论文《论极限理论的微分之谜》

附件05-1：论文《论极限理论的微分之谜》讨论微积分的五篇论文第1篇（本文发表在《高等数学研究》2012年第4期上，以原文为准）论极限理论的微分之谜师教民1,2（1.石家庄广播电视大学科学技术部，河北石家庄050081；2.石家庄经济学院信息工程学院，河北石家庄050031）摘要：第一代微积分存在第二次数学危机（微分之谜），第二代微积分没有解决第二次数学危机．关键词：第一代微积分；第二次数学危机（微分之谜）；第二代微积分中图分类号：O172文献标识码：A文章编号：1008-1399(2012)04-0044-03极限理论(标准分析法或第二代微积分)存在三大错误：①没有揭开微积分之谜，②形成严重的逻辑困难，③与物理实践不相符合．本文用在极限理论求导公式中加入公式的方法，证明上述三大错误的①．牛顿、莱布尼茨的微积分理论——无穷小量分析法(第一代微1[-：令函数y=x2的自积分)定义并求函数y=x2的导数的过程为]8变量x变化无穷小量d x≠0，则y随之变化增量d y，所以d y=(x+d x)2-x2=x2+2x d x+(d x)2-x2=2x d x+(d x)2，收稿日期：2012-04-07；修改日期：2012-07-28作者简介：师教民（1945-），男，河北晋州人，教授，从事数学、物理、电工、电子的教学与研究．Email：shijm618@4950 xy d d =x x x x d )d (d 22+=2x +d x ． 把函数F (d x )=2x +d x 在d x =0时的函数值定义为函数y =x 2的导 数，记做y ′或xy D D ，于是有 y ′=xy D D =F (d x 0d )=x =(2x +d x 0d )=x =2x +0=2x ． (1) 从上述(1)式的推导知，第一代微积分在推导出函数F (d x )=2x +d x时，无穷小量或微分d x ≠0，然而在定义并求函数y =x 2的导数时，又改成无穷小量或微分d x =0．因此，第一代微积分说不清楚到底是d x ≠0还是d x =0，即产生了d x ≠0和d x =0的矛盾．这个矛盾由于d x 叫做微分而叫做微分之谜，由于微分之谜是微积分理论中的重要内容，所以这个谜也叫做微积分之谜；因为这个谜主要是英国大哲学家贝克莱指出的，所以这个谜又叫做贝克莱悖论；因为这个谜很难揭开，所以这个谜还叫做第二次数学危机．贝克莱悖论和第二次数学危机把这个微分之谜推上了世界数学大难题的宝座，使它著名于天下．柯西等人创立的微积分理论——标准分析法（极限理论或第二代微积分）定义并求函数y =x 2的导数的过程为]8421[--，：令函数y =x 2的自变量x 变化任意增量Δx ≠0，则函数y 随之变化增量Δy ，所以Δy =(x +Δx )2-x 2=x 2+2x Δx +(Δx )2-x 2=2x Δx +(Δx )2，x y ∆∆=xx x x ∆∆∆+2)(2=2x +Δx ． 把函数 G (Δx )=xy ∆∆= 2x +Δx 在自变量Δx →0 时的极限值定义51为函数y =x 2的导数，记做y ′或xy d d ，于是有 y ′=x y d d =0lim →∆x ⎢⎣⎡∆∆xy (Δx ≠0)]=0lim →∆x [(2x +Δx ) (Δx ≠0)]= 0lim →∆x [(2x +Δx ) (Δx 可等于0)]=(2x +Δx 0)=∆x =2x +0=2x ．(2)文[2]170说：“最后我们来看看自变量x 的本身：它的增量Δx ，就叫做它的微分，即规定d x =Δx ，…”．所以(2)式就可改为：y ′=x y d d =0d lim →x ⎢⎣⎡∆xy d (d x ≠0)]=0d lim →x [(2x +d x ) (d x ≠0)]= 0d lim →x [(2x +d x ) (d x 可等于0)]=(2x +d x 0d )=x =2x +0=2x ．(2a )从上述(2a )式的推导知，第二代微积分在推导出函数G (d x )=xy d ∆=2x +d x 并定义函数y =x 2的导数时，任意增量或微分d x ≠0，然而在求出函数y =x 2的导数时，又改成任意增量或微分d x =0．因此，第二代微积分说不清楚到底是d x ≠0还是d x =0，即产生了d x ≠0和d x =0的矛盾．