四川省树德中学2020届高三上学期11月阶段性检测 数学(理) PDF版含答案
如下表所示：
22．（10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
已知极点与坐标原点 O 重合，极轴与 x 轴非负半轴重合， M 是曲线 C : ρ = 2 sinθ 上任一点，
三、解答题
17．解：（Ⅰ）由 (2b − 3c) cos A = 3a cos C ，结合正弦定理可得
(2sin B − 3 sin C) cos A = 3 sin Acos C ，
从而有 2sin B co= s A 3 sin( A += C) 3 sin B
n n
⋅ ⋅
EA1
6
6
3
设 CM = x ，则 CA = 4x ，又 AM = 21 ，
C
x
M
4x
那么在 ∆AMC 中，有余弦定理可得
( )2 21 =
x2 + (4x)2 − 2 ⋅ x ⋅(4x) cos 2π ，解得 x = 1
3
3x B
21 A
从而可得 S∆ABC
=1 CA⋅CB ⋅sin C 2
=1 ⋅ 4x2 sin 2
）
A. −7
B. −6
C. −5
D. −4
II 卷
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．已知以点 C (1, 2) 为圆心的圆 C 与直线 x + 2 y = 0 相切，则圆 C 的方程为_________________．
A.
B.
C.
D.
7．如图，圆锥的高 SO = 3 ，底面直径 AB = 2 ， C 是圆 O 上一点，且 AC = 1 ， S 则 SA 与 BC 所成角的余弦值为（ ）
点 P 满足 OP = 3OM ．设点 P 的轨迹为 Q ．
（Ⅰ）求曲线 Q 的平面直角坐标方程；
x = −t
（Ⅱ）将曲线 Q
向右平移1个单位后得到曲线
N
，设曲线
N
与直线
l
:
y
=
( t 为参数)相交于 1+ t
A、B 两点，记点T (0,1) ，求| TA | + | TB |．
D. 7
5．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所 围成的几何体为“牟合方盖”．刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之
比应为π : 4 ．若已知正方体的棱长为 2 ，则“牟合方盖”的体积为（ ）
A. 16
B. 16 3
C. 16
3
6．如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部设计了一个排水小孔， 当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T ．若鱼缸 水深为 h 时，水流出所用时间为 t ，则函数 h = f (t) 的图象大致是（
= 0 ⇔
A1B1 = 0
−x 2x
− =
y 0
−
2z
=0
，取
z
=
1，得
n
=
(0,
2,1)
又由（Ⅰ）知 AF ⊥ 平面 A1BC ，故可= 取 m
3= AF 2
(1,1,1) 为平面 A1BE 的一个法向量，
那么可得 cos < n= , AF > n= ⋅ AF = 3 15 n AF 5 ⋅ 3 5
）
A. 3
B. 2
C. 5
D. 3
2
2
12．已知 y = f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且 f (−x −1=) f (x −1) ，当 x ∈[−1, 0] 时， f (x) = −x3 ，
则函数 g= (x)
f
(x)−
|
cos
π
x
|
在区间
−
5 2
,
1 2
上的所有零点之和为（
A. 3 4
C. 1 4
B. 3 3
D. 1 3
A
O
B
C
14．在矩形 ABCD 中， AB = 2 ， AD = 4 ， AM = 1 MD ，则 BM ⋅ MC = _________． 3
( ) ( ) ( ) 15．已知函数= f (x) ln x2 +1 − x ，设 a = f (log3 0.2) ， b = f 4−0.2 ，=c f −21.1 ，
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 S9 = S4 ， ak + a5 = 0 ，则 k = （ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
4．将 (x − 2)n 的展开式按 x 的降幂排列，若第三项的系数是 40 ，则 n = （ ）
A. 4
B. 5
C. 6
n +1
2019-11 高三数月 11（理） 第 1 页共 2 页
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共 60 分
17．（12 分） ∆ABC 的内角 A, B,C 所对的边长分别为 a,b, c ，且 (2b − 3c) cos A = 3a cos C ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分．
（Ⅰ）试估计该市市民的购房面积的中位数 m0 ；
（Ⅱ）从该市 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间所有购买二手房中的市民中任取 3 人，用频率估计概
率，记这 3 人购房面积不低于 100 平方米的人数为 X ，求 X 的数学期望； （Ⅲ）根据散点图选择 yˆ= aˆ + bˆ x 和 yˆ= cˆ + dˆ ln x 两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回
成的封闭图形的面积为（ ）
A. 1 e −1 2
B. e
C. e − 1
D. e − 3
2
2
2
11．已知椭圆、双曲线均是以线段 AC 的两端点为焦点的曲线，点 B 是它们的一个公共点，且满足
BA ⋅ BC
= 0 ，记此椭圆和双曲线的离心率分别为
e1、e2
，则
1 e12
+
1 e22
= （
=yˆ 0.9369 + 0.0285 x =yˆ 0.9554 + 0.0306 ln x
13
∑ ( yi − yˆi )2
i =1
13
∑ ( yi − y)2
i =1
0.000591
0.006050
0.000164
2019-11
23．（10 分）选修 4—5：不等式选讲
已知函数 f (x)= | x − 5 | ． （Ⅰ）求不等式 f (x) + f (x + 2) ≤ 3 的解集； （Ⅱ）若 a < 0 ，求证： f (ax) − f (5a) ≥ af (x) ．
B. {−1}
C. {−1,1}
D. {−1, 0}
2．在复平面内，给出以下四个说法：
①实轴上的点表示的数均为实数；
②虚轴上的点表示的数均为纯虚数；
③互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数；
④已知复数 z 满足 (1+ i)z =3 − i ，则 z 在复平面内所对应的点位于第四象限．
其中说法正确的个数为（ ）
F1、F2 分别是椭圆 C1 的左、右焦点，其离心率 e =
6 3 ，过椭圆 C1 右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C1 交
于 A、B 两点．
（Ⅰ）求椭圆 C1 的方程； （Ⅱ）是否存在直线 l ，使得 OA ⋅ OB = −1？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由； （Ⅲ）已知 M (t, 0) 为一动点，若直线 l 的斜率存在且不为 0 ， N 为 AB 的中点，满足 MN ⊥ AB ，
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高 2017 级高三上期 11 月阶段性测试数学试题（理科）参考答案
一、选择题： DCDBC BADCA BA
二、填空题：
13． (x −1)2 + ( y − 2)2 = 5
14． −1
15． c > a > b
16． (−∞, −2] [2, A1BC ； （Ⅱ）求二面角 B − A1E − B1 余弦值的大小．
B1 F
A
C
E B
19．（12 分）某市房管局为了了解该市市民 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间购买二手房情况，首先随
机抽样其中 200 名购房者，并对其购房面积 m （单位：平方米， 60 ≤ m ≤ 130 ）进行了一次调查统
2π 3
=4
3 为所求．
（12 分）
18．解：（Ⅰ）由题意知，等腰直角三角形 ∆ABC 中，中线 AE ⊥ BC ，且= AE 1= BC 2 2
而直三棱柱 ABC − A1B1C1 中， AA1 ⊥ 底面 ABC ，从而知 AA1 ⊥ AE ， AA1 ⊥ BC
高 2017 级高三上期 11 月阶段性测试数学试题（理科）
考试时间：120 分钟 全卷满分：150 分
I卷
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．设集合 A = {−1, 0}， B ={t | t =y − x, x ∈ A, y ∈ A} ，则 A B = （ ）
高三试卷数学(理)-四川省成都市树德中学2024届高三上学期11月阶段性测试数学(理)试卷及参考答案
