Q（﹣4,21）或（2，﹣3)；（3）不存在，理由：△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°①当点Q（2，﹣3）时，则BQ的表达式为：y＝﹣（x﹣3）…③，联立①③并解得:x＝3（舍去)或﹣,故点P（﹣，），此时BP：PQ≠OA：OB,故点P不存在；②当点Q（﹣4，21）时，同理可得：点P(﹣，），此时BP：PQ≠OA:OB，故点P不存在；综上，点P不存在．4．如图,已知二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧)，交y轴于点C．一次函数y＝﹣x+b 的图象经过点A,与y轴交于点D(0,﹣3）,与这个二次函数的图象的另一个交点为E，且AD：DE＝3：2．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点M为x轴上一点，求MD+MA的最小值．解:（1)把D（0，﹣3）代入y＝﹣x+b得b＝﹣3，∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣3，当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，则A（﹣6,0），作EF⊥x轴于F，如图,∵OD∥EF,∴＝＝，∴OF＝OA＝4，∴E点的横坐标为4,当x＝4时，y＝﹣x﹣3＝﹣5，∴E点坐标为（4，﹣5），把A（﹣6,0），E（4，﹣5）代入y＝ax2+4ax+c得，解得,∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+;（2)作MH⊥AD于H，作D点关于x轴的对称点D′，如图,则D′(0，3）,在Rt△OAD中,AD＝＝3，∵∠MAH＝∠DAO，∴Rt△AMH∽Rt△ADO，∴＝，即＝，∴MH＝AM，∵MD＝MD′,∴MD+MA＝MD′+MH,当点M、H、D′共线时，MD+MA＝MD′+MH＝D′H，此时MD+MA的值最小,∵∠D′DH＝∠ADO，∴Rt△DHD′∽Rt△DOA，∴＝,即＝,解得D′H＝，∴MD+MA的最小值为．5．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B（1,0）两点，与y轴交于点C（0，3)．（1）求抛物线的解析式;（2）如图2,直线AD：y＝x+1与y轴交于点D，P点是x轴上一个动点，过点P作PG∥y轴，与抛物线交于点G，与直线AD交于点H，当点C、D、H、G四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时P点坐标．（3）如图3，连接AC和BC,Q点是抛物线上一个动点,连接AQ,当∠QAC＝∠BCO时，求Q点的坐标．解：（1)抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a(x2+2x﹣3)，故﹣3a＝3,解得:a＝﹣1，故抛物线的表达式为:y＝﹣x2﹣2x+3…①;（2）直线AD:y＝x+1与y轴交于点D,则点D(0,1)，则CD＝2；设点P（x,0）,则点H(x,x+1)、点G（x，﹣x2﹣2x+3），则GH＝CD＝2，即｜x+1﹣（﹣x2﹣2x+3）|＝2，解得:x＝﹣或，故点P（﹣,0）或(,0）或（，0）；（3）设直线AQ′交y轴于点H，过点H作HM⊥AC交于点M，交AQ于点H′,设：MH＝x＝MC，∠QAC＝∠BCO，则tan∠CAH＝,则AM＝3x，故AC＝AM+CM＝4x＝3，解得:x＝，则CH＝x＝，OH＝OC﹣CH＝,故点H（0,）,同理点H′（﹣，3）,由点AH坐标得，直线AH的表达式为：y＝（x+3）…②，同理直线AH′的表达式为：y＝2（x+3）…③,联立①②并解得：x＝﹣3(舍去）或；联立①③并解得：x＝﹣3(舍去）或﹣1；故点Q的坐标为:（，）或（﹣1，4）．6．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y 轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．（1)直接写出：b的值为﹣；c的值为﹣2；点A的坐标为(﹣1，0）；（2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．①如图1，过点D作DM⊥BC于点M,求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值;②若△CDM为等腰直角三角形,直接写出点M的坐标1．解：(1)直线y＝x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C，则点B、C的坐标为：（4，0）、（0，﹣2），将点B、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣，c＝﹣2，故抛物线的表达式为:y＝x2﹣x﹣2…①，点A（﹣1，0)；故答案为：﹣，﹣2,（﹣1，0)；（2）①如图1,过点D作y轴的平行线交BC于点H，设点D（m，m2﹣m﹣2）,点H（m,m﹣2），则∠MDH＝∠OBC＝α，tan∠OBC＝＝tanα,则cos；MD＝DH cos∠MDH＝（m﹣2﹣m2+m+2)＝（﹣m2+4m）,∵＜0，故DM有最大值；设点M、D的坐标分别为：(s，s﹣2），(m,n)，n＝m2﹣m ﹣2;②（Ⅰ）当∠CDM＝90°时，如图2左图，过点M作x轴的平行线交过点D于x轴的垂线于点F，交y 轴于点E，则△MEC≌△DFM（AAS)，∴ME＝FD,MF＝CE，即s﹣2＝2＝m﹣s，s＝s﹣2﹣n，解得：s＝，故点M（，﹣)；（Ⅱ）当∠MDC＝90°时，如图2右图，同理可得:s＝，故点M（,﹣）；（Ⅲ）当∠MCD＝90°时，则直线CD的表达式为：y＝﹣2x﹣2…②，联立①②并解得：x＝0或﹣1，故点D（﹣1，0）,不在线段BC的下方，舍去；综上，点M坐标为：（，﹣）或（，﹣)．7．如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．(1）求线段OC的长度；（2)设直线BC与y轴交于点D，点C是BD的中点时，求直线BD和抛物线的解析式，（3)在（2）的条件下,点P是直线BC下方抛物线上的一点，过P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BD于点F，是否存在一点P,使得PE+PF最大,若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．解:（1）a（x﹣1）（x﹣3）＝0，x1＝1，x2＝3，则点A的坐标为（1，0)，点B的坐标为(3，0)，∴OA＝1,OB＝3，∵△OCA∽△OBC，∴＝,即＝，解得，OC＝;（2)在Rt△BOD中，点C是BD的中点，∴BD＝2OC＝2，由勾股定理得，OD＝＝＝，∴点D的坐标为（0，﹣）设直线BD的解析式为：y＝kx+b，则，解得，，则直线BD的解析式为：y＝x﹣，∵点B的坐标为（3，0），点D的坐标为(0，﹣），点C是BD的中点，∴点C的坐标为（,﹣),∴﹣＝a(﹣1）（﹣3）,解得，a＝，∴抛物线的解析式:y＝（x﹣1）(x﹣3),即y＝x2﹣x+2；（3）作PG⊥OB交BD于G，tan∠OBD＝＝，∴∠OBD＝30°，∵PF∥AB，∴∠PFG＝∠OBD＝30°，∴PF＝PG，∵PE⊥BC，PF⊥PG，∴∠EPG＝∠PFG＝30°,∴PE＝PG,∴PE+PF＝PG+PG＝PG，设点P的坐标为（m,m2﹣m+2），点G的坐标为（m，m﹣），∴PG＝m﹣﹣（m2﹣m+2）＝﹣m2+3m﹣3∴PE+PF＝PG＝﹣3m2+m﹣＝﹣3（m﹣)2+，则PE+PF的最大值为．