比较对式(1)和式(2a )的分析知，第二代微积分和第一代微积分一样有d x ≠0和d x =0的矛盾，即第二代微积分没有解决微分之谜或微积分之谜或贝克莱悖论或第二次数学危机这个著名于天下的世界数学大难题．但是，第二代微积分和第一代微积分也略有不同：第一代微积分是直接把函数F (d x )=2x +d x 在其自变量d x =0时的函数值定义为函数y =x 2的导数的．而第二代微积分则是通过极限拐了一个52 弯儿后，才把函数F (d x )=2x +d x 在其自变量d x =0时的函数值定义为函数y =x 2的导数的．拐的这个弯儿就是：先把函数y =x 2的 导数定义为极限0d lim →x [(2x +d x ) (d x ≠0)]，又把这个极限定义为函 数[(2x +d x )(d x ≠0)]在其自变量d x 无限趋向于0时无限趋近的目标，这个目标也是函数[(2x +d x ) (d x 可等于0)]在其自变量d x 无限趋向于0时无限趋近的目标，因而又是函数[(2x +d x ) (d x 可等于0)]在其自变量d x 无限趋向于0时的极限，根据连续的充要条件（该条件简述为：极限值等于函数值，详见文[8]138）可知，这个极限还是函数[(2x +d x ) (d x 可等于0)]在其自变量d x 等于0时的函数值[注意：这句话说明了(2a )式各步都成立的理由]．所以 把函数y =x 2的导数定义为极限0d lim →x [(2x +d x ) (d x ≠0)]，就是定义 为函数[(2x +d x ) (d x 可等于0)]在其自变量d x 等于0时的函数值．这样，第二代微积分通过极限拐了一个弯儿后，还是与第一代微积分定义的导数完全相同了．然而，就是第二代微积分通过极限拐的这个弯儿，把不少人拐迷糊了．换句话说，从第二代微积分的(2a )式的推导知：0d lim →x [(2x +d x ) (d x ≠0)]=(2x +d x 0d )=x ．这个等式的左边是第二代微积分把y =x 2的导数定义成的极限值，右边是第一代微积分把y =x 2的导数定义成的函数值．因此这个等式说明了第二代微积分定义的导数与第一代微积分定义的导数本质相同，只不过是它们使用的名称不同而已：第一代微积分使用的名称是函数值，第二代微积分使用的名称是极限值．如果我把它叫做猪狗值，那么也是未尝不可的，第二代微积分不就是把表示分得微小的微分概念叫做可以是任意大、充分大、足够大的增量（即d x =Δx ）吗？所以，把它叫做函数值也好，极限值53也好，猪狗值也好，只是名称的不同，而本质上都是上述的函数[(2x +d x ) (d x 可等于0)]在其自变量d x =0时的函数值．这个等式也说明第二代微积分定义的导数与第一代微积分定义的导数是一回事，只不过是它们使用的语言不同而已．也就是说，第一代微积分使用了朴实的直言快语（函数值）、而第二代微积分则改成了婉转的花言巧语（极限值）．然而，就是第二代微积分改成的花言巧语把不少人说晕糊了．为了更加容易地理解上述内容，第二代微积分拐的那个弯儿还可以据(2a )式和(1)式用下述语言描述：第二代微积分把函数y =x 2的导数先定义为函数G (d x )=xy d ∆=2x +d x (d x ≠0) 在d x →0时的极限值，再替换成函数F (d x ) = 2x +d x （d x 可等于0）在d x →0时的极限值，又换成函数 F (d x )=2x +d x （d x 可等于0）在d x =0时的函数值；第一代微积分则是把函数y =x 2的导数直接定义为函数F (d x )=2x +d x (d x 可等于0)在d x =0时的函数值．所以，第二代微积分和第一代微积分分别定义的y =x 2的导数，因为都是函数F (d x )=2x +d x （d x 可等于0）在d x =0时的函数值而本质相同，只不过是第一代微积分是直接确认、第二代微积分是用极限符号倒换了两次以后才确认而已．所以，如果把导数2x 比做白骨精，那么第一代微积分是直接把导数2x 说成是真实面目的白骨精的，而第二代微积分则是迂回进行的，即把导数2x ：先说成是肉眼看来的美丽村姑，就是0d lim →x x y d ∆=0d lim →x [(2x +d x ) (必须有d x ≠0)]； 再说成是披上美丽村姑画皮的白骨精，就是0d lim →x [(2x +d x ) (可以有d x =0)]；又说成是脱下美丽村姑画皮的、露出真实面目的白骨54 精，就是(2x +d x 0d )=x =2x +0=2x （必须有d x =0）．