树德中学高2021级高三上学期11月阶段性测试数学（理科）试题第I 卷(选择题，共60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}lg 1,2,x A x y x B y y x ==+==-∈R ∣∣，则A B = （）A.()1,0- B.()1,-+∞ C.RD.(),0∞-2.若复数z 满足()1i 23i z ⋅-=+，则复数z 的虚部是（）A.12-B.1i2- C.52D.52i 3.已知命题:p x R ∀∈，210x x -+>，命题q ：若a b <，则11a b>，下列命题为真命题的是()A ．p q∧B ．()p q⌝∧C ．()p q⌝∨D ．()()p q ⌝∨⌝4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是()A ．403B ．803C ．40D ．205.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为()1,0F c -，坐标原点为O ，若在双曲线右支上存在一点P满足1PF =，且PO c =，则双曲线C 的离心率为（）A ．212+B1C ．312+D1+6.若实数x ，y 满足约束条件2000x y x y x a -+⎧⎪+⎨⎪-⎩，若2z x y =-的最大值等于3，则实数a 的值为()A ．1-B ．1C ．2D ．37．已知(,)a x y =，(1,9)(0,0)b x x y =->> ，若//a b ，则x y +的最小值为()A ．6B ．9C ．16D ．188.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L ＝00G G L D，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，L 0表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，G 0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 3≈0.477)()A ．477B ．478C ．479D ．4809.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(1),01,()1,122k x x g x x +<⎧⎪=⎨-<⋅⎪⎩ ，其中0k >.若在区间(0，5]上，关于x的方程()()f xg x=有5个不同的实数根，则k的取值范围是（）A．B．1[2C．1(2D ．12[,)3410.已知(2,2)A，B，C是抛物线22y px=上的三点，如果直线AB，AC被圆22(2)3x y-+=截得的两段弦长都等于BC的方程为()A．210x y++=B．3640x y++=C．2630x y++=D．320x y++=11.已知正四棱锥O ABCD-的底面边长为，高为3．以点O为球心，为半径的球O与过点A,B,C,D的球1O相交，相交圆的面积为π，则球1O的半径为()ABCD12.已知数列{}na的各项均不为零，1a a=，它的前n项和为nS，且na1(*)na n N+∈成等比数列，记1231111nnTS S S S=+++⋯+，则()A．当1a=时，202240442023T<B．当1a=时，202240442023T>C．当3a=时，202210111012T>D．当3a=时，202210111012T<第II卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13．6(12)x-的展开式中含3x项的系数为________．（用数字作答）14．在平行四边形ABCD中，点E满足AE ACλ=，1344DE AB AD=-，则实数λ=．15.将函数()2sinf x x=图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21，得到()h x的图像，再将函数()h x的图象左移8π个单位，得到()g x的图象，已知直线y a=与函数()g x的图象相交，记y轴右侧从左到右的前三个交点的横坐标依次为1a、2a、3a，若1a、2a、3a成等比数列，则公比q=______．16.已知函数2()e2e2x xf x x=-+在点()()00,P x f x处的切线方程为l：()y g x=，若对任意x R∈，都有()()()()0x x f x g x--≥成立，则x=______．三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若sin (2cos )A a B =-．（1）求角B 的大小；（2）D 为边AB 上一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角形ACD ∆，求BC 的长．18．（12分）卡塔尔世界杯足球赛决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如下表所示．喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为23，女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，记这3人进球总次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k 0.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，//AB DC ，222AB AD CD ===，点E 是PB 的中点．（1）证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若直线PB 与平面PAC P AC E --的余弦值．20．（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左、右顶点分别为A ，B ，点M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，记直线AP 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ，且122k k =．过左顶点A 作直线PQ 的垂线，垂足为H ．问：在平面内是否存在定点T ，使得||TH 为定值，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，试说明理由．21.（12分）已知函数()ln (0)f x x ax b b a =-+>>有两个零点()1212,x x x x <．（1）若直线y bx a =-与曲线()y f x =相切，求a b +的值；（2）若对任意210,e x a x >≥，求b a的取值范围．请考生在第22、23题中任选择一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos (1sin x y βββ=⎧⎨=+⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）若射线(0,0)2πθαρα=<<交曲线1C 于点P ，直线()2R πθαρ=+∈与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ，且点P 、M 、N 均异于点O ，求MPN ∆面积的最大值．23．（10分）已知函数()|33||26|f x x x =+--．（1）求不等式()4f x x - 的解集；（2）设()f x 的最小值为m ，若正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=-，求222a b c c a b++的最小值．树德中学高2021级高三上学期11月阶段性测试数学（理科）试题答案一、选择题：1-6ACDADB 7-12CCBBBC 二、填空题：13.160-14.1415.95或516.ln 2-（也可以填1ln2）17.解：（1sin sin (2cos )B A A B =-．sin 0A ≠ ，∴2cos B B =-．……2分cos 2B B +=，即2sin(26B π+=，即sin()16B π+=．…………4分0B π<< ，62B ππ∴+=，即3B π=，即角B 的大小为3π…………5分（2）ACD ∆的面积为124sin 2S ACD =⨯⨯∠=，即15sin 4ACD ∠=，…………6分ACD ∆ 是锐角三角形1cos 4ACD ∴∠==，由余弦定理得2221242244164164AD =+-⨯⨯⨯=+-=，…………8分则4AD =，ACD ∆为等腰三角形，sin sin sin BDC ADC ACD ∠=∠=∠=…………10分则BCD ∆中，sin sin BC CDBDC B=∠，得BC =…………12分18.解：（1）22⨯列联表：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200…………2分根据独立性检验公式可知，22200(60704030)18.18210.82810010090110K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，…………4分∴有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；…………5分（2）这3人进球总次数X 的所有可能取值为0，1，2，3，对应概率为2111(0)()3218P X ==⨯=，122211115(1)()3322318P X C ==⋅⨯⨯+⨯=，122211214(2)(332329P X C ==⋅⨯⨯+⨯=，2212(3)()329P X ==⨯=，…………9分X ∴的分布列如下：ξ0123P1185184929…………10分∴54211()12318996E X=⨯+⨯+⨯=．…………12分19.解：（1）证明：PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，PC AC∴⊥，2AB=，由1AD CD==，AD DC⊥且ABCD是直角梯形，∴22222,()2AC AD DC BC AD AB DC=+==+-=，222AC BC AB∴+=，AC BC∴⊥，又PC AC⊥，PC BC C=，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，AC∴⊥平面PBC，AC∴⊥平面PBC，又AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC；…………4分（2）方法一：由（1）知BC⊥平面PAC，BPC∴∠即为直线PB与平面PAC所成角，∴23sin3BCBPCPB PB∠===，∴6PB=，则2PC=，…………6分取AB的中点G，连接CG，以点C为坐标原点，分别以CG、CD、CP为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C，0，0)，(0P，0，2)，(1A，1，0)，(1B，1-，0)，11(,,1)22E-，∴(1,1,0)CA=，(0,0,2)CP=，11(,,1)22CE=-，设平面PAC的法向量为111(,,)m x y z= ，则11120m CA x ym CP z⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取(1,1,0)m=-，…………8分设平面ACE的法向量为222(,,)n x y z= ，则2222211022n CA x yn CE x y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取(1,1,1)n=--，…………10分∴11(1)(1)0(1)6cos,323m n⨯+-⨯-+⨯-<>==⋅，…………11分又由图知所求二面角为锐角，∴二面角P AC E--的余弦值为63．