8．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）,B(3，0），与y 轴负半轴交于点C,且OC＝OB．(1）求抛物线的解析式；（2）在y轴负半轴上存在一点D，使∠CBD＝∠ADC，求点D 的坐标；(3)点D关于直线BC的对称点为D′，将抛物线y＝ax2+bx+c 向下平移h个单位，与线段DD′只有一个交点，直接写出h 的取值范围．解:（1）OC＝OB,则点C（0，﹣3），抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6)，﹣6a＝﹣3，解得:a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3;(2）设：CD＝m，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H,则CH＝HD＝m，tan∠ADC＝＝tan∠DBC＝＝，解得：m＝3或﹣4(舍去﹣4)，故点D（0，﹣6）；（3)过点C作x轴的平行线交DH的延长线于点D′，则D′（﹣3，﹣3）；平移后抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3﹣h,当平移后的抛物线过点C时,抛物线与线段DD′有一个公共点，此时，h＝3;当平移后的抛物线过点D′时，抛物线与线段DD′有一个公共点，即﹣3＝9﹣h，解得：h＝15，故3≤h≤15．9．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的对称轴为直线l,将直线l绕着点P(0，2）顺时针旋转∠α的度数后与该抛物线交于AB两点（点A在点B的左侧），点Q是该抛物线上一点（1）若∠α＝45°，求直线AB的函数表达式；（2)若点p将线段分成2:3的两部分,求点A的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q在y轴左侧，过点p作直线l∥x轴,点M是直线l上一点，且位于y轴左侧，当以P,B,Q为顶点的三角形与△PAM相似时，求M的坐标．解：（1）∵∠α＝45°,则直线的表达式为：y＝x+b,将（0，2)代入上式并解得：b＝2,故直线AB的表达式为：y＝x+2；(2)①AP:PB＝2：3，设A（﹣2a,4a2）B（3a,9a2)，，解得：，（舍去),∴；②AP：PB＝3:2,设A（﹣3a，9a2），B（2a，4a2），，解得:,（舍去)，∴，综上或；(3）∠MPA＝45°,∠QPB≠45°A（﹣1,1），B（2，4），①∠QBP＝45°时，此时B,Q关于y轴对称，△PBQ为等腰直角三角形，∴M1（﹣1，2）M2（﹣2，2)，②∠BQP＝45°时，此时Q(﹣2，4)满足，左侧还有Q'也满足，∵BQP＝∠BQ'P，∴Q’,B，P，Q四点共圆，则圆心为BQ中点D(0，4）;设Q'（x，x2)，（x＜0），Q'D＝BD,∴（x﹣0）2+（x2﹣4)2＝22(x2﹣4）(x2﹣3）＝0,∵x＜0且不与Q重合，∴,∴,Q'P＝2,∵Q'P＝DQ'＝DP＝2，∴△DPQ'为正三角形，则,过P作PE⊥BQ'，则,,∴，当△Q’BP～△PMA时，，，则，故点；当△Q’PB~△PMA时，，，则，故点；综上点M的坐标：（﹣1，2），（﹣2，2),，．10．如图，Rt△FHG中，∠H＝90°,FH∥x轴，＝0。
2021年中考数学 压轴大题训练：函数中的动点问题 (含答案)
2021中考数学压轴大题训练：函数中的动点问题一、解答题（本大题共20道小题）1. 如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c(a≠0)经过点A(0，3)，B(－1，0)．请回答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1 图23. 如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A坐标为(4，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；(3)已知D是OA的中点，点P在第一象限的抛物线上，过点P作x轴的平行线，交直线AC于点F，连接OF，DF.当OF＝DF时，求点P的坐标．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝34x＋m与x轴、y轴分别交于点A、点B(0，－1)，抛物线y＝12x2＋bx＋c经过点B，交直线AB于点C(4，n)．(1)分别求m、n的值；(2)求抛物线的解析式；(3)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0＜t＜4)，DE∥y轴交直线AB于点E，点F在直线AB上，且四边形DFEG为矩形(如图)，若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式和p的最大值．5. 如图，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x＝2.(1)求该抛物线的解析式；(2)连接PB、PC，求△PBC的面积；(3)连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6. 如图，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．7. 如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？8. 如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =． （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？9. 如图，直线y ＝2x ＋6与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于点A (m ，8)，与x 轴交于点B ，平行于x 轴的直线y ＝n (0＜n ＜6)交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM .(1)求m 的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出当x ＞0时不等式2x ＋6－kx ＞0的解集；(3)直线y ＝n 沿y 轴方向平移，当n 为何值时，△BMN 的面积最大？最大值是多少？10. 