以上各式中的极限符号0d lim →x 就是那张美丽村姑的画皮！在此画皮的掩盖下，第 二代微积分把“必须有d x ≠0”经过“可以有d x =0”换成了“必须有d x =0”，因此循序渐进地产生出d x ≠0和d x =0的矛盾，从而便与第一代微积分本质相同了（因为在第一代微积分中也产生了d x ≠0和d x =0的矛盾，只不过是直接了当地产生而已）．正是第二代微积分为了掩盖d x ≠0和d x =0的矛盾以及它与第一代微积分的本质相同，所以它才去涂抹那张美丽村姑的画皮（即加上极限符号）．然而，猪八戒只顾欣赏村姑的美丽，沙和尚只顾感激客人的热情，唐玄奘只顾体味人民的善良，竟然都忘记了洞察和审视美丽村姑的本质（白骨精），从而被白骨精所蒙蔽．一些人也像唐僧师徒们一样，只顾赞美极限的玄妙而忘记了考察极限的本质（本例是函数[(2x +d x ) (d x 可等于0)]在它的自变量d x =0时的函数值2x ），因而也被第二代微积分所蒙蔽．但是，我们为什么就不能像孙悟空那样打开火眼金睛，去看清第二代微积分的导数到底是不是白骨精呢？其实做到这一点并不难．因为第二代微积分上述的拐弯儿术并不复杂．它就像一个到西餐馆去吃西餐的人，尽管他想吃奶酪，但却故意拐一个弯儿说要面包．服务员拿来面包后，他又要求换成奶酪．服务员换回奶酪后，他吃完就走．服务员让他交奶酪钱，他说，奶酪是用面包换来的，为何要交奶酪钱？服务员说，那么你就交面包钱．他说，我已经退回面包，为何要交面包钱？服务员无言以对，眼巴巴地看着他走了．大家想一想：西餐是否就是导数，面包是否就是d x →0时的极限值，奶酪是否就是d x =0时的函数值，服务员是否就是被蒙的学习者！参考文献：[1]中国科学院数学研究所资料室．非标准分析[C]．北京：中国科学院数学研究所，1976：321，332，337，339．[2]菲赫金哥尔茨．数学分析原理：第1卷第1分册[M].吴亲仁，陆秀丽，译．北京：高等教育出版社，1959：147-150；169-170．[3]贝克莱．人类知识原理[M]．关文运，译．上海：商务印书馆，1973：80-90．[4]马克思．数学手稿[J]．复旦学报，自然科学版（专辑），1975(1)：52-54．[5]师教民．微积分之谜与美[M]．石家庄：河北科学技术出版社，2007：14-16；28-35．[6]师教民．两地书中论科学[M]．石家庄：河北科学技术出版社，2007：173-182．[7]樊映川．高等数学讲义：上册[M]．北京：人民教育出版社，1964：279-280．[8]菲赫金哥尔茨．微积分学教程：第1卷第1分册[M]．叶彦谦，译．北京：高等教育出版社，1959：138．On the Riddle of the Differentialin the Limit TheorySHI Jiao-min1,2(1.Department of Science and Technology, Shijiazhuang Radioand Television University, Shijiazhuang 050081, PRC；rmation Engineering College in Shijiazhuang EconomicInstitute, Shijiazhuang 050031, PRC)Abstract：The second mathematics crisis（the riddle of the differential）exists in the first generation calculus, the second generation calculus does not overcome the second mathematics crisis. Key words：the first generation calculus；the second mathematics crisis（the riddle of the differential）；the second generation calculus55。