…………12分方法二：由（1）知BC⊥平面PAC，BPC∴∠即为直线PB与平面PAC所成角，∴23sin3BCBPCPB PB∠===，∴6PB=，则2PC=，…………6分因为AC ⊥平面PBC ，所以PCE ∠即为二面角P AC E --的平面角，…………8分在Rt PBC ∆中，PB BC ==，62,2PC PE CE ===，所以6cos cos 3PC PCE EPC PB ∠=∠==，…………11分所求二面角为锐角，二面角P AC E --的平面角的余弦值为63．…………12分20.解：（1）依题意，222222211c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=；…………4分（2）依题意()20A -，，()20B ，，设()11,P x y ，()22,Q x y ，若直线PQ 的斜率为0，则P ，Q 关于y 轴对称，必有AP BQ k k =-，不合题意；所以直线PQ 斜率必不为0，设其方程为x ty n =+()2n ≠±，与椭圆C 联立2224x y x ty n⎧+=⎨=+⎩，整理得：()2222240t y tny n +++-=，所以()()()22222244248240t n t n t n ∆=-+-=-+>，且12221222242tn y y t n y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，…………6分因为()11,P x y 是椭圆上一点，即2211142x y+=，所以21211122111121222442AP BP x y y y k kx x x x -⋅=⋅===-+---，则122AP BQ BP k k k =-=，即14BP BQ k k ⋅=-，…………7分因为12121224y y x x ⨯=---，得()()12124220y y x x +--=即()()()()()()2212121212422422y y ty n ty n t y y t n y y n ++-+-=++-++-()()()222224242222n tn t t n n t t ⎛⎫-⎛⎫=++--+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()22222244222202t nt n n n t t +---+-+==+，因为2n≠，()()()()222422220t n t n n t++-+-+=，2222248222240n t n t t n nt n t+++-++--=整理得640n+=，解得23n=-，直线PQ恒过定点203N⎛⎫-⎪⎝⎭，.…………10分因为AH PQ⊥，所以点H在以AN为直径的圆上，…………11分故存在点034T⎛⎫-⎪⎝⎭，为AN的中点，满足题意.…………12分21.解：（1）由()lnf x x ax b=-+，可得其定义域为()0,∞+且()1f x ax'=-，设切点为()000,lnx x ax b-+，则切线斜率1k ax=-，所以切线方程为()0001lny a x x x ax bx⎛⎫=--+-+⎪⎝⎭，即01ln1y a x x bx⎛⎫=-++-⎪⎝⎭，所以01ln1a bxx b a⎧-=⎪⎨⎪+-=-⎩，则011lna b xx+==-，…………3分设()1ln1F x xx=+-，则()00F x=，且()211F xx x=-'，令()0F x'=，解得1x=，当()0,1x∈时，()()0,F x F x'<在()0,1上单调递减；当()1,x∈+∞时，()()0,FF x x'>在()1,+∞上单调递增，所以()min()10F x F==，所以1x=，所以11a bx+==．…………5分（2）设(1)b ma m=>，由()()12f x f x==，得1122ln ln0x ax ma x ax ma-+=-+=，整理得1212ln ln0x xax m x m==>--，由图像知()10,1x∈，设21x tx=，则由题意可知，et≥，所以111111ln ln ln lnx tx t xax m tx m tx m+===---，整理得111ln ln1x x tx m t=--，…………7分设()()ln e 1tG t t t =≥-，则()211ln (1)t t G t t '--=-，设()11ln H x t t =--，则()2110H t t t =-<'，所以()H t 单调递减，所以()()1e 0eH t H ≤=-<，即()0G t '<，所以()G t 单调递减，所以()()1e e 1G t G ≤=-，即111ln 1e 1x x x m ≤--，…………9分可得，111ln 1e 1x x x m ≤--对任意()10,1x ∈恒成立，整理得()111e 1ln x x x m --≥-，设()()()()e 1ln 0,1x x x x x ϕ=--∈，则()()e 1ln e 2x x ϕ=-+-'，令()0x ϕ'=，解得2e e 1ex --=，当2e e 10,e x --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,x x ϕϕ'<在2ee 10,e --⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当2e e 1e ,1x --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,x x ϕϕ'>在2ee 1e ,1--⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()2e 2e 2e 2ee 1e 1e 1e 1min()e 2e e e 1e e x ϕϕ--------⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭，所以()2e e 11e e m ---≥-，即()2e e 1e 1em --≥-．所以b a 的取值范围为()2ee 1e 1e --+⎡⎫-⎪⎢⎣∞⎭，…………12分22.解：（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2240x y x +-=，得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=，即4cos ρθ=．…………2分将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去，得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=，即2sin ρθ=．…………5分（2）由题得||4cos OP α=，3||4cos(4sin 2OM παα=+=，||2sin()2cos 2ON παα=+=，||||||4sin 2cos NM OM ON αα=+=+，…………7分因为OP MN ⊥，所以211||||(4sin 2cos )4cos 2(4sin cos 2)22MPN S MN OP cos αααααα∆=⨯=+⋅=+2(2sin 2cos 21))22αααϕ=++=++，其中1tan 2ϕ=，02πϕ<<，当22παϕ+=，即42πϕα=-时，MPN ∆的面积取得最大值2．…10分23.解：（1）当1x - 时，原不等式等价于(33)264x x x -++-- ，解得52x - ；当13x -<<时，原不等式等价于33264x x x ++-- ，解得134x -< ；当3x 时，原不等式等价于33(26)4x x x +--- ，解得3x ．综上所述，原不等式的解集是51(,[,)24-∞--+∞ ．…………5分（2）由（1）得9,1()53,139,3x x f x x x x x ---⎧⎪=--<<⎨⎪+⎩，所以()(1)8min f x f =-=-，则8a b c ++=．…………7分因为22a c a c + ，22b a b a + ，22c b c b + ，所以2222()16a b c a b c a b c c a b+++++++= ，即2228a b c c a b ++ ，当且仅当83a b c ===时等号成立，故222a b c c a b ++的最小值为8．…………10分。
四川省成都市树德中学2019-2020学年高三11月阶段性检测数学(理)试题
10．平面直角坐标系中，过坐标原点 作曲线 的切线 ，则曲线 、直线 与 轴所围成的封闭图形的面积为（）
A． B． C． D．
11．已知椭圆、双曲线均是以线段 的两端点为焦点的曲线，点B是它们的一个公共点且满足 ，记此椭圆和双曲线的离心率分别为 、 ，则 （）
A． B．2C． D．3
A．16B． C． D．
6．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
7．如图圆锥的高 ，底面直径 是圆 上一点，且 ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
对于命题②，原点在虚轴上，原点代表的数为零，不是纯虚数，命题②错误；
对于命题③，互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数，命题③正确；
对于命题④，由 ，得 ，所以，复数 在复平面内所对应的点在第四象限，命题④正确.