如图①，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，∠DBC＝90°，现将△AEF 沿BD 的方向匀速平移，速度为2cm/s ，同时，点G 从点D 出发，沿DC 的方向匀速移动，速度为2cm/s.当△AEF 停止移动时，点G 也停止运动，连接AD ，AG ，EG ，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，如图②所示，设△AEF 的移动时间为t (s)(0＜t ＜4)． (1)当t ＝1时，求EH 的长度； (2)若EG ⊥AG ，求证：EG 2＝AE ·HG ； (3)设△AGD 的面积为y (cm 2)，当t 为何值时，y 可取得最大值，并求y 的最大值．11. 如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，0)、B(3，0)、C(0，－3)，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A、B、C三点．(1)求直线AC的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)若抛物线的顶点为D，在直线AC上是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．12. 把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放(点C与点E重合)，点B、C(E)、F在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10 cm.如图②，△DEF从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC 匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(s)．(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；(2)连接PE，设四边形APEQ的面积为y(cm2)，试求出y的最大值；(3)当t为何值时，△APQ是等腰三角形．13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－14x2＋bx＋c经过点A(－2，0)，B(8，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点C是抛物线与y轴的交点，连接BC、AC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D.①是否存在点P，使线段PD的长度最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．14. 如图，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D 的坐标．,15. 如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB 沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合），△AOB 在平移的过程中与△COD 重叠部分的面积记为S ．试探究S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．16. 如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．17. 在直角梯形OABC 中，CB //OA ，∠COA ＝90°，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2EB ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．19. 如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1tanA=时，求AP的长；2（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4tanA=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时3与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．图1 图2 图320. 如图，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x = 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．2021中考数学 压轴大题训练：函数中的动点问题 -答案一、解答题（本大题共20道小题）1. 【答案】(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A (0，3)，B (－1，0)， ∴⎩⎨⎧c ＝3a ＋2×（－1）＋c ＝0解得⎩⎨⎧a ＝－1c ＝3∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，B (－1，0)， ∴点D 的坐标是(1，4)，点E 的坐标是(1，0)， ∴DE ＝4，BE ＝2，∴BD ＝DE 2＋BE 2＝42＋22＝25，即BD 的长是25；(3)假设在抛物线的对称轴上存在点M ，使得△MBC 的面积是4， 设点M 的坐标为(1，m )， ∵B (－1，0)，E (1，0)， ∴点C 的坐标为(3，0)， ∴BC ＝4，∵△MBC 的面积是4，∴S △MBC ＝BC ×|m |2＝4×|m |2＝4， 解得m ＝±2，即点M 的坐标为(1，2)或(1，－2)．2. 【答案】（1）QB ＝8－2t ，PD ＝43t ．（2）如图3，作∠ABC 的平分线交CA 于P ，过点P 作PQ //AB 交BC 于Q ，那么四边形PDBQ 是菱形．图3过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，那么BE ＝BC ＝8．在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10． 在Rt △APE 中，23cos 5AE A APt===，所以103t =．当PQ //AB 时，CQ CP CBCA=，即106386CQ -=．解得329CQ =．所以点Q 的运动速度为3210169315÷=．（3）以C 为原点建立直角坐标系．如图4，当t ＝0时，PQ 的中点就是AC 的中点E (3，0)． 如图5，当t ＝4时，PQ 的中点就是PB 的中点F (1，4)． 直线EF 的解析式是y ＝－2x ＋6．如图6，PQ 的中点M 的坐标可以表示为（62t -，t ）．经验证，点M （62t -，t ）在直线EF 上．所以PQ 的中点M 的运动路径长就是线段EF 的长，EF ＝5图4 图5 图6 考点伸展第（3）题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当t ＝2时，PQ 的中点为(2，2)．