因此，正确的命题为①③④.
故选：C.
【点睛】
本题考查与复数相关的命题真假的判断，涉及复数的几何意义、共轭复数概念的理解以及复数的除法运算，考查推理能力，属于基础题.
12．已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ,则函数 在区间 的所有零点之和为（）
A．-7B．-6C．-5D．-4
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知以点 为圆心的圆C与直线 相切，则圆C的方程为______．
14．在矩形 中， ， ， ，则 __________.
得分
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （ ）
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）
A. 3
B. 2
C. 5
D. 3
2
2
12．已知 y = f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且 f (−x −1=) f (x −1) ，当 x ∈[−1, 0] 时， f (x) = −x3 ，
则函数 g= (x)
f
(x)−
|
cos
π
x
|
在区间
−
5 2
,
1 2
上的所有零点之和为（
高 2017 级高三上期 11 月阶段性测试数学试题（理科）
考试时间：120 分钟 全卷满分：150 分
I卷
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．设集合 A = {−1, 0}， B ={t | t =y − x, x ∈ A, y ∈ A} ，则 A B = （ ）
A. {1}
（Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若角 B = π ，点 M 为 BC 边上靠近点 C 的一个四等分点，且 AM 的长为
6 面积 S∆ABC ．
21 ，求 ∆ABC 的
18．（12 分）如图，已知直三棱柱 ABC − A1B1C1 中， AB ⊥ AC ， A=B A=C A= A1 2 ，
E 是 BC 的中点， F 是 A1E 上一点，且 A1F = 2FE ．
D. 128 3
）
8．某省两年后的新高考将实行 3 +1+ 2 模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、
地理、化学、生物四选二，共有 12 种选课模式．今年在该省读高一的小明与小芳都准备选考物理，
假若他们都对政治、地理、化学、生物四科没有偏好，则他们选课相同的概率为（ ）
四川省树德中学2020届高三上学期11月阶段性检测 理科综合 PDF版含答案
高2017 级高三上期11 月阶段性测试理综试题第Ⅰ卷（选择题共126分）本卷共21小题，每小题6分，共126分。
一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列有关细胞结构与功能的叙述中，正确的是（）A．细胞核是DNA分子复制和基因表达的场所B．衰老细胞内色素的积累会妨碍物质的交流和传递C．线粒体不是人体肌肉细胞内产生CO2的唯一场所D．动物细胞的边界是细胞膜，植物细胞的边界是细胞壁2．人被“恶犬”咬伤后易感染狂犬病病毒，该病毒内含有单链-RNA，在宿主细胞通过RNA聚合酶形成+RNA 后编码的G蛋白和N蛋白是两种主要抗原。
下列相关叙述正确的是（）A．“恶犬”伤人时，消耗的能量由糖类直接提供B．利用DNA酶能破坏狂犬病毒的遗传物质C．-RNA形成+RNA需要宿主细胞的原料，是逆转录过程D．狂犬病毒的G蛋白和N蛋白含有C、H、O、N等元素3．据最新研究，蛋白laminA在维持细胞核中DNA结构的稳定性中起到了核心作用。
这种蛋白能让染色质内部形成“交联”，在细胞核中限制DNA的行动。
这种结构保护了染色质的完整性，同时允许DNA正常复制，下列有关叙述正确的是（）A．通过分子的复制，储存在DNA中的遗传信息实现稳定表达B．染色体解螺旋形成染色质，为DNA的复制创造了有利条件C．去除蛋白laminA后，染色质的运动高度分散而且不能复制D．严格的碱基互补配对原则即可保证DNA分子复制准确无误4．低体温症患者的体温可下降到35℃以下，严重的低体温症患者常有意识障碍、血压下降、心率过缓等症状，甚至危及生命。
下列相关叙述错误的是（）A．产热总量低于散热总量会导致体温下降B．甲状腺激素分泌过少可能导致低体温症C．低体温症患者垂体中体温调节中枢受损D．可通过隔离保温对低体温症患者进行抢救5．图1、图2为激素发挥调节作用的两种方式，下列有关叙述错误的是（）A．结构d为受体，激素与受体d—结合，激素b即被灭活B．胰高血糖素的调节方式如图1所示，其受体位于细胞膜上C．表明细胞膜具有控制物质进出细胞以及信息交流的功能D．性激素的调节方式如图2所示，其受体位于细胞内部6．某植物为XY型性别决定的雌雄异株植物，含有一对等位基因A和a，其中一个基因在纯合时可导致合子死亡(aa、X A X A、X a Y、X A Y A等均为纯合子)。
四川省成都市树德中学2020届高三11月阶段性测试数学(理)试题Word版含答案
四川省成都市树德中学2020届高三11月阶段性测试数学（理）试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合}2|{)},9lg(|{22x y y N x y x M -==-==，则=⋃N M（A ）}23|{≤<-y y （B ）}33|{<<-y y （C ）}3|{<y y （D ）}2|{≤y y 2.命题“若b a >，则c b c a +>+”的否命题是（A ）若b a >，则c b c a +≤+ （B ）若c b c a +≤+，则b a ≤ （C ）若c b c a +>+，则b a > （D ）若b a ≤，则c b c a +≤+ 3.已知复数21,z z 在复平面内对应的点分别为)1,0(),1,2(--，则=+||221z z z （A ）i 22+ （B ）i 22- （C ）i +-2 （D ）i --24.已知⎩⎨⎧≥<=-0,log 0,2)(2x x x x f x ，则=+)81(log )81(2f f（A ）3（B ）5 （C ）11 （D ）125．已知函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的最大值为4，最小值为4-，最小正周期为2π，直线3π=x 是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是 （A ）)64sin(4π+=x y （B ）)34sin(4π+=x y （C ）)34sin(2π+=x y （D ）)64sin(4π-=x y6.函数xx f x 1)21()(1-=-的零点个数为 （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个7.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积为S ，且()22b c a +-=，则角=A （A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）32π8. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且有)1()1(+=-x f x f ，任意不等实数]1,0[,21∈x x 都有0))](()([2121>--x x x f x f ，则=a )1sin 2(+f 、=b )1cos (-f 、=c )2019(f 的大小关系是（A ）b a c << （B ）c a b << （C ）b c a << （D ）a b c <<9.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x E ：的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B 两点，与双曲线的渐近线交于C,D 两点，若|CD |23|AB |=，则双曲线的离心率是（A ）2（B ）2 （C ）3 （D ）310.如图阴影部分1C 是曲线x y =与x y =所围成的封闭图形，A 是两曲线在第一象限的交点，以原点O 为圆心，OA 为半径作圆，取圆的第一象限的扇形OCAB 部分图形为2C ，在2C 内随机选取m 个点，落在1C 内的点有n 个，则运用随机模拟的方法得到的π的近似值为 （A ）m n 23 （B ）n m 3 （C ）m n 3 （D ）nm32 11.已知圆1)1(:22=+-y x C ，圆)(4)sin 4()cos 41(:22R y x M ∈=-+--θθθ，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PF PE 、，切点分别为F E 、，则⋅的最小值是 （A ）32 （B ）3 （C ）3 （D ）2312.已知P,A,B,C 是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，︒=∠90ABC ，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥ABD P -体积的最大值为 （A ）433 （B ）43 （C ）83 （D ）833二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x 则y x z -=的最小值是__________。
四川省树德中学2020届高三物理上学期11月阶段性检测试题(含解析)
四川省树德中学2020届高三物理上学期11月阶段性检测试题（含解析）二、选择题: （本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14～17题只有一项符合题目要求，第18～21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分1.一小球从水平地面上方无初速释放，与地面发生碰撞后反弹至速度为零，假设小球与地面碰撞没有机械能损失，运动时的空气阻力大小不变，下列说法正确的是A. 上升过程中小球动量改变量等于该过程中空气阻力的冲量B. 小球与地面碰撞过程中，地面对小球的冲量为零C. 下落过程中小球动能的改变量等于该过程中重力做的功D. 从释放到反弹至速度为零过程中小球克服空气阻力做的功等于重力做的功【答案】D【解析】根据动量定理可知，上升过程中小球动量改变量等于该过程中重力和空气阻力的合力的冲量，选项A 错误；小球与地面碰撞过程中，由动量定理得：21()Ft mgt mv mv -=-- ,可知地面对小球的冲量Ft 不为零，选项B 错误；下落过程中小球动能的改变量等于该过程中重力和空气阻力做功代数和，选项C 错误；由能量守恒关系可知，从释放到反弹至速度为零过程中小球克服空气阻力做的功等于重力做的功，选项D 正确；故选D.2.如图所示,表面粗糙的斜劈C 放置在粗糙水平地面上,细线绕过滑轮O 1和O 2连接在竖直墙O 处,连接A 物体的细线与斜劈平行，,滑轮O 固定在斜劈上，动滑轮O 2跨在细线上，其下端悬挂B 物体。
A 与C 物体始终静止,不计细线与滑轮间的摩擦,下列说法正确的是（ ）A. 逐渐增大B 物体质量,地面对斜劈的摩擦力逐渐变大B. 逐渐减小B 物体质量,A 物体受到的摩擦力逐渐变小C. 将悬点O 下移少许,细线与竖直墙而夹角变大D. 将悬点O 上移少许,滑轮O 1受到细线的弹力变小【答案】A【解析】【详解】A.逐渐增大B 物体质量，细线中的张力增大，将AC 作为整体，细线AO 1拉力水平分力增大，由平衡可知，地面对斜劈的摩擦力逐渐变大，故A 正确；B.逐渐减小B 物休质量，细线中的张力减小，由于A 物体的重力沿斜面向下的分力与细线张力大小关系不清楚，所以A 物体受到的摩擦力大小无法判断，故B 错误；CD.设墙与斜面间的水平距离为d ，O 1O 间绳长为L ，细线O 2O 与墙间的夹角为θ，由平衡可知，细线O 2O 1与竖直方向的夹角也为θ，由几何关系可知，()122122sin sin sin in O O OO O O OO d L L L L L θθθθ=+=+=，由于距离d 和细线长L 不变，所以不管将悬点O 下移少许还是将悬点O 上移少许，细线O 2O 1与竖直方向的夹角不变，所以∠O 1O 2O 不变，由平行四边形定则可知，细线中的张力不变，滑轮O 1受到细线的弹力不变，故CD 错误；3.如图，虚线I 、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道I 为与第一宇宙速度7.9 km/s 对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2 km/s 对应的脱离轨道，a 、b 、c 三点分别位于三条轨道上，b 点为轨道Ⅱ的远地点，b 、c 点与地心的距离均为轨道I 半径的2倍，则（ ）A. 卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道I 的2倍B. 卫星经过a 点的速率为经过b 2倍C. 卫星在a 点的加速度大小为在c 点的3倍D. 质量相同的卫星在b 点的机械能小于在c 点的机械能【答案】D【解析】【详解】A.轨道I 的半径为R ，则轨道Ⅱ的半长轴为22322R R R R +==则由开普勒第三定律得：32232132R T RT ⎛⎫ ⎪⎝⎭=， 即 213=2T T ， 则A 错误；B.在a 点在轨道I 做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有；a GM v R=， 在轨道Ⅱ上b 点做向心运动，万有引力大于向心力，则：b 2GM v R＜， 则 2a b v v ＞，则B 错误；C.由2GM a r =，得21a r ∝，即在a 点的加速度大小为在c 点的4倍，则C 错误； D.在b 点做向心运动，在c 点做离心运动，则c 点的速度大于b 点的速度，c 点动能大于b 点的动能，又两点势能相等，故卫星在b 点的机械能小于在c 点的机械能，则D 正确；4.如图,为排球场示意图,场地长为MN ,网AB 高为H 。
【数学】四川省树德中学2020届高三上学期10月阶段性检测 数学(理)
1 k2
6(1 2k 2) ， 1 2k2
6
1k2 ， 1 2k2
3
1
1
1 2k
2
广场四边均相切的椭圆. 在广场内任取一点，则该点能收到该“5G”信号的概率为（ ）
A. 2 7
B.
4
C. 3 10
D.
5
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.
已知
x y
2y | x |
3
，则
2
x
y 最小值为
.
14.
F1 、 F2 为 E
:
x2 a2
y2 b2
1 左右焦点，
19．（12 分）
正项数列{an} 前 n 项和为 Sn ，且 Sn
(1 an )2 4
， (n N*) .
5
高三数学（理科）2019-10 阶考 第 2页 共 2 页
一. 选填
1
2
D
A
高 2017 级高三上期 10 月阶段性测试数学试题（理）参考答案
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
B
D
A
B
C
A
（2）设 M 、 N 、 P 三点均在曲线 E 上，且 OM ON OP 0 ，（ O 为原点），求 | MN |的范围.