设点M 的运动路径的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，代入E (3，0)、F (1，4)和(2，2)，得930,4,42 2.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得a ＝0，b ＝－2，c ＝6． 所以点M 的运动路径的解析式为y ＝－2x ＋6．3. 【答案】(1)∵抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 经过点A (4，0)，C (0，4)，∴,40816⎩⎨⎧==+-c c a a 解得,421⎪⎩⎪⎨⎧=-=c a∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)∵y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92∴N (1，92)，如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′，解图①则C ′(0，－4)，连接C ′N 交x 轴于点K ，则K 点即为使CK ＋KN 最小的K 点位置．设直线C ′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点C ′(0，－4)，N (1，92)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4k ＋b ＝92，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝172b ＝－4， ∴直线C ′N 的解析式为y ＝172x －4，令y ＝0，即172x －4＝0，解得x ＝817，∴点K 的坐标为(817，0)；(3)如解图②，过F 作FM ⊥x 轴于M ，解图②∵D 是OA 的中点， ∴D (2，0)， ∵OF ＝DF ， ∴OM ＝MD ， ∴M (1，0)，∴点F 的横坐标是1.设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n ， 将点A (4，0)，C (0，4)代入，∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋4， ∴点F 的坐标为(1，3)，设P (t ，－12t 2＋t ＋4)，则 －12t 2＋t ＋4＝3，解得t ＝1＋3或t ＝1－3(舍去)， ∴点P 的坐标为(1＋3，3)．4. 【答案】(1)∵直线y ＝34x ＋m 与y 轴交于点B (0，－1)，∴m ＝－1， ∴直线解析式为y ＝34x －1， ∵直线经过点C (4，n )，∴n ＝34×4－1＝2；(2)∵抛物线经过点C 和点B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(3)∵点D 的横坐标为t (0＜t ＜4)，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，∴D (t ，12t 2－54t －1)，E (t ，34t －1)，∴DE ＝34t －1－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ， ∵DE ∥y 轴，∴∠DEF ＝∠ABO ，且∠EFD ＝∠AOB ＝90°， ∴△DFE ∽△AOB ， ∴DF OA ＝EF OB ＝DE AB ，在y ＝34x －1中，令y ＝0可得x ＝43，∴A (43，0)，∴OA ＝43，在Rt △AOB 中，OB ＝1，∴AB ＝53，∴DF 43＝EF 1＝DE53，∴DF ＝45DE ，EF ＝35DE ，∴p ＝2(DF ＋EF )＝2×(45＋35)DE ＝145DE ＝145(－12t 2＋2t )＝－75t 2＋285t ＝－75(t －2)2＋285(0＜t ＜4)， ∵－75＜0，∴当t ＝2时，p 有最大值285.5. 【答案】(1)∵y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点， ∴C (0，3)，B (3，0)，∵抛物线的对称轴为：x ＝2，∴可设二次函数的解析式为：y ＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，把B (3，0)、C (0，3)两点代入，得,430⎩⎨⎧+=+=k a k a ，解得，,11⎩⎨⎧=-=a k ∴抛物线的解析式为：y ＝(x －2)2－1，即y ＝x 2－4x ＋3； (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴P (2，－1)，又∵B (3，0)、C (0，3)，∴PC ＝2242+＝52，PB ＝212-322=+）（，BC ＝23183322==+，又∵PB 2＋BC 2＝2＋18＝20，PC 2＝20， ∴PB 2＋BC 2＝PC 2，∴△PBC 是直角三角形．∴S PBC △＝12PB ·BC ＝12×2×23＝3；(3)设存在点Q (m ，0)，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， 易证∠ABC ＝∠ABP ＝45°，∴Q 点在B 点左边，则m <3， 于是AB ＝2，BC ＝23，BQ ＝3－m ，BP ＝2， ①当BQBA BPBC =时，△QBP ∽△ABC ，则22323=-m，解得，m ＝73，∴Q (73，0)；②当BPBA BQBC =时，△PBQ ∽△ABC ，则m-=32223，解得，m ＝0，∴Q (0，0)，故存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．Q 点的坐标为Q (73，0)或Q (0，0)．6. 【答案】（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0, 4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QAOA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14b b =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。
2021年中考数学真题 二次函数解答压轴题(共32题)-(原卷版)