（I）假设 M 服从正态分布 N (, 2 ) ，其中 的近似值为果径的样本平均数 x （同一组数据用该区间的
（二）选考题（共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答 时请写清题号）
树德中学高2020级高二上学期11月阶段性测试数学(理科)试题及答案
树德中学高2020级高二上学期11月阶段性测试数学（理科）试题命题人：梁刚 审题人：罗莎一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知两直线l 1：x-y ＋6＝0与l 2：-3x ＋3y-2＝0，则l 1与l 2间的距离为( )A. 2B.823C. 3D.8332.命题“∀x ∈R ，x⎪⎭⎫⎝⎛31＞0”的否定是 ( )A ．∃x 0∈R ，01()3x ＜0B ．∀x ∈R ，x⎪⎭⎫⎝⎛31≤0C ．∀x ∈R ，x⎪⎭⎫⎝⎛31＜0D ．∃x 0∈R ，01()3x ≤03.双曲线x 2a 2－y 24a2＝1(a≠0)的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12x C ．y ＝±4x D ．y ＝±2x4.若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足|MA|＝2|MB|，则M 点的轨迹围成区域的面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π5.下列命题中，结论为真命题的组合是（ ）①．“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 充分而不必要条件②．若命题“¬p ∧¬q”为假命题，则命题¬p 一定是假命题 ③．b a >是b a lg lg >的必要不充分条件④．双曲线1222=-y x 被点B （1,1）平分的弦所在的直线方程为012=--y x⑤．已知过点（3,0）的直线))(3(R k x k y ∈-=与圆922=+y x 的交点个数有2个．A.①③④ B ②③④ C.①③⑤ D.①②⑤6.若直线c x y +=2先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆522=+y x 相切， 则c 的值为（ ） A ．8或－2 B ．6或－4 C ．4或－6 D ．2或－87．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为( )A.24B.18C.12D.68．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A ．32 B．22 C ． 12D ．139. 若直线m x y +-=与曲线y =m 的取值范围是( )A. -2≤m＜2B.C. -2≤m ＜2或m=5D. ＜m=510．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c ．若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3csin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+372,1B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,372 C ．(1，2)D ．()+∞,211.已知两定点A(－3,0)和B(3,0)，动点P(x ，y)在直线l ：y ＝－x ＋5上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的短轴的最小值为（ ）A ．B ．C ．26D ．26212. 过原点O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆P ：2212x y +=交于A 、C 与B 、D ，则四边形ABCD 面积最小值为（ ） A.83B.C.D.43二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线1322=-y x 上一点P 到)0,3(M 的距离最小值为________14.若命题P:对于任意[]1,1-∈a ，使不等式1222-+>a x ax为真命题，则实数x 的取值范围是_______.15.已知点A(4,0),B(2,2)是椭圆19y 25x 22=+内的两个点，M 是椭圆上的动点，则MB MA +的最大值为______________.16.已知椭圆x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，上顶点为B ，且直线l 与椭圆交于C ，D 两点，若直线l ∥直线AB ，设直线AC ，BD 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2的值为__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知p ：方程x 23－t ＋y 2t ＋1＝1所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆；q ：当1[,2]2x ∈时，函数3251)(2+->+=t t x x x f 恒成立。
四川省成都市树德中学2020届高三数学二诊模拟考试试题理含解析
四川省成都市树德中学2020届高三数学二诊模拟考试试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数()()ln 1f x x =++的定义域为（ ） A. ()2,+∞ B. ()()1,22,-⋃+∞ C. ()1,2-D.1,2【答案】C 【解析】【详解】函数的定义域应满足20,1 2.10x x x ->⎧∴-<<⎨+>⎩故选C. 2.复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.【详解】解：()()()21212222555i i i i z i i i i +-+====-+--+， 则复数2i z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题. 3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=dA. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】先用公差d 表示出25,a a ，结合等比数列求出d .【详解】252,24a d a d =+=+,因为125,,a a a 成等比数列，所以2(2)2(24)d d +=+，解得4d =.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.4.已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A. ,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B. ,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C. ,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D. ,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A 【解析】试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.5.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为34yx ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ）A. 221916x y -=B. 221169x y -= C. 22134x y -= D.22143x y -= 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得34ba ，22225c ab =+=，所以4a =，3b =，所求双曲线方程为221169x y -=． 考点：双曲线方程.6.函数()1log1axf x xx+=+（01a<<）的图象的大致形状是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】()()()log11log log101log0.aa aax xxf x x x xxx x⎧--<-+⎪==--<<⎨+⎪>⎩，，，，，故选C．【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【答案】C【解析】【分析】根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有222A=种，剩余的3门全排列，即可求解.【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有222A=种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有336A=种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法.故选：C.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.执行如图所示的程序框图，当输出的2S=时，则输入的S的值为( )A. -2B. -1C.12- D.12【答案】B【解析】 若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-=====132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-===== 11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B.9.如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A.223 C.21231+ 【答案】D 【解析】 【分析】先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解. 【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为O'，球心为O，由题意，球的体积为43π，即24433Rππ=可得球O的半径为1，O'的半径为12，利用球的性质可得2O O'==，又由O'到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为12，12=.故选：D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.10.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线24y x=上任意一点，M是线段PF上的点，且PM MF=，则直线OM的斜率的最大值为（）A. 1B.12C.2【答案】A【解析】【分析】设2(,),(,)2yP y M x yp，因为PM MF=，得到200,442y ypx yp=+=，利用直线的斜率公式，得到22244OMykypypy pp==++，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，抛物线24y x=的焦点坐标为(,0)2pF，设2(,),(,)2yP y M x yp，因为PM MF =，即M 线段PF 的中点，所以220001(),222442y y y p p x y p p =+=+=， 所以直线OM的斜率0200022144OM y k y p y p y p p ==≤=++， 当且仅当00y p y p=，即0y p =时等号成立， 所以直线OM 的斜率的最大值为1. 故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 11.下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数）32>；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数()2ln ,03f x x x =->，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到()()f f e π>，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数()ln ,0f x e x x x =->，利用导数求得函数的最大值为()0f e =，进而得到()30f <，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由239,() 2.2524e ===，可得 2.25e >，根据不等式的性32>成立，所以是正确的； 对于②中，设函数()2ln ,03f x x x =->，则()10f x x'=>，所以函数为单调递增函数，因为e π>，则()()f f e π>又由()221ln 10333f e e =-=-=>，所以()0f π>，即2ln 3π>，所以②不正确；对于③中，设函数()ln ,0f x e x x x =->，则()1e e x f x x x-'=-=， 当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当x e =时，函数取得最大值，最大值为()ln 0f e e e e =-=， 所以()3ln330f e =-<，即ln 33e <，即3ln 3e<，所以是正确的. 