14二次函数解答压轴题（共32题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上．（1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点．（1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =． （1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）． （2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．探究EM MP PB++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a=++≠与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为52x=．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021.四川广元市.中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值： x (1)- 0 1 2 3 …y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求++的最小值；AQ QP PC（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF x⊥轴，垂足为F，ABD△的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：直线1=-+与x轴、y轴分别交于A、By x两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，AOC∠为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE t=．（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；（2）真接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；（3）若tan AOC k ∠=，经过点A 的抛物线()20y ax bx c a =++>顶点为P ，且有6320a b c ++=，POA 的面积为12k ．当22t =时，求抛物线的解析式．9．（2021·四川资阳市·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN 5D N CN '+的值最小时，求MN 的长． 10．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y （元）与购进数量x （千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z （元/千克）与一天销售数量x （千克）的关系为112100z x =-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w （元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）11．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y 轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标．12．（2021·湖北十堰市·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（4n ）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n的取值范围．13．（2021·四川达州市·中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？14．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？15．（2021·湖北黄冈市·中考真题）已知抛物线23y ax bx=+-与x轴相交于(1,0)A-，(3,0)B两点，与y轴交于点C，点(,0)N n是x轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n<，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线BC于点G．过点P作PD BC⊥于点D，当n为何值时，PDG BNG≌；（3）如图2，将直线BC绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段OC的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB．①1tan BOB∠=______；①当点N关于直线1OB的对称点1N落在抛物线上时，求点N的坐标．16．（2021·湖北黄冈市·中考真题）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y （单位：万件）．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？ （3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a 的值．17．（2021·新疆中考真题）已知抛物线223(0)y ax ax a =-+≠．（1）求抛物线的对称轴；（2）把抛物线沿y 轴向下平移3a 个单位，若抛物线的顶点落在x 轴上，求a 的值；（3）设点()1,P a y ，()22,Q y 在抛物线上，若12y y >，求a 的取值范围．18．（2021·湖南长沙市·中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点()1,A r 与点(),4B s 是关于x 的“T 函数”()()240,0,0,.x x y tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≥≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =______，s =______，t =______（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2y ax bx c =++（0a >，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:l y mx n =+（0m ≠，0n >，且m ，n 是常数）交于()11,M x y ，()22,N x y两点，当1x ，2x 满足()11211x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．19．（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2021·陕西中考真题）已知抛物线228y x x =-++与x 轴交于点A 、B （其中A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点B 、C 的坐标；（2）设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似且PC 与PO 是对应边？