故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12.在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，ABC ∆的面积2S =，且满足cos (1cos )a B b A =+，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是（ ）A. ()8,8B. (0,8)C. 83⎛ ⎝D.⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化简得sin()sin A B B -=，解得22A B π=<，进而得到3(,)42C B πππ=-∈，利用正切的倍角公式求得1tan 12C >>-+4sin ab C =，进而化简()()c a b c b a +-+-8(1cos )8tan sin 2CC C =-=，即可求解. 【详解】由题意，在锐角ABC ∆中，满足cos (1cos )a B b A =+，由正弦定理可得sin cos sin sin cos A B B B A =+，即sin cos sin cos sin A B B A B -=， 可得sin()sin A B B -=，所以A B B -=，即22A B π=<，所以(0,)4B π∈，所以33(,)24A B B ππ+=∈，则3(,)42C B πππ=-∈，所以22tan2tan 11tan 2CC C =>-，可得1tan 12C >>-+ 又由ABC ∆的面积1sin 22S ab C ==，所以4sin ab C=，则222()()2c a b c b a c a b ab +-+-=--+2cos 2ab C ab =-+2(1cos )ab C =-21(12sin )82(1cos )88tan 8,8)sin 22sin cos 22CC C C C C --=-=⨯=∈.故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，以及三角形的面积公式和正切的倍角公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量AB =（1，2），AC =（-3，1），则AB BC ⋅=______． 【答案】-6 【解析】 【分析】由BC AC AB =-可求BC ，然后根据向量数量积的坐标表示可求AB •BC . 【详解】∵AB =（1，2），AC =（-3，1），∴BC AC AB =-=（-4，-1）， 则AB •BC =1×（-4）+2×（-1）=-6 故答案为-6【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题．14.设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=_________【答案】1 【解析】 【分析】令1x =-，结合函数的奇偶性，求得(1)(1)1f g -+=-，即可求解(1)(1)f g -的值，得到答案.【详解】由题意，函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，令1x =-，可得20(1)(1)(1)(1)(11)21f g f g -+-=-+=-+-=-， 所以(1)(1)1f g -=. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.直线l 是圆1C ：22(1)1x y ++=与圆2C ：22(4)4x y ++=公切线，并且l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相交于A ，B 两点，则AOB ∆的面积为_________【答案】2【解析】 【分析】根据题意画出图形，设,OA a OB b ==，利用三角形相似求得,a b 的值，代入三角形的面积公式，即可求解.【详解】如图所示，设,OA a OB b ==， 由1AEC ∆与2ADC ∆相似，可得1142a a +=+，解得2a =， 再由AOB ∆与1AEC ∆相似，可得1b =2b = 由三角形的面积公式，可得AOB ∆的面积为11222S ab ==⨯=. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.16.已知函数2()(1)x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=()*n ∈N ，若()2()x n n n n f x e a x b x c =++，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，记数列22n n n a c b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n项和为n S ，则[]20003S =_________ 【答案】5 【解析】 【分析】根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得1n a =，21n b n =+，21n c n n =++，进而得到2212n n n a c b n =-，再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解.【详解】由题意，函数2()(1)x f x e x =+，且1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=()*n ∈N ，可得21()()(43)x f x f x e x x '==++，221()()(67)x f x f x e x x '==++232()()(813)x f x f x e x x '==++，243()()(1021),x f x f x e x x '==++又由()2()x n n n n f x e a x b x c =++，可得{}n a 为常数列，且1n a =，数列{}n b 表示首项为4，公差为2的等差数列，所以22=+n b n ， 其中数列{}n c 满足21324314,6,8,,2n n c c c c c c c c n --=-=-=-=，所以2121321(1)(42)()()()412n n n n n c c c c c c c c n n --+=+-+-++-=+=++，所以22221122(1)(22)n n n a c b n n n n ⨯==-++-+，又由2211111111,,(2)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n>=-<=-≥++--， 所以111131123121n n S n n >+-++-=-++， 且111111111(1)()2,(2)223341n n n n nS <+-+-+-++-=-≥-， 所以数列22n n n a c b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n S ，满足2,(2111)32nn S n n <-<≥-+， 所以2000113(13()3)200120002S -<<-， 即200096233320012000S <--<，又由[]m 表示不超过实数m 的最大整数，所以[]200035S =. 故答案为：5.【点睛】本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答題（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n S n n =-（*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()22,(21)2,(2)11n a n n n n k b n k a a +⎧=-⎪=⎨=⎪--⎩（*k ∈N ），数列{}n b 的前n 项和n T .若211422nn T a b n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭对*n ∈N 恒成立，求实数a ，b 的值.【答案】（1）1(1)n a n n =-≥（2）43a =-，116b =.【解析】 【分析】（1）根据数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系式，即求解数列的通项公式； （2）由（1）可得()()2221111(2)2n n a a n n n n +==---++，利用等比数列的前n 项和公式和裂项法，求得21141163422nn T n ⎛⎫=--⎪+⎝⎭，结合题意，即可求解. 【详解】（1）由题意，当1n =时，由21211S =-，解得10a =；当2n ≥时，可得221222(1)(1)22n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，即1,(2)n a n n =-≥，显然当1n =时上式也适合，所以数列的通项公式为1n a n =-. （2）由（1）可得()()2221111(2)2n n a a n n n n +==---++，所以()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++()02221111112222446222n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111411412226342214nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+-=-- ⎪++⎝⎭-. 因为211422nn T a b n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭对*n ∈N 恒成立，所以43a =-，116b =.【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解，等差数列的前n 项和公式，以及裂项法求和的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，PCD ∆是正三角形，PC AC ⊥，E 是PA 的中点.（1）证明：AC BE⊥；（2）求直线BP与平面BDE所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）26 13【解析】【分析】（1）设F是PD的中点，连接EF、CF，先证明BCFE是平行四边形，再证明AC⊥平面PCD，即AC BE⊥（2）以O为坐标原点，OC的方向为x轴的正方向，建空间直角坐标系，分别计算各个点坐标，计算平面BDE法向量，利用向量的夹角公式得到直线BP与平面BDE所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：设F是PD 的中点，连接EF、CF，E是PA的中点，//EF AD∴，12EF AD=，//AD BC，2AD BC=，//EF BC∴，EF BC=，BCFE∴是平行四边形，//BE CF∴，//AD BC，AB AD⊥，90ABC BAD∴∠=∠=︒，AB BC=，45CAD∠=︒，2AC=，由余弦定理得2222cos2CD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠=，2224AC CD AD∴+==，AC CD∴⊥，PD AC⊥，AC∴⊥平面PCD，AC CF∴⊥，AC BE∴⊥；（2）由（1）得AC ⊥平面PCD ，2CD =，∴平面ABCD ⊥平面PCD ，过点P 作PO CD ⊥，垂足为O ，OP ∴⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，则6P ⎛ ⎝⎭，22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,2B ⎫-⎪⎪⎭，22642E ⎛⎫- ⎝⎭ 262,BP ⎛∴=- ⎝⎭，设(),,m x y z =是平面BDE 的一个法向量，则00m BD m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，32203260x y x z ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，令1x =，则33y z =⎧⎪⎨=⎪⎩(1,3,3m ∴=，26cos ,13m BP m BP m BP⋅∴==∴直线BP 与平面BDE 所成角的正弦值为26.