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，0a ≠）．（1）若该函数的图象经过()1,0和()2,1两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．（2）写出一组a ，b 的值，使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知1a b ==，当,x p q =（p ，q 是实数，p q ≠）时，该函数对应的函数值分别为P ，Q ．若2p q +=，求证6P Q +>．22．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A，PD，求PAD△面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线24(0)=+-≠沿射线AD平移42y ax bx a得到新的抛物线1y，点E为点P的对应点，点F为1y的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．23．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B （－3，0）两点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线1x=-，直线y＝－2x ＋m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与①AOD相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y ＝1上有M 、N 两点（M 在N 的左侧），且MN ＝2，若将线段MN 在直线y ＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN 的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．24．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点 （1）求证：①ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．①求DE +BF 的最大值；①点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．25．（2021·云南中考真题）已知抛物线22y x bx c 经过点()0,2-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线22yx bx c 与x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，97539521601r r r r r m r r +-++-=+-． （1）求b 、c 的值：（2）求证：2242160r r r -+=；（3）以下结论：1,1,1m m m <=>，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．26．（2021·山东泰安市·中考真题）二次函数2()40y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式；（3）请判断：PQQB 是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．27．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，抛物线()223(69)y mx m x m =++-+与x轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，请直接写出点P 的坐标；（3）Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．28．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ①AB ，垂足为D ，PE ①x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当①PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和①PDE周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c=++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M 是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．29．（2021·浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有,A B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点A B A和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；①问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？30．（2021·湖北武汉市·中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品，A 原料的单价是B 原料单价的1.5倍，若用900元收购A 原料会比用900元收购B 原料少100kg ．生产该产品每盒需要A 原料2kg 和B 原料4kg ，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x 元（x 是整数），每天的利润是w 元，求w 关于x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a 元（a 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．31．（2021·四川乐山市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，且经过点30,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若二次函数2y ax bx c =++在13x ≤≤时，y 的最大值为1，求a 的值； （3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段A B ''．若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，求a 的取值范围．2021中考真题 21 32．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △104，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。