【点睛】本题考查了线面垂直，线线垂直，利用空间直角坐标系解决线面夹角问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.2018年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[)[)[)20,30,30,40,,70,80,⋯，并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从年龄在[)[)[)20,30,30,40,40,50内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示年龄在[)30,40内的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()()0,1,2,,20P X k k ==⋯.当()P X k =最大时，求k 的值.【答案】（1）分布列见解析；34；（2）7. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的方法判断出年龄在[)[)[)20,3030,4040,50，，内的人数，可得X 的可能取值为0，1，2，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望；（2）设年龄在[)30,50内的人数为Y ，则()20,0.35Y B ~，设()()1P Y k t P Y k ===-,可得若1t >，则7.35k <，()()1P Y k P Y k =-<=；若1t <，则7.35k >，()()1P Y k P Y k =->=，从而可得结果. 【详解】（1）按分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[)20,30内的人数为0.005810.0050.0100.025⨯=++人，年龄在[)30,40内的人数为0.010820.0050.0100.025⨯=++人， 年龄在[)40,50内的人数为0.025850.0050.0100.025⨯=++人. 所以X 的可能取值为0，1，2，所以()3062385014C C P X C ===， ()21623815128C C P X C ===， ()1262383228C C P X C ===，所以X 的分布列为515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=.（2）设在抽取的20名市民中，年龄在[)30,50内的人数为Y ，Y 服从二项分布.由频率分布直方图可知，年龄在[)30,50内的频率为()0.0100.025100.35+⨯=， 所以()20,0.35Y B ~，所以()()()20200.3510.35kkkP Y k C -==- ()0,1,2,,20k =.设()()1P Y k t P Y k ====-()()()()20201211200.3510.350.3510.35kkk k kk C C-----=-()()7211,2,,2013k k k-=，若1t >，则7.35k <，()()1P Y k P Y k =-<=； 若1t <，则7.35k >，()()1P Y k P Y k =->=.所以当7k =时，()P Y k =最大，即当()P Y k =最大时，7k =.【点睛】本题主要考查分层抽样的定义、直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20.已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=＞＞的焦距为12的直线与椭圆交于,A B 两点，若线段AB 的中点为D ，且直线OD 的斜率为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过左焦点F 斜率为k 的直线l 与椭圆交于点,M N ,P 为椭圆上一点，且满足OP MN ⊥，问：211MN OP +是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由. 【答案】(1) 2214x y +=.(2) 211||||MN OP +为定值54.过程见解析. 【解析】分析：（1）焦距说明c =，用点差法可得22 AB OD b k k a⋅=-＝14-.这样可解得,a b ，得椭圆方程；（2）若0k =，这种特殊情形可直接求得211MN OP +，在0k ≠时，直线MN方程为(y k x =，设1122(,),(,)M x y N x y ，把直线方程代入椭圆方程，后可得1212,x x x x +，然后由纺长公式计算出弦长12MN x =-，同时直线OP 方程为1=-y x k，代入椭圆方程可得P 点坐标，从而计算出OP ，最后计算211MN OP +即可. 详解：（1）由题意可知c =()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆可得：22221122222211x y x y a b a b+=+=，，两式相减并整理可得， 2221221112y x y y b y x x x a -+⋅=--+，即22AB OD b k k a⋅=-.又因为12AB k =，12OD k =-，代入上式可得，224a b =.又2222,3a b c c =+=，所以224,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）由题意可知，()F ，当MN 为长轴时，OP 为短半轴，此时21115=+1=||44MN OP +； 否则，可设直线l的方程为(y k x =+，联立(2214x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得，()22221+41240k xx k ++-=，则有：2121221241+4k x x x x k-+==，所以21124+41+4k MN x k =-= 设直线OP 方程为1y x k =-，联立22141x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，根据对称性，不妨得P ⎛⎫ ⎝，所以OP ==故2222222111+41+445=+=||4+44+44+44k k k MN OP k k k ++，综上所述，211||MN OP +为定值54. 点睛：设直线与椭圆22221x y a b+=相交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)C x y ，则有22AB ODb k k a⋅=-，证明方法是点差法：即把点,A B 坐标代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减，结合斜率公式可得. 21.已知函数()ln ()x e f x x x ax a R =-+∈.（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，求()f x 的最大值.【答案】（1）21a e ≤-（2）max ()1f x =- 【解析】 【分析】（1）根据单调递减可知导函数恒小于等于0，采用参变分离的方法分离出a ，并将x 的部分构造成新函数()g x ，分析a 与()g x 最值之间的关系；（2）通过对()f x 的导函数()f x '分析，确定()f x '有唯一零点0x ，则0x 就是()f x 的极大值点也是最大值点，计算0()f x 的值并利用0()0f x '=进行化简，从而确定max ()f x .【详解】（1）由题意知，()1()x x f x e xe a x '=-++ 1(1)0x x e a x=-++≤在[1,)+∞上恒成立，所以1(1)xa x xe ≤+-在[1,)+∞上恒成立. 令1()(1)xg x x e x=+-，则21()(2)0xg x x e x '=++>，所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)21g x g e ==-， 所以21a e ≤-.（2）当1a =时，()ln (0)x f x x x x x e =-+>. 则11()(1)1(1)x x f x x e x e x x '⎛⎫=-++=+- ⎪⎝⎭， 令1()x m x e x=-，则21()0x m x e x '=--<，所以()m x 在(0,)+∞上单调递减. 由于102m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，(1)0m <，所以存在00x >满足()00m x =，即001x e x =. 当()00,x x ∈时，()0m x >，()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0m x <，()0f x '<. 所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.所以()0max 0000()ln x f x fx x x e x ==-+， 因为001x e x =，所以00ln x x =-，所以()00011f x x x =--+=-， 所以max ()1f x =-.【点睛】（1）求函数中字母的范围时，常用的方法有两种：参变分离法、分类讨论法；（2）当导函数不易求零点时，需要将导函数中某些部分拿出作单独分析，以便先确定导函数的单调性从而确定导函数的零点所在区间，再分析整个函数的单调性，最后确定出函数的最值.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ραα=+. （1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于,P Q 两点，且||2||OP OQ =，点M 的坐标为(2,0)，求ΔMPQ 的面积.【答案】（1）1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，2C 的直角坐标方程为2214x y +=（2）3【解析】【分析】（1）先把曲线1C 的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得极坐标方程.将2224cos 4sin ραα=+，化为2222cos 4sin 4ραρα+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得曲线2C 的普通方程.（2）设直线的极角0θθ=，代入2224cos 4sin ραα=+，得2Q 20413sin ρθ=+，将0θθ=代入4cos p θ=，得04cos P ρθ=，由||2||OP OQ =，得2P Q ρρ=，即()2020164cos 13sin θθ=+，从而求得202sin 3θ=，201cos 3θ=，从而求得,ρρQ P ，再利用()01||sin 2ρρθ∆∆∆=-=⋅⋅-⋅MPQ OMP OMQ P Q S S S OM 求解. 【详解】（1）依题意，曲线221:(x 2)4C y -+=，即2240x y x +-=，故24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=. 因为2224cos 4sin ραα=+，故2222cos 4sin 4ραρα+=， 即2244x y +=，即2214x y +=. （2）将0θθ=代入2224cos 4sin ραα=+，得2Q 20413sin ρθ=+， 将0θθ=代入4cos p θ=，得04cos P ρθ=，由||2||OP OQ =，得2P Q ρρ=，得()2020164cos 13sin θθ=+， 解得202sin 3θ=，则201cos 3θ=. 又002πθ<<，故04cos 33Q P ρρθ====， 故MPQ ∆的面积()01||sin 2MPQ OMP OMQ P Q S S S OM ρρθ∆∆∆=-=⋅⋅-⋅=. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.23.已知函数()12f x x x =-++，记()f x 的最小值为m .（Ⅰ）解不等式()5f x ≤；（Ⅱ）若正实数a ，b 满足11a b +=22232m a b +≥.【答案】（Ⅰ）{|32}-≤≤x x （Ⅱ）见证明【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；(Ⅱ)首先确定m 的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.【详解】（Ⅰ）①当1x >时，()(1)(2)215f x x x x =-++=+≤，即2x ≤，∴12x <≤；②当21x -≤≤时，()(1)(2)35f x x x =-++=≤，∴21x -≤≤；③当2x <-时，()(1)(2)215f x x x x =--+=--≤，即3x ≥-，∴32x -≤<-.综上所述，原不等式的解集为{|32}-≤≤x x . （Ⅱ）∵()12(1)(2)3f x x x x x =-++≥--+=，当且仅当21x -≤≤时，等号成立.∴()f x 的最小值3m =.∴2222]++25≥=， 即22236a b +≥，当且仅当a b =即32a b =时，等号成立.又11a b +=3a =2b =时，等号成立. ∴22232m a b+≥. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。